（计算数学专业论文）二阶常微分方程组初值问题的legendregauss和广义laguerregauss配置方法.pdf

摘要 微分方程数值解法是计算数学的主要研究方向之一，也是大规模科学计算的重要 组成部分本文研究微分方程( 组) 三大数值解法之一的谱方法及其应用谱方法最 受人青睐的优越性在于它具有谱精度，即方程的真解越光滑，其数值解也越精确因 此，已成功地应用于科学和工程上的各种线性和非线性实际问题的数值计算，例如， 计算量子力学、数值天气预报、大气环流问题和海洋问题的研究与数值模拟 在科学与工程上，许多实际问题的数学模型是常微分方程初值问题目前，对一阶常 微分方程的研究，相关的理论已经非常成熟，人们也已经构造出许多有效的计算方法， 相关的参考文献浩如烟海，参见b u t c h e r 【6 - 8 】，h a i r e r ，n o r s e t t 和w a n n e r 【4 6 ，h a i r e r 和w a n n e r 4 7 ，h i g h a mf 4 9 1 ，l a m b e r tf 5 7 1 ，s t e t t e r 8 0 ，s t u a r t 和h u m p h r i e sf 8 2 1 等 等对于哈密顿系统，我们可以应用辛差分格式求解，见f e n g 【2 6 】，f e n g 和q m 【2 5 ， h a i r e r ，l u b i c h 和w a n n e rf 4 5 1 ，以及s a n z - s e r n a 和c a i r o1 7 1 1 等等 对于二阶常微分方程初值问题数值方法的研究，无论在理论还是实际应用上，都 是一件非常重要而有意义的工作另外，对许多非线性发展型方程如k l e i n g o r d e n 方 程和s i n e - g o r d e n 方程数值求解时，通过某种空问方向上的离散后，最终也会得到一 些二阶常微分方程( 组) 对此类方程，可以将它们化为一阶方程组后进行求解当 然，为了节约计算成本，我们也可以考虑对它们进行直接求解参见f e h l b e r g 【2 2 】， k r a m a r z 【5 5 ，k u o 和v a z q u e z 【5 6 1 ，f r a n c o 【2 6 】，v i g o - a g u i a r 和r a m o s 【8 4 】以及 k o n g u e t o f 和s i m o s 【5 4 】等等然而，据我们所知，目前还没有一种针对二阶常微分 方程初值问题的具有谱精度的算法其主要困难在于我们很难设计一种合适的算法并 对它的数值误差进行精确估计 本文中，我们提出了两种求解二阶常微分方程初值问题的数值方法数值实验展 示了这些方法的高效率和高精度，并与理论分析相吻合 第一章，概述本文的研究背景、目的和主要结果 第二章，我们研究一类计算二阶常微分方程初值问题的新的数值方法我们构造 了基于l e g e n d r e - g a u s s 插值的配置方法，证明了它们具有谱精度，数值例子显示了该 方法的优越性，即比通常的差分方法节省计算时间。并具有更高的精度 在第三章中，我们研究了一类基于l a g u e r r e - g a u s s 插值的新配置方法并应用于 二阶常微分方程初值问题我们证明了它们具有谱精度，数值结果也显示了它们的高 效率和高精度另外我们还发展了以广义l a g u e r r e 函数为基函数的另一类配置方法， 数值结果展示，该新方法同样具有谱精度 关键词：l e g e n d r e - g a u s s 配置方法，广义l a g u e r r e - g a u s s 配置方法，二阶常微分方 程，初值问题，谱精度 a b s t r a c t t h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si so n eo ft h es u b j e c t s o fc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s 笛w e l la sa ni m p o r t a n tp a r to fl a r g e - s c a l es c i e n t i f i c c o m p u t i n g i nt h i st h e s i s ，t h es p e c t r a lm e t h o d ，w h i c hi so n eo ft h et h r e em a i nn u m e r i c a l m e t h o d sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i si n v e s t i g a t e d t h ef a s c i n a t i n gm e r i to fs p e c t r a l m e t h o di si t sh i g ha c c u r a c y , i e ，t h es m o o t h e rt h ee x a c ts o l u t i o n ，t h em o