（计算数学专业论文）各向异性有限元方法的若干应用.pdf

摘要 本文主要研究各向异性非协调有限元方法的若干应用。首先研究二阶变分 不等式问题的非协调有限元逼近，通过运用新的方法和技巧，得到了与传统 有限元方法相同的最优误差估计。 其次利用双参数法构造了一个新的1 2 参双参数矩形板元，同时，通过运用 新的方法和技巧，对重调和方程在剖分网格满足正则假设( 或拟一致假设， 或反假设) 的条件下，证明了该元具有o ( h 2 ) 阶的超逼近性，值得指出的是， 这里非协调误差的估计是在各向异性网格下得到的，其中所用的估计方法还 未在相关文献中见到。 本文最后研究了纯位移平面弹性问题的一个新的非协调矩形有限元逼近， 当l n m 常数a 一。时该单元是非闭锁的，通过引入新颖的误差估计技巧， 可以得到能量范数及l 2 范数的最优误差估计。 本文的意义在于，我们克服了传统有限元方法对网格剖分要求正则假设， 拟一致假设和反假设等严约束，拓宽了非协调有限元的应用范围。 关键词：各向异性有限元，变分不等式，重调和方程超逼近，非闭锁单元， 最优误差估计。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ) w ef o c u so l lt h es t u d yo ft h e a p p l i c a t i o no f t h ea n i s o t r o p i c g n i t ee l e m e n tm e t h o d s ， w ef i r s tc o n s i d e rt h en o n o c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o nf o r t h es e c o n do r d e rv a r i a t i o n a lo b s t a c l ep r o b l e m b ym e a n so ft h eh o v e l t e c h n i q u e s ，t h eo p t i m a l e r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e d ，w h i c ha r ea 8s a l l ea s t h er e s u l t so ft h ec o n v e n t i o n a lf i n i t ee l e m e n te l e m e n tm e t h o d s n e x t ，u s i n gt h ed o u b l e s e tp a r a m e t e rm e t h o d ，w ec o n s t r u c tan e w1 2 一 p a r a m e t e rr e c t a n g u l a rp l a t ee l e m e n t m o r e o v e r ，t h es u p e r c l o s ep r o p e r t y o ft h i se l e m e n ti sp r o v e du n d e rt h er e g u l a rm e s h e sb yt a k i n ga d v a n t a g eo f as e r i e so fn e wa p p r o a c h e s b u ti ts h o u l db ep o i n t e dt h a tt h ec o n s i s t e n c y e r r o re s t i m a t ec a nb eg o tu n d e rt h ea n i s o t r o p i cm e s h e s ，t h em e t h o d u s e d h e r eh a sn o tb e e ns e e ni nt h er e l a t i v el i t e r a t u r e s f i n a l l y , w e d i s c u s st h ep l a n a re l a s t i c i t yp r o b l e mw i t ht h ep u r ed i s p i a c e m e n t b o u n d a r y v a l u ep r o b l e ma nt h el a m dc o n s i s t a n ta 一。b yu s i n gt h e a n i s o t r o p i cl o c k i n g f r e er e c t a n g u l a re l e m e n t t h r o u g hi n t r o d u c i n gs p e c i a l a p p r o a c h e s 。