（应用数学专业论文）mhd方程组解的衰减性质的研究.pdf

摘要 本文考虑r 3 0 ，+ o 。) 上的非定常m h d 方程组 “+ ( u tv ) “一( b v ) b + v p = a u b + ( u v ) b ( b - v ) u = a b ， d i v u = 0 ，d i v b = 0 ， 川- + 0 ，i b l _ 0 ， ul # o = u 0 ，bi k o = b o ， ( z ，) r 3 ( 0 ，+ 。) ， ( ，t ) r 3 ( o ，+ o c l ) ， ( 。，t ) r 3x ( 0 ，+ o o ) ， ( 十) i z l + ， z r 3 其中u = u ( z ，) ，b = b ( x ，) 分别表示未知速度向量和未知磁场。p = p ( x ，t ) 表示压力函数，l , 0 = u o ( z ) ，b o = 玩 ) 分别表示初始速度与初始磁场 本文主要研究问题( ) 弱解的空间衰减和时间空间衰减性质及强解的时间空 间衰减性质，内容分为如下三部分： 1 考虑问题( 十) 的逼近解序列，推导逼近解的积分表示式利用s t o k e s 方程 组的c a u c h y 问题的解构造线性化的m h d 方程组c a u c h y 问题的解，得到逼近解 序列，利用s t o k e s 方程的基本解及投影算子的奇异积分表示推导出逼近解的积分 表示 2 考虑问题( ) 的弱解的空间衰减和时闯空间衰减估计利用y o u n g 不等 式，h s l d e r 不等式，s o b o l e v 不等式，g r o n w a l l 不等式和奇异积分的性质得到 m h d 方程组弱解的空间衰减估计，进一步得到弱解的时间空间衰减估计 3 考虑问题( ) 的强解的时间空间衰减估计利用得到的弱解的空间衰减1 占 计，由y o u n g 不等式，h 6 1 d e r 不等式，c a u c h y 不等式，g r o n w a l l 不等式蹦及 奇异积分的性质，推导出m h d 方程组的强解在( r 3 ) ( p 3 ) 上的时间空间衰减 估计， 关键词：m h d 方程组，弱解，强解，空间衰减，时间空间衰减 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n s t a t i o n a r ym h d e q u a t i o n si nr 3 【o ，o 。) u + ( “v ) 札一( b v ) b + v p = a u b + ( “v ) b 一( b - v ) u = a b ， d i v u = 0 ，d i v b = 0 ， 川- 40 ，i b i _ 0 ， 珏i b o = u 0 ， b i t = o = b 0 ， ( z ，t ) r 3 ( 0 ，+ 。) ， ( z ，t ) r 3x ( 0 ，+ o o ) ， ( 。，t ) r 3x ( 0 ，+ o 。) ， ( 十) - - + + o o ， o r a t h eu n k n o w nf u n c t i o n su = 钍( z ，t ) ，b = b ( x ，。t ) ，p = v ( x ，t ) a r et h ev e l o c i t y f i e l d s ，t h em a g n e t i cf i e l d sa n dt h ep r e s s u r er e s p e c t i v e l y 钍o = u o 扛) ，b 0 = b 0 ( z ) a r et h ei n i t i a lv e l o c i t ya n dt h em a g n e t i cf i e l dr e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h es p a t i a ld e c a y s ，t e m p o r a la n ds p a t i a d e c a y sf o rw e a ks o l u t i o n so ft h em h de q u a t i o n sa n dt h et e m p o r g la n ds p a t i a l d e c a y sf o rs t r o n gs o l u t i o n s t h ec o n t e n t so ft h ep a p e ri n c l u d et h ef o l l o w i n gt h r e e p a r t s ： f i r s t ，w ec o n s t r u c tas e q u e n c eo fa