（计算数学专业论文）基于积分数据的函数重构方法.pdf

摘要 在很多实际问题中，都出现了函数重构问题经典的函数重构问题所要求 的信息是已知待重构函数在一些节点上的函数值，或者是其导数在节点的函 数值但是在有些问题中，我们可能会面临另外一些情况，比如，待重构函数 在定义区间节点上的函数值未知，知道的待重构函数在分划小区间上的积分 平均值后一种情况常常出现在环境科学以及数理统计学中，比如在环境科学 中，往往可以得到的是在一段时间或者是在一段区域上的积分值，这种情况会 导致经典的重构方法的失效一些方法已被用来解决这个问题，本文将用基于 积分平均值的重构方法解决上面所面临的问题 下面我们简要介绍本文的主要工作 第一章是引言部分，主要介绍本文工作的背景 第二章考虑了一种新的含积分平均值条件的函数重构方法，我们通过偶 次样条函数( 零次、二次和四次样条函数) 来重构原函数，本章最后给出了一些 数值例子 第三章考虑把上述函数重构方法推广到一般的偶次样条函数，即2 k 次样 条函数，我们讨论了2 k 次样条重构函数的存在性和唯一性 在上述基于积分平均值的函数重构方法中，理论分析结果和数值结果都 表明我们的方法是可行的、有效的、实用的 关键词：吉洪诺夫正则化方法；积分平均值；函数重构；偶次样条函数； 插值算子；数值微分 a b s t r a c t f u n c t i o nr e c o n s t r u c t i o n so f t e no c c u ri nm a n yp r a c t i c a lp r o b l e m s c l g s s i c a lm e t h o d t or e c o n s t r u c tf u n c t i o ni so i lt h eb a s i co ff u n c t i o nv a l u e so ri t sd i f f c r e n t i a t i o nv a l u e s b u t i ns o m ep r o b l e m s ，w em a ym e e ts o m eo t h e rs i t u a t i o n ss u c ha sg i v i n gi n t e g r a lc o n d i t i o n s o nt h es u b i n t e r v a l si n s t e a do f f u n c t i o nv a l u e so nt h eg r i d s t h el a s tt y p ep r o b l e m so f t e n o c c u ri ne n v i r o n m e n t a ls c i e n c ea n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s f o ri n s t a n e e ，i n t e g r a lv a l u e s o v e rc e r t a i np e r i o d so ft i m eo rc e r t a i na r e a si sa v a i l a b l e i nt h i ss i t u a t i o nt h em e t h o d t or e c o n s t r u c t i o nt h ef u n c t i o nw i l ld e c r e a s et h ev a l i d i t y t h i sp r o b l e mh a sb e e nt r e a t e d b ys e v e r a lm e t h o d s i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s eam e t h o dt os o l v et h ea b o v ep r o b l e m t h a t p r e s e r v e sp r e s c r i b e di n t e g r a la v e r a g ev a l u e s n o w , w ei n t r o d u c eo u rt h e s i ss i m p l y i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h eb a c k g r o u n do f o u rr e s e a r c hi si