（计算数学专业论文）四元数矩阵特征值计算.pdf

摘要+ 四元数是在1 8 4 3 年由英国数学家w r 哈密顿提出的四元数的发现是数学史上 的一个重大的事件四元数在代数学，几何学，物理学，工程技术等方面有着广泛和重 要的应用特别是近1 0 年以来，四元数在计算机科学，工程技术中的应用越来越多， 更加受到人们的重视 矩阵计算是科学与工程计算的核心，它包括三大问题：线性代数方程组问题：线性 最小二乘问题和矩阵特征值问题矩阵特征值问题是当前迅速发展的计算机科学和数 值代数中一个活跃的研究课题，在自然科学和工程技术中有着广泛的重要的应用 以实四元数作为其元素的矩阵称为实四元数矩阵( 以下简称四元数矩阵) 关于四 元数矩阵的研究，近几十年来，己取得很多成果【1 】，【2 3 h 2 7 】，【3 2 】，【4 7 】，【5 2 】，【5 5 】- 【5 7 】 一般讲，很多复矩阵的性质可以推广到四元数矩阵上来，但是四元数矩阵也具有独特的 与复矩阵不同的性质关于四元数矩阵的数值计算，工作较少，尤其是四元数矩阵奇异 特征值的计算，基本上尚未开始研究，难度很大解决四元数矩阵的特征值问题同样具 有非常重要的意义设彳是一个四元数矩阵，若a 满足血- 缸i 血= 工a l ，则 称为月 的奇异( 右) 特征值四元数矩阵的奇异特征值和右特征值存在着很大的差别到目前 为止，关于四元数矩阵右特征值的研究已经得到了很多令人满意的结果 b u n s e g e r s t n e r 等将复矩阵的q r 算法应用到四元数矩阵中【l 】，给出了四元数矩阵的 q r 分解和s c h u r 分解，从而得到该四元数矩阵的右特征值和右特征向量在本文中， 我们将实矩阵特征值的乘幂法推广到自共轭实四元数矩阵中，得到关于自共轭实四元数 矩阵右特征值的乘幂法四元数矩阵右特征值的计算可转化为它的复表示矩阵的特征 值的计算问题，本文利用复表示矩阵的特殊结构给出了一种减少计算其特征值计算量的 方法 四元数矩阵计算中有一些新的问题是复矩阵计算中没有的内容例如四元数奇异特 征值的计算黄礼平和s ow a s i n 在【2 5 】中讨论了2 阶四元数矩阵的奇异特征值的性质， 并给出了这些奇异特征值的代数表达式在本文中，我们用c + + 编制的程序可以给出任 意一个2 阶四元数矩阵奇异特征值的数值解本文还讨论了n 阶实四元数矩阵奇异特征 值的位置估计问题，给出关于实四元数矩阵奇异特征值的圆盘定理本文还给出了计算 一些特殊四元数矩阵一个或多个奇异特征值的方法 关键词：四元数：四元数矩阵；右特征值；奇异特征值；圆盘定理 一基金项目：国家自然科学基金项目( 1 0 6 7 1 0 2 6 ) a b s t r a c t + 0 u a t e m i o nj sj n j t i a t e db yw r h 锄i l t o n ，ab r i t i s hm a t h e m a t i c i a n ，i n1 8 4 3 t h e d i s c 0 v e r yo fq u a t e n l i o ni s 柚i m p o r t a n c ee v e n ti nt h eh j s t o r yo fm a t h q u a t e m i o ni sa p p l i e d w i d e i yi nm a n yd o m a i n s ，s u c h 船a i g c b r a ，g e o m e t r y p h y s i c s ，e n g j n e e r i n ga n ds oo n a t p r c s e n tt e ny e a r s ，q u a t e m i o ni sa p p l i e dm o r ea i l dm o r ei nc o m p u t c rs c i e n c c 孤de n 舀n e e r i n g 卸dg e t sm o r ea i l dm o r ca t t e n t i o n m a t r i xc o m p u t a t j o n ，t h ec o r eo fs c i e n c c 卸de n 舀n e e 面gc o m p u t a t j o n ，i n c l u d e st l l r e e 鹂p e c t s ：s o l u t i o no fl j n e 盯s y s t e m s ，l e a s ts q u a r e sp r o b l e m s ，e i g e n p m b l e m s e j g 蛐p r o b l e m sa r e a c t i v ep r o b l e m s0 fc o m p u t e rs c i e n c c 彻dn u m e r i c a la l g c b r aw h i c bd e v e l o pr