（计算数学专业论文）基于同伦延拓的全变分图像去噪.pdfVIP

人连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了全变分图像去噪问题全变分图像去噪是目前图像去嗓的主要方法 之一，它的解属于有界变差函数类，允许有不连续点，因此用全变分去噪模型恢复图像能 够有效的保持边界，有利于图像的后期处理，但是求解它比较困难，主要是因为t v 范数 在i v “l = 0 处不可微，不能用诸如牛顿法之类的方法将其线性化：且e u l e r - l a g r a n g e 方程 含有一个高度非线性的项，牛顿法只有局部收敛性，对于高度非线性问题它的收敛域很 小，因此难以保证所取的初始点在它的收敛域内，故一般不用牛顿法直接求解本文对 传统的时间依赖方法，不动点迭代法，原始对偶方法，z h o u , z h o u 和c h a i n 提出的牛顿法 与延拓法相结合的方法进行了比较分析然后基于上述方法的局限性，提出了一种克服牛 顿法局部收敛性缺陷的方法一同伦方法它的主要思想是将e u l e r - l a g r a n g e 方程中t v 范 数做一个足够大的扰动，得到一个能用以观测图像z 为初值的牛顿法求解的辅助方程， 通过构造同伦方程将辅助方程和e u l e r - l a g r a n g e 方程联系起来以辅助方程的解为起点 跟踪同伦方程的解曲线在路径跟踪过程中我们采用割线预估，因为路径的正则性，当 同伦参数f 增加的时候，解路径从不转回因此预估后，在f 保持不变的超平面上校正 并初步对算法加以实现，结果表明同伦延拓法去噪效果比较好 关键词：全变分去噪；同伦延拓法；e u l e r - l a g r a n g e 方程；牛顿法 基丁同伦延拓的全变分图去噪法 t o t a lv a r i a t i o ni m a g ed e n o i s i n gb a s e so nh o m o t o p yc o n t i n u a t i o n a b s t r a c t w em a i n l ys t u d yt h et o t a lv a r i a t i o ni m a g ed e n o i s i n gu s i n gh o m o t o p yc o n t i n u a t i o ni nt h i s p a p e r t o t a lv a r i a t i o ni m a g ed e n o i s i n gi sr e g a r d e da so n eo ft h em a i nm e t h o d sf o ri m a g e d e n o i s i n g i t ss o l u t i o nb e l o n g st ov a r i a t i o nf u n c t i o n , s oi ta l l o w st oh a v ed i s c o n t i n u i t i e si nt h e s o l u t i o n t h e r e f o r e ，w ec a nk e e pe d g e sw e l li fw eu s et h i sm o d e lf o ri m a g er e s t o r i n g , a n di ti s a l s ob e n e f i tf o rt h ep o s t p r o c e s s i n g b u ti ti sah a r dt a s kt os o l v et h i se q u a t i o n , o n er e a s o ni s t l l a tt h et v - n o r mi sn o n d i f f e r e n t i a b l ew h e ni v u i = 0 ，s 0w ec a l l t a p p l yal i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u es u c ha st h en e w t o nm e t h o d t h eo t h e rr e a s o ni st h a tt h ee u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n h a sah i g h l yn o n l i n e a rt e r m t h en e w t o nm e t h o df o rs u c he q u a t i o ni sk n o w nt oh a v eav e r y s m a l ld o m a i no fc o n v e r g e n c e ，a n di ti sv e r yd i f f i c u l tt om a k es u r et h a tt h ei n i t i a lv a l u es u c ha s t h eo b s e r v e di m a g eb e l o n g st ot h i sd o m a i n s ot h en e w t o nm e t h o di sn o ta ni d e a lm e t h o df o r s o l v i n gt h i se q u a t i o n w ea n a l y s ea n dc o m p a r et h et r a d i t i o n a lf i m e m a r c h i n gm e t h o d ，t h ef i x e d p o i n ti t e r a t i o nm e t h o d ，c h a n ，c h a na n dz h o up r o p o s e ds u c ha na p p r o a c hu s i n gt h en e w t o n m e t h o dc o m b i n e dw i t hc o n t i n u a t i o na n dt h ep r i m a l d u a lm e t h o d d u et ot h e s em e t h o d s d r a w b a c k , w ep r o p o s eu s i n gt h eh o m o t o p yc o n t i n u a t i o nm e t h o df o rs o l v i n gt o t a lv a r i a t i o n i m a g ed e n o i s i n gp r o b l e mi nt h i sp a p e r i ti sag l o b a lc o n v e r g e n c em e t h o d ，s oi tc a na v o i dt h e d r a w b a c ko ft h en e w t o nm e t h o d t h em a i ni d e ai st op e r t u r bt h et v - n o r mf u n c t i o n a lt e r mo f t h ee u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o ns ol a r g et h a ti tc a l lb es o l v e db yt h en e w t o nm e t h o dw h e nt h e o b s e r v e di m a g ei sa l li n i t i a lv a l u e ，a n dw er e g a r dt h i se q u a t i o na sa na u x i l i a r ye q u a t i o n t h e n w ec o n s t r u c ta h o m o t o p ye q u a t i o nt oc o m b i n et h ea u x i l i a r ye q u a t i o nw i t ht h ee u l e r - l a g r a n g e e q u a t i o n w em a k et h es o l u t i o no ft h ea u x i l i a r ye q u a t i o na st h es o l u t i o nc u r v e si n i t i a lv a l u e a n dt r a c et h ec u r v eu n t i li tg e t st ot h et a r g e tp o i n t d u r i n gt h ep a t h - f o l l o w i n gw eu s es e c a n t p r e d i c t o r b e c a u s eo ft h ep a t h sr e g u l a r i z a t i o n , t h es o l u t i o nc u r v ed o e sn o tt u r nb a c k ，s ow ed o c o r r e c to nt h eh y p e r p l a n et h a tt h eh o m o t o p yp a r a m e t e rfi su n c h a n g e d w eh a v ei m p l e m e n t t h i sm e t h o di nt h