n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ep r o p o s ean e wr e n c o n s t m c t i o nm e t h o do nt h eb a s i so f i n t e g r a lv a l u e s a n dw et r yt or e c o n s t r u c tf u n c t i o nb ye v e no r d e rs p l i n ef u n c t i o n a tt h e l a s ts e c t i o no f t h ec h e p t e r , w eg i v es o m ea p p l i c a t i o ne x a m p l e i nt h et h i r dc h a p t e r , w eg e n e r a l i z eac o n c l u t i o nb ya p p l y i n go u rm e t h o dt og e n e r a l e v e ns p l i n ef u n e t i o n ( 2 k ) w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs p l i n ef u n c t i o no f 2 ko r d e r i nt h i sr e c o n s t r u c t i o nf u n c t i o nm e t h o db a s e do np r e s c r i b e di n t e g r a la v e r a g ev a l u e s ，t h er e s u l to ft h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a to u rm e t h o di s f e a s i b l e ，e f f e c t i v ea n da p p l i c a b l e k e yw o r d s ：t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ；a v e r a g e v a l u eo fi n t e g r a t i o n ；f u n c t i o nr e c o n s t r u c t i o n ；e v e no r d e rs p l i n ef u n c t i o n ，i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r ；n u m e r i c a ld i f f e r e n t i m i o n 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的 工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已发表或者撰写过的研究成果。参与同一工作 的其他同志对于本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 貅羽 牵 嘲刀口7 歹- j , o 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留，使用学位论文的规 定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被 查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名刻中名i 缓团触 缸吲矿，6 加 第一章引言 本章主要介绍函数重构问题的研究历史及现状，以及解决此类问题的方 法广泛应用的函数重构问题是已知待重构函数在一些节点上的函数值，或者 是其导数在节点的函数值，设法构造一个函数去逼近原函数 1 1 函数重构的一般问题 函数重构的一般性问题是：设x 是一个可分的无限维的b a n a c h 空间， 露，是x 的共轭空间r 中的n 个线性无关的元素，设置并且已 知泛函在上的值，即 毽，乃= y i ，i = 1 ，2 ，月( 1 1 1 ) 问题是；由条件( 1 1 ) 我们怎样重构原函数八曲? 