p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n dd e r i v et h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s t od os o ，w ee m p l o yt h e s o l u t i o n sf o rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h es t o k e se q u a t i o n st oc o n s t r u c tt h es e q n e n c eo fa p p r o x i m a t es o l u t i o n sf o rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h el i n e a r i z e dm h d e q u a t i o n s i no r d e rt od e r i v ea ni n t e g r a le x p r e s s i o nf o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s ， w eu s et h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no ft h es t o k e se q u a t i o n sa n dt i l es i n g u l a ri n t e g r a l e x t u e s s i o no ft h eh e h n h o l t zp r o j e c t i o no p e r a t o r s e c o n d ，w ec o n s i d e rt h es p a t i a ld e c a ye s t i m a t e sa n dt h et e m p o r a la u ds p a - t i a ld e c a ye s t i m a t e sf o rt h ew e a ks o l u t i o n s a p p l y i n gt h ey o u n gi n e q u a l i t i e s ， h s l d e ri n e q u a l i t i e s ，s o b o l e vi n e q u a l i t i e s ，g r o n w a l li n e q u a l i t i e sa n dt h ep r o p e r t i e s o fs i n g u l a ri n t e g r a l ，w ea r ea b l et og e tt h es p a t i a ld e c a ye s t i m a t e sf o rt h ew e a k s o l u t i o n s f u r t h e r l n o r e ，w ea l s og e tt h et e m p o r a la n ds p a t i a ld e c a ye s t i m a t e sf o r c l l ew e a ks u l l u t i 0 e l s t h i r d ，w ec o n s i d e rt h et e m p o r a la n ds p a t i a ld e c a ye s t i m a t e sf o rt h es t r o n g s o l u t i o n s b ye m p l o y i n gt h es p a t i a ld e c a ye s t i m a t e sf o rt h ew e a ks o l u t i o n sa n d u s i n gt h ey o u n gi n e q u a l i t i e s ，h s l d e ri n e q u a l i t i e s ，s o b o l e vi n e q u a l i t i e s ，g r o n w a l l i n e q u a l i t i e sa n dt h ep r o p e r t i e so f s i n g u l a ri n t e g r a l ，w ea r ea b l et og e tt h et e m p o r a l a n ds p a t i a ld e c a ye s t i m a t e sf o rt h es t r o n gs o l u t i o n si n 驴( r 3 ) ( p 3 ) s