（计算数学专业论文）两类各向异性非协调元的超收敛性分析.pdf

摘要 本文第一部分主要考虑在各向异性网格下用矩形单元对二维空间中二阶椭 圆边值问题进行逼近。利用一些新的技巧及单元构造的特殊性，证明了两类单 元的超逼近性及超收敛性，得到了三类导数超收敛点，即单元的中心，节点与边 中点最后，我们给出了数值算例来验证我们的理论分析其数值结果与我们 的理论分析是相吻合的该文的结果对发展后验估计及设计数值求解二阶问题 自适应算法是很有意义的 关键词：各向异性；非协调有限元；点态现象；超逼近；超收敛 a b s t r a c t t w ok i n d so fr e c t a n g u l a re l e m e n t sa r ec o n s i d e r e dt os o l v et h et w o - d i m e n s i o n a la n d s e c o n d - o r d e re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo na n i s o t r o p i cm e s h e s b yu s i n gs o m en o v e l t e c h n o l o g ya n dt h ed i s t i n c tp r o p e r t i e so ft h e s er e c t a n g u l a re l e m e n t s w ei n v e s t i g a t es u p e r - c l o s ea n ds u p e r c o n v e r g e n c eo ft w oc l a s s e so fe l e m e n t s t h r e ek i n d so fd e r i v a t i v es u p e r c o n - v e r g e n c ep o i n t sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , w el i s tal o to fe x a m p l e st oc o n f i n n o u rt h e o r e t i c a l a n a l y 8 i 8 o u ra n a l y s i si sh e l p f i l lo fd e v e l o p i n gp o s t e r i o r ie s t i m a t e sm e t h o da n dd e s i g n i n g s o m ea d a p t i v ea l g o r i t h m so fn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rt h es e c o n do r d e rp r o b l e m s 。 k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i c ；n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ；p o i n tp h e n o m e n o n ；s u p e r - c l e s e ；s u p e r c o n v e r g e n c e 郑重声明 v 7 8 3 0 4 3 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明 学位论文作者：i t 已一 w 年缸月俭日 引言 有限元方法的数学理论通常可追溯到1 9 4 3 年c o u r a n t 的工作 1 1 ，他考虑了基 于三角形网格剖分的d i r i c h e t 问题的分片线性逼近在我国，计算数学家冯康先 生首先独立于西方发明了这种方法近年来，随着计算机的蓬勃发展，有限元方 法的研究也蒸蒸日上从2 0 世纪6 0 年代至今，经过4 0 年的研究和发展，有限 元方法已成为一门理论完善、应用广泛的数值计算方法 有限元方法的基本原理是将原始问题转化为变分形式，即弱形式在较弱的空 间矿上求解，然后构造出能逼近变分问题求解空间的有限维空间k ，一般将求 解区域n 剖分成许多小片，构造分片多项式，进而在有限维空间求解，这种方 法称为有限元方法若v hcv ，这种有限元称为协调有限元；若k 仁v ，这种有 限元称为非协调的非协调有限元一度被称为非标准的，囡它求出的解甚至根 本不属于原来的空闻y 但近年来的数值实验和理论分析说明这种方法在某些 意义下有较好的收敛效果国内这方面的研究比较突出，如石钟慈院士建立的 专门用于非协调元的收敛性估计的广义分片检验方法【2 l 】比【3 】中的方法容易操 作，解决了众多非协调远的收敛性验证工作 在传统有限元方法的研究中，剖分的正则性或拟一致性【4 ，5 l ( 即鍪c 或 = h c ，这里k 为剖分单元k 的直径，p k 为k 的最大内切圆直径，h = i l l d , x 耳h k ，元= m i n 置h x ，c 是一个常数) 是传统有限元方法进行理论分析的前提条件但最近的 一些研究成果 6 - 9 l 表明，这种假设对一些窄边有限元和各向异性元并非是必要 的同时有些问题定义在窄边区域，如果用正则性剖分，计算量将非常大；另一 方面有些问题的解呈各向异性，即沿某个方向解变化非常剧烈，而沿另外方向 解变化乎缓，这时采用各向异性单元剖分，求解的效果会更好关于这方面的研 究，法国的a p e l 作出了杰出的贡献在其专著【9 中，他将这方面的工作作了系 统的总结，提出了一个各向异性判别定理最近，文 1 0 】对a p e l e 9 l 的方法进行 了改进，给出了一种更易于操作的方法 如今，有限元计算虽然已经有了很多软件，但这只是有限元发展的一面为 了算得即快又准，还必须将软件建立在更精密的数学机理上，针对一些具体的 网格，建立精确的误差分析是提高效率的基础林群先生等【i i l 利用积分恒等式 技巧在广义矩形网格之下对多种矩形元进行了系统且深刻的分析，但基本都是 在正则条件下的结果，对于某些类型的矩形元我们可以通过另外的方法证明其 收敛性，主要基于两点t 一个是充分放松阿格所受的限制；另一个是充分挖掘单 元的构造特性 本文的写作安排如下t 第一章：介绍预备知识，列举本文所用到的记号和定理 第二章：分析两个各向异性非协调元的超逼近性质，并由此得到超收敛的结果 给出了相应的数值算例，计算了相应的超逼近性、收敛性及超收敛性的数值结 果 第三章：数值积分对= 阶椭圆问题有限元计算的影响及误差分析 2 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及一些记号 设舻为n 维欧氏空间，n 为毋中的区域p ( 固( 1s p 。o ) 表示一切定义 在n 上的p 次可积函数组成的集合工* ( n ) 表示一切定义在上n 的本性有界的 可测函数组成的集合妒( n ) 为b a n a c h 空间，l 2 ( n ) 为h i l b e r t 空间c “( n ) 表 示区域n 上次连续可微的函数组成的集合g ”( n ) 表示q 区域上无穷次连续可 微函数组成的集合，筒记c o ( a ) 为g ( q ) 记区域n 上的偏微分算子d 。= d ? 1 职“，其中n = 击m n n 为非负整 数口= ( d 1 1 - ) 称为n 重指标，记川= 口1 + + + 0 l 。 定义1 1 定义范数 l ，( 啦= ( ，n i 性( z ) i p 如) 言， 1 p 0 0 ， 0 u | | l 一( 锄= e s s s u pi t ( z ) i ，p = o o $ “ 定义1 2设跣。( n ) 为区域n 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，u 碳( n ) 如果存在”碾( n ) ，使得 z ”蛐2 ( 一1 ) 1 - 1 z ”c d x ，v 留( 蛾 ( 1 1 ) 则称”是u 的阶广义导数，并记为”= d n ” 设m 为非负整数，1 p o o ，函数空间 依范数 w ”9 ( 0 ) = t ：d 。酽( n ) ，j qj m ) i 牡i i n ，一。上p u ) j ， 1 口l r a 。 i i 仳l i m ，一。i “。l 8 1 m0 d 。训i 。，* ， 3 1 p o o( 1 2 ) p = o o 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间并定义半范数 。，= ( i d n u i 如) ；，l p 。o i a i = m m ，。o2 m a x e s ss 御u pi d a u ( ) i ) i p 2 。 1 6 j = mz n 咿9 ( n ) 为c 铲( n ) 按范数。p 在空间内的完备空间，则w ，( n ) 也是一个b a n a c h 空间 记 日“( n ) = w i n , 2 ( n ) ，l 口( n ) = w g 2 ( n ) ， | i = 。，i i - | i = | | o _ ，i f 。= f r i 。j 则日”( n ) ，珊( n ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( u ，口) m = ( 扩u ，矿 ) ，u ，。妇”( n ) 1 a l _ m 定义1 3 设x 和y 是两个线性赋范空间，如果x c y ，并且把茹x 映为 i x y 的恒等算子j 是连续的，即存在常数m 使得 i it - x l l ysm t l z l l x ，v z x 称x 嵌入y 。