（计算数学专业论文）一维dft调制滤波器组结构与设计算法.pdf

摘要 近年来，多速率滤波器组理论和设计受到了越来越广泛的关注，主要原因是 滤波器组在通信、语音和图像编码、自适应滤波、雷达等领域有着广泛的应用。 本文主要研究了一维d f t 调制滤波器组结构和设计算法，其中重点关注过采样滤 波器组。与临界采样滤波器组相比较，过采样滤波器组在设计上更加灵活。本文 主要包括以下两部分： 首先，提出了一种具有不同分析和综合原型滤波器的过采样几乎完全重构 ( n p r ) d f t 调制滤波器组的更为简单的设计方法，按照系统的子带混叠、输出混叠、 阻带衰减和输出传递函数失真的要求，以输出传递函数失真作为目标函数，分析 和综合原型滤波器的阻带能量作为约束条件，同时引入了更加简单的通带平坦性 约束，实验结果表明这种方法非常有效。 其次，提出了一种新型结构的复调制滤波器组，称作交替d f t 调制滤波器组。 在这种结构的滤波器组中，分析滤波器组是由两个不同的低通原型滤波器交替 d f t 调制所得，同样综合滤波器组也是由两个不同的低通原型滤波器交替d f t 调 制所得。这种新型结构的复调制滤波器组继承了一般d f t 调制滤波器组的优点， 例如：计算的有效性，设计的简单，信号的正负频率分量可以分割到不同的子带 进行处理等等。基于这样一种结构，我们给出四个原型滤波器的过采样n p r 调制 滤波器组的设计方法。优化原型滤波器可以被转化为一个简单的非线性优化问题， 由于使用了多个原型滤波器，更多的设计自由度提供了改进复调制滤波器组性能 的可能性。最后实验结果说明了我们提出的设计方法的有效性。 关键词：d f t 调制滤波器组过采样几乎完全重构交替d f t 调制 a b s t r a c t t h et h e o r ya n dd e s i g no fm u l t i r a t ef i l t e rb a n k sh a v ea t t r a c t e dm o r ea n dm o r e a t t e n t i o n si nr e c e n ty e a r s ，o w i n gt ot h e i r 、v i d ea p p l i c a t i o n si nc o m m u n i c a t i o n ，s u b b a n d c o d i n go fs p e e c ha n di m a g e s ，a d a p t i v ef i l t e r , r a d a ra n dm a n yo t h e rf i e l d s t h i sp a p e r m a i n l ys t u d i e so v e r s a m p l e df i l t e rb a n k si nt h e1 - d i m e n s i o n a ld f t m o d u l a t e df i l t e r b a n k s a sc o m p a r e dw i t l lc r i t i c a l l ys a m p l e df i l t e rb a n k s , o v e r s a m p l e df i l t e rb a n k sa r e m o r ef l e x i b l ei nd e s i g n t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i s t so f t w op a r t s t h ef i r s tp a r td e a l sw i t has i m p l e rm e t h o df o rt h ed e s i g no fo v e r s a m p l e dn e a r l y p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ( n e r ) d f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k sw i t hd i f f e r e n ta n a l y s i sa n d s y n t h e s i sp r o t o t y p ef i l t e r s i nt e r m so ft h er e q u i r e m e n t so nt h ea l i a s i n gi nt h es u b b a n d ， r e s i d u a la i i a s i n g ，s t o p b a n da t t e n u a t i o na n do u t p u tt r a n s f e rf u n c t i o nd i s t o r t i o n , t h e d e s i g nm e t h o di n v o l v e st h em i n i m i z a t i o no ft h eo u t p