（计算数学专业论文）schrodinger方程辛和多辛fourier拟谱方法误差估计.pdf

摘 本文主要研究一类具有周期边界条件的非线性s c h r s d i n g e r 方程的高 效、精确、稳定的辛和多辛f o u r i e r 拟谱方法最优误差估计。 辛算法是保结构算法的一种，辛有保持体系结构的特点，在空间结 构、对称性和守恒性方面优于传统算法，特别是在稳定性和长期跟踪能力 上具有独特的优越性。 辛算法分为单辛算法和多辛算法。单辛算法是对只有一个辛结构的 h a m i l t o n 系统而言的，多辛算法是能保持h a m i l t o n 系统的多个辛结构的数 值方法。 f o u r i e r 拟谱算法可以借助快速f o u r i e r 变换( f f t ) 降低计算量：而辛 和多辛f o u r i e r 拟谱算法兼顾辛算法和f o u r i e r 拟谱算法的双重优点，是一 种高效、精确、稳定的算法。 本文考虑用辛和多辛f o u r i e r 拟谱方法来处理一类非线性s c h r s d i n g e r 方程的周期初边值问题。给出了辛f o u r i e r 拟谱格式，其中全离散格式时间 方向采用e u l e r 隐式中点格式；从微分矩阵的角度讨论了辛和多辛f o u r i e r 拟谱格式之间的关系：利用插值逼近理论以及广义稳定性引理，分析了辛 和多辛f o u r i e r 拟谱格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了 格式的收敛性质，得到了最优收敛阶；实际计算时，采用迭代格式；利用 快速f o u r i e r 变换处理非线性项，减少了计算量，数值结果表明了算法的 有效性。 本文第一章对辛和多辛算法的背景知识作了简单介绍，对辛和多辛 f o u r i e r 拟谱算法的历史及其发展进行了回顾。 第二章给出了误差估计中逼近和插值的一些理论，引入了投影算子， 给出了其收敛性质。 第三章研究了一类非线性s c h r s d i n g e r 方程辛f o u r i e r 拟谱半离散和全 离散格式，证明了格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了格 式的收敛性质。 第四章证明了一类非线性s c h r s d i n g e r 方程多辛f o u r i e r 拟谱半离散和 i 要 全离散格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了格式的收敛 性质。讨论了辛和多辛f o u r i e r 拟谱格式之间的关系。 第五章给出了数值算例，数值结果表明了算法的有效性。 第六章对本文的研究作了简单总结，列出了一些尚待去研究、具有重 要理论和实际意义的问题。 本文提供的方法也可应用于其他一些线性和非线性周期初边值问题。 关键词f o u r i e r 拟谱方法，辛，多辛，s c h r s d i n g e r 方程，最优误差估计 a b s tr a c t t h e p u r p o s eo ft h i sw o r ki st os t u d yo p t l 叫e r r o re s t i m a t e so fs y m p l e c t i ca n d m u l t i s y m p l e c t i cf o u r i e rp e s u d o s p e c t r a lm e t h o d sf o rn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u - t i o n sw i t hi n i t i a la n dp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s s y m p l e c t i ca l g o r i t h m sc a l lr e t a i nt h es t r u c t u r e so fh a m i l t o ns y s t e m a n d b es u - p e r i o rt ot r a d i t i o n a la l g o r i t h m si nt h es p a t i a ls t r u c t u r e ，s y m m e t r ya n dc o n s e r w t i o n ， e s p e c i a l l yi nt h el o n g - t i m es t a b i l i t ya n dt r a c k i n gc a p a b i l i t i e s f o u r i e rp s e u d o s p e c t r a la l g o r i t h m sc a l lr e d u c et h ea m o u n to fo p e r a t i o n sw i t h t h eh e l po ff