（计算数学专业论文）几类特殊矩阵特征值反问题与矩阵方程问题.pdf

硕士学位论文 摘要 代数特征值反问题是数值代数领域的重要研究课题之一它在数学物理，粒子 物理，量子力学，地球物理学，分子光谱学，结构设计，参数识别，自动控制等领域 有着广泛的应用 矩阵方程中的线性矩阵方程和非线性矩阵方程是数值代数的另一类重要课题 它们在生物学，光学，电子学，动态规划，统计学，系统控制等领域有重要应用 本篇硕士论文研究了如下几类特征值反问题与矩阵方程问题 1 系统地研究了下面两个子周期j a c o b i 矩阵特征值反问题 问题i 给定两组实数集入= ( 入1 ，a 2 ，a n ) ，p = | p 1 ，肛2 ，一1 ) ，满足 入l p 1 入2 a n - l p ，l 一1 入n ， l 盯( r ) = 【a 1 ，a 2 ，入n ) ， 1 麓：之嚣胁q l 入1 p l x 2 入n 一1 ，k 一1 k ， 以及一个正数，求一子周期j a c o b i 矩阵岛，使得 i 盯( & ) = a l ，a 2 ，入n 】- ， 仃( & 一1 ) = p l ，坳，脚一1 ) ， ib i b 2 k l 鼯) = p 给出了问题i ，i i 有解的充分必要条件以及有唯一解的充分必要条件，并且给 出了可行稳定的数值算法 2 系统研究了如下几类线性矩阵方程中的最小二乘问题 问题i i i 考虑矩阵方程 钙i i liaxellf，px 。 其中a ，b 舻黼，f 表示f r o b e n i u s 范数，p c 彤黼 问题i v 考虑矩阵方程 m i r l i i a x b c 峙，xe p 。 其中a 砂黼，b 舻r ，c 妒”，f 表示f r o b e n i u s 范数，尸舻黼 i i 几类特殊矩阵特征值反问题与矩阵方程问题 问题v 考虑矩阵方程 m i ni i a x + x b c 0 矿， 五， 其中a ，b ，c 彤黼，i | i | p 表示f r o b e n i u s 范数，pc 一舻黼 讨论了上面几个问题中p 分别为一般t o e p l i t z 矩阵，三角t o e p l i t z 矩阵和对 称t o e p l i t z 矩阵时的解证明了上面几个问题在这几个解空间中一定有解，并且给 出了解的一般形式，同时也给出了问题有唯一解的充要条件构造了求解的数值算 法，并用数值算例验证了算法的可行性 3 最后研究了一类非线性矩阵方程中的矩阵平方根问题 x 2 ：a 其中a 为一般上三角t o e p l i t z 矩阵得到了该矩阵方程有解的充要条件，并讨论 了解的形式与个数，且用数值实验验证了方法的可行性完善和扩展了前人的部分 结论 关键词：特征值反问题；子周期j a c o b i 矩阵；矩阵方程；最小二乘解；矩阵平方根 i i i a b s t r a c t i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s ，o n eo ft h em o s t i m p o r t a n td i s c i p l i n e si nt h ef i e l d s o fn u m e r i c a la l g e b r a ，a r i s ei nar e m a r k a b l ev a r i e t yo fa p p l i c a t i o n si n c l u d i n gm a t h e - m a t i c a lp h y s i c s ，p a r t i c l ep h y s i c s ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，g e o p h y s i c s ，m o l e c u l a rs p e c - t r o s c o p y , p h y s i c a ld e s i g n ，p a r a m e t r i cr e c o g n i t i o n ，a u t o m a t i cc o n t r o l ，a n ds oo n m a t r i xe q u a t i o n ，w h i c hi sa n o t h e ri m p o r t a n ts u b j e c ti n n u m e r i c a la l g e b r a , a s s o c i a t e dw i t ht h eh n e a ra n dn o n h n e a rc a s e s ，h a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt oa s e t t i n g o fv a r i e df i e l d ss u c ha sb i o l o g