（计算数学专业论文）基于多项式样条函数的常微分方程bvp的研究及应用.pdf

j 原创性声明 i i j r l l l l l i j l l i i l l l f l f f i l u r i i f l l l l f f l l i h i l l l i l u l y 17 1812 8 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：毯匝丝日期：丝2 z 年上月卫日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允许学位 论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用 复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。 作者签名：毯豳丝导师签名重垄竺笙日期：垒翌_ 年上月卫日 摘要 对于常微分方程的b v p ( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) 数值解法 的研究及应用，是近几十年研究的热点问题。其数值解法层出不 穷，主要有基于多项式样条函数的数值解法、基于非多项式样条 函数的数值解法、有限差分法、配置法、b 样条函数法等。 本文通过对样条函数基函数的不同选取，构造出了一类新的带有 指数函数、三角函数、多项式函数的非多项式样条函数，并且将该非 多项式样条函数用来求解两类常微分方程边值问题，一类是0 b v p ( o b s t a c l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) ，一类是t - p b v p ( t w o p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) 。给出求解的递推公式，并进行了相应的 误差分析和稳定性分析。结果显示该方法的局部截断误差为0 ( h 6 ) ，整 个区间绝对误差为0 ( h 2 ) ，并且是二阶收敛的。通过数值例子，对两 类常微分方程的边值问题进行数值求解，利用m a t l a b 编程计算出 绝对误差，画出误差分析图。其数值试验结果体现了基于非多项 式样条函数的数值解法的优点。 关键词非多项式样条函数，常微分方程的边值问题，两点边值问题， 障碍边值问题，收敛性分析 a b s t r a c t t oo b t a i nt h es o l u t i o no f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dt h ea p p l i c a t i o no fi ti sap o pt o p i ci nr e c e n t y e a r t h e r ea r eal o to fn u m e r i cs o l u t i o n s f o re x a m p l e ，n o n p o l y n o m i a l s p l i n es o l u t i o n ，s p l i n es o l u t i o n ，f i n i t ed if f e r e n c em e t h o d s ，b s p li n ea n d s 0o n i nt h i sp a p e r , w em a i n l yu s et h en o n p o l y n o m i a ls p l i n e sf u n c t i o n st o c o n s t r u c tt h en e wb a s i cf u n c t i o nw h i c hi n c l u d et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n 、 e x p o n e n t i a lf u n c t i o na n dp o l y n o m i a lf u n c t i o n a f t e rt h a tw eu s et h e n o n p o l y n o m i a ls p l i n e sf u n c t i o n sr e s p e c t i v e l yt oa p p r o a c ht h es o l u t i o n s o ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h et w ok i n d so fd if f e r e n to r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o n e i st h eo b s t a c l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，t