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哥循环码结构 q 一循环码结构 研究生：潘桔 指导教师：董学东 学科专业：应用数学 摘要1 9 8 5 年，e m g a b i d u l i n 提出了秩距离码及极大秩距离码的理论，给出了 判断码的最小秩距离的方法，并通过使用线忡化多项式构造了一些檄大秩距离 码2 0 0 1 年以来，杜伟章、王新梅等人在此基础上提出了秩距离b c h 码、秩距离 r e e d - s o l o m o n 码的概念，并讨论了当线性秩距离码的生成多项式具有广义连续根 集时，它能构成极大秩距离码的条件他们指出当线性秩距离码的生成多项式的根 集不是连续根集时，确定秩距离码的最小秩距离以及构做极大秩距离码是米解决的 问题本论文通过讨论q 循环码的结构，得到了判断线性秩距离码的秩距离的方 法，由此部分解决了杜伟章、王新梅等人提出的问题 首先，我们给出r 线性化多项式的定义、业主要性质和任意有限域r 线性 化多项式根的求解算法，这些内容与q 一循环码的研究密切相关 其次，对定义在g f ( q “) 上的q 循环码的结构进行了讨论，得到它的生成矩 阵、校验矩阵和维数，并对定义在其上的秩距离作了进一步探讨，得到秩距离的大 小与其校验矩阵的列向量在g f ( q ) 上的线性无关性有关 再次，我们定义了g f ( q “) 上的秩距离广义b c h 码，并指山其最小秋距离的 大小与其校验矩阵的任一k 阶子式构成的行列式的非零性有关从而证明了杜伟 章等的结论均可作为这定理的推论 在论文的最后，我们给出了两个求秩距离广义b c h 码的最小秩距离的实例 关键词q 一循环码；线性化多项式；秩距离 1 q 一循环码结构 1 引言 1 9 8 5 年，e mg a b i d u l i n 在1 1 中提出了秩距离码及极大秩距离码的理 论2 0 0 1 年以来，杜伟章，王新梅等人在 2 【3 【4 【5 】中以此为基础给出了些秩距 离码、秩距离缩短码的构造方法，并提出了秩距离b c h 码的概念，讨沦了当所给 秩距离b c h 码的牛成多项式具有广义连续根集时，它的最小秩距离问题他们指 出当线性秩距离码的生成多项式的根集不是连续根集时，确定其最小秩距离以及构 做极大秩距离码是未解决的问题2 0 0 3 年，邓仰叫、杜伟章住中给出了特征为 2 的有限域上线性化多项式根的求解算法，但这种算法很复杂本论文旨在确定当 线性秩距离码的牛成多项式的根集不是连续根集时，秩距离码的最小秩距离以及构 做极大秩距离码此外，我们给出了任意有限域上线性化多项式的根的求解算法 这种算法与线性方程组紧密相关，从而使用已有的数学软件可咀很容易求解一个线 性化多项式的根 本论文在第二章中，刘。类定义在g f ( q ”) 上的g 一循环码的生成矩阵、校验 矩阵、维数和秩距离等进行_ 讨论我们把定义了秩距离的码称为秩距离码给 出了判断线性a 一循环码的秋距离的方法它是讨论秩距离码校验矩阵的列向量在 g f ( q ) 上的线性无关性的基础i j 时，我们也给出了任意有限域上线性化多项式的 根的求解算法 在第三章中，对秋距离广义b c h 码的最小秋距离进行了进一步的讨论，得到 其最小秩距离的大小与其校验矩阵的任一k 阶子式构成的行列式的非零性有关，同 时证明了两个推论，从而部分解决了杜伟章等提出的问题在文章的最后给m 了2 个求q 循环码的最小秩距离的实例 本文中未加说明的符号和术语可参考文献7 1 2 堂塑堑竺竺塑 2q 一循环码 2 1 线性化多项式的概念和性质 设q 是素数或素数的幂，g f ( q ”) ，g f ( q ) 表示有限域，为简化书写我们记 f i 】- q 。，i = 0 ，土1 ， 定义2 1 1 【8 】 称g f ( q ”) 上的多项式l ( z ) = z 。z i 。i ，z 。g f ( q “) 为线 f = 0 性化多项式 设f 是g f ( q “) 的一个域扩张，则 l ( f l + 7 ) = l ( f 1 ) + l ( 7 ) ，v z ，7 f l ( 印) = c l ( 卢) ，v c g f ( q ) ，卢。f 进而我们有若卢，恳，凤是线性化多项式c ( z ) 的根，则它们在g f ( q ) 上的线 件组合也是g ( 。) 的根 规定线性化多项式的加法运算为 + g d z 乘法运算定义为 f ( 。) + g ( z ) = f ( g ( z ) ) 定义2 1 2 9 称g f ( q ”) 上的多项式l ( x ) = f ；z 嘲和c ) = l i x 。 