y , o p t i c s ，e l e c t r o n i c s ，d y n a m i cp r o g r a m m i n g ，s t a t i s t i c s ， s y s t e mc o n t r o l ，e t c i nt h i sp a p e r ，t h ef o l l o w i n gi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sa n dm a t r i xe q u a t i o n p r o b l e m sa r ee x p l o r e d 1 ac l a s so fi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o rs u b - p e r i o d i cj a c o b im a t r i c e sa r e d i s c u s s e d p r o b l e mig i v e nt w or e a ls e t sa = ( 入1 ，k ，入n ) ，p = p l ，也，) ，s a r i s - ， i 妒n g a i p i a 2 a n 一1 一1 a n ， a n da p o s i t i v en u m b e r8 ，f i n das u b - p e r i o d i cj a c o b im a t r i xs n ls u c ht h a t i 盯( ) = 【入1 ，入2 ，a n ) ， 盯( r 1 ) = 比，脚一1 ) ， 【6 1 6 2 k l 辩) = p r o b l e mi ig i v e nt w or e a ls e t sa = 入1 ，a 2 ，入n ) ，p = p 1 ，砌，) ，s a t i s - t y i n g 入1 p 1 入2 入礼一1 一1 a n ， a n dap o s i t i v en u m b e r8 ，f i n da s u b - p e r i o d i cj a c o b im a t r i xs n ，s u c ht h a t 盯( & ) = h i ，k ，k ) ， 仃( & 一1 ) = 弘1 ，地，鲰一1 ) ， 6 1 6 2 6 n 一1 6 磬) = p t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t ya n du n i q u e n e s so f t h ep r o b l e m sa r eo b t a i n e d ，t o g e t h e rw i t ht h ef e a s i b l es t a b l en u m e r i c a la l g o r i t h m s i v 几类特殊矩阵特征值反问题与矩阵方程问题 2 s e v e r a lc l a s s e so fl i n e a rm a t r i xe q u a t i o n sa n dt h el e a s ts q u a r ep r o b l e m sa r e d i s c u s s e d p r o b l e mi i ic o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm a t r i xe q u a t i o n 五m i n ，i i a x b 1 1 w h e r ea ，b 俨黼，m e a n sf r o b e n i u sn o r i n ，p 口姗 p r o b l e mi vc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm a t r i xe q u a t i o n m ，。i n iaxbviif，px 。 w h e r ea j p x n ，b r n r ，c j p ，i | | i fm e a n sf r o b e n i u sn o r m ，p 月，n p r o b l e mvc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm a t r i xe q u a t i o n m i nl l a x + x b v i i f ，x p 1 w h e r ea ，b ，c 册黼，fm e a n sf r o b e n i u sn o r i n ，p r 似n ac o n c l u s i o nt h a tt h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m sa b o v ea