记为x y ，又称，为嵌入算子，m 为嵌入常数 s o b o l e v 嵌人定理设qc 毋为有界区域，其边界搠是局部l i p s c h i t z 连续 的，m ，k 为非负整数，1 p o ，则存在常数 c = a ( n ) 0 ，使得 “| i l 沪s a ( 陬i l l p + j 正钍幽i ) ， u w 7 1 廖( n ) ， 1 s p o o ( 1 ，5 ) 特别地，当“硪( n ) 时，此不等式给出了硪( q ) 中范数与半范之间的等价性 则有 1 1 i i o 口口i u i l ，p ， w 苫9 ( n ) ， 1 p ( 1 6 ) 广义格林公式 设“，口h ，( q ) 尉 上“蠢如一上”丝0 x i 出+ 厶u ”c o s n ，劫折， ( ，7 ) 其中n 为锥形条件区域，摊逐段光滑，7 为外法线方向 豸u 日3 ( n ) ， 日1 ( n ) ，贝 五“鑫如= 一上”象如 设“h 2 ( n ) ，”h 1 ( n ) ，在格林公式( 1 7 ) 中用貉代替“后对i 个变量求和，则 有 上娄器是如- 互如”如+ 厶誊呐。 c - 固 由( 1 8 ) 知，对v u ， h 2 ( n ) 成立 上( u a v - v a u ) d z = 厶( u 赛一”筹) 折 用“代替u 得 上a u a v 出= f a a 2 u v 妇一z 。等n 嘶+ 厶u 考研 广义格林公式是把微分算子理论和有限元法分析中非常重要的基本法则， 应用这个法则把微分方程纳入泛函框架，从而用泛函分析研究微分方程，研究 有限元 1 2 有限元空间的一些性质 微分方程数值解法的实质是用有限维空间逼近无限维空间，从而将在无限维 空间中求解的问题离散化为一个近似的有限维空间中的问题有限维近似空间 的选取方法有很多种，我们常用的近似空间就是有限元空间，它是建立在区域 剖分基础上满足一定约束条件的分片多项式空间 在区域矗建立一个剖分 ，将而分割为有限个具有l i p s c h i t z 连续边界的相 互之间没有公共点的、内部非空的有界闭集k 之和，即a = u k ：k j h 耳称 为剖分单元，h = m a x d i a m r ：r ) ，称为剖分直径常用到三角剖分、矩形剖 分任意四边行剖分等剖分形式。 定义1 5有限维空间k 称为相应于剖分 的有限元空间，如果对每一个 k j h ，集合p k = 扫：p = u h i k , v v h k ) 是k 上的某一多项式类，并且存在一 个自由度集合耳= 1 t ) ，它是唯一可解的，即任给h ，1 t ) ， 存在唯一一个函数p p k 满足 l ( p ) = q ，1 i 三元集合 k ，p k ，e ) 称为个有限元这里一般要求属于某个s o b o l e v 空间 常用结果是 k = = t j 日m ( n ) ：v h 耳p k ，k 厶) c 日m + 1 ( n ) 6 定义1 6 给定有限元 k ，p k ，e k ) ，称k 为u 伊( ) ( s 是x 中出现的最 高阶偏导数的阶数) 的攻一插值，如果 i i k v p k ，t ( i i k v ) = z ( 口) ，v k ( 1 9 ) 此时1 i x ：h 。( 耳) 一琢就称为一擂值玩为相应于剖分五的有限元空间， 称 为口日。( q ) 到一插值，如果 i i h v h ，t ( 1 l h vk ) = l ( i i k v ) ，v k ( 1 1 0 ) h ：日。( n ) 一k 就称为k 一插值算子 定义l 。7 两个有限元 x ，& ，研和 霞，螽，称为仿射等价的，如果存在可 逆的仿射变换f ：叠詹一。= f ( 2 ) k ，使得 k = f ( 霞) ，p = p = 口。f - 1 , 霞 ， e = k ：“与) 定义形式一致，金) 一族有限元称为仿射族，如果所有有限元都仿射等价于某一参考有限元 霞，良，金 定义1 8 剖分 是正财的，如果存在正常数，y ，使得 筹- o ( 1 1 2 ) 逆不等式设剖分 是拟一致的，是 上的分片多项式函数，1 r ，口 o o ，l m ，则存在常数c = c ( o ，7 ，l ，m ，r 口) ，使得 ( i i m q 庙耳，t 1sg _ i l 巾，詈一封硝一m ( j 珊i i r ， 耳jr i ，( 1 1 3 ) e j h k j h 当r = q = 2 时，则有 ( i t j j 轰，耳) g 一”( i v h f f , 耳) ，( 1 1 4 ) k 嚣e j 7 由此可得有限元空间v hcw 1 一( n ) 上的一个常用的逆不等式 l i v h l h ，p c h i l v h l l o p ，1 p = ，b 幻v - 对任何，存在唯一解t v ，且1 1 t 1 1 r 圳州 对问题( 1 2 0 ) ，显然v 和口( ，) 满足l a x - m i l g r a m 定理的条件，因此( 1 2 0 ) 的解 存在唯一问题( 1 2 1 ) 中需要适当定义，n 一( ，) ，及k 上的离散模i h ，使其 满足l a x - m i l g r a m 定理的条件 离散问题的具体计算方式为： 设 - ，如，如) 为的一组基，将u 展成= “；也0 ) 代入( 1 2 1 ) ， 并依次取口= 奶( 1 j ) ，则得到关于u 。