（计算数学专业论文）利率因素下风险模型的破产研究.pdf

摘要 摘要 在保险精算数学的范畴内，风险理论是当今理论界和实际部门十分关 注的焦点。利率的波动对保险公司的影响尤为突出，保险公司作为经营风 险的行业，其本身的风险更是不容忽视：论文从这一实际出发，对利率下 风险模型的破产问题进行了较深入的研究，旨在为保险公司更好的规避风 险、稳定经营提供理论上的帮助 ， 论文分别针对常利率和随机利率建立了几个模型，这几个模型是已有 文献中模型的推广，更加接近实际。通过对模型的研究，给出了破产概率 的公式，得到了总索赔额的各阶矩，并讨论了资金利率、通货膨胀率、调 节系数以及干扰项和破产概率之间的关系。在个别模型的研究中使用了鞅 方法。 首先介绍了保险的产生发展和利率下风险理论的研究现状，以及有关 利息理论、风险理论的基本概念和基本知识。 其次讨论了常利率下的风险模型，分别建立了常利率下的复合二项模 型和常利率下带干扰的双险种模型，分别得到了破产概率的显式表达式和 l u n d b e r g 上界，推广并改进了已有文献中的模型和结论。 论文的主要部分是随机利率下风险模型的破产估计。分别把通货膨胀 因素、投资收益引入到模型中，来研究随机模型的破产问题。对利率运用 反射布朗运动并与泊松过程联合建模，得到了索赔额精算现值的m 阶矩。 建立了随机利率下带干扰的时间盈余风险模型，给出了破产概率的表达式， 最后，讨论了干扰项对破产概率的影响。这些结果改进了已有文献中的结 论。 关键词风险模型；破产概翠；利翠；调节系数；鞅方法；布朗运动；泊 松过程 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ef i e l do fi n s u r a n c ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c s r i s kt h e o r yi sc o n c e r n e d b ym a n yd e p a r t m e n t so na c t u a r i a lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n sr e c e n t l y t h e i n f l u e n c eo ff l u c t u a t i o no fi n t e r e s tr a t eo ni n s u r a n c ea g e n ti st r e m e n d o u s a s t h et r a d eo f t h er i s k , i n s u r a n c ea g e n t so w nr i s kc a n tb ci g n o r e d a c c o r d i n gt o t h e s e ，t h ep a p e rs t u d y sd e e p l yt h er u i np r o b l e mo fr i s km o d e l su n d e ri n t e r e s t r a t e t h ea i mi st om a k et h ei n s u r a n c ec o m p a n yb e t t e re v a d er i s ka n dw o r k s t e a d i l yi nt h e o r y 。 t h ep a p e rs e t su ps e v e r a lm o d e l so nc o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea n dr a n d o m i n t c r e s tr a t e t h e s em o d e l sa r eb a s e do nf o r m e rr e f e r e n c e sa n dm o r ec l o s et o t h er e a l i t y b ys t u d y i n gt h em o d e l s ，t h ef o r m u l a so fr u i np r o b a b i l i t ya n dt h e m o m e n t so fc l a i ms i z ea r eo b t a i n e d t h er e l a t i o n so fc a p i t a li n t e r e s tr a t e ， i n f l a t i o nr a t e ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，d i s t u r b a n c ea n dr u i np r o b a b i l i t ya r e d i s c u s s e d b ym a r t i n g a l ea p p r o a c h , i n d i v i d u a lr i s km o d e li ss t u d i e d a tf i r s t ，t h ed e v e l o p m e n