（应用数学专业论文）一类基于工资水平的养老金计划的定价问题.pdf

摘要 孓3 6 2 t b 2 本文利用金融、精算学原理，结合偏微分方法讨论了基于最终工资水平的养 老金计划的定价问题。 首先，在金融学中的“市场无套利原则”的假设下，利用“风险中性”的 处理方法，采用类似于处理期权定价的模型的方法，构造养老金定价的数学模型。 然后，对基于两种不同假设的提前退休情况，分别归结偏微分方程组。在第一种 、 情况下，假设提前退休是由多种因素决定的，且退休的概率力度z ，已知，归结 出一个一般形式的偏微分方程组；第二种情况下，提前退休情况只依赖于提前退 休的受益金是否大于或等于在当前养老金，这种情况下，提前退休时刻的确定类 似于美式期权的最优交易时刻的选取。这种情况下归结出的方程是一个自由边界 问题。 对第一种情况的方程组采取三种方法给出解析鳃，第一种方法是利用方程的 特殊形式，将偏微分方程化为常微分方程求解；第二种方法，采用精算贴现的思 想，结合金融学中e d v 方法求解，第三种方法，采用求解偏微分方程的一般方 法。这三种方法可以求得完全一致的结果。对第二种情况的方程组，首先通过“线 性互补问题的方法”将自由边界隐藏起来，然后采用有限差分方法求出数值锵， 最后讨论了各个参数对解的影响。 关键词：无套利原贝ee d v 方澎i t s j 引理，自由边界问赢_ 线性互补问题y 有限差分方法y 中图分类号：0 1 7 5 2 3 ，f 8 4 0 6 7 v a l u a t i o no f r e t i r e m e n tb e n e f i tb a s e d o nf i n a ls a l a r y a b s t r a c t b a s e do nt h ef i n a n c i a la n da c t u a r i a lt h e o r i e s ，ap r i c i n gm o d e l f o rr e t i r e m e n tb e n e f i t i sc o n s i d e r e d ，a n dt h e np d e ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) t h a tt h eb e n e f i ts a t i s f i e s a r ed e r i v e d i nt h i sp a p e r , t h er e t i r e m e n tb e n e f i ti sb a s e do nf i n a ls a l a r y , w h i c hi s a s t o c h a s t i cp r o c e s s f i r s t l y , i ti sa s s u m e d t h a tt h e r ei sa i la r b i t r a g ef r e em a r k e t ；a n dt h e na c c o r d i n gt ot h e r i s k - n e u t r a lp r i n c i p l e ，t h er e t i r e m e n tb e n e f i tv a l u a t i o nm o d e li sd e v e l o p e d ，w h i c hi s s i m i l a rt ot h eo p t i o n p r i c i n gm o d e l s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ee d ei nt w o d i f f e r e n ts c e n a r i o s ：w h e nt h e r ea r em a n y e l e m e n t si n f l u e n c i n gt h ed e c i s i o no fe a r l yr e t i r e m e n t ，w i t ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h e f o r c eo fr e t i r e m e n tr a t e ，c a l lb eo b t a i n e d ，w ed e r i v eag e n e r a lp d e ；o t h e r w i s e ，i f t h em e m b e ro fp e n s i o np l a nr e t i r e so n l yw h e nt h er e t i r e m e n tb e n e f i ta m o u n ti st h e m a x i m u m ，i e e a r l yr e t i r e m e n ti sa l l o w e dw h e n t h ee a r l yr e t i r e m e n tb e n e f i ti sg r e a t e r