（计算数学专业论文）基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究.pdf

摘要图像插值需要把待插值像素映射到原始图像的某个“位置”，因而要通过对这个位置周围“存在”的像素应用预先定义的插值函数求取其灰度值，其本质是通过低分辨率像素的灰度值“估计”出高分辨率图像各个像素的灰度值。图像插值的目的是为了能更加清晰的看到图像的细节部分，增加图像的分辨率。图像插值是一种应用比较广泛的技术，在很多领域中都有重要的应用，例如遥感、生物医学、计算机视觉等等领域。传统的插值算法主要是利用近邻像素点的灰度值的加权平均来计算未知像素点处的灰度值。不同的加权平均方法对应着不同的插值效果，如重复插值，双线性插值以及小波内插法等。重复插值方法简单，易于实现，然而，当图像中包含像素之间的灰度级有变换的细微结构时，该方法会在图像中产生人工的痕迹，导致图像带有锯齿的边缘；双线性插值具有平滑作用，可能会使图像的细节退化；小波内插法效果较好，但整个图像有些模糊，亮度也有损失；分形插值能克服线性插值的缺点，同时保持原图像的精细的纹理特征。但实际的数字图像是非理想f b r的，图像的边缘会变模糊。本文主要对传统的图像插值的技术进行了分析研究，结合小波变换在图像放大中能够保持原图像在各种分辨率下的精确结构，对传统的图像插值方法提出了一些改进。主要工作有：在空间域和小波域对现有的传统的插值算法进行了分析研究与仿真实验；在小波域结合分形插值技术，提出了基于小波变换和分形插值相结合的图像放大增强方法，并对图像放大后处理方法进行研究，以求获得的放大图像的纹理特征和图像的边缘得到明显增强，并提高插值图像的清晰度。对以上所述的方法进行了仿真实验，实验结果表明，与传统的插值算法相比较，本文所提出的方法主观视觉效果也更平滑清晰，证明了这些方法的有效性。关键词：小波变换图像放大分形插值a b s t r a c tp i x e li n t e r p o l a t i o nn e e d st ob em a p p e dt ot h eo r i g i n a li m a g eo fa ”l o c a t i o n ”，w h i c hs h o u l db ea d o p t e da r o u n dt h el o c a t i o no ft h i s ”p r e s e n c e ”i nt h ea p p l i c a t i o no fp r e d e f i n e dp i x e li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ns t r i k et h e i rg r a yv a l u e a n dg o o di m a g ei n t e r p o l a t i o nm u s ta s s u r ei m a g ei nf o c u s t h a ti st os a y , i tm a yr e t a i ni m a g et e x t u r ea n di n t e n s i 母i m a g ee d g e i m a g ei n t e r p o l a t i o ni sw i d e l yu s e di ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o na r e a s ，s u c ha sr e m o t es e n s i n g ，b i o m e d i c i n e ，c o m p u t e rv i s i o na n de t c w i t ht h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e s ，i m a g ei n t e r p o l a t i o ni st h ef i r s to ft w ob a s i cr e s a m p l i n gs t e p sa n dt u r n sad i s c r e t ei m a g ei n t oac o n t i n u o u sf u n c t i o n ，w h i c hi sn e c e s s a r yf o rv a r i o u sg e o m e t r i ct r a n s f o r mo fd i s c r e t ei m a g e s t h e r ea r et w ok i n d so fi n t e r p o l a t i o nm e t h o d s ：l i n e a ra n dn o n l i n e a ro n e s f o rl i n e a rm e t h o d s ，d i v e r s ei n t e r p o l a t i o nk e r n e l so ff i n i t es i z eh a v eb e e ni n t r o d u c e d t h r e eo ft h es i m p l e s ta p p r o x i m a t i o n sa r er e l a t e dt ot h en