a p i d l y 扑dh a v e 伊e a t 孤dw i d e 印p l j c a t i o ni ns c i e n c c 柚de n g i n e e r i n g am a t r i xw h o s ee l e m e n t sa 邛r e a lq u a t e m i o n si sc a i l e da 比a lq u a t e r n i o n i cm a t r i x ( q u a t e m i o n i cm a t r i xf o rs h o r t ) t h es t u d yo nq u a t e m j o n j cm a t r i x e sh 蹈g a i n c dg r e a t a c h j e v e m e t so v e rt h ep 笛ts “e m ly e a 娼【1 】，【2 3 】- 【2 7 】，【3 2 】，【4 7 】，【5 2 】，【5 5 】_ 【5 7 】g e n 盯a l l y s p e a k i n 昌m a n yp r o p e r t i e so fc o m p l e xm a t r i x e sc 卸b ee x 衄n d e dt oq u a t e m i o n i cm a t r i x e s b u t q u a t e m i o n i cm a t r i x e sa l s oh a v ep m p e n j e sw h j c ha r cd i f ! f e r e n tf m mc o m p l e xm a t r i x e s f e w s t u d i e sa b o u tn u m e r i lc o m p u t a t i o no fq u a t e r n i o n i cm a t r i x e sh a v eb e e nm a d e t h es t u d y a b o u t t h ec o m p u t a t i o n0 fs i n g u l a re i g e n v a l u e so fq u a t e m i o n i cm a 埘x e sa l m o s th a s n tb e 佃 d o n eb e c a u s ei ti st 0 0d i f f j c i l l t nh a s 铲e a ts i 印m c 锄c ct o s t u d ye i g e 叩r o b l e m so f q u a t e m j o n i cm a t r i x e s l e t 爿 b eaq u a t e m i o n i cm a t x ，ai sc a i l e das i n g u l a re 噜e n v a l u e 班e i g e n v a l u e ) i f 血_ a 工o 缸皇n ) n e r ca r cm 孤yd i 行e r e n c e sb e 似e e ns i n g i l l a r 锄d r i g h te j g e n v a l u e so fq u a t e 加i o n i cm a t r i x e s 1 n h es t u d y t h er i g l i te i g e n v a l u e so fq u a t e m i o n i c m a t r i x e s h 舔g a i n e dm 柚ys a i j s f i e d a c h j e v e m e n t s b u n s e g e r s t n e r 【1 】g a v et h eq r f a c t o r z a t i o n 卸ds c h u rd e c o m p o s j t j o no fq u a t e m i o n j cm a t r i x e s 卸dg o tr i 曲te i g e n v a l u e s 卸d r i g h te i g e n v e c t o r so ft h em a t r i x e sb yc x t e n d i n gt h eq rm e t h o do fc o m p l e xm a t r i x e st o q u a t e m i o n i cm a t r i x e s ht h j sp a p e r ，w eg e tt h ep o w e rm e t h o da b o u tt l l er i g h te i g e n v a l u e so f h e m i t eq u a t e m j o n i cm a t r i x e sb ye x t e n d i n gt h ep