u tt r a n s f e rf u n c t i o nd i s t o r t i o n w h i l ec o n s t r a i n i n gt h es t o p b a n de n e r g yo ft h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i sp r o t o t y p ef i l t e r s t h es i m p l e rc o n s t r a i n ta b o u tp a s s b a n df l a t n e s si si n t r o d u c e da tt h es a m et i m e t h e p r o p o s e dm e t h o dc a ng e n e r a t ef i l t e r sw i t l ls i g n i f i c a n t l yb e t t e rp e r f o r m a n c et h a nf i l t e r s o b t a i n e du s i n gc u r r e n td e s i g nm e t h o d s ，w h i c hi sa l s o v e r i f i e db yt h en u m e r i c a l e x a m p l e s t h eo t h e rp a r tp r e s e n t san o v e ls t r u c t u r eo fc o m p l e xm o d u l a t e df i l t e rb a n k s ， n a m e l y , i n t e r l e a v e dd i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ( d f t ) m o d u l a t e df i l t e rb a n k s i nt h e f i l t e rb a n k s ，t h ea n a l y s i sf i l t e r sa r eg e n e r a t e db yi n t e r l e a v e de x p o n e n t i a lm o d u l a t i n g t w od i f f e r e n tl o w - p a s sa n a l y s i sp r o t o t y p ef i l t e r sa n dt h es y n t h e s i sf i l t e r sa l eg e n e r a t e d b yt w od i f f e r e n ts y n t h e s i sp r o t o t y p ef i l t e r sv i at h es a m em a n n e r t h i sn o v e ls t r u c t u r e i n h e r i t st h ea d v a n t a g e so ft h ed f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k s ，s u c hn se f f i c i e n c yi n c o m p u t a t i o n ，g r e a te a s ei nd e s i g n ，a n dp a r t i t i o no fp o s i t i v ea n dn e g a t i v ef r e q u e n c y c o m p o n e n t sf o rs i g n a l s b a s e do nt h es t r u c t u r e ，ad e s i g nm e t h o df o r t h ef o u rp r o t o t y p e f i l t e r so fa no v e r s a m p l e dn e a r l yp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ( n p r 、m o d u l a t e df i l t e rb a n k si s p r o p o s e d t h eo p t i m i z a t i o no ft h ep r o t o t y p ef i l t e r sc a nb et r a n s f o r m e di n t oas i m p l e n o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m b e c a u s eo fu s i n go ft h em u l t i p r o t o t y p ef i l t e r s ，m o r e d e g r e e so ff r e e d o mm a k