（计算数学专业论文）各向异性外问题的区域分解算法.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明； 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示了谢意。 “ 作者签名：叠塑 日期： 型坐：竺 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅：有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：差煎 口争擘 朱藏硕士学位论文 2 0 0 4 年4 月 摘要 本文借助区域分解思想并基于自然边界归化理论，以一类各 向异性常系数椭圆方程外问题为例，研究此类无界外区域问题基 于椭圆边界上的自然边界归化的区域分解算法( 重叠型和非重叠 型区域分解算法) 对非重叠型区域分解算法，研究了算法的收敛 性及它与r i c h a r d s o n 迭代法的等价性，给出了离散情形d - n 算 法，详细地分析了算法中松驰因子的选取，并给出了数值实验 对重叠型区域分解算法，利用投影理论，证明了连续型算法在能 量模意义下的几何收敛性，详细地分析了算法的收敛速度，也讨 论了算法的离散化及有限元处理，并给出了相应的数值实验理 论分析和数值结果表明，所给出的算法可行且非常有效 关键词：各向异性问题，椭圆型人工边界，外问题，自然 边界归化，区域分解 摘要 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h r o u g ht h ei d e ao fd o m a i n d e c o m p o s i t i o n m e t h o da n dt h et h e - o r yo fn a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s b a s e do nt h e n a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o no na ne l l i p t i cb o u n d a r y w h i c hi n c l u d e so v e r l a p p i n g a n dn o n - o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ，a r ei n v e s t i g a t e df o rak i n d o fa n i s t r o p i ce l l i p t i cp r o b l e mw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t si na ne x t e r i o rd o m a i n f o r n o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，w ep r o v et h ec o n v e r g e n c eo f t h ea l g o r i t h m ，a n de q u i v a l e n c et ot h er i c h a r d s o ni t e r a t i v ea l g o r i t h m d i s c r e t e d na l g o r i t h mi sg i v e n t h ec h o i c eo ft h er e l a x a t i o nf a c t o ri sa n a l y z e di nd e t a i l s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ep r e s e n t e d ，f o ro v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，w ep r o v et h eg e o m e t r i cc o n v e r g e n c ef o rc o n t i n u o u sa l g o r i t h mi n t h es e n s eo f e n e r g yn o r mb ym e a n s o f p r o j e c t i o nt h e o r y ，a n a l y z et h ec o n v e r g e n c e r a t eo ft h ea l g o r i t h mi nd e t a i l a n dw ea l s od i s c