h e o t h e ri st w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h e nw eg a v ea ni n e x p l i c i t r e c u r s i o nf o r m u l ao ft h ee q u a t i o n s a l s ow em a d ee r r o r a n a l y s i sa n d s t a b i l i t ya n a l y s i s o ft h i s p r o b l e m t h er e s u l ts h o w e dt h a t i t sl o c a l t r u n c a t i o ne r r o rw a s 0 ( h 6 ) ，t h eg l o b a lt r u n c a t i o ne r r o rw a s0 ( h 2 ) a n dt h e s o l u t i o no ft h i sp r o b l e mi ss e c o n dc o n v e r g e n c e i nt h i sp a p e rw eg a v e s o m ec o r r e s p o n d i n ge x a m p l e sa n dd r e wt h ep i c t u r e so ft h ea b s o l u t ee r r o r s b yu s i n gam a t l a bp r o g r a m t h e nw em a d ee r r o ra n a l y s i so ft h ep r o b l e m t h r o u g he x a m p l e s w ed i s c u s s e dt h ed i f f e r e n ts i t u a t i o n so ft h ee r r o ri n d i f f e r e n tb a s i s e s t h er e s u l ts h o w e dt h a tt h ea p p r o x i m a t i o ne f f e c tw a s i i g e t t i n gb e t t e rt h a nt h ep r e s e n tm e t h o d k e yw o r d s n o n p o l y n o m i a ls p l i n ef u n c t i o n ，b o u n d a r yv a l u e p r o b l e m o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ho b s t a c l ep r o b l e m ，e r r o ra n a l y s i sp i c t u r e ， c o n v e r g e n c ea n a l y s i s 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i 第一章绪论1 1 1 常微分方程的b v p 的研究背景1 1 2 国内外的研究现状1 1 3 论文的研究内容与组织2 1 4 论文的创新之处3 第二章常微分方程b v p 概述4 2 1 基本概念4 2 2 障碍边值问题5 2 2 1 基本理论5 2 2 2 常见的数值方法7 2 3 两点边值问题9 2 4 小结1 0 第三章基于n p s 的常微分方程o b v p 的研究及应用11 3 1 样条函数1 1 3 2 基于n p s 的数值解法1l 3 3 收敛性分析1 5 3 4 数值实验1 9 3 5 小结2 1 第四章基于n p s 的常微分方程的t p b v p 的研究及应用2 3 4 1 基于n p s 的数值方法2 3 4 2 收敛性分析2 4 4 3 数值实验2 7 4 4 小结2 9 第五章总结和展望3 0 5 1 完成的工作与总结3 0 5 2 基于非多项式样条函数法的研究与展望3 1 参考文献3 2 致谢3 7 攻读硕士学位期间主要的研究成果3 8 中南大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 常微分方程的b v p 的研究背景 常微分方程是与天体力学( 特别是行星运动规律) 同时发展起来的，前者为 后者提供物理现象的数学计算工具，后者为前者提供数学模型的物理根据。天体 力学和常微分方程在两体问题( 例如太阳和行星，行星和卫星等) 上取得的历史 成就在十九世纪很显著。近代，在三体问题( 例如日、地、月三者的互相吸引) 中，除了几种物理守恒定律( 能量守恒、动量守恒、角动量守恒) 外，没有其他 的初等积分的解。由于天体力学的需要，发展起来的这些数学分支，包括数值求 解、定性分析，以及近似解析解等几个常用的部分。 