（计算数学专业论文）三维非协调单元在不同剖分意义下的收敛性分析.pdf

内容摘要 本文的主要内容是讨论一类三维9 参数非协调单元在三种不同剖分意义 下的收敛性分析，首先，在传统的正则性条件假设( 参见文献 1 】) 下，基于二 维的一个5 参数非协调单元( 参见文献【2 , 3 ，4 ) ，我们构造了一个三维9 参数非 协调单元，按照 5 , 6 ，7 的思想证明了这个单元在正则性条件假设下，对任意的 凸六面体剖分是收敛的，并且给出了相应的误差估计。接着，运用文献1 8 】中 关于讨论各向异性的方法，我们证明了此单元在适当的改进之后，对长方体 剖分满足各向异性特征，并且给出了相应的误差估计。最后，按照文献 9 】中 的思想，运用文献f 1 d ，1 1 ) 类似的方法，我f f 证明了改进后的单元对任意六面 体剖分是满足各向异性特征的，也给出了相应的误差估计。 关键词：有限元，各向异性，非协调单元，误差估计。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ec o n v e r g e n c e so fa c l a s so fn o n c o n - f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tw i t hn i n ep a r a m e t e r si n 3 - d i m e n s i o ns p a c eu n d e r t h r e ek i n d so fs u b d i v i s i o n f i r s t l y , u n d e rt h ec o n v e n t i o n a lr e g u l a ra s s u m p - t i o n ( r e f e rt of 1 0 ，b a s e do nan o n c o n f o r m i n ge l e m e n t w i t hf i v ep a r a m e t e r s i n2 - d i m e n s i o ns p a c e ( r e f e rt o 2 , 3 ，4 】) ，an o n c o m f o r n i n g f i n i t ee l e m e n tw i t h n i n ed a r 锄e t e r si n3 - d i m e n s i o ns p a c ei sc o n s t r u c t e d b yt h et h i n k i n go f f 5 , 6 ，7 1 ，w ec a np r o v et h a t i ti s c o n v e r g e n c ef o ra r b i t r a r yc o n v e xh e x a h e - d r o ns u b d i v i s i o ni n n e x t ，b yt h eu s eo f 3 - d i m e n s i o ns p a c ea n di t se r r o re s t i m a t ei so b t a i n e d t h em e t h o d0 ia n i s o t r o p ys u b d i v i s i o ni n 【8 】，w eh a v e p r o v e d t h e p r o p e r l ya d v a n c e d e l e m e n ts a t i s f yt h ef e a t u r eo fa n i s o t r o p y f o r a r b i t r a r yc o n v e x c u b o i ds u b d i v i s i o ni n3 - d i m e n s i o ns p a c ea n d t h ee r r o re s - t i m a t ei so b t a i n e d f i n a l l y , r e l y i n g o nt h et h i n k i n go ft h er e f e r e n c e 9 ，u s i n g t h es i m i l a rm e t h o dw i t h 【1 0 ，1 1 1 ，w eh a v ep r o v e dt h em o r e a d v a n c e de l - e m e n ts a t i s f yt h ef e a t u r eo fa n i s o t r o p yf o ra r b i t r a r yc o n v e xh e x a h e d r o n s u b d i v i s i o ni n3 - d