u s st h ed i s c r e t i z a t i o no ft h e a l g o r i t h ma n di t s f i n i t ee l e m e n ti m p l e m e n t a t i o n s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s a r ea l s og i v e n t h e o r e t i c a la n a l y s i sa sw e l la sn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a to u r m e t h o d sa r eh i g hp e r f o r m a n c ef o rs o l v i n ga n i s o t r o p i ce x t e r i o re l l i p t i cp r o b l e m s k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i cp r o b l e m ，e l l i p t i c a r t i f i c i a l b o u n d a r y , e x t e r i o r p r o b l e m ，n a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ( n b r ) ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) 朱薇 硕士学位论文2 0 0 4 年4 月 前言 在科学和工程计算同题中，我们常常会遇到无界区域上偏微分方程边值问题的数 值计算这时若用求解有界区域问题的传统的有限元或有限差分法来处理这类问题往 往会遇到很多困难近鹱年来，为了解决这一难题，各种方法应运而生，如无限元法【2 5 】， 边界元法f 7 , 8 ，1 5 ，1 7 ，2 7 ，3 5 ，基于人工边界条件的近戗方法f - 3 ，6 ，9 ，l o 】，有限元与无限元耦 合法。有限元与边界元耦合法【1 7 ，2 6 ，2 7 ，3 2 】，区域分解法 4 ，5 ，1 2 ，1 5 1 9 ，2 1 ，2 4 ，2 8 。3 1 ，3 3 ，3 4 等 等其中，边界元方法是求解无界区域问题的一类极为有效的方法 边界元方法是将区域内的微分方程边值同题归化到边界上离散亿求解的一种数 值计算方法，其基础在于边界归化，即将区域内的微分方程边值问题归化为在数学上 等价的边界上的积分方程边界归化的思想早在十九世纪已出现。但将边界归化应 用于数值计算并为此目的的深入研究边界归化理论则是从二十世纪六十年代才开始 的，并且随着计算机的广泛应用得到蓬勃的发展边界元方法已被广泛应用于弹性 力学、断裂力学、流体力学、电磁场和热传导等领域的科学研究和工程技术的数值计算 边界归化的途径有很多。不同的边界归化途径可能导致不同的边界元方法二 十世纪七十年代末，我国学者冯康先生和余德浩教授首创并发展7 自然边界元方法 8 ，1 5 ，1 7 ，2 7 】它是由g r e e n 函数和g r e e n 公式出发，将微分方程边值问题归化为边界上 的强奇异积分方程，然后化简相应的变分形式在边界上离散化求解的一种数值计算方 法自然边界元方法相对于一般边界元方法来说具有很多优点：易于实现，数值稳定 性较好，且与有限元方法基于同一变分原理，可以与有限元自然直接地耦舍，以及在 处理无穷区域及断裂区域对仍保持理想精度等等但它也有明显的局限性，因为对一 般区域而言，g t e e n 函数往往难以求得 另外，二十世纪八十年代随着并行计算机和并行算法的发展而发展起来一种偏 微分方程数值解的新技术一区域分解算法f 2 1 它具有很多其它方法不可比拟的优越 性如把大问韪化为若干小问题，缩小计算规模；可在不同子域采用不同数学模型； 子域上允许使用已有方法；可并行计算等等，它为边界元方法在无界区域上的应用 提供了新的途径，因此，受到人们的广泛关注 3 的胄 4 二十世纪九十年代中期，余德浩教授首先提出了无界区域问题基于自然边界归化 的区域分解算法 2 8 ，2 9 ，这一算法同时具备了自然边界元法和区域分解算法的优点其 基本思想为：先引入人工边界，将无界区域分鹅为一个有界区域f l l 和一个典型的无 界区域n 2 ，然后在这两个子区域n l 和n 2 上交替求解相应的子问题，从而获得原问题 的数值解通常，在有界子区域n - 上使用有限元方法，而在无界子区域n 2 上使用自 然边界元方法由于n ，通常取的“很小”。