e a r e s t - n e i g h b o ri n t e r p o l a t i o na n dt h e b i l i n e a ri n t e r p o l a t i o na sw e l la st h ew a v e l e ti n t e r p o l a t i o n h o w e v e r , m o s to ft h el i n e a ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d sh a v eb e e ni n t r o d u c e dw i t h o u tc o n s i d e r i n gs p e c i f i c ( 1 0 c a l )i n f o r m a t i o no fe d g e s t h u s ，吐l e yb r i n gu pt h es m o o t h i n ge f f e c ti nr e s u l t i n gi m a g e s f u r t h e r m o r e ，w h e nt h ei m a g ei sz o o m e db yal a r g ef a c t o r ，t h ez o o m e di m a g el o o k sb l o c k y ；s u c hap h e n o m e n o ni sc a l l e dt h ec h e c k e r b o a r de f f e c t f r a c t a li n t e r p o l a t i o no v e r c o m e st h es h o r t c o m i n g so fl i n e a ri n t e r p o l a t i o n , w h i l er e t a i n i n gi m a g et e x t u r ef e a t u r e h o w e v e r , t h ee d g eo f f b rn o n i d e a ld i g i t a li m a g eb e c o m e sb l u r r e d i nt h i sp a p e r , b ys t u d y i n gi n t e r p o l a t i o nt e c h n i q u eb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ，am e t h o do fi m a g em a g n i f i c a t i o na c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t i e so ff r a c t a li n t e r p o l a t i o na n dw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o na r ep r e s e n t e d w ef o c u st h ed e v e l o p m e n to fe d g e f o r m i n gm e t h o d st ob ea p p l i e da sap o s t p r o c e s so fs t a n d a r di m a g ez o o m i n gm e t h o d sf o rg r a y s c a l ei m a g e s ，w i t ht h eh o p eo f r e t a i n i n ge d g e s w em a k ee x p e r i m e n t st oa p p r o v eu p s i d em e t h o d s c o m p a r i n ga n da n a l y z i n gs h o wt h a tt h e s en e wm e t h o d sm a yn o to n l yg e th i g h e rp s n rt h a nt h e s ec l a s s i c a li m a g ei n t e r p o l a t i o n s ，b u ta l s og e tb e t t e rv i s u a le f f e c t s ot h i sm a k e ss u r et h e s en e wm e t h o d sv a “d k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o ni m a g em a g n i f i c a t i o nf r a e t a li n t e r p o l a t i o n创新性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。本人签名：基客名日期：2 1 曼金! ! ! ；关于论文使用授权的说明本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定)本人签名：j 导师签名：至卫望日期：星! ! 