i m e n s i o ns p a c ea n d t h ee r r o re s t i m a t el so b t a i n e d k e y w o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ，a n i s o t r o p y ，n o n c o n f o r m i n g e l e m e n t ，e r r o r e s - t i m a t e i i 前言 有限元方法是从上世纪6 0 年代蓬勃发展以来的一种数值计算方法，由于其“解题效能 高强，应用范围宽广”( 我国数学家冯康先生语) ，且前巳成为解决物理、工程力学和科学 计算的重要工具有限元方法的基本原理是将原始问题转化为变分形式即弱形式，在较弱 的空间v 上求解，然后构造能够逼近变分问题求解空间的有限维空间v 。一般是将求解区 域q 剖分成有限个小片( 称为单元) ，构造分片多项式形成有限维试验函数空间v ，进而在 v n 中求解这种方法称为有限元方法，其解称为有限元解若v h cv ，这种方法称为协调 有限元方法否则称为非协调有限元方法非协调有限元方法一度被称为是非标准的，因为 求出来的解甚至根本不包含于原来的空间内但近年来的数值试验和理论分析表明这种方 法在某种意义下有较好的收敛效果国内这方面的研究成果比较突出，如石钟慈院士建立 的专门用于检验非协调元的收敛性估计的广义分片检验方法( 1 2 】，解决了众多的非协调单 元的收敛性问题 但是无论协调元，还是非协调元，传统的有限元方法都要假定对区域的剖分满足正则 性条件，甚至更强的拟一致条件传统的估计方法主要是要用到s o b o l e v 空间多项式插值定 理从一般单元变换到参考单元用插值定理，然后再从参考元变换到一般单元，从而估计 出逼近阶来回转换的过程要用到j a c o b i 变换的行列式及求导时多出的因子，放大不等式提 取逼近阶的过程，需用到单元直径与单元内切球直径的比值小于一个固定常数这一事实， 即所谓的正则性条件但最近的一些研究成果表明，这种假定对一些有限元格式并非必要 的同时有些问题的解呈各向异性，即沿某个方向解变化剧烈，而沿另外方向变化平缓这 时采用各向异性求解的效果会更好因此最近出现了有关各向异性有限元的研究关于这 方面的研究，a p e l 在 9 , 1 3 ，1 4 一系列的文章中对一些问题进行了深入的探讨，而陈绍春教授 则在【8 】中给出了一个更为精细的各向异性插值估计定理，用来绕开正则性条件，处理一些 具有各向异性特征的插值逼近估计所给定理比【9 】更容易操作 以往的有限元研究，多是考虑二维同题对三维有限元由于其复杂性，研究甚少但是 近年来由于解决实际问题的需要，人们开始关注三维有限元同题的研究本文就是对三维 有限元作了一些尝试本文的主要工作是基于二维的5 参数非协调单元，构造了一类三维9 参数非协调单元，在三种不同的剖分意义下，证明其收敛性并给出相应的误差估计 本文的写作安排如下： 第一章：介绍预备知识，就本文用到的记号和定理作一列举，并证明三线性长方体剖 分l a g r a n g e 插值具有各向异性特征 第二章t 在二维5 参数非协调单元的基础上，构造了一个三维9 参数非协调单元，并在 传统正则剖分意义下证明其收敛性，最后给出了相应的插值误差估计 第三章：在二维5 参数非协调单元的基础上，构造了一个三维9 参数非协调单元绕开 正则性条件，在长方体剖分意义下证明其收敛性，并给出了相应的插值误差估计 第四章：在二维5 参数非协调单元的基础上，构造了一个三维9 参数非协调单元绕开 正则性条件，在任意六面体剖分意义下证明其收敛性，并给出了相应的插值误差估计 2 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及一些记号 仅就本文用到的基本知识和记号作一列举 础表示实n 维e u c f i d 空间，x = ( 2 7 1 , z 2 是一多重指标，其每一分量都是非负整数， ，z 。) 表示册中的点令qcr n ，1 = ( 讥，他 且记1 的长度为 川= 竹 1 t ( “ ”= 研耘 s o b o l e v 空间定义为： w ”p ( q ) = ，l ( n ) i d ，l p ( n ) ，h l 兰m ) 空间m ，p ( n ) 的范数和半范分别记为 i l v ；w m , p ) i 旧【l 暑上p r 删v 9 l 口l s m i v ；w m p ( q ) l = 【a l = m 九t 。d 。u r 扰1 1 p _ l 为简便起见，当n = 2 时，记x = ( 轧x 2 ) 或x = 瓴) ， a 口跏萨 2 压唧。西v 2 瓦函 空间日m ( q ) 一w i n , 2 ( n ) 范数和半范分别简记为i 。