t h a nt h ec u r r e n tp e n s i o nb e n e f i t ，w h i c hi ss i m i l a rt ot h ed e c i s i o no ft h eo p t i m u m e x e r c i s et i m eo fa m e r i c a no p t i o n s ot h ep d e w i t hf r e e b o u n d a r ys i m i l a rt ot h e p r i c i n go f t h ea m e r i c a no p t i o n i sd e r i v e d t h e n t h r e em e t h o d sa r eu s e dt og i v ea n a l y t i c a ls o l u t i o nt ot h ef i r s tg e n e r a lp d e ； t h et h r e es o l u t i o n sa r ep e r f e c t l ys a m e a st ot h es e c o n dp d e w h i c hh a sf r e e b o u n d a r y , i tc a nb et r e a t e d i nas i m i l a rm a r r e rt ot h ea m e r i c a no p t i o n - p r i c i n g p r o b l e ma n ds o l v e d i nt w os t e p s i nt h ef i r s t s t e p t h ep d e w i t hf r e e b o u n d a r y c o n d i t i o n si st r a n s f o r m e dt o a l i n e a r - c o m p l i m e n t a r i t yf o r m u l a t i o n ；t h eg r e a t a d v a n t a g eo ft h i sf o r m u l a t i o ni st h a tt h ef r e eb o u n d a r yn e e d e dn o tt o b et r a c k e d e x p l i c i t l y i nt h es e c o n ds t e p ，t h ef i n i t e d i f i e r e n c em e t h o di su t i l i z e dt o p r o v i d e n u m e r i c a ls o l u t i o na n dt h ee f f e c t so f t h ep a r a m e t e r so nt h es o l u t i o n sa r ea n a l y z e d k e y w o r d s ：n o a r b i t r a g ep r i n c i p l e ，e d vm e t h o d ，肠sl e m m a , f r e e b o u n d a r y , l i n e a r - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ，a n d f i n i t e - d i f f e r e n c em e t h o d = 蔓磋王互毖盘墨笼碰芷勃毖趔包霞 序言 经济的发展和社会人口老龄化问题的日趋严峻，使得社会需要更加完备的 保险和保障体系。建立、健全科学的养老金制度，已成为一个社会文明进步和 成熟的标志，也是解决人口老龄化带来的社会问题的迫切需要。因此如何建立 公平、合理的养老金制度已成为世界各国十分关注的问题。目前，我国正处在 经济高速发展的时期，我们要及早建立科学的养老金制度，以应付下世纪二十 年代社会人口老龄化高峰时期发生的问题。 一养老金计划的定价问题的历史和现状 二战以后，随着社会保障体系的建立和目趋完善，各国金融学家、社会学 家和精算学家对养老金计划的定价问题进行了深入的研究，制定了多种定价方 法。 最初是传统的精算定价方法。它是建立在对工资增长率及投资回报率的确 定性假设基础上的，主要利用保险精算学理论，按照受益金与醵出金的精算现 值( a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u e ) 平衡来计算的。常用的有规定醵出金方法 ( d e f i n e dc o n t r i b u t i o np l a n s ) 和规定受益金方法( d e f i n e db e n e f i tp l a n s ) 。 ( 参见 1 ) 近年来金融理论的研究方法也逐步运用到这个领域。