o w c rm e t h o do fr e a lm a 啊x e st oh e m i t e q u a t e m j o n i cm a t r i x e s t h ec o m p u t a l i o no ft h ee i g e n v a l u e so fq u a t e m j o n j cm a t r i x e sc a l 】 t 瑚s l a t ei n t ot h ec o m p u t a 巧o no ft h ee i g e n v a l u e so fi t sc o m p l c xr e p r e s e n t a t j o nm a t r i x e s i i l t h i sp a p e r w eu t i l i z et h es p e c j f i cs t n l c t l l r eo f m p l e x r 印r e s e n t a t i o nm a t r i x e st og e ta m e t h o d t 0r e d u c ct h eq u a n t i t yo fc o m p u t a t i o no fi t se i g e n v a l u e s t h e r ca r e m en e wp r o b l e m sa b o u tq u a t e m i o n i cm a t r i x e sw h i c ha r en o tr e f e n c di nt l l e c o m p u t a t j o no fc o m p l e xm a t r i x e ss u c ha st h ec o m p u t a t i o no ft h es i n g u l a re i g e n v a l u e so f s u p p o n c d b yl h en a l j o j l a ln a n ms c i “c ef o u n d a l i 0 o f c h i i i a ( 1 0 6 7 1 0 2 6 ) i i q u a t e r n i o n i cm a t r i x e s h u a n gl i p i n ga n ds ow a s i n 【2 5 】d i s c i i s s e dt h ep r o p e n i e s0 fi h e s i n g i l l 盯e i g e n v a l u e s o fq u a t e m i 彻j cm a 埘x e sa n dg a v et h ef o m u l ao ft 1 1 es i n g i l l a r e i g e n v a l u e s i nt h i sp a p e r w e 舀v eap m 掣a m m ep r o g 舢m e db yc + + w h i c h 啪c o m p u t e t h e s j n g l | l a re i g e n v a l u e so fc v e r y 2 2q u a t e m i o n i cm a t r i x ht h i sp a p e r w ed i s c u s st h e p m b l e mo ft h ep o s i t i o ne s t i m a t eo fn x 厅 q u a t e 皿i o n i cm a t r j x e sa n dg i v et h eg e r s c h g o r i n t h e o r e ma b o u ts i n g u l a re i g e n v a l u e so fq u a t e m i o n i cm a t r i x e s w ea l g i v eam e t h o dt o c o m p u t et b es i n g i l l a re i g e n v a l u e so fs o m es p e c i a lq u a t e m i o n j cm a t r i x e si l lt h i sp a p c l l 【e yw o r d s ：q u a t e r n i o n ；q u a t e r n i o n i cm a t d x ；一g 乩e i g e n v a l u e ；s i n g u l a re 蟾e n v a l u e ； g e 玮c h g o n 山n m l i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名跏、奇 日期：刁年岁月访日 日期：o 年f 月7 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 