互为g 一伴随多项式特别地，f ( 。) 是l ( x ) 的惯用铲伴随，l ( x ) 是l ( x ) 的线性化q - 伴随 定义2 1 3 9 设l - ( z ) 和l ( x ) 是g f ( q “) 上的线性化多项式，如果 l ( x ) = l - ( x ) sl 。( 。) ，其中l 。( z ) 是g f ( q ”) 上的线性化多项式，我们称l 。( z ) 符号整除工f z ) 引理2 1 1 【9 】 设l ( ) ，工2 ( z ) 是g f ( q ) 上的线性化多项式，2 ，( z ) 和f 2 ( z ) 分别足它们的q - 伴随，则f ( z ) = f ( ) f z ( 。) 与l ( x ) = l ( z ) + l 。( z ) 互为q 一伴随 多项式 3 g g 。 +缸 。 q 一循环码结构 引理21 2 【9 设l ，( x ) 和l ( x ) 是g f ( q “) 上的线性化多项式，它们的 q 一伴随多项式分别为f ，( z ) 和c ( z ) ，则l ( x ) 符号整除l ( z ) 当且仅当z ，( z ) 整除 l ( 善) 对2 个或多个g f ( q ”) 上的非零线性化多项式，我们可以定义它们的极大符 号公因子是能够符号整除它们的g f ( q ”) r 的最高次的首1 线性化多项式而且 我们有g f ( q ”) 上的线性化多项式的极大符号公因子就足它们的哥伴随多项式的 极大公网子的线性化俨伴随多项式 引理2 1 3 【9 设u 是g f ( q ”) 的一个子空间，它可吼看作是g f ( q ) 上的 向量空间，则对任非负整数k ，多项式 l ( x ) ( z 一卢) ” 是g f ( q “) 上的线十牛化多项式 由于线性化多项式根的存在性的研究与秩距离码的研究密切相关，因此本文 给出了任意有限域r 线性化多项式根的求解算法 定理2 1 1 设l ( z ) = n 。z 嘲足域g f ( q “) r 的线性化多项式，又设f 是域g f ( q ”) j 二的有限扩张，卢1 ，风是f 在g f ( q ) 上的。组基l ( 觑) ，( 1 i s ) 可由基底口1 - 一，伉线性表出，设b 为表出的系数矩阵，即 ( l ( 9 - ) ，二( 风) ) = ( 序，成) 鼠。 如果( c i ，c 。) g f ( q ) 5 是g f ( q ) 上齐次线性方程组 z ，、 口。0 的解，则卢= c l 岛+ + c 。阮就是l ( z ) 在f 中的根 证明： 如果( q ，一，c ，) g f ( q ) 5 是 0 、 l s 4 茁 z ，j_l、 b 堂塑堑堡竺塑 的一个解，卢= c l 【岛+ + c 。风，则有 砌) 2 。小，觑+ + 训“ 2 。；( c ，硝扣帆砂) 2 c ，上c 岛，+ ，+ 幺上c 熊，= 如- ，一，岛，l ( 3 1 ) 1 ，卢- = ( c ，c 。) 口7 | ；卜 i 风 = 0 岛 ： 风 故卢确实足l ( z ) 的一个根， 倒： 设g f ( 2 4 ) = g f ( 2 ) 纠 = a o + 1 + 。2 0 2 + a 3 0 t 3 l a o ，o l ，0 2 ，a 3 r ，n 4 + q + 1 = o ) g ( g ) = g + ( 1 + 0 2 ) g + ( 1 + n + 口2 + n 3 ) 。【1 1 + ( 1 + n 3 ) 。鸭求g ( z ) 存g f ( 2 4 ) 中的根 解： 由定理可知首先找出f = g f ( 2 4 ) 在g f ( 2 ) 上的一组基1 ，d ，0 2 ，矿 c g c - ，g c a ，g c 舻，g c 扩，2 c - ，。2 ，a 3 ，( ；i ) 5 q 一循环码结构 齐次线性方程组 在二元域g f ( 2 1 上的解为 0 ( x l ，z 2 ，x 3 ，x 4 ) = ( t l ，t l ，t 2 ，t 3 ) 其中t 1 ，t z ，t 3 是f 2 中的任意7 亡素，即它的所有解是 ( 0 ，0 ，0 ，o ) ，( o ，0 ，1 ，o ) ，( 0 ，o ，0 ，1 ) ，( 0 ，o ，1 ，1 ) ( 1 ，1 ，0 ，o ) ，( 1 ，1 ，1 ，o ) ，( 1 ，1 ，0 ，1 ) ，( 1 ，1 ，1 ，1 ) 从而g ( g ) 在g f ( 2 4 ) 中的全部根为 0 ，n 2 ，3 ，0 2 + 0 3 = n 6 ，1 + o t = a 4 ，1 + “+ 0 2 = 0 1 0 1 + n + a 3 = a 7 ，l + o + a 2 + d 3 = o l l 2 2 2q - 循环码的概念及生成矩阵和校验矩阵 定义2 2 圳 g f ( q “) 上的一个线性码e 称为俨循环码，如果v ( 9 0 ，g 弧一。) c 都有( 丑，甜 ，9 罂。) c ，其中nl 注：其中m ，q ) 不一定为1 记丘；为g f ( q ”) 上线性化多项式模多项式z h 一。