a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ( f f t ) c o n s e q u e n t l y , s y m p l e c t i ca n dm u l t i - s y m p l e c t i cf o u r i e rp s e u d o s p e c t r a la l g o - r i t h m sa r ee f f i c i e n t ，a c c u r a t ea n ds t a b l en u m e r i c a la l g o r i t h m s t h i sw o r kf o c u s e so ns y m p l e c t i ca n dm u l t i - s y m p l e c t i cf o u r i e rp s e u d o s p e c t r a l a p p r o x i m a t i o n st on o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n sw i t hi n i t i a la n dp e r i o d i cb o u n d - a r yc o n d i t i o n s t h em a i na i mi st os t u d yo p t i m a le r r o re s t i m a t e so ft h ea l g o r i t h m s w ei n v e s t i g a t es y m p l e c t i ca n dm u l t i s y m p l e c t i cf o u r i e rp s e u d o s p e c t r a ld 涪 c r e t i z a t i o n s t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt w ok i n d so fs c h e m e sm e n t i o n e da b o v ea r e d i s c u s s e d t h es t a b i l i t i e sa n do p t i m a lc o n v e r g e n c eo r d e r so fd i s c r e t i z & t i o ns c h e m e s a r eo b t a i n e d n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so fa l g o r i t h m s i nc h a p t e r1 ，s o m eb a c k g r o u n dk n o w l e d g eo ft h ea l g o r i t h m si si n t r o d u c e d b r i e f l y t h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h ea l g o r i t h m sa r er e c a l l e d i nc h a p t e r2 ，s o m ea p p r o x i m a t i o n sa n di n t e r p o l a t i o nt h e o r i e si ne r r o re s t i m a ， t i o n sa r eg i v e n w ei n t r o d u c ep r o j e c t o ro p e r a t o r sa n dg i v et h e i rc o n v e r g e n c e s i nc h a p t e r3 ，s y m p l e c t i cf o u r i e rp s e u d o s p e c t r a ld i s c r e t i z a 土i o ns c h e m e so fa c l a s so fn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n sa r ec o n s t r u c t e d t h es t a b i l i t i e sa n do p 乞i m a lc o n v e r g e n c eo r d e r so ft h ed i s c r e t i z & t i o ns c h e m e sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，t h es t a b i l i t i e sa n do p t i m a lc o n v e r g e n c eo r d e r so fm u l t i - s y m p l e c t i c f o u r i e rp s e u d o s p e