作者签名：辫乙 导师签名：菝 ( 请在以上相应方框内打“”) b 加 月 月 厂 ， 年 年 力，7 期 期 芍圻 、r五轳 1 1 研究背景及选题依据 第一章概述 四元数是在1 8 4 3 年由英国数学家w r 哈密顿提出的四元数的发现是数学史上 的一个重大的事件四元数在代数学，几何学，物理学，工程技术等方面有着广泛和重 要的应用特别是近1 0 年以来，四元数在计算机科学，工程技术中的应用越来越多， 更加受到人们的重视 矩阵计算是科学与工程计算的核心，它包括三大问题：线性代数方程组问题；线性 最小二乘问题和矩阵特征值问题矩阵特征值问题是当前迅速发展的计算机科学和数 值代数中一个活跃的研究课题，在自然科学和工程技术中有着广泛的重要的应用 关于四元数矩阵的研究，近几十年来，已取得很多成果【1 】，【2 3 】- 【2 7 】，【3 2 】，【4 7 】， 5 2 1 ，【5 5 1 【5 7 】一般讲，很多复矩阵的性质可以推广到四元数矩阵上来，但是四元数 矩阵也具有独特的与复矩阵不同的性质关于四元数矩阵的数值计算，工作较少，尤其 是四元数矩阵奇异特征值的计算，基本上尚未开始研究，难度很大 b r e n n e r 和k e 在上世纪中叶证明了任一h 阶四元数矩阵恰有h 个虚部非负的复的右 特征值r m w w o o d 在1 9 8 5 年得出了任一以阶四元数矩阵至少存在一个h 上的奇异 特征值的结论四元数矩阵的奇异特征值和右特征值存在着很大的差别到目前为止，关 于四元数矩阵右特征值的研究已经得到了很多令人满意的结果1 9 8 9 年，b u 舾e g e 坯t n e r 等【1 】将复矩阵的q r 算法应用到四元数矩阵中，给出了四元数矩阵的q r 分解和 s c h u r 分解，从而得到该四元数矩阵的右特征值和右特征向量但四元数矩阵奇异特征 值的性质非常复杂，得到的成果还很有限【2 5 】 关于四元数矩阵计算目前的工作较少，虽然理论上很多四元数矩阵计算问题可转化 为复矩阵的计算，但是更好的算法还有待于继续探索另一方面，四元数矩阵计算中有 一些新的问题是复矩阵计算中没有的内容例如四元数奇异特征值的计算在1 9 9 7 年， 张福振【5 2 1 指出，奇异谱的性质是很难把握的，所得到的结果也很少同年，s i u 【3 3 】在 他的博士论文中用了一章的篇幅来讨论四元数矩阵的奇异谱和右谱在1 9 4 9 年，k e 【2 2 】对一般情况下奇异谱的存在性提出了质疑，但他并没有举出反例1 9 9 7 年，w 0 0 d 【4 7 1 用拓扑学中的方法证明了四元数方阵的奇异谱总是存在的，否定了k e 的猜测但 w o o d 只证明了奇异谱的存在，并没有给出计算奇异谱的方法2 0 0 1 年，黄礼平和s o w a s j n 在【2 5 】中讨论了2 阶四元数矩阵的奇异特征值的性质并给出了这些奇异特征值的 代数表达式 1 2 本论文研究的内容 本文第一章介绍了本文的研究背景、实四元数体和实四元数矩阵的基本知识及其一 些常用性质 在本文第二章中，我们把实四元数矩阵右特征值的计算问题转化为它的复表示矩阵 的特征值的计算问题，并根据复表示矩阵的特殊结构给出了一种减少计算量的方法对 有开个不同右特征值的自共轭实四元数矩阵，我们给出了关于自共轭实四元数矩阵右特 征值的乘幂法，这种方法可以算出这类矩阵的绝对值最大的右特征值和相应的右特征向 量 黄礼平和s ow 弱i n 【2 5 】虽然给出了2 阶四元数矩阵的奇异特征值的代数表达式，但 计算它的奇异特征值仍是一个烦琐的过程，在本文第三章中，用c + + 编制的程序可以快 速的算出任意一个2 阶实四元数矩阵奇异特征值的数值解这一章还讨论了h 阶实四元 数矩阵奇异特征值的位置估计问题，给出关于实四元数矩阵奇异特征值的圆盘定理此 外，本章还对n 阶实四元数矩阵奇异特征值的计算做了一些讨论，并给出了计算一些特 殊实四元数矩阵一个或多个奇异特征值的方法 1 3 四元数体的基本知识 本节首先引入四元数体的定义、复表示及其常用性质 定义1 3 1 一个实四元数，也简称为四元数，表示为以下唯一的形式： 曰- 口o + 口1 f + 口2 j + 乜3 七， 其中，口。尺( i = o ，3 ) 并且f ，j ，t 满足 f 2i j 2 _ 七2i 一1 及 u 一一j tt k ，j k 一一k j i ，k i 一一t k j 实四元数的全体称为实四元数体，记为h ，代数上我们知道这是一个( 非交换) 除环【5 4 】 四元数g 的共轭记为彳或口， 彳- 目口。一口l f 一口2 ，一口3 七 类似复数，可定义四元数鼋的模，记为m ， b i = q 口_ 口；+ 口? + 口；+ 口； 如果引= 1 ，则称口为单位四元数另外，可以定义四元数口的实部r e ( q ) - 口。