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不确定时滞系统的鲁棒控制 金辉( 计算数学) 张高民( 副教授) 摘要 本文研究不确定时滞系统的鲁棒控制问题。首先综述了鲁棒控制理 论和线性矩阵不等式方法的发展现状，然后针对几种不同类型的不确定 时滞系统，研究这些系统的鲁棒稳定性条件和鲁棒控制器设计方法。具 体成果如下： l 、讨论了一类具有时滞的l u r i e 控制系统稳定性分析阃题。针对控 制系统具有参数不确定性、多时变时滞的特点，利用l y a p u n o v 方法和 f i n s l v r s 引理，给出了系统绝对稳定的时滞相关准则，所给的判定条件 是以线性矩阵不等式( 嘲) 形式给出的，可以很方便地运用m a t l a b 工 具箱求解。 2 、考虑一类具有m a r k o v 跳跃参数的不确定线性时滞系统鲁棒日。 控制问题，给出了使系统鲁棒渐进稳定且具有给定胃。性能的充分条件。 通过参数变换和s c h u r 补引理，将已得出的充分条件转化成一系列耦合 线性矩阵不等式形式以便于控制器参数的求解。 3 、针对一类具有参数不确定性、非线性扰动和多时变时滞的关联系 统，采用【o ，o 】故障模型，提出了考虑执行器故障的可靠保性能鲁棒控制 问题。基于l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式( l m i ) 方法，得到系统存在 可靠保性能控制器的充分条件和控制器的设计方法，并给出了系统的可 保性能的表达式。 关键词：l u r i e 系统，关联系统，线性跳跃系统，鲁棒置啦制，线性矩 阵不等式 r o b u s tc o n t r o lo fu n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s j i nh u i ( c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e d b y a s s o c i a t e p r o f e s s o r z h a n g g a o - m i n a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo f r o b u s tc o n t r o lo f u n c e r t a i n t i m e - d e l a y s y s t e m s t h ed e v e l o p m e n to fr o b u s tc o n t r o lt h e o r ya n dl i n e a lm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u ei ss u m m e d 叩a tf i r s t , a n dt h e na c c o r d i n gt o d i f f e r e n tu n c e r t a i nf i m e d e l a ys y s t e m s ，t h er o b u s ts t a b u i t yc o n d i t i o na n dt h e m e t h o do fr o b u s tc o n t r o l l e rd e s i g no ft h e s es y s t e m sa l es t u d i e d i ti sa s f o l l o w s f i r s t ，t h ep r o b l e mo fa b s o l u t es t a b i l i t yf o rl u r i ec o n t r o ls y s t e m sw i t h t i m e - v a r y i n gd e l a y si si n v e s t i g a t e d f o rt h el u r i es y s t e m ss u b j e c tt ob o m t i m e - v a r y i n gd e l a y sa n dp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f r o b u s ts t a b i l i t ya r ed e d u c e db a s e do n l y a p u n o vm e t h o da n df i n s l e r sl e m m a t h ep r o p o s e dc o n d i t i o n sa r ei nt e r m so fl i n e a lm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) w h i c h c o u l db ee a s i l ys o l v e db ym a t l a bt o o l b o x s e c o n d 。