在重构函数时，往往要遇到下面几个方面的问题 1 信息的采集 针对具体问题，首先要确定采集什么类型的信息同一问题可以采集不同 类型的信息，此时要分析哪一种类型最合适；其次，怎样获得这些信息比如 一个偏微分方程有多种差分离散方法，对应着多种不同的采集途径，有时候这 样的差别是很大的 2 精确数据重构方法及其误差分析 主要的重构方法是插值和最佳逼近设= s p 0 1 ，晚，九1c 五其中 矿一，也，以线性无关插值方法是求= 嘞c 疋，使得 j = l 谨“，妒 = 1 “i = 1 ，2 ，n 这里胁是精确数据 ( 1 1 2 ) 最佳逼近方法是求= a 咖= s p o l ，妒2 ， ( 一般m ”) ，使得 ，2j 以以国= r a i n( 1 1 3 ) 其中，是妒和声= m l 一，胁) 的某个非线性泛函( 通常是二次泛函) 3 扰动数据重构方法及其误差分析 1 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 此时，由泛函重构函数往往是很病态的，有时必须作为不适定问题进行处 理因此，当数据( 即上面的胁) 有误差时，压制扰动误差的增长成为重要的课 题，重构方法也相应的有所不同，此时稳定性分析和误差分析成为重要内容 4 最佳重构问题 有两个问题t ( 1 ) 当 叠川瞄取定后，用怎样的t n 维子空间来重构是 “最佳”的? ( 2 ) 反之，当子空间定下来之后，取怎样的线性泛函集 分哪 使得重构效果为好? 这方面文【2 0 】已有深入研究 1 2 某些已知结果 解决函数重构问题的基本方法之一是插值方法，下面是几个典型的例子， 例1 1l a g r a n g e 插值设已知函数八曲在n + 1 个插值节点a = x o x i x n = b 上的函数值，插值的基本问题就是，寻求多项式p ( x ) ，使得如下插值条件成立 p ( x ，) = 八而) ，i = 0 ，1 ，”， ( 1 2 1 ) 设p ( x ) 是一个n q 次多项式 p 0 0 = a o + 0 l x + a 2 x 2 + + 。m 矿，a m 幸0 则上面的插值的问题就变成了：如何确定p 中的系数a o ，a l ，嘞，使得插值 条件得以满足 有关l a g r a n g e 插值的相关理论和更深入的内容，可以参考【2 】，【3 ，【4 】，【5 】，【6 】 例1 2h e r m i t e 插值不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，还要求它的 导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式称为 h e r m i t e 多项式下面只讨论函数值和一阶导数值相等的情况 设在节点口= x o 期 x n = b 上，已知函数八j ) 的函数值y i = 厂( 五) 和 导数值一= 厂( x ，) ，插值多项式坝x ) 要满足以下插值条件t 坝而) = y i ，h ( x t ) = 一，i = 0 ，1 ，”，( 1 2 2 ) 更详细的h e r m i t e 插值的相关理论这里就不再赘述可以参考【2 】，【3 】，【4 ，【5 】，【6 例1 3 数值微分设已知函数g 在月+ 1 个插值节点d = x o 。l x 。= b 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 3 上的函数值g ( x 。) ，i = 0 ，1 ，n ，要求反曲的导数，( 曲，则以x ) 满足 m lf ( x ) d x = g ( x i ) 一烈札1 ) = i = l ，2 ， ， ( 1 2 3 ) j 一i 此时，( 功在一些小区间上的积分值蜥看作已知有关数值微分的文章比较 多，相关的文章可以参考【1 1 ，【3 1 ，【7 】，【8 】， 9 1 ，【1 0 1 ，【1 4 】，1 1 6 1 ，【1 7 】 例1 4 第一类积分方程的配置法【11 】设有第一类f r e d h o l m 积分方程 一 fk ( x , y ) f o ) d y = g ( 力，c x d( 1 2 4 ) ，4 取定m 个配置点：c 蔓x l 娩 x m 吐的方程组： 一 j 毅鼍，y ) f ( y ) d y = g t ，i = 1 ，2 。，m ，( 1 2 5 ) d a 若用n 个节点口y 1 y 2 朔蔓b 数值积分公式，再离散上式中的每一个 方程，就可以得到乃= f o j ) ( ，= 1 ，2 ，n ) 满足的方程t d o k , j f j = 蜀，f - 1 ，2 ，。