，u 2 ，u 的线性方程组 n ( 也，奶) i = ( ，也) ，j = 1 ，2 ， b l 9 其中a = ( ) ( = 口 ( 晚，锄) ) 为总刚矩阵 钆( ，) 的强制性保证了此方程组唯一可解，解出u 。，- ，- ，“”代入“一的展 开式即得到原问题的有限元近似解 设n 的边界触分片属于c 1 ”，微分算子是一致椭圆型，则存在常数p o 使得 椭圆边值问题( 1 1 9 ) 的解“w 2 ，( n ) n 暇，c a ) ，p 2 ，且有先验估计 l l “i i z 。，n c ( p ) l l f l o ，n 下面考虑有限元逼近的误差分析，即“一和“在某一空间范数下的误差i i u u 。m 对于协调元， ( 1 2 1 ) 中的虮( ，) 取为o ( ，) 即可并有下面的误差估计t 傩d 引理如果口( t ， ) ，f ( v ) 满足l a x - m i l g r m 定理的条件，则离散问题有唯 一解，且 1 一h g 瓤i u 一垤h ( 1 2 2 ) 其中i b 为能量模，川，一= ( o ( ”，”) ) 由于f l h u v h ，结合插值逼近定理和c e a 引理可锝到协调元的能量模误差估 计i u u h h ， 进而，利用n i t s e h e 对偶技巧可以得到u 一“一的p 模估计 对于非协调元而言，k 仁v ，若可找到更大的空间s v 且s ) v h ，这时双 线性型n ( ，) 扩展到s s 上的一个延拓a ( ，) ，f 可以扩展到，使得 a ( t ， ) = o ( u ，口) ，v u ， k 冗 ) = ，( ) ，v 此时( 1 2 1 ) 中的虮( ，) 取为a ( ，) i 怯即可，如取钆( ) = v t 乳d x 并有下 x 一 面的误差估计； s t r a n g 引理设a ( ，) 为s s 上的连续双线性型，并且满足强制性， 则离散问题有唯一解，并有估计式 u - - “h 怯g ( 。i n 。f 。i “一v h l l s + 。s u 。p h 坦生生掣) ( 1 2 3 ) 其中j i 恬= ( a ( ”，”) ) j ，右端第一项为插值误差，第二项为相容误差插值误差可 由插值逼近定理估计，相容误差可由非协调元分析的标准技巧来估计 】0 b r a m b l e - h i l b e r t 引理【1 目设n 是舻中一个开集，边界满足l i p s h i t z 条件，对 某些0 和某些数p 【0 ，o o ) ，( 日州炉( n ) ) ( h k 1 t p ( n ) 的对偶空间) 有 ，( p 女) = o ，坳 p k ( n ) ， 那么，存在常数c ( 踊，使得 i f ( u ) l c ( n ) l l f l l ? 。+ 。i “l k + l 。，v u 日+ 1 1 9 ( q ) ， 其中l t ，为( 日1 p ( n ) ) 上的范数 设f i ：( 霞) 一户，七1 是有限元插值算子，满足 ( f i o ) = 盂( o ) ，i = l ，2 ，m 怕p 棚。) 是一个多重指标，则伊也是詹上的多项式空间，设d i m d - 3 = r ) 是伊声的一组基则伊( f l o ) 加户可表示成 d 。( 血o ) = ( o ) d 。丘= 岛 ) 白( 1 r 2 4 ) t = 1 j = 1 显然，蠡是 伊囊难。的线性组合，而岛( o ) 是似o ) 拯。的线性组合设 岛( o ) = 啦( o ) ( 1 + 2 5 ) i ；l 则由( 1 , 2 4 ) 和( 1 2 5 ) ，我们有 岛p ) = 啦( o ) = 啦( n o ) ) = 卢j c f i ( o ) ) =i=l 各向异性基本定理【1 0 ) 【13 1 ：在上述表达下，如果岛( o ) 能表成 岛( 。) = 乃( d 。0 ) ，1 j m ， 其中乃( 伊( ) ) ，1 ，j m ，同时b ( 霞) c 加户，z ( s 一1 ) ，则存在常数c ( j ) 满 足； d 。 一j ，立sc ( 詹) i d 。血i l + l 。宜，0st l + 1 ， v 色日i 。i + 1 ，膏 3 1 引言 第三章数值积分 考虑二阶问题 k 耄耄璺 ， 其中q 为有界凸多边形区域 与之等价的变分形式为t 求u 日3 ( q ) ，使 8 如， ) = ，( ) ，v 日3 ，( 3 2 ) 其中a ( u ， ) = f nv u v v d x d y ，( ) = 如f v 如d y 由微分方程正则性理论，v f l 2 ( n ) ，问题( 3 2 ) 有唯一解“h 2 ( q ) ，且叫bs i f l o ，n 对n 作各项异性的矩形铷分 ，考虑五节点元，有限元空间为 昭= 托o = 口。户，肭如= 0 ，vz c ) ， 其中f 表示单元的边，h 】表示跨过单元边界的跳跃值，当f c 砌时，h 】- 地 显然幺v ，即有限元空问为非挤调元空同 ( 3 2 ) 的离散格式为求u h 聊，使得 a h ( u h ，) = ，( 嘶) ，vv h 昭，( 3 3 ) 其中a h ( 让h ，v h ) = 。