（计算数学专业论文）交通流连续介质模型与有限元方法模拟.pdf

、 摘要 交通流问题的研究是近年来国内兴起的个热门课题，其实际背景是同益 增长的交通管理需求。【事实上，交通问题的研究在西方发达国家最早可追溯到 3 0 年代，在这些国家，交通流理论及其研究成果从5 0 年代起就已经已得到较 快发展和广泛应用。然而，有关交通流的理论研究还远未达到完善的程度。对 交通中多种复杂因素的考虑与交通状况的多样性是交通流研究的主要困难，同 时也使这一领域多姿多彩、独具魅力。 交通流理论研究的主要困难可归为建立模型和数焦搓赵两个；b - n 。前者至 今仍未脱离l w 和p a y n e 模型的影响，而后者多采用有限差分格式。本文在这 两方面都做了很多努力。在深入研究5 0 年代以来国内外重要的交通流理论和模 型的基础上，本文使用严格的数学推导，提出了个新的运动学模型方程。尤 其是，我们在改进数值方法的同时，利用这一模型对交通流研究领域中最为困 难的红绿灯问题进行了成功的模拟。在数值方法方面，我们首次将有限元方法、 包括间断g a l e r k i n 有限元方法引入交通流问题，对其模型方程进行了数值求解。 按照问题研究的思路，本文的主要工作和观点可摘要如下： 1 在对传统交通流模型的分析基础上，新的模型考虑了驾驶员前方一个较 广的范围，所以在一定程度上更具有宏观性。这一模型与大多数模型的 不同之处是没有延迟时间，因为延迟时间在这里被认为是一个琢磨不透、 导致偏差、同时也可以忽略的量。 2 通过对红绿灯问题的特征线分析，本文对交通流模型中普遍存在的激波 间断问题作了详尽的讨论，并将一些高级数值方法、包括激波条件和熵 条件引入交通流研究。这些讨论揭示了交通激波的本质，是交通流间断 问题得到全面的把握。 3 1 哿有限元方法引入交通流研究是一种新的思路，其意义在于原方程的弱 解形式能够被恰当的构造出来。在本文中讨论的弱解形式还原了交通流 问题的本来面目，从而使得到的数值解具有合理性。本文讨论的有限元 形式包括间断g a l e r k i n 方法，作为- e o , b 充，它将能够克服一般有限元 方法的不足和更有效地处理激波和接触间断问题。 4 除了红绿灯问题，本文对其它交通现象的数值模拟也取得了预期的效果， 而且与实际相符。由于使用了多种形式的边界条件，所以这些模拟的成 功进一步验证了本文所讨论模型的正确性与数值方法的可靠性。 边界条件及其含义也值得一提，对此本文作了初步尝试，即将边界条件用 于描述某些由交通突变( 如交通事故) 所传达的数值信廖、。数值模拟结果表明， 进一步的研究将会使这些描述更加符合实际情况。户，一 i i a b s t t - a c t o v e rt h ep a s s i n gy e a r s t h er e s e a r c ho nt r a 伍cb e h a v i o rh a sb e c o m eah o ts u b j e c t d u et ot h ei n c r e a s i n gd e m a n do nt r a m cc o n t r 0 1 a c t u a l l y , t h es u b j e c tc o u l db et r a c e d b a c ka se a r l ya st ot h et h i r t i e si ns o m ed e v e l o p e dw e s t e r nc o u n t r i e s ，a n di nt h e s e c o u n t r i e s ，i tb e g a n t ob e d e v e l o p e dr a p i d l ya n dw i d e l ya p p l i e di n19 5 0 s i ti sf a ra w a y f r o mc o m p l e t e n e s s ，h o w e v e r , a n dt o om a n yc o m p l i c a t e df a c t o r si nc o n s i d e r a t i o na s w e l la st h ed i v e r s i t i e so ft r a 伍er o a d sp o s em a i nd i m c u l t i e si nt h er e s e a r c h ，a l lo f t h e s em a k et h es u b j e c tac o l o r f u lf i e l da n de x c l u s i v e l ya d m i r a b l e t h ed i f f i c u l t i e sa r em a i n l yr e f l e c t e di nm o d e l i n ga n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o nu pt i l l n o w t h ef o r m e rh a sn o ty e tb ea b l et og e to u to ft h ei n f l