肼， ( 1 2 6 ) j = 1 其中嘶，_ ，= 1 ，”是积分权数，翰= k ( x i ，”) 另外一个常用的解决函数重构问题的方法是吉洪诺夫正则化方法下面 介绍一下应用正则化方法求解数值微分 例1 5 用吉洪诺夫正则化方法求解数值微分设y = 贝力是区间【0 ，i 】上的一个 函数，a ：= 1 0 = x o 确 x 2 x n = 1j 是区间【0 ，1 的一个划分 记 h j = x i x i _ 1 ，i = 1 ，2 ，h ； 5 懋坼r 我们考虑如下问题( 1 ) t 假设我们知道m ) 在节点x t 处的近似值丸即 i 劈一“x i ) l 最i = 0 ，l ，一，刀，( 1 2 7 ) 其中d 为给定的常数，通常称为误差水平 2007上海大学硕士学位论文4 我们希望找到一个函数工，使得工可以作为函数y ( x ) 的一个近似在这 里，我们假设在端点的取样点是精确的，即 旆= 灭o ) ，j j ；，= “1 ) ( 1 2 8 ) 在文【1 】，【1 2 】，【1 4 】，【2 8 】， 2 9 】中，定义如下正则化泛函z j 卜l ， o = 笙竽( ，h ) 一掰+ 帅) ，h 2 ( 0 ，1 ) ( 1 2 9 ) _ ， 二 当分划是等距分划时，正则化泛函变成： 中= ；抓巧) 一乃) 2 十酬门m ，f e 4 2 ( 0 1 ) ( 1 2 1 0 ) 其中。是正则化参数 这时候考虑如下问题：求函数工h 2 ( 0 ，1 ) ，满足工( o ) = “o ) ，工( 1 ) = “1 ) 使 得对任意的f 舻( o ，1 ) 满足矗= 灭o ) ，以1 ) = “1 ) ，成立 m ( ，：) m ( 0 ， 此时，有定理： 定理1 1 问题( 1 ) 的解即极小化泛函o 的解存在且唯一 定理的具体证明可以参见文【l ，1 2 ，1 4 ，2 0 ，2 1 d 此时，就把求解极小化泛函m 得到的解工作为y ( x ) 的一个近似而且 关于工与少o ) 之问误差估计有如下定理： 定理1 2 设工是。= 6 2 时问题( 1 ) 的解，如果“功酽( 0 ，1 ) ，则 i 一l r o a ) - - ( 2 h + 4 垢十! ) i 旷上：) + + 2 垢 定理的具体证明见文【1 ，【1 2 】， 1 4 】，【2 8 ， 2 9 】 ( 1 2 11 ) 口 王彦博( 1 】) ，r s a n d e r s s e n & m h e g l a n d ( 1 3 ) 还把上面求解数值微分做了 推广，其中文【1 】用上述吉洪诺夫正则化方法得到了函数的高阶导数 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 5 在文【1 】中，定义泛函， 。- i m = ；，) 一力) 2 蚓护1 ) ( 1 2 1 2 ) 其中厂为任意满足 i = i f f 矿( o ，1 ) ，f o ) = “0 ) ，f 0 ) = “1 ) ， 的光滑函数，这里的d 是正则化参数作者证明了泛函m 极小化元的存在 性和唯一性，给出了极小化元的构造算法并且极小化元工与y 的导数之间的 误差估计有如下定理： 定理1 3 设工是( 1 2 1 2 ) 定义的泛函垂的极小化元，取口= 萨，若“功h k ( 0 ，1 ) 则 l i 一鹏 k i j 扩，+ 砀6 争 ( 12 1 3 ) 这里0 ，i 一1 ，k l ，和杨是仅与y ，k 和，有关的常数 定理的具体证明可参见文【1 】 口 从上面的例子可以看出，插值( 附加) 条件都是已知的待重构函数在节点 的函数值或者是导数值但是在很多实际问题中，常常出现的是已知待重构函 数在小区间上的( 近似) 积分平均值，例如数理统计学和环境科学；或者是在有 些实际问题中，函数在小区间上的积分值更容易获得在这种情况下，如果再 用上述方法求解，往往就得不到理想的结果此时，康传刚，贺国强( 【2 7 】) 用 多项式基插值以及一次线性样条基插值方法，重j m d e l h e z ( 3 0 ) 应用一种线 性插值方法，黄建国( 【1 5 】) 在右端数据有误差时，设计了一种函数重构的正则 化算法，都得到了良好的理论结果和数值结果 下面主要介绍一下文【1 5 】中基于函数积分平均值的函数重构正则化方法， 和文【2 7 】的多项式基插值以及一次线性样条基插值方法 例1 6 设y = y ( x ) 是定义在区间 a ，b 】上的一个函数，：= 口= x o o l x 2 靠= b l 是区间【口，6 】的一个划分 记 h f 2 麓一x i - l 。