如1 9 7 6 年b o y l e 和 s c h w a r t z 就将期权定价技巧运用于养老金的定价；w i l k i e 于1 9 8 9 年将此技巧 成功地运用于英国养老金计划的计算；与此同时s h i m k o 考虑到金融方法中处理 随机性因素的技巧，并将其充分应用于保险领域( 参见 2 ) 。 二本文采用的方法 目前，利用金融数学与精算理论相结合的方法已成为养老金领域比较活跃 的课题。m i c h a e ls h e r r i s 和w e i x is h e n 合作，应用了此方法，在较为广泛的 基础上建立了养老金定价的模型，这种模型引入了利率和工资的随机性，从而 更具有实用价值。( 参见 3 ， 4 ) 本文将在此模型下进一步讨论基于最终工资 水平的养老金的定价问题。 养老金定价的目的是为了动态的跟踪该养老金的负债值。从保险精算学的 平衡原理( e q u i v a l e n c ep r i n c i p l e ) 及净保费责任准备金( n e tp r e m i u mr e s e r v e ) 理论，可以知道在不考虑各种附加费用的情况下，负债值就等于未来给付的养老 金的精算现值。 因此，本文中讨论的养老金，实际上是一种保险负债，要对它进行定价必 须了解它的性质。保险负债的最大特点就是它的不确定性，这种不确定性主要 有三个来源：精算风险( 包括意外事故发生率，疾病率，死亡率等) 、市场风险( 包 括利率的波动，汇率的波动，及物价指数的变化) 、非市场风险( 主要指国家法 律环境的变化) 。具体到本文的养老金定价问题，主要考虑的风险是死亡率( 全 残率) 、提前退休率、辞职率等精算风险，以及工资随机变化为主的市场风贮。 而上述的非市场风险由于其不可预测性，通常被认为是无法规避的t 因此未包 括在本文讨论的模型中。 三本文的组织结构 第一章养老金计划模型的建立及一般形式偏微分方程的推导 利用金融和精算方法建立数学模型，归结出一般形式的偏微分方程， 并给出相应的终值和边值条件。然后根据决定提前退休的不同原因 的分别进行讨论，将这个一般形式的偏微分方程组分成两种形式的 方程( a 1 ) 和( a 2 ) 。第一种情况中退休的概率力度已知，得到一个一 般形式的偏微分方程组，第二种情况下，提前退休只依赖于收益金 的大小，得到一个带有自由边界( f r e eb o u n d a r y ) 的偏微分方程组。 第二章对第一种形式的偏微分方程组 a i ) 的求解 对第一种形式的方程组( a t ) 分别采用三种方法求解。第一种方法是针 对一种特殊形式的偏微分方程的特殊方法，第二种方法是采用精算贴 现的思想，结合金融学中e d v 方法求解，第三种方法是一种比较通 用的求解偏微分方程的方法。 第三章对第二种形式的偏微分方程组( a 2 ) 的求解 对这种具有自由边界的偏微分方程组，在本文中只给出数值求解方 法。本文采用线性互补问题( 1 i n e a r c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 的方 法和有限差分方法( f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d ) ，求出数值解，并讨 论各个参数对解的影响。 第一章养老金计划模型的建立及一般形式偏微分方程的推导 本文是在金融学中的“市场无套利原则”的假设下，利用“风险中性”的 处理方法，采用类似于处理期权定价的模型的方法构造养老金定价的数学模型， 并以偏微分方程的形式表述出来，然后给出解析解或数值解。 在我国的社会养老保险和商业养老保险中，保险费及受益金额主要以工资水 平为标准，定价方法主要有，规定醵出金方法( d e f i n e dc o n t r i b u t i o np l a n s ) 和规定受益金方法( d e f i n e db e n e f i tp l a n s ) 。本文讨论的养老金是以工资为基 础的养老金的一种，属于规定受益金方法。 本文假设养老金是以“最终”工资为基础的。这里的“最终”是指参加养老 金计划的被保险人死亡( 全残) 、退休、辞职的时刻。一旦参加养老金计划的被保 险人死亡( 全残) 、退休、辞职，受益人将获得一笔养老金，同时养老金计划结束。 为了处理方便，本文中所求得养老金是一个一次性给付的金额。在实际应用 中，可以选择不同的养老金给付方式，如按月给付，按季度给付，按每半年给付， 按年给付等。不同的给付方式的转换在精算学中有比较成熟的方法，本文中不再 讨论。 1 1 符号介绍 本文中采用了较多的符号，下面对它们做详细的介绍。 x 被保险人参加养老金计划时的年龄。 r 从被保险人参加养老金计划起，到他达到法定退休年龄6 5 岁的时间。 即t = 6 5 一x 。本文假设被保险人可以在小于法定的退休年龄时提前退休。 f 从被保险人参加养老金计划开始的时间，显然， o ，6 5 一z 】。 s ( f ；x ) x 岁的被保险人在t 时刻的工资额，是一个随机过程，且假设工资的 历史完全反映在其当前工资上，即s ( f ；x ) 为m a r k o v 过程。