，复部 c o ( 日) = 口o + 1 f 以及虚部i m ( 目) 薯口1 f + 4 2 j + 口3 七 由以上定义，容易验证如下性质 引理1 3 2 【见5 2 ，定理2 1 】设x ，_ ) ，z ，则 1 工工一肛，即h h ； 2 对任意复数c ，豇= 可或埘；石； 3 b ) 一y 。z ； 4 酊。期，对任意的x h 成立当且仅当口r ； 5 如果胛o ，则裔为椭逆，记舫1 且h 2 南； 6 每个四元数目都可以唯一地表示为口= c 。+ c ：，其中c ，c ：为复数 定义1 3 3 【5 2 】四元数x ，) ，称为相似，如果存在非零四元数“，使得“。1 翮= y ，记 作x y 显然，x 与y 相似当且仅当存在单位四元数v ，使得v 。1 驯= _ ) ，相似的四元数的模 相等易知，“一”是四元数体上的一种等价关系，与x 相似的全体四元数的集合便构成 了一个等价类，记为k 】 ；l 理1 3 4 【见5 2 ，弓l 理2 1 】设g = 4 0 + 口l f + 口2 ，+ 口3 后，贝0 口与目o + q ；+ 口；+ 口；f 相 似，即日l 吼+ q 卜q ；+ q 引 易知，m 仅含一个元素当且仅当x r ；若x 硭r ，则m 含有无数个元素，其中仅 含一对共轭复数 弓i 理1 3 5 【3 2 】设四元数石墨z o + z l f + 工2 j + z 3 七，y = y o + y l f + y 2 ，+ y 3 七，贝0 x ，y 相 似当且仅当z 。；y 。且z ：+ 工；+ z ；一y ；+ y ；+ _ ) ，；，即r e g ) = r e o ) 且l h l 】b 】= i i m 0 1 复表示方法是研究四元数体的有效方法之一，下面介绍其定义 定义1 3 6 对于四元数g = 口+ 扫f + 巧+ 批，定义如下矩阵为其复表示： ”( 冀舞：嚣】= ( 与争c ”吼。i c + d = j 。一6 jj2 i 一万万j t l 四元数同构于它的复表示矩阵，且h2 一d e t 口。，吼的特征值是r e g i i i 聊卜 1 4 实四元数矩阵的性质及其特征值 以实四元数作为其元素的矩阵称为实四元数矩阵( 以下简称四元数矩阵) ，以h 4 ” 记h 上肌玎矩阵的集合，设彳h 一，记爿7 为爿的转置，一为爿的共轭转置 对爿日和工h 4 ，若血，0 的唯一解是z ：o ，则爿称为非奇异的若存在 口h 使得4 口- 删一，则一是非奇异的 引理1 4 1 【见5 2 ，定理4 1 】若爿圩”，口h 1 ”，则 - 伍) r 。同； 2 b ) 。且4 ； 3 一般地，爿曰爿口； 4 一般地，“曰) r - 曰7 4 7 ； 3 5 若爿和口可逆，则( 爿曰) 一- 占- 1 一； 6 若彳可逆，则- r 1 。0 一y ； 7 一般地，伍- 1 - 一； 8 一般地，0 7 ) _ 1 - 0 一- r 复矩阵的矩阵范数可以很平凡的推广到实四元数矩阵上，下面定义四元数矩阵的几 个矩阵范数，令彳一 ) 日， 。搿孙i ， ，- 陋。1 2 ) l ，2 ， 。一懋m 其中第二种矩阵范数叫做爿的f m b e n j u s 范数 下面引入四元数矩阵特征值的几个重要的性质 引理1 4 2 【1 】对所有的y 日，集合r = 仁矽l h 一1 j 中有唯一一个a c + c 引理1 4 3 【3 2 】若彳h 为三角阵，则爿的每个对角元素都是它的一个( 右) 特 征值反之，爿的每个( 右) 特征值都相似于爿的对角元素 引理1 4 4 【3 2 ，2 2 】任一n 阶四元数矩阵有h 个虚部非负的复( 右 特征值( 计算重 数) 这些特征值称为一的右特征值的主值 ，引理1 4 5 【3 2 ，2 2 】设爿为n 阶四元数矩阵且啊+ 七。f ，1 1 + 七f 是爿的右特征值的 主值，则存在一个酉阵使得u 一u 为上三角阵，并且以啊+ f ，一+ 七f 作为其对角 元素 引理1 4 6 【4 7 】每个n 阶四元数矩阵至少有一个日中的奇异特征值 引理1 4 7 【见5 2 ，定理5 1 】4 日是一上三角阵，则四元数a 是爿的奇异特征 值当且仅当a 是爿的对角元素 1 5 符号表 r c 日 r “ 实数域 复数域 实四元数体 实n 维列向量的实向量空间 4 c ” 何“ r ”枷 c ”枷 h “” ， 4 7 4 q ) q ) ，4 口 复h 维列向量的复向量空间 h 上，l 维右列空间 r 上研x 玎矩阵的集合 c 上m ，l 矩阵的集合 h 上m 甩矩阵的集合 ，l 阶单位阵 爿的转置矩阵 ，4 的共轭转置矩阵 一的右谱，即爿h 的右特征值集合 一的奇异谱，即爿日的奇异特征值集合 矩阵彳与曰相似 2 。