c t r a ld i s c r e t i z a t i o ns c h e m e so fa c l a s so fn o n l i n e a rs c h r s d i n g e r 1 1 1 e q u a t i o n sa r eo b t a i n e d t h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt w ok i n d so fs c h e m e sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r5 ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa x ep r e s e n t e da n ds h o w e dt h a tt h ee f f e c - t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m s i nt h el a s tc h a p t e r ，w es u m m a r i z et h em a i nc o n c l u s i o n so ft h ew o r k t h ef u t u r e p r o s p e c t sa r el i s t e d t h ea l g o r i t h m sd i s s c u s s e di nt h i st h e s i sc a na l s ob ee f f i c i e n t l ya p p l i e dt os o m e o t h e rl i n e a ra n dn o n l i n e a rp r o b l e m sw i t hi n i t i a la n dp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s k e y w o r d s f o u r i e rp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d ，s y m p l e c t i c ，m u l t i - s y m p l e c t i c ， s c h r s d i n g e re q u a t i o n ，o p t i m a l e r r o re s t i m a t e s l v 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行 的工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已发表或者撰写过的研究成果。参与同 一工作的其他同志对于本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：劫乃里 日期：刎f 舌 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许 论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 虢却乃里导师躲且乐7 腓刎“ 第一章引言 科学和工程中的大量问题归结为偏微分方程。为各种各样的偏微分 方程寻找精确、稳定、快速、高效的数值解法一直是计算数学工作者的重 要课题。偏微分方程有三大基本的数值解法：有限差分方法，有限元素法 和谱方法。而用这些数值算法来处理h a m i l t o n 系统时，往往会破坏它的辛 几何的对称性，特别是长时间数值模拟后，因其具有耗散的截断项而导致 能量耗散，所以，寻找一种能保持h a m i l t o n 系统辛几何结构的高保真算法 越来越受到人们的关注，在1 许多实际问题中有着重要的应用。 基于h a m i l t o n 系统的能保持系统辛结构的辛几何算法最早由我国已 故数学家冯康先生于1 9 8 4 年提出。 1 1辛算法的发展及其应用 1 9 世纪，英国物理学家h a m i l t o n 提出了h a m i l t o n 系统 ，j _ 鼍= ，_ 1v 。h c z ) ， 其中：r 2 - ，h c z ) 为h a m i l t o n 函数，代表所描述的力学系统的总能量， 为一守恒量，- ，为2 n 阶反对称矩阵。除能量守恒外，h a m i l t o n 系统还有 另外一个重要的性质是稳定性，即能保持对应流形的面积不变，称之为辛 性。能保持h a m i l t o n 系统辛结构的算法称为辛算法。冯康先生在辛几何算 法领域取得了斐然的成就： ( 1 ) 提出了基于辛几何的h a m i l t o n 算法及完整的理论框架。 ( 2 ) 提出了非线性算子的分式达布变换，并在此基础上发展了辛变换 的生成函数的理论。 ( 3 ) 系统地提出了用生成函数方法构造出任意阶精度的辛格式的方 法，分析了它们的守恒性。 ( 4 ) 从理论上清楚地阐明了传统的数值算法导致能量耗散的根本原 因是其具有耗散的截断项，建立了严格保持h a m i l t o n 系统辛结构盼差分 格式，证明了在长时问数值稳定性方面，辛算法具有独特的优越性，能正 1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 确的反应原系统的、定性的、拓扑的及结构的性质。辛算法是保结构算法 的一种，辛有保持体系结构的特点，在空间结构、对称性和守恒性方面优 于传统算法，目前，这一算法已引发了国际上大量的后继研究，也正在促 进天体物理学、分子动力学和流体力学等领域的计算革新，并将在更多领 域有更广泛的应用前景。 1 2 辛算法 辛算法分为单辛算法和多辛算法。 1 2 1 单辛算法 单辛算法是对只有一个辛结构的h a m i l t o n 系统而言的，辛h a m i l t o n 系 统的一般形式为： j z t = v ：日( z ) ，( 1 2 1 ) 其中2 r 2 n 。 式( 1 2 1 ) 满足辛守恒律和能量守恒律： 鬲du = 0 ，爰酢) = 0 其中u ( uv ) = ( j u ，y ) ，以v r 2 n ，日( z ) 为h a m i l t o n 函数。 我们称能保持辛守恒律离散形式的格式为辛格式。其中文【1 6 】对非 线性s c h r s d i n g e r 方程作空间离散，使其变为正则形式，建立了时间方向分 别为e u l e r 中点格式和l e a p - f r o g 格式的辛差分格式。 1 2 2 多辛算法 多辛算法是能保持h a m i l t o n 系统的多个辛结构的数值方法，b r i d g e ， r e i c h 和m a r s d e n 在多辛算法这一领域做了一系列工作，多辛h a m i l t o n 系 统的一般形式为( 为简单其见，只考虑一维的情况) ( 见【1 】) ： m z + k 缸= v ；s ( z ) ，( 1 2 2 ) 其中m ，k 为舻空间中的反对称矩阵，名舻，( z ，t ) r 2 ，s ：舻一r 为光滑函数。 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 ( 1 2 2 ) 式满足多辛守恒律： 妄u + 吴，c _ 0 ， ( 1 2 3 ) 瓦u + 瓦k 2 o ，( 1 2 3 ) 其中u = 寺如am d z ，c = 寺出ak d z ，符号a 表示外积。 我们称能保持式( 1 2 3 ) 的离散形式的格式为多辛格式。 多辛算法优化了偏微分方程离散，又能保持局部能量、动量守恒，研 究领域涉及气象学、非线性光学、固体力学、结构力学、流体力学、量子 力学、电磁学、宇宙学等领域( 见【1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 1 ) 。 许多作者对( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 式分别提出了用不同的数值方法来构造 辛和多辛格式，证明了相应格式的辛和多辛守恒律，并研究了多辛格式局 部能量、动量的误差估计。 1 3 辛和多辛f o u r i e r 拟谱算法 文f 2 】首次提出了辛和多辛f o u r i e r 拟谱算法。这种算法兼顾辛算法和 f o u r i e r 拟谱算法的双重优点，具有高保真、实施方便、计算量小等优点， 受到了关注。特别是辛算法有保持体系结构的特点，在稳定性和长期跟踪 能力方面具有独特的优越性；f o u r i e r 拟谱算法可以借助快速f o u r i e r 变换 ( f f t ) 降低计算量。 文f 7 1 建立了k l e i n g o r d o n 方程的辛和多辛f o u r i e r 拟谱半离散格式， 分析了辛和多辛f o u r i e r 拟谱半离散的关系，给出了全离散格式。文i s l 给出了一类非线性s c h r s d i n g e r 方程的半离散和全离散多辛f o u r i e r 拟谱格 式，证明了其格式满足个离散多辛守恒律。文【9 】分析了多辛f o u r i e r 拟 谱算法能量残差和离散整体能量误差。文 1 0 】则对带波动算子的非线性 s c h r s d i n g e r 方程多辛f o u r i e r 拟谱算法进行了详细分析；讨论了离散格式多 辛守恒性和局部、整体空间能量守恒性并给出其关于时间的局部能量守恒 律的误差估计。文【1 1 】对k l e i n g o r d o n s c h r s d i n g e r 方程组构造了辛差分 格式和多辛f o u r i e r 拟谱格式，证明了离散的电荷守恒律，对多辛f o u r i e r 拟谱格式的能量误差进行了分析。文【1 2 ，1 3 】把多辛算法推广到变系数的 情形，同时，对这一算法进行了初步的误差分析，得到了一些好的结果。 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 但文献中未见到针对辛和多辛f o u r i e r 拟谱算法关于解的误差估计，而从 数值计算的角度来看，这一点也很重要，因此，本文主要研究该算法解的 误差估计。 