满足下面的 随机微分方程( s d e ) ： 嬲= a ( t ，s ；x ) d t + 盯( f ，s ) d z ( t )s ( o ；x ) = s o ( x ) ( i 1 ) 其中a ( t ，j ；x ) 是工资的增长率，它依赖于工资s ( t ；x ) 、参加养老金计划时 间r 和被保险人参加养老金计划时的年龄x 。c r ( t ，s ) 是随机波动率，依赖于时间 t 及工资s ( f ；x ) 。z ( ，) 为维纳过程。 ，( f ) f 时刻的利率。本文讨论的利率是一种短期无风险利率，是一个关于t 的 函数。 v ( t ，s ；x ) 在x + t 岁时的养老金额。 肋被保险人死亡的概率力度( f o r c eo fd e a t hr a t e ) 。 以被保险人提前退休的概率力度( f o r c e o fr e t i r e m e n tr a t e ) 。 z 。被保险入辞职的概率力度( f o r c e o fw it h d r a wr a t e ) 1 2 金融及精算背景下模型的建立 养老金定价问题与期权定价问题之间有一定的相似性，养老金定价问题本身 也有金融和精算背景。因此本文采用了金融理论中的“市场无套利”原则 ( a r b i t r a g ef r e e ) 和“风险中性”原则( r i s kn e u t r a l ) 来建立模型。 1 2 1 概念介绍 “市场无套利”原则： 套利指利用货币，商品或证券等在不同市场上的价格差别，通过在低价市 场买进并在高价市场卖出，借以获得无风险的高额利润的做法。 一个健全的、公平竞争的市场上是不存在套利机会的，本文假设我们所处 的市场是无套利市场，在这样的市场中可以获得的最大无风险投资收益不会超过 将资本投入银行获得的储蓄收益。 “风险净值”： 在保险精算学中 “风险净值”( n e ta m o u n t a tr i s k ) = “保险受益”一“责任准备金” 从它的定义可以知道“风险净值” 文中对应于被保险人死亡( d ) ，辞职( w ) ， 是一个不确定的，需要保险的金额。本 退休( r ) 等三种情况，引入三种风险净值 e ( f ，s ；x ) 。 e ( f ，s ；x ) = a 。( f ，s ；x ) 一v ( t ，s ；x )i = d ， ( 1 2 ) 其中，a ( f ，s ；x ) 为相应的死亡( 全残) 、辞职、退休等三种情况下的受益 额，v ( t ，s ；x ) 为养老金。e ( f ，s ；x ) 的含义与精算学中的“风险净值”相同。 假设相应的死亡( 全残) 、辞职、提前退休的概率力度肋，肌，z ，己知，则 ，( ，；x ) 口。( f ，s ；z ) 为该养老金计划在f 时刻的期望风险净值。 - d ，v 1 2 2 建立模型和推导方程 为了将随机过程s ( r ；工) 调整为“风险中性”状态，我们引入一个工资风险的 市场价格( p r i c e o f r i s kf o rs a l a r y 卜兄( f ，s ；x ) 。( 参见【4 】) 定义： o ( t ，s ；x ) = a ( t ，s ；x ) 一2 ( t ，s ；x ) 仃( ，s ) o ( t ，s ；x ) 为s ( t ；x ) 在“风险中性”状态下的增长率。 记( f ) = d z ( o + x ( t ，s ；x ) d t 于是d s = o ( t ，s ；x ) d t + c r ( t ，s ) d z ( ，) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中z ( ，) 为风险中性概率测度q 下的维纳过程，且满足 e 。 d z ( f ) 】= 0 ( 参见【5 1 ) ( 1 6 ) 以上的处理使得随机过程s ( f ；砧达到了“风险中性”状态。根据金融经济学 中基本准则可知，从r 到，+ 西时刻的养老金在“风险中性”的概率测度q 下的期 望增值等于从，到，+ d t 时刻由无风险利率，所产生的增值减去此时段中由死亡 ( 全残) 、辞职及提前退休而引起的期望风险净值。 即随机过程y ( r ，s ；x ) 满足下式： e e 【d 明= r v d t 一麒( f ；x 徊，( f ，s ；x ) ( 1 7 ) 本文采用t0 jl e m m a 对养老金随机过程v ( t ，s ；x ) 进行处理，忽略高阶项 得到下式 d 矿“= 。丝o t 毋十詈订+ l 2 哮0 2 v ( 酬+ 2 塞( 黜) + 警( 科) 利用z ( t ) 满足维纳过程运动，并忽略的高于一次的项o ( d t ) 则得到下式： = ( 警+ 郇愿x ) 面o v + 互1 盯2 ( f ，卵崇矽+ 邮，s ) 西o v 掘 ( 1 8 ) 7 根据方程( 1 4 卜 1 7 ) 及i t o jl e m m a 得到： 警+ j 1 砍t , s ) 窘+ 印霸x ) 嚣- r v + ，善；妒( f 焉x ) = 。 ( 1 9 ) 下面给出方程( 1 9 ) 中的b 。( f ，s ；x ) 及相应的终值条件和边值条件： 1 ) 被保险人退休情况下的养老金。 