1 研究动态 第二章实四元数矩阵右特征值 到目前为止，关于实四元数矩阵右特征值的研究已经得到了很多令人满意的结果 1 9 8 9 年，b u n s e g e r s t n e r 等【1 】将复矩阵的q r 算法应用到实四元数矩阵中，给出了实四 元数矩阵的q r 分解和s c h u r 分解，从而得到该实四元数矩阵的右特征值和右特征向量 定义2 1 1 设爿h ，若存在非零向量x 日“，a h 使得倒- 肌，则称 为4 的右特征值4 的不同右特征值组成的集合称为月的右谱，记为仃，) 关于实四元数矩阵的o r 方法是一种变化的方法，是计算中小矩阵全部特征值的最 有效的方法之一0 r 方法具有收敛快，算法稳定等特点 引理2 1 2 【4 】设爿h ，存在爿的q r 分解爿一q r ，q 日是酉阵，r h 为上三角阵若爿非奇异，且爿= 沂是爿的另一个q r 分解，【，h 是酉阵，丁h 为上三角阵，则存在酉对角阵d 日使得q = 叻且丁一册特别的，若月的对角元 素是正实数，则分解是唯一的 设爿日，且对爿进行q r 分解， 彳一鲫， 其中q 是酉阵，r h 为上三角阵，于是可得到一新矩阵 口= r q = q “彳q 显然口是由一经过酉相似变换得到的，因此口与彳具有相同的右特征值，再对丑进行 q r 分解，又得到一新的矩阵，重复这一过程可得到矩阵序列： 设爿一一。， 将爿。进行q r 分解a = q 。凡， 作矩阵彳；r q 0 一q 爿。q ， 求得4 后将4 进行q r 分解4 = q r ， 形成矩阵4 + ，一r 。q 。= q ，爿。q 。， o r 算法，就是利用矩阵的q r 分解，按上述递推法则构造矩阵序列臼。) 的过程算 法如下【1 】： 设爿h ”，令爿。一彳， 当t = 0 ，1 2 ， 4 = 姨r ，其中q h 是酉阵，r h 为三角阵， 6 令4 + ，r 幺 为了提高运算速度和减少存储空间，可先将矩阵上h e s s e n b e r g 化，再对其进行q r 分解，从而计算矩阵的右特征值 此外，我们还可以利用实四元数矩阵的复表示来研究实四元数矩阵右特征值，因此 引入： 定义2 1 3 设爿日，将它写成彳一4 + 4 ，的形式，其中4 ，鸣c 一，则称 加2 n 复矩阵 4 = ( 三鸶) 为爿的复表示 引理2 1 4 【见5 8 ，引理3 6 2 】设o n ，则存在o 6 日，使妇6 。c ，且其 虚部系数为正 引理2 1 5 【见5 8 ，定理3 6 1 】设彳日，则爿的右特征值存在，且有 1 ) ，4 的为复数的右特征值的集合= 4 的复特征值的集合； 2 ) 4 的右特征值的集合= 口。1 旯口i o 一，a 煳。的复特征值 由引理2 1 4 知道，在引理2 1 5 之2 ) 中还可将4 的复特征值a 的虚部系数限制 为非负，具有这样性质的a 叫做爿的右特征值的主值 因此，在计算实四元数矩阵4 的右特征值的时候，只要求出4 的复特征值，即可求 得爿的右特征值对于4 = + 4 ，关键问题是如何求 ( 曼主) 的复谱 2 2 关于n 阶实四元数矩阵右特征值计算的一些讨论 四元数的计算本质上要化为复数的计算，而复数的计算要化为实数的计算因此， 任何实四元数矩阵右谱的计算本质上是其表示矩阵复谱的计算 数值代数中的理论已有丰富的复方阵的复谱计算理论和方法因此对一h 的表 示矩阵一，的复谱的计算可用这些已有的方法来计算关键的问题是利用4 的代数( 几 何) 结构来减少计算量 目前，求解复矩阵特征值问题的方法有两大类，一类称为变换方法；另一类称为向 量迭代方法变换方法是直接对原矩阵进行处理，通过一系列变换，使之变成一个易于 求特征值的形式，如j a c o b i 方法，g j v e n s 方法，q r 方法等变换方法由于要存储矩阵 元素，因而它只适合于求解阶数较低的矩阵，它一般和向量迭代法合起来使用向量迭 代法是通过一系列矩阵向量乘积而求得特征值和特征向量的方法由于向量迭代法可 7 采用压缩存储技术，因而它适合求解大型矩阵，尤其是大型稀疏矩阵的特征值问题 求解中、小规模的复矩阵特征值问题最有效的方法是1 9 6 1 年由f r a n c i s 提出的o r 方法目前，不仅在该方法的可靠性分析，数值稳定性研究方面取得大量成果；而且该 方法已成功地编制了软件m 棚a b 中计算矩阵全部特征值和特征向量的函数子程序 e i 导m 即用q r 方法原理编制的另外，还有一些如j a c o b i 方法等方法都是能有效解决 此类问题的数值方法因此，从某种意义上说，中小规模矩阵的特征值问题的求解基本 上得到完满解决 由于4 的代数( 几何) 结构具有一定的特殊性，下面我们来讨论如何利用这种结构上 的特殊性来减少计算4 的复谱的计算量 关于a 的聊阶j o r d a l l 块，。( a ) 是如下矩阵： j ( a ) 兰 a1 ；l 1 a c ” 引理2 2 1 【见5 8 ，定理3 6 2 】设4 h ，则爿相似于一个j o r d 锄形矩阵i ，即 爿j = d i a g ( j ，( ) ，一，( ) ) ， 其中 一口，+ c ，口，r 、吃0 ，s = 1 ，f ；并且除了对角线上j o 州a n 块的排列 次序外，- ，。由爿唯一确定 因此，称上述之，为爿的j o r d 卸标准形 推论2 2 2 设爿h ，则4 复相似于矩阵 p 。