p a c e k e yw o r d s ：m h de q u a t i o n s ，w e a ks o l u t i o n s ，s t r o n gs o l u t i o n s ，s p a t i a l d e c a y s ，t e m p o r a la n ds p a t i a ld e c a y s 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：磨灵之 日期1 榔7 ，同 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并 向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的 的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：，7 段芝 日期旃钟日 第一章引言 磁流体动力学( m h d ) 与物理学的很多分支及化学、冶金、核能、航天等科学 技术领域都有紧密联系，研究m h d 方程组的有关问题有较广阔和重要的应用背 景 本文考虑如下三维菲定常m h d 方程组的c a u e h y 问题 “+ ( u v ) u 一( b v ) b + v p = u b t + ( “v ) b 一( b - v ) u = a b ， d i v u = 0 ，d i v b = 0 ， 川- - + 0 ，l b l - - - 0 ， 1 b o = 2 * 0 ， b i b o = b o ， ( x ，t ) r 3 ( 0 ，+ o 。) ， ( x ，t ) r 3 ( 0 ，+ o 。) ， ( z ，) r 3x ( 0 ，+ 。) ，( 1 1 ) i z i + 。， z r 3 其中“= u ( x ，t ) ，b = b ( x ，t ) 分别表示未知速度向量和未知磁场，p = v ( x ，t ) 表 示压力函数u o = o ( z ) ，b o = b o ( o ) 分别表示初始速度与初始磁场强度 m h d 方程组与流体力学中的n a v i e r - s t o k e s 方程组在结构上比较柑似特别 的，若b = 0 ，m h d 方程组变为不可压n a v i e r - s t o k e s 方程组因此。在解决m h d 方程组的问题时，可采取与研究n a v i e r - s t o k e s 方程组类似的方法但m h d 方程 组中出现了未知的磁场函数b ，及更多的的非线性耦合项，因而对m h d 方程组的 理论研究比n a v i e r - s t o k e s 方程组会更为困难些 本文将研究问题( 1 1 ) 解的衰减性质，包括解的时间衰减和时间空间同时衰减 两方面的性质有关非定常n a v i e r - s t o k e s 方程组解的衰减性质的研究已有十分丰 富的结果近年来关于其空间衰减及时间空间衰减又有一些新的进展何成和辛 周平( c f 【6 ) 研究了r 3 上非定常n a v i e r s t o k e s 方程组解的衰减性质。得到解的衰 减估计h y e o n g o h kb a e 和b u mj aj i n ( c f f 2 】) 得到了n a v i e r s t o k e s 方程组弱 解的时间空间衰减率最近，h y e o n g - o h kb a e 和b u mj aj i n ( c f 【3 1 ) 又进一步得 到了n a v i e r s t o k e s 方程组弱解的时间空间衰减的上下界估计， 对于m h d 方程组解的衰减性质也有相应的研究结果，特别是关于时间衰减性 质的研究 m e s c h o n b e k ，t p s c h o n b e k ，e s i i l i ( e f 1 8 1 ) 研究了r “( 2 ns4 ) 上的m h d 方程组，得到了解的时间衰减率关于m h d 方程组p 强解的存在性 及时间衰减性质的研究见【1 9 】而对于m h d 方程组解的空间衰减与时间空间衰减 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 6 生 性质的研究还很少本文在已有n a v i e r - s t o k e s 方程组研究结果的基础之上，通过 构造m h d 方程组的线性化逼近方程组必及讨论奇异积分的性质，得到m h d 方 程组解的空间衰减与时间空间衰减性质 在介绍主要结果前，我们先给出一些符号的定义及m h d 方程组的弱解和强 解的定义 设仇0 为整数，用护( 兄3 ) 表示通常的l e b e s g u e 空间，用f f 表示空间 扩( r 3 ) 的范数 用w ”，p ( r 3 ) 表示通常的s o b o l e v 空间，当p = 2 时，记为h ( r 3 ) ，而且用 j l 1 1 w m 、一表示空间1 ”巾( r 3 ) 的范数 g 器( r 3 ) = u l u ( 守( r 3 ) ，d i v u = o ) ，州1 ，, 以2n 3 ) 为c 器, a r 3 ) 在w 1 2 ( 兄3 ) 中 的完备空间，上；( r 3 ) 为c ：器( r 3 ) 在l 2 ( r 3 ) 中的完备空间 用p ( o ，? i x ) ( 1 p + 。) 