r ea c c u r a t et h e n u m e r i c a lr e s u l t s t h e r e f o r e ，i th a sb e e na p p l i e ds u c c e s s f u l l yt on u m e r i c a ls i m u l a t i o n s o fm a n yp r a c t i a lp r o b l e m s ，s u c ha st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c s ， w e a t h e rp r e d i c t i o n ，o c e a np r o b l e m s ，a n ds oo n m a n yp r a c t i c a lp r o b l e m sa r i s i n gi ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n ga r eg o v e r n e db yi n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ( i v p s ) o fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e s ) t h e r eh a v eb e e n f r u i t f u lr e s u l t so nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rf i r s to r d e ro d e s ，s e e ，e g ，b u t c h e rp 8 】， h a i r e r ，n o r s e t ta n dw a n n e r 【4 6 】，h a i r e ra n dw a n n e r 【4 7 】，h i g h a m 【4 9 】，l a m b e r t 【5 z l ， s t e t t e r ( s o a n ds t u a r ta n dh u m p h r i e s s 2 f o rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，w er e f e rt ot h e s y m p l e c t i cd i f f e r e n c em e t h o d ，s e ef e n g 【2 6 ，f e n ga n dq i n 【2 5 】，h a i r e r ，l u b i c ha n d w a n n e r 4 5 】，a n ds a n z - s e r n aa n dc a l v o 7 1 i ti 8a l s oi m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gt oc o n s i d e ri v p so fs e c o n do r d e ro d e s f o r i n s t a n c e ，a f t e rs p a c i a ld i s c r e t i z a t i o n ，m a n yn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，s u c ha sk l e i n - g o r d e na n ds i n e - g o r d e ne q u a t i o n s ，a r er e d u c e dt oc e r t a i ns y s t e m so fs e c o n do r d e r o d e s w em a yr e f o r m u l a t es u c hp r o b l e m st os o m es y s t e m so ff i r s to r d e ro d e sa n d t h e ns o l v et h e mn u m e r i c a l l y w h e r e a s ，f o rs a v i n gw o r k ，i ts e e m sr e a s o n a b l et os o l v e t h e md i r e c t l ys o m e t i m e s ，s e e ，e g ，f e h l b e r g 【2 2 1 ，k r a m a r z 【5 5 】，k u oa n dv a z q u e z 【5 6 ， f r a n c o 2 6 1 ，v i g o - a g u i a ra n dr 舡n o si s 4 1 ，a n dk o n g u e t o fa n ds i m o s 【5 4 1 h o w e v e r ，s o f a r ，t h e r ei sn on u m e r i c a lm e t h o dw i t ht h es p e c t r a la c c u r