（计算数学专业论文）各向异性网格下发展型方程的超收敛分析.pdf

摘要 本文讨论具有某种特殊限制的各向异性网格下线性三角形有限 元对几种发展型方程的逼近问题，通过一系列新的技巧与方法，如采 用积分恒等式和边界估计技巧等，对抛物型积分微分方程、具有积分 型边界条件的积分微分方程、双曲积分微分方程得到了各向异性网格 下的相应的超逼近性及超收敛性结果与此同时，利用上述技巧，对 二阶双曲方程、抛物方程、s o b o l e v 方程、粘弹性方程得到了各向异 性网格下的相应的超逼近性和超收敛性结果这对进一步设计数值方 法求解积分微分方程是有帮助的 关键词：各向异性网格，线性三角形元，积分微分方程，积分恒等式， 超逼近及超收敛 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ea p p r o x i m a t i o n so fl i n e a rt r i a n g u l a rf m i me l e m e n tf o rs o m e i n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o no na n i s o t m p i cm e s h e s a l es t u d i e dw i t hc e r t a i nl e s t r i c t i o n t h es u p e r c l o s ep r o p e r t ya n ds u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t sf o rp a r a b o f i ct y p e ，i n t e g r a l b o u n d a r yc o n d i t i o nt y p ea n dh y p e r b o l i ct y p e & r eo b t a i n e db a s e do ns o m ei n t e g r a l i d e n t i t i e sa n db o u n d a r ye s t i m a t i n gt e c h n i q u e s a tt h es a m et i m e , t h ea b o v er e s u l t sa r e p r e s e n t e df o r 也cs e c o n do r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，s o b o l e v e q u a t i o n sa n dv i s c o s i t ye q u a t i o n s t h es t u d yo ft h i sp a p e ri sh e l p f u lt od e s i g n n u m e r i c a lm e t h o d so f s o l v i n gi n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i cm e s h e s ；l i n e a rt r i a n g u l a re l e m e n t ；i n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；i n t e g r a li d e n t i t i e s ；s u p e r c l o s e n e s sa n ds u p e r c o n v e r g e n c e 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德，学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一 切法律责任和法律后果。特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) 二零零六年九月日 引言 二十世纪中、后期发展起来的有限元方法对积分微分方程的近似求解具有显著 的优越性它的基本思想就是将积分微分方程边值问题转化为相应的变分问题，然 后再利用分片多项式离散近年来，关于积分微分方程的一些解的收敛性分析以及 高精度分析已有一些研究，比如 2 ，5 ，6 】但都要求嘲格剖分满足正则性及拟一致 l 性条件仉2 。”，即孚c ，j h ms c ，v k 瓦，1 j ，为区域q 上的剖分，k 为单元足 p x 的直径，p x 为所有内切于k 的圆的最大直径，h = m a x k ， 。