（计算数学专业论文）基于格子boltzmann方法数值模拟运动界面问题.pdf

摘要 自由界面流动问题可以看作是互不掺混的两相流问题，特别是在高密度比下的自由面两 相流问题在自然界和工程领域中广泛存在。运动界面问题的难点在于求解流动问题时界面是 朱知的，流动过程中界面演化较复杂，数值模拟时需要追踪界面，而自由面追踪的数值模拟 一直是计算流体力学的难点。 然而，近年来发展的处于介观( 介于宏观和微观之间) 层面上的格子b o l t z m a n n 方法， 它既保留了微观层面的物理概念，又可比较方便地应用于实际流动问题的研究中，在解决涉 及到分子层次相互作用的物理现象时，如多相流，微尺度流动等问题，与传统的计算流体力 学方法相比具有一定的优势。 本文详尽地阐述了k s r n e r 提出的单相自由面格子1 3 0 l t z m a n n 模型，提供了完整的算 法，从微观层面上对表面张力的算法做了进一步的改进并通过液滴自由演化过程验证了表面 张力的算法是合理的。在上述格子b o l t z m a n n 模型研究的基础上，对液滴垂直下落动运动 现象和二维溃坝问题进行数值模拟，对不同时刻、不同粘性下液面的变化进行了定性和定量 分析，结果表明数值模拟结果与理论较符合。 关键字：格子b o l t z m a n n 方法，自由界面，表面张力，数值模拟 a b s t r a c t f r e es u r f a c ef l o wc a nb ec o n s i d e r e da st h ei m m i s c i b l et w o - p h a s ef l o w e s p e c i a l l y , f r e es u r f a c e f l o ww i t hh i g l ld e n s i t yr a t i ow i d e l ye x i s t si nb o t ht h en a t u r ea n di n d u s t r y i t sd i f f i c u l tt os o l v e m o v i n gi n t e r f a c ep r o b l e md u e t ou n k n o w ni n t e r f a c e ，t h ee v o l u t i o no fi n t e r f a c ei sm o r e c o m p l i c a t e d p e o p l en e e dt ot r a c kt h ei n t e r f a c ei no r d e rt os i m u l a t ei tn u m e r i c a l l y , i t ss t i l lah a r d s u b j e c ti nc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c sh o wt os i m u l a t ef r e es u r f a c ep r o b l e m h o w e v e r , t h el a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o dd e v e l o p e di nr e c e n ty e a r sf r o mm a c r o s c o p i cc a n m a i n t a i nt h ep h y s i c a lc o n c e p ta n db ea p p l i e dt os t u d yo nf l u i dp r o b l e m s i th a ss o m ea d v a n t a g e s c o m p a r e dw i mt r a d i t i o n a lm e t h o do f c f do nm u l t i p h a s e m a c r om o b i l i t yp r o b l e me t c w ed e s c r i b et h es i n g l ep h a s el a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o dp r o p o s e db yk s r n e rf o rf r e es u r f a c e p r o b l e m s ，p r o v i d eac o m p l e t ea l g o r i t h m t h ea l g o r i t h mf o rs u r f a c et e