u e n c eo ft h el wt h e o r ya n d p a y n e sm o d e l ，a n df o rt h el a t t e r , s u c hm e a n sa sf i n i t ed i f i e r e n c es c h e m e sa r em a i n l y e m p l o y e d t h i st h e s i sm a k e s m u c he f f o r ti nb o t ha s p e c t s t h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i s a n dm a t h e m a t i c a l l ys t r i c td e d u c t i o n 。i ti sa b l et om a k em a n ys i g n i f i c a n tc o m m e n t so n m o s ti m p o r t a n tm o d e l sa n dt h e nd e v e l o pan e wk i n e m a t i c st r a f f i c f l o wm o d e l f u r t h e r m o r e t h en e wm o d e la l o n gw i t ht h ei m p r o v e dn u m e r i c a lm e t h o dp r e s e n t sa s u c c e s s f u ls i m u l a t i o nt ot h er e d a n d g r e e np h e n o m e n o n ，w h i c hi sc o n s i d e r e dt h em o s t d i m c u l tp r o b l e mi nt h ef i e l da st h en u m e r i c a lm e t h o di sc o n c e m e d ，t h i st h e s i sp a y s m u c ha t t e n t i o nt ot h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d ，t ot h eb e s to fo u rk n o w l e d g e ，i ti st h e f i r s tt i m ef o rt h em e t h o dt ob ea p p l i e di nt h et r a f f i cm o d e ls o l u t i o n t h em a i nt o p i c s a n dp o i n t so f v i e wc a nb ec o n c l u d e da sf o l l o w i n g 1 b a s e do nt r a d i t i o n a lt r a 伍ct h e o r i e sa n dm o d e l s t h en e wf o r m a t i o ns o m e w h a tg i v e s am a c r o s c o p i cd e s c r i p t i o nb e c a u s ei tt a k e si n t oa c c o u n taf u r t h e rd i s t a n c er a n g e a h e a dad r i v e rt h a nm o s tm o d e l sd o i ta l s od i f i e r sf r o mm o s td y 7 n a m i c sm o d e l s s i n c eh e r et h er e a c t i o nt i m ei sr e g a r d e da l le l u s i v e ，t r o u b l e s o m ea n dn e g l i g i b l e f a c t o r , a n dt h e r e f o r ec o u l db er e m o v e df r o m t h em o d e l 2 b y m e a n so fc h a r a c t e r i s t i c sa n dt a k i n gt h er e d a n d - g r e e nt r a m cp r o b l e ma sa n i n s t a n c e ，t h ep a p e rg i v e sac o m p l e t e dd i s c u s s i o no ns h o c kd i s c o n t i n u i t yt h a tm i g h t o c c u rf r e q u e n t l yi nt h et r a 髓c i na d d i t i o n ，i ti n t r o d u c e ss o m ea d v a n c e dn u m e