芷! ! ! ；日期：盈丝：2 牛第一章绪论第一章绪论1 1 引言现实生活中看到的、触摸到的都是具体的事物。人们为了记录和表达这些信息，经常采用图像作为表现的方式。随着数字时代的发展，需要将这些图像输入到计算机中，并在计算机中存储、处理，在网络中传输，从计算机中输出。例如人们为了纪念生活中美好的瞬间拍摄的照片，或者从太空传回的记录大气和地面信息的卫星照片，为了广告宣传需要制作、打印长宽几十米的海报。而目前的图像数字化输入设备扫描仪、数字相机等等都是通过采样图像上的微小区域，产生对应的像素点，从而形成一个点阵化的图像数据。即对于固定的图像输入条件和固定的图像而言，可以获取的数据量是相对固定的。可是，很多情况下，例如为了纪念生活中美好的瞬间需要将拍摄的照片放大后挂在墙上，为了观察细节需要将从太空传回的记录大气和地面信息的卫星照片放大，为了广告宣传需要将一张小小的胶片剧照制作、打印成长宽几十米的精致的海报，经常需要将图像进行放大。这时就带来了一个问题。图像的放大首先意味着这个记录图像数据量的增加。那么，如何从原图得出需要的数据呢?这里将图像【3 6 j 放的起点定位为输入后的数字化图像，也就是将之作为原始图像。也就是研究图像放大技术的起点。显然由于原始图像是点阵化的，可以说，原始图像和需要放大的图像所需要的数据量是不相等的。为了放大图像，需要更多的数据量。例如当图像上只有一个点时的极端情况，如果要将此图像放大为原来的2 倍，只是需要复n 4 个像素点就可以了。可是图像上有如下相邻的4 x 4 个点，当要将图像放大为原来的2 倍的时候，那么右边的矩阵的值“应该”是多少呢。而事实上所处理的图像远远比这复杂的多。这是一个数据补充问题，从这个角度讲有时图像复杂反而意味着可以利用的信息量更多。图1 1 图像放大的数据填充示意图 ； 钉弛 ：2 宕约476634742基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究如何补充不足的数据呢? 图1 1 中右边的矩阵的值是多少呢? 没有办法给出唯一的确定的解，因为无法建立一个映射。在设计和实现数字化图像处理的运算方案时有两种观点：离散的观点和连续的观点。一方面，人们可以把数字图像看成离散采样点的集合( 实际情况也是如此) ，每个点具有其各自的属性这样，处理运算就是对这些离散单元的操作。处理是对每个像素进行处理进行的。另一方面，人们感兴趣的图像通常源自物理世界，它们可用连续函数很好的描述。基于这种考虑，图像及其内容经常可由连续函数来更好的描述。这样，当对一个整数阵列进行操作时，人们可以认为它正在进行的处理步骤实际上是对暂时用数字图像表示的连续函数做的。尽管数字图像是以离散为基础的，但由于图像所对应的景物中的物体及成像的设备用连续函数能更好的表示，另一方面，本质上是用离散的技术来处理连续世界的图像，同时从信息表示的角度看，采用连续的观点才可能找到信息补充的途径，所以，在图像放大过程将坚持连续的观点。目前，已经完全实用化的数字图像放大技术主要是内插值放大方法，包括最近邻插值，双线性插值，双平方插值，双立方插值，其他高阶方法。由于最近邻插值和双线性插值放大质量不好，容易出现锯齿，所以一般在要求高的场合下不采用。而高阶方法，由于运算量大一般多不采用。折衷的方法是双平方插值和双立方插值，由于以上方法的实质是“低通滤波器”，所以会使图像不同程度的细节产生退化。在增强图像平滑效果的同时丢失了高频信息。而有时这些细节信息恰恰是非常重要的信息，所以如何保证平滑效果的同时尽可能保留细节信息无疑是非常有价值的。同时，随着新的图像处理方法的出现，如小波、分形、编码、模式识别等新理论在图像领域的应用，也出现了一些应用到图像放大中的技术思想。1 2 数字图像的特征数字图像放大在图像处理，图像输出中是必不可少的图像算法之一，也是图像处理软件中必不可少的功能之一。目前己经有了很多实用化的方法，它们有着各自的特点，优点和不足。对于每种方法，其失真是怎么产生的，每一种方法将产生什么样的失真，如何衡量这种失真。失真是否在可以接受的范围之内，该算法在哪种情况下是可以接受的。这些方法的区别在哪里，各自的算法基础是什么，和它们的优缺点又有什么必然关系。这些都是值得仔细研究的问题。第一章绪论根据什么补充所需要的数据，怎样使放大后的图像有尽可能小的失真。为了解决这个问题，又需要回到图像自身去，找到数字图像的特点和规律，寻求对图像的合理解释，或者说一种假设，从而基于这些观点来实现数字图像的放大。并且希望找到一种易于实用化的图像放大算法，能够吸取现有成熟算法的优点，同时又可以改进现有算法的不足。并且便于软件实现，尽量减少运算量。1 2 1 图像的表示和模型化图像的表示唧是与量化后的图像元素( 像素) 的表示相关的。一幅图像可以是自然景物中物体的光强( 例如用普通照相机照的照片) ，也可以是身体器官的吸收特征的量化( 例如x 光照片) ；或者目标物体的雷达反射截面( 雷达图像) ；或者区域的温度场( 红外线图像) ；或者重力场( 地球物理图像) 。一般地，任意二维函数表示的信息均可以看成是一幅图像，图像模型是这一函数特征的逻辑与定性的描述。任何一个二维表示的信号可以看成是一幅图像，但是数字图像是一种特殊的二维信号。从图像的来源看，图像首先具有的特性是其内容的复杂性，其包含的信息、量图像放大方法研究其实是非常巨大的。无论是色彩，灰度变化的范围还是色彩的数目。