（计算数学专业论文）关于二阶微分方程边值问题的误差估计.pdf

致谢 ps 哦2 首先，我衷心感谢我的导师程晓良教授，程老师的 辛勤指导和谆谆教诲使我顺利完成学业并在学业上不断 取得进步。 我衷心感谢江金生教授，叶兴德副教授，王兴华教 授，韩丹夫教授，吴庆标副教授和郑士明教授，他们的 悉心指导和热情帮助使我在学习上受益匪浅。 我还要感谢浙江大学西溪校区数学系的有关老师对 我的帮助。感谢我的师姐金中秋博士、薛莲博士和岑仲 迪、陈柏钦、王蕾等同学对我的关心和帮助。 最后，我要感谢我的家人和室友，谢谢他们对我的 关心。 摘要 本文的第二、= 、四章分别研究t 线性和非线性二阶微分方程，奇异的非线性 二阶微分方程及t i m o s h e n k o 横梁问题和圆拱问题的某些数值方法及它们的误差 估计，得到了下面的主要结果： 定理2 1 对问题 一是。，( z ) 塞) 训。) ，o 。 0 ，f ( x ) c o ，1 如果p ( x ) c 1 o ，1 ，则有限 差分方法的误差器为o ( ) ，如果p ( z ) c 1 , 1 o ，1 1 则误差界为o ( h 2 ) ，其中 = m n 0 前何 定理2 2 对具有光滑系数的非线性二阶微分方程 乏( p ( z ) 寨) = 一m ，( z ) ) ，z ( 0 ) 1 ) 9 ( 0 ) 2y ( 1 ) = 0 我们构造的三点差分格式可以得到o ( h a ) 的误差界即 定理3 1 假设y ( x ) 圭f ( x ，( z ) ) c 2 o ，1 ，o f o u 存在且连续，& o y 冬0 ， 那么对奇异两点边值问题 一赤( z ) ) ) f ( x ，g ) ，z ( o ，1 ) 。1 + i r a o + p ( 茁) ( z ) = 0 ，f ( 1 ) = a 其中a 是实常数，伽( z ) ，p ( 。) ，( z ) 圭，( z ，y ( z ) ) ：i = ( 0 ，1 ) - r 是l 可积的， 我们的新样条方法得到在 0 ，1 】区间上的一致收敛逼近i ( z ) ，即对充分小的h ，有 lj e l l 。c l l f ”| | 。肛( ”) 其中c = 4 h 2 + c ( 2 + 6 “肛( 7 r ) ) 定理4 1 对t i m o s h e n k o 横梁问题，打靶法的解关于参数稳定，即当e - - + o 时，l o c k i n g 现象消失 定理4 2 对圆拱问题，打靶法的解对小参数e _ 0 稳定，即l o c k i n g 现象消 失 2 a b s t r a c t w ed i s c u s st h en u m e r i c a lm e t h o d sa n dt h e i re r r o re s t i m a t e so ft h el i n e a ra n d n o n 1 i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h es i n g u l a rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d t h et i m o s h e n k ob e a ma n dt h ec i r c u l a ra r c hp r o b l e m si nc h a p t e rt w o ，c h a p t e rt h r e e a n dc h a p t e rf o u r ，r e s p e c t i v e l y ，t h e nw eg e tt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： t h e o r e m2 1f o rt h ep r o b l e m 一罴。，( z ) 寒) = ，( z ) ，o z 0 ，f ( x ) c 0 ，1 ，i f p ( x ) c 1 【o ，1 ，t h ee r r o rb o u n d o ft h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di so ( ) ，a n di fp ( z ) c 1 , 1 o ，1 ，t h ee r r o rb o u n di s o ( h 2 、w h e r eh = m a x k h 一0 t h e o r e m2 2f o rt h es e c o n do r d e rd o l l