（计算数学专业论文）一类非线性椭圆方程正解的存在性.pdf

一类非线性椭圆方程正解的存在性 计算数学专业 研究生王鹏 指导教师蒲志林( 教授) 论文摘要：本文研究r n 中有界开集s2 上的带有不定权且含有临界位势的非线性 椭圆方程 也南伊1 吖k 毗舢， ( 叫 【u = o ， z 0 9 ， 其中2 p 4 2 n ( n 一2 ) 0 t t 7 7 全1 4 ，f ( x 乱) 是满足以下条件的函数： ( 日1 ) f i x 乱) ：豆r 叫r 连续f ( x 0 ) - 0 ： ( 日2 ) l i m 札。o 丛亳型= 惫( z ) 工o 。( q ) ，i 七( z ) l 。c 入1 ： ( 日3 ) l i m 。嚣碧= o ，关于z 一致 利用变分法及改进型的h a 翠不等式得到了以上问题的解的存在性 关键词：椭圆方程：变分法：改进型h a r d y 不等式： 第i 页共l ! j 页 e x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so f n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s w r i t e r ：v f a n gp e n g s u p e r v i s o r ：p u z h i l i n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e l l c eo fn 。n t r i v i a l s o l u f i 。1 1 sf o ra c l a s s 。fs e c 。n de l l i p t i ce q u a t i o nw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a la n d i n d e f i n i t ew e i 蛳s hr n 。 南 = a ( z ) 乱p 一1 + ，( z u ) z 【l ( o 一2 ) z a q w h e r e2 p + 2 n ( n 一2 ) 0 肛豇全1 4 ，( z 牡) s a 1 s f i e s1 0 u o w l l l g ? o n d litfiofznh小孬r ri sc o n t i n u o u s a n df ( x o ) ：o ： (1 ) ，( z u ) ：丽x一 “x u ) = u ： ( 日2 ) l i m 虹。o 丛鲁盟= 七( z ) l o 。( q ) ，l 七( z ) l = 入l ； ( 删i m 秽5 n h a r d yi n e q u a l i t yp r ( ) v et h e ；x i s t e n ，c eo fnon-we u s ec r i t i c a lp o i n tt h e o l , a n d 1 一 ea t i 。兰v i t hc r i t i c a li 。t e n t i 越t r i v i a l s o l u t i o nf o rac l a s so fs e c o n de l l l p 乞m q u e a l l u u 、 n ul 工工。1 。1rm a n di u d e f i n i t l e w e i g h t s k m 蟹m e t h o d s ：h n p r 州n gh a r d yi nequale yw o r d s ：e l l i p t i ce q u a t i o n ；v a r i a t i o n a li n e c n o q s ：u 王l p u v 1 b 1 1 a i u j 。、 部分符号说明 r c数域实数域复数域 k ，r ，c nn 维数域n 维实数域n 维复数域 c ，c确定的正常数 q尺 中一开集 a q集合q 的边界 g集合g 的闭包 a b集合的笛卡尔乘积 i n f 下确界 s u p上确界 ，：a b，是由a 至：u b 的映射 r ( f )映射，的值域 f ( s )映射厂作用集合s 后所得像 c ( q ) = c o ( f 2 )q 上的连续函数 c m ( q )函数及其直到m 阶偏导数在q 上有界且一致连续的函数全体 c 带f q )q 上无穷次连续可微且其紧支集为r 2 的子集的函数全体 日m p f q ) “c f q ) 川2 z | i m ，p n o 。 关于范数m m q 完备化所得的空间 聊巾f q )见? p f q ) 工l ( q )q 上局部可积函数全体 p f q ) 1 p o 。