r i c a l m e t h o d sa n dd e s c r i b e ss h o c kc o n d i t i o na n de n t r o p yc o n d i t i o n t o i nt h et r a 伍c m o d e l s a 1 1o ft h e s er e v e a lt h en a t u r eo ft h es h o c ka n dm a k eac o m p r e h e n s i v eg r i p t ot h ed i s c o n t i n u i t yi nt h et r a m c 3 t h e i n s i g h t t h a t e m p l o y st h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h et r a 嘶c r e s e a r c hi s s i g n i f i c a n t ，t h r o u g hw h i c hs o m es o c a l l e dw e a kf o r r ne q u a t i o n s c a nb ed e v i s e d p r o p e r l y t h ew e a kf o r m sd i s c u s s e di nt h i sp a l ：i e r r e f l e c tt h en a t u r eo ft h ei r a f f i c p r o b l e m ss o t h a tr e a s o n a b l es o l u t i o n sc a nb ea c h i e v e d a sac o m p l i m e n tt ot h e m e t h o d ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o di sr e c o m m e n d e di nt h ep a p e r , w h i c hm i g h t c a p t u r ed i s c o n t i n u i t ym o r ee f f i c i e n t l ya n d o v e r c o m es o m ep o s s i b l es h o r t c o m i n g si n s i m u l a t i o n s 4 b e s i d e st h e r e d a n d g r e e np r o b l e m m o s t t r a f f i c p h e n o m e n a i nt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o na c h i e v ee x p e c t e dr e s u l t sa n da r ei na c c o r d a l i c ew i t ht h er e a l i t y t h e s e l l s i m u l a t i o n sa r es od i f f e r e n ti nt h e i rb o u n d a r yc o n d i t i o nf o r m st h a t ，i nad e g r e e ，t h e y f u r t h e rp r o v et h ec o r r e c t n e s so ft h em o d e l ( s ) a n dt h er e l i a b i l i t yo ft h en u m e r i c a l m e t h o d s w h a ti sw o r t h yam e n t i o ni st h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h e i rm e a n i n g si nt h e t r a f f i c t h ep a p e rm a k e ss o m e p r e l i m i n a r yt e s t si nu s i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n st o d e s c r i b et h ei n f o r m a t i o nt h a ti s c o n v e y e db yd r a m a t i cc h a n g e s ( t r a f f i ca c c i d e n tf o r e x a m p l e ) i n t h et r a f f i ct h er e s u l t so ft h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni n t h i s p a p e r d e m o n s t r a t et h a tc l o s e rd e s c r i p t i o nw i l lb em a d ef o rf u r t h e r s t u d y 1 v 致谢 f 3 以，幻 本文是在刘儒勋教授的细心指导下完成的，在这里学习 生活期间，刘老师对我学业要求严格，一丝不苟，在生活上更 是给予无微不至的帮助，在此表示最衷心的感谢。