i = 1 ，2 ，n ； 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 6 h = i i ：= m a x h j 考虑如下问题( 2 ) ；假设知道删在小区问d 啦! ，划上的近似积分平均值 配，并且满足t i 研一 ( 力i 6( 1 2 1 4 ) 其中 必= 去州巩川 2 ，m ( 1 2 1 5 ) 这里，6 为误差水平 我们希望找到一个函数工。其中工满足下面的广义插值条件； m ) = 必，i = 1 ，2 ，h ( 1 2 1 6 ) 使得工可以作为函数“力的一个近似 与文【1 】类似的是，这里定义泛函； m = ( m 一珥) 2 + a l l f 1 1 2 z ，f 咄 ( 1 ，2 1 7 ) i l 然后就是要求解工= n l a x 币，并且将工作为问题( 2 ) 的近似解并且得到如 ，e 爿i a , b ) 下定理r 定理1 4 问题( 2 ) 即极小化问题工= r a i nm 的解存在且唯一 ，e h - c a o l 定理1 5 设y6h 1 0 ，6 ) ，工 ，e m h 。i ( n 。，舯d o ( f ) 的解，则 i t v 一工抽棚( 2 1 l 1 ，1 1 ：朋- i - ：! ! ! ；竺) + 2 du f 巧+ ( 2 + 、_ ) j 旷ij 以。6 ) ( 1 2 18 ) 、，u 以上定理的证明可参见文【1 5 】 口 例1 7 问题的提出与例1 6 一样，与【1 5 】不同的是，文【2 7 】考虑用多项式基插 值以及一次线性样条基插值求解 用多项式基插值时，作者得到， 定理1 6 在岛一1 【一1 ，1 】中满足条件尬一1 ) = 必0 9 ，i = 1 ，2 ， 的多项式函数 五一1 存在且惟一其中如( 1 2 1 5 ) 所定义 定理证明见文【2 7 中定理2 1 口 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 7 定理1 7 设灭功c n 一i ，l 】，- i 是尸，卜i 【- 1 ，1 】中满足条件必一1 ) = m t ，i = 1 ，2 ，”的多项式函数，则 f ( 州一丘- ) 出= 善蔫u ( f ) ( 1 2 1 9 ) 其中f ( - 1 ，1 ) ，“力= 兀o x j ) 定理证明见文【2 7 】中定理2 3 口 用一次线性样条基来做插值时，一次样条基取为 = 庐，( 功= 等， x x o , x i x l 一粕 0 ，其余 三二! l 二! x x i - l , x i x i 一工卜1 ；x i i + 1 - - i x ，x 胁，“1 】 f - l ，一l 0 ， 其余 掣，j k 瞒】 x n 一鼻，一1 0 ， 其余 s 。 ) 皇ya i 妒， ( 1 2 2 1 ) 。i 一- - - o 1 f 畔i 其中( 1 i 待定，由于s 。( 曲满足广义插值条件fs 。( x ) d x = 尬，i = 1 ，2 ，m r i lj x 1 因此，由插值条件即可确定出插值系数，进而得到问题的解s 。( 曲 受文【1 5 】、 2 7 和 3 0 】的启发，在基于函数积分平均值的前提下，本文讨 论了一种函数重构方法( 广义的插值问题) 加 记 纵 第二章低阶偶次样条函数重构 首先给出m 次样条函数的定义t 定义，若a = 口= x o 期 轴= 6 i 是【a ，们上的分划，如果函数s ( 曲满 足，( 1 ) 在陋，b 】上m 一1 次连续可微； ( 2 ) 在每个小区间b 1 ，曲】，i = 1 2 ，上是一个m 次多项式； 则我们称s ( 曲为区间陋，加上的m 次样条函数 显然，m 次样条函数s ( 曲在结点而处直到m 一1 次连续可微，其中 i = 1 ，2 ，n 一1 易知，这样的m 次样条函数和区间的分划有关，我们 记这样的m 次样条函数为zs ”( ) 2 1 零次样条函数重构 2 1 1 问题的提法和主要结果 问题的提出与前一章类似，在此我们重新叙述一遍设y = “曲是定义在 区问【a , b 】上的函数，a ：= 扣= x 0 x l 娩 0 是一个已知的误差水平，“由( 2 1 5 ) 给出，而 = ( 斫，) 7 ， ( 2 1 9 ) 这里的范数定义为 ， “1 l ：= i u l l r = ( f - ”，2 ) 1 7 2 ( 2 1 1 0 ) ，：l 现在，算子方程( 2 1 3 ) 变成 a f = ( 2 1 1 1 ) 算子方程( 2 1 1 1 ) 的m o r r e - p e n r o s e 广义解为= 一+ 矿，此时就取作为原函 数“x ) 的近似解在讨论近似解与原函数y 之间的误差估计之前，先给出一 个引理 引理2 4 设是算子方程( 2 1 3 ) 中的算子一的m o r r e p e n r o s e 广义逆算子，则 i 喇+ i l = l ( 2 1 1 2 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 2 证明：因为算子爿：l 2 ( a ，6 ) - ，所以算子一的m o r r e p e n r o s e 广义逆算子4 + 为 a + ：f _ s ocl 2 ( 口， 由定理2 2 知 似+ ( 曲= u ，x ( x , - i ，x d ，i = i ，2 ， 从而 l m + “i l 口( 口扪= i l u l i r ， y ue 彤 所以( 2 1 12 ) 成立引理证毕 i 1 定理2 5 设“力是一个定义在区间陋，b 】上的函数，已知m ) 在小区间阻，蜘 上的近似积分平均值 斫j 满足( 2 1 8 ) ，其中矿和“分别如( 2 1 9 ) 和( 2 1 5 ) 所定 义。则 i 一y z 扣j ) 5 + o - ( h ) ( 2 1 1 3 ) 其中 砌却 力2 酏 冀黧兰 亿a ， 证明：由上面的分析知道，算子方程( 2 1 1 1 ) 的m o r r e p e n r o s e 广义解为= a + u 6 ， 则由定理2 3 以及引理2 4 可得 l | 一y lj l 2 血6 ) = 1 1 , 4 + 一y l 工z 缸1 1 4 + u 5 - a + u l l l 2 ( 。止) + 1 1 , 4 + 1 , 1 一y i | 2 ( 。西) 1 1 4 + 1 i 矿一甜2 帆”+ l 【厂+ - y l l z 2 ( 。, b ) 5 + o - ( h ) 定理证毕 口 2 1 2 对数值求导的应用 在研究实际工作中，往往要遇到计算导数，例如图像处理过程中的不连点 的确定问题( 【1 6 】) ，a b e l 方程的求解问题( 1 7 】) ，数学物理方程的反问题( 1 8 】) 等 问题的研究过程中均出现了数值微分的问题但是数值求一个函数的导数在 大多数情况下是困难的这是由于任何测量中的小的误差，都有可能导致最终 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 3 结果的极大偏差本节用基于积分平均值的函数重构方法讨论了数值微分的 问题 设函数烈力印( 口，问题是求以功= g ，已知条件是知道函数烈力在 点蕾的近似值岔， 并且 睇反新) i 磊f 10 ，1 ， ( 2 1 1 5 ) 其中6 0 是一个已知的误差水平 根据上面的分析，我们可以得到如下结论 定理2 6 设函数g ，b ) ，g ，= m ) ，已知如) 在点墨的近似值 g ，i = l ，2 ，并且g 满足( 2 1 1 5 ) ，设是方程( 2 1 ，1 1 ) 关于右端矿= ( 斫，斫，。孵) 7 的m o r r e p e n r o s e 广义解，其中 群：垒堕，f ：l ，2 ， n i 令垒= m i n h j ，则 ， i 僻一门l l ：( 劬) 2 b x 厅百2 - 一a 6 + 旷) ( 2 1 1 6 ) 其中一 ) 如( 2 i 1 4 ) 所表示 证明：由已知条件，在小区间嘛m 列上，对于导数以力的积分值，我们有 轳击八蚺= 其中霸= 反而) i = l ，2 ，n 从而 拈睁咖l 生尘掣l 瓦2 6 ( 2 a 1 7 ) 因此，如果令鱼= r a i n h i ，则由( 2 1 1 7 ) 可得 阳忙( 涉n 洲：( 孙n 铷i ，2 0 ，取h = 塑= o o ) ，则 一刀i = 0 ( 6 1 1 2 ) + o - ( h ) ( 2 1 1 8 ) 2 1 3 数值实验 本节的数值例子是在取区间，b 】为 o ，1 】并把【o 。1 n 等分，n = 1 0 0 的情 况下得到的现在针对不同的误差水甲6 ，我们将给出原函数及其重构函数的 图像，以及真解与近似解之间的误差分析我们将用文【1 5 】中的方法与我们文 中的方法作一个比较，由上面结果我们可以看出，我们的方法不需要正则化， 因此计算大为简便( 下面所有图像中实线表示真解，虚线表示本文得到的近 似解。