ei tp o s s i b l et oo b t a i nt h es i g n i f i c a n t l yb e t t e rp e r f o r m a n c eo f c o m p l e xm o d u l a t e df i l t e rb a n k s ，w h i c ha l s oi sp r o v e db yt h en u m e r i c a le x a m p l e s k e y w o r d ：d f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k so v e r s a m p l e dn e a r l yp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o ni n t e r l e a v e dd f tm o d u l a t e d 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人虢司释 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复印手段保存论文。 本人签名：壹1 短- 4 导师签名：玛塑垂主l 日期汹! ! 圭j 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多速率滤波器组概述 多速率数字信号处理的发展始于2 0 世纪7 0 年代中期，在几十年的发展过程中， 多速率滤波器组的研究经历了从基础理论分析到各种理论的丰富完善，发展到现 在已经产生了多种多速率滤波器组理论、结构和设计方法，其应用也从最初的语 音处理扩展到通信、图像编码、自适应滤波、雷达、快速计算、系统辨识、噪声 消除等许多领域【l 。3 1 。同时，如此广泛的应用也极大的促进了多速率滤波器组理论 的发展，促使越来越多的研究者开始关注多速率滤波器组的设计与应用研究。 多速率是指在一个信息处理系统中，存在多个不同的采样率，因此该系统必 定包含被处理信号采样率的变换过程：变大或变小。在多速率系统中，存在两个基 本的组成单元，即下采样器和上采样器，如图1 1 所示。通过下m 采样器可以使信 号的采样速率变为原来的，与此相似，通过上上采样器可以使信号的采样速率 增加上倍，根据实际应用中的要求，这些采样速率的变化被应用到多速率系统中。 坐l 匝丑盥坐l 匝丑凹) 下m 采样上l 采样 图1 1 多速率信号处理的组成单元 2 0 世纪8 0 年代中后期，以子带编码为主要应用背景的完全重构滤波器组理论 的产生和发展，使得滤波器组理论及其应用研究成为信号处理领域的一个活跃方 向。多速率滤波器组的基本结构如图1 2 所示，它也被称为“分析一合成”滤波器 组系统。图中的q ( z ) ( o f 一1 ) 称为分析滤波器组，g j ( z ) ( o j 一1 ) 成为综合滤波器 组，山k 和个k 分别是下上采样器。 x 0 ) - 匝互悃 五 ，匝丑抠亟h 五( 力 1 让巫丑咂司，匝j 咂还卜7 。n f 习一厂- ： 。n 习。厅r 了习。，r j 0 一l ( z ) l 一一一一一一一一一一一一jl 一一一一一一一一一一一 图1 2m 通道滤波器组结构 多速率滤波器组的基本思想是将输入的全带信号进行频带分裂，即将信号分 一维d f t 调制滤波器组结构与设计算法 解成位于不同频带上的子带信号，然后针对各子带信号的特点分别进行处理，最 后再由各个经过处理的子带重构信号。如图1 2 所示，输入信号x ( z ) 经分析滤波器 组日( z ) 及其级联的下采样器分解成为肘道不同频带的子带信号，子带信号经过 上采样器及其级联的综合滤波器g ( z ) 最后合成为原始输入信号的重建信号。信号 分解是由分析滤波器组来完成，最终的合成过程是由综合滤波器组完成。分析和 综合滤波器组中分别含有下采样器和上采样器，用于改变采样速率，同时可以用 于去掉冗余信息，这是一个典型的多速率滤波器组。当采样数目k 和滤波器的通 道数目鲋相同时，即k = m ，这种滤波器组称为临界采样的m 带滤波器组；当采 样数目趸小于滤波器的通道数目m 时，即k m ，这类滤波器组称为过采样m 带 滤波器组。 显然，上述的处理方法可以提高信号处理的效率，但是也不可避免的会引入 误差和失真。在多速率滤波器组中，主要存在以下三种失真【4 ，5 】：由上、下采样所 产生的混叠和镜像是产生误差的来源之一，由这种误差产生的失真称作“混叠失 真”；由滤波器幅频特性的波动产生误差，从而引起的失真称为“幅度失真”； 由滤波器相频特性的非线性产生的失真称为“相位失真”。因此我们进行滤波器 组设计时的首要任务就是要减小甚至消除各种失真现象。如果子带滤波器组的输 入与输出之间有y ( m = x ( n d ) 的关系，即输出是输入的纯延时，d 为延时，则称 为完全重构( p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，简称p r ) 滤波器组，这样的系统可以消除混叠 失真的影响。