（计算数学专业论文）基于矩阵样条函数的二阶矩阵微分方程数值解法研究.pdf

基于矩阵样条函数的二阶矩阵微分方程数值解法研究 摘要 样条函数在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、小波及微分方程 数值解等领域中均有较为广泛的应用。本文讨论的是矩阵样条函数在矩阵微分 方程数值解中的一些应用。 第一章介绍了为什么要研究矩阵微分方程，矩阵微分方程的初值问题的基 础知识，最后简要的介绍了矩阵样条函数的定义。 第二章详细的介绍了基于矩阵样条函数的一阶矩阵微分方程的数值解，主 要是对近年来出现的使用矩阵样条函数方法逼近一阶矩阵微分方程数值解的 概述，分两部分来介绍。第一节介绍了三次矩阵样条函数方法和四次矩阵样条 函数方法逼近一阶矩阵线性微分方程的数值解。第二节介绍用三次矩阵样条函 数方法逼近一阶矩阵非线性微分方程的数值解。 第三章讨论的是基于矩阵样条函数的二阶矩阵微分方程数值解。首先介绍 了三次矩阵样条函数逼近二阶矩阵微分方程的数值解，在此基础上提出了四次 矩阵样条函数方法来逼近矩阵微分方程的数值解，其次设计了三次矩阵样条函 数方法构造和四次矩阵样条函数方法构造的实现算法，再者对于同样的线性和 非线性的数值例子，分别使用三次和四次矩阵样条函数方法来求其逼近解。最 后通过与精确解之间的数值误差和误差图像曲线的比较，验证了所提方法在矩 阵微分方程数值解应用中的可行性和有效性。 第四章总结全文并对未来进行了一些展望。 关键字：二阶矩阵微分方程；三次矩阵样条函数；逼近；样条；微分方程 2 r e s e a r c n0 nn u m e r i c a ls 0 l u t i o no f a o 一 l 一 n atri：k“rq；ntialmatrid l l l e r e n t i a lk e q u a t i o n su s i n g f u n c t i o n s s e c o n d o r d e r m a t r l xs d l i n e a l a b s t r a c t s p l i n e a r e a p p l i e dw i d e l y i nf u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n ，c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y ，c a g d ，w a v e l e t ，n u m e r i c a ls o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds oo n 。 t h i sa r t i c l ed is c u s s e ss o m ea p p l i c a t i o n so ft h em a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n su s e d b ym a t r i xs p l i n ef u n c t i o n c h a p t e r1 ：i n t r o d u c ew h yw er e s e a r c hm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b a s i c k n o w l e d g eo fm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h ei n i t i a lv a l u e s ，a n df i n a l l y d e s c r i p tt h em a t r i xs p l i n ef u n c t i o n c h a p t e r2 ：i n t r o d u c et h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef i r s to r d e rm a t r i x d i f f e r e n t i a le q u a t i o n su s i n gm a t r i xs p l i n ef u n c t i o n ，a n dm a i n l ys u mu pt h em e t h o d o ff i r s to r d e rm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o nu s i n gs p l i n ef u n c t i o ni nr e c e n ty e a r s ，i ti s i n t r o d u c e dw i t ht w op a r t s s e c t i o nid e s c