l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h s m o o t h c o e f f i c i e n t 芝( p ( z ) 纂) = 州舢( 瑚，z ( o 1 ) y ( 0 1 = y ( 1 ) = 0 t h ee r r o rb o u n do ft h et h r e e p o i n td i f f e r e n c es c h e m ei so ( h 4 ) t h e o r e m3 1 a s s u m e ( x ) = 二，( z ，( z ) ) c 2 o 1 ，o f o y e x i s t sa n di s c o n t i n u o u sa n do 0 f o rt h es i n g u l a rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 一而1 ( 州批) ) = m ，) ，z ( o ，1 ) 删l i m + p ( z ) 协) = o ，( 1 ) 2 a w h e r eai sar e a lc o n s t a n t ，( z ) ，p ( 。) ，( x ) 圭( x ，g ( z ) ) ：j = ( 0 ，1 ) _ = ti s l i n t e g r a b e l ，o u rn e ws p l i n em e t h o dp r o v i d e su n i f o r m l yc o n v e r g e n ta p p r o x i m a t i o n s ；( z ) o v e r 0 ，1 f o rt h es o l u t i o ny ( x ) o f t h es i n g u l a rt w o p o i n t 、a h l ep r o b l e m ，t h a t i s ，f o rs u f f i c i e n t l ys m a l lh ， 1 1 j l l 。v i i i ”i i 。p ( ”) w h e r ec = 4 2 + c ( 2 + 6 u 肛( 7 r ) ) t h e o r e m4 1 f o rt h et i m o s h e n k ob e a mp r o b l e m t h es o l u t i o no fs h o o t i n g m e t h o di ss t a b l ef o rt h ep a r a m e t e r t h e o r e m 4 2f o rt h ec i r c u l a ra r c hp r o b l e m t h es o l u t i o no fs h o o t i n gm e t h o d i ss t a b l ef o rt h ep a r a m e t e re 3 第一章序言 微分方程是现代数学申一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学 科就穗经成为理论研究和实践应用的一个重要领域对微分方程，我们关心的是 要做什么，如何做羽结果是 十么这些闷题说明了这个学斟要研究的三个主要方 面：理论，方法和应用 我螺黟 炎的微分方程麓题一般邦交捶一会皴分方程帮一个或多个澍热条l 争( 或 称为“边界条件”) 如果所有相关的附加条件仅涉及一个z 值，那么问题称为初值 超躯( 或一点逮篷阏题) ；如果条 孛关予涎拿不趣豹。篷，那么阉题露为嚣点边缓 问题 荧于徽分方程豹逮蕊闯遂，它静释在羧攀上酶存在性，可繇农菲常一般豹条 件下得到证明然而在微分方程的许多应用中，所要求的不仅是解在数学上的存 在佳，蕊盈麓解在鑫交蛩鹣稽定范基蠢琢篷器圣它静( 近叛 数篷 对某些实际上是重要的但却是十分特殊的微分方程类，它的解可用封闭形式 给出，帮改杨等函数诸如多项式、指数函数、对数函数以及这些函数的不定积分的 有限级合给出另一方面，许多其它的微分方程，已经证明它们的解不能以初等函 数来表示的确，虽然有籀当一类其有艇式解的微分方程f 觅k a m k ef 1 9 4 3 ) ，但可 以肯定地说，大多数微分方程不能求得其显式鼹，必须重槐的是，即使在显式解 存在的情形下，寻找它的数值解的问鼷也不定是轻而易举的丽对显式解的明 显的局限性，数学家在用孵析方法处理微分方程问题的早期，就开始使髑具有蔑 广泛邋应往的近f 班方法级数矮开方法与p i c a r d l i n d e s f 迭代法是两个具有历 史意义的例予， 在此，本文将讨论基于离散化原理的求二阶微分方程_ i 瓤值问题近似解的那魑 方法这些方法的共冠特点在于，并不试图在囊变量的整个遽续区阕上去遥近糖确 解( 茹) ，只怒在离散点x o ，z 1 ，z 2 的一个集台上来考虑近似值，通常点z 。