严格地讲一些图像，例如点阵化的矢量图，而只能视为图形。这里研究的图像是具有丰富细节信息的图像。这就决定了，一般所谓的区域轮廓线算法是根本不适用于当前研究的图像的，因为图像是不可能用线和区域来描述的所以，对于这些方法，将不予以讨论。由于本文目的在于寻求一种实用化的方法，所以对于一些只做局部处理可以达到较好效果的算法，不作为研究的重点。图像具有高度复杂性，本文认为这是数字图像的第一个特点。图像的表示分为灰度图像和彩色图倒2 9 1 。1 2 2 灰度图像的表示灰度图像是指物体的二维光强度函数f ( x ，y ) ( 0 f o ，y ) 三一1 ) ，其中x ，y 是空间点的坐标，任意点( x ，y ) 处的数值f ( x ，y ) 正比于图像在该点的亮度( 灰度级l ) ，二变量实函数表示一幅灰度图像，它是在空间的坐标和亮度上均已离散化的图像。可以把一幅灰度图像考虑为一个矩阵，其行和列表示图像中的一个点，而相应的矩阵中元素的值表示出该点的灰度级。如果灰度级仅为黑白两种，则称为二值图像。从该过程看，是将连续的图像离散化得到数字图像的，因此图像在物理h 是离散的，可是在内容上是连续的。同时由于通常是对微小区域光强的量化，而这4基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究些微小区域的光强其实通常是连续变化的，因此，得到的值其实是一个区域光强的积分均值或者说是采样。因为由于是对于一个区域的采样，并且要量化到一个整数灰度级上，从这一点上看，离散化的过程丢失了部分图像连续的信息。采样点密度越大( 取决于设备分辨率和量化的级数) ，丢失的连续信息也就越少。因此，从这一点上启发，一幅图像清晰度越高，蕴含的连续信息也就越丰富，也就越复合图像连续的特点，借助信号处理的手段，基于连续的观点来处理，就能够取得好的效果。即图像清晰度越高，用连续的方法就越能取得好的效果。另一方面，如果图像很粗糙，那么纂于图像连续的假设对图像进行处理，就有可能添加本不应该的连续信息的数据，导致图像出现失真。在探索图像放大的方法的时候，将常常试图回到图像数字化之前，寻求图像的特点，在离散数据上施加相应的影响或是基于连续，或是基于离散的数学方法，来实现图像的放大。因为本文研究的图像放大的起点是己经数字化的图像数据。所以如何提高图像数字化设备的精度不属于木文探讨的范围。1 2 3 数字图像的特点需要处理的数字图像通常来源于客观世界的物理存在，比如一幅风景的照片。所以从图像的内容上看，图像具有高度的复杂性，有着极其丰富的细节。从数字图像的存储方式上看，它具有离散性。一幅图像可以表征为一个矩阵，利用行和列记录该像素的位置，值代表了这一点的量化后的值。这种离散化的点的信息存储方式，大大丢失了或者说没有直接包含图像内容的关联信息。无论什么样的图像都是同样的用离散的点来表示，显而易见，不同图像之间的不同也就是像素灰度值的不同，和图像内容相关的表征只有各个点的灰度信息。而图像的高频和低频信息是和内容有关的，这就增加了处理的难度。同时由于处理的图像大都来自客观世界的物理存在，同时从图像数字化过程和数字化设备的特点来看，图像又具有内容上的连续性。数字图像是连续信息的离散表示。这个连续性无疑是非常有意义的。因为在对图像放大过程中，可以对图像的点进行离散的数学操作无疑是非常有限的。而连续则不同，它包含了大量的信息。而要解决的问题是，图像是如何连续的。图像的连续程度是否应该等同划一的处理。不同图像的连续性是否相同，这种连续性和图像的内容有什么关系，应该以哪种方式来表达或者如何利用这种连续。1 2 4 如何解释数字图像第一章绪论数字图像是客观世界信息的表示。如何解释数字图像往往决定了将从那个角度来解决在数字图像处理中遇到的问题，也是解决问题的出发点。这不仅仅是个方法论问题，更是一个哲学问题。同时，更加重要的是它揭示了解决图像处理问题的思路和方向。甚至可以说是数字图像处理【3 0 1 - - 切方法的基点。k e n n e t h1 l c a s t l e r n a n i l o l 在d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g 中这样论述这个h 题：“每个涉足数字图像处理这类学科的人都不能不带有自己的一套概念和想法一换个说法就是自己的哲学观点。连续方法和离散方法在设计和实现数字图像处理的运算方案时有两种观点：人们可以把数字图像看成离散采样点的集合( 实际情况也如此) ，每个点具有其各自的属性。这样，处理运算就是对这些离散单元的操作，很像组装一台机器就是摆弄各个部件一样。处理过程是通过说明如何对各个像素( 而不是对图像或其中的物体) 进行处理来描述的。另一方面，人们感兴趣的图像通常源自物理世界。它们服从可用连续函数很好地描述的规律( 此处不考虑量子性) 基于这种考虑，图像及其内容经常可由连续函数来更好地描述。这样当对一个整数阵列进行操作时，可以通过构造一个连续函数，继而对连续函数进行处理来实现相应的图像处理。许多处理运算背后的理论实际上是基于对连续函数进行的分析，这种办法确实能很好地解决问题。而另一些处理过程则更适于用对各个像素进行逻辑运算来构思，这时离散的方法就更好些经常是两种方法都能描述一个过程，必须选其一。在许多情况下，我们会发现，分别采用连续分析和离散技术的两种方案，会导致相同的答案，但是沿着不同思路对问题的理解会大不相同。