所以使用有限元求解n 1 上的子同题时，计 算量和存贮量均很小另外在子域n ：上应用自然边界元方法求解相应的问题时也 仅需在典型边界上进行简单的计算于是，原问题的规模变小，并且可以并行求解 该方法已成功地用于求解许多无界区域问题，如，二维双调和方程外问题 3 4 】。三维 p o i s s o n 方程外问题【1 6 ，三维调和方程外问题【1 2 】，二维h e l m h o l t z 方程外问题【1 9 ，3 1 】， 等等 本文研究的是一类各向异性常系数椭圆微分方程的d i r i c h l e t 边值问题不同于 余德浩教授在文【3 2 】中提出的耦合算法本文巧妙地利用坐标变换及调和方程椭圆边 界上的自然积分算子提出了各向异性外问题基于圆型或椭圆型人工边界的重叠和非 重叠型区域分解算法 本文主要分为两部分内容：第一章为各向异性外问题的非重叠型区域分解算法， 亦称d i r i c h l e t n e u m a n n 交替算法我们构造了相应的算法，分析了算法的收敛性及松 弛因子的选取，并给出了数值算例第二章为各向异性外问题的重叠型区域分解算 法，亦称s c h w a r z 交替算法，证明了算法的收敛性，详细分析了算法的收敛速度也 讨论了算法的离散化及有限元处理并给出了相应的数值实验 朱蕞硕士学位论文 2 0 0 4 年4 月 1 1 引言 第一章非重叠型区域分解算法 外问题有着广泛的科学和工程背景如声波扩散、光波的散射、电磁波的辐射与 绕射等问题都可归结为偏微分方程外边值问题用数值方法求解外问题的一个很自然 的想法就是引入人工边界，将全部或者大部分的计算工作效到一个有界的区域上去 完成因此，近些年来产生了很多有效的方法( 可参见前言中的相关描述) ，如基于人 工边界条件的有限元法，有限元与边界元耦合法，有限元与无限元耦合法和区域分解 算法等特别是区域分解算法克服了耦合法中刚度矩阵不再是带状稀疏的，已有的有 限元程序不能直接使用等困难，因此受到许多研究者的广泛关注对一些典型方程， 如二维调和方程和h e m h o t z 方程，它们的外问题的重叠、非重叠型区域分解算法都 已经为大家所熟悉 1 9 ，2 8 ，2 9 ，3 1 - 本章借助于【2 9 3 1 1 的方法，以一类各向异性常系数椭圆方程为例，巧妙地利用坐 标变换及调和方程椭圆边界上的自然积分算子，研究各向异性问题基于圆或椭圆人 工边界的非重叠型区域分解算法，并讨论其离散同题迭代的收敛性，证明其收敛速度 与有限元网格粗细无关，同时也详细地分析了连续型算法的收敛性及松驰因子的选 取数值例子的计算结果与理论分析完全一致 1 2 问题的描述和d n 交替算法 考虑如下各向异性常系数椭圆微分方程的d i r i c h l e t 边值问题 其中b a 0 ，u 在无穷远处有界，r 是分段光滑的闭曲线，n 是r 的外部区域作半 径为r l 的圆周r 1 包围r ( d i s t ( r ，r 1 ) 0 ) ，则n 被分为两个子区域：有界子区域n l ( r 与r 围成的环型区域) 和无界子区域n 2 ( 以r l 为内边界的外区域) 于是，我们提出如 下d i r i c h l e t - n e u ma _ n n ( d n ) 交替算法： 步1 任取初始值a ( o ) 口 ( r 1 ) ，且置女= 0 0 内 上 c ： r 仉 如 | | i i 塑妒。 6+ 塑舻 o ，、【 第一章非重叠登区域分解算 圭 6 p6 髦篇 。辔掣扎 啪 步4 在r 1 上置a ( + 1 ) = 民“i 1 + ( 1 一艮) a ( 步5 置= + 1 ；转步2 ( 1 2 ) r 1 上， ( 1 3 ) r 上 在以上算法中，步3 通常用有限元方法求解，而步2 用自然边界元求解注意到 求解步3 时仅需要步2 在f 1 上的法向导数，所以完全不必求解步2 只需利用其自然 积分方程直接由 ( ”求出誊即可为此，我们在下一节给出问题( 1 2 ) 的自然积分 方程 1 3 各向异性问题的自然边界归化 考虑如下椭圆型微分方程的d i r i c h l e t 边值问题 和n e u m a n n 边值问题 ( 1 4 ) 。孬c q 2 u + 6 酽0 2 u = 。，n 丸 ( 1 5 ) 帆爱m 筹邓r 上 其中d = m 。，n 。) 为r 上关于n 的单位外法线方向附加在无穷远有界的条件，这些问 题是适定的今设b 口 0 ，求解区域n 是中心在原点，半径为r 的圆周f 的外部 则亓= 一( 丢，盖) 特别地，当。= 6 时，问题( 1 4 ) 和( 1 5 ) 便为相应于各向异性问题的 调和问题 第一章非重叠鲞区城分解算法 7 为了得到各向异性问题的自然积分方程，采用坐标变换z = 、礤，”= 、蜥此 时方程口爱+ 6 铬= 0 简化为关于 ，”的调和方程a u 爨+ 镣= 0 圆周边界 r 化为椭圆边界于= ( 已q ) l 群+ 5 , 7 2 = 舻) 。