= 四n k ，c 是一与 k 及以无关的正常数这些条件在很大程度上限制了有限元方法的应用范围【2 】 中对几类积分微分方程的收敛性( 包括超逼近及超收敛性) 在剞分网格满足上述要 求下对双p 次矩形l a g r a n g e 型单元进行了讨论，并得到了一些十分有价值的结 果【j l 1 3 中还对二阶椭圆问题进行了超收敛分析【2 】、【3 】利用积分恒等式技巧， 结合投影算子，在正则网格下进行了研究，得到了一些有价值的结果，但以上研究 对各向异性网格下的有限元方法尚未涉及近年来出现了各向异性单元的研究，如 【1 5 ，2 0 l 等，【1 4 2 6 】在各向异性时格下分析了二阶椭圆问题的协调l a g r a n g e 型元和 非协调c _ i l 元的插值误差，也得到许多重要结论就目前来说，关于在各向异性网 格下积分微分方程问题的误差估计和高精度分析的文章还不多见 本文以众所周知的线性三角形元为例，不需要投影算子( 与t h o m e e 书相比) ， 通过采用一些新的技巧和方法( 如利用积分恒等式技巧和边界估计技巧) ，在光滑度 降低( 甜h 3 ) 及各向异性网格下( 即抛弃上述正则性假设及拟一致性假设) ，对【2 】 所研究的几类积分微分方程进行了进一步的探讨，得到了与【2 】完全相同的超逼近和 超收敛结果，即收敛阶是一样的，从而进一步拓宽了有限元的应用范围另一方面， 以上在各向异性网格下对积分微分方程的有限元方法的研究，摆脱了网格剖分满足 正则性条件的限制，其方法具有一般性，其结果对各向异性网格下的双线性元仍然 适用，因而具有更重要的理论和应用价值 本文安排如下： 第一章：预备知识列举本文中运用的记号和定理 第二章：在各向异性网格下对抛物型积分微分方程进行超收敛性分析，主要利 用插值后处理技术，在超逼近的基础上得到整体超收敛 第三章：在各向异性网格下对具有积分型边界条件的积分微分方程进行超收敛 性分析 第四章：对双曲积分微分方程进行超收敛性分析 第五章：对二阶双曲方程、抛物方程、s o b o l e v 方程、粘弹性方程进行超收敛性 分析 2 第一章预备知识 在本章中，我们引入所需要的一些记号和基本知识 1 1勋6 d 伽空间及一些记号 设r ”表不实拧维空间，j = ( 而，x 2 ，) 表不r 。中的点令q r “， 口= ( 喁，锡，) 是一多重指标，其每一分量都为非负整数，并且记口的长度为 纠= 瞄+ + + ， 混合偏导记为 忙而等再， 定义空问：( q ) = ，：工，( o ) ) ，l ，一，其中，是l e b e s g u e 可测函 数，扩i 帅，2 ( l i f l d x ) 咖 s o b o l e v 空间定义为： 矿一，( 回= 厂f ( q ) i d 4 f ep ( q ) ，i 叫耐， 空间矿“，( q ) 的范数和半范分别记为 b 矿。9 ) | i = i l d 4 叫9 出】i ， l a l u m i 珥形”叫= i 薹l p 叫9 奸， i 卅。研 元素的范数定义为： 堋。p = ( o ) 妇， 3 其中半范： 乩柏= c l i 篆c 鹣垆 当同时，记空间日”( q ) = 形“2 ( 回，范数和半范分别简记为0 l 。和i l 对甜，v r ( q ) ，定义内积似，= l u o o v ( 工) d x ，范数i m r ( 。，= ( 0 2 凼) 啦 s c h w a r z 不等式：，r ( ，g r ( q ) ，则厂g f ( q ) ，且 妙捌岫) 阴i f ( o ) l 酬f o ，三+ 三：1 ，则w ，p 有 pq 俐吉m 9 + 扣 6 r o n w a li 不等式：设烈f ) 是一在【o ，r 】上非负绝对连续函数，且对几乎处处 的f 满足 ( f ) 烈f ) 烈f ) + 矿( f ) ， 其中烈f ) 和( f ) 是在【o ，r 】上的非负可积函数，则对所有的o t t 成立 奴，) se x p ( r 烈f y f ) 【烈o ) + c 妖f ) 纠 g r e e n 公式：v u ，1 ，eh 1 ( q ) ， l a ，v d x = 一l a v d r + k u v n 出，f = l 2 ，玎 4 1 2有限元中的一些引理 b r a m b l e - h i l b e r t 引理m ：设q 是中一个开集，边界满足l i p s c h i t z 条件， 对某些k 0 和某些数p e 【o ，呻，( h k + l , p ( q ) ) 7 ( h k + l , p ( q ) 的对偶空间) 有 f ( p k ) = 0 ，魄只( q ) ， 那么，存在常数c ( q ) 使得 矿( ) isc ( q ) 妙0 ：十，皿矧川。