to fi n s u r a n c ea n dt h ep r e s e n tp o s i t i o no fr i s k t h e o r ya r ei n t r o d u c e d t h eb a s i ct h e o r i e s a b o u ti n t e r e s ta n dr i s ka r ea l s o i n t r o d u c e 正 n e x t ，r i s km o d e l su n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea r ed i s c u s s e d ac o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e la n dad o u b l e - t y p e i n s u r a n c er i s km o d e lb yd i s t u r b a n c e u n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea r es e tu pi nt h ep a p e nm e a n t i m e ，t h ee x p l i c i t e x p r e s s i o n so f r u i np r o b a b i l i t ya n dt h e i rl u n d b e r gu p p e rb o u n d sa r eg o t t h e s e a r eag e n e r a l i z a t i o no f t h ec u r r e n tm o d e l sa n dc o n c l u s i o n s t h em a i np a r to ft h et h e s i si sr u i ne s t i m a t eo fr i s km o d e l sw i t hr a n d o m i n t e r e s tr a t e t h er u i np r o b l e m so f t h em o d e l sw i t hi n f l a t i o nr a t eo ri n v e s t m e n t i n c o m ea r es t u d i e du n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t e u s i n gr e f l e c tb r o w n i a nm o t i o n a n dp o i s s o np r o c e s st ou n i t em o d e l i n gf o ri n t e r e s tr a t e ，t h em s t e pm o m e n t s o fc l a i ms i z ea r eo b t a i n e d t h e nt h et i m es u r p l u sm o d e lw i t hr a n d o mi n t e r e s t a b s t r a c t r a t ei se s t a b l i s h e db yd i s t u r b a n c ea n dt h ee x p r e s s i o no fm i np r o b a b f l k yi s o b t a i n e d f i n a l l y , t h ei n f l u e n c eo f d i s t u r b a n c ef o rr u i np r o b a b i l k yi sd i s c u s s e d t h e s er e s u l t sd e v e l o pt h ec u r r e n tc o n c l u s i o n si nt h er e f e r e n c e s k e y w o r d sr i s k m o d e l ；r u i np r o b a b i l i t y ；，i n t e r e s tr a t e ；a d j u s t m e n t c o e f f i c i e n t ；m a r t i n g a l ea p p r o a c h ；b r o w n i a nm o t i o n ；p o i s s o n p r o c e s s m 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文利率因素下风险模型的 破产研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人 已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签字 硼良 日期：山d e 年，f 月矿日 燕山大学硕士学位论文使用授权书 利率因素下风险模型的破产研究系本人在燕山大学攻读硕士学位 期间在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归燕山大学所 有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完全 了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕山 大学，。