圆外区域q 化为椭圆f 的外区域孬， 孬= ( f ，q ) id 2 + 切2 舻) 再设f = 击c o s ，目= 击s i n a ，则f 上任一点( f ，”) 处的外 法线方向为扩= 一了= = ：= 亡蕊( 面c o s 忆娟s i n 妒) 于是，原同题( 1 4 ) 和( 1 5 ) 化为与 之等价的具有椭圆边界的调和边值问题： + j 址器+ 等= o ，诋( 1 。) l u = u o ， f 上 滢黧，；呈 。=：f，。oc 。o ；。s h 。# p c 。o ；。s 妒 舯 ：厚咖她辔 = 、窨咒脚= ，n 筹 f = “p ，妒) ：p = p o ，妒 o ，2 霄 ) ，孬= “p ，l p ) ：p p o ，妒 0 ，2 】) 若令j ( p ，妒) ：l 薰薰l ，则，( p ，妒) ：靠( s i i l l l 2 p c o s 2 l p + c o s h 2 usn 2 , u s i n 2 ) 易得 若令j ( p ，妒) = l 盐釜j ，则，( p ，妒) = 靠( s i i l l l “ ) 易得 f 缸a pi j ( v o , e ) = 罢( 6 s i n 2 _ p + n c 幽) 由于 所以 令 ( 17 ) ( 1 8 ) 山，p ) ：扣( p ) + 妻( “p ) c o s n w + k ( 小胁l p ) ( 1 9 ) “( m ) = 扣p ) + ( n n ( p ) k ( p ) s l n n l p ) ( 1 - 9 ) u ( 加，u ( m ) = i 1 咖) + 薹( 。n ( m ) c o s 咐嘣蒯n n 妒) ( 1 1 0 ) 州小；卜( 删) c o s ，z ( 砒 6 。( p 。) = ；z 2 ”u ( 一。，) s i n n 妒d 妒 他= 1 2 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 第一章非重叠蛩区域分解算法 8 将( 1 9 ) 式代入( 1 6 ) 或( 1 7 ) 中的第一式可得 ( p ) 一r 2 a 。( p ) = 0 ，n = 0 ，1 ，2 ( 1 1 3 ) ( p ) 一n 2 k ( p ) = 0 ，n = l ，2 ，( 1 1 4 ) 我们分别求解( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 常微分方程，便可得到n 。与6 n 实际上，( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 可 统一写为： x ”( p ) 一n 2 x ( u ) = 0( 1 1 5 ) 易知，( 1 1 5 ) 的基本解组为e “，e “所以 x ( u ) = c l e n z + 岛e “ 由于l i me “4 = + o 。，所以 x ( u ) = 仍e 一”( 1 1 6 ) 由( 1 1 6 ) 式及( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 式便可得o 。( p ) 与6 。( p ) ： n 。( p ) = e n m 一曲n 。( 舢) = ；e n ( p o - - z ) z “( 伽，) c 。s n 妒d 妒， 嘣= e n ( u o u ) b n ) = ；e n ( u o - u ) 卜“蚰) s i n n 妒 蜕 所以，由( 1 9 ) 式可得 u c 一，妒，= - - 。i 薹e n u 。- u ) ，1 2 “c 。s n c 妒一妒，u 。c ，幻，c 如 。， + 去小。c 谳。 或 咖，加击薹0 0 钟州“1 j c c o s 以旷m “一，) 州h 那。 1+r 2 其中e 。= 1 ，n = 。，e 。= 2 ，n 。由于对卢 脚，e 州m 一) = ( 罟) “ 脚( 1 。)”( 胁纠。i ；r 上万i 蕊= 历瓦丽而p 脚驯 上述( 1 ，1 7 ) ，( 1 1 8 ) 和( 1 2 0 ) 均为f o i s s o n 积分公式的不同表述形式 蚺一章非重叠型区壤分解算法9 由于 钆。= 恕嚣= ；1l “羔- 、r v , t7 z ， 瓦h3 0 瓦2j = 百瓦7 = 两。妒 ( 1 。2 1 注意到c o s 9 = 1 2 s i n 2 ，所以 再注意到 可得 利用卷积定义可得 飘= 新。掣 瓦o u = 一丽1 瓦o u ，r ，o t -瓦2 一了丽瓦1 o 瓦u 一磊1 了元1 示两厶f “巫s i n 业2 却 瓦。