1 4 本文主要工作 本文主要用辛和多辛f o u r i e r 拟谱方法处理下面一类具有周期边界条 件的非线性s c h r s d i n g e r 方程，给出最优误差估计： + f ( 1 砂1 2 ) 妒= 0 ， 妒( 2 丌，) ， ( 1 4 4 ) 讥( z ) 给出了辛f o u r i e r 拟谱格式，其中全离散格式时间方向采用e u l e r 隐式 中点格式；从微分矩阵的角度讨论了辛和多辛f o u r i e r 拟谱格式之自j 的关 系：利用插值逼近理论以及广义稳定性引理，分析了辛和多辛f o u r i e r 拟 谱格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了格式的收敛性质， 得到了最优收敛阶；实际计算时，采用迭代格式；利用快速f o u r i e r 变换处 理非线性项，减少了计算量，数值结果表明了算法的有效性。 本文大致作如下安排： 本文第二章给出了误差估计中逼近和插值的一些理论，引入了投影 算予，给出了其收敛性质。 第三章研究了一类非线性s c h r 6 d i n g e r 方程半离散和全离散辛f o u r i e r 拟谱格式的稳定性，并在解满足一定光捃性条件下证明了格式的收敛性 质。 第四章研究了一类非线性s c h r 6 d i n g e r 方程半离散和全离散多辛f o u r i e r 拟谱格式的稳定性，并在解满足一定光滑性条件下证明了格式的收敛性 质。讨论了辛和多辛f o u r i e r 拟谱格式之间的关系。 第五章给出了数值算例，数值结果表明了算法的有效性。 第六章对本文的研究作了简单总结，列出了一些尚待去研究，具有重 要理论和实际意义的问题。 k i i | i 叫幻 0 z 讹认纵 ，、【 第二章预备知识 弟一早 耿冒刘以 本章主要给出一些准备知识。第一节给出了一些记号与约定。第二节 主要是逼近与插值的一些理论，引入了几个投影算子，并证明了其收敛性 质。第三节给出了几个常用事实。第四节给出了广义稳定性引理。 2 1 记号与约定 记，= ( 0 ，2 n ) ，l 2 ( ，) 上的内积和模分别记为( ，) 和0 ，对任意实数 7 0 和15q + o o ，我们用h ( ，) ：= 7 ，2 ( ，) 表示通常意义定义的s o b o l e v 空间，其模和半模分别记为”i i r 和i i ，蜱( ，) 是日( ，) 中周期为2 7 r 的 函数组成的一个子空间，取等价模和半模分别为： ，： 壹( 1w m ifi：f壹ill。倒ii,rl。f ( 2 1 1 ) ，= ( 1 + 1 2 1 2 ) 2 ，i u ，= 2 7 锄盯， ( 2 1 1 ) 其中 国= 磊1 u ( z ) e 卅。出 2 2逼近和插值 r 对于偶数，我们定义两个芸次实三角多项式的逼近空间为： = 卜) = 舻$ ：丽观州耶譬) ，、 i k l _ q 7 喵= = 善淞z ：面观l i f | 虿n 心一办 、 慨譬 7 其中”表示求和时最高次项的系数除以2 。 f o u r i e r 配置点记为： z 严擎， j ：o 州1 一，一1 ( 2 2 2 ) 巧2 百， j2u 州一，。v 一z j 5 k 矿 啦 。一 = zu 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 6 定义内积和离散内积分别为： 归z 孙毗 引理2 2 1 对于u 硝，有 ( 让，钞) = 万2 7 1 u i | i l u l l v 互l l u l l 证明令u ，口蟛，则有： ( u ，v ) n = u ( ) 丽= 万2 7 1 一l ff 二一一 j 2 0i t l _ n = 万2 7 1 n 刍- 1i 暑互。轳，= 2 丌，p 2 万il 、m = ：n 一l 砬。瓦e 岫+ 砬乒 j = o 一l u ( 巧) 蕊 ( 2 2 3 ) j = o ( a l e u x j ) 胚譬 j = o 2 丌( 邑也m _ m 地石砬审譬) 、等 7 2 丌( 邑嘶川呼譬) ， 、i m l 譬 7 其中最后两行用到了e 妇的正交性。而 ，1 2 霄 ( t ，御) = j 0 = c = z 2 霄 ( 锄e 池j ) 一l 砬赢e 池， j = o n l 砬万f tt 二一 j - - o ( 伽e 妇) ( o i e i l 。) d z l l 譬胚譬 如瓦e 妇出 i i 丢， t l c ( i ) ，t ，1 菇，有 l ( u ，口) 一( u ， ) i c ( 1 l u p n l u 0 + i i “一e 仳l i ) i i 训i 证明因为 ( u ，口) 一( u ，口) r i = i ( t 上，口) 一( p n i u ，秽) + ( p n 一1 u ，可) 一( t 正，v ) n 故结论得证。 