r i b e st h en u m e r i c a ls o l u t i o no ff i r s to r d e r m a t r i xl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nu s i n gt h ec u b i cm a t r i xs p l i n ef u n c t i o na n d q u a r t i em a t r i xs p l i n ef u n c t i o n s e c t i o ni i d e s c r i b e st h en u m e r i c a ls o l u t i o no f f i r s t - o r d e rm a t r i xd i f f e r e n t i a ln o n - l i n e a re q u a t i o nu s i n gt h ec u b i cm a t r i xs p l i n e f u n c t i o n c h a p t e r3 ：i n t r o d u c et h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h es e c o n do r d e rm a t r i x d i f f e r e n t i a lu s i n gm a t r i xs p l i n ef u n c t i o n f i r s t l y ，i n t r o d u c et h en u m e r i c a ls o l u t i o no f t h es e c o n do r d e rm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n su s i n gc u b i cs p l i n ef u n c t i o n ，b a s e do n t h ea n t e r i o rr e s u l t s ，p r e s e n tt h ec o n s t r u c t i o n so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o no fs e c o n d o r d e ru s i n gm a t r i xq u a r t i es p l i n e ；s e c o n d l y ，d e s i g nt h ea l g o r i t h mo ft h ea p p l i c a t i o n o ft h em a t r i xc u b i cs p l i n ea n dt h em a t r i xq u a r t i cs p l i n et oa p p r o x i m a t et ot h e d i f f e r e n t i a lf u n c t i o n ；t h i r d l y , f o rt h es a m el i n e a rm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d n o n l i n e a rm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，r e s p e c t i v e l yu s et h ec u b i cs p l i n ea n dt h eq u a r t i c s p l i n et oa p p r o x i m a t e ；f i n a l l yt h r o u g hac o m p a r i s o no fn u m e r i c a le r r o ra n de r r o r i m a g e s ，p r o v e st h a tt h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d sf o r t h e n u m e r i c a ls o l u t i o no ft h em a t r i xd i f f e r e n c ee q u a t i o n s c h a p t e r4 ：s u m m a r i z e st h ew h o l ed i s s e r t a t i o na n dg i v e ss o m ee x p e c t a t i o nf o r f u t u r er e s e a r c h k e y w o r d s ：s e c o n d - o r d e r m a t r i