和i l m h o l d e r 不等式f l q ：设1 p o o ，q 为一对共轭指数，即；+ j = i ，且，p ( q ) 心p ( o ) ，则； i 正，( z ) 9 ( z ) 出 s ( 正| ，( 圳出) ；( 上m 酬。出) m i n k o w s k i 不等式【1 q ：设1 p 。，9 p ( n ) ，则z ( 上限z ) + 9 如) 尸如) 5 = ( 二瞰划如) 5 + ( j 厶b 扛) 尸如pj nj n0 3 迹定理 1 e l ：设n 为具有l i p s c h i t z 边界的区域，1 0 ，使 i 口沁 ) i c 1 1 1 1 2 , 日 则对任意，h ，存在唯一的u 日，使 n ( u ， ) = ，( u ) ，h 求解微分方程数值解的有限元方法，须先将微分方程转化为与其等价的变分形式，如 d i r i c h l e t 边值问题转化为；求“日3 ( n ) ，使 o ( u ，_ ) = ，( ”) ，日3 ( n ) 设v 为h i l b e r t 空间，对下面一般的抽象变分问题z 求u 硪( q ) ，使 口( v ) = ，( ) ，础( n ) 有限元求解的方法为；给定区域n 个剖分t h ，一般为三角形或者四边形v k t h ，记 h g 为单元的直径，腿为k 的最大内接球直径，h 2 。m 。a n x h k 如果存在常数c 使剖分族w h ( o h s l ) 满足 丝s g ，v 耳t h ， p k 4 则称剖分族是正则的 如果甜分族不仅是正则的而且存在常数1 ，使得 当7 h k 一4 则称剖分为拟一致的 构造有限元空间，般情况下为分片多项式将变分问题离散化，在有限维空间上求 解若碥cv ，则称有限元空间为协调元，否则称为非协调元 对于协调元，有限元方法求解变分问题的离散形式为；求”一v h 使得 a ( u h ，7 ) h ) ；，( 嘶) ，v h v h 误差估计有以下引理： c e a 引理f l j ：如果a ( u ，v ) ，“v ) 满足l a x - n 衄g r a m 引理的条件，则离散冈题有唯一解，且 1 1 “一“ 怯c 。i n f l u - 恬 其中， e 为能量模，叫f e = ( 。( ”，”) ) 对于非协调元，即不属于v ，假设可找到更大的空间s v 且s d 碥，这时双线性型 。( ，) 扩展到sxs 上的一个延拓a ( ，) ，6v 7 可以扩展到s ，使得： a 0 ，口) = o ( ，”) ，v u ，”v ，( ) ；，( ”) ，v v6 v 变分问题的离散形式为： a ( 蝴，) = ，( ”) ，抛h 该 关于收敛性分析，有下面引理 s r a n g 引理i - 1 ：设a ( ，) 为s s 上的连续双线性型，并且满足强制性，s ，见i 离散问题 有唯一解，并且有估计式 一u 圳s s g ( 。翼o 一讥恬+ o ：堕生掣) 其中 j l j s = ( a ( ，w ) ) 1 3 各向异性基本定理及几个推论 设膏是参考元，p 是霞上的一个r e 维多项式空间( 形函数空间) ，芦7 是p 的共轭空间 设协，碗，靠) 和 觑，如，峨。 是户和户，的一对共轭基，即 觑( a ) = 最j ，1 i ，j m 5 殳j ：h ( 露) 一p ，1 是有限元插值算子，满足 疵( j o ) = 瓢( o ) ，t = 1 ，2 ，m 怕6 p 殴a = ( a ，a 。) 是一个多重指标，则伊也是霞上的多项式空间，设d i m 加p = n 慷i = l ，2 ，r ) 是加p 的一组基则加( 如) 伊户可表示成 mr d 8 ( j 。) = 疵( 。) 西。或= 岛( 。) 西 c 1 1 ) = l j = l 显然，葑是 旁噶) 饕。的线性组合，而岛( o ) 是 n tc v ) h = ，的线性组合设 m 岛( 。) ；o ，危( 。) ( 1 2 ) = l 则由( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，我们有 mm 岛( o ) = a t 疵( o ) = n t 晚( 莉) = 岛( j ( o ) ) t = 1；膏1 基本定理毗在上述表达下，如果岛( o ) 能表成 岛( 。) = 乃( 西。0 ) ，1 s j s m 其中蜀( 俨( ；) ) ，l 茎i ，j m 同时冠( 玄) c 加户，z ( s 1 ) ，贝存在常数c ( 贾) 满足： | i d 。( 吐- i 血) i i t ，斥sc ( 詹) 1 d “训z + l ，膏0 t s f + 1 v 矗日h 十件1 ，膏 设一般长方体单元k 在( x ，y z ) 平面上，中心点是( 。