（计算数学专业论文）二维不可压磁流体力学方程组的高精度数值模拟.pdf

捅斐磁流体力学( m h d ) 研究导电流体在磁场中的运动规律，其控制方程组由n a v i e r -s t o k e s ( n s ) 方程和m a x w e l l 方程组成本文用高精度算法对外加磁场作用下导电流体的流动进行了数值模拟首先，基于二维不可压流的涡量流函数方法，结合感应电流密度定义，给出二维不可压磁流体的涡量流函数电流密度形式方程组涡量方程的对流项采用五阶迎风紧致差分格式离散，控制方程组中的其它一阶导数项和扩散项采用四阶对称紧致差分格式离散流函数和势函数的p o i s s o n 方程采用四阶对称紧致差分格式离散，并结合超松弛迭代方法求解其次，数值模拟了磁流体力学经典的t a y l o r - v o r t e x 问题及外力作用下的磁流体力学精确解问题，验证了高精度紧致差分格式对不可压磁流问题的适用性和有效性并考察外加磁场作用下的平面驱动方腔流问题，验证磁雷诺数和哈特曼数的的物理性质在中高雷诺数下，观察外加磁场受到的感应磁场的扰动影响、流场的结构随哈特曼数增大发生的变化及时间延续磁场的稳定性；不同的磁雷诺数下，讨论了磁粘滞作用及磁对流、磁扩散效应对磁场结构产生的影响在上述研究工作的基础上，总结磁流相互作用机理并提出了下一步研究计划和展望关键词：不可压磁流体力学方程组；高精度紧致差分格式：涡量流函数一电流密度方法；导电流体；数值模拟：外加磁场a b s t r a c tm a g n e t o h y d r o d y n a m i c s ( m h d ) i st h es t u d yo ft h ee l e c t r i c a l l yc o n d u c t i v ef l u i d si nm a g n e t i cf i e l d s ，t h eg o v e r n i n ge q u m i o n si sc o m p o s e do ft h en a v i e r - s t o k e s ( n - s ) e q u a t i o n sa n dt h em a x w e l le q u a t i o n s i nt h i sd i s s e r t a t i o n h i g h p r e c i s i o nc o m p a c ts c h e m ei su s e dt os i r e u l a t et h ef l o wo fe l e c t r i c a l l yc o n d u c t i v ef l u i d si nt h ep r e s e n c eo fm a g n e t i cf i e l d s f i r s t l y , o na c c o u n to ft h es t r e a m v o r t i c i t yf o r m a t i o no ft w od i m e n s i o n a li n c o m p r e s s i b l en se q u a t i o n sa n dc o m b i n i n gw i t ht h ed e f i n i t i o no fi n d u c e de l e c t r i c i t y t h es t r e a mf u n c t i o n v o r t i c i t y - e l e c t r i cd e n s i t yf o r mo ft w od i m e n s i o n a li n c o m p r e s s i b l em h de q u a t i o n si sg i v e n t h ec o n v e c t i v et e r m so fv o r t i c i t ye q u a t i o na r ed i s c r e t i z e dw i t ht h ef j f t h o r d e ru p w i n dc o m p a c tf ds c h e m e s t h ed i f f u s i v et e r m sa n do t h e rt e r m sa red i s c r e t i z e dw i t ht h ef o u r t h o r d e rs y m m e t r i c a l l yc o m p a c tf ds c h e m e so fs e c o n dd e r i v a t i v ea n df i r s td e r i v a t i v er e s p e c t i v e l y t h ep o i s s o ne q u a t i o n sf o rs t r e a mf u n c t i o na n dv e c t o rp o t e n t i a la r es o l v e dn u m e r i c a l l yb yt h ef o u r t ho r d e rs y m m e t r i c a l l yc o m p a c tf ds c h e m e sa n ds o ri