表示定义在f 0 ，刁上，取值在x 中的函数，且满 足l i f ( t ) l l v x d t 0 , u ，b l o 。( o ，t ；l 2 ( r 3 ) ) a l 2 ( 0 ，t ；h 1 ( 印) ) 2 ) u ，b 在分布的意义下满足方程组( 1 1 ) ，即对任意的咖( r r 3 ) ， z o 。厶一九u + 【v ) u ( b v ) b 】妒+ v 让v c d x d t = 厶庐o ，o ) 让。扛) d z ， z o 。厶一也b + ( 知v ) b 一( b v ) u 】妒+ v b v 加b 班= 厶咖( 卫，o ) b o ( z ) d x 3 ) 在分布的意义下，d i v u = 0 ，d i v b = 0 ，即对任意的，；f i ( ( 冗3 ) ， 厶。让( z ，t ) 审妒( z ) 妇= o ，厶。且( 。，。) v 妒o ) 如= o 则( u ，b ) 称作m h d 方程组的c a u c h y 问题( 1 1 ) 的弱解 定义2 ( 强解) 如果u ，b 满足以下条件： 1 ) “，b 是m h d 方程组的c a u c h y 问题( j 1 ) 的弱解 2 ) 对任意的丁 0 ，秕，b l 。( o ，死p ( r 3 ) ) ，3 3 时，m h d 方程组解整体存在唯一因此， 将定义2 中的2 ) 改为“t p ( o ，丁；l q ( r 3 ) ) ，；+ ；1 ，q 3 ，我们也称，曰) 为 m h d 方程组c a u c h y 问题( 1 1 ) 的强解 现在我们来叙述本文的主要结果 定理1 定理2 是关于弱解的空间衰减与时间衰减估计定理3 ，定理4 是关于 弱解的时间空间衰减估计定理5 ，定理6 是关于强解的时间空间衰减估计 定理1 设l t o ，b o l 1 ( r 3 ) n 上；( r 3 ) ，( 1 + j z j 2 ) l u o ，( 1 + i z n 女b o l 2 ( r 3 ) ， 那么问题( 1 1 ) 存在弱解n ，b l 。( 0 ，c o ；l 2 ( 只3 ) ) ，使碍对于任意的时间t 0 ，有 l l u ( t ) l l ；+ l l b ( t ) l g + zi l v “( r ) i i ；d 什j c i i v b ( r ) l g d r 4 1 1 u 。1 1 ；+ 4 i i b 0 l | ； ( 1 - 2 ) 眦1 j ! z 2 ) 5 “1 1 ；+ 1 1 ( 1 + i 。1 2 ) 。b j | ；+ z 。l f ( 1 + l z l 2 ) 。v 珏| | 2 ( 1 3 ) 十上1 1 ( 1 + 1 2 1 2 ) v b 旧c a l ， 而且，对于任意的时间t 0 ，有 l i t ( t ) j j 2 + l i b ( t ) l l z o n ( 1 + t ) 一 ，( 1 4 ) 赳( t ) l + l i b ( t ) t l - c g( 1 5 ) 其中， n = f i 牡o l h + f l u o l l + l 珏o l i 。+ i i , z o l l ；+ ij b i i l - + j i b o l l + l i b 0 1 1 2 + l j 岛i 埕， g = i l u o l h + j i b o l l l + ( i i , , o l l 2 + l i b o l l 2 ： ， a t = e g ( i | “。蟾+ h 丑。鹏( ( 1 + f 。f 2 ) l u o 幡+ 腑l + l 。1 2 ) b o l l ；+ n 2 ) 定理2 设“o ，b o l 1 ( r a ) f l l ：( 莳) ，f z l 让o ，f z f 玩l 2 ( 莳) ，那么问题 ( 1 1 ) 存在弱解，b l o 。( o ，c o ；l 2 ( 础) ) ，使得对于任意的时间t 0 ，有 厶，( 1 + l 札1 2 出+ 上厶( 1 + i i v “1 2 捌r 十厶( 1 + 1 2 1 2 ) 2 i b l 2 出+ z 厶。