n s i o ni si m p r o v e df i o m m i c r oa n dc o n f i r m e db yt h en u m e r i c a le x p e r i m e n to nt h ef r e ee v o l u t i o no fl i q u i dd r o p l e t w e s i m u l a t en u m e r i c a l l yt h ev e r t i c a lm o v e m e n to fl i q u i dd r o p l e ta n dt w od i m e n s i o n a ld a m b r e a k p r o b l e mb a s e do nt h er e s e a r c ho fl b m ，a n a l y s i n gt h ec h a n g eo fs u r f a c ew i t hd i f f e r e n tm o v e m e n t a n dv i s c o s i t y t h er e s u l t ss h o wt h a tn u m e l i c a ls i m u l a t i o n sa r em o r ec o n s i s t e n tw i t ht h et h e o r y k e yw o r d s ：l a t t i c eb o l t z m a n n ，f r e es u r f a c e ，s u r f a c et e n s i o n ，n u m e r i c a l i i 独创性l 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：胡抱 时间： 印肜年多月午日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发 表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：胡拖 时间： - z o o 年石月午日 导师签名： 以毒考 时间：沙垆6 月幺日 宁夏人学硕f 学位论文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 运动界面问题是近年来计算流体力学( c f d ) 领域研究的热点和前沿，现有不少研究成果 不仅成功地应用于工程实际问题中，也广泛存在于人类生产生活中。这一问题的关键是自由 界面的处理技术，即使一个微小的改进都可能会产生巨大的经济效益。因此探索自由面流动 的基本规律，可以更好的改善设备装置，提高利用率，降低生产成本和开发新的技术。 但是由于自由表面流动过程中存在运动边界，而边界位置只在初始时刻确定，此后边界 位置需作为计算结果的一部分进行求解，因此自由表面流动的数值模拟一直是计算流体力学 领域的一大难题。又自由面流动就是不同物质相之间流动的相互耦合问题，也就是两相流动 问题。 两相流动比单相湍流具有更高的随机性，而相间交界面的相互作用是两相流动的一个重 要特点。界面现象是指一切与相界面处的动量，质鼙和能量交换有关的效应。在多相系统中， 相界面是一个具有三元特性，厚度约为几个分子直径( 或更厚一些) 量级的薄层。这个薄层上 组分浓度和密度与其两边介质的值有明显区别，如果不加处理而在整个计算流场采用统一的 计算格式，常常会引起界面附近速度、压强等物理量的伪振荡，给数值计算带来较大的误差 甚至使计算无法继续进行下去幢。此外，在数值计算过程中，界面处的数值耗散效应，即粘 性效应会在较短的时间步k 内使界面跨越儿个网格，导致数值计算中的“抹平”现象。同时， 数值色散效应则会给数值计算带来不稳定，在界面附近出现伪振荡婚1 ，对于其数值计算有很 大的困难，而气一液两相流动是两相流动中最复杂的流动。 因为它与可变形的界面以及气相具有的可压缩性相关，而大多数自由面流动就是这种气 一液两相流动。自由面流动在工程和自然界中广泛可见，如冰融化、水结冰的活动边界 ( m o v i n gb o u n d a r y ) 问题；石油开采中的地下油水两相流界面( i n t v r f a c e s ) 问题，化学和生 物工程的晶体生长界面，以及材料加工工业中的浇注成型中的同化界面等，所以，运动界面 问题的研究，不管是对于学术还是：【程应用都是有着广泛而深远的意义。 1 2 模拟界面运动的数值方法 近几十年来，随着计算流体力学的发展，出现了多种用于模拟两相界面运动的数值方法。 根据描述流体运动的不同观点，可以将数值模拟方法归为两大类，即拉格朗日型和欧拉型。 