t e r a t i v em e t h o d s e c o n d l y , t h ec l a s s i ct a y l o r - v o r t e xp r o b l e ma n di n c o m p r e s s i b l em h dp r o b l e mi n c l u d -i n gf o r c et e r m sw i t he x a c ts o l u t i o na r en u m e r i c a l l ys o l v e d ，a n dt h ea p p l i c a t i o na n de f f i c i e n c yo fp r e s e n th i g ho r d e rf dc o m p a c ts c h e m e sa r et e s t e d t h ed r i v e nc a v i t yp r o b l e mu n d e rc o n s a n ta p p l i e dm a g n e t i cf i e l di si n v e s t i g a t e d ，a n dt h ep h y s i c a lp r o p e r t yo fr e y n o l d sn u m b e r ,m a g n e t i cr e y n o l d sn u m b e ra n dh a r t m a n nn u m b e ri sv e r i f i e d t h e n ，w eo b s e r v et h ep e r -t u r b a t i o no fa p p l i e dm a g n e t i cf i e l dt oi n d u c e df i e l d ，v a r i a b l ev e l o c i t yf i e l dw i t hi n c r e a s i n gh a r t m a n nn u m b e ra n ds t a b i l i t yo fm a g n e t i cf i e l df o l l o w i n gt i m eu n d e rm o d e r a t ea n dh i g hr e y n o l d sn u m b e r w i t hd i f f e r e n tm a g n e t i cr e y n o l d sn u m b e ht h ei n f l u e n c eo fm a g n e t i cv i s c o u se f f e c t ，m a g n e t i cc o n v e c t i o na n dd i f f u s i o nt om a g n e t i cs t r u c t u r ei sd i s c u s s e d b a s i n go na b o v en u m e r i c a lr e s e a r c h ，d e f i n i t em e c h a n i s mb e t w e e nf l u i df i e l da n dm a g n e t i cf i e l di so b t a i n e d t h ep l a nf o rf u r t h e rs t u d ya n do u t l o o ki nt h en e a rf u t u r ea l ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：i n c o m p r e s s i b l em a g n e t o h y d r o d y n a m i ce q u a t i o n s ；h i g ho r d e rc o m p a c td i f f e r -e n c es c h e m e ；s t r e a mf u n c t i o n - v o r t i c i t y e l e c t r i cd e n s i t ym e t h o d ；e l e c t r i c a lc o n d u c t i v ef l u i d ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ；a p p l i e dm a g n e t i cf i e l d主要符号对照表雷诺数磁雷诺数哈特曼数阿尔芬波数无量纲流函数无量纲涡量函数无量纲电流密度函数无量纲势函数水平方向无量纲速度竖直方向无量纲速度水平方向无量纲磁场强度竖直方向无量纲磁场强度导电流体的电导率导电流体的介电常数导电流体的磁介质常数导电流体的磁扩散率电磁力洛伦兹力电荷电量无量纲时间时间步长x ( 水平) 方向空间步长y ( 竖直) 方向空间步长空间步长i v胁肌御矽ujau口岛岛气比叩r毋口。出血衄独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：时i 3 ：腑妫油关于学位论文使用授权的说明本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。