近年，常微分方程的边值问题( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) 简记为b v p ，也 成为数学家们研究的热门问题。常微分方程的b v p 出现在海洋物理学【l ，2 】以及天 体物理学【3 j 中，在自然科学和工业中有广泛的应用。对于现有常微分方程体系中 的边值问题( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) 、非线性问题( u n i l a t e r a lp r o b l e m ) 、障碍问 题( o b s t a c l ep r o b l e m ) 、切点问题( c o n t a c tp r o b l e m ) 、平衡问题( e q u i l i b r i m u p r o b l e m ) 等，这些问题成了研究的热点。本文着重讨论常微分方程的边值障碍 问趔4 。2 j ( o b s t a c l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，简记为o b v p ) 和常微分方程的两点 边值问题【l 弘1 4 j ( t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 简记为t - p b v p ) 。研究这类问 题的方法很多，如有限差分法【4 1 、多项式样条函数法【5 - 8 、非多项式样条函数法1 9 1 、 b 样条函数法【l o 】、配置法【1 1 1 、样条函数迭代法【1 2 】等。 基于样条函数的常微分方程边值问题的解法，根据基函数选取的不同分为多 项式样条函数和非多项式样条函数。随着科学技术的发展，人们越来越重视对常 微分方程的各种问题的研究( 边值问题、障碍问题、非线性问题，切点问题，初 值问题) ，因此找到一种高精度的数值解法显得尤其重要。针对这个问题，国内 外的研究者们提出了很多方法【4 。1 制，但是有的方法只适用某一类方程，对于其他 类型的方程未必能获得高精度、较小的绝对误差。寻找更好的数值方法，完善基 本的理论成为当下研究的主要内容。 1 2 国内外的研究现状 常微分方程的障碍边值问题( o b s t a c l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) 出现在海 洋物理学以及天体物理学中，它最初是由r a u s m a n i ，m s a k a i 等人研究的，他 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 们提出用四次样条函数解决这类问题，取得了一系列研究成果，尤其是在理论上 的一些结论【1 5 。2 7 】，为以后的各种数值解法提供了理论依据。到了二十世纪九十年 代这类问题成了热点，国外许多研究者提出了各种新方法解决这类问题，不但从 理论上证明它是二阶收敛的，还把研究结果应用于其他领域。进入二十一世纪， 人们对求解带障碍边值问题的微分方程进行深入的研究，得到许多行之有效的方 法。以三阶的常微分方程边值障碍问题为例，国际上许多数学家给出了不同的方 法。e a a 1 一s a i d l 4 , 5 】在19 9 6 年给出了有限差分法逼近其精确解，在2 0 0 3 年用三 次样条函数逼近其精确解，m u h a m m a d a s l a mn o o r , e i s aea i s a i d l 6 j 在2 0 0 4 年提 出用四次样条函数逼近其精确解，a r s a h a dk h a n ，t a r i qa z i z l 7 1 用五次样条函数逼近 其精确解，m a n o o r 1 1 】给出了配置法逼近其精确解。2 0 0 5 年s i 喇u l i s l a m l 9 l 给出 了非多项式样条函数逼近其精确解，其基函数选为三角函数和多项式函数，大大 提高了其精度。2 0 0 6 年青岛科技大学高峰l lo j 等人提出用四次b 一样条函数解决 三阶常微分方程的b v p ，不但证明其二阶收敛，还得到很好的数值结果，绝对 误差相对其他方法较小。同时他们还把这几类方法推广到解五阶、六阶或高阶常 微分方程的边值问题【2 8 却】。 常微分方程的两点边值问题( t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) ，以三阶 为例，在1 9 8 4 年r a u s m a n i ，m s a k a i 【1 3 j 等提出六次非多项式样条函数法( 基函 数中是由三角函数和多项式函数组成) ，得到很好的数值实验结果，而t a l a a t s e l d a n a f i l 4 】在2 0 0 8 年发表一篇论文，文中给出了四次非多项式样条函数( 基函 数是由三角函数和多项式函数组成) ，也取得很好的数值实验结果。 