、 i- ，。 因此，a 相似于一个实矩阵 因此，以的实特征值的几何重数= 2 引理2 2 3 【见4 4 ，定理1 4 9 】设爿c ，a c 己知，则下列命题等价： 1 ) a 是4 的几何重数至少为t 的特征值： 2 ) 如果二是4 的一个阶数) 一一k 的主子阵，则a 为i 的特征值 由引理2 2 3 知，如果计算爿h “的实特征值( 存在的话，例如爿为h e 珊i t e 阵) ， 只需计算4 的2 ，l 一1 阶主子阵的实特征值即可，这样做便达到了利用4 的代数( 几何) 结 构来减少计算量的目的 设爿h ，且爿；彳此时，4 的右特征值为实数而对爿的右特征值的计算可 转化为对4 的复特征值的计算若用q r 算法计算4 的特征值，一步迭代所需的计算量 8 为兰! n 3 + 蛳2 由上面的结论可知，此时只需计算4 的2 ，l 一1 阶主子阵的实特征值即 3 可用o r 方法计算4 的2 ，l 一1 阶主子阵的实特征值每步迭代需要的计算量为 j o = 竺n 3 1 6 咖2 + 4 8 ，l ，前者与后者的差为2 2 4 n 2 4 8 ，1 若经过t 步迭代得出的结果的精 3 度达到要求，则计算4 的2 ，l 一1 阶主子阵的实特征值的计算量可比直接计算4 的特征值 所需的计算量减少2 2 4 n 2 t 一4 8 ，l t 因此，利用a 的代数( 几何) 结构，即使将所计算的 矩阵降一阶，计算量的减少还是很明显的对低阶矩阵效果尤为明显取月一2 ，设计 算4 的知一1 阶主子阵的实特征值需t 步迭代，则计算出4 的抽一1 阶主子阵的实特征值 所需的计算量为6 5 扯，而利用4 的代数( 几何) 结构减少的计算量为8 0 0 ，可减少大约 5 5 1 的计算量 2 3 关于自共轭实四元数矩阵右特征值的乘幂法 对于一些特殊的实四元数矩阵，我们可以不用将它的右特征值的计算问题转化到其 复表示矩阵上去，下面给出的方法可以算出有弹个不同右特征值的自共轭实四元数矩阵 的绝对值最大的右特征值和相应的右特征向量 定理2 3 1 设4 h ，且4 一爿，则月的不同右特征值所对应的右特征向量右线 性无关 证明：对右特征值的个数作数学归纳法由于右特征向量是不为零的，所以单个的 右特征向量必然右线性无关现在假设属于t 个不同右特征值的右特征向量右线性无 关，我们证明属于t + 1 个不同右特征值 ，九， + 。的右特征向量，而，t + 。右线性无 关注意到，由于4 一爿，则一的右特征值为实数 假设有关系式 口1 + x 2 口2 + + 4 i + + l 口“l 一0 ( 2 1 ) 成立等式两端乘以 + ，得 + l 毛口1 + 丸+ l 而4 2 + + 丸+ 1 以吒+ + l + l 口m 一0 ( 2 2 ) 由( 2 1 ) 知 如n 1 + 血2 口2 + + 以口i + 以+ 1 口i 钉皇o ( 2 3 ) 又因为如。磊，f 一1 ，t + 1 ，且 为实数，则 口1 + 丑一2 口2 + - 一+ 屯4 i + + 1 h “口t “一0 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 减去( 2 2 ) 得到 ( 一九。) 口1 + ( 屯一 。) 工：口：+ + ( 一 。) 耳q o 根据归纳法假设，屯右线性无关，于是 ( 一 。) 口一o ，f 一1 ，2 ，。，七 但 一屯+ l o ( fs ) ，所以d ，- o ，f = 1 2 ，七这时( 2 1 ) 变成+ 。口ma o ，所以q + 。= o 这就证明了，工：，t + 。右线性无关 9 根据归纳法原理，定理得证证毕 z 。一j 严，4 j h ，j 一1 ，2 ，h ( 2 5 ) 爿z 。；骞z ，对n ，一对【n ，+ 薹( 等) 工，n ，】 c z e ， 设x = ( ，) 7 “，令m “( z ) = 翟手 m ) 为向量x 中模最大的分量的捧关于 z i = y 。| m k ， 矿鬻。瑚叫 1 0 于是 儿一他。一 竺础羔 m a x ( a ，+ ；l ( 等) 。1 j ，n ，) m 。一m a x ( 儿) 一j f ( t m ) 显然，对有n 个不同右特征值的自共轭实四元数矩阵，上述方法是收敛的 例2 3 2 考虑如下矩阵 4 - 1 + j 一2 j 一2 七 1 + f + j + 七 1 + f 一一七 3 2 + f + 2 一f 一七 2 一f + 3 + 弘 3 j + 弘 3 + 4 卜4 七 2 一f 一 5 3 4 j + 4 七 取z 0 一( 1 ，o ，o ，o ，o ，o ) 7 ，定义残量- i 陋。一肌。