拉格朗日型方法是将网格建立在移动的运动界面上，当运动界面变化时，网格需要重新划分 以使运动界面正好处于网格的边界上。欧拉型方法则采用【司定不变的网格，运动界面处丁网 格的边界或者内部。 在两相流的运动过程中，界面的拓扑结构常经历人的变化，如：黏合( m e r g i n g ) ，断裂 ( t e a r i n g ) ，成丝( f i l a m e n t ) h 。要正确模拟拓扑结构的变化，采用拉格朗日方法不可避免 要进行网格重分。上世纪兴起的e u l e r 方法经过不断发展取得了很多成功的经验，也发展出 宁夏人学硕l ：学f ? i 论交 第一帝绪论 了许多优秀的界面跟踪数值算法，比如移动网格法( m o v i n g - m e s hm e t h o d ) ，波前跟踪法 ( f r o n tt r a c k i n gm e t h o d ) ，边界积分法( b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d ) ，连续对流法( c o n t i n u u m a d v e c t i o nm e t h o d ) ，体积跟踪法( v o l u m et r a c k i n gm e t h o d ) ，水平集方法( 1 e v e ls e t sm e t h o d ) 等等。总的来说，界面变化不大时，拉格朗日方法是可取的，但是当界面拓扑变化剧烈时用 欧拉法是可取的。欧拉法中又以体积跟踪法和水平集法应用最为广泛。以下对模拟界面运动 的主要数值方法作简单的回顾。 1 m a c ( m a r k e ra n de e l l ) 方法 m a c 方法是由h a r l o w 和w e l c h 等人在1 9 6 5 年发展起来的一种计算界面运动的方法饽1 。 该方法在流场中引入离散的、无质量的标记粒子 ( m a r k e rp a r t i c l e s ) ，并使这些粒子在瞬 时速度场的作用下随流体一起运动，通过一定的计算格式给出粒子的运动轨迹，即可描绘出 运动界面的变化情况。 自从在美国的l o sa l a m o s 实验室问世以来，m a c 方法在流体力学计算问题中得剑了广 泛的应用m 。此方法实际上是一种欧拉一拉格朗日混合方法：一方面，它采用【i i i i 定的欧拉网 格：另一方面，对于格子内分布的标记粒子的运动，采用的是拉格朗日型计算方法。这种方 法的优点是：可以随时跟踪运动界面的位置，能够精确描述界面变化过程，还可以很好地模 拟运动界面的变形、破碎等现象。但是，该方法需要人量的标记粒子，冈此对计算机内存的 要求比较高。而且，当运动界面合并或者剧烈延展的时候，需要减少或者增加标记点，加大 算法的难度。 2 v o f ( v o l u m eo ff l u i d ) 方法 为了对m a c 方法进行改进，1 9 8 1 年h i r t 和n i c h o l s 提出了一种新的描述运动界面的方 法，即流体体积法( v o f 法) 哺1 。基本思想是，在整个计算区域上定义一个函数f 以表示各网 格单元中流体所占份额( 含有运动界面的网格满足o o 。对应这种边界条件 o n 的定解问题称为混合问题或r o b i n 问题。在数学上这是更为普遍的边界条件。 对于第一类边界条件，我们可以使用反弹格式、改进的反弹格式、h a l f - - w a y 反弹格式 、外推格式删、非平衡态外推格式1 和无滑移格式，而对第二类边界条件，我们可以 选用外推格式、非平衡态外推格式啪1 。对第三类边界条件的研究，目前在格子方法领域 才刚刚开始。 2 3 2 格子b 0 1 t z m a n n 方法计算步骤 格子b o l t z m a n n 方法是全离散的局部动力学模型，不需建立和求解复杂的偏微分方程。 格子b o l t z m a n n 方法的计算过程可看作为一个循环演化的过程，每个演化过程包括碰撞和 迁移两部分，整个过程如下所示： 1 初始化计算参数，包括确定流动参数、划分网格、确定边界及相应的边界条件等， 并初始化流场，给定初始密度速度等宏观参数； 2 初始化每个网格节点处的密度分布函数及相应的平衡态分布函数； 3 进行碰撞( 松弛) 演化计算； 4 进行流动步演化运算； 5 根据具体的边界条件，采用适当的方法更新边界处节点的分布函数； 6 利j j 流动后的分布函数值重新计算流场的宏观量和平衡态分布函数； 7 重复过程3 6 直到满足迭代要求。 