t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t ya n dh - i n f i n i t y c o n 协o lf o rac l a s so fu n c e r t a i nm a l k o v i a nj u m pl i n e a l s y s t e m sw i t h t i m e - d e l a y s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo far o b u s ta n dh i n f i n i t y c o n t r o l l e ra r e d e r i v e d b yu s i n gt h ec h a n g eo fv a r i a b l e sa n ds c h u r c o m p l e m e n t s ，t h eo b t a i n e dc o n d i t i o n sc a nb er e w r i t t e na sas e to fc o u p l e d l i n e a lm a t r i xe q u a l i t i e s ( l m s ) ，a n dt h eh - i n f i n i t yc o n t r o l l e rc , a nb e c o n s t r u c t e dt h r o u g ht h en u m e r i c a ls o l u t i o no f t h e s el m i s t h i r d ，t h ep r o b l e mo f t h er e l i a b l eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lb a s e do nap ， 0 】m o d e lo ff a i l u r e i s i n v e s t i g a t e df o r ac l a s si n t e r e o n n e e t e du n c e r t a i n s y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y s ，n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n , p a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e sc o n t a i n i n ga c t u a t o rf a i l u r e b yu s i n gl y a p u n o va p p r o a c ha n d l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u e ，as u t 五c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo ft h er e l i a b l eg t m r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri sd e r i v e d ，w h i c hr e n d e r s t h es y s t e mag u a r a n t e e dc o s t k e yw o r d s ：l u r i es y s t e m s ，i n t e r c o n n e c t e ds y s t e m s ，l i n e a rj u m ps y s t e m s ， r o b u s ta n dh i n f i n i t yc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l 时 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：全缂”呻7 年r 月，日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 金辉 口7 年广 月i b 日 p 7 年f 月b 日 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章前言 第1 章前言 1 1 鲁棒控制理论概述 控制系统的鲁棒性是指系统中存在摄动即具有不确定性时系统能保 持正常工作性能的一种属性。关于系统鲁棒性的研究，最早可以追溯到 上个世纪p e a n o 、b 删x s o n 和d a r b o x 等人对微分方程解对初值和参数 具有连续依赖性的工作【，这是一种无穷小的思想。