可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全 部或部分内容 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 t 不保密日。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 埔良 日期：加i 年，阴朗 导师签名：2 云文 日期：加6 年，阴，日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 人类无时无刻不处在风险之中，d , n 日常生活中的存款利率变动，大 到航天飞机，人造卫星，核电站的安全，这些人们不能事先确定的事件结 果便构成了风险。科学技术的发展和生活水平的提高，不断增强着人类抵 御风险的能力，但是风险是不可能根本避免的，而随着社会、经济和科学 技术的发展，还会不断产生新的风险。风险在局部或微观上具有不确定性 和损失集中的特点，但在大范围和宏观上，它又具有稳定性和一致性，也 就是说，风险发生的可能性大体稳定，并且损失的大小基本服从一定的分 布规律。保险；作为商品社会中处理风险的一种有效方法，以被全世界所 普遍采纳。保险风险理论产生于保险公司承保项目的可行性研究，其研究 对象来自保险商业的各种随机模型。保险的基本原理是将众多的投保人的 保费集中到承保人处，当风险发生后，由承保人承担损失，这种机制可使 投保人通过付出少量且固定的保费，将大量的不确定的损失转移到承保人 或保险公司身上，承保人利用保费收入一方面保证赔付的正常进行，另一 方面，通过分析与计算来合理调配资金，提高保险基金的投资效益，最终 使投保人和承保人都有所收益。 1 2 保险发展简史 公元前2 0 0 0 年前后的海上运输业的繁荣成为现代水险【i 】的起源。随着 贸易的发展，大约在公元前1 7 9 2 年，在汉谟拉比法典中对损失的共同分摊 补偿进行了规定。在公元前2 6 0 年至前1 4 6 年间，布匿战争期间，古罗马 人为了解决军事运输问题，收取商人2 4 - 3 6 的费用作为后备基金，以补偿 船货损失，。这就是海上保险的起源。标志着现代海上保险产生的一份保险 契约是在1 3 8 4 年签署的，一般称之为比萨保单1 6 6 6 年9 月2 日伦敦城 区发生大火，全城8 5 以上的房屋被烧毁，2 0 余万人无家可归，财产损失 燕山大学理学硕士学位论文 更是无法估量，从此火灾保险得到了足够的重视。由火灾保险扩展而成的 财产保险【2 】，现在已包括洪水、地震、风暴和偷盗等致险因素，所保财产 也从房屋等扩大到各种固定资产和流动资产，财产保险是当今保险市场的 重要部分。人身保险是以人体为保险对象，早期承保范围很小。1 7 6 4 年创 立的伦敦公平人寿保险社开创的人寿保险极大地扩大了承保范围。寿险涉 及面广、流动资金相对稳定，它往往在保险市场中占有最大的份额。进入 2 0 世纪后，保险业有了很大的发展，出现了很多新险种，以被保险人的民 事损害赔偿责任为保险对象的责任保险是其中重要的一类。医疗责任保险、 交通意外事故的第三者责任保险、产品使用意外事故责任保险等都是发展 很快的责任保险险种。另一类重要的新险种是信用保险或称保证保险，在 现代市场经济中，信用和担保问题己成为经济活动能否顺利进行的重要因 素，保险机制的引进为解决这个问题提供了一个有效手段。保险业的发展 水平和速度与经济发展的水平和速度密切相关，人们经常将保险业的现状 作为经济发展状态的重要标志 中国保险业的发展经历了一个很长而曲折的过程。中国早在夏、商、 周时代，就形成了保险的思想。中国现代保险最早的是广州成立的广东保 险社，是随着帝国主义入侵中国，由帝国主义国家开办的。抗日战争时期， 先后在重庆成立了以官僚资本为后盾的中国农业保险公司、太平洋保险公 司。中华人民共和国成立之前，中国的保险业主要由外商资本和官僚资本 所垄断，始终未能顺利的发展。新中国成立以后，首先对旧中国保险业进 行整顿和改造，于1 9 4 9 年1 0 月2 0 日正式成立中国人民保险公司，总公司 设在北京，各大区设立分公司，由中国人民银行总行直接领导。在六七十 年代，由于极左路线的影响，国内的保险业基本陷于停顿状态，直至十一 届三中全会以后，保险业才开始了一个新的发展时期。1 9 8 0 年1 月1 日， 中国人民保险公司正式恢复办理国内业务。自1 9 8 0 年至1 9 9 1 年的1 2 年间， 保险业务收入年平均增长4 5 以上，初步形成了以中国人民保险公司、中 国平安保险公司和中国太平洋保险公司构成的中国保险市场，1 9 9 9 年保险 费收入达到1 3 9 3 2 2 亿元。随着加入w t o ，我国保险公司所面临的是如何 积极主动地去迎接国际竞争的问题。 