2 4 格子b o i t z m a n n 多相流模型 在介观层次上，对气一固或液一同问题中固体颗粒采h j 的处理方法是对每一个吲体颗 粒做出其力学行为的描述与计算，严格意义上来说气一固或液一同问题不再视作是多相流， 因此介观层次所关注的两相流问题主要是气一液或液一液问题，通常也被称为多组分流 ( m u l t i c o m p o n e n tf l u i d ) 。目前，人们已经发展了多种l b e 模型。从流体构成和相态的 角度看，现有的模型可以分为单组份多项模型、多组分单相模型和多组分多相模型；从描 述相互作用方式的角度看，可以分为颜色模型、伪势模型、自由能模型、动理学模型，而 描述包含固体颗粒的流同体系的模型可以分为有限体积颗粒方法和点源颗粒方法。下面就 1 3 宁夏人学硕 学仃论艾第一：幸格了b o l t z m a n n 方法幕础 第二种分类方法对这些模型逐一进行介绍。 1 颜色模型 该模型是g u n s t e n s e n 等人在1 9 9 1 年提出的，g r u n a u 等将此模型推广到密度和粘性变 化的多相流系统中瞄。在着色模型中，用不同颜色的粒子或分布函数表示不同的相。不同 流体之间的相互作用通过引入颜色梯度来实现的，并根据它来调整流体粒子的运动趋势， 实现流体的分离。碰撞则分为两个部分，一部分为通常的b g k 算子，与流体的粘性相关； 另一部分贝0 反映界面动力学的影响，与表面张力有关。其演化方程为： z ( 工+ e i a t ，t - i - a t ) - f , ( x ，t ) = q ；+ q ? 其中流体的分布函数z = 厶+ l i ，厶和厶分别表示红色相和监色相的分布函数q ；表 示由流体粒子之间的碰撞引起的变化，此项使用b g k 模拟来近视，而q ? 表示界面张力引 起的扰动。为了确定扰动量q ? ，引入描述两相差别的局部序参数 y ( x ，f ) = p a x ，f ) 一岛( 工，f ) 并定义局部的颜色梯度g ( x ，f ) = q 沙( x ，f ) ，于是q ? 定义为q ? = a l g l e o s ( 2 毋) 其中毋是岛与g 之间的夹角，a 键控制表面张力的一个模型参数。显然在单相区颜色梯 度为0 ，因此q f = 0 。也就是说，表明张力引起的分布函数变化只在表面处起作用，这是符 合物理事实的。为了保持相间的界面或促使相的分离，需要迫使颜色通量h = b 咋一见 和颜色梯度g 的方向一致，并保证每个格点处各相质量及每一个方向的质量守恒。颜色模 型是早期的多相流模型，与l a p l a c e 定律相符，并且被用于研究s p i n o d a l 相分离、多孔介 质内的多相流动等复杂问题。但这类模型有一些缺陷，如表面张力与界面的走向相关，在 界面有非物理的虚假流动发生，不容易考虑热动力学的影响，并且从新标色过程也需要较 多的计算成本，这些因素对其应用产生了较人的限制。d o r t o n a 等阳副对这类模型进行了改 进，使计算效率得以提高。 2 伪势模型 另外一种处理相间相互作用的方法是基于均场理论的伪势方法，即通过一个伪势函数反 映不同相间的斥力或引力，从而导出非理想状态方程。在此类方法中，每一相仍用不同的 分布函数表示，分布函数的演化方程为 1 厶( x + e f a t ，t + 出) 一厶( x ，f ) = 一二【厶( x ，f ) 一以e q ) ( 工，f ) 】+ 圪 但相间的相互作用力为：瓦= e t e ，其中e 源丁某个相互作 j 的伪势函数v ： c = 一( ) q k i 相应的伪势函数，( 工，石) = 吒，( j x - x j ) 织( 工) 唤，( j ) 其中g 从称为格林函数，决定了组分 k 和k 之间相互作川的强度；纸与组分的密度有关，表示组分尼的有效密度。一般地，函 数g 船只考虑邻近格点的影响，可以简化为 1 4 宁夏人学硕l 学位论文第二：章格了b o l t z m a n n 方法雀础 吒( x - - x | ) = i 针0 , x - x 斗 a x 缸 伪势的优点是可以自动的追踪相界面的运动，相的分离是自动实现的，计算效率大大提高， 可以用于复杂的多相流系统。但是这类模型也有一个不足，即虽然整个系统的动量守恒， 但不满足局部动量守恒。这在物理上是不成立的。这可能是造成界面附近产生非物理现象 的一种原因。 3 自由能模犁 以上两种模型都是基于界面动力学的唯象模型，并且只能用于等温系统。1 9 9 5 年， s w i f t 等人协3 1 通过修改平衡态分布函数，提出基于自由能函数的格子 b o l t z m a n n 模型。该模型与热力学理论一致，且满足局部动量守恒。s w i f t 等人的模型以如 下的自由能泛函为出发点： y ( p ) = i p ( p ( x ) ，丁( x ) ) + w ( v p ( x ) ) l d x 其中妒( p ) 是自由能密度函数，w ( v p ) 与表面张力相关的由密度梯度诱导的自由能。