i ( u p n l u ，可) + ( p n 一1 “一只u ，秒) c ( 1 l 一p n l 札i l + i i p n 一1 t l 一砭t l i l ) i | 口 c ( i i “一p n l 仳l | + l i u 一u l i ) i i 秽i i ， ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 2 3 常用事实 本节中，设r 是实数域，y 是定义在实数域上的n 维线性空间，y 中 元素用铭，秒表示。 令q r ，啦，优v ，则外积有下列性质： ( 1 ) 重线性： ( o e i u i + o z 2 t , 2 ) a t ，= q l ( u 1a v ) + 口2 ( u 2a ) ， t 正a ( q l 锄1 + c i f 2 u 2 ) = a 1 ( t 正av 1 ) + a 2 ( uav 2 ) ( 2 ) 反对称性： ( 3 ) 非退化性： ( 4 ) 零化性： t 王八口= - - u a t 上 vu 0 ，t a 口= 0 = 专口= o vt ua = 0 定义2 3 1 在v v 上定义一个双线性映射u ，我们称之为辛映射， 如果满足下列性质： ( j ) 非退化：即若对vt i v ，u ( u ， ) = 0 ，则口= 0 ， ( 2 ) 反对称：vt l ，口v ，u ( t 正，口) = 一u ( ，u ) 则称( ku ) 为辛空间，u 为辛结构 我们称能保持离散辛结构的格式为辛格式 取掣在配置点z = 巧处的值为： 掣：n - 1 可d k l ( x j ) 亍( 刖) j ， ( 2 3 1 7 ) 其中 ：( ，u l ，) t (，。：d k l 磊, t ( _ x j ) u u ou n - 1 d k ) j ，我们称d 女为k 阶微分矩阵。其中 = ( ，u l ，) (，。= j j - ，我们称d 女为 阶微分矩阵。 对于谱微分矩阵d 七与d l ，文【8 】证明了下面的引理成立： 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 引理2 3 1 ( 见 8 】) 对于谱微分矩阵d k - 9d 1 ，成立等式： ( 毗。= ( 毗n + ( _ 1 ) 抖“南心n ) 一掣n ， ( 2 3 - 1 8 ) 显然，当k 为奇数时，微分矩阵d 知是反对称矩阵，并且d k = ( d 1 ) 七；当k 为偶数时，微分矩阵d k 是对称矩阵，并且d k ( d 1 ) 七 定义2 3 2 一个2 n 阶矩阵s 满足： sj s = 3 、 其中j 为2 n 阶标准反对称菇阵，则称s 为辛阵 2 4 广义稳定性引理 ( 2 3 1 9 ) 引理2 4 1 ( 见【1 5 】)设m ，t ，c ，p 都是正常数，函数e ( t ) 满足下列 条件： p je ( t ) c o ，t 】，e ( t ) 0 ， 俐v 0 丁，若。m 。a x 。e ( 5 ) m ，则e ( ) p + c e ( 5 ) d s ， 俐e ( o ) p m e 一盯 则有： e ( t ) p e d ，vt 【0 ，t 1 引理2 4 2 ( 见【1 5 】)设7 _ ，t ，m ，c 和p 都是正常数，e 七是非负函 数，满足下列条件： 以，vn 丁t ，若。 m 七 ；) 且f c 1 ( r ) n h 。( r ) ，则有对于任意0 t t i i p ( t ) 一仇( t ) | | + i i q ( t ) 一q d t ) l l c n 一， 其中c 为仅依赖于p ，q 以及，在上述空间中的范数的正的常数 3 3 3 全离散辛f o u r i e r 拟谱格式稳定性分析 方程组( 3 1 1 ) 的全离散辛f o u r i e r 拟谱格式的一个等价形式是寻找 蜡= ( 露，露) r ( w ) 2 ，使得对于任何西n = ( 衅，哪) r ( 峭) 2 ，有 ( 掣，垂n ) ：( j 一1 吼( 5 ) ，圣n ) ， ( 3 3 1 2 ) 其中1 - 为时间步长。初值仍为插值处理。 格式( 3 3 1 2 ) 可写成： ( 掣，圣? ) 一( 以王+ 5 ) ，雪? ) j 、r ： ( ，( ( 露+ 5 ) 2 + ( 谚+ 5 ) z ) 露+ 砉，孵) j i v ， 一( 掣，西；) 一( 允。( 露+ 5 ) ，圣；) ：( ，( 暖+ 5 ) 2 + ( z + 5 ) 。) 蠢h ，圣；) ， 假定( 3 3 1 2 ) 中右端项有扰动扩= ( 贸，贸) r ( 喵) 2 ，钾= ( 龙，q 7 ) 7 有 扰动妒= 铲，矿) r ( 喵) 2 ，则有误差方程： ( 掣，圣n ) j ：( 厂- 吼( 矿+ 彩n + ) 一j - 1 吼( 5 ) ，圣n ) + ( 扩，圣n k ( 3 3 1 3 ) 在上述方程中取妒= ( 矿+ ，一矿+ ) t ( w ) 2 ，由引理( 2 2 2 ) 和( 2 2 - 4 ) 可得： 其中 万1 ( 1 l q n + 1 | j 知一0 矿| j 知+ i i v + 1i i 知一i i 矿l i ) ：( 厩”悖，矿) + ( 氚”，一 ) + 2 ( 开，町) ， 五“+ ：( ，+ ，) 矿+ ；+ ，蠢+ ，五乏“+ ：( f - t - f ) 矿+ + 昂? + ， 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 9 一一一- 。