我所以能够 在这么短短的个学期内完成这篇比较有个人创见的硕士论 文，不能不说是刘老师严格要求，督促和鼓励的结果。 同时，在这期间，我也得到了我的同学，特别是李宏博 士、王志峰，王进等的大力帮助。应该说，我所取得的成绩也 是和他们的帮助与支持是分不开的。在此表示对他们的诚挚洌 意。 在科大期间我还得到了冯玉瑜教授、陈效群副教授和黄 素琴老师的关心和帮助，在此表示谢意。此外，也得到了中国 科技大学数学系的许多老师和工作人员的支持，特别是得到了 科学计算与计算机图形学实验室的邓建松博士、陈长松博士、 娄文平硕士的支持和帮助，谢谢他们。另外，我也得到了吴清 松教授和姜锐博士热情帮助，并进行了有益的讨论。 最后，我还要感激我的家人，特别是我妻子吕辉的支持。 在我远离家乡的半年里她承担了繁重的，艰难的家务和照顾老 人、孩子，使我能安心的完成学业。 交通流连续介质模型与有限元方法模拟 1 引言 现代化的交通设施和管理是衡量一个社会经济发展水平的重要标志。纵观 欧美诸国，其经济发展无不与交通需求的日益增长紧密伴随。从我国近二十年 改革开放的情况看，高速的经济增长一直促成着交通道路的建设在以惊人的速 度发展，而随着我国农业现代化进程的推进，以及乡镇城市化发展的加速，交 通建设的这种增长势头还将保持下去。 然而，我国交通建设在高速发展的同时，也反映出设计和管理的很多不适 应性。有资料显示，我国的交通事故发生率大约为欧美发达国平均水平的十倍； 即便是在我国一个中等规模的城市，发生交通堵塞的频率和场面也足以让人咋 舌。而另一方面，由于对交通道路的设计和管理往往缺乏科学依据，这使每个 城市几乎每年都要投入大笔资金用于道路改造，同时还须增加交通管理人员。 这种头痛医头的改善措施势必造成大量人力物力的浪费，而且收效甚微。 计算机技术的发展已使欧美国家交通管理的现代化成为现实。就我国的情 况看，随着计算机使用的日益普及，随着我国各行业尤其是通信业中信息化、 网络化和数字化技术的迅速发展和应用，交通管理的现代化只不过是一个时间i ：1 问题。交通管理的这种发展趋势不仅为交通流理论在我国的发展和应用提供了 可能性，而且终将使其成为今后解决交通管理问题的重要科学依据。 交通管理问题的研究大约在三十年代兴起于欧美发达国家，其背景是欧美 汽车工业的发展和汽车的开始普及使用。交通管理问题的研究手段主要是借助 于数学方法和物理定律对交通现象及其特性进行描述，或者简单地说，交通问 题就是数学模型的建立及其求解的过程。第篇有关交通理论的论文由k i n z e r 于1 9 3 3 年发表，这篇文章首次论证了将p o s s o n 分布应用于交通问题的可能 性。1 9 3 6 年a d a m s 在他的论文中将交通中的车辆描述为随机系列，并给出了 有关数值的算例。1 9 4 7 年，g r e e n s h i e l d s 等人在对交叉路口的交通分析中也 采用了概率论方法f 3 】。可以看出，这一时期对交通问题研究的数学工具主要采 用概率论的方法，其原因是当时汽车普及率相对不高，汽车行驶的速度也受当 时汽车发展水平的限制，这种低密度分布和低速度行驶的交通状况使单个的车 辆在行驶时较少受到其它车辆的影响，其随机性、独立性很强。 五十年代后，世界汽车工业随着二战的结束开始迅猛发展，对交通问题的 研究也出现了新的探索。这时期的交通量相对3 0 年代出现骤增的势头，交通 问题研究的数学工具也随之变化。现代交通密度大、流动快的特点必然使车辆 行驶的集体行为增强，也就是说，任何新的交通理论都必须考虑交通中车辆的 相互的影响和车辆行驶的总体行为。前者可以认为是从微观的角度研究交通现 象，它导致了车辆跟驰理论的产生；后者则从宏观的角度看问题，被称为连续 介质模型或流体动力学模型。 车辆跟驰理论将交通中的车辆看成是分散的粒子，在假设没有超车的情况 下，通过研究个体车辆一辆跟随一辆的方式来描述交通的特性。车辆跟驰理论 最有代表性的模型由p i p e s 给出，他假设某辆车行驶的加速度与该车当时相 对于前车的速度差距成正比，这一比例系数称为灵敏度。在原始模型中，灵敏 度被认为是常数，它反映了在车辆跟驰中驾驶员对前车的影响作出相应速度调 整的“能力”大小。修改后的模型一方面考虑了驾驶员调节加速度时需要个 反应的时蒯，即应该是在收到前车“信号”且通过一个延迟时间t 后才实际实 施加速或减速的行为。另一方面，修改后的模型也考虑了灵敏度作为变量的实 际需要，即认为它应与前后车距离以及行驶车辆的速度有关，即前后车距离越 大，速度越快，则灵敏度越高。灵敏度和延迟时间是车辆跟驰理论中两个十分 重要的概念，它们与连续介质模型有着十分密切的联系，对此本文将给予较为 详细的阐述，说明车辆跟驰理论对连续介质模型研究及发展的重要意义。如i i 所述，车辆跟驰理论的主要特色是从微观上研究单个车辆的具体行为，虽然有 其独特的优势，但对从整体上来把握交通的本质仍有较大的局限性。 