2 第1 章绪论 1 3 风险理论的重要研究方向 ( 1 ) l u n d b e r g c r a m 自的经典破产论 r n 经典破产模型：u o ) = u + c t - 以，t - o ， k = l 其中： u ( f ) 为保险公司在时刻t 的盈余( s u r p l u s ) 甜是初始资本；c 是保险公 司单位时间征收的保险费率；x 。( j 1 ) 表示第k 次索赔额；n ( t ) 则表示至 时刻t 为止发生的索赔次数， o ) ：t 0 ) 是以a 0 ) 为参数的p o i s s o n 过 程。 2 0 世纪，h a r a l dc r a m & 和f i l i pl u n d b e r g 建立了风险理论研究与一般随 机过程之间的关系，把风险理论的研究提高到了一个新的高度：他们给出 t l u n g b e r g c r a m 6 r 经典破产模型的确切表述、有关假定和主要结果。 。( 2 ) s t o c k h o l m 学派 s t o c k h o l m 学派的领导人物是h a r a l dc r a m 6 r ，他在完善l u n d b e r g 的数学 工作中发挥了重要作用，同时也从这_ 研究出发，对概率论和数理统计的 发展作出了重要贡献。他在二战后发表的著作现已公认为是数理统计的经 典著作。1 9 5 5 年，即c r a m 6 r 的综述性文章发表的日期，s t o c k h o l m 学派已将 风险论置于一个坚实的数学基础之上，并为精算师处理绝大多数实际的保 险问题提供了主要的分析工具。 ( 3 ) 破产论研究方法的改进( f e l l e r 和g e r b e r ) c r a m 6 r 之后破产论研究中最令人瞩目的是方法论的改进。f e l l e r 和 g e r b e r 引入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为研究经典破产论的主要数 学工具。近期大量研究文献所研究的模型虽较经典的破产模型有不同程度 的推广，但所使的方法却基本上不外乎这两种。 ( 4 ) 经典风险模型的推广 人们对经典模型进行了以下推广： a 索赔总额过程的推广 乱广义复合p o i s s o n 过程 燕山大学理学硕士学位论文 b 带扩散扰动项的复合p o i s s o n 过程 b 以多种视角对其作深入的探讨 a 破产前瞬时盈余和破产时赤字等 b b e e k m a n 卷积公式 c 完全离散的经典风险模型 经典风险模型大部分的研究是关于连续时间的，近期有一些作者对完 全离散的经典风险模型展开了研究p “。 d 重尾分布的破产论 p a u le m b r e c h t s 与c l a u d i ak l u p p e l b e r g 等在这方面开展了较系统的研 究，详见文献【7 】第一章与文献 8 】。 e 具有复合资产的破产论 迄今为止，绝大部分破产论的研究不涉及投资收益。直至最近，对具 有投资收益的破产论的兴趣才猛增。不过，现在主要的研究工作还仅集中 在确定性的投资收益上，对涉及随机投资收益的破产论的研究工作还不多 因此目前还未成为保险数学研究中的主流方向，但在应用概率领域的研究 中还颇受关注，详见j p a u l s e n 9 , n o 的工作。 f 引入利率因素，使模型更接近保险公司的实际运作 q 对保单到达过程的推广 h 保险数学与数学金融的交叉研究 从1 9 9 4 年起，g e r b e r 的兴趣开始转向精算数学和数学金融的交叉研究。 他和s h i u 合作，利用传统精算学的工具，讨论了未定权益( c o n t i n g e n tc l a i m ) 和永久性期权定价，发表了一系列引起反响的重要研究文章【1 1 6 1 ，从而为 经典破产论的研究注入了新的活力。 1 4 风险理论在国内外的研究概况 风险理论作为保险精算数学的一部分，是当前精算和数学界研究的热 门课题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率、调节系数 等问题，破产论是风险论的核心内容。经典风险模型是主要研究对象之一， 国内外的学者们已对其进行了大量的研究。现已公认，破产论的研究溯源 4 第1 苹绪论 于瑞典精算师f n i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文。他首次引入风险理 论中最重要的一类随机过程，即p o i s s o n 过程，并重点讨论了模型的破产概 率等问题，这一成果奠定了经典风险理论发展的基础。不过，l u n d b e r g 的 工作不符合现代数学的严格标准。它的严格化是以h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞 典学派完成的，是c r a m r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实的数学基础上。与 此同时，c r a m & 也发展了严格的随机过程理论现己公认l u n d b e r g 与c r a m & 的工作为经典破产论的基本定理。c r a m 6 r 的证明虽然在数学上是严格的， 但分析方法较繁冗。