之后，鲁棒控制问 题出现在b l a c k ( 1 哪的专利上。针对精确系统的大范围摄动，b 1 a c k 提 出了反馈和大增益思想。遗憾的是，用此方法设计的系统，其闭环系统 常常是动态不稳定的。直到文献 2 的结果发表之后，动态稳定性和大增 益之间的关系才得以充分理解。n y q m s t 的频域稳定性判据和b l a c k 的大 增益思想形成了b o d e 专著。此外，b o d e 还引进了微分敏感性函数来衡 量参数扰动下的系统的性能，但通常只局限于微摄动的不确定性，即敏 感性分析。可见，鲁棒控制的早期研究常只限于微摄动的不确定性，都 是一种无穷小分析的思想。 实际上系统中参数是不能视为不变或仅具有无穷小摄动的。系统工 作环境的变化、模型的不精确、降阶近似、非线性的线性化等均可化为 一种参数扰动，有时系统受控对象可能有几个不同工作状态，当用同一 控制器来控制这种对象时，人们也把由于不同工作状态所对应的参数的 参数差别视为一种摄动，当然这种参数的变化只能视为有界摄动而不是 无穷小摄动。因此传统用于敏感性分析的数学方法己无法应用，必须采 用能适合于大范围分析的方法和理论。现代鲁棒控制最重要的特点就是 要求讨论系统性能在非微有界不确定性摄动下的保持能力。 在六十年代前后发展起来的以l q g 最优控制理论为代表的近代线 l 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 性系统理论，是基于时域概念在经典控制理论的基础上发展起来的，它 以状态空间方法为主，研究控制系统状态的运动规律，并实现最优化设 计。在这段时间，由于反馈控制系统的分析和设计更多地使用状态空间 矩阵方程，主要有状态空间模型以及能控性和能观性分析方法、l q r 、 l q g 最优控制方法、k a l m a n 滤波器方法、极点配置方法和基于状态观 测器的反馈控制方法。然而，这些理论与方法完全依赖于描述被控对象 动态特性的数学模型。用这种理论设计指标在实际的被控对象上是否能 得到实现则完全取决于用于设计的数学模型的精确程度。数学模型成为 连接理论世界和工程实际的关键桥梁。但是，由于客观实际中不可避免 地存在着各种不满足理想假设条件的不确定性因素，因此想获得精确的 数学模型几乎是不可能的事情。事实上近代控制理论一直得不到广泛的 工程应用也正是由于这原因。现代控制理论的这一局限性促进了鲁槔控 制理论的发展。到1 9 7 2 年鲁棒控制这一术语首次出现在文献 3 中，1 9 7 4 年首次在文献 4 的标题中出现。鲁棒控制思想在经典控制理论中是以稳 定裕度来衡量的，但由于这种基于n y q u i s t 频率判据的概念只适合于单输 入单输出系统，随着系统本身的复杂化，它的应用受到了限制。到8 0 年 代，关于控制系统的鲁棒性研究引起了高度的重视，鲁棒控制的研究势 头仍有增无减。 鲁棒控制理论发展的最突出标志是h 。和p 方法。1 9 8 1 年磊蚰鹳嘲 首次提出了著名的月。控制思想。z m x l e $ 考虑了这样一个单输入、单输出 系统的设计问题，即对于属于一个有限能量集的干扰信号，设计一个控 制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数 的日，范数可以描述有限能量到输出能量的最大增益，所以表示上述影响 的传递函数日，范数作为目标函数对系统进行优化设计，这就可使具有有 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章前言 限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。 日硅制理论的研究主流可分为两个大阶段 6 1 。到1 9 8 4 年为止为第一 阶段。在此阶段，人们更多地是考虑多变量系统，在使控制系统内部稳 定的控制器集合中寻求一个使传递函数矩阵的肌范数最小的解，通过把 稳定化的控制器的y o u l a 参数变换成模型匹配或一般距离问题，然后再 将其变换为n e h a f i 问题来求解。设计是基于传递函数矩阵的，虽然计算 时也采用状态空间描述。到1 9 8 8 年为第二阶段。在此阶段，人们不采用 输入输出传递函数矩阵的描述，而直接在状态空间上进行设计。此类方 法不仅设计过程简单，计算量小，而且所求的控制器的阶次较低、结构 特性明显。这一阶段的标志是1 9 8 8 年d o y l e 和g l o v e r 等在全美控制年 会上发表了著名的d g k f 论文，文中给出了标准乜与鼠啦制问题的状 态空间解法，证明了肌控制问题的解可以通过求解两个适当的r i c c a t i 方程得到。至此线性系统的鲁棒控制理论已基本形成。 目前线性系统的鲁棒控制理论主要集中在进一步寻求行之有效的解 法，从而使控制系统设计更加精确，更加实用，更加符合实际的需要， 并将所得理论和方法进一步向l u r i e 系统、线性跳跃系统和关联系统扩 展。