点表示文【1 5 】得到的近似解) 例2 1 y 1 0 ) = i + 0 0 5 x 下面看函数y l o ) 的重构函数与y l o ) 之间的逼近程度 占 本文的p 误差文 1 5 】的上2 误差( 取口= 萨) 0 10 0 5 8 lo 0 1 0 l 0 0 l 0 0 0 5 8 0 0 0 3 7 0 0 0 16 2 6 2 l e 一0 0 45 5 2 6 l e 一0 0 4 表iy l ( x ) 与其重构函数之间的2 误差 ? 兰、；a j 手j i ：? j - j 。i 4 , , j ! - ；j 。j j ；，j i ；老t ! 。 j 。j ，j j ，。 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 5 。j 图1y l o 。= 1 + o 0 5 x 及其重构函数的图像 分别取o 1 ，0 0 1 ，0 0 0 1 ) 从上面图像可以看出，我们的基于积分平均值的函数重构方法效果很好， 当6 取0 0 1 和o 0 0 1 时，虚线和实线基本是重合的，特别是当6 取o 0 0 1 时逼近 效果就非常好了 例2 2 y 2 ( x ) = l 十3 0 一( 1 一曲2 下面是y 2 ( x ) 与其重构函数的图像以及它们之间的三2 误差 占 本文的驴误差文【】5 】的2 误差( 取o = 铲) o 10 0 6 3 60 0 9 4 2 o o l0 0 2 3 60 0 0 4 3 0 0 0 1o 0 2 2 55 5 3 6 0 e 0 0 4 表2 儿( 曲与其重构函数之间的2 误差 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 6 图2y 2 ( x ) = 1 + 3 0 ：d o x ) 2 ( j 分另取o 1 ，0 o l ，0 0 0 1 ) 例2 3 上面的例子都是连续函数，为了检验算法的有效性，下面看不连续函数 的情况，令函数 ll + 2 矗当0 x 0 5 ， 以功2 4 - 2 x , ! h o 艇z 1 ， 下面是乃( 砷及其重构函数的图像以及它们之间的f 误差 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 7 j 本文的三2 误差文【1 5 】的三2 误差( 取口= 铲) o 10 1 4 5 80 2 0 9 4 o o l0 0 7 7 20 0 6 4 3 0 o o l0 0 7 5 90 0 5 6 6 表3 如与其重构函数之间的f 误差 图3y 3 ( x ) 与其重构函数的图像 分别取o 1 ，0 o l ，0 o o d 例2 4 在本节的第二部分我们讨论了基于积分平均值的函数重构的应用 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 8 一求函数的数值微分，现在进行数值实验 n = 5 x 2 4 x 下面看弘0 。的导数与其重构函数的逼近程度， 6 本文的工2 误差 l 嵋叫岘。m 文【1 5 】的驴误差( 取口= 萨) o o lo 8 0 6 l 8 0 6 1 20 3 3 8 4 0 0 0 10 0 9 6 93 0 6 2 70 0 6 9 l 0 0 0 0 l0 0 5 4 95 4 8 8 80 ，0 0 7 5 表4y 4 ( x ) 的导数与其重构函数之间的2 误差 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 9 图4y 4 ( x ) = 5 f 一4 x 的导数及其重构函数的图像够分别取0 0 1 ，0 0 0 1 ，0 0 0 0 1 ) 从上面图像来看，函数弘( 功的导数与它的重构函数的图像之间非常接近，当 d 取l o 一3 和l o 一4 时，虚线和实线基本是重合的因此，我们的基于积分平均值 的函数重构方法用于求解函数的数值微分是可行的而且，由于不需要选择正 则化参数，因此我们的方法很有使用价值 2 2 二次样条函数重构 2 2 1 算法的描述和主要结果 设y = “j ) 是定义在区间【如】上的一个函数，a ：= i d = x o x l x 2 x n = b 是区间【口，6 】的一个划分 记 h i = x i 一斗1 ，i = 1 ，2 ，； 考虑如下问题( p 1 ) ，假设已知y o ) 在小区间 x i - l 置 上的积分平均值m ， 膨= 丢e m ) d x 锄，川2 叫) 我们希望找到一个函数工| l 其中工，l 满足下面的广义插值条件： m o r 1 ) = ，i = 1 ，2 ， ( 2 2 2 ) 为了使得z 1 可以作为函数) o ) 的一个合适的近似，现在考虑使得i 峻。