不 定郡楚等距的，如果它嬲是等距妁，我们就挺它写或o 。= 球+ n , h ，n = 0 ，1 ，2 ，+ 量h 髓为步长大小一般求说，求解微分方程的离散变量法蹙由一个算法组成的， 整个算法使每个网姆点。对应一个数弧，丽被认为是在点精确鼹( z 。的 近似值我们将考虑的主要问题是使称为离散误差= f 。一y ( x 。) 的这个量的大 小，特剐是它可作为步长h 的一拿丞数 与早期提到的一些方法相反，离散变量方法具有几乎是普遍可用的优点对 大多数离散变量方法懿可薅性懿难一要求是筑计算爨一个好懿近骰簌为了强持 离散误差充分小，可能需要进行多次的计算，这一魔曾限制了离散变量方法的应 蔻，镦在今天，大瑟懿数魏诗葵，特裂鹭 卡葵瑟寿多次重复l 耋凑露，可以在叁交数 字计算机上有效并可靠地得到完成 4 令一o 。 a 兰o o ，我们用【，b 】表示满足a x b 的所有实数的集合令 p 是一个整数且p 1 又令a b 且f ( x ，y o ，y l ，蜘) 是定义在x a ，b 和 ( y o ，y 1 ，y p ) d 中的实函数，其中d 是实( p + 1 ) - 维e u c l i d 空间的一个区域， 方程 f ( x ，y ，y ) = 0( 1 1 ) 称为p 阶微分方程若函数v ( x ) 有定义且在 a ，纠的一个子区间上p 次可微， 当x i 时，点( y ( z ) ， ，( z ) ，( 脚( 。) ) 在d 中，并使得 f ( x ，( z ) ，y l ( z ) ，y ( p ( z ) ) = 0 ，x ，( 1 2 ) 成立，则称y ( x ) 为微分方程的一个解从简单的例子便可知道，一个给定的微分 方程，可以有许多解例如，若p = 1 ，而且f ( z ，y o ，y 1 ) = y o y l ，则每一个函数 y ( x ) = c e 。= 常数) 为一个解为了确定给定的微分方程的一个解，通常需要 说明它的某些附加性质，例如在指定的点上给定函数值或它的导数值结果是：一 个p 阶方程一般恰好需要p 个定解条件一个重要的特殊情况是p = 2 ，且有条件 y ( a ) = a ，y ( b ) = b( 1 3 ) 其中a ，b 为已知常数这个问题就是本文所要研究的二阶微分方程的边值问题 为了避免较烦的讨论，我们将总假定函数f ( x ，y ) 是对z 【a ，明以及对所有有限 的y 都有定义 本文的第二章讨论的是线性和非线性二阶微分方程的数值方法及其误差估计， 主要结果如下： 定理2 1 对问题 一d ( p ( z ) 黑) = m ) ，0 z 0 ，j ( x ) c o ，1 】如果p ( x ) c 1 o ，1 ，则有限 差分方法的误差界为d ( h ) ，如果p ( x ) c 1 , 1 【o ，1 ，则误差界为o ( h 2 ) ，其中h = m a x j l k _ 0 定理2 2 设引理2 4 的条件满足，则v h ( 0 ，h o ) ，若k = 1 ，则有o ( h 3 ) 的误 差界；若= 2 ，则有o ( h 4 ) 的误差界 本文的第三章讨论的是奇异的非线性二阶微分方程的样条解及其误差估计， 主要结果如下： 定理3 1 假设f ( x ) 圭y ( x ，( z ) ) c 2 【o ，1 ，& o y 存在且连续，o f o y 0 ， 那么对奇异两点边值问题 一赤( p ( z ) 9 弘) ) 7 = m ，9 ) ，。( o ，1 ) 5 2 骧p ( 咖) = 0 ，( 1 ) = a 其中a 是实常数，叫( 。) ，p ( z ) ，f ( x ) 圭f ( x ，( z ) ) ：i = ( 0 ，1 ) - a r 是三可积的， 我们的新样条方法得到在【0 ，1 区间上的一致收敛逼近i ( z ) ，即对充分小的 ，有 i i i l i 。墨e l l ”i i 。p ( 7 r ) 其中c = 4 h 2 + c ( 2 + 6 u “( 7 r ) ) 本文的第四章讨论用打靶法求解t i m o s h e n k o 横梁问题和圆拱问题，主要结 果如下： 定理4 1 对t i m o s h e n k o 横梁问题，打靶法的解关于参数e 稳定，即当e _ 0 时，l o c k i n g 现象消失 定理4 2 对圆拱问题，打靶法的解对小参数e - - 4 - 0 稳定，即l o c k i n g 现象消 失 6 第二章线性、非线性二阶微分方程 2 1 线性微分方程 我们考虑简单的两点边值问题 一盖) 塞) 训咄0 x 0 ，f ( x ) c o ，1 网格划分为 o = 跏 z - z 。 