在一般情况下，商业或社会保险中退休金的定价是基于工作年限及最终工资 额的，所以在被保险人达到法定退休年龄t = 6 5 一x 岁时，我们取a ( t ) s ( t ) 为 退休金。即，= t 时， a ，( t ，s ；x ) = 口( 7 1 ) s ( r )( 1 1 0 ) 在被保险人提前退休时( f t ) ，我们选取 a ，o ，s ；x ) = ( 1 一b ( t f ) ) 口( 丁) s o ；x )( 1 1 0 a ) 其中b 是一个比例常数。 则“风险净值”为： b ，( f ，s ；x ) = ( 1 一b ( t f ) ) n ( r ) s ( f ) 一v ( t ，s ；x )( 1 1 1 ) 造成被保险人提前退休的原因是多种多样的，在不同的假设下方程的终值 和边值条件是不同的。下一节中我们具体讨论。 2 ) 被保险人死亡( 全残) 情况下的养老金。 在被保险人死亡( 全残) 情况下，我们假设受益金为您，即 a j ( f ，s ；功= k s( 1 1 2 ) 其中k 为常数，实际上k 也可以取为与参加养老金计划时间f 有关的函数 七( f ) ，在3 4 节中我们会讨论。 此情况下的“风险净值”为 岛( ，罡力= k s v ( t ，s ；x ) 3 ) 被保险人辞职情况下的养老金。 在被保险人辞职情况下，我们假设的受益金为v ( t ，s ；x ) 。 f 1 1 3 ) 一。( f ，s ；x ) = v ( t ，s ；x ) 此情况下的“风险净值”为： b 。( f ，s ；x ) = v ( t ，s ；x ) 一z ( t ，s ；x ) = 0 1 3 养老金定价模型的一般偏微分方程形式及条件 要求解2 r 程( 1 9 ) ，除了终值条件( 1 1 0 ) ，还需要边界条件。 一般情况下，我们总是假设s ( t ；x ) 是对数正态分布的( 1 0 9 - n o r m a l ) 。 即d s = a ( x + t ) s d t + o s d z ( t ) 这里盯是常数。 定义o ( t ；x ) = a ( x + t ) 一x ( t ；x ) a 则d s = o f f ；x ) s d t + o s d z ( ，) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) s ( o ；x ) = s o ( x )( i i a ) ( 1 、1 6 ) ( 1 17 ) 由s ( f ；x ) 是对数正态分布知，一旦在某一时刻s = 0 以后将永远等于零，于是由 保险精算学知成立边界条件： s = 0 ：v = 0( 1 1 8 ) 当s 趋于时，总假设成立下述增长条件： s ： ( i 1 9 ) 接下来分两种情况讨论提前退休。 第一种情况下，假设被保险人的提前退休是由多种因素造成的。我们不单独 讨论各因素的影响程度，而是从概率角度考虑。假设可以得到以退休的概 率力度。则归结出的偏微分方程组为： 警+ 2 豢蝴x 梦嚣_ ( ，协( f ；班舭；x ) ) v + a a ( f ；x ) k s + b e ( t ；x ) ( 1 一b ( r f ) ) a ( r ) s ( f ) = 0 忙t r ( t ，s ；x ) = a ( t ) s ( t )( a 1 ) s = 0v = 0 s 寸幽 ，) ( 2 1 1 ) 假设退休和死亡是两个相互独立的事件，由精算数学( 参见【l 】) 得到： s ，( f ) = j d ( z + ，) s ，( x4 - f ) = p r ( t ( x ) f t ( x ) t o ) ，r 2 1 2 1 = e x p ( 一f ( d ( x 4 - f ) 4 - ，( x 4 - r ) ) d r ) 、 。 r x ，( i = d ，) 的概率密度函数为 ，( ，) = ，( t ；x ) e x p ( - ( t 。( f ；功+ ，( f ；x ) ) d r ) ( 2 1 3 ) 0 在第一章中我们提到s ( ，；x ) 是对数正态分布的，并引入一个工资风险的市场价 格( p r i c eo f r i s kf o rs a l a r y ) 2 ( t ；x ) 。 于是在“风险中性”的概率测度q 下 e o d z ( f ) = 0 有参考文献【5 可知： 即；加即一) e x p ( p ( 硝) 如一j 1 以f f 0 ) + 唯一) z ( f 0 ) ) ) 一 e q s ( ，；工) 1s ( t 。；并) 】= s ( ，。；工) e x p ( f o ( f ；x ) d ) 七 1 n m x ) = l n 跳；x ) + t p ( 删) d f j 1 盯2 ( h 。) + 盯( 珊) 一z + ( f 。) ) f o 一 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 酽【l n 踯；圳i n 眠；跏州心( f o ；卅圳_ 互1 c r 2 ( 卜u7 ) v a t 。 