t h eo p t i m a le r r o r e s t i m a t e so ft h ee n e r g yn o r r f ta n dl 2 _ n o r m a r eo b t a i n e d w h i c ha r ea ss a m ea st h o s eo ft h et r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n t e l e m e n tm e t h o d s t h e h i g h l i g h to f t h i sp a p e ri st h a tw eo v e r c o m et h ed i f i e i e n c i e so ft h e c o n v e n t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，i e ，t h es e v e r ea s s u m p t i o n so i l t h e m e s hg r a d i n g ，s u c ha st h er e g u l a ra s s u m p t i o n s ，q u a s i - u n i f o r ma n s u m p t i o n s ，i n v e r s ea s s u m p t i o n s ，a n dt h u se x t e n dt h ea p p l i c a b l es c o p eo ft h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n g f i n i t ee l e m e n t ，v a r i a t i o n a lo b s t a - c t ep r o b l e m ，s u p e r e l o s eo fb i h a r m o n i cp r o b l e m ，p l a n a re l a s t i c i t yp r o b l e m ， l o c k i n g - f r e ee l e m e n t ，o p t i m a le r r o re s t i m a t e s i i 前言 传统意义下的有限元方法对网格的剖分有一些严格的假设，例如正则性假 设( 即存在与网格剖分无关的常数c 0 ，使得对任意的单元k ，h t 。p 耳c ， 其中坛和船分别为单元的最大直径和内切圆直径) ，拟一致假设，反假设 等。这些条件在很大程度上限制了有限元方法的应用范围。 最新的研究成果表明，上述假定对一些有限元格式并不是必要的。近几年 来，各向异性有限元方法的研究取得了很大的进展，并且已经成为有限元领 域一个新的热点。在实际应用当中，对有些问题如果使用正则性剖分的话， 计算量将非常大；另一方面，椭圆问题的解可能具有各向异性，即解沿区域 的某一方向的变化非常剧烈，例如奇异摄动问题和对流扩散问题等。因此， 在处理这些问题时，很自然地就要使用各向异性网格，也就是说，在网格剖 分时，在解变化剧烈的区域采用细网格，其他区域使用正常网格，这显然是 不符合传统有限元对网格剖分的要求的。所以，在这样的网格剖分下，需要 建立一套与之相应的理论分析和误差估计技巧，并将其应用于实际问题，亦 即各向异性有限元方法的主要研究内容。 本文在前人已有的研究基础上，选取变分不等式问题、四阶问题和平面弹 性问题，分别在各向异性网格下进行分析，通过运用单元构造的特殊性质和 一些新的误差估计技巧，得到了一系列令人满意的结果。 对于变分不等式问题的有限元逼近已有不少研究，见f 1 ，但是，到目前 为止，就我们所知，还没有相关的各向异性非协调有限元分析。并且，已有 的结果都是基于一些很严格的假设，例如正则假设，拟一致假设和反假设f 2 1 等。本文的第一部分以两个著名的非协调有限元，三角形c a r e y 元f 5 1 和矩形 w i l s o n 元( 6 j 为例，研究变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法的收敛 性，得到了与传统有限元方法相同的收敛结果。不难发现，本文所用方法更 为简单和有效。另外，我们避开了1 中对网格剖分的严格要求，换句话说， 我们可在更一般的网格上进行分析，因此，我们这里所得的结果具有更为广 泛的应用范围。 另外，超收敛研究是目前有限元领域备受关注的问题之一，高精度单元的 构造及收敛性分析技术已经成为提高计算精度的重要手段由林群院士发起 的高精度方法在【1 l 】中，利用积分恒等式技巧，给出了很多非协调元的超逼近 性质和整体超收敛性，如双线性元，双二次元，双p 次元，a d i n i 元，双三次 h e r m i t 元，应用于s t o k e s 问题的b e r n a d i r a u g e l 元，0 2 一p 1 元，r a v i a r t t h o m a s 元等。