所得的环 定理2 2 1 c 姓g f ( q ”) 上的一个铲循环码，且仅当g 是环兄；的一 个理想 证明：若g 是q - 循环码，则g 中任意两元素的羞显然还存g 中v c ( z = 9 i z g 则 ( 9 ；” 6 、 l 2 3 4 z z 茹 z ，。、 0 0 o 0 0 o o 0 0 l o o 0 1 o o ，。 g z 越 “：l q - 循环码结构 nl ( g i z ) ” i = o 如此有，对g f ( q “) 上的任意线性化多项式h 如) ：基h , z i l 有 i = o h ( z ) + e ( g ) = 日( g ( 。) ) n1 n 一1 = ( 吼+ h ( g i 鹕+ 2 = 0 i ：0 d n 一1 反之，若c 是r 。的个理想，则v c ( z ) = g z n g i = o + 姓2 2 【】c 即g 是一个口_ 循环码 定理2 2 2 兄。是。个主理想环，日q - 循环码的每个生成元都是z i n l z 的因子 证明： 任取r ，。中的一个非零理想e ，州e 中存在次数最低的首l 线性化 多项式g 0 ) ，那么有( g ( g ) ) c 一 反之，v f ( z ) c ，有f ( z ) = g ( z ) k ( z ) + 兄( z ) ，进而有 r ( z ) = f ( z ) g ( 2 ) s k ( z ) c 那么r ( z ) = 0 ，台则与a ( z ) 次数最低矛盾，所以c ( g ( z ) ) 这样我们得到( g ( 。) ) = c ，即且。是主理想环 下面说明若c = ( g ( 。) ) 足个q - 循环码，则g ( z ) 足。川一。的因子 7 e + # g “! l | f e 机 g h o口 一 j |一 z g “! l i | zc p = n z 吼 “ 一n + + 赭 舭 刈 一匹妲 q 一循环码结构 设g ( z ) 是g ( z ) 的伴随多项式，( 矿一1 ，g ( z ) ) = ( 。) ，则存在多项式n ( z ) ，6 ( 。) 使 。( z ) ( 扩一1 ) + 6 ( 。) 9 ( z ) ：( z ) ： 成立 由第一章内容知， ( g ) 的线性化伴随多项式k ( 。) 就是。【一z 与g ( z ) 的极 大符号公因子，即线性化后得 a ( 。) + 0 h z ) + b ( z ) c ( z ) = k ( z ) c k ( z ) 能够符号整除g ( g ) 和z 【“】一z ，则k ( z ) 与c ( z ) 至多相差一个常数，所 以有a ( z 1 符号整除z 一。 n 定理2 2 3 设c = ( g ( z ) ) 是铲循环码，其中g ( 。) = 吼。h 符号整除 z 一z ，则。【叫十g ( z ) ，z 【1 】$ g ( 。) ，z i k - 1 】 g ( z ) c ，且在g f ( q ) 上线性无 关 证明：冈为c 是俨循环码，所以z 【0 1 $ g ( z ) ，爿1 】 g ( z ) ，2 峰1 1 g ( z ) e 显然成立 着存在a o ，a l ，a l g f ( q ”) 使 成立，则 a o z 刮 g 0 ) + a t z 1 g ( 2 ) + + a k - 1 2 陋1 】 g ( = ) = 0 ( a o z 叫+ a l z 1 1 + + a k - - 1 z 陋1 1 ) g ( z ) = 0 那么。h z 符号糕除( n o z o l + 。l 一1 + - t + o 一l = 队一1 ) g ( z ) ，从而有“o = a 1 = = a k1 = 0 进而我们得到 z 【o a ( z 1 z 【1 】$ g ( z 1 是e 的牛成矩阵，且维数为k 8 9 。一k 0 挫“9 。 q 毋_ 1 】9 p - 1引 q - 循环码结构 n k 定理2 2 4 设c = ( g ( z ) ) 是q 一循环码，其中c ( z ) = 玑。