0 与此相应的非齐次微分方程为 l u = 一妒( z ) 8 胆胆 土m 土 州嚣讲 胆门 巫h i p p 。宁腻 一胆 一肛 玉m 上m 州脚州心 如果妒( z ) 戆z 的一个迄续或分段连续函数，则函数 r 髓( 茹) = f ( ；( z ，) 妒( f ) 菇 2 7 ) j z 0 满是微分方程 l “ = 一妒( 。) ( 2 8 ) 及这器条释。反遮来，如果函数牡江) 满足徽分方程( 2 8 ) 及边界条件，那它藏可 表为( 2 7 ) 的形式，其中c ( x ，) 为在给定的齐次边界条件下微分式l u 】的格林函 数 弓l 理2 3 如果0 0 ，( x ，y ) c o ，l 】，p ( # ) c 1 o ，1 l ， | f ( x ，y 1 ) 一f ( x ，y 2 ) ls l l y l 轮l ，魄【0 ，1 我们首先构造了问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) 准确解的一个三点差分形式的表达式，由此可 戳袁瓣强静每一令结熹上分爨搦造灌镶释y 秘遥弦瓣y 懿三点蓑努强式，然嚣秘 用上一节所介绍的非奇界三对角矩阵的反演公式，得到我们所需的误差估计， 1 0 2 2 1 三点差分格式 为了简单，限于均匀网格u h = 托= i h ，i = 1 ，2 ，n 一1 ， = 1 ) 由 3 9 知道问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) 存在唯一解( z ) ，下面我们就构造问题的准确解的表达式 引理2 4 设问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) 有唯一解，参数九。这样选取，使得m h c l o , l h o ( 3 + 等) ) = 1 ，则v ( 。，h 。) ，问题存在精确的三点差分形式的表达式 ( a y 。) 。= 一t 。( _ ，( f ，( ) ) ) ，z l u h ，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 0 ( 2 1 6 ) n ( ) = 睦w ( 训一l “( 。( ) ) ： h 嵋( 甄) 】_ 1fxtw ( ) 叫( ) 武+ 【 w ( 甄) 1 一阱11 j ( ) w ( ) d “( w ( ) ) = h 嵋( 甄) 】_ 1w ( ) 叫( ) 武+ 【 w ( 甄) 1 。 1 j ( ) w ( ) d ，“1 1 p r ： = ，丽d t ，= ，丽d t ( z 7 ) ( 。如竺：生型；燮型 证明：在( 2 1 4 ) 式两边作用算子t “，则有 t 叫夏d ( 艇) 掣) 一t 弋胀洲引) ( 2 1 8 ) 由( 2 1 7 ) ，知道 p 和) 警) _ m k ) _ f f f c i ，脒) 丢眯) 訾心 + 嘲( 圳叫r 脒i ，歪d ( 砥) 警溅( 2 1 9 ) 接下去我们首先估计上式右端第一项，因为 仁。咪，蘸d 似) 警旌= ，x “i - ，眯) d ( 嗽) 警) = 忡批；) 宅譬一啪) 炽- ) 乞导 一伫，娥，警志 = 州喇瑚掣刊刊训 所以 m 矿1 咪i ，瑟d ( p ( ) 警) 蟛 = ；p ( z t ) d y 。( 。x 。i ) 元而1 ( ( 。) 一f ( g ；。) ) 同理，我们可以得到( 2 1 9 ) 式右端第二项的估计 嗍) _ 1 ，咪，瑟d ( p ( 。掣赋 = 一；p ( z 。) d y 。z ( x 。i ) 。+ 而1 ( ”( z ；+ 。) 一g ( z 。) ) 那么由f 2 1 9 ) ，( 2 2 0 1 和f 2 2 1 转们得璃i f 2 2 0 1 ( 2 2 1 ) t 叫釉。警) _ 而南叭m ，h 卜丽南叭蚴砒- i ) 】 2 高【( 。t + ) 一( 。t ) 一而1 f ( 茁。) 一( z 。一，) ( 2 2 2 ) 令n ( 观) = 【；w ( ) _ 1 ，则由上式得到 t 叫扣。掣) 叫蚴熊掣 h ( 2 2 3 ) 所以由( 2 1 8 ) 和( 2 2 3 ) ，我们有 ( a y e ) 。