在求解微分方程中，样条函数有其独特的优点：其解的形式是连续变化的， 而且比较简单，并且有很高的精度。为了追踪先进的研究趋势，本文通过对样条 函数基函数的不同选取，构造出了一类新的带有指数函数、三角函数、多项式函 数的非多项式样条函数，并且将该非多项式样条函数用来求解两类常微分方程边 值问题，一类是o b v p ( o b s t a c l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) ，一类是t - p b v p ( t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) 。给出求解的递推公式，并进行了相应的误 差分析和稳定性分析。结果显示该方法的局部截断误差为o ( h 6 ) ，整个区间绝对 误差为o ( h 2 ) ，并且是二阶收敛的。通过给出的数值例子，对两类常微分方程进 行数值求解，并分析了绝对误差和相对误差。其数值实验结果显示了基于非多项 式样条函数的数值解法的优点。 1 3 论文的研究内容与组织 国内外很多研究者对于常微分方程的o b v p 和t - p b v p 已经给出了不同的数 值方法，取得了一系列研究成果，尤其是在理论上，为基于样条函数的数值方法 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 提供了理论基础。本论文是通过选择另一类特殊的基函数来构造非多项式样条函 数，在原有非多项式样条函数的基础上添加了指数函数，因为指数函数可以无穷 次求导，而且要解的方程的精确解中大都含有指数函数，用新构造的基函数，去 求解常微分方程的边值问题时，数值实验显示其优点。 论文内容安排如下： 第二章，对常微分方程b v p 进行概述，讨论了常微分方程的o b v p 和t - p b v p 的一些基本理论和求解方法，这些结论保证了本文基于非多项式样条函数的数值 方法的可行性。同时给出其他数值方法的求解算法和局部截断误差。 第三章，基于非多项式样条函数的常微分方程的o b v p 的研究和应用，通 过对样条函数基函数的不同选取，构造出了一类新的带有指数函数、三角函数、 多项式函数的非多项式样条函数，并且将该非多项式样条函数用来求解三阶常微 分方程的障碍边值问题o b v p ( o b s t a c l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) ，给出求解的 递推公式，并进行了相应的误差分析和稳定性分析。结果显示该方法的局部截断 误差为o ( h 6 ) ，整个区间绝对误差为o ( h 2 ) ，并且是二阶收敛的。通过数值例子， 对常微分方程进行数值求解，并分析了绝对误差和相对误差。其结果显示基于非 多项式样条函数的数值解法在其精度及逼近的效果上优于方法f 9 】。 第四章，基于非多项式样条函数的常微分方程的t - p b v p 的研究和应用，用 第三章中构造的非多项式样条函数对三阶常微分方程的两点边值问题进行求解。 并证明了基于非多项式样条函数的数值方法在整个区间是二阶收敛的，讨论其截 断误差，并给出一个常微分方程的具体实例，讨论其数值实验结果，利用m a t l a b 画出误差分析图，求出每个节点处的近似解。 第五章，本文总结，并对后续的研究做了展望。 1 4 论文的创新之处 在求解常微分方程的边值问题时，为了进一步改进这类问题的数值方法，本 文着重在以下两个方面做了改进：首先本文根据基函数的不同选取，构造出一类 新的非多项式样条函数，其基函数包括指数函数、三角函数和多项式函数，借助 于指数函数、三角函数可以无限次求导来提高精度，并用该函数埘常微分方程进 行数值求解；其次本文的数值方法给出的求解公式中含有 q 个参数，第三章解常 微分方程的障碍边值问题和第四章常微分方程的两点边值问题给出的数值例子 参数，能获得这类方法的最小绝对误差及较为理想的误差分 比较中很容易看出本文的数值方法的优点，详细情况将在第 3 中南大学硕士学位论文第二二章常微分方程的b v p 的概述 2 1 基本概念 第二章常微分方程b v p 概述 微分方程【4 8 】是指联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式，而常微 分方程是微分方程中自变量只有一个的，比较简单的一种。求解常微分方程时， 要求满足具体问题的特定解，这就是所谓的定解问题，当定解条件用初始条件表 示时，相应的定解问题就称为是初值问题 4 9 - 5 2 】；当定解条件用边界条件表示时， 相应的定解问题就称为是边值问题。 以二阶常微分方程【5 3 j 的b v p 为例，如果在求解区间 a ，b 的端点给定边界条 件： y2 口 ( 2 1 1 ) y = p 其中口，为已知的常数，就可以得到一个二阶方程的边值问题： ly 。+ p ( x ) y 。