( 1 + 衅) i v b i 打 ( 1 6 ) sc ( a 2 十g l o g ( 1 + t ) ) ， 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 6 正 而且，如果存在某个- y o ，使得i i e - , a o 胁+ 忙。 b o l h g ( 1 + z ) ，则对于任 意的时问t20 ，有 厶。( 1 + h 2 ) e 川2 出+ o 五。( 1 + h 2 ) j v 让j 2 如打 + 厶。( 1 + 2 ) ；t b t 2 出+ z 2 r 。( 1 + 2 ) f v b 2 出出 ( 1 7 ) c ( a 2 + g ；j v ) 其中，a 2 二1 1 ( 1 十l x l 2 ) i u o i i ；+ i i ( a + i x l 2 ) i b o i i ；+ a ；2 + n ，a 1 ，n ，g 的定义如 定理1 中的所述 注：定理2 中的条件“如果存在某个7 0 ，使得f i e 。a , l o l t i + f i e m 玩i f i c ( 1 + ) 一1 ”可换成“l z l u o ，j 。j b o l 1 ( r 3 ) ”( 见引理3 1 5 之后的注记) 定理3 设o ，b o 三；( _ r 3 ) ，( 1 + j z l 2 ) o ，( 1 + j 引2 ) 上而l 2 ( r 3 ) ，那么问题 ( 1 1 ) 存在弱解“，b l o o ( o ，o o ；l 2 ( r 3 ) ) ，使得对任意的时间t 0 ，有 ij ( 1 + l z 2 ) 卢ujj 2 + j l ( 1 + 。1 2 ) 卢b 2 c t 一 ( 1 2 肿， ( 1 8 ) 其中0 0 ，有 l i ( 1 + l 。1 2 ) 8 u i 2 + l i ( 1 + l 。1 2 ) 4 b i l 2sc t 一 ( 3 4 朋，( 1 9 ) 其中0 声 0 ，使得如果i i 0 1 1 1 + i l u o l l 2 + l m + ll b o 1 2sa ，那么问题( 1 1 ) 存在 唯的强解札，b l o 。( o ，o o ；p ( 兄3 ) ) ，3 0 ，使 得如果 i u o m + f j “o i l 2 + j i b oj i l + jj s oj z sa ，那么问题( 1 1 ) 存在唯一的强解 m b l 。( 0 ，o o ；护( r 3 ) ) 3 p o 。，使得对于任意的时间t 芝0 ，有 i i t + b ( i + i z l 2 ) j u i i ，+ 忙 + 4 ( 1 + i x l 2 ) b i i ，g ( 1 l g l l l + l l h l l - f 1 1 1 1 + 1 1 ( 1 + l z l 2 ) g g l l p 。+ i i ( 1 + i z l 2 ) h l l p 。+ n 2 + a l g + g a ) ， 其中，卢= ；( 未一；) ，a 1 ，n ，g 的定义如定理1 中的所述 本文第二章构造m h d 方程组的逼近解序列，并且推导出了逼近解的积分表 示式第三章阐述定理的证明过程，共分为两个小节第一节，我们证明了m h d 方程组弱解的空间衰减估计和时间空间衰减估计第二节，我们通过分类及利用 奇异积分的估计。证明了m h d 方程组强解的时间空间衰减估计 第二章逼近解及其积分表示 在这一章中，我们将利用线性化m h d 方程组来构造逼近解序列，并且推导 出逼近解的积分表示 设u o ，b o 醒( r 3 ) n l q ( r 3 ) ( 1 p ，q + 。o ) 选取o ，b c 器( r 3 ) ，使得 并且满足 扩寸“o ，驴- b o ，在蟛( r 3 ) n 圮( 帮) 中 a k i i ，2 | | u 。i | ，、| | n | | 。兰2 l “o i i 。，l i b 2 i p 2 1 1 b 。i i ，l i b 。i f 。s2 i i b o l l 。( 2 1 ) 的解 的解 硕士毕业生毕业论文 设( u 。p o ) 是如下s t o k e s 方程组c a u e h y 问题 “? 一札。= 一v p o d i v u o = 0 、 “o 一0 ， 廿o ( z ，( ) ) = 8 0 ( z ) ， ( l r ，t ) r 3 ( 0 ，0 0 ) ( z ，t ) r 3 ( 0 ，o o ) l x l - 4 + o 。， z r 3 设( 且o ，g 。) 是如下s t o k e s 方程组c a u c h y 问题 辟一x b o = 一v g o d i v b o = 0 i b 0 1 - 3 0 ， b o 0 ) = 6 0 ( z ) ， ( 2 6 ，t ) 劈( 0 ，+ 。) ( z ，t ) r 3 ( 0 ，+ o 。) l x i - + o 。