( 保密的论文在解密后应遵守此规定)研究生签名：丝导师签名：陋时间：溉勇油时间：锄埠猡1 1 研究背景及意义第一章绪论磁流体力学研究磁流体( 导电流体或等离子体) 在磁场中的运动规律磁流体是一种良好的功能材料，既具有液体的流动性，受到磁场作用后又具有固体材料的磁性鉴于磁流体的优良性质，其在工业生产、天体物理及核技术等领域内的应用日益广泛例如材料加工工业的半导体技术研究中，半导体在加热过程中不断地熔化，熔化产生的金属液体即为导电流体导电流体的流动过程受到磁场、流场和电场的共同作用，在外加磁场作用下发生电磁感应现象，在电场中运动时产生焦耳热：飞行器进入大气层后，由于激波的作用，空气对飞行器产生较强的摩擦力与飞行器表面相接触的空气受热发生电离成为导电流体，导电流体的流动是在磁场、流场和温度场的耦合场中进行的，利用外加磁场可以减小飞行器的阻力，降低飞行器产生的热损耗与磁流体力学研究相关的实际问题中，由于磁场和流场共同作用于导电流体，会出现许多复杂的物理现象，如磁场和流场耦合作用下产生的热效应、电磁感应效应等，因而必须考虑磁感应强度、感应电流及温度等物理变量对导电流体的对流和扩散产生的影响，当外加磁场很强而感应磁场又相对较弱时，可以忽略电磁感应效应，不考虑感应影响下磁场产生的小扰动在磁流体的相关实际应用中，考虑到磁场和流场的强耦合作用。可以借助外加磁场改善流场的结构，以达到控制流场的目的例如航空航天研究中。高超声速飞行器在高空飞行时外加适当的磁场可削弱飞机头部因空气电离粒子的干扰作用，使流动趋于有利于高空飞行的方向发展因而，对磁流体力学的深入研究 t - x s 有着重要的应用价值和深远的科学意义与传统流体力学相比，磁流体力学的研究涉及到的不单是流体的流动状态和流场结构的改变，还包括磁场和流场的相互作用，譬如电磁感应效应引起的流场结构的变化，磁场作用后引起的流动不稳定现象，因此需要深入的探讨磁流相互作用的具体机理导电流体在外加磁场中流动时受到磁场的电磁力作用，产生感应电流和感应磁场，从而对外加磁场产生扰动作用；同时，流动也要受到外加磁场和感应磁场相互叠加磁场的影响，磁场可以抑制或加速导电流体的流动在外加磁场较强的情形下，可忽略感应磁场的作用，将问题简化为只受电磁力影响的非线性系统在实际应用中，鉴于实际问题的复杂性和多变性，需要考虑影响流动的各个冈素，当流场结构发生变化时，粒子的磁性会加强或减弱，忽略磁场的扰动影响不能真实的描述导电流体的流动在研究磁流相互作用问题时，模拟实验可以考证磁场和流场发生的变化，但是随着流体r e y n o l d s 数、m a g n e t i cr e y n o l d s 数及h a r t m a n n 数的增加，流场和磁场会发生剧烈的变化，发展为更为复杂的动力学系统，模拟实验已不能精细的描述流场结构的改变和磁场发生的扰动与之相比，数值模拟研究可以获得精细的数据和详实的数值图示，有助于定性和定量的分析磁场和流场的基本性质在传统流体力学的研究基础上，对磁流体问题进行深入的数值模拟研究是必要的，具有重要的经济价值和理论意义1 2 磁流耦合效应磁流体力学问题中，导电流体在外加磁场作用下受到电磁力的作用，磁场会影响流场的流动；同样，由于受到流场的惯性力和粘滞力作用，粒子发生迁移和加速，粒子的磁性增强或减弱宏观上表现为空间点的磁场强度由丁空间位置的不同而不同，随着时间的延续磁场结构发生变化导电流体系统添加磁场作用时，其流动过程变成更为复杂的磁场和流场相互作用的过程，所考察的动力学系统系统转化为一个非线性耦合系统电磁力将描述导电流体流动的动量方程和描述磁场演化的磁场控制方程耦合起来，在不考虑电场力作用的前提下，宏观系统受到的电磁力实质上就是微观粒子的洛伦兹力的整体反映，因而电磁力主要表现为洛伦兹力作用导电流体在外加磁场中运动受到洛伦兹力作用发生电磁感应现象，产生感应电流、感应磁场，空间离散点处产生的感应磁场就是该离散点磁场强度的扰动量，此时的磁场是外加磁场和感应磁场的叠加磁场随着时间的演化，感应磁场不断发展，对外加磁场产生扰动作用，磁场随之产生扰动，洛伦兹力对流场的作用加强或减弱，导电微粒的流动会加速或被抑制；在添加热壁的磁流耦合阀题中，感应电流会产生焦耳热，影响流场的对流换热作用因而，磁流耦合效应是流场和磁场结构发生变化及产生流动不稳定现象的主要原因借助磁流耦合效应改变导电流体的流动状态这一特点，可以利用外加适当磁场克服流动过程中产生的不利冈素，从而达到改善流场结构的目的1 3 数值研究综述磁流体力学涉及到的主要问题，包括导电流体在磁场作用下受到洛伦兹力和电场力的共同作用，发生电磁感应现象产生感应磁场和感应电流及感应磁场对外加磁场的扰动等问题通过外加适当的磁场，如变方向、变频率或周期性磁场，可以加强或抑制感应磁场，控制流场流动，避免导电流体在流动过程中出现不稳定现象：与磁流体有关的对流换热问题中，在磁场和流场相互作用下，导电流体产生焦耳热，外加适当的磁场会产生热损耗或达到降低热损耗的目的鉴于此。