一磊乃丽两厶4 妒 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 酬，；瓦o q u = 而南( 一丢州纠) ，上 z t ， ( 1 2 4 ) 式即为所要求的自然积分方程如利用( 1 ，2 2 ) 及( i 1 7 ) 或( 1 1 8 ) ，我们立即可得 = ；而南薹n 2 。c o s n c 枷w ，。s ， 再回到原圆外区域q ，并采用极坐标( r ，p ) ，便可得边界1 1 上的自然积分方程 g ( r 朋一蒜* u 0 ( 础) ( 1 2 6 ) 其积分算子与调和方程( a = b = 1 ) 相比只多了一个因子 磊因此，由调和方程在圆 周上的自然积分算子的连续性与v 椭圆性即知上述积分算子的相应性质，该积分方 程在差一个常数意义下的解的适定性也随之而得其离散化的刚度矩阵为 、口6 。= 、d 地n ，( 1 2 7 ) 其中的计算公式已在【2 7 】第二章中给出特别地，在对r 均匀剖分的情况下采用 线性捶值，则 = 警薹扣等产，幻一， 其中为r 上均匀剖分时的节点数由表达式可知，矩阵。= ( ) v 。为对称循 环矩阵，且只须求【譬 + 1 个数即可得到q 在计算q l j 时，其无穷求和通常用有限项 第一章非重叠鲞区墟分解算法 1 0 求和代替。计算量均比较小 今设边界为椭圆f = ( z ，) l n z 2 + 卢”2 = 砰) ，考察椭圆外区域的d i r i c h l e t 边值问题 ( 1 4 ) 和n e u m a n n 边值问题( 1 5 ) 其中a = ( n 。，n v ) 为r 上关于n 的外法线方向，卵 d 口 0 仍作变量替换z = v 连，= 炳，于是边界化为为椭圆于= ，) f 2 + 6 ”2 = r 2 ) ， 于上的外法线方向为 征一忑惹( 伍一口，厕咖日) m ! 姿器饵篓 1乩正丽万巧涵而# 。 ”一 【8 v 一正赢番虿再两“ ，o = 等置= i n 等等 可得积分方程 咖卜面纂斋弱 上s i n 2 s i n 22 。u o ( 7 “o , q o ) 一j ，烈妒j 一历而意霞鬲磊霉l 一 回到原区域边界f ，并注意到在边界上妒= 0 ，便得自然积分方程 ，c 加一面蔫斋萧 上s i n 2 2 。s i n 22 。恤c 昆纠 9 渺) = 一历蕊蕊零丽【一+ 呦惮一 在离散化求解此自然积分方程时，注意到在椭圆边界r 上 出= 去扛i 百蕊觑 容易得到离散化刚度矩阵为 石b “】。n ，其中同前所述，也只是比圆外调和 方程名了一个 磊因子 第一章非重叠蛩区域分解算法 1 4d - n 交替算法的交分形式及其离散格式 问题( 1 3 ) 的变分形式为：求u p h 1 ( n 。) ，且u p l r = u o ，使得 州”，咖一上。卜警慨警) v d s , v v $ 椭z 。， 其中 酬”朋= 肌喾赛+ a 喾磊) 姚 曙( n 1 ) = ：口1 ( n 1 ) ， 卜= o j 将圆周f l 等分为n 份，并在n - 中进行有限元剖分，使其在f - 上的节点与r 的 等分点重合，可以得到如下d n 交替算法的离散格式： 及 步1 步2 步3 初始a ? 日 ( r 1 ) ，并置k ：= 0 j ，。辔+ s 警乩啪，。， 【u ： = a ， r 上 求u 默日1 ( n ，) ，u i 簟卜= u o ，使得 州孙归一胁掣慨警) v d s , v v 恻 。” 譬+ 1 = 巩u ：簟+ ( 1 一靠) 竽， r 1 上 k 引= 0 k o o 0 1 i k l“k l lu l = i i o k o f u 矿 a ( + 1 ) = 以u p + ( 1 一“) a ( ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 第一章非重叠型区域分解算法 1 2 其中u i “，u 5 ”，晡分别表示在人工边界r l 上、区域n l 内和内边界r 上的函数值向 量b 由n 2 上的自然边界元得到左边矩阵是由n 1 上有限元得到由于【1 上给定 d i r i c h l e t 边界条件。使得u 矿= u o 为常向量，所以经过约束处理得 ( 瓢：) ( 剐= ( 一引 s s ， 其中f o = 一k i o u o 定理4 1 离散d n 交替法( 1 3 5 ) ，( 1 3 4 ) 与如下预处理r i c h a r d s o n 迭代法等价 证明 设i u l ，u 。】7 是如下方程组的解 ( k 攀圳( 蛤( ) n 利用分块矩阵初等行变换得 ( k l l k l ；k i l k t l + b ) u l = 一k t i k i l f o 即 s h u l = f o 将( 1 3 7 ) 式改写成 与( 1 3 5 ) 式相减得 ( 鞋：) ( 玲( 一b u ) s s ， ( k i ! 