一个 常刖的密度梯度自由能形式是形= 要l v p l 2 其中r 是一个与表面张力有关的参数。根据白由 能泛函可以定义一个非局部压力 p ( x ) = p 等一y = p o 一妒2 p 一等l v t 2 6 02 其中风= p 伊( p ) 一e ( p ) 是状态方程，万表示变分运算。给定自由能密度函数伊( p ) ，就 可以确定出状态方程和完全压力张量p 。为了得到能够反映自由能的格子b o l t z m a n n 模型 需要构造合适的平衡态分布函数，使之在满足质量、动量守恒的同时，满足如下条件： e i i b 式吲= p 邸+ 叫b f 虽然自由能模型考虑了热力学效应，但不满足伽利略不变性。最近，i n a m u r o 等人对此 模型作了改进，使伽利略不变性得到满足1 。上述模型中，温度只是一个不变参数，并且 或多或少的与热力学理论相矛盾m 。冈此，l u o 等人直接从稠密气体的e n s k o g 方程出发， 导出了一个与热力学模型相容的模型1 3 6 ，而h e 等人基丁动理学方程提出了一种模拟1 f 理想 气体的模型陋引。从连续b o l t z m a n n 方程出发，h e 等人还设计了一类基于指标函数的不可压 多相流模型m 1 ，并模拟了二二维和三维r a y l e i h t a y l o r 不稳定现象m 。最近g u o 等人由稠密 流体的动理学方程义构造了一个新的多相流格子b o l t z m a n n 模型 4 h e 模型 h e 等人叫提出了一种在近似不可压条件下的格子b o l t z m a n n 模氆h j 米模拟多相流动。 在他们的方法中，相分离以及表面张力等界面动力特性由合并的分子交互作用米表现。引 入了一个主函数来追踪不同相之间的界面。这种模型被成功运用丁i 模拟r a y l e i g h - - t a y l o r 不稳定性并且没有引入任何重构的步骤。t a e h u nl e e1 4 基丁该模型进行了修改，使其成功 1 5 宁夏大学硕f 学位论文第二章格了b o l t z m a n n 方法旌础 运用于大密度比的情况。t a e h u nl e e 和p a u lf f i c h e rm 1 进一步对计算格式进行修改成功 消除了p a r a s i t i cc u r r e n t s 现象。 5 两流体模型( t w o - - f l u i d sm o d e l ) l i s h il u o 和s h a r a t hs g i r i m a j i 旧“圳在离散两流体b 0 1 t z m a n n 方程( d i s c r e t i z i n g t w o - f l u i db o l t z m a n ne q u a t i o n s ) 上发展的一种动理论模型。在该模型中设有可凋节的粘 性和扩散系数( 通过两相的相互和自身的碰撞弛豫时间) ，通过调节这些系数可以得到相 互掺混的希i 不掺混的两流体l b 方程。这种方法的缺点是其算法的收敛性不是很好，特别是 模拟互不掺混的两种流体时的收敛性很难保证。 上述基于扩散界面的l a t t i c e1 3 0 l t z m a n n 方法的界面可以直接由流场中的密度分布差 异而重构出来，但是对于像水与空气这类密度比在1 0 0 0 ：l 的大密度比状态下的两相流动， 由于界面处存在极大的状态变化，而水和空气又是两种不同组分的物质，上述l b m 两相流 模型均已失效。g i n z b u r g 等人h 3 1 认为，在一定条件下气相对液相的作用可以忽略，并据此 创立了所谓的“单相”( s i n g l e - p h a s e ) 的l 蹦两相流模型。k s r n e r 等人h 引在此基础上义 引入了v o f 的概念，简化了计算过程。x i n g 等人h 引通过引入处理表面张力的模型，进一步 修正了k s r n e r 的算法。本文研究的这种单流体模型( s i n g a l - - p h a s em o d e l s ) 属于锋面模 型，该方法是一种考虑不互渗透的气一液界面的自由面方法h 6 1 。在该模型中，由于空气的 密度与水或者熔融态金属的密度相比非常小，认为空气对水或液态金属的作用近乎可以忽 略，冈此流动和碰撞过程仅仅被施加下液体和一层特殊的界面层上，空气对液体的作用仅 体现在对界面层的作用上。如果只关心人密度流体的流动，那么单流体模型是很好的选择， 如果两种流体分布拓扑不是太复杂，其计算量非常小。