近几年来受到研究人员的广泛关注 i - 1 7 1 1 3 1 研究现状国内外研究人员仍然从实验研究、理论分析和数值模拟三个方面对磁流体进行研究，研究结果基本一致磁流体力学的实验研究为具体的研究导电流体在磁场和流场的耦合场中的基本性质提供了依据；理论分析有助于清晰地认识导电流体的相关性质，往往基于实验研究和数值模拟得以顺利开展由于导电流体在磁场作用下受到电磁力作用，外加磁场冈感应磁场的干扰作用而不断发展，流体的流动变的复杂、能量衰减，导致流体的流场结构发生剧烈的变化，而导电流体流动的具体作用机理尚不清楚，实验数据又相对模糊；在实际的材料加工、核技术等应用中，需要对导电流体进行详实、精细的研究，数值模拟可以提供定量和定性的分析尺度，有助于控制复杂磁流体流动现象，尽量克服不稳定流动现象的发生，因而成为重要的研究手段之一描述磁流体力学的模型方程是n a v i e r - s t o k e s 方程和m a x w e l l 方程，除了具有磁性，导电流体与一般流体有着极大地相似之处基于p d e 算法研究的成果，传统流体力学在高精度算法方面的研究又相对成熟，因此磁流体力学的数值研究工作可以依托传统流体力学进行结合实验数据和数值模拟提供的参考数据，理论研究也得以更好的开展，以全面推动磁流体力学的发展，因而开展磁流体力学的数值模拟研究是必要的和有效的按照研究对象的不同，磁流体力学的研究工作主要分为两类，一类是等离子体的无粘可压缩磁流，另一类是液体金属的粘性不可压缩磁流目前，关于导电流体的不可压缩粘性流的研究工作有如下几个重要方面：2( 1 ) 涉及剑有温度场的磁流体相关问题时，导电流体在磁场中除了受到洛伦兹力作朋，同时产生焦耳热效应，引起流体的流动换热现象李强、宣益明【“l 在矩形槽道内对导电流体横掠热丝的对流换热性能进行了测试，考察了不同属性( 均匀和梯度磁场) 、强度和方向的外加磁场引起的对流换热，并对实验结果进行了探讨分析张晓晖和魏琪【1 5 j 用有限体积方法对矩形槽内导电流体的对流换热现象进行了数值模拟研究，数值结果表明电磁力对对流换热有控制作用，外加磁场强度足够大之后，电磁力是流体流动的主要驱动力，换热强化，此研究是在高宽比限定为l ：2 的矩形槽道中进行的，到矩形槽道的形状发生变化时，磁流换热的具体机理还有待考察( 2 ) 数值模拟方面，磁流体力学与传统流体力学相似，主要涉及到对流方程、对流扩散方程、对流扩散反应方程、p o i s s o n 方程的求解基于传统流体力学的研究t 作，人们提出了一系列解决磁流体力学问题的算法【3 l _ 47 1 s l a n k a l a p a l | i 等( 鹞1 提出了自适麻有限元法，模拟了磁流体“倾斜不稳定问题”，该方法可以推广应用到可压缩理想无粘磁流体力学问题h a n a v a r r o 等【4 4 l 基于传统的交替方向隐格式提出了改进的p r 格式，将该方法应用丁磁流体驱动方腔问题的数值模拟中，数值结果与文献【3 1 】、f 3 7 】是一致的还有一些学者针对对流占优问题提出了诸多高分辨率格式，并且大部分研究工作均是对磁流体力学控制方程进行直接数值模拟，主要考查不同外加磁场作用下流场结构发生的变化及磁场的演化( 3 ) 关于导电流体在洛伦兹力作用下加剧或抑制流体流动方面的研究。n b s a l a l l 等f 3 7 】用有限元方法对三维外加磁场作用下磁流体驱动方腔问题进行了精细的数值模拟研究，考察了不同物性参数下，磁场对流体流动的干扰及外加磁场和感应磁场之间的相互作用在外加磁场的低磁雷诺数问题中，可以忽略电磁感应效应，即采用所谓的“准静态”假设，这种假设满足的依据是感应磁场对流场的影响相对于外加磁场极其微弱，这个假设对一部分实际问题是适用的ay u g e l f g a t 等【4 2 l 考察了固定磁场作用下的对流换热问题，忽略了感应磁场对流场的作用，但是强磁场作用会引起导电流体的震荡不稳定现象，如何添加适当磁场克服或抑制震荡不稳定现象是当前研究的热点s s m o l e n t s e v 等【4 3 】对弱外加磁场下的磁流体流动进行了数值研究，流场流动几乎不受电磁感应效应的影响，可以忽略洛伦兹力对流场的干扰作用，但必须考虑感应磁场引起的外加磁场的扰动，这些简化工作在实际应用中是切实可行的( 4 ) 此外，关于外加磁场作用下流场的发展趋势及磁场和流场的稳定性也是当前研究的重点之一外加同定的强磁场时，较大的电磁力将导电微粒周定在磁力线上，称为“磁冻结”现象，此时的外加磁场几乎不受感应磁场的扰动影响导电微粒在强均匀磁场作用下运动一段时间后，磁场仍然表现为初始状态的外加磁场，强磁场抑制了微粒的流动，这在一些实际应用中是有利的磁场强度过大时，导电流体的流动变的极其不稳定，各个方向的性质发生剧烈的变化，出现各向异性性质【1 6 】ay u g e l f g a t 等【4 2 】对矩形腔内固定外加磁场作用下自然对流换热问题中流动的稳定性进行了数值研究，验证了磁场对流场的抑制作用，并探讨了如何外加适当磁场保证对流的稳定性鉴于磁流体各向异性的出现及相关问题的复杂性，此方面的研究工作还有待深入1 3 2 数值研究方法目前，不可压缩磁流的数值研究是基于不可压缩流的研究工作f 4 8 一删开展的在所考察的问题不是相当复杂的情形下，数值模拟的研究结果为探讨导电流体的具体作用机理提供了详实的数据，可以定量和定性的分析磁流耦合问题中导电流体在磁场和流场中的性质k r z e m i n s k i 等【3 l 引入矢量势和涡向量，采用有限差分九点格式模拟了管道内的导电流体流动；s e k h a r 等【8 l 基于涡3绪给量一流函数方法研究了外加磁场与来流方向一致时，低磁雷诺数卜导电流体球体扰流的定常问题；s h u c 和l i n 7 l 将原始变量方法与a d i 算法相结合用于解决磁流耦合问题；随后，又有研究人员阻】对p r a d i 算法加以改进。