， o r 3 设( 矿，b ，p ，矿) 1 ) 是线性化的m h d 方程组的c a u c h y 可鳆 u 一让+ ( u 一1 - v ) ( b 一1 v ) b 。= 一v 矿， 钟一a b + ( “一1 v ) b 。一( b 一1 v ) u = v q 。， d i v u = 0 ，d i v b 。= 0 ， l u 2 j 斗0 ，j b l - 0 ， u 。x ，0 ) = a k ( z ) ，b ( 。，0 ) = b k ( z ) ， 2 0 0 6 在 ( 。，t ) r 3x ( 0 ，+ o 。) ， ( 茁，t ) r 3 ( 0 ，+ ) ， ( 。，t ) r 3 ( 0 ，+ o o ) ，( 2 2 ) l 圳- - 4 + o o ， z r 3 的解类似于线性化的n a v i e r s t o k e s 方程组的结论及证明( e l i 6 ，【l o ) 可知，问题 ( 2 2 ) 存在唯一的解( u ，b ，p ，矿) ，( 三o ) ，满足 等，筹，百c o 蕊2 t l k ，面o b k ，面o b k ，箍，筹，瓦o q k ( 0 , t ；l 2 ( 础) ，( 2 3 ) 0 a z ：1a z 。a z i 况a z 。如，a z ，a z ：a o t 。一 、。7 ”、7 对任意的t 0 ，i ，j = l ，2 ，3 ， 三0 与原始的m h d 方程组( 1 1 ) 比较，问题( 2 2 ) 中第二个关于磁场的方程增加了 一个人为压力项v q 这主要是为了保证我们所构造的逼近解序列满足d i v b 女= 0 第二章逼近解及其积分表示 7 另一方面，通过能量估计( 见第三章) 及紧致结论，容易证得，当k 斗。o 时， z ”厶。v q c d x d t - + o ，对任意的霄( ( o ，c o ) 冗3 ) 成立 因此，对于我们将要讨论的弱解和强解( u ，b 。) ，问题( 1 1 ) 中第二个方程仍满足 ( 见 s t ) 下面我们要利用投影算y - p ：l 2 ( 舻) ，臻( r 3 ) 的积分表示( c f 6 1 ，【1 0 】) 来推 导u ，b 的积分表示即对任意的咖l 2 ( r 3 ) ，有 p = 咖+ 石1v d i v 上。尚电 利用s t o k e s 方程的基本解，可以把s t o k e s 方程的c a u c h y 问题 f 仇一。：一聊+ ， | 1 d i v v = 0 j 【 口( 圳) = o ( 。，t ) r 3x ( 0 ，o 。) ( z ，t ) r 3 ( 0 ，c o ) z r 3 驴z 2 五。( x - - y , t - - t ) 。触，丁) d y d r ，i - 1 ，2 ，3 叫m 咖+ 去v 去厶掣如叫府) ( 2 。) ir ( z ，t ) ：( 4 7 r t ) 一e 簪， 百= 去厶与产如， 在( 2 2 ) 的第一个方程两边同乘以v ( z y ，t 一下) ，对于任意的0 e t ，关 于y 冗3 ，7 _ 0 ，t 一】积分，得到 厂厶u r ( 百a u k ) u ) ( x - y , t - ， ) d 打 = 厂上。 一v y p k 一( 札v ) 钍+ ( b v ) b 。i v 。( x - - y , 一r ) 妇批 硕士毕业q i 毕业l e 文 分部积分，注意到( 一筹一，) v 2 = 0 ，并且v 2 = p ( r e ) ，我们有 厶z 。( 州一( 。一舭) d r 一f r a k ( ) z y , t ) d = 一厂厶。( 扩1 v ) 押吨t 一，) d y 打 工意鲴 + r ( 口2 一v ) b 8 v 1 ( z 一，t r ) d y d r 只3 。 l i r a 瑚“( f 矿。 ( b 1 v ) “v 1 ( z y ，t r ) d y d r 1 v ) b 2 v ( z 一9 ，t r ) d y d r a k ( 9 ) 旷( z y ，t ) d y 再将( 2 4 ) 式代入，得到 记 札：= 舭莩磅 踟，r ) 杀r ( x - y , t - r ) 蛐 + 肌。争1 蜘，丁，鑫万c x - y , t - r m 胍莩骘q 她下) 云呛鸭t 2 0 0 6 芷 r ) d y d r ( ) 一肌喜啪，丁) 去百( x - - y , t - - r 胁打 + r 3n k ( y ) r ( z 一可，o e 咖 厶。l a k l ( y ) f ( x - y , t ) d y ， ：i 厶。