剐( 窭净( 刮小) 同样，由分块矩阵的初等行变换可得 s ：l ( u i ”一u 1 ) = b ( u 1 一a ( ) 从而可得 鳍( a ( + 1 ) 一a ( 2 ) = 叽嚣( u i 剐一a ( ) = 口kl u s ( 1 ) 、t v t l ( 舯一u 1 ) + s 0 ( u 1 一a ( ) = 民( b + 霹) ( u l a ( ) = 靠甄( u 1 一a ( ) ) = 民( - 0 一鼠a ( ) 埽 叫瞒 一 k 一 ? 山 0 b小 一嚣 l i 舻 艮掣 嵫 k k i | 嚣 中其 第一章非重叠型区域分勰算法 1 3 定理得证 定理4 2 设预处理r i c h a r d s o n 迭代法( 1 3 6 ) 的迭代矩阵的谱半径为p ，则存在与 子区域n l 上的有限元网格参数h 无关的正数口，使得p 口 定理4 3 若取以= e ( k = 0 ，1 ，2 ，) ，则存在一个与子域0 l 上的有限元阿格参数 h 无关的参数d ( o d 1 ) ，使得当0 r ) 且中心在原点0 的两个同心圆， “o = o 。e “9e 日1 7 2 ( r ) ，g l = b 1 n le 2 “9 + b o 日_ 1 7 2 ( r 1 ) 第一章非重叠登区域分群算法 1 4 存在唯一的解 “( r ，妒) n # 0 + 如+ r 1 6 0 1 n 云 r 引理5 1 的证明可由分离变量法易得 + 。 令e i r ，= 一 ( ) = c 。e ”9 由于在r l 上有 m = 而卜去州妒) 2r巍r( 。塾旧州，) 一 。、伍萨而= _ 瓦而厶l 。兰之”“”“ 一面萧。曼m 矿” 一 r l 、，五五_ f i 。苫5 ；互_ 石m 三二”“。q “。 于是e i 满足 根据引理5 1 其中 于是，在r 1 上有 一a e5 ) ：o e p l 0 ， n 1 内 r 上， 娑：一土4 - 0 0 川，f 。上r肌 1 。苎名” 1 一 e i = 一如( r ) e “9 h m ( r ) 。 e i q = 一c 。h m ( r ，) e ”9 f 差“州1 m _ - ( 14 3 ) k _ 尉 一 一石 一、 羔一 驯辔 等 盟妒 第一章非重叠鸾区壤分解算法1 5 从而 于是有 则有 ( e i q ) = 一雨赢零v 伍赢雨曼+ o o 忡。( 月- ) e 嘶 a 矿e i k + 1 ) ：一j c ( a - a ( k + - ) ) ：( ( 日。u p ) + ( 1 一口。) ( ”一a ) = 一扫j i c ( e p ) 一( 1 一毋t ) ( 一a ( q ) ：鱼一+cor p 。( 冠。) 一1 + 巩) 产， 2一ixa s i n 2 l p + b c o s 2 ，邑m 峄1 ) 叫州j 8 ” 若记 萨) = ：”。 刮”观厮。邑m 2 万1 丽m _ _ 一 一) - 2 佩。曼m 2 丽1 蚶( ( 剐一靠) 2 = ( 1 - s k ) 2 e ( k ) + 2 佩，兰舻杀杀小m 卜以如c 剐( 靠( r ) + 2 6 k - 2 ) 设 6 2 i n f 2 + h 。( r 1 ) ， o 其中z 是全体非零整数的集合由计算得6 = 2 3 如果取以，k = 0 ，1 ，2 ，满足0 巩d ，则有 e ( + 1 ) ( ( 1 一民) 2 e ( ) 于是，当k - y 。时，e ( ) 单调下降趋于零，由迹定理得 c e ( k ) _ 0 _ + o 。 ( 14 4 ) r 1一9 e i r e 毋 一1 。 + 口 或 第一章 非重叠型区域分解算法1 6 + 1 ) = 2 厮。蔓舻万1 丽慨p ( 剐- 1 + o k ) 2 = 。曼m 2 击小胛2 0 h - 1 - 2 0 t 日m ( r 1 ) j ) 2 = ( i - 2 0 t ) 2 e ( k ) 4 - 8 厮曼“2 了丽1 卜巩( 剐( 以如( 剐 - 2 0 k + 1 ) 其中 月二f r ，) ，：旱：! ! ：! 二! 生! 墨12 ( r - ) 2 雨母丽5 = 等型 设 1 。2 恶瓦瓦雨汀，m zz ml 几lj 其中z 是全体非零整数的集合由计算得一= z 3 同上分析，如果取o k ，k = 0 ，1 ，2 ，满足j 以 1 ，则d n 交替算法也收敛 综上所述，0 o k 0 ，求解区域n 是中心在原点半径为 的圆周r 的外部， 第二章重叠蛩区壤分解算法 2 1 即f = ( z ，9 ) i 一+ 2 = r 2 ) ，则再= ( n z ，n p ) = 一( 贵，盖) 特别地，当o = b 时，( 2 1 ) 和 ( 2 2 ) 便为相应于各向异性问题的调和问题 为了得到各向异性问题的p o i s s o n 积分公式和自然积分方程，采用坐标变换z = 碡， y = 、，卸此时方程。