当然这种模型也有其不足，或者有 些问题需要进一步研究，比如表面张力的量级。下一章将着重介绍单相自由面格子 b o l t z m a n n 方法及表面张力的处理方法。 2 5 小结 本章从元胞自动机的理论出发，系统的阐述了格子气自动机和格子b o l t z m a n n 方法。随 后，对本文所应用的d 2 q 9 以及d 3 q 1 9 模型做了介绍，并对d 2 q 9 模型的推导过程做了详 细的介绍。 1 6 l l ：鲨：二：! ! i ! 墼：型：= ：i 第三章带自由面流动的格子b o l t z m a n n 方法 3 1 单相自由面格子b o l t z m a n a 模型 单相自由面格子b 0 l t z m a n n 不同丁其他多相流模型( 在不同的相中使用不同的分布函 数) ，在此模型中，首先对流体流动作以下两个基本假设第一个假设是流场被划分为液相 区域和气相吒域，液相和气相不能直接接触，它f f j 之间被一层特殊的界面层隔开，如幽( 3 - 1 ) 所示。这一假设是合理的，从微观的角度看，界面层的分子状态是处于液相和气相之间的过 渡态其本身的物理性质与内外两相均不相同，在计算中需要额外处理。同时我们把不同类 型的流场吒域划分为不同类酗的格点如图( 32 ) 所示 幽3 l 流场区讣意圈 液相格点( f ) ：格点被液相完全充满 b o l t z m a l l i l 的演化方程。 图3 小同格子的划分 演化过程遵从第二章所描述的单相格子 界面格点( i f ) ：格点既舍液相也包含气相，需要对其演化做特殊处理， 气相格点( g ) ：格点完全被气相充满，在模型计算中将忽略。 这是我 j 所作的第一个假设，由丁气相的密度总是足够小咀至丁其对液相的动力学影响可 以忽略，它的作用仅体现在界面上，当界面变形之后气相自身也会立刻达到新的平| 衡状态。 咀上两个基本假漫在人密度比流体的流动中是合理的，如泡沫演化，模型铸遗等问题， 气相的动力学作刚可以被忽略，另外在计算过程中只针对大密度的液相，而且不同组分的粒 子使用同一网格，这样能够提高计算效率，节约存储空问。 单相自由面格子b o l t z m a n n 模型与v 0 f 方法相似，数值模拟自由面流体流动问题时， 没有l 州定的界面，田此需要追踪流体流动界面。 3 2 自由界面的追踪 在单相自由面格子b o l t m n a n n 模型中，由于气相的密度较小，在整个演化过程中忽略 不计，自由界面的追踪包括三步第一步实现界面的运动，第二步界面处的边界处理也就是 对气相格点迁移到界面格点的分布函数进行重构，第三步重新初始化格子的类型。实施的过 程如f 目( 3 - 3 ) i ：鎏：i g l ；：；l ：2 自i i 2 譬：= 垄 ；囡； ：圈 ：国： ：田：c 界面往向侧分布自数t 构 下一时问步的碰撞过程t 一时间步的动过程t 一步界面点n g 32 1 界面的运动 两个非空的格子之间通过迁移步进行质量交挽根据每个界面格点质量的变化来确定 界面是否麓生变化。为此对每一个格点都定义一个质量m 和液体比例系数s ( e = m ，口) ， 对液相格点来说由于其不可压缩性，它的质量就定义为当前的密度值：对于气相格点柬说， 由于其密度与液相密度相斧巨人，又忽略苴动力学的影响，所以质量为0 ：界面格点的质量 介于零和密度之间，对麻s 的值介于。奔】1 2 _ 间。每个界面格点的质量m ( x ) 的增量都由碰撞 后分布函数的迁移米挑定，那么在界面格点上( x ) 的相邻格点是液相格点，在粒子发生碰撞 和迁移后，格点的质量变化可表示为 m 。( ，) = ，忙4 - 印t ) 一，化f ) ( 3 - 1 ) 这几f 表示粒子离敞速度q 中i 的相反方向，因此正与l 表示相反方向的粒子分布函数t 表示在f 一时间步流 该界酝格子的分布晒数，而，表示流出该界面格子的分布函数。当 相邻格点“+ c ) 是界面格点两个相邻界面格子的质量变化应该考虑到在界面格子中流体 所占比例，界面流体的体积近似为两个流体格子的平均值，因此格子的质量变化为 嫩| | 。 氆殴麓 宁夏人学硕i 学位论艾第t 幸带 j 由面流动的恪了b o l t t m a n n 方法 a l n i ( x ，t ) = 寺( 占( x ，f ) + 占( x + q ，f ) ) ( ，( x + g ，t ) 一z ) ( 3 2 ) 二 所以在下一时间步，每个界面格点质量r e ( x ) 是各个方向上质量变化的和，即为： m ( x ，t + a t ) = m ( x ，f ) + a m 心，f ) ( 3 3 ) f 那么界面是否变化由质量与密度的关系来决定，如果一个界面格点的质量： f m ( x ，f + 1 ) ( 1 + 七) p ( x ，f + 1 ) 定义为过满点 【m ( x ，f + 1 ) 七p ( x ，h 1 ) 定义为过空点 七为一个正的小量，引入的目的是为了不让界面点在相邻的时间步内变换的过于剧烈。