一皿， v u h “( q ) 其中i | i i ：帅皿为( 日k + l , p ( 固) ，上的范数 l a x - m ii g r a m 引理：设日为h i z b e r t 空问，以，) 为定义在h x h _ l 的双线性泛 函，如果满足： ( 1 ) 有界性，即存在正常数c 使 i a ( u ，叫c | m 。i | 1 | ；， v u ，v h ， ( 2 ) 强制性，即存在正常数，使 i a ( u ，v h 删： v v e ， 则对任意，h ，存在唯一的材日，使 a ( u ，吩= f v vh ， 其中h 为日的共轭空间 求解微分方程数值的有限元方法需要先将微分方程转化为与其等价的变分形 式，如d i r i c h l e t 逆l 值问题转化为：求甜h o ，使 a ( u ，v ) = 八v v e 珥， 设y 为h i l b e r t 空间，对下面一般的抽象变分问题，求甜日：使 5 a ( u ，v ) = ，( v )v v e 联， ( 1 1 ) 给定区域q 的一个剖分3 。，一般为三角形或者四边形单元k e3 。，记k 为单元 的直径，办为最大内接球直径， = m 。a x h x ，如果存在常数c 使剖分族3 一( o i i 1 ) 满足 风h k c 垤s ， 则称剖分族是正则的 如果剖分族不仅是正则的，而且存在常数，使得 丢，骶3 一 ， 贝q 称剖分是拟一致的 构造有限元空问，一般情况下为分片多项式，将变分问题离散化，在有限维 空间上求解若圪矿，则称有限元空间为协调元对于协调元，有限元方法求解 交分问题的离散形式为：求e 使得 一 a ( u ，h ) = f ( v dv e 圪 ( 1 2 ) 误差估计有下面引理： c a 引理：设“，分别为( 1 1 ) ( 1 2 ) 的解，则 i ”- h 8 。sc 躐扣一i 。， i 其中，0 8 。为能量模，0 捌。= 【口( 码训i 6 1 3各向异性基本定理 设启是参考元，户是霞上的一个册维多项式空间( 形函数空间) ，p 是户的共轭空 间设伽，声：，以) 和 v l ，危，矾) 是户和p 的一对共轭基， 疵( e ) = 磊，l f ，j m 设，：日( 它) 一只j | l 是有限元插值算子，满足 疵( j 矿) = 疵( 囝，i - - 1 ，2 , - - - , mv 矿声 设口= ( 喁，) 是一个多重指标，则d 8 户也是霞上的多项式空间，设 d i m b 4 户= r ，口，i = 1 , 2 ，是西4 户的一组基，则6 4 ( j 乃可表示成 西a ( j 矿) = 艺疵( p ) 西8 声= 窆历( d 毒， 显然，毒，是p “丘琵的线性组合，而廖妒) 是惋( 矿) 墨，的线性组合设 房= 砖( 矿) ， 于是。我们有 廖( 矿) = 疵妒) = 嘶扁( j 矿) = 历( 力) 各向异性基本定理：在上述表述下，如果尼妒) 能表成 局舻) = 乃( 西4 d ，l j m ， 其中乃( 日暖) ) ，l j m ，同时弓( 露) c 西4 声，o 1 ) ，则存在常数“自满 足： p 4 ( 卉一勘) 忆s a 它) 归4 ( 蠡) | | ，+ j ，o 以。记，l = z 。z 2 ，1 2 = z 3z i ，= z i z 2 ， ，= z l z ；及，5 = 巧z 2 ，( 参看图1 a ) 设龟色为参考元，蚤u 色形成孝一r 平面的一新 的单元，顶点为乏( o ，o ) ，2 ：( 1 o ) ，之( 叫) j ：= 2 ：之，= 之乏，= 乏2 ：及 = 毒玄，= 玄之( 参看图1 b ) ，则存在一可逆映射： & ：a u 毛一口u 岛；x = 2 以善，y = 2 ht 8 乙 乞 z l 图1 ap u q图1 ba u 皇 因此妻= 2 t ，嵩= 。，妻= 。，岛= 2 以， 芸= 击，蒡= 。，警= 。，考= 击 定义：l 称为g a t m 剖分，如果所有的吃都相等，且所有的_ j i ，也都相等g a t m 剖分可以不是正则的 注1 ，石钟慈等在【5 仲也曾用上述的网格剖分研究矩形w i l s o n 元，【2 】中的等腰直 角三角形网格剖分是上述定义i 筝j g a t m 剖分的一个特例但【2 】和【5 】都要求满足正则 性假设 引理2 1 ：假设甜日3 ( q ) ，为“在瞄中的线性插值，埘= 一甜7 ，则 l c o v a k d y = c h 2 乩i 叫l ，i ，唁， ( 2 1 1 ) o j , v , d r d y = c h 2 盹my 瑶 ( 2 1 2 ) 本文均采用【l 】中模的定义，这里及以后出现的c 代表一不依赖于! 