，kv u v v d 2 d y 点车 由有限元误差估计，能量摸 i t 一“ j l ， c 乙煦卜咖+ s u p 丛掣) 如忆怯 2 6 3 2 使用数值积分时的有限元格式及收敛性估计 此节将考察数值积分对五节点元逼近二阶问题，我们将证明其日1 和工2 误 差估计 采用先对歹做五节点元插值歹，然后用具有四次代数精度的数值积分公式 来代替，相当于将，) 替换成新的形式， ) 来计算，修改了的离散格式为 a h ( h ，v h ) = ( 虮) ，v h ( 3 4 ) a ( v h ) 为借助于对四次多项式精确成立的数值积分公式按下式计算 ( ) 2 ；厶，如d y2 莓蚤批h f ( q t ) _ 其中坝为权函数，q 为九个高斯积分点 引理3 1 设“，分别为( 3 2 ) 与( 3 4 ) 之解，则 卜叫 c ( 。i n f 吒i 。_ , u h 1 , h - i - 溉掣+ 器訾) 证明由a h ( u ，) 的强制性，v 碥，有 i u h u h i 。h = n ( t 一 舢u h 一饥) = 8 ( 锹一口+ 牡一地，搬一) = “( u h - v h ) _ ，( u h 灿盖厶象嘞) d s + 。( u 咄m 嘞) i 厶( t 一v h ) 一，( n 一口h ) i + 叫s u p 。h i 量厶蒙( d 8 i + 口( “嘞m 哪 所以 阻一u h h ， h v h h + i u h 一1 1 6 剑亲矗l u - - u h l l , h u h l l , h - + - 溅挲+ 器紫) s a ，溅盥f ：_ + 勰业斧) 由u “k 的任意性引理得证 引理3 2 当f h 1 ( n ) 时，有 s u p ，避掣c h l l f l l 坤 h 蛛 w h l l h 证明由s c h w a r z 不等式，二次插值的等价性和非协调元p o i n c a r e 不等式吼嘲 有 f ( w h ) 一， ( ”一) i = i 善上( ，一 i f ) ”n 如咖 l i f h f l o x i l w h l l o ，耳 sc h l f l l n l l h l l o n 由w h 碥中的任意性，引理成立 c h l f l x ，n t h h ，n 引理3 3 设u 为( 3 2 ) 之解则t 俨( n ) 在各向异性网格下v w h 昭分别成 立成立下列相容误差估计， i 是。蠹象啪i c 批，n i 吼程刚h n t w h ， 定理3 1 设u t a h 分别为( 3 2 ) 与( 3 ，4 ) 之解，则当f h - ( o ) 时 i “一u h l ，h c h l l f l l l ，n 利用共轭技巧，可得口模误差估计 定理3 2 设t ，t 分别为( 3 2 ) 与( 3 4 ) 之解，则 i i t l t 地j i m o c ( h l u u h l l , h + i i f n f l l o n ) 证明记e = 乜一“一，则e 硪( n ) ，利用共轭技巧及微分方程理论，存在 嘲( n ) 使 d ，”) = ( e ， ) 硪( n ) 并且怕忆n i l e u o ，n | l e | 1 3 n = o ( ，u 一 ) = d ( 一“ ，一1 1 w ) + a ( u 一 ，h w ) s 陋一锄f l ， f 甜一w i l ， + 正，( 皿一i i f h w ) d x d y j c i 1 2 ，n i 一u h l t ，h - i - i i i l f i f l l o ，n l l l w l l o ，n c h l w l 2 ，n i 一u a h ，h + i i f i i f l l o n ( 0 一w l l o ，n - i - i i 1 1 0 n ) c h l w h ，n i u u h l l ，h + i f r l f l l o a ( c h 2 1 1 。o l l 2 ，n4 - i i t o l l o ，n ) sc h l w l z n l u u h l l ， + c l l f 一，i jo i n | | 2 ，n c l l e l l o ，n ( i “一u h h + i i f n f l l o ，n ) 由此定理得证 推论3 1 ( 1 ) 当，土产( q ) 时，0 u 一| jo n c h 2 i l f l l 2 ，n ； ( 2 ) 当，h 1 ( n ) 时，0 一缸h | i o ，n 曼c ”，8 1 日 证明由插值估计 i | ，一1 1 1 1 0 ，n c h il l i 。