并将其应用到低磁雷诺数的磁流体问题当中不可压磁流体的控制方程组由n s 方程组和m a x w e l l 方程组构成，磁场和流场的相互作用中必须充分考虑到不同的物性参数( 雷诺数、磁雷诺数、哈特曼数、阿尔芬波数) 及不同强度、方向外加磁场对流动产生的影响，因而对数值研究的精准度要求较高：并且外加一定强度的磁场时，流场在不断演化，外加磁场也不断受到感应磁场的扰动影响，因而数值模拟的工作量加大低精度数值方法只能粗略的考察磁流相互作用现象，不能精细的反映磁流相互作用的具体机理、流场结构的变化：再者低精度方法的分辨率较低，过犬的离散误差会导致数值耗散、磁重联现象或引起数值的伪振荡。高精度紧致数值方法冈其高分辨率、高效率和强稳定性等受到酱遍重视，对磁流体力学的研究相当适用，可以用于模拟磁流体力学问题，系统的研究和探讨磁流相互作用机理、流场结构的变化及导电微粒流动的发展趋势因此，采h j 高精度、高分辨率算法对不可压缩磁流体问题进行数值模拟是有利的1 4 本文主要研究工作当前，国内外研究人员提出了解决不可压缩磁流体力学问题的诸多方案，但大部分数值模拟工作都是基于低精度数值方法开展的，不可压缩磁流体问题涉及到磁场和流场的耦合求解，数值计算工作量较大，用高精度的数值方法模拟不可压缩磁流体力学问题可以提高计算效率本文基于传统流体力学的数值研究工作，借助二维不可压流的涡量流函数方法，结合电流密度定义，给出了二维涡量流函数电流密度形式的不可压磁流体力学方程组，采用高精度紧致差分格式f 5 l - 5 4 】进行数值模拟研究具体数值模拟中，涡量方程的对流项采用四点五阶的迎风紧致格式。电流密度方程的对流项及非齐次项中的一阶导数项均采用四阶对称紧致格式，扩散项采用四阶对称紧致差分格式流函数和势函数的p o i s s o n 方程采用四阶对称紧致差分格式离散，应用超松弛迭代方法进行数值求解首先，为检验高精度方法对不可压缩磁流体问题的适用性，对二维周期性边界i n c o m p r e s s i b l em h d 方程组进行了精准的数值模拟，并验证了高精度紧致差分算法对外力作用下的磁流体力学精确解问题的有效性；随后，采用本算法对外加磁场下的驱动方腔进行了数值模拟考察了不同雷诺数、磁雷诺数、哈特曼数、阿尔芬波数对磁流耦合系统的影响作用；最后，结合不同物性参数下高精度算法的数值结果，分析磁场和流场相互作用机理：随着时间的延续，探讨一定物性参数下磁场和流场的稳定性结合上述研究结果，总结磁流耦合系统中存在的动力学特性并与相关研究工作对照，验证结论的正确性，提出下一步研究计划47 j ：i j 、了：f - ir + f j 沦乏：j ；节i 个，；j ：i ：j f 一：；i ：一：i ：| j ：孜一1 u ：i ：，j 哩0r q l第二章二维不可压磁流涡量流函数一电流密度方程组不可压磁流体力学研究磁流体( 又称导电流体) 在磁场中的运动规律，其控制方程由不可压流的n s 方程组和描述电磁感应现象的m a x w e l l 方程组构成与传统流体力学的不可压流的n - s方程组不同，导电流体在外加磁场中运动时受到电磁力作用电磁力项将不可压的n - s 方程组与电磁学的m a x w e l l 方程组耦合起来，构成非线性封闭系统本章基于二维不可压涡量流函数形式n s 方程组的提出，结合电磁学中的电流密度定义，给出二二维不可压m h d 的涡量一流函数电流密度形式方程组2 1 不可压磁流体控制方程2 1 1电磁学基本理论及控制方程电磁学是物理学的一个重要分支，主要研究电和磁之间的关系，下面就电磁学的基本理论做简单介绍：( 1 ) 电学高斯定理电学高斯定理实质上是数学上的高斯定理在电学中的应用，描述电场中闭合曲面内电通量的来源和守恒性质电学高斯定理指出：通过任意一个闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电荷电量的代数和，闭合曲面外的电荷不影响曲面内部的电通量其数学表达为v d = p e ( 2 1 )其中风表示电荷电量的代数和对各向同性的电介质，介电常数相等，即d = c e e ，电学高斯定理也可以表达为v e ：丝( 2 2 )e ：e( 2 ) 磁学高斯定理与电学高斯定理类似，磁学高斯定理刻画了磁场中闭合曲面内磁通量的守恒性质因为磁场中的磁力线都是闭合曲线，从而构成闭合曲面，那么穿过任意闭合曲面的磁通量恒等于零，这就是磁学高斯定理，其数学描述为v b = 0 ，( 2 3 )磁学高斯定理说明磁单极子是成对出现的，如果有磁力线进入闭合曲面，必有磁力线沿着闭合曲面的另一个方向离开闭合曲面，因此磁感应强度的散度为零( 3 ) 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述这样一种运动，闭合电路的一部分导体在磁场里做切割磁感线运动时，磁通量发生变化，产生感应电动势，导体中产生感应电流而楞次定律指出，闭合回路中感应电5第审纷1 、j 忆i ：i ；j ，：；：一五嘲故一i 匕，：_ ： ! _ 以l流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁场的磁通量的变化，其数学表达式为v e = 一箬，( 2 4 )( 2 4 ) 中负号正是楞次定律所阐述的内容，楞次定律说明沿某一个方向外加磁场作用增强或减弱时，会产生相反方向的感应磁场，以抑制或加强外加磁场的增强或减弱，保证导体内磁通量守恒( 4 ) 安培环路定律对闭合曲线所包围的环路，环路上的磁感应强度由环路内外电流产生，环路所包围的电流由环路内电流决定，这就是安培环路定律数学上表示为v h = z( 5 ) 欧姆定律欧姆定律阐述了电场中电流密度的产生和来源。