en u m e r i c a lt e s t ，e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o dc a nd e n o i s eb e t t e r k e yw o r d s ：t o t a lv a r i a t i o ni m a g ed e n o i s i n g ；h o m o t o p yc o n t i n u a t i o n ；e u l e r - l a g r a n g e e q u a t i o n ；n e w t o nm e t h o d i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：扬耷瘁b 日期：z 塑车目d 日 大连理1 = 大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：当丕盎拯 导师签名： 2 q 叟& 年l 月j 尘e l 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 数字图像处理技术是随着计算机技术发展而开拓出来的一个新的应用领域，汇聚了 光学、电子学、数学、摄影技术、计算机技术等学科的众多方面它把图像转换成一个 数据矩阵，在计算机上对其进行处理计算机图像处理和计算机图形学的结合已经成为 计算机辅助设计的主要基础可以预计，随着计算机规模和速度的大幅度提高，数字图 像处理技术的发展前途和应用领域将更加广阔人们可以通过多种不同方法获取图像， 对这些图像进行数字化处理，可以使图像的视觉效果得到增强或者得到特殊的效果，以 满亡人们不同的需要从遥感、遥测、医学等许多重要的民用和军事成像领域，很多因 素j7 导致图像质量的退化，比如图像的混叠、降晰和扭曲噪声更是无处不在，图像在 采l 、传输和转换中常常受到成像设备和外部环境的干扰，在原图像中夹杂了噪声的干 扰，蹙得图像降质，影响了图像的视觉效果，而且对图像进行进一步的处理也带来了不 利1 专统的线性去噪方法虽然可以达到去除噪声提高图像质量的目的，但是它己不能适 合更高图像质量的要求，比如说在某些后续处理当中，要求原图像要有很好的边缘信息， 但是经线性滤波去噪后在去除噪声的同时也平滑模糊了图像的边缘特征变分法的引入 给计算机视觉和图像图形处理领域的研究提供了一个有力的工具全变分图像去噪模型 的解属于有界变差函数类，允许有不连续的点，在去噪的同时能有效的保持图像的边缘 特征，因此在图像去噪领域得到广泛的应用和研究 1 2 发展与历史研究现状 图像去噪是数字图像处理领域一个古老的研究课题，是目标提取和模式识别的前期 工作人民根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱的分布规律，提出了各种去噪 方法一种好的去噪方法在平滑图像的同时不应模糊图像边缘 1 9 8 9 年，m u m f o r d 和s h a h 提出了用有界变差函数表示灰度图像1 9 9 2 年，r u d i n ， o s h e r 和f a t i m e 等人瞄1 在m u m f o r d 和s h a l l 提出的模型基础上得到了基于全变分范数 ( t v ：t o t a lv a r i a t i o n ) 的去噪模型： 吧叫：刚螂使得i li t z 忆= 仃2 ( 1 1 ) 其中q r ”是有界凸集，i i 是欧氏一范数，盯2 表示噪声的方差由拉格朗日乘数法有： r1、 哗 l m 蚴+ 割“一耀 ( 1 2 ) 基于同伦延拓的全变分图去噪法 其中l v u i = 甜；+ 甜；，纠2 正则化参数在基础数学和应用数学领域中，许多学者对全变分 模型做了深入的研究，1 9 9 7 年c h a n b o l l e 和l i o n s h l 将等式约束条件换为凸的不等式约束 条件：忪一z 峨盯2 ，求变分模型的解还提出可以将图像分为两部分：材= 甜，+ 甜：， 那么基于这种分解可以建立如下变分模型： m i 。n ，l l “。i + 口fd 2 甜：卜( 扰。