下面就已取得的部分方法和结果作简要的介绍。 1 2 线性矩阵不等式方法( l m l ) 在线性系统的鲁棒控制理论基本成熟后，人们便寻求更为方便有效 的解法。2 0 世纪9 0 年代初，随着求解凸优化问题内点法的提出，线性 矩阵不等式再一次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领 域，许多控制问题可以转化为一个线性矩阵不等式的可行性问题，或者 是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，由于有了求解凸优化问 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 题的内点法，使这些问题可以得到有效的解决。1 9 9 5 年m a t l a b 推出 了求解线性矩阵不等式问题的l m i 工具箱，从而使人们能够更加方便和 有效地来处理、求解线性矩阵不等式系统，进一步推动矩阵不等式方法 在系统和控制领域中的应用。 所谓l m i 是指一个具有如下形式的矩阵不等式： f ( x ) = f o + 五五+ 最 0 ( 1 2 1 ) 其中x 是一个其元素为x s ( f = 1 所) 的未知向量，只是给定的对称矩阵。 显然，矩阵不等式( 1 2 1 ) 表明f ( 功是正定的。由于f ( x ) 0 ，向量工的集 合是凸的。这样，任何具有这类约束和凸指标的鲁棒控制问题都可以简 化为一个凸规划问题。凸优化问题的特点是，其最优解是全局的，而且 存在求最优解的有效算法。 在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的，例 如l y a p u n o v 方程( 或不等式) 和r i e e a t i 方程( 或不等式) ，其形式为： a 7 p + p a + q = 0 或p + 只4 0 ，q s 尼“s 7 0 或q o ，r s 7 1 s o 上述引理在利用l m i 方法进行不等式变形时，经常要用到，也称为s c h u r 补引理。 线性矩阵不等式处理方法可以克 艮r i c c a t i 方程处理方法中存在的许 多不足。线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此， 可以应用求解凸优化问题方法来求解。正是这种凸约束条件，使得在控 制器设计时，得到的不仅仅是一个满足设计要求的控制器，而且是从凸 约束条件的任意一个可行解都可以得到一个控制器，即可以得到满足设 计要求的一组控制器。这一性能在求解系统的多目标控制问题时是特别 有用的。 随着m a t l a b 软件中l m i t 具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具 越来越受到人们的注意和重视，应用线性矩阵不等式方法来解决系统与 控制问题已成为这些领域中的一大研究热点。 1 3 不确定时滞系统的研究现状 时滞是客观世界和工程技术中普遍存在的问题。近年来对时滞系统 的研究得到了众多学者的广泛关注，并取得了丰硕的成果。在实际系统 如电子网络、微波振荡器、核反应堆、化学过程、手动控制、水力远程 传送等过程中均存在时滞。引起时滞的主要因素：系统变量的测量、系 统设备的物理性质、物质及信号的传递等。 时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，且时滞的 存在往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。正是由于时滞系统在实 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 际中的大量存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的 分析和综合直是控制理论和控制工程领域中研究的个热点问题。 目前，国内外对不确定时滞系统的研究已经取得了一些结果m 。根 据所研究的问题是否与时滞大小有关，一般分为时滞独立和时滞相关问 题，如研究系统的稳定性条件时，可以分为： ( 1 ) 时滞独立的稳定性条件：即在该条件下，对所有的时滞a b o ，系 统是渐近稳定的。由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此， 适合于处理具有不确定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析 问题伽。 ( 2 ) 时滞相关的稳定性条件：即在该条件下，对滞后时间d 的某些值， 系统是稳定的，而对滞后时间d 的另外一些值，系统则是不稳定的。因 此，系统的稳定性依赖于滞后时间的大小例。 一般说来，时滞独立的稳定性条件比较保守。