但到目前为止，在各向异性条件下，关于非协调元的高精度分析并不 多见，而对于四阶问题的超收敛性研究就更为少见。 石钟慈院士对此作了一些极具开创性的工作，首先发现并在正则性条件下 证明了三角形九参数广义协调元【3 1 】及拟协调元 1 7 具有相容误差比插值误 差高一阶的特殊超收敛性，即相容误差为o ( h 2 ) ，而插值误差为o ( h ) 。文献 1 8 1 将这个结果更一般化，提出了相容误差可以达到o ( h 2 ) 的三个判别条件， 有关这方面的研究还有【2 1 等。但是，对于矩形板元来讲，上述讨论均要求至 少1 2 个自由度，形函数包含完全三次多项式空间。 本文在第二部分利用双参数法【2 2 】构造了一个新的十二参矩形板元，即将 1 9 1 中的单元上的形函数空间修正为 而保持自由度不变。值的一提的是，这样的单元并不包含完全三次多项式空 问，实际上只包含完全二次多项式空间，并且也不满足文献f 1 8 中的后两个 重要判别条件。因此，对它进行超收敛分析及计算更具有理论和应用价值。 在进行误差估计时，我们避开传统非协调有限元误差估计的方法，转而利用 单元的特殊构造和一种全新的方法和技巧，主要集中对单元内部的误差进行 分析，证明了非协调误差可以达到o ( h 2 ) 阶，同时利用h i l b e r t b r a m b l e 引理证 明了该元有o ( h 2 ) 阶的超逼近性，其中非协调的误差估计可以在各向异性网 格进行。这一结论在目前相关的文献中还未见到，从而丰富了现有非协调有 限元的误差估计结果。 关于平面弹性问题，当l a m d 常数a _ o o 时，即对于几乎不可压缩介质，通 常非协调元格式的解往往不再收敛于原问题的解，或者达不到最优收敛阶， 这就是所谓的l o c k i n g 现象，见 1 6 ，2 3 ，2 4 1 。究其原因，在通常的有限元分析 中其误差估计式的系数与a 有关，且当a _ + ( d o 时，其系数趋于无穷大。因 此为了克服l o c k i n g 现象，就需要特殊的有限元格式，使其解关于a 一致地 收敛于原解。克服l o c k i n g 现象的有效途径大致为两种，一种是借助于 昆合有 限元分析的方法进行处理，见2 5 ，2 6 ，2 7 ；另一种是直接利用非协调元对于纯 位移条件下的平面弹性问题进行逼近。【1 6 ，2 3 】中基于标准有限元方法证明了 2 三角形线性c r o u z e i x - r a v i a r t 非协调元的非闭锁性质，f 2 3 ，2 8 1 中使用了所谓的 ”r e d u c e di n t e g r a t i o n ”法也考虑了一类三角形元和四边形元， 2 9 中利用散度算 子的性质提出了一种新的构造l o c k i n g f r e e 元的方法，并给出了一个很有价值 的l o c k i n g f r e e 不完全双二次矩形元。 本文最后研究了平面弹性问题，结合 7 ，3 0 】的思想，直接构造了可以用于各 向异性网格的矩形非协调元，利用其所具有的特殊性质，并通过引入辅助空间 及新颖的估计方法，在各向异性网格剖分下对纯位移平面弹性问题的l o c k i n g 现象进行了研究，发现该元是l o c k i n g - f r e e 的，同时得到了最优能量范数和三2 范数误差估计。值得指出的是由于这里的估计技巧非常特殊( 特别是关于相容 误差的估计) ，完全不同于以往正则假设下的非协调元误差分析，因而更具有 理论意义和应用价值，从而拓宽了各向异性有限元方法( 尤其是非协调元) 的应用范围 1 变分不等式的各向异性非协调有限元方法 本章研究二阶变分不等式在各向异性网格上的有限元逼近，通过运用新的 方法和技巧，得到了与正则条件下相同的最优误差估计。因此，克服了传统有 限元要求剖分网格满足正则假设( 或拟一致假设。或反假设) 条件的限制，极 大地扩展了有限元的应用范围。 1 。l 单元构造和一些引理 考虑下列变分不等式问题 豪拦，孚象刊，k ， n ， lo ( t 上，v u ) ，( 臼一札) ， v ” ， 。 其中 k = 础( q ) ： x 在q 中；) ( 0 在a q 上) ， o ( 叩) 2 上v 札v 口d x d y ，m ) 2 n 加d x d y j j n n 问题( 1 1 ) 的等价微分形式如下 a u = a u ， u x “= 0 在q + = z eq ：u ( z ) x ( x ) 中) 在q o = 工n ： ( z ) = ) ( ( 口) 中) 在q 中， 在a q 上 为简单起见，假设q 为凸多边形区域，在本文中，我们对函数x 和，作以 下假设：h 2 ( q ) ，x o 帆a q ；_ 厂l 2 ( n ) 设 为q 的三角形或矩形剖 分，有豆= u 丙，且h = m 2 x ，其中k 是单元的最大直径。这里，我们 h hk k e j k u “ 不象以前的研究那样要求上述网格剖分满足正则假设或拟一致假设或是反假 设。设为相应的c u r e y 元或w i l s o n 元有限元空间。 