各种各样的滤波器组理论都是围绕着如何消除失真、 导到更好处理 性能展开的。下而我们将简要介绍一下多速率滤波器组理论的研究发展情况。 多速率数字信号处理的概念最早是在2 0 世纪7 0 年代中期提出来的，当时主要 是为了减少计算复杂度、减少传输速率和节约存储单元而发展起来的一项技术。 一直至l j j o h n s t o n 在1 9 8 0 年提出了一种两通道正交镜像滤波器【6 】( q u a d r a t u r em i r r o r f i l t e r ，简称q m f ) 。它可以完全消除混叠失真和相位失真，只存在微小的幅度失真， 多速率滤波器组才开始逐渐受到人们的关注。 1 9 8 6 年，s m i t h 和b a r n w e l l i7 j 提出共扼正交滤波器组( c o n j u g a t eq u a d r a t u r e m i r r o rf i l t e f ，简称c q f ) ，这是首次实现完全重构的滤波器组。v e t e r l i 【8 1 在1 9 8 6 年， v a i d v a n a ：c 1 1 a n 【9 】在1 9 8 7 年各自独立研究了两通道子带滤波器组的完全重构条件。他 们引入了多相位( p o l y p h a s e ) 分解的方法对滤波器组进行分析和设计，极大的简 化了滤波器组的设计思想，为滤波器组的实现提供了一种可靠的结构，同时也为 格型滤波器组理论的发展打下了基础。 1 9 8 7 年，滤波器组的发展取得了极大的成果。v a i d y a n a t h a n 1 0 螺统的提出了m 通道正交滤波器组的理论。他对正交滤波器组进行了参数化，提出了f i r 无损系统 的格型结构。滤波器组的精确重构性可由格型结构保证，因而滤波器组的设计可 表示成一个无约束的优化问题。这一结果不仅对多速率信号处理理论本身的发展 第一章绪论 起着重要的作用，而且为后来m 带小波分析理论的建立提供了理论基础。 在1 9 9 2 年，k o i l p i l l a i t l l 】提出了余弦调制滤波器组( c o s i n e m o d u l a t e df i l t e rb a n k s 简称c m f b ) 的完全重构条件，并用格型结构实现。这是一种特殊的多速率滤波器 组，它所有的分析滤波器和综合滤波器可转化为一个或两个低通原型滤波器来实 现，由于设计简单而且实现效率高，成为多速率滤波器组研究的热点。n g u y e n t q 0 2 1 提出了m 带双正交滤波器组，c h a r ts c 0 3 提出了非余弦任意正交调制的m 带 滤波器组。1 9 9 9 ，h e l l e r t l 4 1 提出了调制滤波器组的一般性理论框架。f l i e g e t ”_ 1 9 l 引入 过采样结构，提出了修正的d f t 调制滤波器组( m o d i f i e dd f t m o d u l a t e df i l t e rb a n k ， 简称m d f t - f b ) 。 2 0 世纪8 0 年代末到九十年代中期，小波分析研究成为热点。多速率滤波器组 与小波变换有着非常紧密的联系【2 0 之8 】。m 带小波可由迭代的m 通道滤波器组得到。 在1 9 9 3 年，s t e f f e n 2 9 1 等人在m 通道正交滤波器组的基础上提出了k 阶正则m 带小 波的理论。在此期间，v a i d y a n a t h a np p 【3 0 - 3 2 1 系统地提出了m 通道正交滤波器组的 理论。 在图像和语音信号处理领域，线性相位是一种非常重要的性质，所以设计满 足线性相位的滤波器组成为研究的热点之一。研究表明，有实际意义的两通道完 全重构线性相位正交滤波器组是不存在的，也就是说功率互补条件和线性相位条 件是互不相容的【3 3 1 1 9 8 9 年，n g u y c n 和v a i d y a i l 础a n 【3 4 】提出了种两通道双正交线 性相位的滤波器组，并给出了格型结构实现：1 9 9 0 年，他们又发表了嬲带线性相 位滤波器组的研究成果【，5 1 ，给出了一种格型分解算法。格型分解结构可同时保证 线性相位性和完全重构性，但这种结构仅适用于这种滤波器组的一个子类，因而 是不完备的。1 9 9 3 年，s o m a n ，v m d y a n a t h a n 年d n g u y e n 提出了肘通道线性相位正交 滤波器组的理论【3 6 1 。当m 是偶数时，他们给出的格型结构是完备的。1 9 9 5 年l i n 和 v a i d y a n a t h a n 3 7 1 将c m f b 延伸到线性相位滤波器组领域，从而可以简化线性相位m 带滤波器组的设计。2 0 0 0 年，l a b e a u l 3 8 】等人提出了过采样的线性相位正交滤波器 组的结构、分解和设计标准。 1 9 9 7 年，x i a t 3 9 1 用过采样滤波器组作为均衡器来抑制码间干扰，该均衡器具有 线性相位性质，而且有很高的带宽利用率。