满足c ，j u l p d x 0 0 2 ，使得 0 t o ； ( m 3 ) f ：豆r 一尉窿续； ( m 4 ) f ( x ，u ) = o ( 1 u 1 ) ，当i 仳i _ o 对z 【2 一致成立 得到以下结果： 定理1 0 1 条件( m 1 ) 一( m 4 ) 成立且v ( z ) 满足条件( 1 4 ) ，如果还有0 入 0 使得方程( 1 - o ) 对任意入知有解 本文研究方程( 1 一1 ) 的出发点是以下改进型的h a r d y 不等式 引理1 0 1 设qcr n 是有界光滑区域凸区域，6 ( z ) ：= d i s t ( x ，o f f ) ，c 1 ( f 1 ) ，c 2 ( q ) 是与q 有关的常数，则有如下不等式成立 丢上万u 两2 如+ g ( q ) l ：u 2 d x 0 且可达，1 0a e 于q 由不等式( 】一1 0 ) 9 得： c zi v u l 2 如+ 4 肛c 1 ( q ) lu 2 d x 0 ，使得 方程 ， f 一x , u - - p 南- - a ( z ) u 2 * - i j r _ 伊八n 眭咒 乱 0 ， z q ， ( 1 - 1 5 ) l i u = 0 ， z a q ， 对任意9 ( 0 纠都有一个极小正解对任意秽 9 4 都无解 定理1 o 5 设n 3 ，肛( 0 ，1 4 ) q 是冗中的有界光滑凸区域，f ( x ：札) 满 足条件( h 1 ) 一( h 3 ) ，则方程( 1 1 ) 至少存在一个正解 第5 页共l t ) 页毕业论文 第二章基础知识及预备性结果 定义2 o 1 【17 】设x ，y 是两个赋范线性空间，称x 连续嵌入到y ，如果成 立 ( 1 ) x 是y 的向量子空间； ( 2 ) 对一切z x 有i x = z 定义的有x 到y 中的恒等算子是连续的，即i i ，z 忙 c i i x l l x ，其中c 与x 无关 定义2 0 2 【17 设x ，y 是两个赋范线性空间，而a 是从x 到y 中的一个 算子算子a 称为紧的，如果当m 在x 中有界时，a ( m ) 在y 中是准紧的如 果a 是连续的而且紧的算子，则称a 是全连续算子 定义2 0 3 【1 7 如果x 到y 之间存在紧算子a 则称x 紧嵌入到y 记 为xq q y 命题2 0 1 【1 2 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 是有界区域a q 是l i p s c h i t z 的七 ，l p + o 。 ( 1 ) 当m 苦时， 仉7 m ，pc - 一l q ( f 1 ) 其中l q p ，嘉= ；一堡n ( 2 ) 当m = 詈时， 其中1 q o o w m pq q l 。f q ) ， w 眠pq q l 9 ( 52 ) ， 第6 页共1j j 页 第二章基础矢口识及预备性结果 ( 3 ) 当苦 0 ，e o ，p 1 ，q 1 ， 且；+ 石1 = 1 ，则有 q 6 呈竺+ e - q p b q e a p + e - q 加6 q ， pq 特别地当p = q = 2 时，它变为 口6 主。2 + i 2 e b 2 ， 称之为带三的c a n c h y 不等式 命题2 o 3 1 9 ( 日引d e 7 不等式) 设p 1 ，口 1 且；十；= 1 ，若， 扩( q ) ，g 口( q ) 则f g 三1 ( q ) ，且 i f ( x ) o q ( x ) l i i f ( x ) l l l p ( 1 1 ) i i g ( x ) l l 州n ) ， ，q 特别地当p = q = 2 时，它变为 f l f ( z ) 夕( z ) l l l f ( z ) i i l ：( n ) 1 1 9 ( z ) i i l z ，n ) ， 称之为s c h w a r z 不等式 命题2 o 4f 1 9 当1 p + 。是w 厂奄，p ( q ) 中一集合为f 相对) 弱列紧的充 要条件是：范数有界 第7 贞共1 质毕业论文 第二章基础知识及预备性结果 命题2 0 5f 19 设【2c 尺为一有界区域，l p 0 ， 使得当忪一入o i i 0 使得 i ( x ，u ) ik u + c u p - 1v ( x ，札) 豆【0 ，) 证明由条件( h 3 ) 可得v 0 ，| f i 0 使得 f ( x ，“) i c u p * - 1 比q ，i 札i 6 由条件( h 2 ) 易得乩j 叼 0 由u 的任意性可得 f ( x ，钍) j f ( x ，u ) l u 仳，v x q ，i i t i 7 ， k u + e u p l l ，v ( z ，札) 豆【0 ，o 。) 