豁+ 6 静= 0 简化为关于f ，q 的调和方程u 5 静+ 静= 0 圆 周边界r 化为椭圆边界f = ( ，q ) l 2 + 6 ，7 2 = j 护) 圆外区域n 化为椭圆r 的外部区 域孬，即孬= ( f ，q ) i 2 + 蛔2 r 2 再设f = 击c o s o o ，q = 罴s i n 仍则r 上任一点( f ，q ) 处的单位外法线方向为声= 一 ! ，= = 芒( i c o s 协娟s i n l o ) ，原问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 化 为与之等价的以椭圆为边界的调和问题 其中 r 雾+ 氅翌 f 一雾+ 券一o ， 孬内 l舅= 忑高! 菰霉，f 上【历。丽磊零丽 1 上 引进椭圆坐标( p ，妒) ，它与直角坐标有如下关系 ，o = 、等足加 f = ( p ，妒) ：p = 蜘，l p ( 0 ，2 】 ，矗= ( p ，妒) ：p p o ，妒【o ，2 7 q ) 若令j ( p ，妒) = i 萋豢l ，则，( p ，妒) = 疗( s i l l h 2 , u c o s 2 l o + c o s h 2 # s i n 2 妒) 易得 若令j ( p ，妒) = i 盖耋l ，则，( p ，妒) = 疗( s i l l h h 1 n 2 妒) 易得 io pa pl 加鬈i n 2 谚 利用f o u r i o r 级数展开，可得 “( m ) = e ：z - e a z 。2 rf 0 2 ”万丽啬黔面而酬 ：三董小。刊l “c 0 8 咖叫) 。( 蜕p 蛐 2 r rn 氢 j o ”。 c 删= 嘉= 丽1 _ 志撕m ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 妒 妒 瞄 如 p p 出 血 舾触 = f l q ，(l 第= 章重墨型区域分解算法 其中为对变量妒的卷积，i p 【o ，2 r r 】 江一忑忌手蓊丽痂删，徊咖站 雕! 纛、o t c o s 2 # 磊+ 3 s i n 20 饵f i 弛n , o u 江s ， 1#l 、吖 【历2 了翥蓑零辛翥雨叼 1 工 再采用椭圆坐标 = ，0c o s h pc o s 妒，叼= 矗s i n h ts i n 妒 ，o = 1 等脚删n 霈誓 可得p o i s s o n 积分公式 咖m = 气竽z 2 ”两再兴蟛而砒t t o , ( 2 。) 及自然积分方程 咖，= 面盖斋面 _ 南汹翮j 仁 烈纠2 面蕊忑零i 雨露l 一研“叭加印) j p “ 2 3s c h w a r z 交替算法及其收敛性 考虑各向异性常系数椭圆微分方程的d i r i c h l e t 边值问题( 2 1 ) ，n 为分段光滑闭曲线 r 的外区域采用坐标变换z = v ，碡，y = j - v o 后，( 2 1 ) 中的微分方程等价于调和方程 ( 2 3 ) 构造两共焦椭圆于l = ( p ，妒) ip = p l ，妒 o ，2 丌】) ，f 2 = ( p ，妒) lp = p 2 ，l p 【o ，2 】) 包围f ( 其中d i s t ( f 2 ，于) o ，p l p 2 o ) ，则孬被分为：有界环型区域磊1 ( f l 和亍围成的 区域) 和无界区域孬。( 以f 2 为边界的外区域) 记 五。，= 孬n 而：， 孬。= 磊。n 磊。，磊。= 孬。n 翕； 第：章 重叠型区墟舟群算法 2 3 其中啦表示吼的补集0 = l ，2 ) 再记u ：= ( k ，i = 1 ，2 我们给出如下s c h w a r z 交 替算法： f 筝+ 第一o ， 鼬， 1u i 硝= f 上，k ：1 ，2 ， ( 2 1 1 ) 【“= u 。) ，f 。上 及 警+ 筝- o ，确， 【u = u 扎f 2 上，= l 2 其中“p 日i ( f 1 ) 任意给定，例如一般可取为0 求解孬。上的问题( 2 1 1 ) 时可采用有 限元法，而问题( 2 1 2 ) 实际上并不需求解。因为只需要知道边界于，上的函数u 的 值，“妒可以利用p o i s s o n 积分公式( 2 6 ) 或( 2 9 ) 得到记 v = 川”嘲( n ) ，。培= o ， u = ”f 日1 ( o i ) ， 培= 0 ，”b = o 】， = | ”孵( 孬2 ) ，训元= o ) ， 铲= u i e 日1 ( 菇1 ) ，u b = “0 ，”h = u r l ， 其中州( 西) ：= ”f 了嚣事嚣盖丽，赘，器p ( 菇) 为通常的s o b 。