i n s ( t ；x ) i i n s ( t o ；力】= 0 - 2 ( ，一f o ) ( 2 1 8 ) 前面提到精算e d v 方法求精算现值是考虑了利率、死亡、退休等i 因素的， 在保险精算学中常假设随机变量r ( x ) 与随机过程s ( f ；x ) 是相互独立的。( 参见【1 ) 利用精算现值的思想和双重期望理论，我们得到 v ( t 。，s ；x ) = e 口【未来受益金的现金流关于利率r ( r ) 的贴现l r ( x ) b 】 ：e q e m 州咖。 未来受益金的现金流关于利率，( ，) 的贴现p ( ，o ；工) 】 ( 2 1 9 ) 因此 以，s ；力：五。【e 兀刮m 圾x 一；曲。x p 矗( 办拗十a ( d 双乃砷e x p _ ( f ) d 如 + ( 1 一b ( r x ) ) 烈d s ( r 7 ；x ) ) e x p ( - j ：r ( o a o is q 。；x ) 】1 = e a | 5 ( 如) 贼化卅”6 ( t - f ) 顾孤) ) e x “一般搿巧曲胁) ( ) + ( 1 一一咖( r ) 以( f ；x ) ) e x “一j 艺焉。) 打) t 0 l d + 口( r ) e x p ( - t ( ，( f ) + ，白( f ；功+ 从( ；x ) ) d f ) ) 硪 s ( f o ；z ) e x p ( 一j p ( f ；工) d f j 1 盯2 p b ) + 盯( z ( f ) 一z ( f 。) ) ) ( 2 2 1 ) v ( t 。，s ；x ) = 口i f ) s ( f 。；z ) e x p ( f ( 护( f ；x ) 一( ，( f ) + 。( f ；x ) + ，( f ；工) ) d f ) + s ( f ) t 灿。( f ，；x ) i + 以( f 1 ；z ) ( 1 一b ( t t ) ) d ( r ) ) e x p ( j ( 曰( 硝) 一( ，( f ) + 以( 舭) + 以( 郴) ) 纠d t o f 。 ( 2 2 2 ) l r 力 “磅邮以啪懈 吖从 ，d飞) 哪 啪 蜘 蝴 辟 h 机 懈 w 托 7 ， 泖 似 。 珍 柙 唧 肋 域 砌 m 们 蛳 2 3 一种比较通用的求解偏微分方程的方法 14 在2 1 节中我们求解方程组( a 1 ) 的方法是针对方程组具有的特殊形式而采取 的特殊的求解方法。而2 2 节中e d v 方法则是处理较简单问题的直观方法。下 面对于其它的具有( a 1 ) 形式偏微分方程，我们给出种比较通用的解法。 前两节，我们讨论的方程组( a 1 ) 中的b j 都具有特殊的形式，下面讨论当鼠具 有一般形式时方程组( a 1 ) 的解法。 我们假设： 1 ) 死亡( 全残) 受益金是一个与s 和t 有关的函数k ( t ，s ；x ) ，则 b d ( ，s ；x ) = k ( t ，s ；x ) 一y ( f ，s ；z )( 2 2 3 ) 2 ) 辞职时的受益额为养老金v ( t ，s ；x ) ，则风险净值为 玩( ，s ；x ) = v ( t ，s ；x ) 一v ( t ，s ；z ) = 0( 2 2 4 ) 3 ) 退休时的受益额为a ( t ，s ) ，则风险净值为 b ，( f ，s ；x ) = 爿( f ，s ) 一v ( t ，s ；x ) ( 2 2 5 ) 4 ) s ( t ；x ) 的假设同前。 在这些假设下方程组( a 1 ) 化为 竺o t7 12 s 2 豢桃郴警却讹小鹏瑚v + l t d x 熙趴) + t ，( f ；x ) 爿( f ，s ) = 0 t = t v ( t ，s ；x ) = a ( t ，s ) s = 0v = 0 s j o o陛 悯 ( 2 2 6 ) 这是一个线性的非齐次方程，对这类偏微分问题，我们一般利用迭加原理和 齐次化原理进行处理。 首先我们把方程组( 2 2 6 ) 分成两个较简单的偏微分方程组 丝o t + 2 等堋) s 等七枷枷炉。 f = r 巧( 丁，s ；x ) = 4 ( 丁，s ) ( 2 2 7 ) s = 0矿= 0 s _ o o 矧 + c 。 警+ 2 祭+ o ( t ；x ) s a 础v 2 吨讹卅鹏砌砭 i+ l d ( t ；x ) k ( t ，s ；功+ t ，0 ；x ) 彳( f ，s ) = 0 t = rl ( t ，s ；x ) = 0 l s = o_ = o 卜俐一 利用迭加原理可以证明( 参见 8 】) v = k + k ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 对方程组( 2 2 7 ) 的求解是分两步进行的。首先通过变量代换，把( 2 2 7 ) 化为 简单的抛物型方程，然后再利用标准柯西问题的公式求解。 