命题2 0 1 1 由条件( h - 2 ) 及( 1 1 趴( 1 7 ) 可得： 证明由式( 1 7 ) 可知 a 上粕z 上i v 砰一p 雨u 2 如 第1 0 页洪l ! j 页 u 2 d x v “1 2 d x ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 一1 2 ) 毕业论文 第二章基础知识及预备性结果 加砰叫雨? 2 2 制奶? 小1 2 d x + 4 j c 1 ( f 1 ) 舻z 浯埘 上一七( z ) u 2 d z 、。1 u 可知命题成立 定义2 0 6 【1 8 设x 是完备线性赋范空间妒( x ，冗) ，c r 称泛函满 足( p s ) 。条件，如果任意满足条件 妒( 让行) _ c ，妒( u 扎) _ 0( 2 1 4 ) 的x 中的序列 乱n ) 都有收敛子列 命题2 0 1 2 【1 3 ( l l i 路引理) 设x 为b a n a c h 空间，厂c 1 ( x ，r 1 ) ，又设存 在义中原点的邻域u ，z o - g u ，以及常数，使得 ，( 0 ) ，( z o ) 0 a e 于q 从而可得u ( 9 ) 和0 分别是方程( 1 1 ) 的上下解结合文 献 1 8 中上下解方法可得方程( 1 1 5 ) 存在一个极小正解u o ( 日) ，且满足0 0 时3 c l 0 ， 且满足u p 一1 入l 札一c l ，联立( 1 一1 2 ) 及( ： 一4 ) , - i 得o 瓷甓等n o cn o 丧甓等时，方程( 1 一1 5 ) 无解 令0 。为以下集合 0 + = s u p 0 r 十l 方程( 1 1 5 ) 有极小正解) ，( 3 - 5 ) 显然0 0 + + ，乍t _ v o ( 0 ，p ) ，3 0 0 ( 0 矿) ，使得方程有一个极小正 n u o o 那么u 和0 分别是是方程( j 1 5 ) 的上下解结合单调迭代法和强极大 值原理可知：存在方程( 1 一1 5 ) 的解让口，满2 ：o 0 ，使得，l a b p 3 寻找u 砩( q ) 使得谑邬，且使j ( 札) 0 对于任意u o 硪( q ) 咖 第1 5 页共1 i 页 毕业论文 0 ，3 t o 0 ，使得o 时，有j ( t u o ) 0 考虑以下泛函 眠) = 箬zi v u 0 | 2 一p 蔫帆u 2 出 知酽+ 萼厶诳z 一南上如扩如 + f c t p + 1 ( 乱手) 计1 出 由的任意性，显然有乱明f f 2 ) 巧，j ( u ) o 记 c ；d 。何i n f 【o ，m a x l 】j ( 7 ( 观r = ，y c ( 1 0 ，1 ，肼1 7 ( 0 ) = o 删= “) 从而由山路引理可知：在础( q ) 中存在序列 乱n ) ，使得当n _ 。时，有 j ( u 竹) _ c o ，j 7u n ) _ 0 最后注意到j 7 ( 札) = 0 及弱解定义可得 0 = 吼v 妒枷州“e u + 妒一“希如 一n ( z ) ( 钆+ ) p 妒一f ( x ，钆+ ) 妒d z ，v 妒嘲( q ) ( 3 - 1 7 ) 在( 3 一l _ ) 中令妒= 乱一= m i n u ，o ) 妒础( q ) 结合( 】一1 f ) 式可得u 一： 0a e 于q 因此可知u 是问题( 1 1 ) 的非负正弱解 一 第1 6 页共l u 页 毕业论文 参考文献 【1 】d a m a s c e l l il ，g r o s s im ，p a c e l l af q u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fp o s i t i v es o l u t i o no fa u + f ( u ，r ) = o 【j j c o m mp u r ea p p lm a t h ，1 9 8 4 3 8 ：6 7 - 1 0 8 【2 k a w o h b r e a r r a n g e m e n t a n dc o n v e x i t yo fl e v e ls e t si n p d e m i n ：l e c t u r en o t e si nm a t h ，v o l11 5 0 ，m n e wy o r k ：s p r i n g - v e r l a g ，1 9 8 5 【3 戴求亿，付玉霞，顾永耕半线性椭圆方程正解的存在性和唯一性【j 中 国科学a 辑：数学2 0 0 7 ，3 7 ( 5 ) ：5 5 9 5 7 2 4 邓志颖，黄毅生一类非线性性椭圆方程正解的存在性【j 数学物理学 报2 0 0 8 2 8 a ( 5 ) ：9 7 1 9 7 6 5 d ef i g u e i r e d odg ，l i o n spl ，n u s s b