但是，时滞独立的稳 定性条件也有其优点：首先，这样的条件往往更为简单；其次，它可以 允许系统的时滞是不确定或未知的，从而无须知道系统时滞的精确信息。 但时滞独立稳定性的条件的保守性也不是绝对的。因此，在分析时滞系 统的稳定性问题时，这两类稳定性条件各有优点，有不可替代的作用。 l u r i o 控制系统是一类非常重要的控制系统，关于其稳定性研究已有 很多有价值的结论，形成了相对独立的理论体系。p o p o v e ，s o m o l i n e s 以及h a l e 1 0 】等人研究了具有时滞的控制系统绝对稳定性问题，给出了系 统绝对稳定的判别准则，但所给的判别准则均与时滞无关。由于缺乏了 时滞的信息，这类结论在某些情况下比较保守，另外所给的准则对系统 系数矩阵的要求比较严格。最近文献 1 1 利用r a z i | m i 蚰i n 定理给出具有 时滞的l u r i e 型控制系统在有限扇形角内绝对稳定的时滞相关条件，由于 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 限制条件较强，得到的时滞界限较小。文献 1 2 利用矩阵不等式的方法 给出了系统绝对稳定的充分条件，改进了现有的有关结果。在文献 1 3 研究了一类更为广泛的中立型一般l u r i e 系统在无限扇形角内的绝对稳 定性问题，利用l y a p u n o v 方法给出了系统绝对稳定的时滞相关准则。 另外，许多实际系统都会因内部部件的故障、维修、受到突发性环 境扰动、子系统之间关联发生改变等原因而发生结构上的改变。1 9 6 1 年 k r a s o v s k i i 和l i d s k i i l l 哪第一次引入线性切换模型，用连续时间的马尔可 夫链来描述这种不同模型结构之间的切换。4 0 多年来，该类系统受到广 泛关注，大批研究成果不断涌现。在鲁棒稳定性分析等方面，文献i t 5 中讨论了一类控制系统的鲁棒控制问题，证明该问题可转化为线性矩阵 不等式( l m i ) 可解性问题。对于带有马尔可夫跳跃参数的随机系统，文献 1 6 得到了一般多模态随机系统的k 阶矩阵指数稳定性定理。文献 1 7 中假定布朗运动时标称系统是稳定的条件下，得到了随机系统均方指数 可镇定的充分条件。文献 1 8 讨论了一类马尔可夫切换系统的鲁棒稳定 性问题，以l m i 的形式给出系统稳定的充分条件，同时设计状态反馈控 制器，使得对所有容许的不确定性，闭环系统鲁棒稳定，且能将干扰抑 制到一定水平。 近年来，由于系统空间上的大型化、结构上的复杂化等因素，在工 程技术和社会经济领域中出现了大规模系统，例如电力系统、化工系统 等。对于这些大型系统，集中控制将使得整个控制系统信息交换异常复 杂，从而导致系统集成和运行成本提高，系统的可靠性降低。在关联系 统中，子系统间的信息传输又往往存在时间滞后，因此研究具有滞后的 关联动态系统的鲁棒控制是十分必要的。近年来，关联系统的分散控制 方法受到了人们的广泛重视，提出了许多有效的分散控制系统设计方法， 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 并在一些实际系统中取得了成果。文献 1 9 研究了一类状态矩阵、控制 输入矩阵以及关联矩阵含有数值界不确定性的关联系统的分散鲁棒以状 态反馈控制器设计问题。在文献 2 0 中，对于l u r i e 型关联控制系统通过 选择适当的关联矩阵来实现大系统的稳定。文献 2 1 研究了一类具有数 值界不确定性的关联广义系统的保性能分散控制，给出了控制器存在的 一个充分条件和保性能指标。 虽然控制系统的鲁棒控制理论日趋成熟，特别是不确定时滞系统， 但是并不是所有理论问题都获得解决，从应用的角度看，仍存在着一些 需要解决的问题。 首先，在实际应用中，对系统建模提出更高的要求，如需考虑系统 的可靠性、提高系统的性能指标，此时需重新建立精确的系统模型，设 计出适当的鲁棒控制器，使系统保持符合要求的鲁棒稳定性和性能指标。 其次，保守性问题一直也是研究不确定时滞系统鲁棒控制要解决的 一个问题。通过建立参数依赖的l y a p u n o v 函数和更好的推理论证来减小 所得结果的保守性。 最后，不确定时滞系统尤其是l u r i e 时滞系统、线性跳跃系统和关联 时滞系统的鲁棒控制问题的进一步研究都是很有意义的研究方向。 1 4 本文的主要工作 本文的研究工作是在前人对不确定时滞系统鲁棒稳定性和控制器设 计问题研究的基础，进一步研究不确定l u r i e 时滞系统、线性跳跃系统、 关联时滞系统的鲁棒稳定性问题和鲁棒控制器设计问题，从而使得对不 确定时滞系统的应用变得更加方便、精确。各章主要内容如一下： 第一章简要介绍了研究不确定时滞控制系统的意义和国内外研究现 r 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 状。 第二章通过研究一类具有多时变时滞的l u r i e 控制系统的鲁棒控制 问题，得到了此类型l u r i e 控制系统绝对稳定的时滞相关判断准则。 