a c y , f o ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m s o fs e c o n do r d e ro d e s t h em a i nd i f f i c u l t yi sh o wt od e s i g np r o p e ra l g o r i t h m sa n d a n a l y z et h e i rn u m e r i c a le r r o r sp r e c i s e l y i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s e dt w on u m e r i c a li n t e g r a t i o na l g o r i t h m sf o rt h ei v p s o fs e c o n d - o r d e ro d e s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n si n d i c a t et h e i rr e l i a b l ee f f i c i e n c y , a n d c o i n c i d ew e l lw i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eo u t l i n et h em o t i v a t i o na n dt h em a i nr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yan e wn u m e r i c a lm e t h o df o ri v p so fs e c o n d o r d e r o d e s w ep r o p o s e dan e wc o l l o c a t i o nm e t h o db a s e do nl e g e n d r e - g a u s si n t e r p o l a t i o n ， a n dp r o v e di t ss p e c t r a la c c u r a c y n u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h em e r i t so ft h i sa p p r o a c h ， i no t h e rw o r d s ，i ts a v e sal o to fc o m p u t a t i o n a lt i m ea n dp r o v i d e sm o r ea c c u r a t er e s u l t s t h a nm a n yc o m m o n l yu s e da l g o r i t h m s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed e v e l o pan e wc o l l o c a t i o nm e t h o d sb a s e do nt h eg e n - e r a l i z e dl a g u e r r e - g a u s si n t e r p o l a t i o na p p r o x i m a t i o nf o ri v p so fs e c o n d - o r d e ro d e s n u m e r i c a lr e s u l t si l l u s t r a t ei t ss p e c t r a la c c u r a c y w ea l s ot a k et h eg e n e r a l i z e dl a g u e r r e f u n c t i o n s 鸽b a s i sf u n c t i o n st od e s i g na n o t h e rc o l l o c a t i o nm e t h o d n u m e r i c a le x a m p l e s a l s od e m o n s t r a t ei t se f f e c t i v e n e s s k e y w o r d s ：l e g e n d r e - g a u s sc o u o c t i o nm e t h o d ，l a g u e r r e - g a u s sc o l l o c a t i o n m e t h o d ，s e c o n d - o r d e ro r d i n a r ye q u a t i o n s ，i n i t i a lv a l u e sp r o b l e m s ，s p e c t r a la c c u r a c y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工 作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已发表或撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 鹤3 倚 日期坳8 t 7 衫 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 彳瓢 名。