i u k - 1 ( ) ( 1 v r i + i d a 弧x - y , t - t ) d 打， t 厶。l n k 1 f i u ( ，r ) ( i v r i + 【。3 百1 ) ( x - y , t - r ) d 可d r ， ( 2 5 ) z ! 厶旷1 ( ”) ( 1 v r i 十加叫，讹打， l 厶旷l 酬州i v 叶i d 3 郁( x - y , t - r ) 蜊r ，i 厶，k 广厶r厶厶 一 十 + f 有 玩 “ 我 雎世增 增峙 则由( ) ，有 第二章逼近解及其积分表示 矿( z ，f ) i c ( r ? + 谚+ 砖+ 时+ 砖) 9 ( 2 6 ) 同理，在( 22 ) 的第二个方程两边同乘以v 2 ( z y ，tt r ) ，对于任意的0 t 关于y r 3 ，t 0 ，t e 积分，得到 由于 我们有 o 。一 o 一 b ? ( z ，t ) 筹一槲旷( x - - y , t - - t 油打 【一v q + ( b 一1 - v ) 让一( u 。一1 v ) b 】v 2 ( 。一y ，t t ) d y d t 删l i mj f 舻b ( ，t 一) ( z 一旬= 磁( z ，t ) z 厶( 矿1 v ) 押i ( x - y , t - t ) 蜊r z 厶。( u v ) b v ( z + 厶。6 2 ( ) 旷( z 一可, t ) d y 分部积分，得到 ：。厶。莓劈 如) 杀毗 疗3 1 t z ；( ，t ) a y i 二t g y z c o y ) + z 。厶。掣k 。1 吼r ) 杀m - f一叫f p ( t f i ) f l y d ： 1 彤( ，r ) 瓢0 3 d ( x - - y , t - - t ) 勘打 + b k ( ) r ( z 一，t ) e 2 d y j r ： ，厶，厶 k 0 日 。一 厶，l 啦 。f 厶r厶 卜 记 y ，一r ) d l j d t ， y ，t t ) d y d t ，( 2 7 ) y ，tt ) d y d t ， y ，t t ) d y d t ， 则由( + + ) ，有 l b 2 扛，) i c ( q + q ；+ q ；+ q ：+ q ：) ( 2 8 ) 综上所述，我们推导出了线性化m h d 方程组解让，b 的积分表示式( ) 和 ( ) 该解将作为我们所考虑的m h d 方程组解的逼近解- 在本章的最后，我们介绍一下关于r ，虿的一些基本估计对于r ，虿，我们有估 计( c q 6 ) 眇脚i t ) ：曼驯卵州) 华，( 2 9 ) l i d m 百( t ) l 曼( 邮+ ) 专业， 及加权估计( c f 6 ) ： 茁l 。r l i ，e t 2 5 3 一；，( 21 0 ) 。v r 帖茎c t t a - j 一 ( “；) ， 其中，1 兰p 茎+ ，n 三0 由奇异积分的加权估计( c f 6 】【2 0 一 2 3 ) ，我们有 z j 。2 百j | 一 sg z i 。r f i 一童( f 号“3 一； ( 2 11 ) il f z l n d 3 百l ，sc l l l 。l n v r i ，c t 。w 一- 1 一( 3 一i 3 其中， 1 p 十o 。，一石1 0 一 致成立： | “七0 ) 。+ 且七0 ) 。sc n t 一 ，t 工七( o i l 。+ 1 1 8 七( 幻l l ，曼c g ( 3 4 ) 而且，如果1 1 6 一4 “o l l l + | | e ”b o l l l c ( 1 + t ) ，y 0 ，则 | l u ( t ) 1 1 2 + i l b 2 ( t ) 1 1 2 c n t 一 一警 ( 3 5 ) 其中，7 1 = r a i n 1 ，2 7 ) ，n = l b o l l l + i | “o 旧+ i b o l l 2 + | b o l l ；+ i b o l l , + l f 玩孵+ l i b o l l t + f i b o lr ；，g l b z o l t + 1 l b o l f + ( | | t z o i l z + i b o i h ) n 证明：为利用引理312 ，我们需证( h s j 的解满足t l v ( 0 1 1 2 十i l w ( t ) i 1 2 c n t j 因为 m f 2 = ( 。l i ) 钏e 一譬+ 。，| | 。墨c t 钏e 蟮。| 。 令。：士- 【1 | j 、2 t t l , ! - 曝f f 。= g ( 厶。e 十2 出) 5 = e 第三章解的衰减估计 于是得到 i m t ) 1 1 2sc n t 同样可知 i i 叫( t ) 1 1 2sc n t 所以，由引理3 12 ，可知i i - 。