xd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；c u b i cm a t r i xs p l i n e ； a p p r o x i m a t i o n ；s p l i n e ；d i f f e r e n t i a lf u n c t i o n 插图清单 图3 1四次样条和三次样条逼近方程( 3 1 ) 式的算法流程图2 4 图3 2 步长h - - o 1 时三次矩阵样条函数构造( 3 2 2 ) 式数值解的的误差图2 6 图3 3 步长h = o 1 时四次矩阵样条函数构造( 3 2 2 ) 式数值解的的误差图2 6 图3 - 4 步长h = o 2 时四次矩阵样条函数构造( 3 2 2 ) 式数值解的的误差图2 7 图3 5 步长h = o 1 时三次矩阵样条函数构造( 3 2 5 ) 式数值解的的误差图2 8 图3 - 6 步长h = o 1 时四次矩阵样条函数构造( 3 2 5 ) 式数值解的的误差图2 9 图3 7 步长h = o 2 时四次矩阵样条函数构造( 3 2 5 ) 式数值解的的误差图2 9 图3 8 步长h = o 1 时三次矩阵样条函数构造( 3 2 6 ) 式数值解的误差图3 1 图3 - 9 步长h = o 1 时四次矩阵样条函数构造( 3 2 6 ) 式数值解的误差图3 2 图3 1 0 步长h = o 2 时四次矩阵样条函数构造( 3 2 6 ) 式数值解的误差图3 2 6 表2 1 表2 2 表2 3 表2 4 表3 1 表3 2 表3 3 表3 4 表3 5 表3 - 6 插表清单 步长h = o 1 时三次矩阵样条函数逼近方程( 2 1 2 ) 的最大误差表7 步长h = o 1 时四次矩阵样条函数逼近方程( 2 1 3 ) 的最大误差表9 步长h = o 1 时三次矩阵样条函数逼近方程( 2 3 4 ) 的最大误差表1 6 步长h = o 1 时三次矩阵样条函数逼近方程( 2 4 2 ) 的最大误差表1 7 步长h = o 1 时三次和四次矩阵样条函数逼近( 3 2 2 ) 式的最大误差表。2 5 步长h = o 2 时四次矩阵样条函数逼近( 3 2 2 ) 式的近似解的最大误差2 5 步长h = o 1 时三次和四次矩阵样条函数逼近( 3 2 5 ) 式的最大误差表。2 8 步长h = o 2 时四次矩阵样条函数逼近( 3 2 5 ) 式近似解的最大误差。2 8 步长h = o 1 时三次和四次矩阵样条函数逼近( 3 2 6 ) 式的最大误差表。3 0 步长h = o 2 时四次矩阵样条函数逼近( 3 2 6 ) 式近似解的最大误差表31 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金魍王些太堂或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：撇签字日期：，o 年v 月i 孑e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金旦墨王些太堂 有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅或借阅。本人授权金胆王业太堂可以将学位论文的全部或部分论文内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：蒡彳疑杰 导师签名： 嘞穗午 签字日期： 砷年午月l fe l 签字日期：弘7 刃年9 月f ，乒日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 时光流逝，在合肥工业大学的学生生活即将结束，这段经历将使我终生难 忘，在老师和同学们的帮助下，无论是学习还是生活，我都有很大的转变，这 些转变必将影响我以后的人生。在此，向帮助过我的人们表示衷心的感谢! 首先，由衷感谢我的导师郭清伟副教授，郭老师严谨的治学态度、勇于开 拓创新的求学精神、高尚的师德、平易近人的性格，使我受益匪浅，在三年的 学习生活期间，郭老师在学业上给予耐心细致的指导和教诲，在他的鼓励和帮 助下，我提高了学习、科研能力，顺利完成了毕业论文写作。而且在生活等其 它方面，也给予了极大的关怀和帮助，在我的人生履历上留下了深深的烙印。 感谢朱功勤教授，感谢朱老师在学业、生活上给予的指导与关怀，同时感 谢檀结庆教授、林京教授、黄有度教授、苏化明教授、邬弘毅教授、唐烁教授、 江平副教授等老师的帮助。 感谢讨论班的师兄弟姐妹们：王鹏岭、程娴、周会娟、李运利、唐桂林、 汪平、夏崧洋、郑涛等的帮助与关心。 感谢2 0 0 7 级研3 5 班的全体同学，共同的学习与生活留给了我快乐美好的 回忆，另外感谢我的室友和梁小磊同学在生活与学习上给予的照顾。 同时感谢我的父母，是他们无私的付出和默默的支持，才使我顺利完成学 业，谢谢他们。感谢所有帮助过我的同学、朋友及亲人。 