1 1 1 c a r e y 元的构造 设k 为三角形，顶点坐标为啦= ( y i ) ，1 。3 ，九，1 z 3 为顶点啦相 4 应的面积坐标，如= a i + l a i + 2 ，( i = 1 ，2 ，3 ，m o d ( 3 ) ) 为三条边设s 表示三角形k 的面积，并有 2 2x 3 一。1 ，3 2x l x 2 q 2 = 3 一1 ，町3 3 玑一9 2 2 = 堵+ 镌+ 锯 则单元k 上的形函数为 札= l t i a i + ( “) 仍 其中 p = a l a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 1 ， 啦为函数在顶点a i 0 = 1 ，2 ，3 ) 的值，参数t ( “) 可取为 如) = 厶d 咖 显然，这是一非协调元，并且在每个单元k 的顶点连续。令 瓦= t , 1 a 1 + 札2 a 2 + u 3 5 3 ，“1 = t ( t 正) 咿 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 则扎= 面+ u 1 ，i e 面和“1 分别是“的协调和非协调部分。 设q 为多边形区域，以是q 的一族剖分，有d i a m ( k ) h ，vk 对 给定单元k 以，设确是k 的最长边，h 。= h 。k = m e o s ( 璃) 为其长度， h 。= h 。，耳= 柰寺为单元k 垂直于诵的厚度。假设单元满足最大角条件和坐 标系条件 7 ，但不需满足网格正则假设或拟一致假设或是反假设。设赡为 从膏到k 的仿射变换 则k 可定义为 坛= v ：v l k = oo ，膏1 ，o p k ，口( n ) = 0 ，v 节点。a q ) 现如学 一 一 = 现驰骨 = = + 6 m 等 ，ij【ll 对 如 、j、j 町 q烈吠 。争皿 | | = 嚣 矿 ，ftf、l、 ，k r r 其中砍= s p a n a 。，a 。，a 。，妒) 为形函数空间。 1 1 2 w i l s o n 元的构造 设q 为矩形区域， 为一族矩形网格。k 表示边长分别为2 h 。，2 h 。的一般 矩形单元， ( 不失一般性，假设k h y ) ，中心点坐标为x 。，y o ) ，则顶点坐标分 别为 a l ( 3 ；0 一h $ ，y o h y ) ，a 2 ( x o + h 。，y o 一 f ) ， a 3 ( x o + h z ，y o + g ) ，a 4 ( x o h z ，y o + h y ) 从霞到k 的仿射变换取定义为 磁： i = o o + h 。f = y o + 町 其中霞相应于k 的参考元，顶点坐标分别为 则彤幽数翊p 42 v h l k = v h ( a i ) p i ( x ，) + v j ( v h ) p j + 4 ( z ，) ( 1 6 ) i = 1 j = l 这里仇x ，y ) = a ( ，”) o 贬1 ，i = 1 6 ，v ha 1 ) 表示在顶点。( 待1 4 ) 的函数 值，且 m ) = 最厶面0 2 v h 蛐m ) = 毪厶象蛐， p t ( ，叩) = ；( 1 - ) ( 1 目) ，一。( ，叩) = ：( 1 + ) ( 1 一町) ， 西3 ( ，口) = ；( 1 + f ) ( 1 十口) ，少4 ( ，口) = ；( 1 - f ) ( 1 + 口) ， 】；s 幢，叩) = 一；( 1 一2 ) ，芦e ( f ，叩) = 一；( 1 - 7 2 ) 今 豇= u ( o i ) 凤( 茁，y ) ( 17 ) z “ 黝 竹 。皿 f f 则“= 面+ u 1 ，i - e 豇和u 1 分别为乱的协调和非协调部分。那么，k 可定义为 = 口 l = io 坛1 ，o 磁，v ( a ) = 0 ，v 节点a a q ) 其中球= s p a n 1 ，叩，f 2 ，瓴卵2 ) 是形函数空间。 基于上述两个单元，问题( 1 1 ) 的逼近形式如下 v 甄， ( 18 ) 其中 k h = 玩：v ha ) x ( ) ，v 气了点。k ，vk 矗) 。n u h ，v h ) 2 聂厶v “胁廊蛳 容易看出，”= ( 。n ( ，) ) 5 = ( 磊。l + 巨耳) 5 是上的范数 1 1 3 一些引理 在这本小节中，我们证明了些引理，它们在以后的证明中起着非常重要 的作用。这里我们只给出对c a r e y 元的证明，对于w i l s o n 元的证明可参见【8 。 引理1 1 调部分，则 对任意7 1 ) 。k ，”一= 蛾+ 砝，面n 和峨分别为w h 的协调和非协 厶警= 厶警_ o 。