r es o l v a b l ew h e n pa r es u b s e t so fg e n e r a lt o e p l i t zm a t r i c e s ，t r i a n g u l a rt o e p l i t zm a t r i c e s ，a n ds y m - m e t r i ct o e p l i t zm a t r i c e sr e s p e c t i v e l yi sg a i n e d a l s o ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h eu n i q u e n e s sa r eg i v e n ，n u m e r i c a la l g o r i t h m sa n de x a m p l e sa r e d e s i r e dt od i r e c tc o m p u t i n gp r o c e d u r ea n dt ov e r i f yt h ef e a s i b i l i t y 3 ac l a s so fn o n l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n sf o rt h em a t r i xs q u a r er o o t sa r ed i s - c u s s e d x 2 = a w h e r eai sa nu p p e rt r i a n g u l a rt o e p l i t zm a t r i x t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t y , a l o n gw i t ht h ef o r ma n dt h en u m b e ro ft h es o l u t i o n s ，a r e o b t a i n e d t h ec o n c l u s i o np a r t l yi m p r o v e sa n de x t e n d st h er e l a t e de x i s t i n gr e s u l t s k e yw o r d s ：i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s ；s u b - p e r i o d i cj a c o b im a t r i x ；m a t r i x e q u a t i o n ；l e a s ts q u a r es o l u t i o n ；m a t r i xs q u a r er o o t v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：1 黟南云 日期：加7 年6 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在 年解密后试用本授权书。 2 、不保密d ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：加9 7 年易月2 e t 日期：加7 年 月。日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义与发展概况 在数值代数中，已知一个矩阵，求其特征值或和特征向量称为代数特征值问 题特征值往往是一些自然系统( 如振动系统) 的谱属性故特征值问题的研究对 深入了解系统科学有至关重要的作用而代数特征值反问题( 代数逆特征值问题) 则是已知给定系统的谱数据，并在一定的约束条件下，构造原系统中的矩阵代数 特征值反问题的研究在数学物理，固体力学，粒子物理，量子力学，地球物理学，分 子光谱学，结构设计，参数识别，自动控制等众多领域都有广泛的应用 由于所给条件不同或应用背景不同，代数特征值反问题有各种各样的提法 1 9 9 8 年，c h u 【1 】概括描述了3 9 个特征值反问题集2 0 0 2 年，c h u 与g o l u b 2 着重 讨论了结构化特征值反问题结构化特征值反问题是指要求解的目标矩阵满足一定 的性质，如对称性，次对称性，双对称性，( 半) 正定性，带状的，上( 下) 三角形的等 j a c o b i 特征值反问题是一类研究得相对较早的经典的结构化特征值反问题 该问题描述为，求一j a c o b i 矩阵，使得该矩阵的特征值与特征向量满足给定的若 干组特征值与特征向量，其中j a c o b i 矩阵是一种特殊的三对角对称矩阵很多 应用系统中的模型都可归结为j a c o b i 特征值反问题，如弹簧一振动系统的物理参 数识别，复合摆，s t u r m l i o u v i