吐则存在h z = 0 k ( z ) = 。z h 使得g ( z ) h ( z ) = z i 叫一z ，则 i = 0 日憎 l , l o k j 0 州 p 1 0 0 h 予“- 1 贮，培_ 1 i 是g 的校验矩阵 n l 证明： 对c 中的任码多项式c ( 。) = 勺z 川，有 j = o 整理后，我们可以得到 即日是e 的校验矩阵 2 3q 一循环码的秩距离 一11 h 7 = 0 我们在乎循环码r 定义一种区别于h a m m i n g 距离的秩距离，并且称定义了 这种距离的码为秩距离码 定义2 3 1 【1 1 设凸l ，。2 ，q 是g f ( q ) 在g f ( q ) 上的一组基，v x g f ( q ) ，都有茁= a l0 = 1 + 0 2 0 2 + + 。o ，则对g f ( q ) “上的向量茁= ( 。l ，z 2 ，茁。) ，每一个分量都可由基0 1 ，d 2 ，a 线性表出 z 。= o e l a l + a i 2 0 。= 2 + t - + a i n o 。n ，i = 1 ，2 ，礼， 9 瞄 0 。 勺 舢 | | 0h# “ g _ 循环码结构 即 = = a ( i ) 那么，g f ( q ”) n 上的每个向量都可以对应一个这样的矩阵我们把矩阵a ( 5 ) 的秩 称为i 在g f ( q ) 上的秩，记为r ( i ；g ) 两个元素茁，i g f ( q ”) ”之间的秩距离 定义为 d ( 茁，蕾) = r ( 茁一面；q ) 定义2 3 2 1 1 】元素属于g f ( q “) 的矩阵日在g f ( q ) 上的极人线性无关 列数称为该矩阵在g f ( q ) 上的秩，已为r ( 日；q ) ；h 在g f ( q ”) l 的极大线性无 关列数称为该矩阵在g f ( q ”) 上的秩，记为r ( 日；q n ) ，显然有r ( 日；q ) 2r ( 日；矿) 定义2 3 3 【1 1码g 的秩距离定义为 d = d ( c ) = m i n d ( x ，i ) ，i ，i g 且i i ) 定理2 3 1线性码g 的秩距离是e 叶1 秩最小的码字的秩 证明：由定义2 31 及2 ，3 3 知码g 的秩距离为 d = m i n d ( i ，i ) ，i ，i c d - 5 i ) = m i n r ( 5 一；口) ，i i ) 因为g 是线性码，所以i i c ，那么就有 d ( c ) = m i n r ( i ；g ) ，i g 茁o ) 引理2 3 1 【1 】 任意线性( n ，自) 一码的秩距离d 满足 d 兰n k + 1 1 n 、 l 2 a ： ，j-_l_-i、， 1 2 n n n 毗 毗 毗 蛳 俨循环码结构 能够达到这个最人值的码，我们称之为极大秩距离码 定理2 32 设e 是g f ( q “) 上具有校验矩阵 小。 日：卜竺叫：( 礼i 。 i 。i n k ln k 2 n k n 的线性秩距离码，码g 的秩距离为d 当且仅当日的任意d 一1 列向量在g f ( q ) t 都线性无关 注：这里我们约定d 2 证明： 设码g 的秩距离为d ，若且有d 一1 列向量在g f ( q 1 上线性相 关，4 i 妨设前d 一1 列向量h i ，h 2 ，虬一1 线性相关，则有g f ( q ) 中小全为0 的 a l ，a 2 ，a d l 使 o l h + a 2 h 2 + + a d - 1 h d1 = 0 成立，那么有 ( a l ，a 2 ，一，a d 一1 ，0 ，一，o ) n 。= 0 ， 即荟= ( a l ，a 2 ，a a 一- ，0 ，一，0 ) 是e 的一个码宁，且r ( ；q ) 5d 一1 ，与码c 的秩距离为d 矛盾 反之，设日的任意d l 列向量在g f ( q ) 上都线性无关，若码g 的秩距离为 d 一1 ，则e 中存在秩为d 一1 的码字苞，不妨设；= ( a 。，a z ，a d 一- ，0 ，0 ) ， 其中a 1 ，a 2 ，o d 一1 是g f ( q ) 中非零元素那么就有 苞ff7=cn-，。，tt，。a一。，。，-，。，(；i=。 与日的任意d 1 列向量在g f ( q ) 上线性无关相矛盾 1 1 ! ：塑堡堡丝塑 3 极大秩距离铲循环码 3 1 极大秩距离广义b c h 码 引理3 1 1 i 】o j 设q 是素数或素数的幂，则 n l n 甘q ”一1l ，一1 引理3 1 2 【9 对v a g f ( q ”) ，o ，a 吐，n 【一1 在g f ( q ) 上线性无关 当且仅当多项式一1 和d z 。