， 证明由( 1 3 ) 和( 1 5 ) ，有 叫：= t ( w ) 妒= ( 叫h ) ( a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 1 ) 因此， f k8 警d x d y = t ( w h ) 弦量3 甏警如妇 = 攀笋k 【叩1 ( a 2 + a 3 ) + 叩2 ( a 1 + a 3 ) + 卵3 ( a 1 + a 2 ) d x d y( 1 1 0 ) 一必丝丛丝坠垃l = 0 蛳笛 酥一 靴求州 同理， 由( 1 1 【) ) 和( 1 i i ) ，定理得证。 引理1 2 对v 垓，有 掣如由：o j g d g i i ”h ， c h l l w hl l h ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 这里和今后，c o 表示与h p k ，( v k ) 以及考虑的函数无关的常数- 证明由引理1 1 ，由于警和啦o y 是两个常数，可推出 ”。臣k = k 【( 警) 2 + ( 等) 2 ) t d x d y 引；磐二替“南群a y d x d y ，。 d z 咖 均 = k 【( 卺) 2 + ( 晋) 2 + k 【( 署) 2 + 当) 2 咖 = i - m 2 + i 地k 由| | i | 的定义 有 1 | 。i | 2 ：l i 面。l l ：+ 1 1 。：i i ： 因此，( 1 1 2 ) 可得。 为证( 1 1 3 ) ，我们只需证 | | 伽洲o c h i l w ：l l h 分别计算1 1 w 圳。和l i ”圳一如下 =k1 叫 1 2 d x d y ：t 2 ( w ) j k ( a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 1 ) 2 d x d y = t 2 ( 叫h ) k 【( a i 镌+ a 2 2 、2 3 + a 3 2 、2 1 ) + 2 ( a ；a 2 a 3 + a ；a 3 a l + a j a l a 2 ) 扣k d y = t 2 ( 叫n ) ( 嘉+ 嘉) =。2(叫)丧，(ii5、 i ，。= k 【( 警) 2 + ( 喾) 。d y = 号攀止( 丘 卵t ( a 2 + a 3 ) + v 2 ( a 。+ a 3 ) + 7 7 3 ( a ，+ a 。) 】2 d x d y + 氏阵1 ( a 2 + a 3 ) + 2 ( a 1 + a 3 ) + 3 ( a i + a 2 ) 2 d x d y ) = 鼍争( l d ( v 1 a l + q 2 a 2 + 啦a 3 ) 2 + ( f 1 a 1 + 岛a 2 + 3 a 3 ) 2 d z d y = 号笋( & a i 碍+ a ；镌+ a ；镌 +2 l a 2 ( l 已+ 叩1 啦) + 2 a 2 a 3 ( 2 6 + 即2 町3 ) + 2 a 3 a 1 ( 3 1 + 叩3 叩1 ) 】a k d ) = 掣2 ， ( 1 1 6 ) 因此， l l 叫j l i j c h 2 l i 叫：1 i ；， ( 1 1 3 ) 可得。 引理1 3 vd h 1 ( k ) 2 ，v k 以，定义零次算子p 0 如下 p 0 拈高厶讹屯 则 i | 仃一p o 方l l o ，k c h l e l l ，k ( 1 1 7 ) 证明由于蜀方：1 k v d x d y = 南厶施士d 。：岛台， 蜀方= 。赢厶铡制9 2 岛方， 因此，p 0 是仿射等价的， 忪一p o 。 l l g ，= 归一p 0 崛丘搿 i # i l e 蝌 = i 墨，抄碓霞罱 ( 1 1 8 ) i o l = 1 ”1l l、7 = ( 氏 2 “i d 。叫2 d x d y ) s c h 2 i 1 1 ，k ， ( 1 1 7 ) 可得。 1 2 主要定理和证明 定理1 1 设札和u h 分别为( 1 1 ) 和( 1 8 ) 的解，“h 2 ( q ) ，则成立 | | “一u 1 1 c h ( 1 u l 。，n + l x l z ，n + ij f l l o ，n ) ( 11 9 ) 证明由三角不等式，成立 另一方面， 一“h l l h l l “一y h h + i l u 一u h l l h ，vv h k h ( 1 2 0 ) a h ( v h 一? 2 h ，u 一g h ) a h ( 口h 一“，y h u h ) + a h ( u ，v h u ) 一a h ( u h ， h 一? 2 h ) | | 一u l i hl i v h u h h + a h ( u ，v h 一 ) 一f ( v h u ) ， 竺垒! 兰! ! ! 二竺垒2 二! ! ! 皇二竺皇2 i h 一“n 令n ：铲( q ) _ 为线形插值算子，定义为 和 h u = u l a l + u 2 a 2 + u 3 a 3 ，对c a r e y 元， 4 1 7 h u = u ( o i ) 风( 。