生和h 的正常数， p 莨 不同的地方可能不同 证明：我们仅证明( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 类似可得由【2 】我们可知 9 所以 k g o c p f a ( d ，t = c k ( 一砍a 辱a r t ， l r o v a u b = c h ；h yk 每咚咖 = 啊“l ( 五细。毋勘屹d 矽1 7 啦b k 锄) 2 删玎 辞 k ( ) 2 a 留r t ij k p ；徊叩 j i il = “碍+ 以以甜j ，h ， 引理2 2 吲：设为甜的线性插值，则日2 ( c o n h ( a ) ，卜- - t 4 1 i 。叫l ：， 卜l 。 c h 2 h ： i o 2 2抛物型积分微分方程各向异性网格下的超收敛性分析 考虑下列抛物型积分微分方程： i i t - - 一【( 工，t ) d s = f ( x , t ) ， = 0 u ( x o ) = 甜o ( 柳， 在q ( 0 ，t 内， 在i x 2 x ( o ，tl 上， ( 2 2 i ) 在q 内 相应的变分形式为：求u e 砩( q ) ，使 j “，咖+ ( v 甜，v 力+ 【甜，v 咖= ( 厂咖，v 缈珥( q ) ，( 2 2 - 2 ) b 盯 o ) = ( x ) ， 其中 甜，v 咖= i a v u v e p , ( ，咖= l 力 上述问题( 2 2 2 ) 的半离散有限元解为：求甜噌使得 ，d + ( v u h , v v ) + ( v ”6 ，v 咖吐v l ，瑶，( 2 2 3 ) - 5 ( o ) = 甜：， 其中“为在眩上的有限元插值 我们先来讨论上述积分微分问题( 2 2 1 ) 的超逼近性质为了方便起见，在以下 的研究中总认为解, 具有相应的光滑性 定理2 1 ：设，4 分别为( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 的解，增为定义在上述各向异性 网格g a t m 上的线性三角形有限元空间，曙为甜的有限元插值，贝i j 陋一甜7 l 。= c h 2 0 甜b + ( r ( 融i ：+ k e + ，i ；) 痂) ( 2 2 4 ) 证明：i 漫0 = u 。一甜，由( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) ，v 矿瞄有 ( 只，咖+ 只v 纠+ 工( v 烈j ) ，v c o ) d s = ( o - u i ) ，劝+ ( v 一甜) ，v 咖+ 【( v m ( s ) 一“7 ) ，v 妒) 凼 取矿= 只，由引理2 i ，引理2 2 ， + 三2 “d r - 2 + j d 。i ：o ( v o ( s ) ，v ) 一睇 c h 2 b ，f ：怜k + 三( v m - u t ) ，v o ) + c h 2 p ，l ，m + d 。i ( v ( u - u r ) ，v o ) a s + c h 2 川6 1 册4 卜，i ：+ l 研8 ：+ v ( u 一甜) ，v o ) + c h 2 b ，i ，1 6 1 。 + 丢r m ) ，v o ) d s + c h 2 叫。， ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 由( 2 2 6 ) 可以得到， 丢丢嘲；+ 吾【( v 只v d 凼 c h 4 蚍+ 丢( v ) ，v o ) + c h 2 m m + 丢 - - ；) v 印凼+ c h 2 乩m + 腻 s c h 4 卜，l ：+ v ( u - w ) ，v 力+ c h 卜，i ；+ 2 i 叫； ( 2 2 7 ) 汪葸饿硝) ) = 0 ，对上式积分可以得到 吾问：一丐1 0 、0 。, 2 + 【( v 只v d 击 c h 4r 乳j ：+ 虹j ；+ m ；) 出+ 2 j l j 叫；出+ ( v _ 9 1 ) ，v 缈， i 11 6 i | ，2 + r ( v 只v 回凼 c h 4 【( k e + 卜，i ；+ p i ；) 击+ 2 r 吲；毋+ c h 2 卜i ，吲。 