+ u 2 - z ) 2 出方 同年a l l i n e y 嗨1 提出了当全变分去噪模型中的约束条件是1 范数时的恢复模型，讨论了 这种模型对一维噪声信号的恢复效果2 0 0 2 年n i k o l o v a 将a l l i n e y 1 提出的模型推广到 高维空间中，讨论了这个模型对多维信号的去噪效果2 0 0 3 年s t r o n g 和c h a n 1 研究了正 则化参数口与图像变尺度之间的关系2 0 0 4 年o s h e r 和b u r g e r 豳1 等人提出了一种全变分 迭代格式，这个格式有很好的收敛特性c h a n 和e s e d o g l u 阳1 研究了这种模型去除颗粒噪 声的效果 基于全变分最小化的图像去噪算法还有许多问题需要我们去解决，比如变分模型中 范数类型的选择，约束条件中范数类型，正则化参数的选择，都可以进行进一步的研究 目前求解与t v 去噪模型相应的e u l e r l a g r a n g e 方程主要有t i m e m a r c h i n g 格式迭 代法，不动点迭代n 们，c h a n ，c h a n 和z h o un 1 1 牛顿法与延拓法相结合方法，原始一对偶方法 n 引，最速下降法n 3 3 等近几年，国内外学者针对该方程提出了很多快速算法 1 3 本文的主要工作 全变分去噪模型在去除噪声的同时能有效的保持图像边缘特征，它成功的运用在许 多图像复原问题中，是图像处理和计算机视觉中一个活跃的研究领域但是求解它比较 困难，主要是t v 泛函在i v u i = 0 处不可微，且e u l e r l a g r a n g e 方程含有一个高度非线 性的项本文主要是采用同伦延拓法求解经典的全变分去噪模型同伦延拓法具有大范 围收敛性，可以克服牛顿法的局部收敛性的缺陷，同时又能避免c h a n ，c h a n 和z h o u 妇 中通过实验选取参数的不足因此我们考虑求解下述同伦方程： f ， 一 、 娥蚶) _ 阢【丽靠j - 而旷力 ( 1 3 ) 【j v “1 2 + f 。+ ( 1 一f ) 。j 。 。 文中给出了同伦延拓法去噪的算法主要是路径跟踪过程，并给出了本文方法与最速 下降法、牛顿共轭梯度法的去噪效果的比较实验结果表明本文所采用的同伦延拓法去 噪法具有比较好的去噪效果 大连理工人学硕士学位论文 1 4 本文的主要结构 本文主要分为四个章节 第一章概括介绍论文的研究背景、国内外发展与历史现状及论文的主要工作； 第二章介绍与同伦延拓法相关的理论基础，重点介绍了正则值和s a r d 定理： 第三章介绍同伦延拓法思想，路径跟踪的总体结构及具体跟踪过程； 第四章对传统的时间依赖方法，不动点迭代法，原始对偶法，牛顿法与延拓相结合 的方法进行了比较和分析，给出全变分正则化和同伦延拓法去噪的算法并通过数值实验 将同伦延拓法去噪与最速下降法和牛顿共轭梯度法n 4 。1 朝去噪做比较； 最后总结全文 基于同伦延拓的全变分图去噪法 2 预备知识 我们已经知道，用牛顿法求解非线性方程组，其收敛速度是相当快的，在适当的条 件下，该方法有二阶收敛速度但牛顿法对迭代初值要求很苛刻，如果初值不在牛 顿迭代的收敛域内，该方法失效另一方面，如果某种类型的问题需重复求解，则某种 具有大范围收敛的所谓“黑盒子 方法更符合需要同伦延拓法就是这样一种方法在 研究同伦延拓法之前，我们首先给出一些相关的知识【1 6 - 1 9 2 1正则值 定义2 1 1 设厂：dcr ”- - r ”是光滑映射，对任意y r m ，记厂一) 为y 在映 射下的逆象，即 f 。1 ) = x di 厂g ) = y 对于d 中的某一点，如果在处的j a c o b i 矩阵要g 。) 行满秩，则称x 。为的正 则点不是j 下则点的点称为临界点( 或奇点) 设y 。r 脚，如果所有f _ 1 。) 都是 的正则点，则称y 。为的正则值不是正则值的值称为临界值临界点的像一定是临界 值，而正则点的像不必是正则值事实上，只要厂。1 ) 中有一个临界点，y 就是临界值 但这时厂- 1 ) 中仍可能有若干个正则点当y r ”不属于的值域厂) 时，y 自动成 为厂的正则值虽然这时y 并不是任何x d 的的正则值事实上，若记厂的临界点 的集合为c ，即c = x dl 厂( x ) 非行满射) ，这时f 的临界值集合为厂( c ) 只要 y r ”厂( c ) ，y 就是厂的正则值 例2 1 1 设：r - - r 为厂g ) ：s i n x 对任意x 。r ，娑g 。) = c o s x 。因此，的临 界点集满足方程o o s x = 0 ，由此得临界点集 后万+ 詈i 七= o ，1 ，2 ，3 ， 正则点集为 艇r 旧勋+ 三，拈o ，“，+ 2 ，+ 3 ， 下面两个引理说明在解非线性方程组中正则值的重要性 大连理工大学硕士学位论文 引理2 1 1设f ：dcr ”jr ”为c 2 佃) 类映象，夕为的一个正则值则 厂g ) = 夕的解由孤立点组成换言之，v 曼厂1 ) ，存在曼的一个邻域g ) ，使得 厂- 1 ( 夕) n ( 量) = 曼) 证设曼为厂g ) = 夕的一个解对每个接近宕的x ，由一阶泰勒公式有 几) = 厂g ) + 厂7 g ) ( z 一量) + d ( 忙一舅0 ) = 夕+ 厂g ) g 一曼) + d ( 0 x 一舅0 ) 因为夕是厂的i t 贝, u 值，所以厂 ) 是n 阶非奇异矩阵从而对每一个x 量，可知 f 7 g 融一量) o 于是存在曼的一个邻域 ) ，使得对每个x g ) g 曼) ，有 厂g 始一i ) + o ( 1 l x 一圣0 ) 0 引理2 1 2设f ：dc r 州一r ”为c 2 ( d ) 类映象夕为f 的正则值则对每 个f 。