= 一t 。( ，( ，y ( ) ) ) 注2 2 问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) 的解存在唯一的条件是 3 9 l c , 1 2 2 2 误差估计 由引理2 4 ，我们很容易得到下面的表达式 嘉 一n ( 砧) 挑一，+ ( 。( 盈) + n ( 。抖，) ) y i - - a ( 观+ 。) 玑+ 。】 = 陋w ( 如) 一1 上“i - ，w ( z ) ，( z ，) 出+ 陋w ( 甄) r 1e w ( 。) ，( 。，) d z ( 2 2 4 ) 1 掣 虹 k = = 其中y i = y ( 跳) 为问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) 的精确解又令m 为问题的近似解，则有 嘉 。( 粕) k 一。+ ( 。( z i ) + a ( $ 件。) ) k n ( 。件。) 】；制】 = 降略( 戤) r l e i - 。w ( z ) ，( 篁，乳y ) 出+ 磊碴) j 一1 e ”1 叼( z ) ，( 茹，孤】) 如 ( 2 ，2 5 ) 其中弧y 为y 的k 次拉格朗日撬值当= l 时，农每个k 吨魏 ( 或【x i ，2 7 i + 1 ) 上插值，而当= 2 时，在区间c 2 9 i 吨x i + 】上进行插德我们定义 郡么由( 2 , 2 4 ) 一f 2 e s ) ，得 去【一8 ( 瓤) s t t + 国( 翰) + a ( 篁计。) ) 既一s ( 。件，) 岛+ ，l 刮毳蹬她矿1 。瑶( g ) ( ，毛# ) 一歹魂玢) 妇 + 弘w ( 札) 】一1 踞( z ) ( ，( 2 ，坊一，( 茁，瓤y ) ) 如 ( 2 2 6 ) 下嚣我们糖圭上一节分缨的非毒异三对爱筑痒妁发演公式，褥裂关于自翡表 达式，从而得到误蔑估计式 宠壤2 2 浚弓| 瓒2 4 懿条俘瀵跫，赠窜是( 0 ，h o ) ，若k 一1 ，剜蠢o ( h 3 秘误 差界；若k = 2 ，则有o ( h 4 ) 的误夔界 涯强：营先我 j 证骥女= 1 酶情形。当= 1 懿， 【盎瑶( 髫；) 3 一，。疆( 嚣) ，鬈，彰) 一，茹，耳；y ) ) d x 【矗昭。i ) 】一t ，“碹( 。) f | ，( ，蓼) 一f ( x , z l y ) l + i f ( x ， z l y ) f ( x ，7 r l 】驯 如 陋w ( 茁t ) r 1 w ( z ) l l y 一丌t f l + l l ，q y 一硼y n 如( 2 2 7 ) 豳为y 一孤嚣= o ( h 2 ) ，且 ”t 蓼一啦y i = l y i ；三亍兰+ 骆耋三豢珏一，；三i 兰一妖差三芝兰 = 等托竿l2 峙，j + 8 t f i 百x - - x i i + 与等z 2 5 i - 1 ，x i ) 1 3 所以，利用积分交换，我们有 嗍训。!x“i-w)illy-”,y1dz=嗍训一1。(t。而11 jj 妙o ( 恤 j t z 一l 0j = ( 嘲计1 詹序z ) 赤班 m ( 梆眦捌。1 。高出 = l o ( h 2 )( 2 2 8 ) 陋w ( 就) 】一8v ? ( x ) l i t c 。一丌。r 1 d x = 工陋w ( 鼢) 】一，“w ( z ) 三竿k 一。i j 靠一1j z t 一1 一， + 与竽i 毛i d x = 川蝴训_ 1 伫。( 厂等b 一出) 高出 + x i 。( 厂竿川z 丽1 d t ) 川蚓训_ l 舡t j 。嘉出 + ：l l。丽1ci 啪+ 百ll 二不出， ：一。1 + 铀 ( 2 驯 那么由( 2 2 7 ) ，( 22 8 ) 和( 2 2 9 ) ，得 r z l w ( z i ) 一1 w ( 。) ，( z ，y ) 一，( z ，7 ( 1 y ) d x j z t 一1 曼l o ( h z ) + 軎i 岛一l l + 百l i i ( 2 3 0 ) 同理 危曙( 孔) 】一1 1 瞪( z ) ) 一他，丌t l ，) 陋 s l - o ( h 2 ) + i l l 矗i + 考i 岛+ - i ( 2 3 1 ) 因此由( 2 2 6 ) ，( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) ，我们有 n ( 。4 ) i 一1 + ( o ( z t ) + a ( x i + 1 ) ) e i q ( z 件1 ) e i + 1 茎2 工。