最后感谢各位评审专家在百忙之中对论文的点拔与指正。 4 作者：苏俊杰 2 0 1 0 年3 月 1 1 矩阵微分方程 第一章绪论 随着近代物理学和应用数学的发展，微分方程理论应用的重要性日益凸现。 微分方程理论不仅在工程技术、航天技术以及自动控制等领域中有重要应用， 而且也是计算机科学、人口动态学和金融等不可缺少的工具。因此，微分方程 理论及其应用广泛地引起了内外学者的关注。近年来，微分方程理论得到了长 足的发展。 矩阵微分方程理论是微分方程理论的重要组成部分。在物理模型和工程技 术模型【l - 4 】中，常用矩阵微分方程来描述，此外，一些解决数量或向量问题的特 殊方法也经常以矩阵形式出现。例如，用嵌入法求解具有边值条件的常微分方 程问题【5 】；用打靶法求解具有边值条件的标量和向量微分方程问题【6 1 ；用线性 方法研究偏微分方程的数值积分问题【| 7 】；解非线性方程组问题的同伦方法哺j 等。 向量化方法是常见的矩阵方程研究方法，它是将一个矩阵方程转化为几个 孤立的标量方程或向量方程进行研究。但是，这种方法使方程中的量失去物理 意义，计算的成本较大，并且不能利用一些符号语言处理矩阵表达式。 由于矩阵微分方程在实际工程和理论上具有的实际应用价值，因此，研究 矩阵微分方程数值解具有重要意义。本文主要讨论基于矩阵样条函数的矩阵微 分方程数值解。 1 2 矩阵微分方程的初值问题 如果矩阵满足么r ，那么第2 范圳刮可以定义为1 l 彳i i = 攀饼 通常，向量z c 5 ，欧几里德范数= ( z r z ) 2 ，最大范数的定义是 。= i n a x 乩，m 。依据文献1 0 1 ，矩阵的2 范数满足下列不等式： m a x i 口f ，i 怕0 石m a x i i 薹， 如果4 = ( 嘞) z c 聊，那么弗罗比纽斯范数的定义为： f = ( 1 2 ) 2 范数和弗罗比纽斯范数的关系为( 文献【1 0 】) ： l l 4 - 1 1 4 f 刀l l 彳0 ( 1 3 ) 且只( x ) 表示关于实变量x 的维数不超过刀的矩阵多项式集合；矩阵函数g ( x ) 定义为：g ：【b hc 麒9 ，当g ( x ) 有直到后阶的连续导数时，则记g ( x ) c 1 口，b 】。 其中c “9 是p x g 复数矩阵的集合。 我们考虑下面的微分方程： j 一”( x ) = 厂( x ，】，( x ) ，y ( 曲，一n - 1 ) ( x ) )( 1 4 ) 【i ，( 口) = k ，y ( 口) = k ，p ”以( 口) = r n 一1 其中x a a ，b 】，k ，k ，匕一l ，】，( f ) c “g ，厂：【口，6 】c “9 x c “口h c “g ，则称 方程( 1 4 ) 是以初值为】，( 口) = t o ，y ( 口) = 墨，一”1 ) ( 口) = 艺一。的n 阶矩阵微分方程初 值问题。 当n = l 和n = 2 时方程( 1 4 ) 式就是一阶矩阵微分方程和二阶矩阵微分方程初 值问题。 1 3 矩阵样条函数 近年来，对于矩阵微分方程的研究除了向量化方法外，还有矩阵样条函数 逼近矩阵微分方程的方法。如：文献 1 1 】中用三次矩阵样条函数构造一阶矩阵 线性微分方程近似解的方法；文献 1 2 】中用四次矩阵样条函数构造一阶矩阵线 性微分方程的数值解的方法，文献 1 3 】中用三次矩阵样条逼近一阶矩阵非线性 微分方程的方法，文献【1 4 给出了构造三次矩阵样条函数二阶矩阵微分方程初 值问题的近似解的方法。下面给出矩阵样条函数的定义。 定义：用只b 1 表示变量为x 的维数不超过1 1 的矩阵多项式集合。则定义 一个矩阵函数g ： a ，b hc 。如果g ( x ) 有直到后阶的连续导数，则记 g ( x ) c 陋，b 】。【口，b 】c 酞，对于，b 】上的一个的划分：a = a = x o 为 c 麒7 ，s ( x ) ： 口，b 】专c “g ， 彳( x ) ，b ( x ) c 1 f 口，6 1 1 ，且方程( 2 1 ) 有且只仅有一个解，并且连续可微的【l 5 1 。 许多工程应用问题的数学模型都是用( 2 1 ) 来描述的( 文献【5 】) 。一些非线 性的方程( 如黎卡提方程7 母】j 可以转化为( 2 1 ) 的形式。在文献【1 5 】中给出了固 定步长的线性多步法求( 2 1 ) 类型的方程的近似解，但该方法的误差范是h 的 若干次指数次幂，所以在实际操作中应使h 尽可能小，并且为了得到一个连续 的解，还要采用一些插值技巧。另外m a g n u so rf e r 方法发展来的方法，在求 解( 2 1 ) 式时，要计算一些矩阵的幂，增加了计算成本。 文献 1 6 】给出了用三次样条构造标量形式的常微分方程的近似解，该近似 解具有以下优点：近似解在区间口，b 1 上是c 1 连续的；近似解易于求值计算； 近似解所达到的误差阶是fh 4 ) 。