做变量代换： j ：& 砖- ，1 o - ：( t 一，) z r 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 矿= v , e ” ( 2 3 2 ) 代入方程组( 2 2 8 ) 得到 ；盯2 筹堋为瑚粥- 面0 y + 三撕2 豢却讹卅鹏卅欺嘞矿 ( 2 3 3 ) 令 孝( f ) = p ( f ；x ) d f 一_ 。_ lo - 2 ( r f ) ( 2 3 4 ) r f ( ，) = r ，( f ) 十。( f ；x ) + ，( f ；z ) ) d f ( 2 3 5 ) 代入( 2 3 3 ) 化简得到： 警= j 豢+ j2 崇 。 s + 。 再作代换：雪= e y 于是方程组( 2 2 8 ) 化简为： l 葫0 2 矿 j 万5 矿 一q + 。 l j = 0v = a ( o ，e ) 其中( o ，p ) = a ( t ，s ) 这是一个标准的柯西问题，根据已有的公式得到 吼，= 赤弘a e 掣出 = 蠢南烨帮船 呱l s 卜_ 丽r( 2 3 9 ) 。+ o 攀s 唧c 型娑筹# 竺渺 对的求解分为两步：首先利用齐次化原理将求解的问题化为求解关 于的齐次的偏微分方程组问题，然后再把还原为。 令w ( t ，s ；x ，“) 满足下面的偏微分方程组 降8 w + 三拥2 萨8 2 w 堋船p 面8 w + 姒“) ( f ；砌：。 ! ，= f i 阡( f ，s ；x ，t ) = i t d ( ，；工) 足( ，s ；x ) + z ，( ，；x ) 彳( f ，d s = 0 w ( t ，s ；x ，) = 0 ( 2 4 0 ) ；褰， 弼 功 坳 啡 晒 唧 硼 可以证明 r r a t ，s ；x ) = 缈( f ，s ；x ，f 、) d r l ( 参见【8 】) ( 2 4 1 ) 17 观察方程组( 2 4 0 ) 可知利用求解方程组( 2 2 8 ) 的方法可以来求解，得到： e x p ( 一( r ( f ) + 以( 娜) + 心( 硝) ) d f ) 叭厶砖五啪= _ 丽需i 一 7 出幽掣酬兰t w 娑tr l 掣1 脚 最后我们得到 v = k + 砭 ：k + 讥s 啪奶 。4 3 前面提到( 2 4 0 ) 和( 2 4 2 ) 中的s 满足对数正态分布( 1 0 9 n o r m a l ) ，根据( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 得到： ， + 。一 1 0 9 s 7 - ( 1 0 9 s + o ( r ；z ) d r 一1 2 盯2 ( 一一，) ) 】2 c r 4 2 x ( r , 一- t ) o f c x p ( 吉百石一钌 1 乞，- 1 0 9 s - ( 1 0 9 s + 黔圳卜互1 以r f ) ) r 、豳， 2 南户飞x p ( 1 磊两j 一号 = e x p ( 1 0 9 s + 1 1 0 ( f ；x ) 打一j 1 盯2 ( r 。一f ) + j 1 盯2 ( f 。一f ) ) = s ( t ；x ) e x p ( j o ( r ；x ) d r ) ( 2 4 4 ) 在本章的前两节中，我们假设死亡受益为塔( 屯工) ，退休受益 ( 1 一b ( t 一，) ) 口( r ) s ( f ；石) ，如果这里我们取 k ( t ，s ；工) = 峪( ，；x ) a ( t ，s ) = ( 1 - b ( t - t ) ) a 盯) s ( ，；x ) 则由( 2 4 4 ) 式得到： 哪；趴，：m e x p ( 即；垆似卅以掰m 删) f 2 4 5 ) r v ( t ，s ；x , l i ) = d ( q ；x ) 五s ( f ；工) e x p ( j ( 护( f ；x ) 一( ，( r ) + ，( r ；工) + d ( q x ) ”d f ) r 2 4 6 ) 于是得到 v ( t ，s ；x ) = 口( r ) s ( f ；x ) e x p ( ( p ( f ；x ) 一r ( f ) + ( d ( f ；x ) + ，( e x ) ) ) d r ) + s ( t ；x ) k d ( f ，；x ) 七+ 乒，( f 。；工) ( 1 一b ( t 一i ) ( n ) e x p ( 且护( f ；工) 一( ，( f ) + ，( f ；工) + 一( f ；x ) ) ) 出) d f r 2 4 7 ) 本章主要讨论了对方程组( a 1 ) 的三种解法，可以看到在风险净值相同的假设 下三种方法可以得到完全相同的结果。下一章我们讨论对方程组( a 2 ) 的求解a 第三章对第二种形式的偏微分方程组a 2 ) 的求解 本章讨论对偏微分方程组( a 2 ) 的求解方法。 