，i l l i a mf e l l e r 和h a n su g e r b e r 通过引入更新论证和鞅 方法解决了经典聚合风险模型中的关键问题，并给出了简洁的证明，两位 学者所引入的论证技巧己成为研究经典聚合风险论的主要数学工具。随着 随机过程理论的逐渐系统和成熟，为风险理论的研究提供了强有力的方法 和工具。当代研究破产论的国际领先学者h a n s u g e r b e r 以严谨的概率论基 础，简练清晰地进一步研究了破产论。对风险理论的系统论述当属于 g e r b e r l l ”8 】和j g r a n d e l l ”】。近年来，风险理论的研究十分迅速，研究问题 的范围也逐渐扩大，其中破产概率的计算和估计一直是风险模型研究的核 心问题。风险理论发展至今，已形成许多处理风险模型的方法。国内对其 研究主要是南开大学的吴荣 2 0 2 u 教授及她的学生们，他们研究了经典风险 模型中盈余过程首次破产前的极大盈余额大于某一定值、首次破产前瞬间 的盈余额、破产赤字和末离零点前极大盈余额小于某一定值四者的联合分 布以及盈余过程在末离零点前极大值、极小值及零点数的联合分布。 1 5 利率下的风险模型在国内外的研究概述 在保险公司的日常经营中，公司的主要资金往来为保费收入和索赔支 出，g r a n d e l l 的书中对这种情况进行了全面讨论，还有一个不可忽略的因 素就是利率，它必定影响到公司的经营状况。自从经典的c r a m & - l u n d b e r g 风险模型建立以来，对它有许多推广其中一种推广考虑了利息因素，并 将理赔过程从齐? j r d o i s s o n 过程推广到一般更新过程，从而引入了带息力的 更新风险模型。该模型对现实有很强的描述能力，因此成为当前保险理论 界和实务界特别关注的研究对象。当表示保险公司索赔次数 ( f ) ：t 0 是 燕山大学理学硕士学位论文 一个齐次p o i s s o n 过程时，b s u n d t 和t e u g e l s t 2 2 0 3 1 运用更新技巧对此类问题 进行了系统研究，得到了破产概率所满足的积分方程。y a n g n z h a n g 【2 4 2 6 1 用类似的方法研究破产前瞬问盈余的分布、破产时赤字的分布及两者的联 合分布，也得到了相应的结果。而吴荣和杜勇宏【2 7 1 在带息力的更新风险模 型下，将问题转化为离散情形，再利用马尔可夫链的性质，借助转移概率 将破产概率等表示出来。林庆敏和汪荣明 2 8 1 对带息力的更新风险模型，采 用了与吴和杜不同的离散化研究方法，得到了破产前瞬间盈余和破产时赤 字的分布的一种算法。刘家有和刘再明【2 9 】提出了并讨论了在固定利率下含 投资因素、红利分配因素的两种离散型破产模型，分别得出了破产概率、 期望寿命的结论。李尚友、张春生和吴荣研究了固定收益率或利率的带干 扰的复合泊松风险模型的破产概率，给出破产估计及上下界。何树红1 3 0 1 引入了一类常利率因素下的双险种风险模型，给出了初始准备金为0 时的破 产概率、王，( o ) 的表达式，初始准备金为“时破产概率的c 删证r l u n d b e r g 近似 式，及甲( “) 的显式表达式和l u n d b e r g 上界。 、 一般的风险理论假定利率是确定的，目的是为了简化计算。但是许多 经济行为都是长期的，这期间，政府政策、经济周期等因素都会造成不确 定性，即带来一定的风险，从而采用固定利率可能会带来预期与实际之间 的较大偏差。因此，减少利率不确定性的更好办法就是采用随机利率模型。 在该模型中，利率不再被看作固定的常量，而是被视为随机变量，称这种 利率为随机利率。随着风险理论研究的深入，利息随机性的研究在近2 0 年来逐步受到重视，随机利率下的风险理论的研究已成为当前的重点和热 点问题之一。 1 9 7 1 年j h p o l l a n d 首次把利率( 利息力) 视为随机变量，对精算函数进 行了研究。其后一批学者开始采用各种随机模型来模拟随机利率。对于随 机利率，他们都是以时间序列方法建模的，例如，白噪声过程、a r ( 2 ) 过 程和a r i m a 过程等口1 1 。9 0 年代，一批学者利用摄动方法建模，得到了具 有双随机性的某些年金及寿险的一系列结果：b e c k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 年和1 9 9 1 年分别得到了息力由o u 过程( 即息力累积函数由y ( f ) = + ：( f ) 建模，其中：( f ) 为o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程) 和w i c n e r 过程( 即息力累积函 6 第1 章绪论 数由y ( f ) = & + 形o ) 建模，其中w ( t ) 是w i e n e r 过程，6 也是与f 无关的随 机变量或实常数) 建模的某些确定年金的前二阶矩【3 2 j 3 1 ，1 9 9 3 年又得到了 息力由0 u 过程和w i e n e r 过程建模的终身寿险给付现值的前二阶矩【3 4 1 。 乔克林等【”】讨论了含投资因素并且投资收益率为随机变量的复合二项风 险模型，得到了破产概率表达式。