+ g ( x ) y = ( x ) ， 少( 口) = 口， l y ( 6 ) = 口， 除了形如( 2 1 1 ) 的边界条件外，还有在端点给出一阶导数或者高阶导数 的边界条件。边界条件刚又分为第一类边界条件、第二类边界条件、第三类边 界条件和周期边界条件： 第一类边界条件： 材( 口) = i l l 甜( 6 ) = r 1 2 第二类边界条件： u ( 口) = i l l ，u ( 6 ) = 1 1 2 第三类边界条件： q “( a ) + 口2 u ( 日) = i l l ， 届甜( 6 ) + 屈甜( 6 ) = 1 1 2 周期边界条件： 材( 口) 一“( 6 ) = i i i “( 口) 一“( 6 ) = 1 1 2 当仍= i l ：= 0 时，就是所谓的周期边界条件。 需要指出的是常微分方程的b v p 的求解，和初值问题的情形不同，边值问 题有时可能无解，有时有解但是解不唯一。经典的求解方法文献总结的有待 定系数法、r i t z g a l e r k i n 方法、有限元法、杂交有限元法、混合有限元法、边界 积分方程法等。 4 ， ， 口6 = = x x ，f1l 中南大学硕十学位论文 第二章常微分方程的b v p 的概述 2 2 障碍边值问题 常微分方程的障碍边值问题用于对有界的、单向的、自由边界的常微分方程 问题的研究，它在纯自然科学和应用科学分支领域有着重要的应用性。其方程主 要形式如下： i ( x ) ，a x c ， y 。= g ( x ) 少( z ) + 厂( x ) + ，- ( x ) ，c x d ， ( 2 - 2 - 1 ) i 厂( x ) ，d x b 其边界条件为： y ( a ) = ，y ( 口) = 屈，y ( 6 ) = 履， ( 2 2 2 ) y ，y ，y 在c ，d 处连续，( x ) ，g ( x ) ，r ( x ) 在区间【口，b 】是连续函数，其中参数 q ，届，厦是实数依据现有的参考文献中的例子2 1 ，可以看出对任意的 厂( x ) ，g ( x ) ，r ( x ) 都还没有找到一种理想的数值方法，来获得较好的数值结果。 2 2 1 基本理论 m a n o o r 、e a a 1 一s a i d 4 , 8 , 1 i 提出了求解如下的三阶常微分方程o b v p 的基本 理论。叙述如下： 设方程( 2 2 1 ) 边界条件( 2 2 2 ) 的精确解为y ： 一y 。f 在q = 0 ，1 】，( 2 - 2 - 3 ) y 少在q = 【0 ，1 】， ( 2 2 4 ) 卜y ”一】 少一沙】= 0 在q = 0 ，1 】， ( 2 2 5 ) y ( o ) = 0 ，y 。( 0 ) = 0 ，y ( 1 ) = 0 ，( 2 - 2 6 ) 其中f ( x ) 是连续函数，( x ) 足一分段函数，q 表示一区间。下面定义一个集 合k ： k = v ：v n o ( q ) ：y 在q ) 其中焉( q ) 是s o b o l e v 空间，则k 足紧集也是闭集。根据表达式( 2 2 3 ) 式 一( 2 - 2 6 ) 式可得如下的能量函数表达式： 中南大学硕士学位论文第二章常微分方程的b v p 的概述 小1 = 一f 万d 3 v ) ( d v 出一2 f m ) ( 参出 = 土万d 2 v ) 2 出一2 f m ) ( 妾) 出 = - 2 ，g ( v ) ， ( 2 2 一7 ) 对所有的车k 其中： 毗弦f ( 窘) ( 窘) 出( 2 - 2 - 8 ) g ：_ d 是线性运算，从( 2 2 8 ) 式可以看出所定义的运算t 也是线性的，由 以x ( 2 2 7 ) 式定义的函数v 】的最小值，在闭紧集k _ j t _ i 圭i ( 2 2 3 ) 一( 2 2 6 ) 式 可以得出下面的不等式： ( 2 2 9 ) 对于所有的g ( v ) k 。 对( 2 2 3 ) 一( 2 2 6 ) 式也可以写成下面形式【1 8 l ： 一y 。+ 1 ， 少一妙) ( 少一) = f ，0 x 1 其边界条件： 少( o ) = 0 ，y ( 0 ) = 0 ，y ( 1 ) = 0 ， 其中： f 1 ，t 0 ， “，) 5t i ； i v ( ，) 是一个不连续函数，同时也是一个p e n a l t y i 函数，沙是分段函数，其定义 如下： 沙( x ) = 一l ， l ， 6 o x 丢，三石-4 。4 1 x 三 44 中南大学硕士学位论塞笙三兰堂燮坌查堡塑呈鲨塑塑垄 - - _ - - _ - _ _ _ - _ - _ - - _ _ - - - _ - _ _ _ - _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ l _ _ - - - - - l _ _ _ _ _ _ _ 一 y 。c x ，= ：+ 厂一。，。