l l e 问题等j a c o b i 特征值反问题的研究自1 9 6 7 年 h o c h s t a d t 【3 】提出一种问题模型后，已经取得了一系列的成果h o c h s t a d t 4 ，h o l d i s ， g r a y 与w i l s o n 6 】等相继地证明了该问题的存在性并给出了求解问题的算法此 后，d e b o o r 与g o l u b i v ( 1 9 7 8 年) ，p a r l u t i s ( 1 9 8 0 年) ，g r o g g 与h a r r o d 9 ，b o l e y 与 g o l u b 2 4 】( 1 9 8 7 年) ，戴华 1 0 i ( 1 9 8 8 年) 等从数值稳定性，计算量和存贮量等方面改 进了原算法所用的方法包括d e b o o r - g o l u b 算法，l a n c z o s 方法，正交化l a n c z o s 法，正交变换法等方法j a c o b i 特征值反问题的其它模型，如完全对称j a c o b i 特征 值反问题，也相应地得到了国内外许多专家学者的广泛而深入的研究 同时，一些j a c o b i 特征值反问题的变形也逐渐成为特征值反问题的一个热点 问题如1 9 8 0 年f e r g u s o n 使用离散f l o q u e t 理论分析了周期j a c o b i 特征值反问 题【1 1 】，b e l o y 与g o l u b i s 2 ( 1 9 8 4 年) ，x u s 1 ( 1 9 9 8 年) 等用不同的形式给出了周期 j a c o b i 特征值反问题解存在的充要条件，x u 与j i a n g 2 0 ( 2 0 0 7 年) 还给出了一个稳 定可行的数值求解算法本篇硕士论文，我们将讨论子周期j a c o b i 特征值反问题 矩阵方程中的线性矩阵方程是数值代数的重要研究领域之一线性矩阵方程 的求解及其最小二乘解问题在生物学，电学，光学，自动控制等线性系统有着重要 一1 一 几类特殊矩阵特征值反问题与矩阵方程问题 的应用如在橡胶结构的研究中，应变力 和位移也满足x = d i ，于是应变 矩阵x 的确定最终转化为问题m i nl l a x b i l 的求解，这一矩阵方程也源于一个 经典的古希腊p r o c r u s t e s 问题。这个伺题的一般解为x = a + b 3 s ，其中4 + 表示 m o o r e - p e n r o s e 逆 若在矩阵方程的解空间加上一定的约束条件，则人们一般称之为约束矩阵方 程迄今为止，约束矩阵方程问题的研究已经取得了丰硕的成果其中一般方法包 括通过矩阵的分解求解如s c h u r 分解，c h o l e s k y 分解，奇异值分解( s v d ) ，广义奇 异值分解( g s v d ) 3 6 1 ，标准相关分解( c c d ) 1 3 1 ，商奇异值分解( q s v d ) m l 等；以 及通过迭代法求解 非线性矩阵方程也越来越多地出现在科学与工程计算领域很多实际应用中的 模型，如动态规划，统计学，系统控制等许多问题都可归结为非线性矩阵方程的求 解矩阵平方根问题( 即求矩阵x ，使得a = x 2 ) 一直是非线性矩阵方程中的热 点问题之一矩阵平方根问题也是矩阵函数中的一类重要问题，很多矩阵函数的稳 定算法是基于矩阵平方根的计算【1 4 1 矩阵平方根的求解，目前为止，大致可以分为 两种：一种是用迭代法，包括n e w t o n 型迭代法f 1 4 】，符号函数迭代法【1 6 ) ，幂法 1 7 】 等；另一种是直接法，包括s c h u r 分解法，j o r d a n 分解法等 在约束矩阵集中，有一类矩阵称为t o e p l i t z 矩阵，t o e p l i t z 矩阵是一种各对角 线上元素相等的特殊次对称矩阵在数字信号处理等领域有许多应用，并且可以说， t o e p l i t z 矩阵是应用最广泛的特殊矩阵之一 1 2本文的主要工作及创新点 本篇硕士论文研究了如下几类特征值反问题与矩阵方程问题 第二章，系统地研究了下面两个子周期j a c o b i 矩阵特征值反问题 给定两组实数集入= 入l ，入2 ，入竹) ，p = 【p 1 ，p 2 ，一1 ) ，满足 a 1 p 1 a 2 a n 一1 一1 k ， 以及一个正数p ，求一子周期j a c o b i 矩阵& ，使得 一，入n ) ， ，一1 】- ， 8 给定两组实数集入= 入1 ，入2 ，a n ) ，p = | 肛l ，p 2 ，一1 ) ，满足 入1 p l 入2 入n 一1 0 设& 一1 表示其n 一1 阶顺序主子阵，即 岛一1 = b l 0 n 26 2 0 0 a n 1b n - 1 b n 1a n 0 o 一2b n 一2 k 一2a n - 