文献【l7 】也利用样条方法来构造另外一些标量 型的微分方程的近似解。文献【1 8 研究了利用基于h e r m i t e 插值的隐式样条方法 来构造向量型的微分方程的近似解。 文献 1 1 】给出了用三次矩阵样条构造一阶矩阵微分方程的近似解的方法， 所得近似解具有以下优点t 近似解在区间f a , b 1 上是c 2 连续的；近似解易于 求值计算；近似解所达到的误差阶是f h 41 。 本章将要介绍用三次矩阵样条和四次矩阵样条构造一阶矩阵线性微分方程 的数值解。这里主要介绍用四次矩阵样条函数构造一阶矩阵线性微分方程的数 值解，对于用三次矩阵样条函数构造一阶矩阵线性微分方程的数值解可以看文 献【1 1 】。 ， 3 2 1 2 用四次矩阵样条函数构造数值解 把区间【口，6 】等分刀份，得 【口】= a = x 0 x l ( 6 一口) 4 4 互- 虿m 。， 所以取步长h = ( 6 - 口) 厶= o 1 。 由参考文献1 1 1 知，利用三次矩阵样条逼近，其中m ，。a x i a ( 、x ) l l - m ( b - a ) 3 ，故取h = ( b - a ) n = o 1 。 利用m a t h e m a t i c a 5 0 可以得到用三次矩阵样条函数和四次矩阵样条函数构 造( 2 1 5 ) 式在区间 o ，1 】上的误差表： 区间三次矩阵样条误差四次矩阵样条误差 0 ，0 1 】6 3 3 7 6 9 x 1 0 - 62 9 6 9 8 1 0 。 0 1 ，0 2 】6 3 4 4 4 1 1 0 - 66 3 0 6 8 1 1 0 - 7 0 2 ，0 3 】8 3 2 9 2 5 1 0 - 61 0 1 2 5 8 1 0 - 6 【0 3 ，0 4 8 3 4 11 7 1 0 - 61 4 5 5 5 6 1 0 - 6 【0 4 ，0 5 】1 1 5 3 6 6 x 1 0 51 9 7 3 1 7 x 1 0 - 6 【0 5 ，0 6 】1 1 5 5 7 9 x 1 0 。52 5 8 0 2 1 1 0 - 6 【0 6 ，0 7 】 1 6 3 6 8 x 1 0 53 2 9 2 7 1 1 0 - 6 0 7 ，0 8 1 6 4 0 4 7 x 1 0 54 1 2 7 7 9 x1 0 - 6 0 8 ，0 9 】2 3 3 0 6 3 1 0 一55 1 0 3 3 9 x1 0 - 6 0 9 ，1 】 2 4 7 1 3 5 1 0 一5 6 2 3 7 3 7 x 1 0 。6 7 例2 考虑一阶矩阵微分方程 其中 b ( x ) 该问题的精确解为 ( - 1 一x ) _ l ： = - 2 + ( - 3 + e 3 ) x x + e 工( 1 + x ) - 1 + x e z r ( x ) p 因为m a x 叫】i i a ( x ) 2 + 彳( x ) 忙5 ， 一i + e ；+ x 1 l 工 j 一1 一x x 2 一e x ( 2 + x ) 、1 p缸+xe，工一-x(55+xx)，(1+x2j 1 一x ( 5 + x )j (2 1 6 ) ，它满足 刀 ( 6 一口) 舸，所以取步长厅= p a ) n = o 1 。 由文献 1 1 】知，用三次矩阵样条逼近，其中工m 。a x 。i a ( 、x ) 1 1 - m ( b - a ) 3 ，故取h = ( b - a ) n = o 1 利用m a t h e m a t i c a 5 0 可以得到用三次矩阵样条函数和四次矩阵样条函数构 造一阶矩阵线性微分方程( 2 1 6 ) 式在区间【o ，1 】上的误差表： 8 双 p 一 y x x ， m * o 刊七 、- 、 i 、x， 吵 ，l ，i 坼 瞪 。瞪 、 o 吖o = 撑 于对m 牲 妒 ， x + 5 、缸。 忙 矿“ 膨 一 取 表2 2h = o 1 时，用三次和四次矩阵样条构造例2 数值解的最大误差比较 区间 三次矩阵样条误差四次矩阵样条误差 o ，0 1 】1 3 9 6 2 7 1 0 - 63 5 7 9 9 4 x1 0 8 0 1 ，0 2 】1 3 9 6 2 7 1 0 - 61 2 0 1 5 1 1 0 7 【0 2 ，0 3 】1 4 3 6 8 4 x l o - 61 8 8 2 5 5 x l o 一7 【0 3 ，0 4 】1 4 3 6 1 4 1 0 - 62 6 3 3 4 2 1 0 7 0 4 ，0 5 】1 4 9 8 5 9 x 1 0 - 63 4 7 3 2 3 x1 0 - 7 0 5 ，0 6 】1 4 9 7 7 4 x 1 0 - 64 2 3 9 4 3 1 0 。7 0 6 ，0 7 】1 5 7 3 2 1 1 0 - 65 5 4 2 3 1 0 _ 7 【0 7 ，0 。