ia a f v + j lo - 2 s 2 萨a z v 州) s 嚣却讹( f ；瑚矿讹j c ) k s = o i t = 丁矿( f ，s ；x ) = a ( t ) s ( t ) f s ：0v ：0 s ：s ，矿( r ，s ；x ) ：( 1 一b ( t f ) ) 乜( 丁) s ( f ) ( a 2 ) i圪( f ，s ；x ) = ( 1 一b ( t f ) ) 口( r ) l s 一幽 栅 jj 硼j 偏微分方程组( a 2 ) 是个自由边界问题。从分析的角度看，自由边界问题的 难点在于难以确定“自由边界”的位置，因而也不知道应该将“自由边界”的约 束条件放在何处。但经过处理，可以使之变成不需要显式的地依赖于“自由边界” 的形式，从而使得“自由边界”不再影响解题过程。 由于自由边界问题的特殊形式，一般情况下很难找到一个精确的解析解。本 章的目的就是找到一种高效，稳定，收敛的数值解法。 具体求解的步骤如下：首先，我们把方程组( a 2 ) 化简为较简单的形式；接着， 把方程组写成“线性互补问题”的形式，把“自由边界”隐藏起来；然后采用“有 限差分”方法( f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ) 求数值解。 3 1 偏微分方程组i a 2 ) 的化简 对方程组( a 2 ) 的化简与前面处理( a 1 ) 的方法类似。主要通过变量代换，把( a 2 ) 化 为简单的抛物型方程。作变量代换： i = s e e ( 。) i = ：以，叫 v = vf f ( ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 代入方程组( a 2 ) 得到 ；仃2 罂o t = ( ( f ) ) j 簧+ ：仃2 j 2 豢_ ( ，( f ) + 以缸) ) 矿+ 以厩州h ( 3 4 ) 令 共) ：( 弘) d 卜，1 1 0 - ：( r 棚 令 毒( f ) = p ( f ；x ) d 卜，2 ( r f ) f ( ，) = f ( r ( f ) + 胁( f ；x ”如 代入( 3 4 ) 化简得到： 争知2 雾+ 氅笋 再作代换：s = e 酊川却一芒m 砂胡沪 。功 芝仃 其中 毒( i ) = p ( 叫) 如一i r f 仃) = 弦( f ) + 心( 搿) ) 出 7 ( i ) “醅卜专 2 则方程组( a 2 ) 最后化简为 婴一尝一所，力：o a加2 一 j = 0 v ( o ，y ) = a ( t ) e y = y ，v = g ( t ，y ) = g ，( f ，y ) y 寸- - 0 0v ( t ，y ) = 0 l a 矿l y 哼佃 i 百l 佃 ( 3 + 5 ) ( 3 6 ) 0 g ( i ，y ) 时，被保险人不提前退休。 所谓“线性互补问题”是指具有下述形式的问题 a b = 0a 0b 0 在本文中 a = 誓一雾巩y ， b = 矿一g o ，力 其中a 署t i b 关于矿，f ( i ，y ) ，g ( i ，y ) 是线性的。 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) o 0 i i y y 一“v p ， ， 一 一 押一矿盟驴 一 一 一一所一一一研 于是我们把f 3 1 i ) 写成压缩的“线性互补问题” 警一擎毗力o h 以炉o ( 警一等巩瑚( h 佤舻o v ( o ，j ，) = g ( o ，y )( 3 1 4 ) 7 ( i ，y ) ，瓦旺) ，) 是连续的 熙矿( i ，y ) = 。1 i m 。g ( i ，y ) 利用抛物方程的变分不等式和泛函分析可以证明方程组( 3 1 4 ) 等价于方程组 ( 3 1 1 ) ，而且方程组( 3 1 4 ) 的解是存在和唯一的。( 相关证明参见【9 】) 。方程组( 3 1 4 ) 的优点在于它没有用到“自由边界”条件，从而避开了“自由边界”问题的难点。 3 3 有限差分方法求数值解 有限差分方法( f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ) 是用于求解偏微分方程及线性互补 问题的常用工具，运用得当可以求出比较精确的数值解。在处理金融、物理等方 面的问题时十分有效。本文采用有限差分方法求解方程组f 3 1 4 ) 。 首先，根据需要的精度把驴，y ) 平面划分为规则的有限差分网格 ( f i n i t e d i f f e r e n c e m e s h ) ，产生空间节点( n o d e ) j i ，力占，) ( 如下图) ，只需在网 格点上讨论矿仃，y ) 的值。 y l r - ，f 23 为处理方便我们取y - n 一6 y ，n + 6 y ，其中6 y 是给定的网格的竖直间距， 而一和+ 是足够大的正整数。贝( 3 1 4 ) 中相应的边界条件 化为 令 ，1 + i m 。矿0 ，y ) 2y l + i r a 。g ( i ，j ，) fy ( i ，一一t 聊= l i mg ( i ，y ) = 0 j 一 【v ( i , n + s y ) = ，1 ，i m 。g ( i ，力= 栅 1 2 0 2 丁 d f = 一 m