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 设盯( a ) 表示a 的特征值的集合，类似于周期j a c o b i 矩阵特征值反问题( 见 【2 0 2 1 2 2 ) ，我们讨论下面两个问题 问题i 给定两组实数集a = l i ，沁，入n ) ，p = ( m ，舰，一1 ) ，满足 a 1 p l 入2 入n 一1 脚一l h ，( 2 3 ) 以及一个正数p ，求一子周期j a c o b i 矩阵r ，使得 一6 一 ，入，1 ) ， ，# n - 1 ) ， ( 2 4 ) m h o；蜡；o ， 1 1 入 h动o l r t 篡甜= d 而 靠靠矿 锄 硕士学位论文 问题i i 给定两组实数集a = 入l ，入2 ，入礼) ，p = p l ，p 2 ，一1 ) ，满足 入l p 1 入2 入n 一1 ，k 一1 入n ，( 2 5 ) 以及一个正数p ，求一子周期j a c o b i 矩阵& ，使得 i 盯( & ) = ( 入1 ，入2 ，入n ) ， 盯( & 一1 ) = p l ，p 2 ，一1 ) - ， i6 1 6 2 6 n 一1 辩) ： 2 2问题i 的解 ( 2 6 ) 若在( 2 1 ) 式中，& 中的元素6 乎) = 0 ，则我们称& 为j a c o b i 矩阵关于 j a c o b i 矩阵，我们有以下性质 引理2 2 1 【1 8 】对礼阶j a c o b i 矩阵厶，设妒n ( a ) ，妒驴1 ( 入) ，一2 ( 入) 分别为厶的 顺序主子阵的特征多项式，则 妒n ( a ) = ( a 一锄。) 妒n l ( 入) 一5 ，2 。一1 妒n 一2 ( 入) ( 2 7 ) 引理2 2 2 【1 8 】对竹阶j a c o b i 矩阵厶，设厶一1 是厶的礼一1 阶顺序主子式， 【九) 銎。， 心 n ：- - 1 1 分别为厶，厶一的特征值，则 入1 p l 入竹一1 脚一1 鍪1 ， 助) 署的所有元素均不相同，则( 2 1 1 ) 式有解的充要 条件为 n i 膨一九i 4 z ( - z ) 州+ 1 ，j = 1 2 一，几一1 ( 2 1 2 ) i = l 一8 一 硕士学位论文 有唯一解的充要条件为 j 。( 垂l 心一九j ) ( 垂l 心一九l 一4 p ( 一1 ) n j + 1 ) = 。，j = 1 ，2 ，竹云：3 ， 引理2 2 5 对n 阶子周期j a c o b i 矩阵，协( 入) ( i = 1 ，2 ，死) 与一1 ( 入) 的零点 具有如下交错分隔性质 入f 入一1 ) a ：三! l a ，( i - - i 入? ) ， ( 2 1 4 ) 当且仅当( 2 3 ) 式成立 证明必要性显然，因( 2 3 ) 式是( 2 1 4 ) 式的一种特殊情况 充分性首先考虑i = 礼，n 一1 ，k + 1 ，七 由( 2 9 ) 式， 妒n ( a ) = ( a 一) 妒n - 1 ( 入) 一磋一1 妒n 一2 ( a ) ， 代入心，j = 1 ，2 ，n 一1 ， 妒n ( 助) 若( 2 3 ) 式成立，则 所以， ( 入一口，1 ) 妒n 一1 ( 助) 一5 ，2 。一1 妒n 一2 ( 心) 一磋一，妒n 一2 ( 心) s i g n ( 妒n ( 助) ) = ( - 1 ) 驴j ，j = 1 ，2 ，礼一1 s i g n ( 妒n 一2 ( 心) ) = 一s i g n ( ( 心) ) = ( - 1 ) n - j + 1 ， j = 1 ，2 ，礼一1 这说明，在任意膨与鳓+ 。之间，妒n 一2 ( a ) 存在至少一个零点弩一扪即 矽以= 心 矽以 0 ，p n - 2 ( ) ) 是首 项系数为( 一1 ) n 一2 的( 扎一2 ) 次多项式，且p n - 2 ( 入) 与p n 一1 ( 入) 零点严格交错 若设 p n ( 一z ) = 矿+ q 礼一i x n 一1 + + q o ， p n - i ( - - x ) = 矿一1 + 风一2 x n 一2 + + 风， 则 p n - - 2 ( 一z ) = z n 一2 + 一3 x n 一3 + + 伽， 歹= 1 ，2 ，佗一3 根据引理2 2 6 的性质，加一l ( a ) 与p n - 2 ( ) o 零点 弩一1 ) 与 椤吨) 严格交 错，即仍有类似( 2 3 ) 式的性质于是我们可以对p n l ( 入) ，p n 一2 ( a ) ，仿( 2 1 5 ) 式 进行迭代得到p - 3 ( 入) 依次迭代下去，我们就可得到多项式序列【孙( 入) ，p n l ( 入) ， ，p k 一1 ( 入) ) 设【硝) ， 誉- 1 ) 分别是鼽( 入) ，鼽一1 ( a ) 的零点，则 其中 若设 则 其中 p i ( 入) = ( a i 一入) 鼽一l ( 入) 一c i p i 一2 ( 入) ，i = 钆，礼一1 ，七+ 1 ， ( 2 1 6 ) 龟= 壹( 样。