8 】1 5 7 2 0 5 1 0 - 6 6 8 7 3 x l o 一7 【0 8 ，0 9 】 1 6 6 1 5 4 x 1 0 - 6 8 5 1 8 1 2 x 1 0 。7 【0 9 ，1 】1 6 6 5 9 8 5 1 0 - 61 0 6 3 6 x 1 0 - 6 上面给出用三次和四次矩阵样逼近一阶矩阵线性微分方程的例子的误差比 较，从表中可以很清晰的看到矩阵样条逼近矩阵微分方程的误差很小；在步长 相同时，对同一问题用四次矩阵样条构造逼近问题的近似解比用三次矩阵样条 构造逼近问题的近似解的逼近效果更好。 2 2 基于矩阵样条函数的一阶矩阵非线性微分方程的数值解 不仅矩阵线性微分方程可以使用矩阵样条函数来逼近方程的近似解，而且 矩阵非线性微分方程也可以使用矩阵样条函数来逼近方程的近似解。本节将介 绍一类一阶矩阵非线性微分方程的矩阵样条函数法。 2 2 1 问题叙述 考虑下面的矩阵非线性微分方程： yy飞石：二厂x，yx口x6，(a r 【) = o 一。 其中艺，】，( f ) c 肛9 ，：【口，6 】c “9h c 麒9 。 ( 2 1 7 ) 文献【6 y u 举了形如( 2 17 ) 式的的不同例子。文献【l5 】提到了通过固定步长的 线性多步法逼近( 2 17 ) 的逼近解的数值方法。这种方法在考虑数据时有向前误差 边界，但误差过分依赖于步长h 的大小。所以h 必须取非常小的值。另外，这 种方法需要通过插值法来获得连续解l l5 1 。 总结文献【l l 】中的一个线性例子，我们阐述一种使用三次矩阵样条来求方程 ( 2 1 7 ) 式的数值逼近解的方法。在标量例子中，用三次样条来求逼近微分方程近 似解，与其他的方法相比，因为它在区间f 口，b 1 上是z 1 类的，所以有更大的优势， 并且样条函数很容易得到误差仅仅为0 ( h 41 阶的逼近解。最近，这种方法已经 9 被用在解其他类型的标量问题中( 文献【1 7 1 ) ，甚至还有线性矩阵( 文献【1 1 1 ) 。 首先定义并记矩阵a - ( a o ) c 和b e c 麒。的克罗内克积为a b ： a b 口l 。b 4 圆b ：l i i l 【i l b b j 叫胪豳一七= i l 如果v = f y ) c p x g 和x - - ( x i j ) c 脚，矩阵的微分有如下定义4 】： a y 面2 锄。 砂胛 鲰 如果x c ，y c n x v ；z c p ”，那么一个矩阵与另一个矩阵内乘的复合微分 为： 警一a a z l x - i q 。y + 。x 易 ( 2 1 8 ) 其中和分别代表矩阵维数是q 和p 的单位矩阵。 设xec ”，y c 脓，z c 舢，则有下面的链规则： 刮掣。卜i i 翻v e c a x i弘 ， “a i( 】，l ii 2 2 2 用三次矩阵样条函数构造数值解 ( 2 1 9 ) 对于问题( 2 1 7 ) m x ) = m ，y ( 砌口z 6 【】，( 口) = 艺 其中艺，】，( ，) c 麒4 ，f ：【口，b xc 麒4 卜c “碍，厂卫1 ( t ) ，与 丁= ( x ，】，) ；口x 6 ，y c 脒9 ( 2 2 0 ) 1 0 纽；丝 盟；监 盟；盟 。l = y r盟研 若满足全局采布尼兹条件： i i 厂( x ，r , ) - f ( x ，y ：) l l - l i i y i - y 4 1 ，a ax b ，k ，k c 蹦g ( 2 2 1 ) 则问题( 2 1 7 ) 有连续可微解( 文献f 5 1 ) 。 考虑区间【口，b 】上的一个划分： = 口= x o 而 c 麒g ： g ( r ) 2 寺l 厂( 口+ ( 尼+ 1 ) 见肛灿m + k h ) + s i 郴嘲口+ 舳 + k h ) h + 吉哗廿- m 叶舫 ( 口+ h ) h 2 + t h 3 ) 一妒啪，叶抽 + 肋) 一唯廿t m 明( 口+ 砌) 办j ( 2 3 3 ) 方程( 2 3 2 ) 有唯一解等同于4 = g ( 4 ) ，也就是说4 是方程g ( r ) 的固定点。 对方程( 2 3 1 ) 式应用莱布尼兹全局条件就有 | f g ( 互) 一g ( 酬竽忱一扑 取h 3 1 l ，则g ( 丁) 将产生一个收敛矩阵方程，就保证方程( 2 1 3 ) 式对于 k = o ，1 ，1 一1 都有唯一解，三次矩阵样条这样就可以完全确定。 2 2 3 定理和算法 考虑到文献【1 6 】中的定理5 ，得到下面的定理和算法： 定理2 2 ： l 是被( 2 2 1 ) 式定义的莱布尼兹常数，如果h l ( b - a ) 1 3 ，h = ( b - a ) l n ，以及由( 2 2 2 ) 式所示给出的一个划分【砌】。 1 3 ( 2 ) 令后= o 解矩阵等式( 2 2 6 ) 计算出4 ，从而得到解。酬( x ) 。 ( 3 ) 对于k = l ， 一1 解矩阵方程( 2 3 2 ) 式得到4 ，从而得出解 帆州m ) 】( x ) 。 