- ，= 厂( + + 矿+ ) 2 + ( 露+ + 矿+ ；) 2 ) 一，( ( 露+ ) 2 + ( 茹+ ) z ) 下面对非线性项进行分析。先看( 五考，矿+ ) 。由于 ( 。p c 昙, 矿；) i l i 厩i i 1 1 ( i i ( ，+ ，) 矿+ 1 1 j 4 - i i p o “+ i i ) 1 1 4 + ；1 1 | ， 只要分别分析括号内两项即可。而 i i ( ，+ ，) 痧时 i i j v i l y c c p ? + + 矿+ ) 2 + ( 裾+ + 矿+ ) 2 ) 1 1 i | 矿+ 1 1 | 、r q ( i f 矿+ ；1 1 ，i i 矿+ 1 1 ，| i 蠢+ 1 1 ，i i p 矿；1 1 ，i i 1 1 ) | | 矿+ ；1 1 ， i i 斌+ ；l i 剑 1 1 1 1 # + 1 1 i | p ? + l i 。q ( f i 矿+ 1 1 ，| i 矿+ 1 1 ，f i 贫+ 1 1 ，i i p ： + ；1 1 ，i i 1 1 ，i i ，i i 。) c l i p t m + 1 1 + | j 矿+ 1 1 ) ， 其中c ( ) 为与括号中项有关的常数。所以有： i ( 厩 ，4 - + ) j q ( i i 矿+ 1 1 ，i i w + 1 1 ，l | 蠢+ 1 1 ，i | 茈+ 1 1 ，i i 1 1 ，i l l ，i i ) ( i | 矿+ 1 1 + | f 矿+ 1 1 ) i i 矿+ 孤 同理可得， i ( 死，矿+ ) ，i c ( 1 i 矿 + 1 1 ，f l y + 1 1 。，j i 蠢+ 1 1 ，l l p 。 + 1 1 ，i i i i ，i i ，i i ) ( 1 l 矿+ 1 1 + i | 矿+ 1 1 ) f | 矿+ 瓠 只要，c 1 ( r ) ，器愁( | i 鳄| i + i i p ? l l ) c ，并假设 提瑟( f | 矿( s ) i i n + i | 矿( 5 ) f | ) n ， 则在 0 ，t 】上有： 1 1 矿 1 1 0 。c n l | 矿 f c n i i 矿| i a 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 ，l i y i i c n 1 1 矿1 1 c n ；i l y i l c ， 从而q 是有界的。 又因为 2 i ( 费，茁) i 埘( s ) 幅+ 峪( s ) 峨 + l i 矿l l 知+ i i 矿i i 知+ l i 矿+ 1i i 知+ i i 矿+ 1i i 知， 所以，有 知一1 i 知+ 呐i 知i i 矿l l ；，+ 嗍哺+ c ( 1 l c l i 知枷硎知) n = o 七一l + ( i | 蠡“i l 知+ i i 蟊”i i 知) 由引理( 2 4 2 ) ，只曼 七一1 1 1 铲1 1 知+ k + ( 恢“呱+ 峪呦c e - c r n 一， n = o 那么格式( 3 3 1 2 ) 在时间【0 ，t 】内稳定。 3 3 4 全离散辛f o u r i e r 拟谱格式收敛性分析 记矿：孵一砂一，其中矿“= 尸：一l 妒= ( p “，q 蚺) t ，则由( 3 1 1 ) 和 ( 3 。3 1 2 ) 并取圣n ：( 蠢+ 砉一q n + 砉，一砖+ + 矿n + ) 丁，有： 却醪+ 1 _ g 州i i 知+ i i 矿1 刁1 l i ；， 一i l 醪一g “| l 知一i l 龙一p n i i 知) = g ， 其中， g ，；( 氟n ，蠢一g n + ) + ( 豇“，一矿+ p 州 ) j + ( 葡n + i 1 矿一q 州) + ( 葡n ，罐如+ p 卅 ) + ( 磊j “，矿 一g ”件 ) + ( 露，一+ p 州 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 1 ；，( + ) 2 + ( ) ：) 贸一，( 驴a ) 2 + ( g 件) 2 ) 矿叶， ：，( ( 露+ ) 2 + ( 蠢+ ) ：) 谚+ 一，( 0 n + ) 2 + ( g n + ) 2 ) g “+ ， ：，( ( p 叶 ) 2 + ( g n + ) 2 ) p n + 一去( r 。( ，( ) 2 + ( 矿) 2 矿) + p 一l ( ，( + 1 ) 2 + ( g 1 ) 2 ) 矿1 ) ) ， ：，( 0 n + ) 2 + ( g n + ) 2 ) g + n + 一去( p 一1 ( ，( g 严) 2 + ( q n ) 2 ) q ”) +