广义欧姆定律的微分描述为j = 吼( e + u b ) ，( 2 5 )( 2 6 )其中a r e 表示电导率在受到电场力作用时，电流密度是导体本身所带电流和导体在磁场中运动时产生感应电流的矢量和( 6 ) 洛伦兹力点电荷运动时，在其周围形成磁场当另外一个电荷靠近正在运动的点电荷时，除受到点电荷的电场力作用外，还会受到点电荷磁场的作用力，即洛伦兹力在磁场强度为b 的磁场中，一个电量为口、速度为u 的电荷受到的洛伦兹力为耳= q u b ，( 2 7 )o忽略电荷与电流的相互干扰以及一些复杂情况，在无外加磁场情形下，电磁力表现为洛伦兹力作用，写为更为普遍的形式疋= j b 。( 2 8 )2 1 2 流体力学的控制方程组流体力学的基本方程由连续性方程、动量方程和能量方程组成，反映了物理学的三大守恒定律，即质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，详实的描述了一般流体的流动规律鉴于本文所考虑的问题，此处只给出质量守恒方程和动量守恒方程那么不可压磁流问题对应的质量守恒方程和动量守恒方程为筹mv u 钢2 u 一去唧+ v u = 0 ( 2 9 )6。j ：蛆j 、一、；jf 1 i ! i ；f ji ：乏鹚t i f 0 ：ji l ! t ，i i 、，? ，：? ；：一：l j ：l0 2 一i l ；i ：垮生f 1 | ，1 【与不可压n s 方稃组相比较，不可乐m h d 方稃组的动量方程中包含电磁力( 疋) 作h j 项由( 2 8 )可知，动量方程中涉及到磁场强度b ，磁场的改变会引起流场结构的变化2 1 3 磁场演化方程综合电磁学基本知识，m a x w e l l 方程组由电学高斯定律、律和安培环路定律组成v d = p e v b = 0 v e = 一等，vxh=z假设导电流体满足各向同性性质磁学高斯定律、法拉第电磁感应定( 2 1 0 )抄= e e d ，b = p 。日，( 2 11 )结合欧姆定律( 2 6 ) ，由( 2 1 0 ) 、( 2 11 ) ，得磁场控制方程箬= v 川删邶2 8 ，v b = 0 ( 2 1 2 )其中叶= 去，称为磁扩散系数2 1 4 不可压磁流体的控制方程组结合流场控制方程( 2 9 ) 和磁场控制方程( 2 1 2 ) ，可以给出描述不可压缩磁流体的数学模型：酱+ u - v u = 壶( v 删xb - ! p v p + p v 2 玩等= 栌b + v 川渊，( 2 1 3 )v u = 0 v r = n首先，对( 2 1 3 ) 进行无量纲化，选取无量纲坐标= 暑，可7 = 芒，z = 毫，无量纲时间矿= 去，无量纲速度u = 瓦u ，无量纲磁场b 7 = 瓦b ，无量纲压力p ，= 靠，厶如，u o o ，b o o ，p o 分别表示流场的特征长度、时间特征量、来流速度、来流磁场强度和来流压强无量纲化后的不可压磁流体的7j ：呸，、4 、? ：t f j ，i 夸乏奠j争释1 、t jj 0 ，：f i ：i f ，：l ：i i 向t t f n ：聿：生力f 1 1 7 i i控制方程为警彬v 儿去v 2 n 蹦+ 罴卜v 可口d 针筹= 志v 2 卧v 巾，) ，( 2 1 4 )v u 7 = 0 v b 7 = 0 其中雷诺数r e = 警，表示流体所受到惯性力和粘性力的比值；磁雷诺数r e m = 盯e p e 厶表示磁流体对流强度和扩散强度的比值( r e i n o ，3 车l + 1 8 + 9 瞄1 j = 型坠型i 坠甚垫丝出，t 0 图3 6 为r e = 1 0 、r e m = 1 0 、a x = 击、a y = 嘉及t = 0 5 时刻磁场强度毋的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右) 图3 7 为r e = 1 0 、r e m = 1 0 、a x = 去、a y = 嘉及t = 0 5 时刻磁场强度岛的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右) 图3 8 为r e = 1 0 、r e m = 1 0 、a x = 嘉、a y = 去及t = 0 5 时刻速度t 的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右) 图3 9 为r e = 1 0 、r e m = 1 0 、a x = 去、a y = 斋及t = 0 5 时刻速度秽的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右) 图3 1 0 为r e = 1 0 、r e i n = 1 0 、a x = 去、a y = 去及t = 0 5 时刻，速度在水平线 ，y = ；) 