k ，弘，积) ，边长分别是2 k 、2 h 和2 k ，顶 点是； 0 1 ( z k h z ，掣k 一 - 。耳一 ：) ，0 2 ( z 耳+ z ，妍一 口，= 耳一 ；) ，。3 ( 茹耳+ ，封k + 。，z k - - h ；) ，n 4 忙k 一，k ，耵耳+ _ ，：耳一 ；) n 5 ( z k h z ，掣耳 - ，2 耳+ h ) ，4 6 ( 。耳+ h $ ，寸耳一 v ，= 茁+ h ；) ，d 7 ( 嚣耳+ ，掣耳+ h v ，z k + a j ) ，n 8 ( 。k 一 ，v 片+ ，z 耳+ h ；) 贬1 将k 变成参考单元丘= 【- 1 ，l 】 一l ，1 】【一1 ，1 1 ，贾到k 的变换h 是 $ = f + 船 = o 叼+ 掣k ， = = h t c + z a 霞上的形函数空f 可定义为户，k 上的形函数空间定义为； p ( 耳) ； p b = p o j 誓1 ；声户) 6 利用上面的基本定理，证明三线性l a g r a n g e 插值具有各向异性插值特征 推论1 _ 1 三线性l a g r a n g e 插值具有各向异性插值特征，即对= 1 有 i b 。( 。一亓0 ) i o 。膏c l b 。0 1 1 霞 其中亓。为。在单元詹上关于八顶点的三线性插值函数 证明：形函数空间p ( k ) = q ，( 它) ，对任意o h 。( 宜) ，有 女o = ；( 1 一) ( 1 一 ) ( 1 一e ) 峨+ i ( 1 + ) ( 1 一q ) ( 1 e ) 如 + ( 1 + 善) ( 1 + 叩) ( 1 一) 吨+ i ( 1 一) ( 1 + 叩) ( 1 一( ) 值 ( 1 一) ( 1 一叶) ( 1 + o 惦+ i ( 1 + ) ( 1 一叩) ( 1 + e ) 晦 + ( 1 + f ) ( 1 + 叶) ( 1 + e ) t 斗+ ( 1 一) ( 1 + 叼) ( 1 + e ) 堍 当口= ( 1 ，0 ，0 ) 时， d 。亓o = ( 1 一町) ( 1 一e ) ( t 如一吨) + ( 1 + n ) 0 一) ( t 一哦) + ( 1 一町) ( 1 + e ) ( 墙一晚) + ( 1 + 叩) ( 1 + e ) ( 由一魄) 所以，d i m 加p ( k ) = 4 ，且 d 。声( 贾) = m n ；( 1 一q ) ( 1 - e ) ，；( 1 + 7 ) ( 1 一e ) ，；( 1 一q ) ( 1 + e ) ，；( 1 + ”) ( 1 + e ) ) n = 也一晚2 z 而赛鹰2 上两西a 。武= f l ( 西) j 面南u j 面而 f h = 如一惋。怎赛2 k d 避= b 叼) j 矗血o j 西如 岛= 惦一吨3 石丽赛2 z 两西噬= f a ( 5 。) j 口b d b 。、，0 5 4 卢4 = 卉一吨= 上鬲赛= 上面d 篮一f 4 ( d ) j 如由o j 面由 由迹定理，v w h 1 ( 霞) ，有 毋( 山) = jf f 叫避isg | j 叫】j i ，膏 见( 埘) = il t c 武l s c i | 叫1 ，它 f 3 ( 叫) = ll 叫d 引sg 0 埘0 l ，霞 f d , o ) = lf ，仙武i c o t t o l ，r - 7 由各向异性插值基本定理，有 i b 。( 。一骨0 ) l o 宜c l b 。0 1 1 r 同理可证，对o = ( 0 ，1 ，o ) ，口；( o ，0 ，1 ) ，有 l d 4 ( 。一亓o ) l o 詹c i b 0 0 1 1 膏 所以，对= 1 ，有 i d 4 ( 。一膏0 ) l o 府c i d 。西1 1 霞 由推论1 1 ，我们可得八节点的l a g r a n g e 长方体单元的插值误差估计 推论1 2 设u h 2 ( q ) ，一为u 在单元耳上关于八顶点的三线性插值函数， 分无关的常数c ，使得下式成立， h 一“i l ，k t h i g h k 证明：首先， u - - 一c u l l 叫上( ( n ( 产) 2 + ( ) 2 ) 蛐圳 令n = ( 1 ，0 ，o ) ， = ( h 。，b ， ；) ，驴= h 。其中t ( 厶( 型j 蠢堂) 2 ) 女= l l 掣n o ，耳 = ；1 i | d 4 ( t 一n ) i i o r ( h ：h v k ) 女 e 无( 一。) ( 。h 。) j i 西。血1 1 宜 贝4 存在与正则性剖 ( 1 3 ) = c i ( 一4 ) ( 。h v ，k ) 女( e ( i i d 4 + p 吐0 0 宣) 2 ) j 1 3 1 = 1 0 元( 一。) ( 。h v h ：) ( e 万2 ( a + 卢) ( 0 d 。+ 卢“i i 。