纠卿嗍嘶尹 l e g e n d r e - g a u s s 和l a g u e r r e - g a u s s 配置方法 第一章绪论 1 1 研究目的 在现代科学与工程计算中，许多实际问题的数学模型可归结为常微分方程的初值问 题对于一阶常微分方程初值问题，人们已经发展了许多有效的数值解法，例如r u n g e - k u t t a 方法和线性多步方法这些方法的基本思想是，通过t a y l o r 展开或数值求积公 式构造差分格式关于这些方法的详尽描述，相关文献浩如烟海，参见b u t c h e r 【6 - 8 】， h a i r e r ，n o r s e t t 和w a n n e r 【4 6 ，h a i r e r 和w a n n e r 4 s ，h i g h a m 【4 9 ，l a m b e r t 【5 7 ， s t e t t e r s o 以及s t u a r t 和h u m p h r i e s 8 2 】等对于h a m i l t o n i a n 系统，我们可以应用 辛差分格式进行求解，参见f e n g 2 6 ，f e n g 和q i n 2 5 ，h a i r e r ，l u b i c h 和w a n n e r 【4 5 】 以及s a n z - s e r n a 和c a l v o 【7 1 】等的有关工作 近年来，对于二阶常微分方程的数值方法的研究越来越受到人们的关注，因为这 类问题在科学与工程的许多领域中都能碰到，比如天体力学，量子力学【5 9 ，6 0 】，理论 物理与化学，电子学等等因此，发展这类问题的数值方法也是一个很有研究价值的 工作此外，许多非线性波动方程，例如k l e i n - g o r d e n 和s i n e - g o r d e n 方程，按某种方 式在空间方向离散后，往往导致二阶常微分方程( 组) 对于这类问题，可以先将它们 转化成一阶微分方程组但是，在应用隐式格式进行求解时，每一步都不可避免地要 求解一些代数方程组，所以加大了待求解方程组的阶数，大大地增加了计算量特别 对于非线性问题，每步都要求解个非线性方程( 组) ，例如采用n e w t o n 或拟n e w t o n 法求解，计算量的增加就更大了因此，为了减少计算量，人们致力于寻求二阶常微 分方程的直接解法 为记号方便起见，我们用霹v 表示= 妄在众多的文献中，大部分的工作主要是 针对模型问题霹u = ，( 阢) 一般而言，解此类问题的有限差分方法大致可以分成二 大类 第一大类数值方法的共同点是，它们要求问题的周期或者振荡频率为个已知量， 也就是说所构造的方法的系数与问题的频率有关此类方法的优点在于，如果事先知道 问题的频率或对问题的频率有一个较好的近似则数值解的相位也可以非常好地逼近 精确解的相位这类方法中有代表性的工作包括指数拟合方法( e x p o n e n t i a l - f i t t e d ) 、 三角拟合方法( t r i g o n o m e t r i c a l l y - f i t t e d ) 、线性多步方法以及其他各种混合方法等关 于此类方法的详细描述，可见文献c o l e m a n 和d u x b u r y 【1 5 1 ，g a u t s c h i 【3 0 ，k o n g u e t s o f 1 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 和s i m o s 5 4 ，s i m o s 7 3 ，7 4 1 ，s i m o s 和t s i t o u r a s 【7 5 ，s i m o s 和w i l l i a m s 7 9 ，s t i e f e l 和b e t t i s 【8 1 及其他参考文献特别地，对于s c h r s d i n g e r 方程，目前已有一些高效 率的算法，例如，可见s i m o s 和v i g o - a g u i a r 7 6 _ 7 8 】所做的工作 第二大类有限差分方法就是所谓的常系数方法这类方法的优点在于它们的系数 与所要解决的问题无关，因而适用范围更广泛，例如，s c a l e dr u n g e - k u t t a 方法，r u n g 争 k u t t a - n y s t r s m 方法，线性多步方法，混合( h y b r i d ) 方法，s t s r m e r - c o w e l l 方法，配置 方法和预估校正方法等等，参见c a s h 1 0 ，c h a w l a 和r a o 1 2 ，c o l e m a n 1 4 ，f e h l b e r g 2 2 ，h a i r e r 【4 4 ，k r a m a r z 