一誉。1 ) 壹( 州( j - i ) _ a 盼 = 1k = l 鼽( 一z ) = + q 婴1 一1 + + 口g ， p i - i ( 一z ) = x i - 1 + 口：i 一2 + + q g 一， 鼽一2 ( 一z ) = 一2 + q ：等一3 + + q g 一 a p = k 口一口 ：i ) ) 几， 以) - ( 口t 。1 + 艚j 一) q ，歹= 1 ，2 ，i 一3 一1 0 一 c v叼 岛 一 曲卜 伽岛 一 + 风毋编蚂 = = 加竹 中 其 叫 誉 似触 一 穆 ；芦 = 吼 硕士学位论文 定理2 2 1 问题i 有解的充分必要条件是 k n i 夥。1 一入纠4 p ( 一1 ) 七州，j = 1 ，2 ，k - 1 ， ( 2 1 7 ) 扛l 其中 秽一1 ) ， 入) 分别是按( 2 1 6 ) 式迭代产生的多项式m ( a ) ，p k - l ( 入) 的零点， = b i b 2 巩一l 钟) 证明首先按照( 2 1 6 ) 式构造多项式序列 p n ( 入) ，p n 一1 ( 入) ，p k 一1 ( 入) ) 充分性比较( 2 1 6 ) 式和( 2 9 ) 式，我们可以先如下构造子周期j a c o b i 矩阵的 部分元素 令 b i 一1 = 瓦，a i = 吼，i = n ，n 一1 ，k + 1 ( 2 1 8 ) 这样，我们便构造了子周期j a c o b i 矩阵& 中除k 阶顺序主子阵最之外的元素 下面，我们考虑如何构造鼠由前面的讨论可知，鼠为周期j a c o b i 矩阵，最 及其k 一1 阶顺序主子阵鼠一1 对应的特征多项式分别为( 入) ，妒七一1 ( 入) ，设其零 点分别为 t i 七) ， 定扣1 ) 根据引理2 2 4 ，可构造瓯的充要条件为 k i 碜。一酬4 z ( 一1 ) h - j1 ，j = 1 7 2 ，2 ，k ( 2 1 9 ) i = 1 。 其中= b 1 6 2 b k 一1 水) 结合( 2 9 ) ，( 2 1 6 ) 式可得 妒 ( a ) = ( - 1 ) ( 入) ，i = n ，礼一1 ，k 一1 ( 2 2 0 ) 这说明忱( 入) 与鼽( 入) ( i ：n ，礼1 ，k 一1 ) 具有相同的零点所以 定七) 与 入】， 定七一1 与【入 七一1 ) 是相同的集合则由( 2 i v ) 式知( 2 1 9 ) 式成立，即& 可以构造于是可以按【2 0 中的l a n c z o s 等方法构造& 最后，我们说明如此构造的r 确实是问题i 的解 仍然记忱( 入) 为s 的特征多项式，则我们只需证明 妒n ( 入) = a l ，入2 ，入n ) ，9 竹一1 ( 入) = 【p 1 ，助，一1 ) ( 2 2 1 ) 而根据肌( 入) ，p ，l ( 入) 的定义，这只需等价地证明 q ( 入) = ( - 1 ) p n ( 入) ，妒n 一1 ( 入) = ( 一1 ) n 一1 p n 一1 ( 入) ( 2 2 2 ) 一1 1 几类特殊矩阵特征值反问题与矩阵方程问题 由引理2 2 3 妒。( 入) = ( a 一) 妒n - i ( a ) 一6 三一1 妒n 一2 ( 入) = ( a 一6 ) 9 n 一1 ( 入) 一c n 妒n 一2 ( 入) 由( 2 1 6 ) 式 p n ( 入) = ( a n 一入) p n 一1 ( 入) 一c n p n 一2 ( 入) 结合上面两式知，( 2 2 2 ) 式等价于 q 一l ( 入) = ( 一1 ) n - - l p n l ( 入) ，妒n 一2 ( 入) = ( 一1 ) n - 2 p n 一2 ( 入) 。 将此过程继续下去，得 妒n ( a ) = ( 一1 ) 印n ( a ) ，妒。一1 ( a ) = ( 一1 ) n - 1 p ，。一l ( 入) ， 令 妒n l ( 入) = ( 一1 ) n - l p n 一1 ( 入) ，妒n 一2 ( 入) = ( 一1 ) n - 2 p n 一2 ( 入) ， 亭 妒( 入) = ( 一1 ) k p 七( 入) ，妒七一l ( 入) = ( - 1 ) k - 1 p k 一1 ( 入) ( 2 2 3 ) 而( 2 2 3 ) 式由鼠的构造过程知显然成立 必要性问题i 有解，即& 存在，则s 七存在，再根据慨( 入) 与p f ( 入) 的关系及 引理2 2 4 ，即可得到( 2 1 7 ) 式定理得证 推论2 2 1 问题i 有唯一解的充分必要条件是 n l 喾以一入纠= 4 z ( - 1 ) + 1 ，j = 1 2 2 ，k _ 1 ( 2 2 4 ) 其中 入一1 】，_ 入) 分别是按( 2 1 6 ) 式迭代产生的多项式p k ( 