根据方程s ( t ，y ) ，矩阵等式( 2 2 6 ) 式和( 2 3 2 ) 式可以被明确地( 文献2 0 1 ) 解出或使用迭代法( 参看文献【2 1 1 ) 。 互：，= g ( 乃5 ) ，其中石是一个c “9 上的任意矩阵，s = o ，1 ，r t 一1 ，g ( 丁) 是由方 程( 2 3 3 ) 给出的。下面将通过数值例子来验证上述的算法。 2 2 4 数值实例 例3 考虑非线性向量微分方程 爿( x ) = 一l + e 。一+ s i n ( x ) + s i n ( y 2 ( x ) ) 必( x ) = 丽1一瓦万丽丽1 而 。x 1( 2 3 4 ) m ( o ) = 2 ，y 2 ( 0 ) = 号 方程的准确解m ( 功= e x + c o s ( x ) ，咒( x ) = 号。 把向量方程( 2 3 4 ) 写成矩阵的形式： 三黼胚矧瑚加y l ( x 圳) y l t x ) 咄1y ( o ) ：r 三 ，o x 1 ，】，( x ) 2 l 奶( x ) j 寒， f 一1 + s i n ( x ) + s i n ( y 2 ( x ) )1 f ( x ，y ) = i 11 i r 2 ， 1 4 + y l ( x ) 25 + e 工+ 2 e 。c o s ( x ) - s i n 2 ( x ) j 因此有r c 。，= f 。，( 喜 = ( ：) ) 。由c 2 2 4 ，式计算出r c 。，的值，其中 叫卟) ) _ m ) = 匕出 1 4 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 、，_ x 一一n 一 1 一s 一、，一 x 一2 ，l一、i-、产 2 一产二叻)一 x 一 一筹 n 一x 工一 ，堂 工 一 )矿一二矽卜一知一矿，竺彬 啦笙p ”一 盟 塑锄 塑 另一方面，我们有： = ( _ 1 + 矿+ 酬习+ 酬删) 南百雨矗再雨 p = ( ( 。+ 洲对+ 叫乃( 圳。五i ( i 南了万函石三石丽) 卜l + 矿+ 如( 砷+ 如忱) 。 l 丽1 丽1 。 1 一卜l + 矿+ 如( 砷+ 如忱)o | - i 丽1 再了谚磊丽而 u i i 。 小“酬小酬列跏i 。 南一丽蒜j 鬻= 犀卜 因此 责( 一1 + 矿+ s i i l ( x ) + s i i l ( 儿( x ) ) ) 、 a 锄 1 1 a 奶 、4 + 舅( x ) 25 + 口。+ 2 e 。c o s ( x ) 一s i n 2 ( x 1 ) ， 【咧枷) ) r 圆厶 笔罟 =一o+y,o 卜她 1 2 m ( z ) ( - l + ，嘲( z ) 确( 耽( ，) ) ) i 。 l c ) ) 2 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 而 一s ) 一力 n 一k、 川 一 习一吣 j 儿 一矿 ，f _ l 、 一、翻 n r 一 1 1 s 一： 竺 力 | i + 百 + 一力 g 1 一吃 + 一二l ， 1 一 h 隅 立锄 立舰 一f=l一哆、，一、，一xx一，z、m一乃一，沙 盏；。o兰丛|；o 方程( 2 3 6 ) 式减去方程( 2 3 9 ) 式则有 趴功= 鼍掣+ 盼卿删】r 圆厶 瓮筹 办c o s ( 咖( 爿万一面丽) c 。s ( 儿( x ) ) 2 e 2 。+ 2 e 2 。c o s ( x ) - 2 e 2 。s i n ( x ) 一2c o s ( x ) s i n ( x ) 2 m ( ，) ( 一i + ，+ s i n ( z ) + s i n ( 耽“) ) ) ( 5 + e 2 x + 2 e 2 xc o s ( z ) 一j i n 2 ( x ) ) 2 ( 锄( j ) ) 2 ( 2 4 0 ) 根据舅( o ) = 2 ，y 2 ( o ) = 号和方程( 2 4 0 ) 式计算出的y ( 口) 在x = 0 处的估计值， 我们得到p ( 。) = ( 三 。且由方程( 2 3 5 ) 式定义的f 满足全局莱布尼兹条件： 0 厂( x ，r ) - f ( x ，z ) l l - i i r - z l l ，o x 1 ，y ，z e i 2 ， ( 2 4 1 ) 取l i p s i c h i z 常数l 为l = 1 。取h l ( b a ) 3 和h = o 1 = ( 6 一a ) n 。使用 m a t h e m a t i c a 5 0 中的巴特尔斯斯图尔特算法来解代数方程( 参考例子【1 9 1 ) ，就 可得到每个区间上的误差，计算误差的弗罗贝纽斯范数，并且下表给出了每个 区间上的最大误差。 表2 4h = o 1 时，用三次矩阵样条方程构造方程例4 数值解的最大误差表 区间 o ，0 1 】 o 1 ，0 2 】 0 2 ，0 3 】 0 3 ，0 4 】 o 4 ，o 5 】 误差 1 3 3 4 7 2 x 1 0 41 3 3 4 7 2 1 0 。