，) ，对w i l s o n 元 t = 1 因为“是( 1 1 ) 的解，有 n h u ( a ) = “( o t ) x ( n ；) ，i e h h u f “ ( 1 2 2 ) 因此，在( 1 2 2 ) 式中取= h “，可得到 1 1 u - ? 2 h l l n c l l u - - n h u + 坐掣) ， ( 1 2 3 ) 这里，= u g h 。 则( 1 2 3 ) 式右端第一项可估计为( 见 9 , 1 0 ) 1 0 - 下面，我们估计( 1 2 3 ) 式右端第二项，即相容误差。 厶= a h 心，州i ) 一，( 叫j ) ，由格林公式得 ( 1 2 5 1 a h ( u ，1 1 h ) 一，( 咖) l kv u v h d x d y 一5 n f h d x d y k j h 一点& ( ，+ u ) h d x d + 鑫k 舞 h d x d ( 1 2 6 ) ( w ，面 ) = ( w ，瓦丽) = ( 钾，丽j 互= j 万一( “一x ) ) + ( 叫，“一x ) + ( t n ，豆瓦豇 ) 注意到在q + 中一“= ，在卿中一a u ，则在f 2 中删0 ，且 注意到 叫( 让一x ) d x d y = 0 ，i e ( w ，札一x ) = 0 j n i i h x = x ( a i ) a i ， 3 砒= u h ( a i ) a i ， 2 = 1 或x ( a d p , ( x ，) i = 1 或 u h ( a i ) ) ( ( o e ) ，p i ( x ，y ) 0 ，九0 因此，一i i h x 一峨0 ，并且 由引理1 1 ，成立 0 为与h 和 腑无关的常数。 证明我们首先在标准单元上进行分析，令 雪( 也，。) 2 付( n 一血飞f 蛾+ 2 ( 缸一| a 飞 。钿+ ( 也一也7 ) 心叻 ( 2 6 ) 当矗户时，有砬= 矗，所以b ( 缸，o ) = 0 ，又因为p a ) = 户u 2 q ，抒) ，所以 只需考查也= f 2 目和砬= 2 的情况。 当血= 2 叩时，舀= 2 f q ，也q = f 2 ， 矗3 = 也4 = 1 ，证1 = 砬2 = 一1 ，也1 f = 也3 f = 2 ，包2 = 血4 f = 一2 ，矗l 口= 砬2 q = 血3 ”= 缸4 q = 1 ， 由( 2 3 ) 式可知，砬7 = r ，所以， ( 矗一_ a 1 ) 艇= 2 r ，( 缸一砬。) ”= 2 ，( 也一缸7 ) q q = 0 ( 27 ) 当也= ? 7 2 时，矗f = r 2 ，砬q = 2 7 7 ， 矗3 = 也2 = 1 ，血1 = 也4 = 一1 ，位1 = 也2 = 也3 e = 矗4 t = 1 ，f i , q = 血3 ”= 2 ，五2 q = n = 一2 ， 由此，也7 = ， ( 矗一缸7 ) f = 0 ，( 也砬) f = 2 r ，( 乱一也1 ) = 2 ( 2 8 ) vi 识， i 鞋a p a n 1 ，) ，唾 s p o n 1 ) ， ) 町q s p a n 1 ，叩) ， ( 2 9 ) 将( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 ，9 ) 分别代入( 2 6 ) 式并逐个计算，可得到b ( 缸，i ) = 0 ，v 0 识 综上，v o 玩，成立， 雪( 乱，o ) = 0 ，v 矗p 3 ( 詹) ( 2 1 0 ) 一1 6 由h i l b e r t b r a m b l e 引理和仿射变换，可得 i 台( 也，o ) e l 也1 4 ，蟊1 0 1 2 ，j e a m 4 。，耳i “1 4 ，k l v l 2 ，k ，v o ( 2 1 1 ) 所以， m “一u 。，”) l 2 鑫厶【( 札一“批z + 2 ( u 一) 。，”+ t - - u i ) v f 训d z o f 2 磊。k 【急( 也一也飞。娃+ 2 赤( 矗一赴飞”i 钿+ 奄( 也一心捣目心叩 墨c i 2 b ( 也，o ) sc 螈2 1 缸1 4 j,k1012, c ；2 4 。l u l 4 ，l o l 2 ，k c h 2 i u l 4 ，n l l v l l 2 ，h ( 2 1 2 ) 我们有如下超逼近性质。 定理2 1 设札瑶( q ) n h a ( q ) 为问题( 2 2 ) 的解，“7 为其在v h 上的插 值，矿为问题( 2 4 ) 的解，则 1 l u “一u i 忆 c h 2 m 4 n ( 21 3 ) 证明由”。的定义和引理2 3 ，并令”= 矿一乱。，成立 = a h ( u “一u 7 ，矿一“7 ) = n hu 一钍+ 一札， 一u ) = a h ( u u 。，v ) + f ( v ) 一a h ( u ，v ) c h 2 l “l t ，n l l v l l 2 ， + 1 i ( v ) 一卿。