v 一1 + a 1 嚣2 + + q 【一1 在g f ( q ) 矧中是 互素的 定义3l 1 在g f ( q ”) 中，卢。，岛，凤是n 级元素，g ( z ) 是线性化多项 式，它的根元素是卢，屈，风在g f ( q ) 上的各种各样的线性组合，那么由g ( z ) 生成的秩距离码称为秩胚离广义b c h 码 注；这里熊，i = 1 ，2 ，k 是缎元素的意思是说艘1 = 鼠有引理3 1 1 保证能够找到这样的屈使得它们是g f ( q “) 中的n 级元素 定理3 1 1 设g ( z ) 是g f ( q ”) 上的线性化多项式，它的根是防，扇，仇 在g f ( q ) r 的各种各样的线性组合，那么由g ( z ) 生成的秩距离广义b c h 码有如 下形式的校验矩阵 口。 缪；“ 芦p 一叫、 日：f 岛摩。1 1i i _ i 仇藤 卯“】 当日的任一k 阶子式构成的行列式0 时，此秩距离广义b c h 码的最小秩 距离为+ 1 ，此时该码为极大秩距离码 证明： 设9 ( z ) = 仇z 【日是码多项式，则存在线性化多项式c ( z ) ，使 g ( z ) = c ( z ) + g ( z ) p - ，阮，反是g ( 。) 的根，从而也是g ( z ) 的根，那么有 n - - 1 9 ( 岛) = 吼硝3 ，j = 1 2 k i = 0 1 2 。_ 循环码姥掏 即 ( g o ，9 1 硝1 鳄1 剧 卦。 反之，若( g o ，g - ，吼一1 ) 日7 = 0 ，则卢，岛，凤也是g ( z ) = g i z i 的 根，从而角的线性组合也是g ( 。) 的根，则有g ( ) 符号整除g i z ) ，即有9 ( z ) = c ( z ) + g ( z ) ，故9 ( z ) 足码字 下面讨论以日为校验矩阵的秩距离广义b c h 码的最小秩距离问题 南于日的任一k 阶子式构成的行列式都不为0 ，即日的任意列向量在 g f ( q 1 上都线性无关，则由定理3 1 1 知此码的最小秩距离为k + 1 设该码的维 数为k ，剜由口循环码的校验矩阵的定义可得nk = k ，而它的最小秩距离为 d = k + l = nk + l ，即该码是极大秩距离码 由此我们可以看到秩距离广义b c h 码的最小秩距离与其校验矩阵的任一k 阶子式构成的行列式的非零性有关，而与广义连续根集无关 3 2 一些推论 定义3 2 ，l 【9 设g f ( q “) 是g f ( q ) 的一个扩张，o l 是g f ( q ”) 中的元素， 称a ，o n a 吼，o 1 l 是。关于g f ( q ) 的共轭 对。g f ( q ”) ，o 关于g f ( q ) 的共轭是互不相同的当且仅当n 在g f ( q ) 上的极小多项式的次数为，否j l | l | 极小多项式的次数d 是的因子，而。关于 g f ( q ) 的共轭是互不相同的元素o l ，n 吐n ，d 【“1 】每个重复等次 定义3 2 2 i 9 】设k = g f ( q ) ，f = g f ( q “) ，取f 中的一个适当的元n ， e ho 及o t 的共轭组成的f 在k 卜的基血，o o 鸭，“【_ 1 】被称为f 在k 上 1 3 岛踏j|旷风鲫；|旷 ，。一 幽 一 一 一 西绔一防 风岛一风 ，。一 = 日 有以所 铲循环码结构 的正规基 引理3 2 i 9 ( 正规基定理)对任意有限域k 和k 的有限扩张f ，都存 在着f 在k 上的正规基 例如：设a f 8 是f 2 吲上的不可约多项式一+ z 2 + 1 的根，则 。，a 2 ，l + + d 2 ，是f 8 在f 2 上的一组正规基，其中1 + o + n 2 = 4 定义3 2 3 【4 有限域g f ( q “) 巾，p g f ( q ”) 为n 级元素，c ( z ) 是线性 化多项式，它的根是元素卢，卢【+ “，卢【“+ 2 1 】( 为一个大于l 的常数) 在 g f ( q ) 上各种各样的线性组合，那么由c ( z ) 生成的q - 循环码称为秩距离b c h 码 定义3 2 4 【1 1 设7 ，7 ，7 1 为g f ( q ”) 的一组正规基，c ( z ) 是 g f ( q ”) 上的线性化多项式，以7 ，y 吐，7 口一2 】为根，那么由g ( 。) 