上的数值解和精确解，左右图分别为z ，秒方向上的速度图像图3 1 l 为r e = 1 0 、r e m = 1 0 、z = 嘉、a y = 去及t = 0 5 时刻，磁场强度在水平线( z ，y = ；) 上的数值解和精确解，左右图分别为z ，耖方向上的磁场强度图像上述算例是关于时间的周期性问题，时间演化周期为2 7 r ，为验证算法关于时间方向的精确性，考察速度和磁场关于时间的周期性性质，选择r e = 1 0 、r e m = 1 0 ，在2 1 2 1 网格下，追踪空间点z = 斋，y = 击，数值模拟了从t = 0 到t = 4 r r 该空间点随时间变化的数值图像图3 1 2 为速度场在空间点( 斋，击) 随时间演化的周期性图像左图为速度u 图像，右图为速度移图像表3 2 给出了t = 1 5 时刻，不同网格剖分下涡量和流函数的最大误差、r m s ( r o o t - m e a n s q u a r e ) 误差及收敛阶1 9j ：避j 、。? l i ，l 。f j + 泠乏镌j 2 停0 、；t3l k 钲矗：龟 、，j 力 ? 舅i f i ，j ：州：午彳分 备， =图3 6r e = 1 0 、r e m = 1 0 、a x = 嘉、! ，= 嘉及= 0 5 时刻，磁场强度玩的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右)f i g u r e3 6m a g n e t i cf i e l dc o n t o u r sn u m e r i c a l 一既a n de x a c t - 成a tt = 0 5f o rr e = 1 0 、r e m = 1 0图3 7r e = 1 0 、r e m = 1 0 、z = 面1 、a v = 丽1 及t = 0 5 时刻，磁场强度b y 的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右)f i g u r e3 7m a g n e t i cf i e l dc o n t o u r sn u m e r i c a l 岛a n de x a c t - b va t = 0 5f o rr e = 1 0 、r e m = 1 0图3 8r e = 1 0 、觑f n = 1 0 、缸= 嘉、a f = 丽1 及t = 0 5 时刻，速度t 的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右)f i g u r e3 8v e l o c i t yc o n t o u p 3n u m e r i c a l - t a n de x a c t - ua tt = 0 5f o rr e = 1 0 、r e m = 1 0。；：哑j 、。；：1 1 1 ) , i j ? f i 分工：飘i 翠一2 小t ，j kk ? j 。，+ 乃f ? ；的：i # 令，j 分 - 1 图3 9r e = 1 0 、r e m = 1 0 、。= 嘉、a y = 嘉及t = 0 5 时刻，速度u 的数值解的等值线( 左) 和精确解的等值线( 右)f i g u r e3 9v e l o c i t yc o n t o u r sn u m e r i c a l t ，a n de x a c t - l ，a tt = 0 5f o rr e = 1 0 、r e m = 1 0，图3 1 0r e = 1 0 、觑m = 1 0 、z = 丽1 、a v = 丽1 及t = 0 5 时刻，速度在水平线o ，耖= ) 上的数值解和精确解，左右图分别为z ，暑，方向上的速度图像f i g u r e3 1 0v e l o c i t yc o m p o n e n t sa tt = 0 5f o r x ，= 、r e = 1 0 、觑m = 1 00 5t 碡m口，0 0 0“矗憎，图3 1 1r e = 1 0 、& m = 1 0 、a x = 嘉、掣= 嘉及= 0 5 时刻，磁场强度在水平线( z ，暑，= ；) 上的数值解和精确解，左右图分别为z ，耖方向上的磁场强度数值图像f i g u r e 3 1 1m a g n e t i c f i e l d c o m p o n e n t sa t t = 0 5 f o r x ，= 、r e = 1 0 、觑m = 1 02 1帕“帕p伸啡慵姗循日图3 1 2f i g u r e3 1 2表3 2r e = 1 0 、r e m = 1 0 、a z = 去、可= 嘉，( 击，击) 点处速度场随时间的演化图像左右图分别为z l 方向一卜的速度场数值图像v e l o c i t yc o m p o n e n t s w i t h t i m e f o r z ，掣= 击、r e = 1 0 、r e m = 1 0 、a x = 南、分= 嘉t = 1 5 时刻不同嘲格剖分下涡量和电流密度的最大绝对误差、r m s 误差和收敛阶t a b l e 3 2e r r o r sw i t ht h er a t eo fc o n v e r g e n c ef o ru ，jf o rd i f f e r e