( a ) + 墨篓( i ；一。1 + 2 i 岛i + i 件。i ) ( 2 3 2 ) 1 4 令 现在记 一n ( 舭) 矗一1 + ( a ( x i ) + n ( 甄+ 1 ) ) 岛一a ( x i + 1 ) 卧1 = r e = ( e 1 ，c 2 一o ( 。) r = ( r 1 ，r 2 ，r 。) t 则 a e = r( 2 3 3 ) 同样的我们知道a 为非奇异n 阵，因此很容易得到其逆矩阵形式 a = ( ) 其中 所以e = a r ，即 所以 矗 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) j 扛 z 0烈+ 一、j zn j j 一 z z 广 广 缸 缸 州嚣讲h 。h 。 r 广 巩 “ 缸 。宁 一 一 ：、 0 广 广 孤 巩 “ 叭 州丑毛随 r g 。埘 “ 勺 + 勺 + 一 勺 堡。 +0l 一 艄 马 式 动心 由 又 量 b 件 h 9 旧 + u 卜， g ， 2 e 啡 + + 一 l j 0 玑 悻蠹芦 堡。丝。 + + 酽 优 阢。同 蛆 _ ； d g 。埘江 一 = 令i l c l l 2 。m 。& 。x 。蚓，因为存在大于零的常数 厶，且如，使得 g o h 尬，( 一1 + 2 趵+ 9 i ，+ 1 ) 坞 j = 1j = l 则由( 2 3 6 ) 式，可以得到 1 e l l 2 l m l o ( 。) + 半圳e i i ( 2 3 7 ) 如引理2 4 选取使得m 。z 鲁，l 。( 3 + 鲁) ) = 1 ，又因为l c 1 ，所以当 时，有笔拿 1 ，所以 l = o ( h 3 ) 另一方面，如果对( 2 , 2 5 ) 式在每个k “x i + 1 上利用拉格朗日二次插值，即 = 2 ，那么我们有y 一7 r 2 9 = o ( h 3 ) ，且 = 虹芒三鹎怕等等糕端 + ， ( z x i 一1 ) ( z x i ) 、， ( z 一。) ( z x i + 1 ) 玑“瓦i j 再可瓦而_ ”1 瓦i 瓢云葡 ，卺去畿嘶未篙编i 坠等等型h 小i 生等掣i s 。i + ! 苎_ = = _ 兰掣i 毛+ 。i ，z ( 。t 一，茹i + t ) 所以类似k = 1 时的估计，可以得到 【 w ( z ；) 】一1 。w ( z ) ( ，( z ，) 一f ( x ，”。y ) ) d x j z s l - o ( 确+ 西5 l b 一+ 等b i + 西5 l b + 。i ( 2 3 8 ) 和 【 嵋( 她) 一，“”w ( z ) ( ，( 喇) 一，( 茁，丌。y ) ) d x 墨l o ( t 固+ 西5 l b 一+ 警b i + 西5 l b + t i ( 2 3 9 ) 那么由( 2 2 6 ) ，( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) ，有 一n ( 鼢) 矗一1 + ( a ( x i ) + a ( x i 十1 ) ) i o ( + 1 ) 矗+ i 曼2 l o ( h 5 ) + ；三 2 ( 1 e 。一。1 + 4 1 岛1 + 1 件1 1 ) ( 24 0 ) 1 6 因此如= 1 时所做，当= 2 时，我们有 矗吾n 阻_ 。( 5 ) + 渺( h 卅川) n e t l = 2 l o ( h 5 ) g i j + ；l 2 ( m ，一1 + 4 9 巧+ g i ，+ , ) l c j t ( 2 4 1 ) i = 1 ” i = 1 h 2 工呐o ( h 4 ) + ；l 坞i ( 24 2 ) 同样的选取，使母当h 时，；l m 3 h 1 因此我们有 = o ( ) 所以综合结论，得到 忙忙；：k = l 注2 3 由定理2 2 的证明过程容易知道，当拉格朗日插值次数提高时，我们 可以得到更高的误差界 注2 4 在v ( x ) = 扩的情形，问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 5 ) 即是我们通常研究的一类奇异 两点边值问题，见【1 7 】 1 8 】 1 9 ( z 8 ) 7 = - f ( x ，( z ) ) ，z ( 0 ，1 ，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = 0 2 3 数值实验 在这一节中，我们将举例说明本章的结果， o ，l 】区间上的网格剖分为一致网 格，h = 1 ( n + 1 ) 例2 1 p ( x ) = e 1 - 。