入) ，p k 一1 ( 入) 的零点 证明 充分性由引理2 2 6 知，( 2 1 5 ) 式中的a ，c 及肌一2 ( 入) 由p n ( 入) ，p n l ( 入) 唯一决定进一步根据( 2 1 6 ) 式得吼，q ，仇( a ) ( i = 礼，礼一1 ，南+ 1 ) 均由p n ( 入) ， p n 一1 ( 入) 唯一决定再由定理2 2 1 的证明过程可知，子周期j a c o b i 矩阵& 中的 元素a i ，b i ( i = n ，n 一1 ，k + 1 ) 被唯一决定于是，问题i 解是否唯一取决于 & 的构造是否唯一，而& 的唯一性，由引理2 2 4 知，取决于 ，= ( 垂i l 七一l ，一入i ) ( 矗i = 1f 入一l ，一a 9 ，i 一4 p ( 一1 ) 七一歹+ 1 ) 是否为零，由( 2 2 4 ) 式立即得到j = 0 故问题i 的解是唯一的 必要性问题i 有唯一解，则& 的构造是唯一的，故瓯的构造也是唯一的， 由引理2 2 4 得j = 0 ，再根据条件( 2 3 ) ，并结合引理2 2 5 ，即可得( 2 2 4 ) 式证 毕 一1 2 硕士学位论文 2 3 问题i i 的解 对于问题i i 的解，我们有下列结论 定理2 3 1 问题i i 有解的充分必要条件是 kn i i 愕。1 ) 一入纠n 厄a z ( - 1 ) k - j + l ，j = 1 ) 2 ，2 ，k 一1 ， ( 2 2 5 ) i = 1 。 。- 2 k + l 其中 入一1 ) ， 入：凫 分别是按( 2 1 6 ) 式迭代产生的多项式m ( 入) ，p k l ( 入) 的零点， c 是( 2 1 6 ) 式中多项式序列中的系数 证明充分性类似于定理2 2 1 的证明我们先构造子周期j a c o b i 矩阵的部 分元素，即按照( 2 1 6 ) 式，构造多项式序列妇n ( a ) ，m l ( a ) ，p k - 1 ( 入) ，并令 玩一1 = 、酉，a i = a i ，t = n ，礼一1 ，k + 1 ( 2 2 6 ) 然后构造& 的剩余元素瓯由于p 的定义为p = b 1 6 2 k 一1 磁) ，我们需要将它 转化为p 7 = b 1 5 2 b k 1 6 紫j ，很明显 = ( b k b k + 1 b n 一1 ) 代入( 2 2 6 ) 式得 p ，：士 1 - i 店 i - - - - k + l 根据引理2 2 4 ，可以构造鼠的充要条件为 4 y ( 一1 ) 七一j + 1 ：士( 一1 ) 七。+ l ，歹：1 ，2 ，七一1 兀瓶 i = k + 1 此即( 2 2 5 ) 式不难证明，这样得到的是问题i i 的解 必要性的证明与定理2 2 1 的必要性证明类似 类似于推论2 2 1 的证明过程，我们容易得到下面的结论 推论2 3 1 问题i i 有唯一解的充分必要条件是 n l 矽。1 一a 纠i i 厄= 4 z ( - 1 ) n 升1 ，歹= 1 j 2 2 ，k - 1 ( 2 2 7 ) i - - - - 1 i = k + l 其中 秽一1 ， 入：七) 分别是按( 2 1 6 ) 式迭代产生的多项式p 七( 入) ，p k 一1 ( 入) 的零点， c 4 是( 2 1 6 ) 式中多项式序列中的系数 一1 3 一 ； 一一 d k “ 七斟 几类特殊矩阵特征值反问题与矩阵方程问题 2 4算法与算例 根据上面的讨论，我们给出求解问题i 的一个数值算法如下 算法2 4 1 1 ) 令i = n 2 ) 若i k 转8 ) ，否则转3 ) 3 ) 由两组实数集 硝) ， 一1 ) 分别确定多项式 i 鼽( 入) = n ( 矽 j = 1 分别展开a ( 一z ) ，p i l ( 一z ) ，得到p i ( - z ) 的系数 以及p i i ( - - x ) 的系数 q q ，q 譬) ， 0 ( i - 1 ) ，吣a ( 一i - 3 1 ) ，毋一1 1 4 ) 根据( 2 1 6 ) 式计算a 和c ，并令b i l = 店 5 ) 根据( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 式计算 0 一- 3 2 ) ，0 e 一( i - 2 ) ，a g 扪， 得到多项式p i 一2 ( 一z ) 6 ) 根据n e w t o n 法，找出p i 一2 ( 一z ) 的i 一2 个零点 琴吨) 7 ) i = i 一1 转2 ) 8 ) 判断( 2 1 7 ) 式是否成立，若不成立，问题i 无解j 否则根据【2 0 中的l a n c z o s 等方法，求& 的其余元素 我们也给出求解问题i i 的一个数值算法如下 算法2 4 2 1 ) 令i = n 2 ) 若i k 转8 ) ，否则转3 ) 3 ) 由两组实数集 誉) ， 琴- 1 ) 分别确定多项式 i - - 1 一入) ，p i 一，( 入) = ( 誉1 一入) ， 一1 4 一 j = l 一一 d 一 碜 ：! 