1 ) ，存在定义在某个半开区间【0 ，s ) 上的以弧长s 为自变量的连续可微函数 如) ( 这里s 是某一正数或+ ) ，使得 ( 1 ) f g g ) ) 量夕，v s 【o ，s ) ； ( 2 ) 如果s z ， 厂：彳一】，是光滑映射，如果y y 是映射f ：x 专】，和钞：讶专】，的正则值，则厂。1 ) 或者是空集，或者是后一z 维带边流形，且它的边界满足a ( 厂。1 ( 少) ) = 厂。1 ( 少) o a x 在定理是叙述中，a f = fi 凹：o x y 是映射厂在x 的边界上的限制，称为映 射f ：x 专】，的边界映射 例2 2 2 设f ：r ”“o ，1 卜 r ”是光滑映射，则f 的边界映射a f r ” o ，1 一r ” 为 a 厂( x 。，x 。，) = ；：二：二：君 此时，0 是钞的正则值等价于0 同时是厂( x l ，一，x 。，0 ) 和厂( x 1 ，一，x 。，1 ) 的正则值这 样，考虑到定理2 2 3 中a ( 厂_ 1 ( y ) ) = 厂_ 1 ( y ) o a x ，若。同时是f ( ) ，f ( ，0 ) 和 基于同伦延拓的全变分图去噪法 f ( ，1 ) 的正则值，则f 。1 ( 0 ) 中不存在图2 1 所示的两类曲线 jl f l f7 刃u。 u r 。7 图2 1 封闭曲线 f i g u r e2 1c l o s e dc u l v e 定理2 2 4 ( s a r d 定理) 设x 是带边光滑流形，】，是光滑流形，厂：x 专】，是光滑 映射则厂的临界值集和秒的临界值集在】，中的测度均为零 定理2 2 5 一维带边光滑流形的每个连通分支，或者微分同胚于单位圆周，或者 微分同胚于 o ，1 】，( 0 ，l 】或( o ，1 ) 定理2 2 6 ( 参数化s a r d 定理) 设ucr ”与vcr 9 是非空开集f ：u v - - r ” 为c 7 p y ) 类，其中， m a x o ，刀一m 如果0 r ”是f 的正则值，则对几乎所有的点 1 ，v ，0 是限制映象f ( ，v ) ：u r ”的正则值 对任意取定的g i r ”，记日。为由h 。( x ，r ) = ( 1 一f ) ( x 一口) + f 厂( x ) 定义的映射 h 。：r ”【0 ，1 】- - r ”映射h 。在灭”“0 ，1 】的边界o ( r ”【0 ，1 】) = r ” 0 ，1 上的局 限记作a 日。：r ” 0 ，1 卜争r ” 定理2 2 7 设f ：r ”一r ”是光滑映射，0 是厂的正则值作同伦 日( x ，f ，6 1 ) = ( 1 一r ) ( x 一口) + r ( x ) 则对几乎所有的6 1 r ”，0 同时是映射h 。：r ”【0 ，1 】一r ”和a 日。：r ”“o ，1 】专r ” 的正则值 证映射h 对变量( x ，r ，1 2 ) 的j a c o b i 矩阵是 不o 而h = ( 1 - 妒+ ，鬈( 疹饰) 七叫i - ( 1 叫刁 大连理t 大学硕士学位论文 其中i 是刀阶单位矩阵当f l 时，矩阵一( 1 一，) ，的秩为刀；当f = 1 时，由于0 是厂 的正则值，故矩阵( 1 一f ) ，+ ，篆( x ) 在厂的零点处的秩为疗所以矩阵可量等五在集合 胃。1 ( o ) = ( x ，r ，口) 足”【o ，l 】足一ih ( x ，口) = o 上行满秩，即0 是映射h 的正则值， 故由定理2 2 6 知，对几乎所有的a r ”，0 是映射日口：灭”【0 ，l 】一尺”的正则值 最后，注意h 。( ，o ) = x a ，h 。( ，1 ) = ( x ) ，即知0 是a h 。：r ”【o ，1 卜争r ”的正 则值 定理2 2 8 在定理2 2 7 的条件下，对几乎所有的口r ”，蟛1 ( 0 ) 由下面几种曲 线组成， ( 1 ) 犬”( o ，1 ) 中具有有限弧长的闭曲线； ( 2 ) r ”( o ，1 】中具有有限弧长的非闭曲线，并且它的两个端点都在足一 1 上，即它的 两个端点都是厂的零点； ( 3 ) r ”( o ，1 】中以尺” 1 ) 上f 的零点作为它的 。项i i - t a 点的无界曲线： ( 4 ) 一条具有有限弧长的曲线，以点( 口，0 ) 和( x ，1 ) 作为它的两个端点，其中f ( x ) = o ， 或者一条以( 口，0 ) 为它的一个端点的无界曲线这两种情况必有一种发生，且只有 一种发生； ( 5 ) 没有端点的r ”( o ，1 ) 中的无界曲线 证根据定理2 2 4 ，对几乎所有的口r ”，0 同时是映射日。