江涛【3 6 】研究了带有收益率的一个离散时 间随机风险模型，得到了在有限时间破产的一个等价公式张奕等【3 7 】考虑 了随机利率情形下关于风险损失或赔款的随机风险模型，得到了总索赔额 精算现值的各阶矩。 1 6 本文的主要研究内容 风险理论是保险精算数学中研究的热门课题，利率波动是经济活动中 常见的现象，对保险公司的影响十分巨大，因此，如何化解利率风险而不 降低保险产品的吸引力，是当前保险人迫切需要解决的问题，也是风险理 论研究的重点和难点。本文着眼于利率因素的影响，对多种风险模型及破 产概率问题进行了较深入的研究。 第1 章，绪论。主要说明论文的选题背景、意义及主要内容。 第2 章，相关基本知识。人们生活在一个充满风险的自然环境和社会 环境之中，风险已经或多或少地成为现代生活中无法回避的内容之一，因 此对风险理论的研究已愈加重要。保险公司经过评估保险标的风险大小， 以收取合理的保费为条件，一旦保险标的发生损失，公司即按保险合同规 定的保险责任赔付被保险人的损失。这就需要保险公司建立符合实际的风 险模型，来研究理赔过程、盈余过程及破产概率等而且，对保险公司来 说，要建立风险模型，进行损失分布估计和破产估计，考虑货币的时间价 值显得尤为重要，这就使得利息理论基础作用更为突出；鞅方法是研究经 典破产论的主要方法之一。这些作为本论文最为基本的理论在本章给出了 介绍和分析。 第3 章，常利率因素下的风险模型根据保险金的给付时间和投保人 缴纳保费时间的不同，可将风险模型分为离散时间模型和连续时间模型。 针对利率因素对风险模型的巨大影响，本章推广了常利率因素下的复合二 7 燕山大学理学硕士学位论文 项风险模型，得到了破产概率的显式表达式和l u n d b e r g 上界；由于保险公 司风险经营规模不断扩大，考虑到用单一险种的风险模型描述风险经营过 程的局限性，以及影响保险公司经营的不确定因素的增多，本章又推广了 常利率因素下的双险种风险模型，将干扰因素引入到模型中，就带干扰的 常利率因素下的双险种风险模型进行了讨论。对保险公司抵御利率风险具 有一定的现实意义。 第4 章，随机利率下的破产模型。在风险理论的研究上，传统的风险 理论假定利率是固定不变的，实际上利率具有一定的随机性，尤其在长期 的经济行为中，采用固定利率可能会带来预期与实际之间很大的偏差，又 考虑到保险公司的经营是受许多因素干扰的，因此，本章分别研究了在通 货膨胀因素下随机利率的双险种风险模型和考虑投资收益的一个随机风险 模型，分别得到了破产概率的计算公式，并对通货膨胀率，资金利率和破 产概率之间的关系进行了讨论。为保险公司规避风险和稳健经营提供了有 利的理论依据。 ， 第5 章，随机利率下的风险损失矩。随机过程理论中布朗运动的性质 吸引了众多精算研究人员的注意，用布朗运动来刻画利率的随机性给利率 风险的研究带来了新的契机。但理论上的纯布朗运动会导致利率为负，这 是与实际不符的。因此，本章采用反射布朗运动对息力建模，保证利率恒 正，研究了风险损失矩。在理论上具有一定的启发性，同时对保险产品的 设计，利率风险的防范均有一定的参考价值。 第6 章，随机利率下带干扰的时间盈余风险模型。在市场环境下，许 多的大型保险公司的赢利主要为其对保险资金的合理投资运用，因此经营 中必须做到对随时的索赔能够迅速与及时理赔。公司在做其它投资决策时 应考虑到某一时刻的盈余量和索赔额，以使经营中不会发生暂时的资金短 缺。为解决上述问题，本章考虑了时闻盈余风险模型，研究了随机利率下 带干扰的时间盈余模型的破产概率，并对模型的破产概率、扰动强度和调 节系数之间的关系进行了讨论。从而使得风险模型更具有实用价值。 8 第2 章相关基本知识 第2 章相关基本知识 2 1 引言 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时 间越长，实际的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同时间上，由于 受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同。因此，如果货币的所有 者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会 时间长短相应的报酬【3 8 】。 。 。 综观世界各国的保险市场，时常有保险公司破产倒闭。因此，国外的 发达国家和一些发展中的国家一直高度重视保险业的风险防范和监督。而 破产概率是保险公司测度风险的重要指标，正不断引起保险行业的高度重 视。风险研究的基础是建立接近保险公司实际运作的风险模型，从而来探 究易于实际应用的计算破产概率的方法。经典的风险模型是建立在保费收 取过程和理赔过程的基础上的，矩函数和矩母函数是研究盈余过程的重要 工具，而鞅方法则是研究经典破产论的主要方法之一。 本章将介绍该论文中要用到的风险理论和相关知识：利息理论、风险 概念、保险精算问题、鞅方法、理赔过程和破产概率等。 2 2 利息理论 本节将给出利息的相关概念和知识，详见文献 3 9 】。 2 2 1 利息的度量 利息，指的是在一定时期内，资金拥有人将使用资金的自由权转让给 借款人后所得到的报酬。