过满 界面点和过空界面点是不符合真实流体状态的，我们将过满的界面节点转变为液相格点，过 空界面j 仃点转变为气相格点，也就意味着界面发生变化。 3 2 2 界面处的边界条件 液体相的边界条件，因为忽略了气相的计算，所以在格子b o l t z m a n n 演化过程中，只有 来自于液相格点和界面格点的分布函数能够被正常迁移，从气相格点至界面格点的分布函数 迁移将缺失，为了使界面处分布函数保持完整，那些来自于气相格点最终应该流入界面层格 子点的分布函数就必须根据宏观边界条件米构造协引。同时为了平衡界面两端受力，使自由面 处速度更为合理，那么自由面法相一端的分布函数也要进行重构，重构的原则是液体动量的 变化气相动量的变化，从微观层面上来说，粒子在发生碰撞后，作用在界面微元么( j ) 上所 受的合力f 的冲量等于流体粒子流动的动量变化量，即表示如下： 局= 一n p a ( x ) z ( 工，f ) ( 一u a ) ( c 泸一) + z ( x ，f + 出) ( 一) ( 一) 】( 4 ) i , n c f ( oi , n q 卸 在没有表面张力的情况下，宏观边界条件即为界面处的压力边界条件。k s r n e r 和n i l s 根据 c h e n 对于曲面边界算力的方法以及根据水的界面发生了变形后，空气立刻达到新的平衡状 态这一假设得到： z ( x ，f + a t ) + z ( 工，t ) = z 叼( p g ，) + 工p 叮( p g ，口) ( 3 5 ) f 为f 的反向，速度u 根据假设应等于当地界面流体的速度，p g 为气体的压力密度。方程 ( 3 5 ) 的物理意义也非常明显，方程的左边反应了水的动量变化，右边为空气的动量变化， 从而总动量在流动过程中始终守恒。将( 3 5 ) 式代入( 3 - 4 ) 式验证假设是否正确 f e 4 ( x ) = 一以声 彳( 工，f ) ( - - u 。) ( 一) + ，( x ，t + a t ) ( c i a - - u 。) ( 一“卢) f 月c o j ，n 。o 0 = 一z ( 石，f ) ( 一) ( - u p ) - n 鼻( x ，f + & ) ( 一) ( - u p ) f ，月c j 0 k = 一q n当界面点过空且c f n 0 ( 3 - 1 5 ) lo 其他情况 法向可用中心插值得到： n = s , e ( x + q ，f ) f 其中的s 为权系数，可取为： f 0 5 驴i o 2 5 f = l 一4 f = 5 8 质量重分配完成后，界面发生的移动，可以进行重复的下一步计算了。 3 3 小结 ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) 本章对单相自由面格子b o i t z m a n n 模型算法进行了详细的阐述，并对表面张力模型进行 了深入的分析，基于伪势模型，提出了一种改进的表面张力模型，并做了详细的理论分析。 2 2 ：耋奋喾馨苫耋薹鲨蚤薹晋耋鏊薹誊罄墨茎鏊篓：錾 第四章数值模拟及其数值分析 4 1 液滴在表面张力的作用下自由演化过程 方形液滴在表面张力作用下自由演化过程，j 来验证上述单相自由面格子b o l t z m a n n 模型阻及表面张力算法的台理性。从热力学的观点来说，在没有外力作用的两相系统中，其 相互接触的表面积在表面张力的作用下会不断趋于最小，那么对于方形液滴来说它的演化过 程是一个不断趋于圆形的过程。如图( 4i ) m 4 一l 方形水请在表面张力作用下的自由演化( 0 ，5 0 0 0 ，1 5 0 0 0 ，5 0 0 0 0 时间步 在同一时问步，不同表面张力系数下液滴演化的形状如下： 田4 吨方形渣滴在同时间步小嗣表蚵推力系教t 液滴的滴化 上图是在时间l - 8 0 0 0 时，表面张力系数口分别等丁05 ，10 ，15 时，方形液滴的演化情 况，从演化结果可以看出表面张力系数越火液滴演化成圆彤的时间越短，同时也表明了表面 张力系数口与张力f 成正比。 宁夏大学硬士学位论文第四章教值模拟及其教值分析 度值的分布幽 ：耋銮茎塑圭茎堡耋耋善暨薹蝥墨誊篓墨茎耋堡耋垦 葺扩氇 立赣矽 御f 葺簿豫 土壤i 萨 。i 岵 叫卅 叶黪弩t 麓 w 髦爹 4 萄矿 。 _ 广嗜寺惜 圈44f 5 0 、1 5 0 、5 0 0 0 0 时问步水滴内部流体速度矢量分布图 以上所有目的模拟