，耳) 2 ( k v h ：) 一1 ) j f 口f = i = c ( i 卵( 1 l d ”口 1 1 0 ，k ) 2 ) 旧l = 1 s c h l - 1 2 所以： 厶( 咫饥2 i 胡弦 ( 1 5 ) 同理可得： 厶( 等产) 2 s 甜雌x ( 1 e ) 厶( 等咫i ；一 ( 1 7 ) 结合( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，( 1 6 ) ，( 1 7 ) 我们可得( 1 3 ) ( 1 4 ) 第二章三维9 参数单元在正则条件意义下的收敛性分析 我们知道，四边形等参元q t 元是最简单的一种四边形单元，它适用于任意四边形网 格，但数值效果不够理想人们在改进这个单元上作了不少努力一些学者通过对四边形等 参元0 t 元增加内部自由度构造新的非协调单元，比如文献 2 】中构造了一个四边形非协调 单元q m 6 ，并证明了它的收敛性，给出了相应的误差估计但是，上面的讨论都只限于二 维的情况本文将文献【2 中的0 m 5 推广到三维情形，证明了它对空间的任意六面体正则剖 分是收敛的，并且给出了相应的误差估计 2 1 三维9 参数单元的构造 设n 是r 3 中的多面体区域，( k h ) 是n 的一族凸六面体有限元剖分，且满足正则性 条件k 是凸六面体，顶点为b ( z i ，z i ，$ 1 ) ( 1 i 8 ) ，贾= 一1 ，1 】【一1 ，1 】【- - 1 ，1 1 是参 考元，顶点为最( 矗，坼，q ) ( 1si 8 ) ；其中心1 ，妇) = ( 1 ，l ，一1 ，一1 ，1 ，1 ，- 1 ，一1 ) ，( 7 1 ，啦) = ( 1 ，l ，1 ，1 , - 1 ，一l ，一1 ，一1 ) ，( ( 1 ，( 8 ) = ( 1 ，一1 ，一1 ，1 ，1 , - 1 ，一1 ，1 ) ，则存在惟一的映射凡m ( 丑) ) ： 最一k 8 x j = 弓胍( f ，仉e ) o = 1 ，2 ，3 )( 2 1 ) t = l 使得j k ( 亘) = 只其中m ( f ，吼( ) = ；( 1 + 矗f ) ( 1 + 啦目) ( 1 + 6 e ) ( 11 i 8 ) 孔( 詹) 是j 上的= - - 线v y k ： 多项式空间 六面体非协调单元定义如下：在参考元詹上，矗p 有形式z 8 矗嬉，叩，e ) = 芝二蠡 ( f ，叩，e ) + 5 【( r 1 ) + ( 叼4 1 ) + ( ( 4 1 ) 】一6 【( 2 1 ) + 2 1 ) + ( ( 2 1 ) 1 ) t ( 2 2 ) ；j 其中t = 击止矗1 矗咳1 出，d x 。如3 在单元k 玩上，定义u = 口眨1 由此可知，“由它在 单元k 上的节点只( 1s i s8 ) 处的值u ；和内部参数t 惟一确定令 8 d = 试m 嬉，叩，e ) ，岔= 5 【( 一一1 ) + ( 矿一1 ) + ( p 一1 ) 】一6 【( 亭2 1 ) + ( 矿一1 ) + ( e 2 1 ) 】p ( 2 3 ) i = l 贝0u = u + ：，其中u = o o 坛1 ，z = 三。颤1 设h 是有限元空间，u 。k 限制在每个单元k 觚上是由( 2 2 ) 定义的形函数对 “h h ，我们有u ：蛳+ = ，其中，u l 耳；u ，z h i k = 。易知，u 限制在每个单元k 的 9 面m 上是由u 。在m 的4 个顶点值惟一确定的，因此，u 一在孬上连续，是u 一的协调部分； = 一依赖于内部参数，在单元边界上，一般是不连续的，所以是n n 的非协调部分 对于方h 2 ( 詹) ，定义插值函数矗妒如下： 壶膏( 磊) = 婀) ( 1 曼；s8 ) ， 厶( 丘一 ) 必却d c = 。 对于u h 2 ( 耳) ，相应的插值函数k ”定义为： ( k u ) “= 壶膏 i 口= 疗o f 蟊1 2 2 在正贝q 剖分下的误差估计 为了进行误差估计，先给出几个本文用到的引理： 引理2 1 1 1 对于任意的u c o ( _ ) ，妒c p ( n ) 有 黾，j a x 唪啪扣毛。鼍k l m 呻蛐虻0 引理2 2 1 1 6 对于u h ，存在常数e ，使得v k k h 成立 ( 2 4 ) ( 2 5 ) l u l m + 1 ，耳g h 1 u l m ，k ( osm 茎1 )( 2 7 ) 引理2 3 i z 】对于任意单元k k h ，设r 是一个线性算子：晶。= f k 坛1 ”d x l d x 2 d x a ，则存在 常数a 使得h 1 ( k ) 成立 _ 扣一p o 口) 2 d s c h k l 口r k ( 2 8 ) j 8 k 引理2 4 对于任意u h h ，妒g 铲( n ) 有 溉珊m ) 。