1 9 9 8 年，k l i e w e r 并b b o l c s k e i 各自独立的 提出了过采样余弦调制滤波器组【帅】。同时，c v e t k o v i c 和b o l c s k e i 分别提出了过采样 滤波器组的理论框架川。 1 9 9 9 年，x iz h a n g 和t o s h i n o r iy o s h i k a w a 【42 j 给出了一种两通道i i r 滤波器组的 设计方法，该滤波器组在结构上满足p r 条件，同时运用r e m e z 迭代算法，避免求 解非线性方程组。 2 0 0 0 年。m a s a a k ii k e h a r a , t a k a y u k in a g a i 和t q n g u y e n 从时域入手，提出了偶 数通道双正交线性相位p rf i r 滤波器的设计理论。该方法避免了非线性方程组的 4 一维d f t 调制滤波器组结构与设计算法 求解和频域中的积分运算，同时对初值不敏感【4 3 】。 在应用方面，多速率滤波器组最早用在语音和图像编码中。各种滤波器组多 数是围绕提高编码效率，降低滤波器组时延，减少恢复信号的混叠成分和相位失 真及幅度失真的目的出现的。特别是为了方便处理图像信号，出现了各种线性相 位的滤波器组结构和设计方法。o l i v i e re g g e r 4 4 1 ，j o h nw w o o d s l 4 5 1 等在多速率滤波 器组的编码应用方面做了很多有意义的工作。同时，滤波器组和多速率信号处理 的思想还被应用到通信系统( 包括c d m a ) 、雷达信号处理、数字多路器以及噪声 抑制等许多领域。 滤波器组的设计可以归结为对目标函数和约束条件的优化问题，它们中或含 有非线性约束条件，或对初始值敏感，或会对参数的变化敏感，或在目标函数或 约束条件中出现积分运算，这些都会增加计算的复杂度。现有主要的几种滤波器 组的设计方法如下： 1 格型方法1 3 4 - 3 s 1 是一种常用的设计方法。其优点是滤波器组的p r 性可由格型 结构保证，即使格型结构中的系数量化也能保证滤波器组的p r 性。它一般采用无 约束非线性优化算法。其缺点在于目标函数往往是格型结构系数的高度非线性函 数，对格型系数的变化非常敏感，很难获得高阻带衰减的滤波器组。 2 二次约束的最小二乘算法f 蜘( q c l s ) 也是一种常用的滤波器组的设计方 法。该方法将目标函数和约束条件表示为待优化的滤波器组的二次函数，从而有 解析的梯度和h e s s i a n 阵。用该方法设计的滤波器组有较高的阻带衰减，并且可用 于多种滤波器组的设计中。但该方法在优化过程中采用的仍是通用的非线性优化 算法。通用的优化算法一般不可能考虑到滤波器组的具体特点，因而运算量大且 对初始值敏感。为了获得满意的设计结果，通常要用不同的初始值进行多次的优 化计算。 3 拉格朗日乘子法也可用于设计滤波器组，但现有的拉格朗日乘子法只能设 计不同长度的分析滤波器组，而无法设计相同长度的分析滤波器组。张子敬做了 改进【4 ”，使得拉格朗日乘子法可应用于更广泛的范围。 针对滤波器组优化设计的具体问题，设计方法有所不同。本文讨论了更为灵 活简单的滤波器组设计方法。 1 2 本文的主要工作 滤波器组的设计主要有以下两个方面要求：第一，完全重构或几乎完全重构， 即尽可能无失真地恢复原始信号；第二，要求比较好的子带滤波器的性能，包括 较小的过渡带、较小的通带波动和较大的阻带衰减。事实上，完全重构滤波器组 仅关心混叠的完全消除，对许多综合性能的表现并不一定是最优的【4 s 1 。在一些特 第一章绪论 定的应用领域中，几乎完全重构滤波器组的实践表现更佳。这是因为几乎完全重 构滤波器组放宽了重构条件，综合考虑了重构效果、混叠的减小、通带的平坦、 阻带衰减等因素，往往能够使滤波器组有更好地性能1 4 9 。5 3 j 。 本文研究的内容包括以下两部分： 首先，提出了一种分析和综合原型滤波器不同的过采样几乎完全重构( n p r ) d f t 调制滤波器组的更为简单的设计方法。按照滤波器组的通带、阻带、系统失真 要求，以输出传递函数失真作为目标函数，分析和综合原型滤波器的阻带能量作 为约束条件，同时引入了小波分析中的约束方法，进一步简化了通带平坦性约束。 在相同长度的滤波器情况下，新方法设计的两个原型滤波器的最大阻带水平比文 献【4 9 】中的单原型滤波器降低了5 d b 以上。与文献【5 1 】中的滤波器组相比有更小的 相对带内混叠、相对输出混叠，相位误差和群延时误差，而且本文的算法比文献 5 1 】 的结合交替迭代和对截止频率彻底搜索的半无穷二次优化算法要简单，实现起来 容易。 其次，提出了一种新型结构的复调制滤波器组，称为交替d f t ( 离散傅立叶变 换) 调制滤波器组。在这种交替d f t 调制滤波器组中，分析滤波器组由两个不同的 低通原型滤波器的交替d f t 调制所得到。