( u ， ) 即 i i u 一h u l l 2 ， c h 2 l u l 4 ，n + 丝也胖 ( 2 - 1 4 ) 下面在各向异性网格( 不妨设h 。 h ，) 下估计( 2 1 4 ) 式右边第二项，即相容 误差。 f ( v )k ( 2 u ) v d x d y k 一e & v ( a u ) v v d x d y + 蛋厶等等d s k e k “ 磊。& “捌z d + 磊k 掣池一占。k 扎跏 1 7 又因为 所以， 鑫& 舢如出d y 2 蠡肿一+ u v y ) 捌+ 占。厶( ”+ u y y 。) 血d y 2 南。o k ( “$ ”z z + “”+ 2 札。，”z ，) d x d 一k e j h 如膏( 熹嘉赛暴；嘉) d s 2 吼( 叩) 一点k ( 0 2 u o 。v 一甓舞) d s 。 叩) 一弛2 k e j hk ( “两0 2 u t 丽o v d s + 画r 0 萨o v d 磊。掣喇s = l i t + 1 1 2 + n 3 下面分别对( 2 1 5 ) 式右边的三项作估计。 ( 2 1 5 ) 毛。汹a 2 , , 、o v d s 菇( 正。一心池d + 点( 丘一姚 d 。 2 1 6 我们这里只给出( 2 1 6 ) 式右边第一项的估计，第二项类似。 定义局t ”= 南如； d s ，i = 1 4 ，则有丘( 一 ) d s ：0 ，江1 。4 。由此， 蠡一心u 删z 曲 2磊。一polumz)池一polvz)d一丘。(。一p03u。)(一pod o 3 ) d 引nt 。 d j 2 善。y o + h v 札“( 。+ k ，f ) 丽1 y o 吨+ h v ”z 。( z 。十，v ) d v ) ，、 ( ( 茁o + z ，) 一南j ：y ”o - - + h b v ( 。o + h ry ) d y ) d y 、 一k 吕。一f 目y y 。o 一+ b h 儿f ( u 一( 。7 b ，鲈) 一面1 。，f 。y o + ，h ，u “。( 跏一 。，) d ) ( 。x o h z ，) 一击e 善书( z o 。，y ) d y ) d y ， 1 8 - 注意到 ( 。+ h x , g ) 一击堞y o 一+ b h y ( 。+ 。，y ) d y = 丽1 。y o 砘- c h y 。j 。( 。+ k ，g ) 一( z 。一) 冲 = 丽1j 口y 。o 一 + h ，y 岳扛。+ k ，2 ) 8 2 出 = 而1 y o + b h up z ( 。+ k ，) d 出 = 赤麝戈彤w x y ( z 。一k ，g ) d y 出 ：i z o 一 。，可) 一丽1 片y 。o 一- i - b h 。u z x o h z ，y ) d y 所以( 2 1 7 ) 式可写为 = 上y o + h h u 【u z z ( z o + h z ，掣) 一u z 。 o n 。 可j k 苫e j h 群4 ：y o + h yj 黧1y o + 糍h ，；：东慧攀麓淼： 一j ；。一b 面【e 。h ( u z 。( + k ，) 一“一【z o n 。，圳j o 一k嚣ejh燃誓-1-hz。,t)哺-u=蚰=(xo-地h=,t)，)沪dt螗mdyyo+hu ly o + h u也，硼捌州9 = ，善，联一b 1 巩l j 口。一彤甍( u z t ( 茁。+ k ，。) 一“( 。一2 ) ) 以m 1 “朋。9 二零篡糍y o 一+ ；h ，y 。y 磊f x o + h a 茹0 2i t z 描t 1 y o + h y y o + h ，薯耘删毛 篆毫一旷w 麟品，羽以m 2 曲弘脑胪曲。) 利用s c h w a r t z 不等式，可得 璧t鬟纂髫髭xo+h。4h h o + h ur y o + h 。i 舞兹x o 娄+ h 。篙阳拙叫d 埘 。吣。一h 【j 蛐呐旷t lf 塌也【蔷知“z z ( ，。删m j d 9 ( 2 1 9 ) s4 。 l u l i ，kj ；y 。o 一+ b h yj ；：y o 一+ b h v i f t l d t d y = 詈k h 4 l u l 4 2 ，k ， ：襞篓胁( x o + h = , y ) d y d t ) 。d y i 奎1 甓y o + h y 麟y o + h 。搿隅2 执m 州帕 眨。， 嘉e 一。咖m ，旷t 1 劈u m ( 珈+ k ，g ) o f m f 。w 墨击k 。j ! y o + h ，y 坳f u o 咖+ h 。i 一。i d g 出 = 凳雌k 将( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 代入( 2 1 8 ) ，得到 磊。( 山。一坛) 札z 曲石。警州。，n( 2 c h 2 1 “1 4 1 1 v 1 1 2 ， 同理， k e j h ( z 一如a ) u ，9 ”d 石曼g r 2 i 1 4 ”i 2 一( 2 2 2 ) 由( 2 1 6 ) ，( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 可得 类似于。