记扣r = k i + b ，i ；+ h ；， 于是， 去吲；+ f 只v d 击 c h 4f q 卜l 前+ c h 4 p i ；+ 2 r i 叫；前， 1 2 i 叫：c h 4i n “i i 西+ c h 4 ，i ；+ 2 r l 叫；旃+ c 【l 纠i d ，+ 吉i 叫：， 抑 c h 4 删d t + c h 4 雕+ c 聃i 毋， 所m 4 删r d t + c h 4 川+ c r | 叫2 魂， ( 2 2 8 2 ) 由g r o n w a l l 引理， 啸 c h 4i l ea l + d t + c h 4 噬， 吼 c h 2 ( 伽0 + 函) + 幽2 盹 即肛一甜讯= c h 2 0 都i ，+ ( f 肛l + d t ) y z 这证明了( 2 2 4 ) 接下来我们研究线性三角形元的整体超收敛性 如图2 ，我们把四个小单元e ee 合成一个大单元e ，定义插值算子 i l h ( c ( q ) _ 阮= 秒i 。只( d ，叫。= o ) 如下： n ；。甜( z ，) = ”( z ，) ，i = 1 ，2 ，6 ， ( 2 2 9 ) 图三大单元e 其中b ( d 为e 上次数不超过2 次的多项式集合 利用【2 0 】中的基本插值定理，易证h 五具有各向异性，即 v 口= ( 啊，) ，m = l ， p “ 一蛾五) l 妒4 扎 ( 2 2 1 0 ) 引理2 3 ：v u h 3 ( d ，上述插值算子n 毛满足 - 1 2 4 。= 兀毛甜， ( 2 2 1 1 ) l 兀五一硼 c h 2 批， ( 2 2 1 2 ) l | 丌五川s 删，v ，岛 ( 2 2 1 3 ) 证明： 一2 。的定义易得( 2 2 1 1 ) ，令2 和2 h e , 分别为e 的平行于x 轴 和y 轴的边的边长，由( 2 2 1 0 ) i | ( 兀；kz - - n ) ，n = i n ；甜一磺妫= 丘( n 刍疗一五) ；蟮k h e y d 孝d r l = j i ：j l 母骶毛甜一五) f i2 e c h ；j h 岛p ；l ：j s b 鹾h 2 。h 4 h 。2h 。- ，l h ，- i = c h 4 m 3 2 卫， 因此， l ( 毛一材) ，k c h 2 。 ( 2 2 1 4 ) 同理， 岫；k 4 - - z 4 ) ，l 。 c h 2 乩正 ( 2 2 1 5 ) 显然( 2 2 1 2 ) 由( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) 易得援f 采我们证明( 2 2 1 3 ) i i 毛l ，) ，晚= ( 刍嵋动= 丘( n 幺矿) ；曙k b 西劢 = 硭i | ( n ”f 巳西乏限睡= c h e ：h e , l d 留，7 = c 畦h e 1 e v 一2 吖2 ”- ie - | 叮一c l 。v ：缸移= 帮艇。， 故 i | ( k y ) ，l 。机忆 ( 2 2 1 6 ) 同理 r 毛y ) ，k c i 雌 ( 2 2 1 7 ) d a ( 2 2 1 6 ) 和( 2 2 1 7 ) 我们立即得到( 2 2 1 3 ) 定理2 2 ：设，6 分别为( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 的解，喈为定义在上述各向异性 网格g a t m 上的线性三角形有限元空间，“1 瞄为的有限元插值，则 i i 2 h k 一“i o ，有删s 中| 2 + 石c 2 ， 令p e = 陋，屹+ 陋畦+ 陋畦凼， 由( 3 7 ) 得，别d 钏。2 + 所c 【阢 1 1 3 + + c l l o u o + c h 4 m 对上式积分并注意烈o ) = 0 ，由g r o n w a l l 引理， i 嗍：+ f 吲；凼c 矿f 陋眭凼， ( 3 8 ) 于是， 肛- 4 。 - h o u 。+ | ，7 一甜l 。 c h 2 ( 陋眭) i + c h 2 | ，i ： 这证明了( 3 5 ) 为了证明( 3 4 ) ，在( 3 6 ) 中取y = q ，则由引理2 1 ，引理2 2 ，引理2 3 ， 堋+ 芝i d 9 | ，2 一丢 姗 = ，一似) ，只) + 磊a 一材) ，v 力一( v ，一 。) ，) v 力 一詈【锄o ) 叫锄，联修飙知叫7 ，钞 = d ( 2 ) | ，i l ：h o , h 。+ d ( j 1 2 舡，| 3 盹+ d ( i 2 ) h u h ：柏l 硼。勰 + 瓦d ( v _ _ 4 1 ) ，v 回一丢f 凼 对上式积分，并注意烈o ) = o 及( 3 7 ) ， 1 6 1 ： c h 4 ( 【( 鼽畦+ 肛畦) 凼+ 畦) + c l 硎：+ c r i 曰d ) i i ：西， 由( 3 8 ) 及g r o n w a l l 引理，类似于定理2 2 ，( 3 4 ) 得证 娄似 一童的估计，可得下面的超收敛结果： 1 7 | | n ：。甜一甜。