( t ) 1 1 2 + l i b ( t ) i 1 2 c n t 一 下证( 34 ) 中第二4 - 估i t 由( 2 6 ) 式可知 l l u i i 。c ( 1 l f ；l l - + 1 1 磅l i - + l i i ；1 1 ，+ l i 西 i + l i i , ：1 1 - ) 下面我们分别估计这五项 i i ：? 1 1 。= i i l a i ( x ) + r ( z ，0 1 1 1 1 1 n 。( z ) | | | 1 r ( z ，t ) l h g l i u o ( z ) l i l l i r ( z ，t ) l l , 而 愀x , t ) | | 1 = g t 一；厶e 一蜉出， 札2 去则 j l f ( z ，t ) i j ，c r a e - i z l 2 d z5g 因此。有 i f 砖f l 。g 忙o ( x ) l l z 关于第二项譬，我们有估计 i i 砖l i = i i 上2 ( i , , k - 1 i i k l ( z ，) ) + ( i v r l + i d 3 习) o ，t 一下) 打f i cf 2 l l ( i 矿一1 1 1 i ( x ，下) ) + ( | v r l + i d s 百1 ) ( x ，t 一下) i | 1 d r c 21 1 u 一1 扎。i i l i i ( i v r l + i d 3 百1 ) ( z ，t r ) | | 。d t e 2l l u 一1 1 1 2 i l u i i ( i v f i + i d 3 百i ) ( 。，t r ) m 打 利用( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 式和引理3 1 1 ，有 嘲j ，g ( 蚓i 。+ 1 1 玩1 1 。) j ( 5r 一 ( t 一丁) 打 c ( 1 1 t 0 1 1 2 + j b o i l 2 ) n 1 3 同理可“证明 硕士毕业生毕业论文 ，抓( ( 一i 慨ij ：) ：。r 茎e 川“o 十f i 岛f f 2 ) 2 0 0 6 芷 对于i 时m _ _ 砖1 1 可以得出相同的结论，所以i l “1 c g 得证同理可证 7 i 3 。l ( ：g 1 35 ) 式的证明可“类似n a i x 7 e r s t o k e s 方程组( c f f 6 1 ) 得到，这里从略引理 3 ，13 证毕 下面利用前面得到的引理，证明定理l 和定理2 中的空间衰减估计 引理3 1 4 设0 ，b o l 1 ( r 3 ) ，( 1 + z 1 2 ) u o ，( 1 + | z 1 2 ) b o l 2 ( r 3 ) ，则下 面的估计对于k 0 ，t20 一致成立 f f ( 1 + f z f 2 ) i 1 “f f ；+ i f ( 1 + f x l 2 ) 口。f f ； + j 0 0l | ( 1 + 慨t i i l ；d t + 肌1 + m l v b 打s e a 。，3 6 其中，a = e 。( 忆。旧+ i i 凰幢( i i ( 1 + i x l 2 ) u o i i ；+ i l ( 1 + f z l 2 ) b o l l ；+ 2 ) ， 的定义如前所述 证明：在( 2 2 ) 第一个方程两边求散度，得到 a p t = i一和一1畸)-i薹k。62(bkd壹-i u 一1 骘) ii ( 也：- 1 畸) 一i 。；。， _ 1 骘) 壹丽o q 2 ( 中1 蝣一矽碜 由c a l d e r 6 n z y g m u n d 不等式，有 i p i i ，sc i f 札1 “2 一b 。一1 b ir ，c ( 1 l u 。一1 u f | ，+ l i b k 一 b k l r ，) sc ( 1 l “杠1 怯j | 让怯+ i b 怯归怯) 其中1 7 在( 22 ) 第个由程两边同乘以( 1 + f x l 2 ) “。，并且在r 3 上积分，得到 厶。( z + 2 ) 乱筹出一厶。( - + 吲2 ) “* “女r 如 = 一厶。( 1 + m 矿v 矿一( 1 + 阡) “( u v ) 矿出 + 厶。( 1 + 汗) u ( 砂v ) b 如， ( 3 7 ) 写成分量的形式，可得 第三章解的衰减估计 ；爰眦1 + 2 ) 舻1 1 ；一厶。( 1 + 。1 2 ) u ；砰u ；d z = 一厶。( 1 + l z l 2 ) u ；a 矿出一厶，( 1 + 2 ) 乱；u ；一1 岛u ：出 + h a ( 1 + 奸) u ：霹一1 0 j b ? d z 分部积分，并利用d i v u = 0 ，d i