【s s ，l a m b e r t 和w a t s o n 5 8 ，p a g a g e o r i g i o u 和f a m e l i s 6 5 ， p a g a g e o r i g i o u ，f a m e l i s 和t s i t o u r a s 6 6 ，p a g a g e o r i g i o u 和t s i t o u r a s 6 7 ，6 8 ，r a m o s 和v i g o - a g u i a r 6 9 】，v i g o - a g u i a r ，s i m o s 和f e r r n d d i z 【8 6 】及其他参考文献此外，关 于守恒型差分格式，可见k u o 和v a z q u e z 5 6 】等 目前，对于一般的模型问题群u = f ( o t 弘配t ) 的数值方法的研究，已有的结果相 对较少，对这类问题，通常的办法是应用r u n g e - k u t t a - n y s t r 5 m 方法，s d r k n 方法以 及线性多步方法等进行求解，参见c h a w l a ，a l - z a n a i d i 和a l - g h o n a l m 11 ，d o r m a n d 和 e l - m i k k a w y 【1 6 ，f a l k n e r 【2 1 ，f r a n c o ，g o m e z 和r a n d e z 【2 7 ，h a i r e r 和w a n n e r 4 7 】， h o u w e n 和s o m m e i j e r 5 0 ，5 1 ，h o u w e n ，s o m m e i j e r 和c o n g 5 2 ，m e y e r ，v a nh e c k e 和b e r g h 6 3 ，v i g o - a g u i a r 和r a m o s 【8 4 】及其他参考文献也有一些作者提出其它方 法，例如，基于样条函数或者c h e b y s h e v 多项式的高精度配置方法，见e i - h a w a r y 和 n a h m o u d 2 0 ，s a l l a m 和a n w a r 7 0 】以及v i g o - a g u i a r 和r a m 0 8 【8 3 】等 作为微分方程三大解法之一的谱方法，在理论研究和实际应用方面已有大量的工 作众所周知，谱方法的最大魅力是它具有谱精度，即原方程的解越光滑，适当的谱 方法所求得的近似解越精确谱方法的主要思想是以正交多项式或正交函数为基函数 构造算法由于正交系的快速收敛性，此类方法所得的数值误差在某种s o b l e v 空间中 快速收敛因此，它已成为微分方程数值求解的又一强有力工具参见，b e r n a r d i 和 m a d a y 4 】，b o y d 5 】，c a n u t o ，h u s s a i n i ，q u a r t e r o n i 和z a n g 9 】，f u n a r o 2 9 ，g o t t l i e b 和o r s a g 3 1 】，和g u o 3 2 】特别地，我们也可以用l a g u e r r e 多项式或者l a g u e r r e 函 数来逼近定义在半线上的微分方程的解，见f u n a r o 【2 9 ，g u o 和s h e n 3 3 ，g u o ，s h e n 和x u 【3 4 ，g u o 和x u 【4 1 ，m a s t r o i a n n i 和m o n e g a t e 【6 2 】，m a d a y p e r n a u d - t h o m a s 和v a n d e v e n 6 1 ，s h e n 【7 2 】以及x u 和g u o 8 9 】等等此外，我们也可以用t a u 方法求 解微分方程，有关的工作可见b a n k s 和w a d e 【2 】，e i d a o u 和o r t i z 1 7 ，1 8 ，e i d a o u ， o r t i z 和s a m a r a 1 9 1 及o r t i z 6 4 】等 2 l e g e n d r e - g a u s s 和l a g u e r r e - g a u s s 配置方法 最近，g u o 和w a n g 3 7 】针对一阶常微分方程初值问题发展了一种新的l e g e n d r e - g a u s s 配置方法g u o 和w a n g 【3 8 】以及g u o ，w a n g ，t i a n 和w a n g 【3 9 】还提出了 l a g u e r r e 配置方法，这些方法也具有谱精度此外，针对一阶常微分方程初值问题， v i g o - a g u i a r 和砒哪0 s 8 5 】也提出了一种具有a 稳定性的高阶精度配置方法然而， 至今还没有计算二阶常微分方程初值问题的具有谱精度的算法其困难在于，既难构 造合适的算法，也很难从理论上精细地分析数值解的误差 1 2 主要结果 本文中，我们考虑如下模型问题， 眇 ：吖 婴y o l 吣坯l ( 1 2 1 ) la , u ( o ) = v o ，u ( 0 ) = 、。 