a 2 l + r ( 陋畦+ 肛，肟+ r 肛( 硼；d 力a b 】j 1 8 第四章双曲积分微分方程及其逼近 考虑双曲积分微分方程： 蚝- a u - f 血伉s ) 德= 八f ) ， 在q ( o ，1 1 内， “= 0 ，在施( o ，1 1 上， ( 4 1 ) 甜( j ，o ) = t j ( ，“，( 工，o ) = 奴j ) ，在q 内 相应的变分形式为：求l ，尉( i 砂，使 j 眠，们+ 地v + f ( v l ，o ) ，v 矿) d s = c 厂 ，v y 联( 回，( 4 2 ) l u ( x ，o ) = “石) ，甜，( x ，o ) = o g x ) 设略c 硪( q ) 为定义在上述各向异性网格g a t mi z l c j 线性三角形有限元空间， 则上述问题的有限元解为：求甜7 噌，使 j ( ( ”) 。，+ h , v + f ( v ( 珐v ) d s = ( ，叻，v 矿瑶，( 4 3 ) i 甜6 ( o ) = y ，似) ，( o ) = c o 这里，7 ，曙为虬g o 的有限元插值 利用积分恒等式，讨论上述闯题的超逼近性质 定理4 1 ：设甜，矿分别为( 4 2 ) ，( 4 3 ) 的解，瑶为定义在上述各向异性网格 g a t m 上的线性三角形有限元空间，甜7 瑶为甜的有限元插值，则 i ，l 。+ 忖t - - l i t 。 t( 4 4 ) c h 2 噼，l ：+ 唏+ 胂。睁眦+ 吣毋】- 1 ， 证明：令口= 甜一甜，由( 4 2 ) ，( 4 3 ) ，v 矿曙， 魄，”+ 只v + 【呷烈j ) ，v 们西 ( 4 5 ) = ( 一( “) 。， + ( v 一甜。) ，v ”+ 【( v 一o ) ) ，v 矿) d s ， 取矿= 只，由弓i 理2 1 ，引埋2 2 ， i i 瓦d 彬i l 。2 + 三妄吲；+ 丢f ( v 烈s ) v ) ) 凼一吲； = 烈| j 1 2 ) 陋。：l l o , 4 。+ c ( 2 h 以j ，1 6 1 + c ( | j 1 2 ) 扣| 3 1 6 1 。 + 鲁。- - l i ) ，v 卯+ 丢【( v o ) 一( s ) ) ，v o ) d s 即 互1 d ( o 0 2 + 阶o ( h 4 ) l u “肛+ o ( h 4 枷 + 1 6 1 ；+ o ( h 4 h e + 1 6 1 ；+ v ( u 一甜) ，v o ) + 丢r ( v 。) 一o ) ) ，v o ) d s + 吲；一丢【( v 联咄烈f ) ) 西 对上式积分并因为烈o ) = 只( o ) = o ，得 孵畦+ | 叫2so ( 矿) 帆e + 扣，e + 睡弦+ c f 犯畦+ 睇矽 + ( v 一) ，v d + i ( v ( 甜o ) 一甜o ) ) ，v 4 9 ( t ) ) a b + l o t ；一r ( v 联s ) ，o ( t ) ) d s o ( 矿) r ( m ：+ | l ，e + 嵋瑚+ c 【( 帜1 2 + 睇弦 + c h 2 t + l ，阮+ f 凸2 卜( s x ，陋h 。西+ 抑；+ 凹册， 即帜0 。2 + 所 c h 4 啦。+ 卜，+ 嵋渺+ c 【邙q 4 ：+ l 孵) 破 + c ( h 4 制；+ 丢同；+ 三吲：+ f c 而4 m ；凼， 2 + 瞄 c h w + 饧4 舡。e + 嵋+ 雠弦+ c f ( 觚+ 帅出 由g r o n w a l l 引理， 1 6 l i ：+ i 叫； c h 4 扰+ c h 4 【舡。+ 扣，i ：+ 睡矽 附i o + l o t 。 c h 2 9 + l ；+ f 啦。e + 阢e + 川弦弘 卜? 一i 卜? 一甜；l 。+ i q 一甜1 ， c h ：e l 甜1 2 + f q i ：+ m + 晡矽+ c h 2 卜，i ： = c h 2 虬+ 雠+ 【蚓：+ 州+ 眺渺掬， 由定理2 2 及上式，( 4 4 ) 得证 第五章其他几种方程及其逼近 5 1二阶双曲方程及其逼近 考虑模型问题 f 甜。一l ，= ， 在q ( o ，d 内， 甜= 0 ，在施( o ，1 ) 上，( 5 1 1 ) u ( x ，o ) = 吠，( ，o ) = 奴柳，在q 内 相应的变分问题为；求甜e 联( 砂，使 ，叻+ 甜，v 咖= 忉， v y 日；( 固， ( 5 1 2 ) 【u ( x ，0 ) = l ，( x ) ，r ( x 0 ) 2 烈x ) 这里( ，咖= l ，伊 设瑶c 础( q ) 为定义在上述各向异性鄹格g a t m 上的线性三角形有限元空间， 则上述问题的有限元解为：求材瑶，使 j 6 ) 一，咖+ 吁，v 奶= ”，v y 瑶， ( 5 1 3 ) i 甜6 ( o ) = y ， 6 ) ，( o ) = ， 这里v i , o je 瑶为n 翻的有限元插值 我们可以利用积分恒等式得到上述问题的超逼近结果 定理5 1 ：设，矿分别为( 5 i 2 ) 、( 5 i 3 ) 的解且甜适当光滑，。