第三章讨论了一类具有m a d 【o v 跳跃参数的不确定线性时滞系统的 删空制问题，给出了使得系统鲁棒稳定且具有矾性能，的充分条件，此 条件是基于线性矩阵不等式( 嘣i ) 形式的。 第四章针对一类具有参数不确定性、非线性扰动和多时变时滞的关 联系统，提出了考虑执行器故障的可靠保性能控制问题，得到系统存在 可靠保性能控制器的充分条件和控制器的设计方法，并给出了系统的可 保性能的表达式。 第五章总结了全文的工作，指出了开展这项工作的意义，并提出了 亟待解决的问题和进一步研究的方向。 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章一类不确定l u r t e 时滞系统的绝对稳定性 第2 章一类不确定l u r i e 时滞系统的绝对稳定性 2 1引言 l u r i e 控制系统是一类非常重要的非线性控制系统。近年来。关于 l u r i e 控制系统绝对稳定性分析问题受到国内外学者的广泛关注，并取得 了较多的研究成果。一般地，l u r i e 时滞控制系统绝对稳定的条件有时滞 无关条件和时滞相关条件两种，由于时滞无关条件缺少时滞的信息，因 此可能具有较大保守性。文献 2 2 , - - 2 3 1 基于r a z u m i k h i n 定理与向量不等式 的方法，得到了系统绝对稳定的时滞相关条件；在文献c 2 4 中，通过将原 系统变换为奇异系统，给出了系统绝对稳定的充分条件，改进了有关的 结果。最近文献【2 5 】利用n e w t o n - l e i b r h z 公式，得到时交时滞系统绝对 稳定的相关准则。 线性矩阵不等式( l m i ) 方法已成为鲁棒控制问题分析与综合的一种 重要方法嗍。本章在文献【2 7 2 8 】的基础上，研究了具有不确定性、多时 变时滞的l u r i e 控制系统的绝对稳定性问题，利用l y a p u n o v 方法和 f i n s l e r s 引理进行讨论，给出了系统绝对稳定的时滞相关判据，推广和 改进了现有文献的一些结果。 2 2 系统描述 考虑具有如下形式的不确定l u r i e 控制系统 如) = 芝( 4 + 4 ) ) x 够一( f ) + 龟“仃( f ) ( 2 1 a ) t 0 盯o ) = c 7 x ( f )( 2 1 b ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章一类不确定l u r i e 时滞系统的绝对稳定性 式中，系统状态向量x ( f ) r ”，时滞r o = 0 ，r a t ) 0 ，i = 1 ，2 ，脚，向 量6 ，c r ”，4 为适当维数的常数矩阵，时滞t o ) ( f = 1 ，肌) 满足： 0 t ( r ) 吩s 码s l i = 1 ，m 在实际控制系统中，由于各种原因引起的参数不确定性是普遍存在 的。在系统( 2 1 ) 中，令a 4 ( 0 为系统模型中不确定连续函数矩阵，满足如 下形式 4 ( f ) = e z ( f ) t t , ( 2 2 ) 其中不确定参数阵f ( r ) 满足f ( r ) 只( f ) s ，它包含了系统模型的参数不 确定性。e 和只为适当维数的常数矩阵，即反映了模型不确定性的结构。 不确定性的表达形式( 2 2 ) 具有普遍的意义，很多具体的不确定形式 都可化为表达式( 2 2 ) 的形式，例如：在区间系统中，系统矩阵7 经常是 常数区间矩阵，满足： a 7 = _ = ( 嘞) r “”i s 吩s 衫，i ，y = l ，2 ，n ) = 【4 ”，a “】 式中：a ”= ( ) “，a m = ( 嘞) ”均为确定的常数矩阵。如果令； 彳：2 娑，g ：( q ) ：兰半 ， ，7 e l = 【o 0 1 0 o 】7 ，i = 1 ，疗 e = 听矗乒晶q r g - j l e , 店】尼耐 日= 【磊扣矗扣扫r r - a 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章一类不确定l u r i e 时滞系统的绝对稳定性 f = d i a g ( s j l 气，) ，l e , , l - i ，i , j = l ，2 ，弗 则f 7 f s i ，并且此时系统矩阵a 7 可写成a 7 = a + a a ( t ) = a + e f ( t ) h 的 形式。 由于非线性元件的特性厂( 往往不容易测准，而且随着环境变化， 但是对非线性用扇形区来刻划，可使问题得到简化，故将非线性函数，( ) 定义如下： f ( c r ) k 【o ，o 。】= f ( 仃) l ( o ) = o ，0 c ( c r ) s 。