汹 = 一 一 p 入一 0 “ ；触 i i 入 p 硕士学位论文 分别展开a ( 一z ) ，p i 一1 ( 一z ) ，得到p i ( - - x ) 的系数 以及p i l ( - x 1 的系数 q 望。，q ，口g ) ， a 一( i - 1 ) ，a ( i - 1 ) ，q g 一 4 ) 根据( 2 1 6 ) 式计算a i 和q ，并令b i l = 店，卢= 卢# - 5 5 ) 根据( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 式计算 6 ) 7 ) 8 ) a ( i - 2 ) ，q 等，q g 吨) ， 得到多项式p i - 2 ( 一z ) 根据n e w t o n 法，找出鼽一2 ( 一z ) 的i 一2 个零点( 誉_ 2 ) i = i 一1 转2 1 判断( 2 2 5 ) 式是否成立，若不成立，问题i i 无解j 否则根据【2 0 中的l a n c z o s 等方法，求& 的其余元素 针对问题i 与问题i i ，我们分别给出一个例子，按照上面的算法构造子周期 j a c o b i 矩阵然后比较所构造的子周期j a c o b i 矩阵的特征值与初始的特征值的误 差，由此验证算法的可行性 例2 4 1 令入= - 0 7 7 8 8 ，0 9 1 9 6 ，1 6 6 6 9 ，2 3 3 3 1 ，3 0 8 0 4 ，4 7 7 8 8 ，p = - 0 7 5 7 8 ， 1 3 7 1 9 ，2 0 0 0 0 ，2 6 2 8 1 ，4 7 5 7 8 ，以及卢= 2 ，求子周期j a c o b i 矩阵& ，使得盯( 氐) = 入，仃( & ) = p ，且6 1 6 2 6 3 6 ：4 ) = p ，其中k 取为4 由上面的算法不难验证，例2 4 1 中的数据满足( 2 1 7 ) 式，即例2 4 1 是有解 的并且我们得到了8 个不同的解，分别如下： q ( 1 ) 一 u 6 2 0 0 0 01 0 0 0 101 0 0 0 600 1 0 0 0 12 0 0 0 0 0 9 9 9 4000 00 9 9 9 4 2 0 0 0 01 9 9 9 800 1 0 0 0 601 9 9 9 8 2 0 0 0 0 1 0 0 0 30 0001 0 0 0 3 2 0 0 0 01 0 0 0 0 o 000 1 0 0 0 02 1 5 几类特殊矩阵特征值反问题与矩阵方程问题 q ( 2 ) 一 0 6一 ( r ( 3 ) 一 0 6 一 a ( 4 ) 一 0 6 一 a ( 5 ) 一 0 6 一 q ( 6 ) 一 0 6 2 6 0 4 8 1 0 3 0 4 0 1 3 2 2 8 0 0 1 0 3 0 4 1 7 2 0 7 0 8 1 3 9 0 o 0 0 0 8 1 3 9 1 6 7 4 4 1 8 0 2 9 0 0 1 3 2 2 8 0 1 8 0 2 9 2 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 o 0 1 0 0 0 3 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 6 3 2 701 5 8 1 800 0 6 3 2 72 0 0 0 01 2 6 4 4 000 01 2 6 4 42 0 0 0 01 5 8 0 6 00 1 5 8 1 801 5 8 0 62 0 0 0 01 0 0 0 30 00 01 0 0 0 3 2 0 0 0 01 0 0 0 0 0000 1 0 0 0 02 2 3 2 5 6 0 8 1 3 9 0 1 8 0 2 9 0 0 1 3 9 5 2 1 0 3 0 4 0 1 3 2 2 8 0 o 2 0 0 0 0 1 2 6 4 4 0 1 5 8 0 6 0 0 0 8 1 3 9 2 2 7 9 3 1 0 3 0 4 0 0 0 1 0 3 0 4 2 ，2 7 9 3 0 8 1 3 9 0 0 0 1 2 6 4 4 2 0 0 0 0 0 6 3 2 7 o 0 0 0 1 0 3 0 4 1 3 9 5 2 1 3 2 2 8 0 0 0 0 8 1 3 9 2 3 2 5 6 1 8 0 2 9 0 0 0 0 6 3 2 7 2 0 0 0 0 1 5 8 1 8 0 0 1 6 1 8 0 2 9 0 1 3 2 2 8 2 0 0 0 0 1 0 0 0 3 o 1 3 2 2 8 0 1 8 0 2 9 2 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 1 5