和解口的正则值取 定口r ”，使得0 同时是日口和阳口的正则值，则所1 ( 0 ) 是一维光滑流形因0 是映 射厂和x - a 的正则值，由定理2 2 3 知，所1 ( 0 ) 中不存在如图2 1 中那样的曲线即 所1 ( 0 ) 中不存在与超平面t = 0 或f = 1 相交的封闭曲线由一维流形的分类定理知， 所。( 0 ) 中的曲线或者微分同胚于单位圆周，或者微分同胚于【o ，1 】，( 0 ，1 】或( o ，1 ) 所以， 所1 ( 0 ) 中的有界曲线如图2 2 所示，无界曲线如图2 3 所示 珥1 ( 0 ) 中的曲线只有图2 2 和图2 3 中那样的曲线，图2 2 所示的三种曲线或者微 分同胚于闭单位区间f 0 ，1 1 ，或者微分同胚于单位圆周，所以它们都具有有限弧长因为 ( a ，0 ) 巧1 ( 0 ) ，而0 是日。的正则值，由隐函数定理知，所1 ( 0 ) 中必有一条曲线以点 ( 口，0 ) 为其一个端点，易知，此曲线或者与超平面尺” 1 ) 相交，或者趋于无穷 基于同伦延拓的全变分图去噪法 jl t l y 。 一 0 ( 口，0 ) 彤 图2 2 有界曲线 f i g u r e2 2b o u n d e dc u r v e f l 三 l 、 o ( 口，0 ) 彤 图2 3 无界曲线 f i g u r e2 3u 1 1 b o u n d e dc u r v e 在上面的定理中，我们感兴趣的是何1 ( 0 ) 中从( 口，0 ) 出发的曲线记此曲线为 兄( s ) = ( x ( s ) ，于( s ) ) ，o s s o ，名( o ) = ( x ( o ) ，f ( o ) ) = ( 口，0 ) ，s 是弧长曲线见( s ) 有两 种情形，一种是从( a ，0 ) 出发，不与超平面r ” 1 ) 相交记交点为( x ，1 ) ，则曲线 z ( s ) 具有有限弧长由映射h 。的构造知，x 是映射厂的一个零点，f ( x ) = o ，由此 可见，只要曲线五( s ) 有界，曲线旯( s ) 的另一个端点必是映射厂的零点 2 3 映射的同伦 现在我们介绍同伦的定义及其简单性质记1 ：【0 ，1 】 大连理工大学硕士学位论文 同伦就是映射间的连续变形设x 与】，都是拓扑空间，记c ( x ，y 1 是x 到】，的一 切连续映象之集合设兀， c ( x ，y ) ，所谓兀与 同伦，就是指兀可以“连续地 变 为一这意味着在每一时刻f i ，有一连续映射乃，c ( x ，y ) ，h 。= f o ，h 。= ，并且办， 对t 有连续的依赖关系确切的定义如下： 定义2 3 1 设x 与j ，是拓扑空间，厶，石：x y 是连续映象若存在连续映象 日：xx ，专】，使得对一切x x 成立日( x ，0 ) = f o ( z ) 与日o ，1 ) = z ( x ) ，则称厶同伦于 z ，记作f o = 五称映象日为从厶到z 的同伦或伦移，记为日：f o = 石或兀= 五 例2 3 1 令日g ，r ) = ( 1 一f ) 兀g ) + r zg ) ，f 【0 ，1 】贝l jh ：f o = 石 直观上，可以把t 看成时间参数， v t “0 ，1 】，令啊= h ( x ，t ) ，则 吃：xj y it 【0 ，1 】) 是一族连续映象当t 从0 变到1 时，同伦h 便将映象f o 连续 地“形变为石根据定义，吃g ) 同时连续地依赖于点工x 与时间t “0 ，1 】 定理2 3 1 记c 功是x 到y 的一切连续映象之集合，则同伦关系在 c ( x ，】，) 中是一种等价关系 研究同伦的意义在于：空间的许多重要的不变量都是同伦不变量 2 4 牛顿共轭梯度法 牛顿共轭梯度法就是用共轭梯度法求解牛顿方程的近似解我们假设v 有足够好 的精度保证o ；f ( x ：国) 是v 2 厂g b 的有用的近似h e s s i a n 阵 向前差分的共轭梯度法( 即f d c g ) 算法2 1 f d c g ( x ，f ，刁，k m a x ，d ) 1 ，= 一夥( x ) ，岛- - i l ，bk = 1 ，d = o 2 d ow h i l e 石 r i i v f ( x ) l l a ，z dk k m a x ( a ) i fk = l t h e np = r 、 e l s e j | b = , o k p t 一2a n dp = r + t i p ( b ) 功= d ；f ( x ：p ) 矿p 7 1 缈= 0s i g n a li n d e f i n i t e n e s s ；s t o p 矿p r 彩 ，70 夥( z ) 0 删后 0 与m 0 ，使 i o + oo c 惮l z i i | vi m 注意到 0z o + d z 0 ： - i iz o + 1 一z