在大多数情况下，采用离散的技术来处理连续世界的图像。图像的原本状态是连续的，处理的结果一般也要以连续的形式演绎。只是当使用数字计算机作为工具来实现我们的算法时，图像才临时变成离散的形式。即使图像是以数字形式提供出来的，我们也不能忽略它原本的连续性。”同样的，在图像放大的过程中，将试图从两个方向去寻找可以使用的方法和思路。1 2 5 什么是图像放大图像的存储角度讲，图像放大是根据原始图像的像素点产生更多的像索点。所以从该角度讲，图像放大8 】的核心是如何补充所需要的点。而图像放大的实质则是图像数据的补充。图像的输入和输出都是图像，输出也要符合图像的特征，这是第一个约束。6基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究例如如果认为图像是连续的，那么输出的图像也应该符合关于连续的定义。第二个约束是输入图像和输出的图像的信息保持尽可能小的失真。这种失真越小也就说明放大的效果越好( 在不考虑开销的情况下) 。在图像的特点部分认为图像具有高度的复杂性，相互关联和矛盾的连续性与离散性。显然复杂性对采用的方法进行了限制，例如目前不可能通过图像识别来进行放大处理，而离散性是显然容易保证的，问题的关键在于连续性那么这个连续性应该如何保证呢?首先连续性应该如何描述或者说表征呢? 从图像的内容和图像数字化的过程来看，由于图像在采样时的光强是连续的，那么图像离散后的点也应该是在某个连续函数上的点。即通过某种数学方法对原图的像素点进行插值得到的曲线或者平面应该具有一定的光滑性。在数学上描述的方法是利用导数连续来描述的。将光滑性的标准定为至少是一阶导数连续。数字图像可以用一个二维函数来表示。对于输入的图像，假定它自身具有光顺性。那么输出的图像就应该是在己知图像的点所拟合的一个一阶导数连续的空间平面上的点同样对于图像的每一列( 行)的一维的数据也有类似的定义。从这里可以看出，从某种意义上讲，放大的理想效果，是相当于对原图像增加采样点数量后得到的图像 1 1 - 1 4 】。在这里应该注意，对于连续的描述是参照原图来定义的。1 3 本文主要工作本文主要针对图像插值放大这个方面的问题进行了研究。分别是：( 1 ) 在小波域对图像进行插值研究，提出了一种基于小波和分形的图像插值方法。针对图像插通过在空问域中一些传统的插值方法的研究与仿真，针对图像的一些特点还有小波函数的性质，提出了效果比较好的插值算法，并且给出了实验算法：( 2 ) 鉴于以上插值的实验与总结，又考虑到线性插值的不足，算法利用了e n o 思想，最后大大改善了原有的传统插值算法的失真现象，增加了大量的图像细节，对边缘模糊现象也进行了有效的防止。本论文的主要结构如下：第一章是绪论，对图像处理在现实中的应用进行了概括介绍了数字图像的特征灰度图像的表示，并对图像放大进行了概述。第二章详尽论述了小波分析的基本理论。第三章论述了图像插值技术的一些基本理论。对图像插值技术做了概述。包第一章绪论7括图像插值技术的研究领域，研究目的与研究意义，图像插值技术的分类与总结等。第四章介绍了一种基于小波变换的分形图像放大插值方法。第五章介绍了两种图像放大后处理算法。然后是总结与展望。最后是参考文献，硕士期间发表的学术论文还有致谢。第二章小波分析的基本理论9第二章小波分析的基本理论2 1 多分辨分析( m r a )定义2 1 设( 一 。为l 2 ( r ) 的一串闭子空间序列，如果满足下面五条，则称 v j 。为r ( r ) 的一个多分辨分析6 1 ，6 1 11 ) 单调性：c 一+ 1 ，_ ，z2 ) 平移不变性：若“( x ：贝“( x 一后) ，后zu ( x ) v f i j u ( x - k ) ”。3 ) 二进制伸缩相关性：u ( x ) 一u ( 2 x ) 一+ l ，z4 ) 逼近性：n 巧= o ) ，u 一= r ( r )5 ) r i e s z 基的存在性：存在g x ) ，使得 9 0 一) ) 眦是的r i e s z 基。把g x ) 规范正交化得到吣) = 去【( 奎 协圳2 ) 一；如) 】。则妒( x ) 称为多分辨分析 一) 脚的一个尺度函数，矿的规范正交基。取为巧在一+ - 中的正交补空间，则有( 2 1 ) 妒j j ( 工) = 2 s 2 妒( 2 x 一| i ) ) ，。z 为巧“= _ o 杉，且v f ，有：形上( 2 - 2 )我们能得到r ( r ) = 0 ( 2 3 )j e z这样就把r ( r ) 分解为相互正交的子空间。这样形成的序列 ) ，：具有以下性质( 1 )平移不变性：f 贝妒 一2 后) ( 2 - 4 )( 2 ) 二进制伸缩相关性：。f 营f ( 2 x ) “( 2 5 )1 0基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究因为妒v oc k ，c p t i 是巧的规范正交基，则9 ( 工) = z h 。妒。j = 压玩妒( 2 x 一后)式中h l = 且f 魂l - 1 。对( 2 6 ) 式作f o u r i e r 变换庐( ) = 专玩e - “2 驴( c o 2 )v 二k上式可记为矿( ) = h ( 2 ) ( 2 )其中日 ) = i 1 e 埘。