耋三季_ 1 c 2 2 1 3 ， y ( o ) = 0 ，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = o ， ( 2 2 1 4 ) 其中：y ，少，少。在x - - 丢，x = 言处连续。且( 2 2 1 3 ) 是如下方程的特殊形式， i ( x ) ， y 。= g ( x ) y ( x ) 十厂( x ) + ，( x ) ， i 厂( x ) ， a x c ， c x d ， d x b 其中：g ( x ) = l ，= - 1 。 上述给出的基本理论保证了基于非多项式样条函数的数值方法在求解常微分 方程的o b v p 的可行性，而且对于( 2 2 1 2 ) 式有唯一解。 2 2 2 常见的数值方法 常用的常微分方程o b v p 的数值解法有有限差分法、配置法、四次b 一样条 函数法、三次样条函数法、四次样条函数法、血次样条函数法、基于非多项式样 条函数的方法等。 有限差分法【4 l 其差分公式如下： h 3 y 。= 一y ，一2 + 3 m l 一3 y ，+ y i + l + o ( 4 ) 主要的数值算法如下： 9 j ，l 2 一乃，2 2 8 y o + 3 b y ；一三8 办3 y t 2 + t l , f = 1 - - 2 y , 2 + 3 y 3 2 一乃2 = h y ；+ 土2 4 办3 ( 威一1 2 y j 2 1 2 五2 ) + ，2 ，f = 2 3 y , 刈2 3 y , _ 3 z + 一2 1 1 2 h 3 ( 1 1 如+ 7 y i _ t z - 2 9 y 7 _ 3 2 一) + f f ，3 7 s 刀一1 2 y - - ，2 3 虬- 3 ，2 + 虬_ 5 25 碗+ 去办3 ( 盛一1 2 盛_ 1 2 1 2 以叫2 ) + ，2 ，= 胛 其中： r 中南人学硕十学位论文第二章常微分方程的b v p 的概述 或。彪= ：卅陀+ z + ，：+ ，。垂兰茎三；i f 万一1 丘i ，2 = ( “，2 ) ，i = 0 ，1 ，2 ，”一1 有限差分法得到的局部截断误差为： 一品j i z 5 y 5 5 ) - i - o ( h 6 ) ， 面1 5 露+ o ( h 6 ) ，f = 2 6 5 _ h 5 以5 ) + o ( a 6 ) ，3 f 门一1 面1 办5 妒+ o ( h 6 ) ，f _ 以 m a n o o r 在参考文献【4 1 中，证明了有限差分法区间【口，b 】是二阶收敛的。 三次样条函数f 5 1 ( s p a n 1 ，x ，x 2 , ，) ) 、四次样条函数【6 】( s p a n 1 ，x ，x 2 , x 3 , x 4 ) ) 、 五次样条函到7 1 ( s p a n l ，x ，x 2 , x 3 ，x 4 , x 5 ) ) 的基本思想是一致的。下面以四次样条 函数为例，主要借助于构造的样条函数在节点处连续，其二阶导数、三阶导数连 续，对边界初值条件也连续可微的作为定解条件可以得到下边的递推公式： 厶3 3 一4 m + y 2 = 一2 h f o + 吾i 5 7 0 + 1 0 t i + 正】，f = 1 二t b 3 一m 一2 + 3 m l 一3 y i + + l = 吾i 【z 一2 + 1i t , 一l + l1 t , + z + l 】，f = 2 ，3 ，疗一1 二r 厶3 3 一2 + 8 一l 一5 此= 一2 h f + i + 。鲁 4 瓦一2 + 2 4 t 一l + 6 0 乙】，= 聆 其中：z = 厂c 誓，z = j ：一，0 i 季茎：耋；： 基于多项式的四次样条函数数值方法得到的局部截断误差为： 一焉秽) + o ( h 6 ) ， 喵 圳= 1 一i l z h s y t 5 ) ( 专, ) + o ( h 6 ) ，一一2 当 + l ，2 f ，l 一1 一i l u h s y t s ) ( 磊) + o ( h 6 ) ， 矗 磊 6 ，f = 刀 8 中南大学硕士学位论文 第二章常微分方程的b v p 的概述 m u h a m m a da s l a mn o o r , 在参考文献1 6 l 中，证明了基于多项式的四次样条函数法在 整个区间【a , b 】是二阶收敛的。 四次b 样条函数法和基于多项式的三次、四次、五次样条函数法类似， 不同点在于所选择的基函数不同。定义四次b 一样条函数为s ( x ) = e ，。( x ) 同样 借助于构造样条函数在节点处连续，其二阶导数、三阶导数连续，对边界初值条 件也是连续可微的可得到： s ( x ) = 哆哆，。( x ) ， s 。( 葺) 2 万1 ( 一嘭_ 4 + 3 嘭- 3 3 a i _ 2 + 一1 ) ， s ( ) = 西1q 一。