同理，综合滤波器组也是由两个不同的 低通原型滤波器的交替d f t 调制所得到，基于这种交替d f t 调制滤波器组，我们 给出了一种过采样n p r ( 几乎完全重构) f i r ( 有限脉冲响应) 复调制滤波器组 的设计方法。 具体各章节的安排如下： 第二章：概述了多速率系统的理论基础，这是后续研究工作的基础。 第三章：详述了调制滤波器组的基本理论，介绍了调制滤波器组的基本类型 及其相应的结构。 第四章：提出了过采样n p rd f t 调制滤波器组的设计方法。按照滤波器组的 子带混叠、输出混叠和系统失真要求，推导并给出了相应的设计算法。 第五章：基于交替d f t 调制滤波器组的结构，我们提出了关于过采样几乎完全 重构的调制滤波器组的一种简单的设计算法。 总结和展望：简要总结了本文所做的工作并说明了下一步的工作方向。 第二章多速率系统理论基础 7 第二章多速率系统理论基础 本章是关于多速率系统和滤波器组的基础知识，是其它各章的基础。 2 1 多速率的基本运算 多速率系统中最基本的运算就是抽取和内插，这样做的目的是为了满足系统 中各处需要不同的抽样率，以利于信号的处理、编码、传输和存储，有时则是为 了节省计算工作量。抽样率降低的抽样率转换称为抽取，这样的抽样率转换器称 为抽取器( 下采样器) ；使抽样率升高的抽样率转换称为内插，这样的抽样率转 换器称为内插器( 上采样器) 。 2 1 1 下采样器 信号的采样率远大于两倍信号带宽时，可通过下采样过程降低信号的采样率， 离散信号x ( 珂) 的m 倍采样过程就是每隔m 点保留一点数据，即 y ( 所) = x ( m m )( 2 1 1 ) 其中_ ) ，) 表示下采样后的信号，这一过程可用如图2 1 1 ( a ) 描述。 竺吨圃翌恒乎2 图2 1 1 离散信号的抽取 这一过程的输入信号与输出信号的z 域和频域关系分别为： y ( z ) 2 玄荟( 一嘭) ，y ( 矿) 。玄荟z ( e j ( a - 2 k z ) l m ) ( 2 1 2 ) 其中，= e - m 。从公式( 2 1 2 ) 可知m 倍抽取信号的频谱在原始信号采样率归 一化的数字频率内，与抽取前的信号的频谱相比，多出了肘一1 个等间隔的复制频 谱，实际上就是信号的各种调制表示。信号带宽小于万m 时，肘倍抽取信号的频 谱不会发生混叠。但是，在实际的信号处理过程中，信号带宽不一定小于7 r m ， 为了防止混叠发生，信号抽取之前，一般要做低通滤波处理，该低通滤波器称为 抗混叠滤波器，如图2 1 1 ( b ) 所示。 警 8一维d f t 调制滤波器组结构与设计算法 2 1 2 上采样器 与信号抽取过程相对应的是插值过程，如果需要把几个窄带信号复合在一起 构成一个宽带信号，则需要信号的插值过程，也就是增加信号的采样率。信号的 插值可以分为两步来实现：第一步是扩展采样率，即每两个采样点之间插入工一1 个 零点；第二步是抗镜像滤波。如图2 1 2 ( a ) 所示 型五p 亟 型 ( b ) 图2 1 2 信号的插值 这一过程的信号输入与输出关系为： 时域关系： z 域关系： 频域关系： 咖) ：k ) 玎= 础 【0 其他 y ( z ) = y ( z ) v ( e ”) = r ( e 扣) = y ( e j ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 与抽取不同，插值过程不改变信号所包含的信息，插值前后，在频域，信号的频 谱没有发生变化，只是在归一化数字频率轴上改变了尺度，为了得到最终所需的 插值信号，必须对采样率扩展信号插值，由式( 2 1 5 ) 可知，采样率的增加导致信 号的频谱在原始采样率归一化的数字频率域内，出现了个一1 个镜像频谱，为了 得到与原始信号一致的采样信号，需要进行抗镜像滤波，如图2 1 2 ( b ) 所示。 2 1 3n o b l e 等效结构 对于上采样和下采样过程，有以下等价信号流图，如图2 1 3 所示。一个m 下采样器和一个滤波器日( z ) 等效与h ( z m ) 和一个m 下采样器；一个滤波器h ( z ) 和一个m 上采样器等价与一个m 上采样器和一个日( ) 滤波器。这两个基本的等 效易位结构被称为n o b l e 等效结构。 爷 第二章多速率系统理论基础 9 匹卜咂卜三囡叫互卜 丑砸卜焉1 册 图2 1 3 等效易位结构 2 1 4 数字信号的表示 离散信号x ( 疗) 的m 倍采样就是每隔m 点保留x ) 的一个值，其余的值为0 。 数字信号的采样过程可以表示为原始信号和离散采样函数乘积的形式，一般地， 离散采样函数可以写为： 咖) = 击善嘴= 托警朋燧数 叫) 很显然： 0 ) = w m ( 一功= k l 4 - v z 。m i 研 ( 2 1 7 ) r - v = o 对于相移为五的离散信号，其离散采样函数为： 。一= 击篓咄柚 = ： 巍m “朋为整数 q s ， 根据上述离散信号采样过程，引入离散信号的两种表示：离散信号的多相表 示和调制表示。 