，这是一个以2 巧为周期的函数，且、，二kl h ( c o ) 1 2 + i h ( c o + 石) i _ 1设v ，它等价于咀且l f ，k ，则同样可有t f ，( x ) = 既妒。t ( 工) = 压既q ，( 2 x 一后)其中g i = ，其f o u r i e r 变换为驴 ) = 击莩e - l k t o l 2 驴 2 ) = g 2 ) 庐 2 )式中g c 咖击莩即一，g ( 0 1 也是一个以2 石为周期的函数，且满足g ( ) 丽+ g ( 吐) + 万) z 灭雨= 0由( 2 1 3 ) 式得g ( o a ) = 葡i 丽因此驴( ) = e * m 1 2 日( 2 + 丌两( 2 )作f o u r i e r 反变换可得( 2 - 6 )( 2 7 )( 2 8 )( 2 9 )( 2 - 1 0 )( 2 1 1 )( 2 1 2 )r 2 - 1 3 )( 2 - 1 4 )( 2 - 1 5 )二二! 兰量尘鎏坌堑堕茎奎堡堡! !叭加珲( _ 1 广1 k - 们卜七)( 2 - 1 6 )i f ，( x ) 就是小波函数，y ，j ( x ) = 2 ：2 i f ，( 2 7 工一七) 构成r ( r ) 的标准正交基。如果l f ，l 2 ( r ) 满足2 2 小波变换q = 智如，则称l f ，为一个母小波或基本小波，( 2 1 7 ) 式称为容许性条件【6 l ，1 1 6 ，称 ( 曲：| 口j 。1 1 f ，( 掣) ，其中啪r , a o ( 2 - 1 8 )口为小波。当x ，口，6 连续变化时，i a h 称为连续小波；当口，6 分别离散化为口f 和”6 。时，则称l f ，础为离散小波。连续小波变换和离散小波变换分别定义为町 6 ) = 爿口1 1 m ) l f ，( 等) 出( 2 - 1 9 )w f ( m , n ) = ，1 ；f ，。，蚓嘞1 1 厂( z ) l ：f ，( 口；x n b o ) d x ( 2 - 2 0 )一个函数1 j f ，r ( 矗) 称为一个正交小波，如果由i ：j x ( x ) f f i 2 7 2 v ( 2 工一后1 ，j , k z ( 2 - 2 1 )定义的函数族 1 1 f ， 是( r ) 的规范正交基，即其中6 卅 = 6 j f l 。，k ，m z而且v f l 2 ( r ) 有j = kj k厂( x ) = c j y 舭( x ) ，j , k( 2 2 2 )( 2 2 3 )1 2基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究( 2 - 2 3 ) 式中级数收敛是在r ( r ) 中的，即机i 一i( 2 2 3 ) 式的级数表示称为小波级数，其中小波系数为( 2 - 2 4 )c j j = ( 2 。2 5 )则由小波变换的定义有c j , k l f ，肚挎町专，砉) ( 2 - 2 6 )在实际应用中，常用下面的等价形式来定义小波变换，f 2 三( r ) 的小波变换为形( 蹦) = ，饥( 加邝m 川) 疵= ；l ，o 渺等) 刃( 2 2 7 )其中帆( x ) ：三l f ，) 。2 3 二进小波变换及小波快速算法在大多数情况下，无须使用连续尺度s ，为了使小波变换能够快速数字化实现，假定尺度s 在序列 2 7 ) 。上取值，这样就产生了二进小波变换。定义2 2函数l f ，l 2 ( r ) 称为一个二进小波1 8 1 1 2 7 2 引，若存在两个常数a 。b ( o a b o o ) ，使得a i 矿( 2 “c o ) 峰ba e ( 2 2 8 )( 2 2 8 ) 式称为稳定性条件。 畋。n 。称为厂的二进小波变换，其中川x ) = 厂鸭鼬) = ；们) y l x r - t ) 西( 2 - 2 9 )实际上二进小波变换不仅完全而且冗余，即f ( x ) 可由它的二进小波变换重构。事实上，只要小波函数i f ，满足( 2 2 8 ) 式，则一定存在重构小波z ( x ) ，使得信号可由小波变换完全恢复o=妒c。兰“兰一一厂第二章小波分析的基本理论邝) = ，厂z ( r )j = 其中重构小波z ( x ) 满足驴( 2 ) 戈( 2 ) = 1j 5 ( 2 - 3 0 )( 2 3 1 )在信号处理中常用的是离散二进小波变换，下面引入数字信号 以 。离散二进小波变换的定义。定义2 3 设 以) 。r ( r ) ，f 为满足z f * 9 。= 以的函数，其中驴满足i 庐( ) j 2 = 妒( 2 w ) z ( 2 c o )( 2 3 2 )1 = 1则称 ，厂( n ) 。= 嘭，“1 ，。) 为 以) 。的离散二进小波变换p 3 1 例。在实际应用中，总是将尺度函数妒和小波函数l f ，进行变换，是它们与其等效滤波器对应起来，以便实现。具体说来，9 对应于低通滤波器日( c o ) ，y 对应于高通滤波器g ( c o ) ，矗) 和g ( c o ) 分别是相应滤波器的脉冲响应。设d = s ；o f ( n ) ( n z ) 为原始信号f ( x ) 的离散采样序列，吲，( h ) o z ) 为d在每一尺度j 上的小波变换，s ：j f ( n ) ( n z ) 为d 在每一尺度，上的逼近，离散序y f j s ：f ，呜办。就构成了数字信号d 的二进小波变换。