溉善上k 嘶坼如= 。( ”1 2 2 9 1 0 证明：对于任意u y h ，因为u h = u + 并注意到u h 在豆上连续，利用引理2 1 ，我们有 耳( 砒蛳) = 0 ，耳( 妒，u ) = t r ( 妒，= h ) ( r = 1 ，2 ，3 ) ，而且 耳( 妒，。 ) =ej ；kc z h n r d s k e k h 2 k r o 慨r 蚺磊、f o gpoczhnrk6kh 8 5 耳k “ = ? ( 1 ) + t ( 2 ) 其中岛”是”的分片常数逼近，r o y = ”p 0 ”是对应的余项 ( i ) 利用c a u c h y 不等式和引理2 3 ，我们有 1 r 1 ) | 丢l 厶k _ r 0 妒孙珥4 5 l 暑i k i 凰妒1 2 d s 降ir o n ( z h n r ) 2 d s p elj ki r o 妒1 2 出1 1 胆1j k j 巩1 2 凼1 1 2 e c h o 2 f e l l x ( c h i l l i 2 ) 1 2 e c h i 2 l 妒 - ，k f 引 由t 的定义及引理2 2 ，同时考虑到三维正则剖分下，对毋日2 ( 贾) ，”= 岔贬1 日2 ( 耳) 上，存在常数c 1 ，使得i 司2 露q ￥2 i v l 2 所以 川q j 霸1 2 量sc ￥2 l u 1 2 ，ksc h i y 2 i u a j l ，k( 2 1 0 ) 故i t c l l 墨c h l 妒1 l i u 其中限= 川 ( d ) 由定义( 2 2 ) 直接计算，俪如r = 1 ， 厶k z h 1 d s = 导，1 蠢( 1 ，( ) 南必+ 导，矗( 一1 ，q ，) 咖必 + 譬。，矗( ，1 ，e ) 武d e + 鲁。，磊( ，一1 ，( ) 碰武 + 譬，1 蠢( ，吼1 ) d w d q + 鲁l 1 矗( ，田，一1 ) 鹰面 = 0 其中& “= 1 ，2 ，6 ) 为六面体相应的面在x 2 2 3 平面上投影的面积所以t ( 2 ) = 0 综合上述讨论可得 i 耳( 破诹) l c h l 吵l l - l | “刈扣= 1 ，2 ，3 )( 2 1 1 ) 证毕 下面给出有限元逼近的误差估计考虑n 上的二阶椭圆型方程d i r i c h l e t 问题； u = ，在n 内；t t , = 0 在8 n 上( 2 1 2 ) 1 1 其中，驴( n ) 设v = 础( n ) 为通常的s o b o l e v 空间，则( 2 1 2 ) 相应的弱形式为：求u v ，使得 这里，n ( “，u ) = 矗乳 “ h o ，使得 v ( 2 1 3 ) v v d x l d x 2 d z 3 ，( 口) = 矗f v d x l d x z d x 3 而( 2 1 3 ) 相应的有限元逼近是求 v h o( 2 1 4 ) 这里，口 ( “ ，) = 厶v u h - v v h d x l d x 2 d x 3 ，v h ，o = v h l v h h ，v h l o n = o ) 根据l a x - m i l g r a m 定 k 耳 理【17 1 ，变分问题( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 有惟一解 定理2 1 设u h 2 ( n ) n 硪( n ) 是( 2 1 3 ) 的解，u h 是( 2 1 4 ) 的解，则有误差估计 0 u t h l l h c h l u 2 这里常数c 与单兀无关 证明：根据非协调单元估计的第二s t r a n g 引理i “，有 1 1 u 一 c ( 。i n h f 。0 u 一仉l i b + 。s e u h p 。a l l ( 口u h , v h ) ， 其中， d ( ，v h ) = a h ( u ，) 一( ，v h ) 2 磊( 厶孔出1 出2 出3 一厶，出l 出2 出3 ) 2 二( 止( 一u + 晰一，) 8 $ - d 观d x s + 如x 貉。蜥如) 。基。j 8 k 瓷哪d s = 正( 1 p 1 v h ) + 疋( 忱，) + t 3 ( 妒3 ，) 这里忱= 器“= 1 ，2 ，3 ) ，恻l 1 t , 1 2 利用( 2 1 1 ) 可得 l d ( u ， h ) i c h l t , 1 2 1 1 同时，根据插值函数的定义( 2 4 ) ，( 2 5 ) 和文献【1 】i 可知 。醵。忆一u h i i i i , , - n x “队茎m 。 