离散信号的第一类型多相表示可以定义为m 个不同相移的离散采样信号之 和： 工( 以) = 坶( 珂) = x ( ”慨( 刀一a ) ( 2 1 9 ) 其中 彬( 以) = x ( n ) w u ( n 一五) ( 2 i 1 0 ) 称为离散信号相移为旯的多相组成部分，式( 2 1 9 ) 称为信号的时域多相表示式， 对它作z 变换后得 x ( z ) = x ( m m + a ) z 叫“= z 。砰( ) ( 2 1 1 1 ) 其中 砰( ) = x ( m m + a ) z 一“= 彬( m ) z 一“ ( 2 1 1 2 ) 公式( 2 1 1 1 ) 称为信号的z 域多相表示式。我们可以得出坶( ) 与z - - i x j v ( ) 互为z 变换对。 1 0一维d f t 调制滤波器组结构与设计算法 用m 一1 一z 替换见得到信号的第二类型多相表示，即 m - 1 j ( z ) = z 一似4 。砷( z “) ( 2 1 1 3 ) f f i o 其中 砷( z ”) = 囊“( 朋弦一“ ( 2 1 1 4 ) “( m ) = x ( ”n ，+ ，一1 一 从公式( 2 1 1 3 ) 可知第二类型多相表示的各个组成部分就是第一类型的多相表示 各个组成部分的倒序排列。 砷( z ) - x 。( p 一) l 一 ( z ) ，五= o ，1 , - - m 一1 ( 2 1 1 5 ) 用一五替换五得到信号的第三类型多相表示，即 村一1 x ( z ) = z 2 砖6 ( ) ( 2 1 1 6 ) i = o 其中砖 ( ) = 毋( 聊弦一“ ( 2 1 1 7 ) 毋( 埘) = x ( m m - 2 , ) = x ( m - 1 ) m + m 一棚 第三类型多相表示与第一类型多相表示相比，有以下对应关系 僦；：矗z - 1 麓步b m i 叫s ， 鼻p ( z ) = 爿j 2 。( z ) ，a = l ， 一 、一7 由式( 2 1 1 8 ) 可知，当五= 0 时，两者相同，其他互为倒序排列，同时两者相差一 单位时延。 离散信号的调制表示可通过其z 变换的变i z 用z 吆替代得到，即 墨哪( z ) = x ( z 嘴) ，k = 0 ，i ，m i ( 2 i 1 9 ) 其中上标“( m ) ”表示调制表示，作变量替换z 斗p 一，则有 墨”( p 。) = x ( e 伽。删“)( 2 1 2 0 ) 由式( 2 1 2 0 ) 可知，式( 2 1 1 9 ) 的调制过程相当于把信号的频谱在归一化频率域 搬移了2 觥m ，如图2 1 5 所示。 第二章多速率系统理论基础 0 a m 0 2 z m 2 r ； 国 图2 1 5 离散信号的调制表示( m = 4 ) 离散信号的多相表示和调制表示存在密切关系，把公式( 2 1 7 ) 、 ( 2 i 1 0 ) 代入z “砰( ) ，我们可得出： z 。z ( z ”) = x p ( 玎) z ” = 重卜万im 幺- i 咿k 町卜 = 寺x ( n ) z ”嘭” 肘乞，兰 ” 薹砌，( z 嘭) “p ( 2 1 8 ) 和 ( 2 i 2 1 ) 雄”( ：) = x ( z 嗡) 因此有 z 一4 x 掀z ”) = 百im 各- ix 默z ) 嘭( 2 1 2 2 ) 由式( 2 1 2 2 ) 可知，离散信号的调制表示关于变量k 的d f t 的击就是它的多相组 肘 成部分。 2 2 均匀m 通道滤波器组 均匀m 通道滤波器组有低通、带通和高通滤波器构成，各个滤波器的带宽相 等，中心频率点均匀分布。本节讨论平行结构的m 通道滤波器组。 2 2 1 平行结构的m 通道滤波器组 图2 2 1 是一个典型的均匀m 通道滤波器组，两个虚框的内部所对应的分别 是分析滤波器组和综合滤波器组。其中风( z ) 和g 0 ( z ) 是低通滤波器， h i ( z ) ，一：( z ) 和g l ( z ) ，g 0 一：( z ) 是带通滤波器，王0 一，( z ) 和g 0 一，( z ) 是高通滤 。一m = 1 2 一维d f t 调制滤波器组结构与设计算法 波器，它们的带宽都是：r i m ，中心频率均匀分布于0 万之间。此处的每个滤波 器的输出都做了k 倍的采样，且当采样数目k 和滤波器的数目m 相同时，即k = m ， 这类滤波器组称为临界采样的m 带滤波器组；当采样数目k 小于滤波器的数目m 时，即k 0 ，0 ，m 一1 。对于仿酉( p a r a u n i t a r y ) 特性滤波器组 由于分析合成滤波器互为倒序，完全重构条件为： p 0 ) = g ( z ) h ( z ) = z 一4 i ( 2 3 1 6 ) 图2 3 2 的多相实现方式与图2 2 1 相比，计算量大为减少。滤波过程在输入信 号进行k 倍下采样后进行，计算量减少了k 倍；同时，滤波过程使用的滤波器是 多相子滤波器，长度仅为原始滤波器的1 m ，因此又可以减少m 倍的计算量；另 、， 0 ， “脚 = 、j0珥 脚脚；水 吼艮 嗣脚；水 & 西 瓯 一维d f t 调制滤波器组结构与设计算法 外，如果滤波器组的通道数较多，那么随后额外所需计算与原有滤波过程将比， 计算量也会有所较少。 