n tg r i d sa tt = 1 5由表3 2 可知，随着网格的增大，数值误差未按一定的比例较小，本文给出的高精度算法精度降低，可能是因为电流密度方程中外力项的影响作用，这并不能否定算法的高效性，观察算例l 及算例2 的数值图示，说明高精度算法对不可压磁流体力学问题是有效的和适用的另外，图3 1 2 证明了空间内一点随时间呈2 7 r 周期，数值解和精确解充分接近由于此问题磁场和流场结构的相似性，此处不再给出磁场随时间变化的周期性图像3 7 本章小结本章给出了高精度紧致差分算法及其实施的基本思想具体的数值模拟中，时间方向采用显式三步三阶t v d 型r u n g e k u t t a 方法推进，空间导数采用高阶紧致格式离散其中，涡量方程的对流项采用四点五阶迎风紧致格式，二阶导数项及其它一阶导数项均采用四阶对称紧致格式p o i s s o n 方程采用四阶对称紧致格式离散并结合s o r 方法进行迭代求解数值求解了不可压m h d的t a y l o r - v o r t e x 问题及含外力的m h d 精确解问题，充分验证了高精度紧致算法对不可压m i l d 的有效性和适明性鸹川外蛳嵫场f 1f i 卜、j 力，j ：汽2 州t 敬f f 谗拟第四章外加磁场作用下平面驱动方腔流的数值模拟在本章的研究t 作中，考虑外加磁场作用下驱动方腔内不可压缩枯性磁流体的流动假定一个长宽均为l 的平面方腔内充满粘性不可压缩导电流体，上壁面以速度u = ( 缸，t ，) = ( ，( z ) ，o )沿水平方向向右运动，下壁面和左右壁面同定考察不同r e y n o l d s 数、m a g n e t i cr e y n o l d s 数和h a r t m a n n 数下，流场结构的变化、磁流相互作用机制及感应磁场对外加磁场的扰动作用具体的数值计算中，采用第三章提出的高精度紧致算法，磁场和流场的初始值给定，借助涡量和电流密度定义，涡量和流函数的初始值采用有微小扰动的初始条件4 1 物理模型描述此问题的控制方程为二维非定常不可压缩粘性磁流体力学方程( 2 2 1 ) ，计算区域q =【0 ，1 ；0 ，l 】边界条件为lt l = ，p ) ， = 0 ，玩= o ，b y = l ，妒= o ，a = o ，耖= 1 ， u = 0 ，钞= 0 ，玩= 0 ，岛= 1 ，妒= 0 ，a = 0 ，z = 0 ，1 ，( 4 1 )【= 0 ，t ，= 0 ，忍= 0 ，岛= l ，妒= 0 ，a = 0 ，s ，= 0 此处，( z ) = 4 x 2 ( 1 一z 2 ) ，在上壁面z = 砺处水平方向速度达到最大值u m a x = 1 cy = y m a xdx = y = oqa x = 砌a x图4 1外加竖直方向磁场的平面驱动方腔示意图f i g u r e4 1d r i v e nc a v i t yu n d e rv e r t i c a lu p w a r dm a g n e t i cf i e l d当无外加磁场作用时，为不可压缩粘性流的经典平面驱动方腔问题，可以采用涡量一流函数方法处理，诸多学者 1 8 , 2 1 , 2 7 , 2 9 对平面驱动方腔问题进行了深入的数值研究本文在此基础上，考察外加竖直向上的同定磁场b = ( 0 ，1 ) 时，方驱内导电流体的运动规律本章沿z ，耖两个不同方向计算时取等步长，即a x = a y = h 4 2 涡量边界和电流密度边界为了防止边界处理带来的数值发散，涡量边界和电流密度边界采用四阶精度的数值格式，保证了数值模拟中边界和内点时间步进上的一致性参照第三章给出的涡量、电流密度在边界处的四阶精度数值格式那么方腔四个壁面处涡量、电流密度的数值格式为蛳，= 1 1 i3 i ( t 5 讥j - 1 6 妒t ，+ 忱一百2 1 如，刁一钆t ，j + 忱，j ，帅= 丢 嘉砒, o - 1 6 蚶蚍，+ 铲2 1 ，。卜蜥地z ) ，= 丢 未吵n , j - - 1 6 砂n - i j4 - 虮2 卅2 1j 卜4 甜n - i j + w n - 2 , j ，岫= 丢 嘉仇, m - - 1 6 也, m - 1q - 虹2 ，一缸十姚, m - t + 啪一z ) ，j o , j 一- - 丢 嘉c 1 5 a o , j - 1 6 a 1 j + a 2 , j ) 一警叫一4 j l , j + 咄j i , o 丢 嘉a , o - 1 6 a i , t + a t , 2 ) + 警叫一4 d , 1 + 吣j n , j 丢 嘉c 1 5 a n j - - 1 6 a n - 1 j + a n - 2 j ) + 警， - 4 j n - i , j + 札，) ，j i , m 丢 嘉t 1 5 a i , m - - 1 6 a , m - i + 铀_ 一警十4 j , m - 1 + 如一2 ) 4 3 物性参数传统流体力学模型中，描述流体流动的物性参数主要是r e y n o l d s 数，它表示流体微粒受到的惯性力和粘性力的比r e y n l o d s 数越大，流体受到的惯性力相对于粘性力越大流体流动的驱动力越强，微粒之间的粘滞作用逐渐被克服，流动状态由层流发展为湍流对不可压缩磁流体，描述导电流体流动的物性参数有r e y n o l d