将( 2 z t ) ，( 2 1 8 ) 代入( 2 1 6 ) 即得( 2 1 5 ) 定理证毕 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 第三章三维9 参数单元在长方体剖分下的各向异性收敛性分析 3 1 三维9 参数单元的构造 在参考元露= 【一1 ，1 】i _ i ，1 【一1 ，1 】上，顶点砬( 矗，叼i ，靠) ( i = 1 ，8 ) ，形函数空间为p = 印n n 磊，筇，藏，箴，磊，磊，露，磊，筇) ，其中艿= ( 1 一) ( 1 一口) ( 1 一e ) ，磊= ( 1 + ) ( 1 一q ) ( 1 一e ) ，磊= ( 1 + f ) ( 1 + 叩) ( 1 一( ) ，磊= ( 1 一) ( 1 + 叩) ( 1 一( ) ，磊= ( 1 一) ( 1 一叼) ( 1 + e ) ，：磊= ( 1 + ) ( 1 一叶) ( 1 + e ) ，：霹= ( 1 + ) ( 1 + 卵) ( 1 + ( ) ，磊= ( 1 一) ( 1 + 叶) ( 1 + e ) ，蔫= 南 5 【( 4 1 ) + ( 叼4 1 ) + ( e 4 1 ) 一6 ( 2 1 ) + ( 町2 一1 ) + ( ( 2 1 ) ) ，其中( f 1 ，一，f 8 ) = ( - i ，1 ，1 ，一1 ，一1 ，l ，l ，一1 ) ，( q 1 ，n s ) = ( - i ，一1 ，1 ，i ，一l ，一l ，1 ，1 ) ，( c l t 。，( 8 ) = ( - i ，一1 ，1 ，1 ，一1 ，一1 ，1 ，1 ) 对任意的方日。( 露) ，取节点参数 丽，砬，惩，氟，赢，蕊，薪，蕊，蕊) ，其 中箴( ) ：祝= ( 砬) o = 1 ，8 ) ，蕊= 后( 锈+ 拜+ 第) a 苍d n d c 该节点参数可唯一的确定一元 素而声，使得： l 赋( 确= 蕊( )( 1 s t 曼9 ) 1 箭：苎藏( ) 磊 、= l 我们考虑下列二阶模型问题： 悟- a u ， 对应的变分问题为：求u 础( n ) 使得： t nf 2 d n砌 d ( u ，u ) = ( v ) 硪( n ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中o ( u ， ) = 矗v u v v d a s d y ，( v ) = ，n f v d x d y 设 为n 的长方体制分。以= u k ，k 为长方体，且在( m ，玑：) 面上平行于坐标轴对 给定的k j ，设中心点为( 。k ，妊，z k ) ，边长分别为2 h = ，2 ，2 h ；记 m 一2 嚣教“ k ，“；) 对三重指数a ( 劬) ，记胪= 靖1 字 弘 设取( 露) ) ：露一k ，具体就是 1 3 罐 妣 珏 + + + f 口e v z h = = 1 | 掣 z ，、【 有限元空间为= v h ：1 ) h i k = 岔。贬1 ，v k 矗，( o ) = o ，。8 ，g a l e r k i n 逼近格式为：求 u h v h 使得t o ( u ，) = ，( )v 口 h( 3 3 ) 其中。n ( ”一) 。0 k v u 一+ v v h d x d y 我们记m i3 岳帅，x 2 _ 厶1 v v h l 2 d 。d y 可以证明 t j ho 一u 一为k 上的模 由l a x - m i l g r a m 引理【l7 1 ，连续问题( 3 2 ) 和离散问题( 3 3 ) 都有唯一解 3 2 在长方体剖分下的误差估计 由分析非协调元误差估计的第二s t r a n g 引理1 1 】，我们知道 卜叫n 蚓。i n f ，j u - v u i n + 思地掣) ( 3 4 ) 取磊为三维q 。元对应的有限元空间，而且有再c 坛，联系我们在第一章的推论1 1 ，1 2 ， 所以有： 。蕊卜咄。畿卜姝- 2 ) 时，u 2 9 ( q ) ( 4 , 2 ) 式的g a l e r k i n 逼近解定义为：求“ 讫，使得： n ( u ，u ) = ，( ) ，v u ( 4 3 ) 其中a h ( u h ，”一) = 厶v v v h d z 由于没包含在蛳中，是硪的非协调逼近，所以对 任意”h 可以定义h = n ，) ，v v n 坛，则可以验证卜l m 是上的个模如【6 1 所说，对每个u 玩，都可写成；u h = u 2 + 矗其中啊矗，r ：露一墨 8 u = 最( 动u ) ；伊。露1 ，u 揪= l p ( ) 誊( ) = 0 1 。磁1 i = l 1 9 这样，三线性函数嘏是u n 的协调部分，而u i 是u n 的非协调部分 4 2 在任意六面体剖分下的误差估计 由分析非协调误差估计的s t r a n g 第二引理【”，可知： 卜毗n 蚓。i n f 。 u - v h l 蛐+ 溉唑掣) ( 4 - 4 ) 其中c 不依赖于 令三是詹上的三线性插值算子，l k v = ( o 圪1 段，则 z 口= 最( ) 磙，l k v = 最( ) 。