d ，盯o ( 2 3 a ) 八仃) k o ，明= 厂( f ( o ) = o o 口丁( 伊) s 七盯2 ，矿o ( 2 3 b ) 当4 ( f ) = 0 时，系统( 1 ) 对应的标称系统为： 如) ；4 x ( f t ( f ) ) + 矿p ( f ) ) ( 2 4 a ) i - 毋 o r ( t ) = c 7 x ( 力 ( 2 4 b ) 若系统对满足条件的非线性函数，( - ) 是全局渐进稳定的则称系统 绝对稳定。 本文研究的问题是：考虑l 证e 时滞控制系统( 2 1 ) 在厂( ) 满足( 2 3 ) 时，得出系统绝对稳定的时滞相关准则。 引理i 鲫对于任意鼓：0 ，x 0 ，若存在z 胪，使得 x r q + x b + f f x r i x + f ( x ) 0 ，最，乞+ 4 ，置 0 ，s 0 ，毛，r 2 ，z j l ，z f 2 ，互3 ，i = 1 ，t n 满足： 墨 晶 i 埒z n z 1 2i 0 f = l ，m ( 2 5 a ) 【瑶z r 互，j m 彳t + 9 4 + 乏b + 靖+ + 馅。】写一巧+ 名七十乏强+ 引 n硝 m 乏弘四+ 引一巧一号 埘 1 3 和一g + i f 4 吨一瑶+ 相 - 0 一q 碍+ 4 e , + i f 4 ； 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章一类不确定l u r i e 时滞系统的绝对稳定性 名一场+ 巧4 o 如一砭+ 黟如 譬+ 琏如 ； - ( i 一露溉+ + 鼍，4 则系统( 2 4 ) 绝对稳定。 鼍墨c + + 镌p o + 琏b p m 。+ 琏b 专箕c + 墨+ 瑶b ； 鬈只。+ 砭，6 + 名c 矿+ 6 + 6 证明：对系统( 2 4 ) ，取l y a p u n o v 函数： 矿= k + + 巧 式中： 0 ( 2 s b ) k = x ( f ) 7 日x ( r ) 巧= 善 厶。，( s ) & x ( s ) d s d 曰+ f _ f j ( f ，) s z ( s ) 烈 巧= r 加) d s + 2 f lf o ( s ) 弛) 凼 对矿( 力沿系统( 2 4 ) 轨迹对于时间求导数，则： ( 2 6 ) 矿= ： 7 三暑 ： + 以+ 吃 g 乃 为使痧 0 ， i = o ，辨和矩阵号 o ，最，0 + ，墨 o ，墨 o ，l ，2 ，五t ，互2 ， 磊，汪o ，肼满足式( 2 5 a ) n ： = 险匀 1 6 ( 2 ，1 1 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章一类不确定l u r i e 时滞系统的绝对稳定性 m 片珥号+ 乏+ 幅】 闰 殛露崛】q d 名，一瑶+ 巧4 一，犯一z 二+ 9 4 箕p 嗽n + 暖a m - ( 1 一如) 最+ 4 气，+ 如厶+ 磁以 厶= 琏e o 砖瓦 醒e o 如磊 ( 焉+ 必) 昂 矗r + 理a 号 蝈- 4 琏e 。 琏e m 瑶e 。 j 如e ；( 焉。+ i c 7 ) e m 叫妈+ 4 七+ 葺4 峒阳 ； 毛筏c + p c + 。+ 琏b - e “+ 霹b 毛重c + 箕匕“+ 琏b i 鬈+ 焉，6 + 号名c 移+ 0 + g b ， o = d i a g a o l ，a j 则系统( 2 1 ) 绝对稳定。 证明：在定理1 的证明过程中，引入系统( 2 1 ) 的不确定性( 2 2 ) ，则： g 馘+ 战r 战鼍琏酗+ 战r 理酞+ 战战+ 战c 0 g 馘 g a o 珐馘+ 醴r 瑶哦+ 磁醴+ 毛m c ；i；i； 。 露+ 靠靠+ 馘c 0 1 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章一类不确定l u r i e 时滞系统的绝对稳定性 磅民0毫e 曼 霹瓦0g 墨 砖 土砭民0 毫e l i 瓦 。1：；， ； l 酝0 懿瓿 l ( 磊+ j i l c ? 坶0 ( 繇嵌，垮( 繇q a ) 磊 q 磁；职舯 上2 1 e + d i a g ( c r o 掰玩，o ，q 研，联蛾，o ) 再通过s c h u r 补定理可得( 2 1 1 ) 。 当八) k o ，k 】，系统( 2 1 ) 绝对稳定的时滞相关判定定理如下； 定理3 对于系统( 2 1 ) ，f ( - ) e k o ，明，如果存在标量p o ，q o ， i = 1 ，m 和矩阵丑 o ，最，昂+ 4 ，置 o ，s 0 ，晶，1 2 ，互。