瑶为“的 有限元插值，则 i l f 6 一甜飞 c h 2 雠+ f 啦。盼蚶渺弘， ( 5 1 4 ) b 6 ) ，一( 甜7 ) ，i 。凸2 叫；+ 啦。i + i l ，l ；弦弘 ( 5 1 5 ) 证明：令口= 。一“7 ，由( 5 1 2 ) 、( 5 1 3 ) ，v 妒曙， ( 吼，+ ( v 只v 们= ( 甜。一( 甜。) 。，叻+ ( v 似- - 1 4 ) ，v 叻 ( 5 1 6 ) 取妒= 只，由引理2 1 ，引理2 , 2 ， 圭扣l ：+ 三2 “d r - j 2 = 一甜+ ( v ( 4 - - 1 ) ，v 只) = c h 2 m + 丢( v ) ，v a ) 一( v 以一甜j ) ，r e ) = c h 2 i i ：怜k + 詈to g ( u 一甜7 ) ，r e ) + o ( h 2 帆i ，m c h 4 ( 呲+ 帕+ 拟i ：+ 扣+ v ( u - u ) ，v d 对上式从o 到，积分并因为烈o ) = 只( 0 ) = o ，得 吾们+ i 卵) o ( h 4 ) ( k 卜m 2 渺+ i lj 。t 【彬2 + 衙渺+ ( v ( 2 1 - u i ) v 缈 c h 4 ：( k e 叫蚱e ) 毋+ i j 。t 【o q | | 0 2 + l 叫；) 击+ c 1 1 2 i 甜l i o i 。 s c h 4 ：( k i ：+ h e ) 出+ c h 4 i e + i 叫；+ 言：( 9 6 眩+ i 叫i ) 出 由g r o n w a l l 引理 怜舷+ 导怫s 国4j 。t u 2 郴b 2 矽+ c h 4 忆 即8 e i i d c 2 噼e + t 、i “。i ：2 - l ，b 2 尸。2 。，l 巩c 矗2 e + j ：舭i + k e ) 出】 设 i f 明了( 514 ) 殛( 5l5 ) 5 2抛物方程及其逼近 考虑模型问题 k - s u = f ， 在q ( o ，1 1 内， = 0 ，在施( o ，可上， ( 5 2 1 ) l 甜( x ，o ) = ( 幻， 在q 内 相应的变分问题为：求“h ：( q ) ，使 j ，叻+ 以v 叻= ( ，叻， v 矿酬( 踢， ( 5 2 2 ) 一( 爿，o ) 2 u o ( x ) 设瑶c 硪( 固为定义在上述各向异性网格g a t m 上的线性三角形有限元空间， 则上述问题的有限元解为：求甜瑶，使 ( 哆+ ( v ，u h , v v ) = ( 正吐咖瞄，( 5 2 3 ) i 甜6 ( o ) = ( ) 。， 这里( 。) 7 瞄为。的有限元插值 下面我们利用积分恒等式给出上述问题在各向异性网格下的超逼近结果 定理5 2 ：设打，站分别为( 5 2 2 ) ，( 5 2 3 ) 的解，瑶为定义在上述各向异性 网格g a t m 上的线性三角形有限元空间，材瑶为材的有限元插值，则 扣6 一”飞 c h 2 哺+ f 叫：十雌弘 ( 5 2 4 2 ) 证明：令o = u 一材。，由( 5 2 2 ) ，( 5 2 3 ) ，r y e 瑶， ( 只，们+ ( v 只v 力= ，一( 封7 ) ，”+ ( v ( i - - j ，) v w ) ( 5 2 5 ) 取y = 只，由引理2 1 ，引理2 2 ， 肛眶+ 三2 旦d r 吲- 2 = o ( h 2 凇，i ：h e , l o + 妄( v 似- - z 。z ) 甲回一 ，一彰) ，r e ) = o ( h 2 堆，i ：畛扎+ 丢( v - u 1 ) ，v 回+ o ( h 2 ) i l ，i ，i 巩 c h 4 雠+ p e , a ：+ c h 4 眺+ 批+ 鲁( v ( ，) ，r e ) 三扣；c h 4 雠+ 岫+ 批+ 丢( v ( 甜) ，v 力 对上式从o 到f 积分并因为a ( o ) = 0 ，得 抑s 凸4 胁盼吣泌+ 三脯凼+ ( v ( u - 甜) ，v a ) c h 4 胁盼i 坼阻+ 去脯西+ c h 2 川i6 1 。 