的估计，下式成立 对。的估计如下。 其中 l c h 2 川4 i v l l 2 ，h 1 1 2 c h 2 i u ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 山= 鑫k 掣础 三喜麓翠竺驰吨黜一州茁2 印 = 高。( 止。一止。) 掣( 口一删g + 磊。( 如一丘) 掣( ”一训茁 a = 。善，( 。一见) 必o n ( u i h v ) d s ：。善，谶掣( z 怕，f ) ( ”一 ”) d y 一麟掣( z 咱，) ( ”一厶”) d 引 = ，善，e y 。o 也+ h y x 一+ x o 磐( 。，y ) d z ( ”一i h w ) s ：；y 。o 一+ h h yl j 。x 一+ 。x 。o ! ；磐( z ，v ) a z ) 2 d 1 lr 。e ，y 一。+ h 。v 、口一 ) 2 d 引 s “ 。j ：一( 磐( 。，f ) ) 2 出。，、”一”) 2 酬 - , i f y o + h y2 h 4 ，x 【片a - x 。o b ( 一 ) 2 d 引 d ，l l r e y 。+ h l l t ihc,u。lul y o + h u 又因为， f 。y 。o + h ，。( 一i h v ) 2 d y = h y l 一厶。) 2 d z 墨h f 忪一 堋a 霞 h y l | o 一厶i 1 i i 费 hy雕霞(227) = h y 屈 ( 爨) 2 + ( 怒) 2 + ( 器) 2 l d d n = k 瞰( 貉) 2 + 2 ，2 ( 巍) 2 + ；( 寄) 2 ( k h v ) _ 1 d z d y 茎 z 3 一1 2 2 k 由( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 可得， a c h 2 i 圳 忆h 同理， b 茎c h 2 l ul 4 1 1 u l l 2 ，h 所以，有 一1 1 3sc h 2 i u l 4 i l v l l 2 ，h ( 2 2 8 ) 由( 2 1 5 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 及( 2 2 8 ) 式可得， i a hu ，u ) 一，( 删c h 2 i 1 4 川2 ，h ( 2 2 9 ) 把上式代入( 2 1 4 ) ，定理得证。 对于整体超收敛的研究我们将另文给出，同时我们将用此来分析 1 9 】中八 自由度矩形板元。 2 1 3 平面弹性问题的各向异性矩形非协调元逼近 研究纯位移平面弹性问题在各向异性网格下的一个新的非协调矩形有限元 逼近，发现当l 。”罐常数a _ 。时，该单元是非闭锁的。通过运用新颖的特 殊技巧得到了能量范数及三2 范数的最优误差估计，从而克服了传统有限元方 法对网格剖分要求满足正则假设，拟一致假设等严重缺陷，拓宽了非协调有 限元的应用范围 3 1 各向异性有限元空间的构造和一些引理 考虑纯位移平面弹性l 司题： 一“诃一p + a g r n d d 1 7 毫三：篓譬j c 。- ) 这里a ，弘是l a m d 常数，a ( 0 ，。) ，p 阻1 ，p 2 】，0 h y ，并令h = 。m ，a ，x ( h 。，h 口) 。设参考元为矗= 一1 ，1 ；一1 ，1 】，边 中点分别为a ，( o ，一1 ) ，5 2 ( 1 ，o ) ，a 3 ( o ，1 ) ，a 4 ( 一1 ，0 ) ，四中点所在的边依次记为z - ， 如酞。i ； 从窗到k 的仿射变换取：膏。k 定义为 + 憾 ( 35 ) y o + h u r l ， 引理3 2 v 。h 1 ( 霞) ，钒= 由坛。d s ，( i = 1 4 ) ，则存在唯一的m s p a n 1 ，r l = 户l ( 膏) ，使得满足 而1 五n 诎= ( 扛1 4 ) ( 3 6 ) 及 吼+ 。3 = 0 2 + 钒，( 3 7 ) 证明设m = a o + n 。f + a 2 r l ，分别在磊，( i = 1 4 ) 上对上式两边积分得 a o a 220 l ，a o + a 2 = 0 3 ，a o + a l = 0 2 ，a o a l = 0 4 又 心l + 0 3 = 西2 + 0 4 ， 解得 舶：；魂+ 如+ 如+ 吼，。：；。奶一瓯，8 。：；。如一讥， 舶2 i ( i l + 0 2 + 0 3 + 吼) ，8 l 2 i ( 奶一。4 ) ，8 25 互( 。3 一讥) 故上述插值是适定的，且 血i = ；( 。+ 。2 q - v 3q - 。t ) + ；( i 。一。a ) + i ( 。一。t ) 卵 ( 38 ) 引理得证。 引理3 3n 是具有各向