这里，和分别表示o t u ( t ) 和u c t ) 的初始状态，右端函数( z i ，z o ，t ) 为一给定 的已知函数我们以4 - 1 个移位的l e g e n d r e - g a u s s 插值点构造了一类新的配置方 法，并应用l e g e n d r e 正交多项式直接逼近精确解该方法易于数值实现，特别适合求 解非线性方程我们还应用j a c o b i 插值逼近的最新结果( 见g u o 和w a n g 3 6 】) 分析 了数值解的误差由于正交系的快速收敛性，这种方法具有谱精度也就是说，精确 解越光滑，所得的数值解越精确而且，即使精确解带有某种弱奇异性，此种格式仍 然保持高精度这是通常的差分方法和有限元方法所不具有的诱人优势 理论上来讲，总可以通过选取充分大的节点数达到我们期望的精度然而，选 取太大的会增加计算复杂性因而我们提出了一种多步方法，我们将时间区间分成 多个子区间在第一步中，我们选取适当多的节点，然后利用单步l e g e n d r e - g a u s s 配 置法计算原方程在第一个子区间上的数值解，然后，以第一步中求得的数值解及其导 数在子区间右端点的值为初值，应用上述方法计算第二个子区间的数值解重复上述 过程就得到整个区间上的数值解这种方法不仅简化了计算并且可以得到更精确的结 果 大量的数值结果表明了l e g e n d r e - g a u s s 新配置法及其相应多步方法的优越性， 并与理论分析相一致特别是与其它有关方法相比较，该类方法计算时间少而精度更 高 3 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 其次，我们考虑下面模型问题 ， j 群u ( t ) = f ( o t u ( t ) ，u ( ) ，t ) ，t 0 ，199 、 io t u ( o ) = v o ，u ( o ) = v o ， 这里和分别表示系统o , u ( t ) 和u ( t ) 的初始状态，右端函数( z 1 ，z o ，t ) 是一个 已知函数我们构造了以+ 1 个广义l a g u e r r e - g a u s s 插值点为节点的两类新配置 方法这些方法容易操作，且特别适合于求解非线性方程由于广义l a g u e r r e 正交多 项式系的快速收敛性，这种方法所求得的数值解在某种加权的s o b o l e v 空间中全局收 敛，并且具有谱精度，这也是此方法特有的优点此外，广义l a g u e r r e - g a u s s 插值的 最大插值点大约是4 n 对于大的时刻t ，我们总可以选取适当大的求出对应时刻 的近似解因此，这种方法特别适用于长时间计算 在实际计算中，我们同样不希望通过选取太大的，以牺牲计算量来确保精度或 者求得长时间的近似解另一方面，广义l a g u e r r e - g a u s s 插值点在远离原点时分布很 稀疏如果原方程的真解在这些区域振荡得非常厉害，我们可能丢失真解的许多有用 信息基于上述原因，我们提出一种多步方法首先，我们选取合适的节点数，利 用单步广义l i l g u e r r e - g a u s s 配置法求出原方程的最初近似解然后从第个节点所 在的时刻开始计算，再次利用前面的方法修正原问题在以后时刻的近似解不断重复 上述修正过程，我们就得到比单步方法更精确的数值解由于在每一步中，我们选取 适当的，因此该方法简化计算并且导致更精确的结果 大量的数值结果表明了l a g u e r r e - g a u s s 新配置法及其相应多步方法的优越性，并 与理论分析相一致与其它通常的有关方法相比，它们节省许多计算时间，并提供更 精确的数值解 本文中还研究了另一类数值方法即以广义l a g u e r r e 正交函数为基函数的配置方 法它适用于解属于l 2 ( 0 ，o 。) 的各种问题数值结果验证了这一论断 1 3 本文结构 本文第二章研究了关于模型问题( 1 2 1 ) 的新配置方法在2 1 节中，我们简单 介绍l e g e n d r e 多项式的性质，并应用j a c o b i - g a u s s 插值的最新逼近结果( 见g u o 和 w a n g 3 6 】) 导出一些l e g e n d r e - g a u s s 插值的逼近结果在2 2 节和2 3 中，我们 分别构造了l e g e n d r e - g a u s s 配置方法及其相应的多步方法，并证明了它们的谱精度 在2 4 中，我们讨论了二阶常微分方程组的数值方法在2 5 中，我们用一些数值 4 l e g e n d r e - g a u s s 和l a g u e r r e - g a u s s 配置方法 例子来展示新方法的高效率和高精度在2 6 中，对该章的主要内容作一个简单小 结 在第三章中，我们研究模型问题( 1 2 2 ) 的新配置方法在3 1 节中。