流体动力学模型( 连续介质模型) 是本文研究的主要对象，也称交通流动 力学模型。顾名思义，流体动力学模型与流体力学理论有着密切关系，其建模 思想主要借助于有关物理守恒定律。 流体动力学模型的奠基性工作由l i g h t h i l l 和w h i t h a m 在1 9 5 5 年给出【5 】，被称为著名的l w 理论。该理论将交通中的车 辆看作是某种连续流动的、可压缩的介质，从而能用物理守恒定律来建立状态 方程。l w 理论的状态方程反映了这样一个简单的守恒定律：交通中某处在某 时刻单位时间内车辆密度的增加( 减少) ，等于此时刻单位距离车辆流量的减少 ( 增加) 。这里使用了“车流”或是“交通流”的说法，引入了有关车流的密度 和流量的概念。车流的平均速度也是描述交通流的一个很重要的概念，根据有 关流体力学理论，它与密度和流量有如下简单关系：流量= 速度密度。对于三 个变量，仍有一个方程需要指出，而围绕第三个方程的讨论成为后来交通流理 沦发展的基本线索，使后来交通流理论的研究呈现出百家争鸣、多姿多彩的生 动局面。直至今日，国际上每年都有有关交通流理i ：仑和应用的重要文章发表。 根据对第三个方程的讨论情况，连续介质模型可分为一阶连续介质模型和高阶 连续介质模型。 一阶连续介质模型又称为简单连续介质模型。l w 理论认为存在一个速度 与密度的函数关系，对这种关系的最早描述可以追溯到1 9 3 4 年，g r e e n s h i e l d s 认为速度随密度的增大而减小，且速度一密度曲线大致为某种类型的线性关系。 显然，对密度和速度都必须加以限制。一般来说，当密度接近0 时，速度接近 道路允许的最大限速；当密度接近饱和时，速度则接近于0 。后来的模型结合 实际问题对速度与密度关系给出了许多公式，而无论是那种假设，速度都必须 是密度的减函数。所以，对速度与密度的描述，实际上就是在速度密度平面上 两点( o ，磊) 与 。，o ) 之间描绘一条曲线，这里和“。分别表示饱和密度与最 大限速。本文对此将给出详细的讨论。许多数值和理论研究表明，对于交通的 突然变化( 如交通事故、车道变化、红绿灯等情况) ，一阶连续介质模型的计算 结果与实际有较大偏差。这种偏差的产生或许与数值计算方法有一定的关系， 但主要还是由于模型本身的原因。需要指出的是，后来的研究者对速度一密度函 数关系给出不同的理解，例如p r i g o g i n e ( 1 9 6 1 ) 认为，以往所描述的速度一密度关 系都不是实际的情形，实际的交通行为只是“倾向于”满足这种描述，而这种 速度一密度关系被称为平衡状态下的速度罐 度关系。 这种新的理解至少使得原先的速度密度方程不能再被直接使用，所以，与 2 之相应的假设，首先是在原先速度一密度方程的基础上考虑了加速度和惯性对交 通行为产生的影响，不过也有许多研究者完全抛弃了所谓的平衡状态下的速度一 密度关系。除考虑惯性外，很多模型还考虑了诸如粘性和摩擦等因素。对加速 度和惯性的考虑将导致模型中出现较高阶的导数，所以这一类模型也称为高阶 连续介质模型，其加速度表示的方程称为动量方程。交通流加速度的一般表达 式由p i p e s l 6 1 于1 9 6 9 年给出。而最具有影响的高阶连续介质模型为p a y n e 模型 ( 1 9 7 1 ) 。从此以后，新的加速度描述不断有研究者给出，时至今日，交通流理 论的研究仍然是个较新的领域。p a y n e 模型可认为是对传统速度密度关系假 设的修正，它的不同之处和重要意义是引入车辆跟驰理论中延迟时间的概念。 由该模型的推导可以看出，如果说不考虑延迟时间的车辆跟驰模型能够导出交 通动力学中的速度密度关系式，那么考虑延迟时间的车辆跟驰模型能够导出交 通动力学中的的动量方程。本文对此将给出比较详细的讨论。以后的许多研究 者指出了p a y n e 模型的缺陷，主要认为它的最大问题是仍然使用了平衡的速度， 密度关系式。例如r o s s ( 1 9 8 8 ) 和1m i c h a l o p o u l o s ( 1 9 9 2 ) 都认为，任何速度，密度关 系式使用或是隐含都将使模型很难与实际相符。尽管如此，高阶模型的研究使 得交通动力学理论的发展进入了一个新的时期，它对交通现象的描述无疑也更 客观和准确，能够较好地捕捉到真实的交通流信息。 以上简要回顾了近4 0 年来交通流动力学理论的发展概貌。虽然这一理论的 研究一直呈现出生机勃勃的喜人景象，对交通流现象的认识和研究却远没有达 到成熟的程度。交通流模型需要考虑的因素实际上非常复杂，它包括地形、机 械、人为精神因素以及交通管理制约等等。现代交通中的车流虽然主要反映出 一种“随大流而动”的集团行为，然而，从微观上对个体车辆、尤其是前后车 辆的相互影响和作用进行分析也是十分重要的，对车流的独立性与随机性仍然 需要加以适当的考虑。有鉴于此，一般认为建立与车辆跟驰模型相结合的连续 介质模型仍然是今后交通流动力学研究的主要发展方向。此外，借助其它概率 类模型研究的思想和结果也应该是一条可行之路。 模型的复杂化必然给数值计算带来相应的难度。一般来说，方程的阶数越 高、变量或是参数越多，计算的难度也越大。所以从一定的角度说，数值计算 方法的发展与交通流动力学理论的发展是紧相伴随的。