f 1 v ，h 5 ( n ) ，( s = 1 ，2 ) ， 及定理3 1 ，定理3 2 可得 参考文献： 1 r c o u r a n t v a r i a t i o n a lm e t h o d sf o rt h es o l u t i o no fp r o b l e m so fe q u i l i b r i u ma n dv i b r a - t i o n s b u l l a m e r m a t h s o c 1 9 4 3 ，4 9 ，p p 1 2 3 2 p g c i a r l e t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d o re l l i p t i cp r o b l e m ，n o r t h h o l l a n d ， a m s t e r d a m ，1 9 7 8 3 s c b r e n n e r l r s c o t t t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r k ，i n c ，1 9 9 8 4 z c s h i t h ef - b m t e s tf o rc o n n e r g e n l - e n o n c o n f o r m i n gf i n r ee l e m e n t m a t h c o m p ， 1 9 8 7 ( 4 9 ) ：3 9 1 4 0 5 5 f s t u m m e l t h eg e n e r a l i z e dp a t c ht e s t ，s i a mj i n u m e r a n a l 1 9 9 7 ( 1 6 ) ：4 4 9 - 4 7 1 6 t a p e l ，m d o b r o w o l s k i a n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o nw i t ha p p l i c a t i o nt ot h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d c o m p u t i n g ，1 9 9 2 ，4 7 ( 3 ) ：2 7 2 9 3 7 a z e m s e k ，m v a n m a e l e t h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r yf o rn a r r o wq u a d r i l a t e r a li s o p a m m e t r i c f i n i t ee l e m e n t s ，n u m e rm a t h ，1 9 9 5 ，7 2 ( 1 ) ：1 2 3 - 1 4 1 8 t a p e l ，g l u e a n i s o t r o p i cm e s hr e i i n e m e n ti ns t a b i l i z e dg a l e r k i nm e t h o d s ，1 9 9 6 ，7 4 ( 3 ) ： 2 6 1 2 8 2 9 t a p e l a n i m t m p i cf i n i t ee l e m e n t s ：l o c a le s t i m a t e sa n da p p l i c a t i o n s ，b g t e u b n e r s t u t t g a r t ，l e i p z i g ，1 9 9 9 1 0 s c c h e n d y s h ia n dy c z h a o a n i s o t r o p i ei n t e r p o l a t i o na n dq u a s i - w i l s o ne l e m e n t f o rn a r r o wq u a d r i l a t e r a lm e s h e s ，i v i a n u m e r a n a l ，2 0 0 4 ，( 2 4 ) ：7 7 - 9 5 1 1 林群，严宁宁高效有限元构造与分析，河北大学出版社，1 9 9 6 1 2 李开泰，黄艾香，黄怀庆有限元方法及应用修订本西安交通大学出版社 1 9 9 7 1 3 陈绍春各向异性有限元的一些结果，第九届全国高校计算数学会议报告， 2 0 0 0 ，l o ，武汉； 1 4 t a p e l ，s n i c a i s e c r o u z e i x - r a v i a t tt y p ef i n i t ee l e m e n t 8o na n i s o t r o p i cm e s h e s n u m e r m a t h ，8 9 ( 2 0 0 1 ) ，1 9 3 - 2 2 3 1 5 t a p e l ，m 、d o b r o w o l s k a n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o nw i t ha p p l i c a t i o n st ot h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d c o m p u t i n g ，1 9 9 2 ( 4 7 ) ，2 7 7 - 2 9 