生成的q 一 循环码称为秩距离r e e d s o l o m o n 码 推论3 2 1 【目 设g ( z ) 是线性化多项式，它的根足元素卢 ，卢m + “， 卢【m “。】( k 为一个大于1 的常数) 在g f ( q ) 上各种各样的线性组合，其中 p g f ( q ”) 为n 级元素，那么以c ( z ) 为生成多项式的秩距离b c h 码有如下形 式的校验矩阵 卢【m + “一1 l l ：( 郴 1 】， ) 口【m “+ m 叫j 当p ，卢，卢h - 1 在g f ( q ) 上线性无关时，此秩距离b c h 码的最小秩距 离为女+ 1 ，此时该码为极大秩距离b c h 码 证明： 由定理3 1 2 鼻，以a ( z ) 为生成多项式的秩距离b c h 码的校验矩 阵的形式如日所示 考虑校验矩阵h 中的任意列向量乃”，矿“，矿”“，其中z 。 i ， i 1 ，若它们在g f ( q ) 上线性帕关，则存存g f ( q ) 中小全为。的 1 4 m h 一陋 嚣! | 扩 = h 俨循环码结构 “地吣- 臣 0 肚睡】| 兰) ) 1 5 ! ：堡堡苎苎塑 3 3q - 循环码的例子 例33 1 ： g f ( 2 ) 上3 次即约多项式f ( x ) = z 3 + z 2 + l ，g f ( 2 3 ) = g f ( 2 ) ( ，( z ) ) 设。是g f ( 2 3 ) 中的本原元素，满足“3 = o z + 1 令g f z l ： o l 5 z f 2 1 + o l 4 z 【1 1 + z ，讨论由g ( z ) 生成的口一循环码的最小秩距离 首先由于。i 一z = c ( z ) 口( z ) ，其中u ( z ) = 0 4 z 川+ g ，故c r = ( g ( z ) ) 是 俨循环码，其生成矩阵为 g = ( 1 。4 舻) 根据定理3 1 2 要求码c 的最小秩距离先要求出线性化多项式o ( z 1 在 g f ( 2 3 ) l | 的根由于1 ，d ，d 2 是g f ( 2 3 ) 在g f ( 2 ) 上的一组基，由定理2 1 1 有 a ( 1 ) g ( n ) g r0 = 2 1 5 + d 4 + l = 皿2 + 1 ： 0 5 d 4 + 0 4 o 2 + o = 0 ： o l 5 o l 8 + o l 4 “4 + n 2 ：0 “ g ( 1 ) ，g ( 。) ，g ( 。：) ) ：( a 2 + 1 , ) 小一叫1 0 0 ) ) ( | ) = 。 = ( i ) f ，埘。 1 6 哥循环码结构 其中t l ，t 2 g f ( 2 ) ，该方程组的所有解为 ( 0 ，0 ，o ) ，( 0 ，1 ，0 ) ，( 0 ，0 ，1 ) ，( 0 ，l ，1 ) 那么g ( 。) 在g f ( 2 3 ) 上的所有解为 口j 以看到a 【3 = 1 ，( n 2 ) 【3 】= l ，即a 和2 足g f ( 2 3 ) 中的3 级元素，且c ( z ) 的根是。和n 2 在g f ( 2 ) 上各种线性组合，那么由g ( z ) 生成的码g 是秩距离广 义b c h 码，它的校验矩阵为 日= ( 二 a 4 、厂o a 2 0 4 、 ( a 广l 。z 。a 。j 根据定理3 1 | 1 知由于日的任一2 阶子式构成的行列式都不为o ，战码g 的最小 秩距离为3 事实上，我们可以求出码g 的所有码字来验证这一结论 设i = ( z 。，z 。，z 。) 是个码字，则满足 y h l = ( 茁l ，z 2 ，x 3 ) 日1 = 0 料 ( 1 ，a 4 ，o l 5 ) = ( 1 ，1 + d + n 2 ，1 + o ) 1 ol = ( 1 ，n ，n 2 ) a ， oj 1 1 11i ：( 1 ，a ，d 2 ) 也 1o 0 1 1 0 0 1 ，jil_l、 ) 2 “n l 1 0 0 ，ll ) 2 no n 盯 q 循环码结构 c a 3 ，。，= c ，+ 。2 ，。，= c ，n ，。2 ，( ；：1 ；) = c - ，。，n 2 ，a 。 = c 。， - ，- ， ，+ 。+ 。2 ，= c ，。，。2 ，n 。，( iii ； (|0 11 1 ) ( | | x l 扎 o _ 循环码结构 故码c 是秩距离广义b c h 码，它的校验矩阵为 丑= ( 。0 ，。0 ，。0 ，。) = ( 二0 。二5 二。) 容易看出它存在2 阶子式构成的行列式为0 设i = ( a 1 ，0 2 ，a 3 ，a 4 ) 是c 的一个码字，则 h a t = ( 。