a u mrd ap r i o r ie s t i m a t ea n d e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n j jm a t h p u r e se ta p p l ，1 9 8 2 ，6 1 ：4 1 6 3 【6 f i l i p p a ss ，m a z ? y av g t e r t i k a sa s h a r ph a r d y - s o b o l e vi n e q u a l i t i e s j crm a t ha c a ds c ip a r i s 2 0 0 4 3 3 9 ：4 8 3 4 8 6 【7 b r e z i sh ，m a r c u sm h a r d u si n e q u a l i t yr e v i s i t e d j a n ns c u d an o r m s u pp i s ac is c i ，1 9 9 7 ，2 5 ：2 1 7 - 2 3 7 【8 b r e z i sh n i r e n b e r gl p o s t i v es o l u t i o no fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ni n - v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e t s j c o m mp u r ea p p lm a t h ，1 9 8 3 ，3 6 ：4 3 4 7 7 【9 b r e z i sh ，l i e be ar e l a t i o nb e t w e e np o i n t w i s ec o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n a n dc o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n a l s j p r o ca m e rm a t hs o c ，8 8 ：4 8 6 - 4 9 0 【1 0 b e r e s t y c k ih ，n i r e n b e r gl ，v a r a d h a nsrs t h ep r i n c i p a le i g e n v a l u e a n dm a x i m u mp r i n c i p l ef o rs e c o n do r d e re l l i p t i co p e r a t o r si ng e n e r a ld o - m a i n s j c o m mp u r ea p p lm a t h ，1 9 9 4 ，x l v i i ：9 3 - 1 0 1 第1 7 页，共页 参考文献 【1 1 d a v i l i aj ，d u p a i g n el h a r d u t y p ei n e q u a l i t i e s j je u rm a t hs o c 2 0 0 4 ， 6 ：3 3 5 3 6 5 【1 2 a d a m sra ，s o b o l e vs p a c e s m a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ( 1 9 7 5 ) 【1 3 m w i l l e m m i n m a xt h e o r m s m b i r k h i i u s e rb o s t o nb e r l i n 【1 4 林美琳一类带权的非线性椭圆方程正解的存在性问题 j 数学学 报2 0 0 9 0 5 8 3 - 1 4 3 1 ( 2 0 0 9 ) 0 1 0 1 7 1 1 0 【1 5 章国庆冗中带不定权与临界位势的非线性椭圆问题【j 数学物理学 报2 0 0 8 2 8 a ( 5 ) ：9 2 9 9 3 6 【1 6 金玲玉，邓引斌无界域上带h a r d y 项和临界非线性项的半线性椭圆问题 的全局紧性结果【j 中国科学a 2 0 0 9 ，3 9 ( 7 ) ：8 4 0 8 5 4 【17 李开泰，马逸尘，王立周广义函数和s o b o l e v 空间 m 西安交通大学出 版社 1 8 钟承奎，范先令非线性泛函引论 m 兰州大学出版设 【1 9 伍卓群，尹景学，王春朋椭圆与抛物型方程引论【m 】科学出版社 【2 0 u h l e n b e c kk y a us t an o to no u rp a p e r ：o nt h ee x i s t e n c eo fh e