3 1 6 a z e n i s e k ，m v a n m a e l e a p p l i c a b i l i t yo ft h eb r a m b l e - h i l b e r tl e m m ai ni n t e r p o l a t i o n p r o b l e m so fn a r r o wq u a d r i l a t e r a li s o p a r a m e t r i c f i n i t ee l e m e n t s ，j c o m p a p p l e ，m a t h ， 6 3 ( 1 9 9 5 ) ，1 0 9 - 1 2 2 1 7 s c c h e r t ，y c z h a oa n dd y s h i a n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o n sw i t h 印p l i c a t i o nt on o n - c o n f o r m i n ge l e m e n t s ，a p p l n u m e r m a t h ，4 9 ( 2 0 0 4 ) ，1 3 5 1 5 2 1 8 s c c h e n ，d y s h i ，g b r e n t h r e ed i m e n s i o nq u s s i - w i l s o ne l e m e n tf o rf l a th e x a h e - d r e nm e 日h e s ，j o fc o m p m a t h ，2 2 ( 2 0 0 4 ) ，1 7 8 - 1 8 7 1 9 d y s h ia n ds c c h e r t c o n v e r g e n c ea n a l y s i so fn o n c o n f o r m i n ga n i s o t r o p i cf i n i t ee l m e n t ， j c m ，2 0 0 5 ，( t oa p p e a r ) 2 0 d y s h ia n ds c c h e n a na n i s o t r o p i cr e c t a n g u l a re l e m e n tw i t hs u p e r c o n v e r g s n c er e - s u l t s ，j c m ，2 3 ( 3 ) 2 0 0 5 ，2 6 1 - 2 7 4 2 1 d y s h i y r z h a n g r e c t a n g u l a rc r o u z e i x - r a v i a r tt y p en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t a p p r o c i m a t i o nt os t o k e sp r o b l e mw i t ha n i s o t r o p i cm e s h e s a c t a m a t h e m a t i c as c i e n - t i n ，2 0 0 5 ( t oa p p e a r ) 2 2 d y s h i ，n ，z h a n g , x h ，l i a n i s o t r o p i c , m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs t o k e se 啡l a _ t i o n s e m a c2 0 0 3p r o c e e d i n g so f5 t hi n t e r n a t i o n a lc o n f e s so ni n d u s t r i a la n da p p l i e d m a t h e m a t i c s 2 3 朱起定，林群有限元超收敛理论，湖南科学技术出版社，1 9 8 9 2 4 c m c h e n s t r u c t u r et h e o r yo s u p e r c a n v e r g e n c ed ，f i n i t ee l e m e n t ，h u n a ns c i e n c e a n dt e c h n o l o g yp r e s s ，2 0 0 2 2 5 z z h a n g n y a ha n dt s u n s u p e r c o n v e r g e n c ed e r i v a t i v er e c o v e r yo ft h ei n t e r m e d i a t e f i n i t ee l e m e n tf a m i l yo ft h es e c o n do r d e r ，j m aj o fn u m e r a n a l ，2 0 0 1 ( 2 1 ) ，6 4 3 6 6 6 2 6 h d h a r t n