我们发展 以广义l a g u e r r e 多项式为基函数的配置方法首先，我们讨论广义l a g u e r r e - g a u s s 插值接着，我们构造了广义l a g u e r r e - g a u s s 配置方法及其相应的多步方法，并证明 了它们的谱精度在3 2 节中，我们研究以广义l a g u e r r e 正交函数为基函数的配置 法在3 3 节中我们提供了大量的数值结果，它们显示了广义l a g u e r r e - g a u s s 配置 方法的高效率和高精度在3 4 节中，对该章的主要内容进行简单小结 5 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 第二章l e g e n d r e - g a u s s 配置法 本章构造l e g e n d r e - g a u s s 配置方法，并证明它的谱精度数值结果显示了它的优 越性 2 1 预备知识 在这一节中，我们讨论一类移位的l e g e n d r e 正交逼近 令a = _ l i t i 0 对应的1 次移位j a c o b i 多项式 由下式定义， 哟研( ) = 产国( 彳2 t 一1 ) 根据( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，我们有 船0 ) - ( 1 ) 蹁岩，船1 ) = 跽岩，( 2 ) a 矗嚣p ( ) = 享( z + q + p + 1 ) j ；：袋j , j f f + 1 ) ( ) ( 2 1 5 ) 令x 笋卢( ) = ( 2 一擎) n ( 亍2 t ) p 我们按通常的方式定义带权的l 2 x ( r o , a ) ( o ，t ) 空间，并引进 如下内积和范数。 一t ( u ，t ，) x 笋t 卢，2 o 让( ) 口( ) x 笋卢( t ) d t ， il v ll x ，卢，2 ( ， ) 主1 ，卢) 移位的j a c 。b i 多项式系是一个完备的l 棚( o ，t ) 一正衮系而且，由( 2 1 3 ) 式可得， | i 街所i i x 笋棚= 吾耐q 助特别地，当q = = 0 时，定义移位的l e g e n d r e 多项式为 h l ( 亡) = 或o ( t ) 因此，从( 2 1 5 ) 式可知， a l 州( t ) = ；( 2 + 1 ) 篮j 2 ( ) ，。辞h f ( ) = 再1 ( z + 1 ) ( f + 2 ) 蟛之( ) ( 2 1 6 ) 移位的l e g e n d r e 多项式满足如下递推关系( 参见 3 7 】) ， o - t ( f + 1 ) l t ，l + 1 ( ) 一( 2 1 + 1 ) ( 等一1 ) l t , t ( t ) + i l t , t l ( t ) = 0 ，l 1 ， 侥l l 件1 ( 亡) 一a b f 一1 ( ) = ；( 2 l + 1 ) 三州( ) 1 1 根据移位的l e g e n d r e 多项式系的完备性可知，对于任意的秽l 2 ( 0 ，t ) ， ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ) = 静锄，咖竿卜舡皿 ( 2 1 9 ) 接下来，我们研究l e g e n d r e - g a u s s 插值用t i ，0 j n 表示标准l e g e n d r e - g a u s s 插值在区间( 一1 ，1 ) 内的n + 1 个插值节点，其对应的c h r i s t o f f e l 数记为，0 j n 移位l e g e n d r e - g a u s s 插值在区间( o ，丁) 上的n + 1 个插值节点记为勃，0 j n 它们分别为n + 1 次多项式l 7 n + l ( t ) 的不同零点，并且按升序排列显然， t 锡= i t ( 罗+ 1 ) 它们所对应的c h r i s t 。雎l 数记为喝，即喝= i t 叶n ，o 歹 7 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 用p n ( 0 ，t ) 表示所有次数不超过n 的代数多项式的集合由标准l e g e n d r e - g a u s s 求积公式的性质可知，对于任意的砂伤+ 1 ( o ，t ) ， z t 酢) 班= 吾( 吾( 汁1 ) ) 出= 虿t 萎n ( 吾( + 1 ) ) = 薹噶她劫( 2 1 1 。) 我们又引进如下的离散内积和离散范数， ( 乱，v ) t , n = 让( ) 秒( ) 蛾， 正= ( t ，秽) ；1 ， ( 2 1 1 1 ) 由( 2 1 1 0 ) 式，对于任意的既( 0 ，t ) 和矽p 2 n + i ( 0 ，t ) ， ( 咖，妒) t = ( ，砂) t ，n ，i i i i t = i i i i t , n ( 2 1 1 2 ) 下面，我们引进l e g e n d r e - g a u s s 插值由+ 1 个插值节点所定义的插值多项式 2 = t , n v 巩( o ，t ) 由下式唯一地确定， 五u ( 勃) = u ( 蟛j ) ，0 歹n 因此，由( 2 1 1 0 ) 和( 2 1 1 2 ) 式可知，对于任意的咖既+ 1 ( o ，t )