也就是说，几乎每一个 新的模型的给出，都会对设计新的计算方法提出要求，而这同时也对数值计算 方法的发展有着十分重要的意义和促进作用，甚至可以说，数值计算方法本身 也是交通流动力学模型需要研究的对象。模型中参数的设计也是一个值得注意 的问题，有的模型虽然具有较好的理论依据与合理性，但其参数在实际中往往 很难获得。简而言之，与研究其它实际问题一样，交通流动力学的研究应该考 虑：如何建立简单而合理的模型? 如何设置重要且容易获取的参数? 如何设计 准确而有效的算法? 目前交通流理论研究的最困难之处主要集中于对间断问题的处理，对红绿 灯信号、车道变化、交通事故等情况，及其它们对交通的影响给出合理的描述 并用于实际的交通控制，是目前交通流动力学理论研究的主要任务和意义所在， 对此本文也予以介绍。 以往对交通流问题求解的数值方法大多采用一些简单的有限差分格式。这 些格式虽然具有对激波间断的捕捉效果，但一般比较粗糙，有时甚至会严重曲 解原模型方程的真实信息。对此本文介绍了近年来计算方法研究的许多重要成 果，它们对交通流模型问题的求解较之传统的有限差分格式显然具有优势，应 该成为今后交通流问题研究的重要数值手段。当然，本文主要介绍有限元方法， 并将其结果用于交通流模型的数值模拟实验。有限元方法的一个重要特点是求 原问题的“弱解”，它在很大程度上减少了激波的发生，从而也更加接近原始的 交通流模型方程。 2 交通流问题数学模型的简单讨论 本节主要介绍5 0 年代后交通流模型方程的建立与设计的发展情况，重点突 出一些具有理论突破和重要影响的模型方程，着力描述交通流模型发展的主要 方向及其内在联系。如前所述，我们已经知道，车辆跟驰理论和连续介质模型 是这一时期最有影响和最有代表的两大理论，它们在对加速度和速度的描述方 面有着本质的内在联系，所以对这两种理论的介绍和指出它们的关系是本节的 主要内容。 2 1 车辆跟驰模型 也称为顺序汽车模型，主要在5 0 、6 0 年代发展起来，其中以p i p e s 模型及 改进最有代表性。 假设有一组汽车由静止开始( t = o ) ，以一辆跟随辆的方式沿同方向陆续 丌始启动。这里假设了行驶为单车道，而且没有超车行为。假设静止时任相邻 两辆车的法定距离( 后车头至前车尾) 都为b ( 一般很小) ；假设每辆车型号相 同且车身长都为l ，于是我们可以知道静止时任两相邻车的距离( 前车头至后 车尾) 为定长l + b 。以第一辆车起始点为0 点，汽车运动的方向为正向，记作 x 轴，并记任相邻两辆车在t 时的坐标分别为x 。( t ) ( 前车) 和x 。( t ) ( 后车) ， 这时两车距离为x 。( t ) 一x 。( f ) 。p i p e s 模型认为这一距离是后车行驶速度的依 据。 注意到静止时两相邻车车距为l + b ，那么后车行驶速度该是怎样的呢? 它 应该正比于这时两车距离相对于静止时的变化 ( x 。( t ) 一x 。+ 。( f ) ) 一( + b ) 0 直观一点说，正是相对于静止时的距离的增加，形成了后车紧紧相随的前进动 力。当这样的距离较大时，后车以较大的速度追赶前车，这种追赶使两车距离 拉近：但前车不能超车且必须与前车保持一定的车距，这样后车又不得不降低 行驶速度。于是我们得到 模型1 吒+ l ( f ) = 似( f ) 一“( f ) 一( 工+ 6 ) ) n = l ，2 ， f 2 1 、 后车速度与前后车距的比例在这里被记为五，称为灵敏度，它在这里被看成是 常数，其大小反映了驾驶员根据与前车车距来调节车速的某种“能力”的大小。 4 上式两边对t 求导数可得： 坐掣：彳( k ( f ) ，。( f ) ) ”1 , 2 ，( 2 2 ) “f 若假设第一辆车启动的初速度为v ，并且注意到( 2 1 ) 隐含了其它车的初始 速度，从而有 v i ( 0 ) = v ，v 。( 0 ) = 0 ，n = 2 ，3 ( 2 3 ) 联立( 2 3 ) 和( 2 4 ) 构成求每辆车行驶速度的完整模型。( 22 ) 也具有与( 2 1 ) 完全等 价的含义：后车的加速度由它与前车速度差距所决定。 由于五为常数，( 22 ) 为线性方程组，对于这样的方程我们可以用l a p l a c e 变换得到方程的准确解。不过，只要稍加分析就能看出这一模型的局限性。 首先，陔模型在考虑两相邻车辆的距离之差或是速度之差作为- - e e 信号传 递给后车并且作为后车驾驶员调节速度的依据时，这种调节的实施是立刻发生 的。而事实上，即使再高明的驾驶员也需要一个反应的过程才能将这一信号转 变为调整车速的实际行为。具体地说，若时刻两车速度之差为_ ( f ) x n + l ( f ) ， 则后车的加速度应该是在t + t 时( 而不是t 时) 为a ( v 。( f ) 一v n + l ( f ) ) 。 这样我们 得到 模型2 坐掣：2 ( v 。( r ) 。( f ) ) n ：1 ，2 ( 24 ) “f t 称为延迟时间，联立( 24 ) 和( 2 3 ) g 用l a p l a c e 变换得到解析解。 对五作为变量的考虑也能得到其它的模型方程。一般认为，五可能与相邻车 辆的距离有关，即两车距离越近，驾驶员反应的灵敏度越高。