l e v 空间 问题( 21 1 ) 等价的变分形式如下：给定逆“”，求“i 1 k “，使得 d l ( “p ， ) = 0 ，v u 其中d i ( u 。) = 止v u v vd f 却，t = 1 ，2 零延拓函数u 5 1 与u ：到矗上，只需要置 “i ”i 翕，。= “一1 ， u 1 i 翕。= “i ) 于是有 u i “一u 。h ，u 5 “一u ，k 问题( 21 1 ) 与( 2 1 2 ) 的变分形式可分别写为： f d i ( u i 。) 一“， ) = 0 ，v h iu ：“一u - 1 ) k f d 2 ( “一u ， ) = 0 ，v e k 1“扩一u i ” ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 第二章 重叠墅区域分解算法2 4 其中u 是问题( 2 3 ) 的解，设心：矿_ + k ，i = 1 ，2 ，表示y 到k 按能量泛函d i ( ，) 的正 交投影则( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式可写为： d l ( u p 一u 字- 1 ) u ) = d 1 “一u 擎- 1 ) ，口) ，v 。u d 2 ( u 一u p ， ) = d 2 ( u 一p ， ) ，v k 进而有 心辇乏蹬k = 1 , 2 , - - - i “一。 = ( u 一“p ) ， 又由于u u - 1 ) = u u i + u i “一u - 1 ) ，u i ”一u _ 1 ) h ，所以u u i ) 时类似有 u 一屹。因此( 2 1 5 ) 式等价于 是篡：耕，。 令e 5 = u u ：“，i = l ，2 则 女= 1 ，2 ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 于是 、 涎芝搿：篇_ 皿 le k - e ” = 叭， ” 显然( 2 1 8 ) 式表明，若 e ) ， = 1 ，2 ，收敛，则必收敛于时n 时 引理i 空间v ，k 满足：v = h + ，时n 时= o ) ；f 理2 存在正常数岛，使得对所有”矿成立 ”1 1 1 , a s c o ( 1 i p v = ”幢6 。+ l i 尸k ”旺6 。) 其中”1 1 1 , 自代表能摄模、压丽，i = 1 ，2 并有 引理1 的证明参见文 2 s ，引理2 的证明参见文【2 1 】中第七章引理2 1 或文f 2 8 定理1 l _ + i m 。喊忆5 = o ，i ：1 ，2 ，且存在常数n 【0 ，1 ) ，使得 i i 坼忙1 1 坼峪a ， 畔+ 1 】| | 1 1 6 ，扩峭，噼i i 。，6 ，s 枷e 1 1 1 ，a ：，= 1 h 2 一 定理1 表明上述s c h w a r z 交替算法是几何收敛的其证明可参见文1 2 8 的方法 一 ， 汕2仆， e e 附肘 = = 恤仆2 ，j(， 第二章重叠强区域分弊算法 2 4 收敛速度分析 对于一般的无界区域很难定量地分析上述s c h w a r z 交替算法的收敛速度，但对 典型区域而言可以较精确的分析出算法的收敛速度为此，今设变换后的区域是椭 匮月r = ( ，妒) m = m ，l p 【o ，2 】) 的外部区域，r l = 似，l p ) m = p l ，妒 0 ，2 州) ，r 2 = ( p ，妒) i p = p 2 ，妒【0 ，2 z 】) 分别是与r 的共焦椭圆，且p l 枷 0 设e ( p ，妒) = o 。e ”，则e i l l ( p ，妒) 满足方程 n l 内 f 上( 2 1 9 ) r 1 上 e ；1 ) ( m ) = + o o 蒜篙蔫a n e z n 。+ 警掣 n o 限制到r 2 上有 她鼢加登蒜= 纂吣一+ 警裂 n 壬0 应用( 2 1 2 ) 中的第二式，我们注意到e ：1 ( p 2 ，妒) = e i l l ( p 2 ，妒) ，由p o s s i o n 公式( 2 6 ) 便可 得到当p p 2 时 1 + 。 ，2 e m 一。三e l n l ( u 2 - u ) 上c o s 嘶叫) e i l ) ( 州川 一 。 ：釜小协。叫揣= 三蒜等蚶一 限制到f 。上有( 利用( 2 1 1 ) 中的第三式) e i 2 】( p 1 ，妒) = e 9 ( p 1 ，妒) ：=， 、川( p 2 一如) 一h ( 邯一p ) = e i ”“2 一“i ；j i ；：；：。i j i i ；：= ：爵n n e “9 n 0 妒弘 ， ，扣2 0 0 e = = = n ，