忙【州尽 量地小 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 0 上述问题可以归结为算子方程的形式，即 4 ，= 甜 其中，日1 ( 口，6 ) ，“= ( 心，必，尬，) 7 令s ( 砷：= l 厂工2 ( 口，b ) l a f = u l 为方程( 2 2 3 ) 的最小二乘解集，下面就是要寻找 一个函数工1 s ( n h l 0 ，6 ) ，使得 峨如) 5 俐m i n 脚( 吣i t y i p , ： “n6 铮上t z a ( x ) 1 2 出2 止。器( 。) 上i f ( x ) 1 2 d t 若这样的函数工1 存在，则我们就取工- 作为问题( p - ) 的解 定理2 , 8 令s ；( ) ：= i s s 2 ( a ) l s7 m ) = s ( = o ) ，则存在唯一的函数工1 s ；( ) ， 使得 巾 一 上i 1 0 。1 2 d x = 倒。m i n ) m ( 呻j 口i t ( 功p 出 ( 2 2 4 ) 证明。首先证明存在性 设工，s j ( ) 且满足( 2 2 2 ) ，( 其实，这样的工，l 是存在的，见2 2 3 ) 下面证 明工1 极小化积分r i f ( x ) 1 2 d x ，f h 1 ( d ，6 ) n s ( 事实上，对任意实函数f 日1 ( 口，6 ) ，有 rj 厂一矗。圳2 出= r l 厂1 2 出+ r 畋1 2 出一2 r 厂( 坛- 出 = j ，l 厂( 力1 2 出一j ，峨，1 2 出一2f r o ( x ) 一只船) 】丘，出 ( 2 2 5 ) 应用分部积分并且考虑到蜀在节点而处可能不连续，则上式最后一个积分可 以化为： f 旷一丘，c 曲坂c 曲出= 善n 。一厶c 曲k 艮。一喜j = 二【，一九 局出 又因为当x x i - 1 ，而】时，尼( 功= c f ( 常数) ，所以 r 叭功一向o ) 坞出：白( r f ( x ) 出一r _ 工j 出) ；“蜥厩一蜥”= o j j x l 4 o x 一i 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 1 另外，i t t 于丘i ( x o ) = 1 0 ) 20 ，所以 叭曲一工，t 坂。= i f ( x ) 一工，o ) k 。o ) 喧= 0 把以上各式代人到( 2 2 5 ) 得 f 旷( 曲一岛o 。1 2 出= r 旷( 邢出一r 嵋，( 珊出 从而 f 峨1 2 出= f 扩( 讲出一f 叭力一丘。1 2 出r 俨( 邢出 ( 2 2 6 ) 这样，我们就证明了r 峻i j 2 d x = m i n l f f 。l i ( x ) 1 2 d x l f h 1 0 ，b ) t 3 s ( u ) 下面，我们证明这样的二次样条函数工i 是唯一的 事实上，设 1 和工j 是s ；( ) 中的两个极小化积分f 旷( 动j 2 幽的二次样条， 下面证明工i = 五1 首先让工l 代替( 2 2 6 ) 式中的工由于工，l 极小化积分 ( 2 2 4 ) ，则有 r 派，b 一局( x ) 1 2 d x = f 成，锄1 2 幽一r ( 珊出2 。1 另外，由于工i 也极小化积分( 2 2 4 ) ，把工1 和五1 互换位置，则有 f 峻舡) 一五l l ：出：f 峨 ( 删2 出一f _ 暖，7 ( 曲1 2 出2 o 一口j 口一口 所以 i 峻- k l ( 硎2 d x = 0 又由于工l 和l 都是连续函数，l t i i 此。 工，o ) = 五。 两边同时积分得 z l = 一l + 以 y - i 玉i 为工，和。都满足( 2 2 2 ) ，即 去e 五t ( x ) d x = 击如出孙，：， 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 从而a = 0 ，即z 1 ( x ) = 工1 0 ) 唯一性得证 定理证毕 1 3 此时，我们就取工1 作为问题( p 1 ) 的近似解它们之间的误差估计可以 由文【1 5 】的定理2 6 类似的给出与文 1 5 】不同的是，由于此时知道的是精确 数据，因此误差估计里没有误差水平项正即 定理2 9 设y h 1 d ，6 )