，。们 ：。 c v j ( ￥1 。c 5 ( ￥1 。7 i 。a 。3j 从而可知码g 的所有非零码字为 ( 1 ，0 ，1 ，0 ) = ( 1 ，o ，n 2 ，驴 ( 0 ，1 ，0 ，1 ) ( ，。，一a 3 ) ( ，1 ，1 ) = ( 1 ，n ，a 2 ，。a ) ；| ； 我们看到该码的所有码字的秩均为1 ，胃任意两个码字之间的秩距离也为1 从而码g 的最小秩距离为1 1 9 、，、 1 o 0 0 l 0 0 0 0 o 0 0 l 0 o o l 0 o o 1 o 0 0 o o o o l 0 0 0 ，。一，。 堂煎堡苎竺塑 4 结论 本文讨论了定义在g f ( q “) 上的q 循环码的结构，得到了当线性化多项式 g ( z ) 能够符号整除z h z 时，( g ( z ) ) 是铲循环码，从而进一步对其生成矩阵、 校验矩阵、维数、秩距离等进行了研究，并且给山了求线性秩距离码的最小秋距离 的方法对于本论文中定义的秩距离广义b c h 码，我们得到了其最小秩距离与其 校验矩阵的k 阶子式构成的行列式的非零性有关，即若其校验矩阵的任一k 阶子 式构成的行列式不为0 ，则它的最小秋距离为k + 1 ，同时我们也构作了一些极大秩 距离码最后，给出了q 循环码的两个实例 关于秩距离j “义b c h 码的校验矩阵的k 阶子式构成的行列式何时不为0 的 问题是今后有待进一步解决的问题 十循环码结构 t h ec o n s t r u c t i o no fa c y c l i cc o d e s a b s t r a c t ：t h et h e o r yo fr a j k kd i s t a n c ec o d e sa n dt h em a x i m u mr a n kd i s - t a n c ec o d e sw a 8i n t r o d u c e db ye m g a b i d u l i ni n1 9 8 5 a n dt h em e t h o do fd e t e r m i n i n gt h el n i n i l n u n lr a n kd i s t a n c eo fag i v e n c o d ea n d s o m ek i n d so fm a x i m u m r a n kd i s t a n c ec o d e sw e r ea l s og i v e n t h e nd uw e i z h a n ga n dw a n gx i n m e ih a v e p r o p o s e dt h er a n kd i s t a n c eb c hc o d e sa n dr a n kd i s t a n c er e e d - s o l o m o nc o d e s s i n c e2 0 0 1 w h e nt h eg i v e l lr a n kd i s t a n c eb c hc o d ei si n a 。x i n n l n lr m l kd i s t a n c e b c hc o d e ，t h ec o n d i t i o nt h a tr o o t so fg e n e r a t o rp o l y n o m i a lm u s ts a t i s f yw a s d i s c u s s e d w h e nt h eg e n e r a t o rp o l y n o m i a lo fag i v e nl i n e a rr a n kd i s t a n c ec o d e p o s s e s s e sg e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sr o o t ss e t ，t h es u m c i e n tc o n d i t i o nt h a tm a k e s t h eg i v e nl i n e a rr a n kd i s t m m ec o d ef o r m i n gr a n kd i s t a n c eb c hc o d ei sd i s c u s s e d t h ep r o b l e m so ft h em i n i m u mr a n kd i s t a n c eo f t h el i