+ 芸q 一，+ 昙q 一：+ 去一， 其中： 口i - i - - q 一4 3 q 一3 3 q 一2 + 办3 z ，1 f 三和a n 4 f 玎， = 弋去+ 古) 咕一古) 一当+ 一- ) 3 ，瓦1 一万1 ) 一啧i i + 万3 五1 1 ) a 卜： 一( f - 1 ) ( - 2 - 1 4 一万1 ) ，百n f 百3 n 高峰在参考文献【1 0 1 中根据t a y l o r 展丌式，证明了基于四次b 一样条函数的数 佰方法在罄个区i 、白l 县二阶收敛的。 2 3 两点边值问题 常微分方程的两点边值问题( t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) 也是研究 热点，有许多数值解法。下面以三阶为例介绍常微分方程的两点边值问题，其形 式如下： y + ( x ) y = g ( x ) ，x 口，b 】( 2 - 3 - 1 ) 边界条件为： y ( a ) 一a l = 0 ， y ( 口) 一a 2 = 0 ， ( 2 - 3 2 ) y ( b ) 一a 3 = 0 ， 4 ，汪1 ，2 ，3 是实数，厂( x ) ，g ( x ) 在区间 t l , b 是连续函数。 9 中南大学硕士学位论文 第二章常微分方程的b v p 的概述 基于三次样条函数的数值方法l i o 是借助于构造的样条函数在节点处连续， 其二阶导数、三阶导数连续，对边界初值条件也是连续可微的可得到： 3 y o - 4 y 。+ 奶= 一2 蝎+ 彭h 3 3 瓦+ 4 墨+ 正 ，江1 一”一2 + 3 乃一l 一3 + 儿i = 西h 3 + 5 巧一l + 5 z + 驯，汪2 ，3 ，刀一1 一3 y - 2 + 8 乩- i - 5 以= _ 2 螺+ i + 西h 3 3 t _ 2 + 1 0 l i + 3 l 瓦】，f = 疗 其中z 是其三阶导数。 其中茸局部裁断误善为： 一l l u h s y ( 5 ) ( 当1 ) + o ( h 6 ) ， 口 岛 恐，f - l 一= ih 5 y 5 ( 茧) + d ( 办6 ) ，墨一2 磊 葺+ l ，2 i 刀一1 o 一击咖( 磊) + o ( h 6 ) ， 磊 ”= 刀 基于四次非多项式样条函数的数值算法与三阶样条函数的构造方法类 似，这里不再赘述。 2 4 小结 本章主要介绍了常微分方程b v p 的一些基本概念，首先，给出常微分方程 的o b v p 的简介，近几年来各种数值算法，每种数值解法的基本思路，局部截 断误差，还给出相关的一些理论结果。 近年来，人们热衷于用样条函数研究常微分方程的两点边值问题，并且得到 了一些研究成果，根据样条函数的选择不同可分为：三次样条函数法，b 样条函 数法，四次非多项式样条函数法，四次多项式样条函数法。本文选择了另外的非 多项式基函数，研究了四次非多项式样条函数在三阶障碍边值问题和三阶常微分 方程两点边值问题的应用及算法分析，并对该方法进行了误差分析，在所选择的 特殊方程中，数值解的精度远高于现有的方法，在第三章、第四章详细给出。 1 0 中南大学硕士学位论文第三章基于n p s 的常微分方程的o b v p 的研究及应用 第三章基于n p s 的常微分方程o b v p 的研究及应用 3 1 样条函数 样条函数5 6 。5 8 1 是应用最广泛的数学工具，统计计算、最优控制、计算物理、 计算机辅助外形设计与制造等学科，都可以用样条函数这个灵巧的数学工具来推 动其学科发展。样条函数是函数逼近【5 9 击2 1 中的一个活跃分支，它在飞机外形设计、 船体数学放样等方面都有广泛的应用。国内九十年代上海交通大学的钱芝蓁，耿 芬芳等提出用样条函数解奇异摄动方程的边值问题【6 3 】，提出了一种新的样条函 数配点法，且在k 趋于零时与方程的解有相同的渐进性态。湘潭大学的付凯新 m j ，提出用叠样条配置法解微分方程的两点边值问题，由于叠样条对函数的导 数有良好的逼近，他是对传统的配置法进行了改进，用叠样条代替了高阶导数， 提高了数值解的逼近性。 在这篇论文中，根据样条函数中基函数的特殊选取，把所构造的非多项式 样条函数( n p s ) 用来求解三阶障碍边值问题和三阶常微分方程两点边值问题， 现有的非多项式样条函数【9 】对基函数的选取是选择三角函数多项式来构造非多 项式样条函数，该方法能得到问题的光滑解，且执行起来比配置法、有限差分法、 多项式样条函数法要好。本文选择了指数函数，三角函数和多项式来构造非多项 式样条函数，因为三角函数部分和指数函数部分可以无穷次求导，正好弥补多项 式样条函数丢失的光滑性，通过数值例子显示，本文中构造的基函数在三阶障碍 边值问题方面优于已经存在的非多项式样条函数方法。 其构造方法如下，在每个区间x i x x i “，构造一组基函数： s p a n 1 ，x ，x 2s i nk x ，e i ， 以前的样条函数的基函数构造主要有以下几种： s p a n 1 ，x ，x 2x 3 ) ， s p a n 1 ，x ，x 2x 3x 4 ) ， s p a n 1 ，x ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x ， s p a n 1 ，x ，x 2s i n i k l x ，c o skx ， s p a n 1 ，x ，x 2s i n h 。