小波快速算法的基本思想就是在每一尺度_ ，上，把s 0 厂分解为s 要。f 和呜。f 。假定肼口g 如上所述，日，和g ，是通过在月和g 中每两相邻项间补充2 一个零生成的离散滤波器。具体算法( 分解算法【1 8 1 ) 如下j = 0w h i l ej 0s 一。厂= 嘭厂瓦+ s ；j l 瓦j = j 一1e n do fw h i l e2 4 常用小波函数f 2 - 3 4 )与f o u r i e r 变换相比，小波分析中用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数t f ，( 工) 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问趔6 9 】，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：1 ) y 、矿、9 和庐的支撑长度，即当时间或频率趋向无穷大时，i f ，、驴、妒和谚从一个有限值收敛到0 的速度；2 ) 对称性，它在图像处理中对于避免移相是非常有用的；3 ) y 和9 ( 如果存在的情况) 的消失矩阶数，它对于压缩是非常有用的；4 ) 正则性，它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。本节我们主要介绍在工程应用中经常用到的小波函数。1 h a a r 小波哺”h a a r 函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数( 如图2 1 所示) 。h a a r 函数的定义为：f lo _ x _ l 21 ；f ，( x ) = 一1l 2 x 0( 2 - 3 7 )若很大，则营 ) 的负频值可视为0 ，但有时误差较大。改进的m o i l e r 小波为：g ( ，) = e x p ( 一t ：- 2 + _ ，。f ) ，。o= e 】( p 卜益掣q 。印g ( t ) 不是基小波，近似满足允许条件；i f ，( r ) 是基小波，满足允许条件。 1 9 ( f ) 卜i l f ，( ，) 口西 0 ；这表明，作为h a r d y 小波用于计算，y ( f ) 比g ( f ) 误筹更小。1 8基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究5 m e x i c a n h a t ( 墨西哥帽) 小波( 也称b u b b l e 小波) 汹3m e c a nh a t 函数为：i f ，( 班= ) 1 7 - 1 4 ( 1 - - x 2 ) e x p ( 一x 2 2 )( 2 - 3 9 )、，j它是g a u s s i n 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以称这个函数为墨西哥帽函数( 如图2 4 所石示) 。m e x i c a nh a t 函数在时间域和频率域都有很好的局部性，并且满足：肪)dx=0(240)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。m e x l c a nh a tw a v e l e tf t m c t l o n图2 46 m e y e r 小波陋1 】m e y e r 小波的尺度函数妒和小波函数y 都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。驴 ) =( 2 7 r i 1 2s 砥三u ( 丢吲- 1 ) )( 2 7 r i - 1 1 2 e , 2c o s ( 2 u ( 丢吲- 1 ) )o姿q l 4 j rm e y e r 小波的尺度函数和小波函数的图像如图2 5 所示。m e y e rs c a l i n gf u n c t i o nm e y e rw a v e l e tf u n c t i o n圈2 57 b a t t l e l e m a d 6 d x 波b a t t l e l e m a r i 6 小波具有两种形式，一种具有确定的正交性，一种不具有确定的正交性。当n = l 时，尺度函数是线性样条函数；当n = 2 时，尺度函数是具有有限支撑的b 样条函数。更一般的情况，对于一个次b 样条小波，尺度函数为妒：( 2 丌) 1 2 e - 如n 。f s i n 一( 万，2 ) 1 ”“( 2 - 4 4 )1 0 | 己当为奇数时，庀= 0 ；当 ，为偶数时，k ：1 。它的双尺度关系为妒( x ) =2 2 ”c ，2 ”“6 p ( 2 x m l + _ ，)j o2 m + 22 。2 “1 q “2 q o ( 2 x - m 一1 + 力n = 2 mn = 2 盯+ 1当为偶数时，妒是对称的，x = 1 2 ；当为奇数时，p 是反对称的，工= 0 。8 s t r s m b e r g 小波其性质如下：基于小波变换的分形插值在图像放大中的应用研究无显式表达，小波s 来回振荡，小波函数两相邻点之间的函数值变号。s 呈指数衰减，即存在常数c 和口 0 ，使得j ( r ) 峰c e x p ( - - a i t i )v t r ，az0658(2-46)s l 。