第三章调制滤波器组 第三章调制滤波器组 调制滤波器组是滤波器组的一个重要分支，这类滤波器组可以通过调制一个 或者两个低通原型滤波器得到各个通道的滤波器，大大降低了滤波器组的设计难 度，不仅如此，调制滤波器组可以借助d f t 或者d c t 实现，有很高的计算效率， 因此在实际信号处理中，它们有着极其广泛的应用。主要有两类调制滤波器组： 复调制滤波器组( d f t - f b ) 和c o s 调制滤波器组( d c t - f b ) ，以下分别作简单介 绍。 3 1 复调制滤波器组( 鼎f b ) 复调制滤波器组也被称为伪q m f 滤波器组，最先提出的d f t 调制滤波器组 按下列方式构造： ( 1 ) 选择一个合适的低通滤波器日( z ) ，其截止频率为万m ，按如下方式 域( 2 ) = 日0 叨) r a = l , 2 , - , m - 1 ( 3 q ( z ) = o ( z w 嚣) = m h ( z w m ) m = l ，2 ，m 一1 。 选择各通道滤波器，上式就是对原型滤波器h ( z ) 等间隔频移的复调制，因此这种 滤波器组称为复调制滤波器组。h ( z ) 和e ，( z ) 的示意图如图3 1 1 所示。 ( 2 ) 滤波器组的频谱混叠只考虑相邻频带滤波器的混叠。 ( 3 ) 通过抑制滤波器阻带增益减少不相邻滤波器之间的混叠。 胃( p 归) 4 牢s。， 0 图3 i 1 各个通道滤波器频谱示意图( m = 6 ) 一维d f t 调制滤波器组结构与设计算法 一般情况下，完全重构的l 临界采样( m = k ) 的d f t 滤波器组有高的阻带旁瓣【“， 滤波器组的性能表现较差。过采样d f t 调制滤波器【5 0 ，5 2 。5 5 】克服了这方面的问题， 完全重构和几乎完全重构的过采样d f t 调制滤波器组都有着较好的对外表现，这 类滤波器组在语音信号处理，自适应滤波等领域有着广泛的应用。 3 2 余弦调制滤波器组 和d f t 滤波器组一样，c o s 调制滤波器组本质上也是一种伪q m f 滤波器组， 例如，根据下列方式选择各通道滤波器频率响应的c o s 调制滤波器组： ( 1 ) 分析和综合滤波器组都有2 m 个通道 ( 2 ) 各通道滤波器的带宽为z l m 。 ( 3 ) 第f 通道滤波器的频率响应通过一个合适低通滤波器日( z ) 作频移为 ( 2 i + 1 忉2 m 的复调制得到。 ( 4 ) 各通道滤波器成对出现，且相互共轭，可合成一个实的冲击响应，即 掣( 力叫。嘧1 ) 括o ，1 一，肌1( 3 - 2 1 ) 叫一( z ) = 日0 陟= - 1 ) i = o ，l ，m 一1 、 = 黼烨( 2 t + 1 ) z 圳，m 一 陋)一一， 矿( 功= e 叮江0 3 , ，m 一1 因此它们合成的滤波器的时域表示为 i ；5 = 硝+ ) + 群- ) = 2 c 。s 咖堡笋) ( 3 2 3 ) 图3 2 1 是上述c o s 调制滤波器组的各通道滤波器频率响应示意图。 o | m ( a ) 低通原型滤波器 第三章调制滤波器组 j - 日：_ 月j ”h j + h i ” x 汇 口， 07 lm2 r | m ( b ) 各通道滤波器 图3 2 1c o s 调制滤波器频率响应示意图 和前面讨论的d f t 滤波器组一样，一般情况下，式( 3 2 1 ) 所定义的c o s 调 制滤波器组也不能够满足完全重构条件，虽然这样，但是可以根据应用要求，选 择一个合适的低通滤波器，使滤波器组的重构误差在个允许的范围内。正因为 如此，这两种滤波器组在实际的信号处理中有广泛的应用，尤其在通信和音频处 理当中。例如：m p e g - 1 ，m p e g - 2 标准中的音频编码标准采用了类由式( 3 2 1 ) 定 义的c o s 调制滤波器组。 3 3 调制滤波器组的多相结构 调制滤波器组的多相结构具有很多重要的实用意义，它能够简化滤波器组的 设计，并极大的提高计算效率。下面着重讨论式( 3 1 i ) 定义的d f t 滤波器组的多 相结构，图3 3 1 ( a ) 表示d f t 滤波器组直接实现的信号流图，现在把第一通道分 析滤波器写为多相表示的形式 风( z ) = 日( z ) = = z 。职( ) ( 3 3 1 ) 这样第f 通道滤波器组的输出为 置( z ) = 珥( z ) x ( z ) = 日0 ) 石( 力 = x ( z ) = o ) “月( o ) ”) = = z - 2 x ( z ) h i 9 ( ) 阡铲 ( 3 3 2 ) 上式对m 个通道都成立，由式( 3 3 2 ) 可知，求和表达式实际上就是i d f t ，而方 括号内的信号项则是多相子滤波器对不同时延信号的滤波输出，因此d f t 滤波器 组的分析滤波器组可以用图3 3 1 ( b ) 表示，从图3 3 1 ( b ) 可知，d f t 滤波器组的 分析滤波器组的多相结构包含三个部分：1 ) 输入信号的解复用，2 ) 多相子滤波 器的滤波，3 ) i d f t 。图3 3 1 ( b ) 的实现方式与图3 3 1 ( a ) 相