，z ，2 ， 互，f = l ，m 满足式( 2 4 a ) 和a 2 o ) 6 o 互，o ，j = 1 ，2 ，i v ) 表示，：从模态f 跳转到的转移率，并且： 石= 一万玎( 石盯0 ，f ) 0 2 ) # ， 假设五= n 瞰魄，研，式( 1 ) 中4 g ) ，4 “) ，蜀( ) ，呸( ) ，c ) 为已知的常数矩阵，4 ( ，f ) ，4 也，f ) ，b l ( ，f ) ，a c ( r , ，f ) 为未知的 时变不确定矩阵，并具有结构形式： 【4 ( ，o 她q ，f ) a b g ，f ) 】= 皿q ) e 妩，f ) 【巨( ) 最( ) 墨( ，f ) 】， a c ( r , ，f ) = d 2 ( ) f ( ，f ) 包心) ( 3 3 ) 其中对每一个s ，d l ( _ r ；) ，d 2 ( ，；) ，e l 以) ，易“) 岛g ，r ) ，目( ) 是 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章不确定时滞线性跳跃系统的鲁棒h 一控制 f x = 4 ( ) 并( ，) + 4 ( ) 工( f 一 ( ，；) ) + 置( ) 甜( f ) + 岛( ) w ( f ) z ( f ) = c ( ) x ( f ) ( 3 5 ) l 工( r ) = 认f )r _ ，0 ，；= r o ，= 屡f 眵p 瑚) 一，o o ， ( 3 6 ) s - 未乏 。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章不确定时滞线性跳跃系统的鲁棒h o 。控制 s 0 等价于 0 ，s 。一墨：岛观 o 引理2 嗍 对于适当维数的矩阵q = 矿，日，e ，r = 矗7 ，则对 于任何满足，f s r 的矩阵f 都有 q + h f e + e 7 f 7 日7 0 使得 q + a h h 7 + 五一e r r e o ，控制器系数阵局， 适当维数阵r ，形o s ) ，使得耦合矩阵不等式( 3 6 ) 成立，则系统( 3 5 ) 闭环系统渐进稳定。 鬈# + 只矗，+ 乃弓 户i + z + 鬈7 + q + ，7 堙 幸 p j 屯一y + w j 一婶h l 砭zp 民 - - 0 一形一形7 绣鬈z 0 0 ooo - h , z z 马，0 一i o 一l o ( f s ) ，使得耦合矩阵不等式( 3 1 1 ) f i l j z 立，则系统( 3 1 ) 闭环系统渐进稳定。 ( 3 1 1 ) 证明：在定理l 的证明过程中，引入系统( 3 1 ) 的不确定性( 3 3 ) ，只 需将耦合矩阵不等式( 3 7 ) 中的确定矩阵4 ，4 ，置，替换成不确定系数 矩阵4 。+ d i 。e 局，如+ 口，巧( f ) 垦。，马，+ d l ，e o ) 岛。进行分析即可。 荨i f c 岛毛。乓q ) ) r 00 弛砚，0o 羁 o o慨o o 彬 f 峥 _ 备 一 桃。懈一。榴仫。警： 喟 螂书。+。 懈 嘲 哪 删。 电 n 气缉 私孥：。 盼阳 铆 删 o 巧 1lj 7 o o 霹o z 。l 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章不确定时滞线性跳跃系统的鲁棒h 一控制 1 0 l 而刍睁，。岘) 。帅 ：j茎1心昂。巨?c3j动 利用上述不等式( 3 1 2 ) ，并运用s c h u r 补定理，可得式( 3 ，1 1 ) 。 定理3 对于不确定时滞线性跳跃系统( 3 1 ) ，如果存在对称正定矩 阵暑，g ，z o ，控制器系数矩阵墨，适当维数矩阵z ，形，正常数 “， 0 ，使得耦合矩阵不等式( 3 1 3 ) 成立，则系统( 3 1 ) f f l g 系统渐进 稳定，并且系统在零初始条件下具有给定只。性能y 。 锻+ 戳盘弓 j - i q + 矿砂识孔狷琏 p a 爿娟：+ 槭黾蛾e 憾zf 民+ 礓黾磋 q l 彤一矽+ 硝心 匆缈0 矗z4 z 狂 口000 孑1 0 0 书幅 + 一扣毽e o o o d o 0 ! ! p 国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章不确定时滞线性跳跃系统的鲁棒h 一控制 c j o o o 0 o o o j + “睨d 2 ， 一e 矿( z ( r ) ，r ) ) e r 【z 7 0 ) z p ) _ _ i f 2 w 7 ( r ) w ( r ) + 矿y ( 工( f ) ，f ) 】出 将矿o ( r ) ，f ) 代入上式，得： m 乳，f a + c 1 c 。0 0 0 oo0 0 00 00 00 o - t 2 i 上式的负定性，从而证明了标称系统在零初始条件下具有只。性能，。 将耦合矩阵不等式中的系数矩阵4 ，4 ，民，c f 替换成不确定系数矩 阵4 ，+ 日f o ) 互，4 ，+ 口，f o ) 易，骂。+ d 1 ，f o ) 易，g + 0 2 ，z ( f ) 巨，进 行分析即可，其证明完全类似定理2 ，这里省略。 ， ， 巨o o o o o o o o 鲳 池o o o翟o o掣。 印o o o忸o o。 协 l， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章不确定时滞线性跳跃系统的鲁棒h 一控