( r ) ，1 p 。( 2 - 4 7 )s 具有一定的对称性：s ( - k 2 ) = ( 1 0 6 4 3 ) s ( k )后= 1 , 2 ，3 ，( 2 - 4 8 )9 c o i f m a n 小波c o i f i n a n 小波具有紧支撑，不对称，无不线性相位等特点，在力学等领域中有着较广泛的应用。表2 2c o i f m a n 小波的滤波器系数( n = 6 )低通滤波器高通滤波器3 8 5 8 0 7 7 7 7 4 7 8 8 6 7 4 9 0 e 0 22 2 6 5 8 4 2 6 51 9 7 0 6 8 5 6 0 e 0 11 2 6 9 6 9 1 6 5 3 9 6 2 0 5 2 0 0 e 0 17 4 5 6 8 7 5 5 8 9 3 4 4 3 4 2 8 0 e 0 17 7 1 6 1 5 5 5 4 9 5 7 7 3 4 9 8 0 e 0 26 0 7 4 9 1 6 4 1 3 8 5 6 8 4 1 2 0 e 0 16 0 7 4 9 1 6 4 1 3 8 5 6 8 4 1 2 0 e 0 17 7 1 6 1 5 5 5 4 9 5 7 7 3 4 9 8 0 e 0 27 4 5 6 8 7 5 5 8 9 3 4 4 3 4 2 8 0 e 0 11 2 6 9 6 9 1 6 5 3 9 6 2 0 5 2 0 0 e 0 l2 2 6 5 8 4 2 6 5 1 9 7 0 6 8 5 6 0 e 0 13 8 5 8 0 7 7 7 7 4 7 8 8 6 7 4 9 0 e 0 21 0 样条小波记s “( 2 7 ) 为样条空间， 虬o 一川) ) 为r ( 尺) 的r i e s z 基。妒 ) = ( l 机( c o 一2 z ) 1 2 ) 。1 ”疵 ) ( 2 - 4 9 )l e z记g ) = l 疵( c o - 2 u t ) 2 ，则可得妒( r ) = 吼m ( ，一x ) ，其中 zk e z吼= g “2 弦“咖r 2 - 5 0 )1 1 单边指数小波y ( ，) = e x p ( - ；t t ) s i n ( f l o t + o o ) ，这里吼= - a r c t g ( f 2 0 a )( 2 - 5 1 )它具有性质：第二章小波分析的基本理论2 1y 。是非对称的衰减函数，当信噪比s n r 较小时，可检测和定位瞬时信号。通过选择棚q ，l 】f ，g 可引进如下双边指数小波i ；f ，和双边复数小波l f ，d c ：1 ；f ，( ，) = e x p ( 一ari ) s i n ( q o f )( 2 5 2 )y d c o ) = e x p ( 一a i f i + 皿o t )( 2 - 5 3 )1 2 l i t t l e w o o d p a l e y 小波( 等价于s i n c 小波)在频率域上表示为：炯，= “2 一裴幼在时间域上表示为：l 矿( 工) = c o s r c c _ - s i n 2 n 一：r ，妒( x ) = $ m 7 ) 2 ( 2 5 5 )，r 仁- x )瓜它具有如下性质：没有消失矩，但它是任意连续的，且具有任意阶导数。不紧支，正交，分辨率差，但在频域中是紧支的，有较好的局部化特性。2 5 小结小波分析虽然是一门新兴学科，但它的发展十分迅速，其数学理论已经基本成熟，并且在许多领域得到了广泛的应用。本章详细论述了小波分析的基本理论，首先讨论了多分辨分析的一般框架，它是构造正交小波基的基本方法，接着对小波变换进行了描述，尤其是有着广泛应用的二进小波变换，并给出了它的快速算法，然后讨论了常用的小波函数，并对它们各自的性质做了总结。第三章图像插值算法和分形放大的基本概论和方法第三章图像插值算法和分形放大的基本概论和方法本文为了方便，所用的插值方法都是基于场景的插值方法，直接利用插值点某指定邻域内的邻近点的像素值来计算插值点的像素值。3 1 插值的基本定义插值是确定某个函数在两个采样值之间的数值时采用的运算过程。插值通常是利用曲线拟合的方法，通过离散的输入采样点建立一个连续函数，用这个重建的函数便可以求出任意位置处的函数值。这样便可以不受仅在采样点处抽取输入信号值的限制。我们知道，对有限带宽的信号采样会产生无限带宽信号，插值过程正好相反，它通过对离散信号作低通滤波处理，减少了信号的带宽【3 ”。插值函数对采样数值的平滑作用，恢复了在采样过程中丢失的信息。因而插值可以看作是采样的逆过程对于等间隔采样数据，插值可以表示为：x - _ j厂( 墨y ) = 2 ：g h ( x 一以)其中h 为插值核，g 为权系数，用卷积操作来表示，在实际应用中，样值。卷积对量个数据作处理。上面的方程将插值h 总是对称的，s o 有h ( x ) = ( 一x ) ，g 即为采插值核的性质可以通过其在频率域的特性来评估。理想的插值核在带通区具有单位增益，在带阻区具有0 增益。因而可以有效地通过和抑制不同频率的信号成分 3 3 - 3 5 】。理想滤波器在空间域中都具有很宽的拓区，故称为无限脉冲响应滤波器( i i r ) ，但这种滤波器在实际中是无法实现的。仅能在一定程度上近似实现这类滤波器。另一类可实现的滤波器常称为有限脉冲响应滤波器( f i r ) ，f i r 滤波器的每一个输出值都是其邻域有限输入