靠1 ” 令工o ”是”在n 上的分片各向异性三线性插值，s t l o 训x = l k v ，v k 取v h v h ，口a 一0 和醒= l o u ，t 岛7 ) h = 工o t ，可得 。舷i u b l u - - l o u b 我们先估计m l o u i 。一对露上的三线性插值三，声；o ，( 费) ， = 妻最( ) 访令n = ( 1 ，o ，o ) ，则伊声= q 1 ( 筑， 3 ) = s p n n 1 ， 2 ， 3 ， 2 3 ) 通过简单计算，可知：加三 = 毒2 磐武= 壹联1 1 ( ) 趔”，其中趔1 = ( 1 + 6 5 1 2 ) ( 1 + 1 3 ) ( 1 s 4 ) ，( b i ”，6 ) = ( 一l ，1 ，一1 ，1 ) ，( c ( 1 ，c j l ) = ( 一1 ，一1 ，1 ，1 ) ，s p a n 叫”，叫1 ) = 0 1 ( 龟， 3 ) 和砖1 ( = 赴一 1 = 丘，蓉d s ，硝( ) = 毽一 4 = 丘。篆幽，属1 1 ( ) = 6 一 5 = 丘。i o 。 ；。d s ，鳄( 功= 7 一 8 = 危，- 一d s 其中t , j = 蕊，这样， 厦1 ( ) = 可1 ( 基) ，i i 曼4 而且l 可1 ( 凸) j = 1 危。d s l 自。岷p 曩其中p = 2 + e ，0 1 由嵌入定理1 1 qw 1 ，( 岔) 一o - ，国) 因此i 可1 ( 。) l s 硎酬。口五。d l 例1 。东，( 1 t 4 ) 当 = ( o ，1 ，o ) ，n = ( o ，0 ，1 ) 类似的结论也成立 这样，第一章中各向异性基本定理的条件对川= 1 ，m = f - o ，p = 2 + e ，q = 2 满足，再由 【1 1 中定理3 1 ，我们有 1 1 5 。( 方一 ) n 0 ，膏0 i 西。硝1 p t 露v 存w 2 p ( 露) 一个一般的凸多面体单元k 总可以看成一个长方体霞的扰动，由于在坐标系的旋转和 变换之下，l 。模，l 一半模，2 - 半模都是不变的，我们简单地假设露的面平行于坐标面令 2 n 露的顶点为五伍l i ，戤，砘) ，( 1 s i s8 ) ，五五平行于最轴，五五平行于黾轴，五五平行于两 轴，记；瓦2 一苞1 1 = h i , 勋一西i = h 2 , 玩一西1 = b ，我们假设；h l h 2 b 也就是我们考虑平 躺的多面体单元，对此类单元正则性条件是不必要的令k 的顶点a ( 蛐，a 2 i 口3 t ) ，( 1 曼i s 8 ) ， 我们设。j i 对苟t 的扰动沿奶方向是。( b ) 沿其它方向o ( h 3 ) ，( 1 js 3 ，1s i 8 ) 更细一点， 我们假设 j 一。町2 喏k ) 讯( 4 5 ) ii a k 一a k j i = ：罗h 3 ( 1 ，j ) x x k 1 兰七3 其中，x i = ( 2 ，1 ) ，( 3 ，4 ) ，( 6 ，5 ) ，( 7 ，8 ) ；磁= ( 4 ，1 ) ，( 3 ，2 ) ，( 8 t 5 ) ，( 7 ，6 ) ) j 叉3 。“5 ，1 ) ，( 6 ，2 ) ，( 7 ，3 ) t ( 8 ，4 ) j ；五2 墨u 勘u 恐，0 印s d 等s 正o a 等s 印，l 七曼3 ，( i ，歹) x 令j k 是取的j = o u i 矩n ，则 矗= ( 蓦) 3 3 ，坛1 = ( 舞) 3 3 ， 从最( 1 8 ) 的表达式和( 1 5 ) 可以得到： i 罄印h ，l i a 1 舞i _ o h “j 当h l b m ( 4 ，3 0 1 a o ) h 3 时，壶靠吼 l h 2 h 3 d e t j j f i 西h l h 2 h 3 和i 磊；i o m i n ( h i l ，坷1 ) 令a = ( a s ) ，z a ；z ? 。妒z 扎h a = 醒- 肾醒。因此_ h i g 不等式可被表示成 i 荔i a 咖( 胪，驴) 丽荔1 c “m i 哪，一) 口l = 例= 1 = = 1 h 曼d e t j k q 爿 其中日= h i h 2 b 这样， f d 卢口f 0 怠1 5 刮，i 芦j = 1 1 j 弘艿 冬0 九。i d 。口i ， 剧= l 1 a t = li a l = l p + 4 引d 胪h l d ”叫，川= i 卢l = l m l u l l ，k =el i d 4 ( u l u ) l l o , k s o i 蒹，至，h - 。h i l l 0 “( 霞一询岫 口l 掌1i a i = 1 叱 兰c h - a h p 钆p ，蠢i t ：，、