n e a rr a n kd i s t a n c e c o d e sa n dt h ec o n f o r m a t i o no ft h em a x i m u mr a n kd i s t a n c ec o d e sa r en o ts o l v e d w h e nt h es e to ft h er o o t so ft h eg e n e r a t o rp o l y n o m i a li sn o tc o n t i n u o u sr o o t s s e ti nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ec o n s t r u c t i o no ft h eq - c y c f i cc o d e sa n dg e tt h e m e t h o do fd e t e r m i n i n gt h er a n kd i s t a n c eo ft h el i n e a rr a n kd i s t a n c ec o d e a sa r e s u l tt h ep r o b l e m sr a i s e db yd uw e i z h a n ga n dw a x l gx i n m e ia r es o l v e dp a r t l y f i r s t l y ，w er e v i e wt h ed e f i n i t i o na n ds o m ei m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c so fa l i n e a r i z e dp o l y n o m i a l t h e nw eg i v eas i m p l ea l g o r i t h mo ff i n d i n gr o o t so fa l i n e a r i z e dp o l y n o m i a li na n yf i n i t ef i e l d st h e ya r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h eq - c y c l i c c o d e s s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ec o n s t r u c t i o no fq c y c l i cc o d e sw h i c ha r ed e f i n e d o nt h ef i n i t ef i e l dg f ( 矿) a n dg e tt h eg e n e r a t o rm a t r i x ，p a r i t yc h e c km a t r i x a n dd i m e n s i o n a l i t y a f t e rt h a tw es t u d yt h er a n kd i s t a n c ed e f i n e do nt h i sk i n d o fc o d e sa n dp r o p o s et h ew a yt od e t e r m i n et h er a n kd i s t a n c e n e x t ，t h ec o n c e p to fr a n kd i s t a n c eg e n e r a l i z e db c h c o d eo n , t h ef i n i t ef i e l d g f ( q ”、i sg i v e na n di t i ss h o w nt h a tt h em i n i m u mr a n kd i s t a n c ei sr e l a t e dt o n o n z e r oo f t h ed e t e r m i n a n to fa n yk - s u b m a t r i xo fi t sp a r i t yc h e c km a t r i x f i n a l l y , t w oe x a m p l e so fd e c i d i n gt h em i n i m u mr a n kd i s t a n c eo fr a n kd i s - t a n e eg e n