若记两车距离为 p ，。= x ，( f ) 一l + ，( t ) ，则后车车速应为z 的减函数。灵敏度在更细的描述中也与 后车速度有关，即后车行驶的速度越快，灵敏度越高，也就是说，z 为v 。( f ) ( 或v 。，( f + t ) ) 的增函数。就五的不同耿法，我们给出下面一些比较重要的模 型。其中不难看出，车距与后车速度在这些模型中所起的作用。 模型3 ( 阶跃函数律) z = 2 ( p 。) 0 墨p 。p + p n p + 其中d ，为常数，而且显然有口 0 ，当前后车距大于某定长p + 时 小为，当前后车距大于这个定长时，五较大为口。 模型4 ( 倒数距离规律) 五= 五( p n ) 2 i i 南 其中2 0 和m 均为正常数， ( 2 5 ) 五较 ( 2 6 ) k b 模型5 ( e d i e 规律) 】 彳= 五c p ”v 。+ ，= 揣 其中五。为常数，t 为延迟时间。 模型6 ( g a g i s 规律) 7 1 f 27 ) z = z ( p 。，v 。1 ) 2 i i 了a 石o _ = v i z i , ( 而t ) ( 2 s ) 其中矗和m 、，均为正常数，m 、，的引入使模型的描述更加细致。模型6 与 模型5 的主要区别在于后车驾驶员对于自己车速的反应，模型6 没有考虑延迟 时间。 对_ 作为p 。或v 。+ l ( 或是两者) 的函数的考虑往往导致非线性方程( 组) 的产生，这给求解带来很大难度。然而，对以上模型研究的更大意义在于，它 们在理论上能够与连续介质模型中的速度和密度等变量联系起来，同时也是交 通流动力学理论中速度与密度关系( 或速度、密度和流量中任一对) 设计的重 要依据。 2 2 车辆跟驰模型与速度密度关系 在前面有关车辆跟驰模型的介绍中，两个重要的变量分别是第n + l 辆车的 行驶速度v ( f ) 和第n + l 辆车( 后车) 与第d - 辆车( 前车) 的车距 p ，= z 。( f ) 。( f ) 。而下面的讨论可以看出，这两个变量与连续介质模型中的 车流平均速度u ( x ，f ) 和车流密度p ( x ，f ) 有着密切的关系。 车辆跟驰理论从一种较微观的角度来描述一种较离散的车流情况，然而这 并不妨碍我们从一种宏观的角度将它与一些较为连续的情况联系起来。事实上， 微观往往是宏观的具体反映，连续无非是对离散的加密。交通动力学理论中在 ( x ，r ) 的有关情况对应于车辆跟驰模型中第n + l 辆车的有关信息。首先，我们可 以认为在( x ，f ) 处的车流平均速度u ( x ，) 可由第n + l 辆车在t 时刻的行使速度 v 。，( t ) 来表示，即u ( x ，t ) = v 。( t ) 。其次，对此时刻该点处的车流密度p ( x ，f ) ( 单 位距离的车辆数) 的描述可通过测量任两相邻车辆的距离而得到：设想一下在 任意长度为p 。的路段上( 第n + 1 辆车车尾至第n 辆车车尾) 正好有一辆车行驶 ( 第n + l 辆) ，我们自然可以认为第n + l 辆车此时所代表的密度正好为1 p ， 即p ( x ，t ) = 1 ( x 。( f ) 一x 。( f ) ) 。那么交通中的最大应许密度为多大呢? 它可以认 为是相邻两辆车紧紧相随的情况，这时两相邻车的距离正好为车身长度l ，即 最大允许密度为p = 1 肛车距与密度的关系如图所示。 有了以上的关系，我们可以通过研究车辆跟驰理论中的各个模型而得到交 通动力学理论研究所需要的速度与密度关系表达式。这里主要研究不考虑延迟 6 时间的车辆跟驰模型，由它们可推导出简单连续介质模型的速度与密度函数关 系式。考虑延迟时间的车辆跟驰模型一般对应于高阶连续介质模型的动量方程， 对此本文将在( 2 4 ) 的讨论中，推导部分高阶连续介质模型的动量方程时加以说 明。 以倒数距离规律中耿m = 2 的情况为例，此时五= 五。( x ，( f ) 一x 。( f ) ) 2 ，将它 代入摸型1 的方程可以得到 掣2 面羔丽一“) d f ( x 。( r ) 一z 。+ 1 ( r ) ) 2 、” ”“ d v ( f ) t i t 五。印。( t ) p ：( t ) d t 或 以。= 等 两边由0 到t 积分得 1 1 1 如) = 以高一丽卜v n “ 由边界条件v 。( o ) = 0 ，p 。( o ) = y a ( o ) 一x n + l ( 0 ) = l + 自z l ，再利用上述关系 v 。+ ( r ) = “，见( f ) 2 1 尸，l = l p , ，上式变为 “：2 0 p 。( 卜卫) ( 29 ) m 一一股地将前面所给出的有关灵敏度的假设( 不考虑延迟时间) 五= 五( p 。v 。，) 代入模型l 方程，可以得到关于v 。( f ) 与p 。( f ) 的微分方程 d v = 五( p 。，v n + 1 ) 印。 利用初始条件求解该微分方程一般可解得 v 。( t ) = 烈p 。( f ) 】 再将v ，。( f ) = “，p 。( f ) = l 尸代入可得 “ ，t ) = 伊 1 p ( x ，f ) 】 或记为 “= “。