初始投资的金额( 资本) 称为本金，最终的总收入 称为积累值，也称为终值或本利和j 投资l - 单位的本金，在任何时n t 的 积累值定义为积累函数口( f ) 。若初始投资金额为k 0 ，在时刻，0 时的积 累值记为a ( t ) ，称为金额函数或总量函数 9 燕山大学理学硕士学位论文 衡量资金生息水平的指标是利息率，它表示单位本金在单位时间内所 孳生的利息。如果单位时间为一年，一年内一单位本金的利息就是实际利 率，以f 表示实际利率，则 f ：口( 1 ) 一l ：a ( 1 ) - a ( 0 ) a ( o ) 第h 年的实际利率为= 兰皆= 巫帮 利息的计算方法有单利和复利两种。单利只在本金上计算利息，其累 积函数的形式为 a ( f ) = 1 + i t ( t 2 0 ) 。 单利每年得到的利息均为a ( o ) i ，由于每年利息额随口( f ) 的增大保持恒 定，使实际利率i 随t 增长而减少。单利时，实际利率为 1 1 + i n 一【1 + f ( 二1 ) 】 i ” l + i ( n - i )1 + i ( n 1 1 复利下的积累函数为a ( t ) = ( 1 + 0 ，因此各年利息不等，第一年利息 为a ( o ) i ，第二年为a ( 1 ) i = 4 ( o ) ( 1 + 咖，第三年为a ( 2 ) i = 爿( o ) ( 1 + 矿i ， 第t 年为a ( t 一1 ) i = 彳( o ) ( 1 + f ) f 。年利息额随t 的增大而增大。但利率保持不 变，此时实际利率为 厶：业掣：? q n + 订”- 1 。 2 2 2 现值和贴现率 一单位本金经过t 年后的累积额为口( f ) ，积累函数n ( f ) 的倒数l l a ( t ) 为 f 期折现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子l a ( 1 ) 简称为折现因子， 并记为v 。那么一单位累积值在t 年前的值便为1 a ( t ) ，我们把现在一单位 元在t 年前的值或未来f 年一单位元在现在的值称为t 年现值。 在单利方式下，一年的现值为1 1 1 + i ，两年的现值为1 1 + 2 i ，一般地， f 年现值为i ( i + i t ) 。 在复利方式下，一年现值为1 ( i + 0 ，两年的现值为1 ( 1 + f ) 2 ，t 年 第2 章相关基本知识 现值为1 ( 1 + 矿。通常记u = 1 ( 1 + ) ，这时在复利下f 年现值为u 如果应在将来某时期支付的金额提前到现在支付，则支付额中应扣除 一部分金额，这部分扣除额称为贴现额。贴现水平用贴现率表示，它是单 位货币在单位时间内的贴现额。若单位时间以年度为单位，这时的贴现率 称为实际贴现率。通常用d 表示贴现率。 f = 等笋= 等 p ， 爿( 1 )口( 1 ) 、7 一年的实际贴现率为 d n = 掣口l 栉) 由公式【2 - 1 ) 可得 d ：旦! 坚：型：上 a o ) 1 + il + i 1 - d ：1 - l ：l ：d l + fl + f 从而得到f ，d ，u 三者的相互关系 d = i u 2 2 3 利息强度 利息强度也叫利息力，简称息力，是衡量确切时点上的利率水平的指 标。作为连续时间下的利息度量，在理论研究上应用广泛。 考虑利息在【t , t + a t ) 上的推广，并取当出哼0 时的极限，得 1 i m 生g 丝! 二兰盟，f ：l i i n 竺g 竺! 二竺盟，出：竺熊：竺盟 山0 么( f ) a g - - * o 口( f )4 ( f )口 假定导数都存在，上式的极限值称为利息强度，即息力，记作玩，即 占：业旦盟：d l n a ( t ) o j = _ - _ = 一 4 0 )口( f ) d t 用，代替f ，并将此式两边在0 到f 之间积分，得 燕山大学理学硕士学位论文 j l s , d r = j ：掣d r = i n - 舢a t ( 、i 从而积累函数服从指数分布 ，= 罴= 器= 吐胁r ) 4 ( o )口( o ) 。jo 考虑时间区间0 s f 1 在该区间上的息力为常数6 ，在期末的实际利率 为i ，则有 + ，= 口( 1 ) = d 肫d ，) = e 5 从理论上说，利息的最基本的度量就是利息力。利息力一经确定，利 息的度量也就随之确定。 2 3 风险与精算 2 3 1 风险的含义 对于我们大多数人来说，那些影响我们个人命运的诸事件间的关系不 能视为是确定性的，而且仅能运用概率的术语来刻画。在这一随机而非确 定的视角内，风险是一关键的概念。风险的定义方式及其在决策过程中所 起的作用是因学科的不同而相异的在保险学中，风险通常被定义为“潜 在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。在投资分析中， 由于损失与盈利总是相互关联的，风险又常被区分为纯粹风险和投机风险 两种。从风险的属性来说，有人主张风险应该是客观存在的，因而应该被 客观地度量，也有人强调风险是一个因人而异的主观概念。总之，要对风 险这个概念给出一个明确的、能够被普遍接受的定义几乎是不可能的。 从决策理论的角度来看待风险也许更为深刻，它始终把风险和与之相 关的当事人( 决策者) 及其所面临的某个决策问题联系在一起。