c h 4 胁卜眦+ 脯凼+ c h 4 i - i ：+ 批 抛c h 4 胂卜蚍+ 知斫施+ 国4 婚 晡 c h 4 舯，i ：+ 眦泌+ 腑；凼+ 凸4 婚 由g r o n w a l l 引理， 啸 c h 4 雠+ f 州+ 眺】， 即m c h 2 眦+ 脚，卜眺陟弘 杖证明t ( 52 4 ) 5 3s o b o l 8 v 方程及其逼近 考虑s o b o l c v 方程 f 一缸，一甜= f ，在q ( o ，1 1 内， 甜= o ，在施( o ，t 】上， ( 5 3 1 ) l u ( x ，o ) = ，( 盖) ，在q 内 相应的变分问题为：求- ；( n ) ，使 蚱，v 奶+ ( v 地v 叻；u ，以 v y 础( q ) ， ( 5 3 2 ) l u ( x ，o ) = l ，( 的 设唁c 硪( 固为定义在上述各向异性网格g a t m 上的线性三角形有限元空间， 则上述问题的有限元解为：求甜+ 瑶，使 吖o ) ”v 叩+ ( v u h , v 叻= u ，力，v 矿瑶， ( 5 3 3 ) i 球4 ( x ，o ) = y 。( 幻， 这里矿噌为y 的有限元插值 下面我们利用积分恒等式给出上述问题在各向异性嘲格下的超逼近结果 定理3 ：设”分别为( 5 3 1 ) 的解，瑶为定义在上述各向异性网格g a t m 上 的线性三角形有限元空间，甜，”。蹭分别为“的有限元解和有限元插值，则 p 一“，j js 西2 f 以i ；+ 哺) 凼弘 ( 5 3 4 ) 证明：令口。玎一甜1 ，由( 5 3 2 ) ，( 5 3 3 ) 及引理2 1 ，引理2 2 ，v y e 瑶， 只，v 奶+ ( v 只v 力= ( 甜，一o 。) ，) ，v 刃+ 一甜。) ，v = c h 2 犯i ，+ h ，) m 。 ( 5 3 5 ) 取矿= 只，则 鲥+ 三扣：s c h 驯；+ 帅+ 吣 对上式从0 到f 积分并因为烈j ，o ) = 0 ，得 所= c r 4 舯，h 甜l ；冲， 即卜h _ _ 1 4 1 l 。= 凸2 【f ( i z ，卜陟弘 这证明了( 5 3 4 ) 5 4粘弹性方程及其逼近 考虑粘弹性方程 f “。一血，一材= f ， 在q ( o ，t ) 内， 甜= 0 ，在a f 2 x ( o ，1 3 上， ( 5 4 1 ) i u ( x ，o ) = y ( x ) ，( j ，o ) = 彩( 工) 在q 内 相应的变分问题为：求日：( q ) ，使 ，们 4 - 吼，v 们+ 甜，v 矿) = ( ，”， v y 硪( 固， ( 5 4 2 ) i ，o ) = l ，( 司，“，( x ，o ) = 烈幻 设喈c 联( q ) 为定义在上述各向异性网格g a t m 上的线性三角形有限元空间， 则上述问题的有限元解为：求瑶，使 j 妇) 一，咖+ ( v ( “) 一，v + 6 ，v 叻= u ，们，v y 瑶( q ) ，( 5 4 3 ) l 甜6 ( j ，o ) = y ( z ) ， 6 ) ，( x ，o ) = ( x ) ， 这里y ，o j 喈为l ，g o 的有限元插值 下面我们利用积分恒等式给出上述问题在各向异性网格下的超逼近结果 定理4 ：设为( 5 4 1 ) 的解，瑶为定义在上述各向异性网格g a t m 上的线 性三角形有限元空间，雄6 ，甜e 瑶为甜的有限元解及有限元插值，则 ，一甜飞+ 陟叫l o = c h 2 【 ，i ：+ ( ( b 。i ：+ l u ，i ；+ 雕泌) 】 ( 5 4 - 4 ) 证明：令9 - - - - 甜一，由( 5 4 2 ) ，( 5 4 3 ) ，v y 瑶， 纸，奶+ ( v 岛，v 们+ ( v 只v 忉) = 帆一 ) 。，+ ( v ( u - u 7 ) ，v ￥) + ( v ( u - u ) ，v ” ( 5 4 5 ) 取妒= 谚，由引理2 1 ，引理2 2 ， j i 击dd 、o 。1 2 + i 叫；) + c | 只i ；c h 4 舡。e - i - l u ，e + p e ) - i - 导尥i ： 对上式从0 到t 积分并因为联并，o ) = 只( 工，o ) ，得 眦+ l 叫2 凸4 胁。“启+ 扼， 由上式并注意 k 叫i 。i o , l 。+ 劬2 k l ： 这证明了( 5 4 4 ) 参考文献 【l 】p g c i a d e t , t h ef i n i t ce l e m e n tp r o b l e mm 】n o r t h - h o l l a n d ：a m s t e r d a m ，1 9 7 8 【2 】林群，严宁宁高效有限元构造与分析m ，河北大学出版社，1 9 9 6 【3 】李开泰，黄艾香，黄庆怀有限元方法及其应用。西安交通大学出版社，1 9 8 4 【4 】王烈衡，许学军有限元方法的数学基础科学出版社