( 尸) ( 2 1 0 ) 可见对于不考虑延迟时间的模型方程与灵敏度表示，一般地我们能够导出速度 与密度的函数关系式。下面根据对于灵敏度的几种假设( 不考虑延迟时间) ，给 出所对应的速度和密度关系表达式。 阶跃函数律： 7 其中p = l 肋：。 倒数距离规律( ”p i 的情况) “= z i n & p g a g is 规律：当”k t ，1 时 旦_ 口 “= c e 一l 。 0 p o ，”= ( 去露) ，上式可写为一d “= “。 1 一( 卫) 。 9( 2 1 1 ) 2 3 l w 理论与简单连续介质模型 l - w 理论是交通动力学发展的重要理论基础，如前所述，它是将交通中的 车辆看作某种连续流动的介质，通过对单向运动的交通流在某时刻t ，在某一位 置x 的有关变量的描述来把握交通的特性和本质。这些变量为 1 流量q ( x ，f ) ：它表示t 时刻x 点处单位时间通过的车辆数，可以看作是t 时 刻x 点处通过车辆总数对时问的变化率。 2 速度u ( x ，f ) ：它表示f 时刻z 点处的车流速度，可以认为是当时当地所有 上成 一 上 烈 + 。一，& 一 一 玳，吣， 车辆的平均速度。 3 密度p ( f ) ：它表示t 时刻z 点处单位长度所有的车辆数。 由流体力学有关理论我们知道，当流量q ( x ，t ) 与空间坐标x 有关，或者是当 密度( - 、- ，f ) 与时i 司坐标t 有关时，事实上是假设了流体的可压缩性，而相反的假 没将导致流量与空间坐标x 无关，同时密度与时间t 坐标无关。 如图所示，我们通过研究车流在某路段 ，x + 血 内的车辆数由f 时到t + a t 时的变化情况，进而导出流量q ( x ，f ) 与密度p ( x ，f ) 所满足的守恒方程。 ( x ，t + d t )( x + d x ，t + d t ) 图2 1 交通流运动方程的推导 f 时刻路段内车辆数为f 尸( ，t ) d x ，t + f 时路段内车辆数为 f “。尸( x ，t 十出x l x ，于是可知由，到h a t 时路段内车辆数的改变量为 r “。( 尸( x ，ha t ) 一p ( x ，t ) ) d x 。 另一方面，该段内由t 到t + 出车流的改变量显然等于由t 到t + a t 时间内由 r 处的流入量r g ( x ，f ) 出减去车流在x + 缸处的流出量r g ( x + a x ，f ) d r ，即 f ( g ( 工，f ) 一g o + x ) ) 出，于是我们有 显然 或者 广( p ( 一h f ) 一尸( x ，r ) = n g ( x ，# ) 一q ( x + 血，桫 ( 2 1 2 a ) n f + f 掣以= 几广一挚础 广几挈+ 触= o 、 9 由于所取控制元的任意性，所以我们有 字+ 宴：0 ( 2 1 2 b ) o im 以上的推导过程反映p ( x ，t ) 和q ( x ，f ) 的连续性的不同而得到不同形式的守恒方 程，这对于研究间断问题时需要加以注意。 显然，流量是依赖于密度和速度的函数。事实上，根据流体力学的观点， 它可以表示为q = , o u 。通过前面车辆跟随模型的讨论，我们自然认为速度又依 赖于密度。记 从而有 “= “e ( 尸) q = g te t 们 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 于是，我们可得到密度所满足的守恒形式的微分方程，通常称为交通流运动 方程 挈+ 掣：0 ( 2 1 2 c ) a t瓠 或记为拟线性形式 娑+ n ( 尸) 挈：0 ，“( 尸) ：掣 ( 2 1 2 d ) 优0 x吐。 在以后的讨论中我们将会指出，上面形式的方程的精确解( 如果存在的话) 可用传统的特征线方法得到。而这儿的主要任务是给出速度密度函数关系式， 并分析其特性。正象我们在下面的讨论中将会看到的一样，对速度密度函数关 系式可以作出不同的假设，当然，每种假设都只对应一个特定的简单连续介质 模型方程。 最早的有关对于速度密度关系描述见于g r e e n s h i e l d s 于1 9 4 7 年发表的文 章。g r e e n s h i e l d s 认为交通流中车流的速度应该为关于密度的一个单减的函数， 而且其速度密度曲线大致呈一种显形关系。此外一也正如我们前面所指出的那 样对有关的交通量必须加以限制。事实上，交通中的最大密度( 或称饱和密 度记为p ，) 不仅客观存在，雨且可通过测量车身长度和车道数等有关参数进行 计算：车辆的行驶速度也必须受到交通规则中最大限速( 记为“。) 的限制。根 据g r e e n s h i e l d s 的思想，速度密度所满足的这种线性关系可表示为 模型1 “= “。( 1 一旦) 成 1 0 ( 2 1 5 ) 相应的流量函数q ( x ，f ) 也为密度p 的函数 g = “。尸( 1 _ 导)( 2 1 6 ) p 。 对于这一简单的线性模型进行较深入细致的分析重要性在于它不仅能帮助 我们更好地理解实际交通的主要特性，同时也是建立其它模型方程的重要参考 和依据。为此我们作出以下些基本的分析： 首先，速度一密度关系式应该反映当密度达到饱和时车流可能停滞的实际情 形- 即“