这里我们用m 朋门队b 进行数值 计算，由于m 枷a b 不能直接处理四元数，在进行迭代计算时，我们需要将四元数矩 阵转化成复表示矩阵，但迭代过程中运用的算法是关于自共轭实四元数矩阵右特征值的 乘幂法可求得： ，l l 6 0 0 0 0 卅 1 7 4 1 4 0 m 2 l 1 6 胛9 5 珊3 1 1 6 7 0 2 0 所4 1 1 6 6 9 2 2 1 5 5 0 0 0 小1 2 1 6 1 3 4 3 m 2 2 1 6 6 1 8 9 m 3 2 1 6 6 8 1 6 研4 2 1 6 6 8 9 6 所3 1 4 9 4 3 5 啊3 1 7 1 6 3 2 所2 3 1 6 7 4 9 4 小拍 1 6 6 9 8 2 历4 ， 1 6 6 9 1 6 所 1 4 8 9 6 3 4 1 6 3 1 9 4 聊2 4 1 6 6 4 3 3 b1 6 6 8 4 7 册 1 6 6 9 0 0 用5 1 8 6 7 5 1 珊i s 1 7 0 0 0 8 ，l 1 6 7 2 9 4 m 3 5 1 6 6 9 5 6 历4 5 1 6 6 9 1 4 卅6 1 4 9 4 1 6 惕6 1 6 4 4 3 9 m 2 6 1 6 6 5 9 3 所3 6 1 6 6 8 6 9 小4 6 1 6 6 9 0 3 肌一 1 8 4 1 0 7 ，l l ， 1 6 8 9 4 8 m 2 7 1 6 7 1 6 4 m 3 7 1 6 6 9 3 9 历4 7 1 6 6 9 1 2 1 5 4 7 3 7 肌1 8 1 6 5 2 7 0 历篮 1 6 6 6 9 9 m 柚 1 6 6 8 8 1 m 4 8 1 6 6 9 0 4 慨 1 7 8 0 6 7 m 1 9 1 6 8 2 5 3 m 2 9 1 6 7 盯7 7 棚3 9 1 6 6 9 2 9 9 1 6 6 9 1 0 ，o 1 5 8 6 2 7 聊如 1 6 5 8 2 3 m 1 6 6 7 7 0 m 加 1 6 6 8 9 0 川如 1 6 6 9 0 5 1 1 七 哺 广牡“川。搿竽 ：王4 “舢舢 2 七“ “船七 删d = 汁 ，3 扯 玎 卜弘*叫：一叫王硪 扣， 。删州一一一 “2川扣 z 1 一 毛1 j z 2 1 。 毛12 z 4 l = 1 o o o o o 1 6 6 7 + 0 1 6 6 7 i + o 3 3 3 3 i o 3 3 3 3 o 1 6 6 7 i - o 1 6 6 7 l 【 o 1 6 6 7 m 1 6 6 7 i + o 3 3 3 3 i + 0 3 3 3 3 k 0 3 3 3 3 + o 1 6 6 7 i 5 0 0 l o i 一0 5 0 0 0 k o 5 0 0 0 - o 1 6 6 7 i + o 1 6 6 7 i + o 1 6 6 7 k o 8 0 4 4 o 5 4 0 0 + o 2 8 6 9 i + 0 4 1 3 9 i + o 0 7 8 3 k 0 ，3 9 9 0 + 0 1 2 9 1 i + 0 0 5 9 9 i m 4 7 1 9 k o 2 7 0 3 田0 6 1 1 i 一0 0 4 3 0 i + 0 1 2 4 4 k 0 5 4 5 2 + 0 3 0 1 4 i 6 3 1 6 i m 4 6 1 6 k 0 2 5 1 0 + o 1 4 8 1 i + 0 1 5 2 6 i + 0 0 8 9 8 k o 8 2 4 4 0 5 4 8 9 + o 2 8 5 9 i + o 4 2 1 7 i + o 0 8 5 5 k 0 4 1 6 6 0 1 5 4 “+ o 0 6 3 0 i o 4 8 0 3 k 0 2 7 8 3 - 0 0 6 3 1 i _ 0 0 4 9 9 j + 0 1 2 2 7 k 0 5 4 5 3 + 0 _ 3 1 5 8 i 6 2 5 3 i _ 0 4 6 0 5 k 0 2 3 6 9 + 0 1 8 1 0 i + o 1 4 8 0 i + o 0 9 3 1 k 0 8 2 7 1 0 5 5 0 1 + 0 2 8 5 7 i + o 4 2 2 6 i + o 0 8 6 5 k o 4 1 8 9 0 1 5 7 3 i + o 0 6 3 3 i 0 4 8 1 3 k o 2 7 9 4 o 0 6 3 3 i _ 0 0 5 0 7 1 + o 1 2 2 6 k 0 5 4 5 2 + 0 _ 3 1 7 7 i - 0 6 2 4 4 i o 4 6 0 3 k 0 2 3 5 2 + 0 1 8 5 2 i + 0 1 4 7 5 i + o 0 9 3 7 k 0 8 2 7 5 o 5 5 0 2 + o 2 8 5 7 j + 0 4 2 2 8 i + 0 0 8 6 6 k o 4 1 9 2 田1 5 7 7 i + o 0 6 3 4 i - 0 4 8 1 4 k 0 2 7 9 5 _ o 0 6 3 4 i - 0 0 5 0 8 i + 0 1 2 2 6 k o 5 4 5 2 + 0 3 1 8 0 j