虽然在传统 决策论里，风险和不确定性曾被严格地区分为是否可以客观地获得关于自 然状态的概率，但自然状态的不确定性是导致风险的客观和外部原因，导 致风险的主观或内在原因是人们( 自觉或不自觉) 的行为活动。人们基于对 1 2 第2 章相关基本知识 自然状态不确定性的判断和基于对潜在后果的价值判断来选择或调节自己 的行为，追求理想的后果和回避不利的后果。因此，风险是相对于面临着 某种不确定状态的某个人或某些人而言的【4 0 】。 2 3 2 保险精算问题 保险业是经营风险的特殊金融服务行业。保险公司经过评估保险标的 风险大小，以收取合理的保费为条件，一旦保险标的发生损失，公司即按 保险合同规定的保险责任赔付被保险人的损失。处理这些问题需要很专门 的技术，为此需要而形成的这套专门技术和方法便是精算学。 精算学 4 t - - 4 4 1 并非“精确计算的科学”的简称，而是- - f - j 集数学、统计 学、计算机科学、保险学、金融学、会计学和经济等多种学科的交叉科学。 精算学以现代数学和统计学为基础，对保险经营中的某些问题进行定量化 的分析和研究，为保险公司进行科学的决策和提高管理水平提供依据和方 法，它成为保险公司在激烈竞争的市场环境中得以生存和发展的重要环节。 保险精算一般由寿险精算和非寿险精算或意外险精算组成。顾名思义，这 是依据各自的研究对象( 标的物) 来划分的。 非寿险1 4 5 】一般是指人身意外伤害保险、财产保险、医疗保险和责任保 险等。非寿险的特点是：风险的种类繁多、影响风险发生的因素多和赔偿 方式复杂。正因为如此，非寿险精算没有寿险那样系统和标准，往往是一 类问题对应一类方法，有时甚至在同一类问题中也要随时间和环境的变化 而修正计算方法，这时保险业务知识和统计分析是融会在一起的，必须以 实际效果来衡量方法的优良。但非寿险精算作为一个独立的研究领域也有 一些较为成熟的问题和方法，如费率厘定、损失分布的估计h 8 1 及信用理 论【4 9 1 等。 2 4 风险理论 2 4 1 引言 风险理论的研究则是伴随着人类对风险的定量性研究而出现的，它起 燕山大学理学硕士学位论文 源于早期商业保险，主要是研究保险领域的各种随机模型。风险理论的研 究在我国起步较晚，而随着我国经济融入世界经济步伐的加快，对风险理 论的研究就更显重要。初期的风险理论研究的是个体风险模型( i n d i v i d u a l r i s k m o d e l ) 。它是以每张保单为基本对象，考虑某保单组合在一定时期内 可能发生的理赔总量，进而考虑全部保单组合在某段时期的理赔总量。之 后产生的聚合风险理论( c o l l e c t i v e r i s k t h e o r y ) ，则是将所有的保单视为一个 整体，以每一次理赔为基本对象来考虑同一问题，按理赔发生的时间顺序 将所有理赔量累加起来。对风险过程的研究是多方面的，其中对其进行稳 定性分析破产概率的研究，形成了一个新的研究领域破产理论。 破产理论是研究风险经营者经营状况的理论和方法，主要应用于风险 经营过程的稳定性分析，预测经营者在有限时间内和最终会破产的可能性 大小，对经营者的策略起指导性作用。在进行风险决策前，对将来要进行 的风险经营过程进行稳定性分析，有极其重要的现实意义和理论意义，特 别在投资和保险行业，其现实意义更加明显。通过对破产概率的估计和预 测，可决定是否对_ 个项目进行投资；通过对一新险种将来经营过程的稳 定性分析，可以决定是否开发这一险种，同时对该险种的保费厘定也有指 导作用，可以通过调节保费来达到减小风险经营过程的破产可能性的目的。 在破产理论中调节系数也具有重要的作用。 2 4 2 一矩函数与矩母函数 对于非寿险风险的研究，除了可以用期望和方差来表述，还可以使用 损失变量的矩函数和矩母函数进行刻画，详见文献【4 0 】。 定义2 4 1 设x 为随机变量，e 4 x i ) 0 3 ，记 叱= e ( x ) ，a i = e o x l ) 则称为x 的k 阶原点矩，并称a i 为x 的| j 阶原点绝对矩。 定义2 4 2 若e ( x ) 存在，且e o x - e ( x ) l ) o o ，记 1 4 第2 晕耜关基本知识 以= 研x 一( ) r 称以为z 的_ j 阶中心矩，并称卢。= e l x - z ( x ) i 为x 的j | 阶中心绝对矩。 定义2 4 3 设随机变量z ，其分布( 密度) 函数为f ( x ) ( ，( 力) ，则其矩 母函数定义为： m ，( f ) = e ( f “) = o “d f ( x ) - - d “f ( x ) d x 2 4 3 鞅方法 。鞅方法在风险模型的研究中应用极为广泛和有效，在推导破产概率上 界不等式时起了非常重要的作用，本论文在第三章中将运用此方法来证明 l u n d b e r g 不等式。 下面，介绍有关鞅的一些概念和知识，详见文献【5 0 】。 定义2 4 4 称随机过程( ) ：f o ) 为一鞅，若有 ( 1 ) e i x l 】 o o ，v t 0 ( 2 ) 对0 s ， 0 ，恒有 研x ( f ) 】= 耳目x ( f ) lx ( 0 ) 】= 日x ( 0 )