k x ，c o s h c x 3 2 基于n p $ 的数值解法 常微分方程的障碍边值问题用于对有界的，单向的，自由边界的常微分方程 问题的研究，它在纯自然科学和应用科学分支领域有着重要的应用性。其方程主 皇堕堑堡圭堂鱼坠寥 第三章基于n p s 的常微分方程的o b v p 的研究及应用 要形式如下： 其边界条件为： l 厂( x ) ，a x c ， y = g ( 石) j ，( x ) + 厂( 工) + ，( 工) ，f x d ， i ( x ) ，d x b y ( 口) = q ，y 。( 口) = 届，y ( 6 ) = 屈， y ，y ，y 在c ，d 处连续，( x ) ，g ( x ) ，( x ) 在区间【口，6 】是连续函数，其中参数q ，届，屐 是实数。 解形如( 3 - 2 1 ) 式的常微分方程的0 b v p ，为了简单起见，令 c = 丁3 a + b ，x = a + 百3 一b ，把区间n 等分，得到一系列等分点薯：口+ 胁，f ：o ，l ， 其中办= 专署，在每一个小区间【薯，k 。】非多项式见( x ) 有如下的形式： p a x ) = 口fc o s k ( x x , ) + b i e 。一。，+ q ( x t ) 2 + z ( x 一五) + p ，f ：0 ，l ，n ( 3 - 2 - 3 ) 其中q ，匆，q ，z ，e i 都是系数，k 是自由参数，函数只( x ) 在节点鼍差值于y ( x ) 并 且依赖k ，并且当k 专在【口，b 】收敛于五次样条函数。 利用只( x ) 满足边界条件还满足在节点处【一，一+ 。】_ 一阶导数，二阶导数，三阶 导数连续，可以求出( 3 2 3 ) 式的系数，首先求出b ( x ) 的一到三阶的导数，形 式如下： p j ( x ) = - a f t s i n k ( x - x _ ) + b i l e 。一。，+ 2 q ( x 一一) + z ， p 。i ( z ) = 一q 尼2c o s k ( x 一誓) + 尼2 匆p 。一。，+ 2 e ， ( 3 2 4 ) p 。，( x ) = q 后3s i n k ( x 一葺) + 后3 b , e 。r ， 为了求得到q ，岛，q ，z ，e i 的系数的表达式，首先定义 1 2 , ( 薯) = 只 p ，( + 。) = 口+ 。 只( 誓+ 1 ) = 卫+ i p ，( 一) = s p ：( 一) = 口( 3 2 5 ) p ，( 一+ 1 ) = s + 。 把x = ，x = 薯+ l ，代入( 3 2 - 3 ) 、( 3 - 2 - 4 ) ，则： 1 2 、 2 争 吧 争 中南大学硕士学位论文第三章基于n p s 的常微分方程的o b v p 的研究及应用 n l + b i + e i 2y i ， n i c o s 0 + b i e e + c j h 2 + d i h + e i 2 y i “， 肠，+ z = 口， 后3 匆= s ， 哆后3s i n 0 + k 3 b , e 口= s + i ， 其中：口= k h ，i = 0 ，1 ，2 ，n 一1 把( 3 - 2 5 ) 式代入( 3 - 2 - 6 ) 式，可以得到下面的表达式： q 划瓮筹， b i = 缸 q 2 丝乓苴+办一(1-coso)(s,+,-s,e口)+s,sin0(1-ee) h 20 s i n 伊 ( 3 - 2 - 6 ) 一鲁+ 唔， 仔2 扪 d i = d ? 一s l 虿h 2 ， q = 川3 瓮筹一等s 利用只( x ) 的一阶导数，二阶导数在节点( 薯，m ) 连续。即：们( 一) = 础( 一) ， 其中y = 1 ，2 ，可以得到下面的式子，其中i = 1 ，2 ，n 口峨。= 尝( 只巩1 ) + 等( 踮城，口删+ 迹地螋措盟塑幽 r 中南人学硕十学位论文第三章基y - n p s 的常微分方程的o b v p 的研究及应用 钆= 去( 一) + 歹h 2 ( 一轧) + 煮【( c o s 8 + s i n 8 ) ( s ，- l - 粕- 2 ) 心。一驯 h 2 【( 1 一c o s o ) ( s , 一l p 口s 一2 + s p s 1 ) + s i n 0 ( 1 一e 口x s , 一l + s 一2 ) 】 ( 3 2 1 1 ) 把口，皿一。代入( 3 2 8 ) 式消去d f ，口一，得： 啡：埘唔( 1 ) 一丽1 而( c 硎“n 跏口一丢b ( 1 一c o s 即口+ 瓦1 而s i n o ( 1 - e 口) 雠： + 3 乃一。+ 矿 一- 2 ( 1 + e o ) 一2 上0 s i n0