6 1 2 4 4 5 1 0 - e1 2 4 4 5 1 0 巧1 。1 7 4 0 2 x 1 0 “ 区间 0 5 ，0 6 】【0 6 ，0 7 】 0 7 ，0 8 】 0 8 ，0 9 】 0 9 ，1 误差 1 1 7 4 0 2 x 1 0 - 61 2 3 3 l x l o “1 2 3 3 1 l i f e1 0 9 4 1 2 1 0 巧1 0 9 4 1 2 x 1 0 - 6 1 7 第三章基于矩阵样条函数的二阶矩阵微分方程的数值解 上一章介绍了基于矩阵样条函数的一阶矩阵微分方程边值问题的数值解， 本章首先介绍基于三次矩阵样条函数的二阶矩阵微分方程初值问题的数值解方 法；然后给出用四次矩阵样条函数构造二阶矩阵微分方程初值问题的数值解方 法，最后分别用三个个例子验证了使用四次矩阵样条函数与使用三次矩阵样条 函数构造二阶矩阵微分方程数值解时的效果差别。 3 1 问题的叙述 本章主要研究的具有下面形式的矩阵微分方程 ( x ) = 厂 ，誓 ) ，】，( x ) ) 口x 6 ( 3 1 ) 【r ( a ) = k ，y ( 口) = 墨 这里k ，z ，y ( f ) c 麒g ，f ： 口，6 】c “叮c 蹦9 卜c r 。q ，f c o ( 丁) ， r = 缸，y ，z ) ；口x 6 ，y ，z c 脓9 。为了保证方程( 3 1 ) 式的解是唯一的，f 需 满足l i p s c h i t z 条件，即 州厂( x ，e ，】，) 一厂( x ，e ，聊0 厶0 k 一砭0 ，口x 6 ，k ，匕，y c 麒9f 气，、l u i ( x ，y ，墨) 一f ( x ，y ，e ) i l 三20 i e i f ，a z 6 ，巧，e ，】，c 7 w 3 2 用三次矩阵样条函数构造数值解 考虑区间 a ，b 】上的一个划分 【。1 = a = x 。 x l x 。= 6 k x | i = a + k h ，k = o ，1 ，以，h = ( b - a ) l n 在每一个区间【a + k h ，a + ( k + 1 ) 明上，构造四次矩阵样条函数来逼近矩阵微分方程 ( 3 1 ) 式的解。在第一个区间【口，a + h j z ，把三次样条函数定义为如下形式 ，口+ 1 ( x ) = 】，( 口) + 】，( 口) ( x 一口) + 击】，”( 口) ( x 一口) 2 + 酉1 鸽( z 一口) 3 ， ( 3 3 ) 其中，矩阵4 9 是一个待定参数。方程( 3 3 ) 式s i a 一+ 。1 ( x ) 满足 删( 口) = 】，( 口) ，州( 口) = y 7 ( 口) ，稚酬( 口) = p ( 口) = f ( a ，瓯埘一1 ( 口) ，稚州( 口) ) 只剩下唯一的代没有解出，一旦解出4 ，那么样条函数就可以确定。由于 1 8 样条函数在x = a + h 处满足方程( 3 1 ) 式，即 罩；。+ 】( 口+ 办) = f ( 口+ 办，s i 。，。+ 】( 口+ 办) ，s i ，口。+ 1 ( 口+ 办) ) ( 3 4 ) 由( 3 4 ) 式得到一个只包含一个未知矩阵参数4 的矩阵方程，即 4 = 音 ( ( 口+ 办) ，】，( 口) + 】，( 口) 办+ 毒y ”( 口) 办2 + 吉4 厅3 ，】，( 口) + 】，。( a ) h + k 4 , h 2 ) - y 。( 口) ( 3 5 ) 假设矩阵方程( 3 5 ) 式有解4 ，那么利用这个方法就得到了一个定义在区 间【口，口+ 办】上的三次矩阵样条函数。在区间【a + h ，a + 2 h 1 上，三次矩阵样条函数 的函数形式为 啼m 口+ 2 p 2 s 酬( 口+ 办) + t 叫、a + 坼一( 口+ 办” 、 + 击岛口，口+ 州( 口+ 功( x 一( 口+ 功) 2 + 责4 ( x 一( 口+ 办) ) 3 所以定义在区间 口，a + h u 口+ 办，a + 2 h 上的s ( x ) 是 口，a + 2 h 】上的2 阶可导函数， 并且样条函数s ；k 帆棚 】( x ) 只有一个未知参数4 c 舢，容易验证样条函数( 3 6 ) 在点x = a - i - h 处满足微分方程( 3 1 ) ：同样，样条函数在点x = 口+ 2 厅上也满足微 分方程( 3 1 ) 式，从而可以确定4 ，即 s l l i r 。+ ，。+ 2 】( 口+ 2 办) ：= 7 【口+ 办，q 【。+ 。口+ 2 】( 口+ 办) ，q ，口+ ，口+ 2 j i l 】( 口+ 办) j 化简( 3 6 ) 式得到只含有一个未知矩阵系数的矩阵方程，即 4 = l 厂o + 2 h ，墨。一+ 】o + h ) + s i 叩+ l ( 口+ 妨j i l