，f ( x ) = 1 + e 。，准确解为y ( x ) = x ( 1 一e m - 1 ) 1 7 升 吼 + j g 4+ 卜 g 。闰 为因 表2 1 ： 血m a x - n o r ml 2 一b o t h l 0l8 2 4 e 一51 6 5 e 一3 o0 183 1 e 一71 6 5 e 一5 0 0 0 18 3 1 e 91 6 5 e 一7 例2 2 p ( x ) = e 1 一。，f ( x ) = e l - xx 3 2 ( 1 一z ) 3 2 ( 6 0 一2 x ) 一1 5 x 1 2 ( 1 一。) 1 2 ( 1 2 z + 2 2 2 ) ) ，准确解为y ( x ) = 4 x ”( 1 一z ) ”我们注意到这个例子中，( z ) c o , u 2 o ，扎但是f ( x ) gc 1 ，1 o ，1 血m a 。x - l l o e ml 2 一n o f h l 0 13 5 0 e 一31 6 2 e 一3 o 0 1 2 4 5 e 37 9 8 e 一6 0 0 0 12 8 1 e 一77 1 5 e - 9 例2 3 对非线性的情形，我们考虑如下的二阶方程 堕d x ：= 一，删：。，刺= - l n c o s 2 ( 1 v 问题的准确解为v ( x ) = 一i n c o s 2 ( x j ) 表2 3 n 1 i v y 怯 l l 一】，i | 。o 81 8 5 e - 0 0 36 46 2 3 e 一0 0 7 1 62 4 6 e 一0 0 41 2 84 7 6 e 0 0 8 3 28 3 6 e 一0 0 62 5 63 9 6 e 一0 0 9 1 8 第三章奇异的非线性二阶微分方程 3 1 引言 本章考虑如下的奇异两点边值问题 1 一赢( p ( 。) f 弘) ) = m ，) ，。( o ，1 ) ， ( 3 1 ) 。骢p ( x ) y ( z ) = 0 ，y ( 1 ) = 一4 ( 3 2 ) 其中a 是实常数，叫( z ) ，p ( 茁) ，f ( x ) 兰f ( x ，( z ) ) ：i = ( 0 ，1 ) _ r 是l 可积的 当”( z ) ，p ( 。) ，( z ，g ( 茁) ) 满足一定的条件时，( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解( z ) 将依赖这些条 件而属于不同的函数空间 现在对叫( z ) ，p ( z ) ，f ( x ，( z ) ) 作下列假定： ( a ) f ( x ) 圭f ( x ，( z ) ) c 2 o ，1 ，o f c o y 存在且连续，o f c o y 曼0 ， ( b ) v x 【0 ，1 ，0 p ( x ) m ( i e 常数) ，p ，w 非负且在【o ，1 】的任意紧子集上可 积， ( c ) 常数函数和函数r ( x ) 兰层p - 1 ( t ) d t 在( o ，1 ) 上关于权函数w ( z ) 可积 1 9 9 3 年，e l g e b e i l y 7 等证明了在假设( a ) - ( c ) 下，问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解 存在且唯一1 9 9 8 年，对f ( x ，g ( 。) ) = q y + g ( x ) ：g ( x ) 在 o ，1 上有界的情形， e l g e b e i l y 和a b v 等用一致网格下的有限差分格式得到了收敛阶对w ( x ) = p ( x ) = z o ，血1 的情形，微分方程的形式为 y ”+ 兰9 + f ( x ，y ) = 0 ，0 z 1 ，血1 ( 3 3 ) 对此问题m m c h a w l a 8 1 用有限差分法得到了o ( h 2 ) 的收敛阶1 9 8 8 年，c h a w l a 和s u b r a m a u i a n 1 0 利用一种新的样条方法研究了问题( 3 3 ) ，并证明了它的收敛 性 在这一章中我们将对文f 1 0 1 进行推广，即在一致网格上利用1 9 8 8 年中的新样 条方法研究问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 我们得到的样条解的优点在于：一旦算出样条解，那 么在网格点之间进行插值时，所需的信息是可以得到的这对于求解边值问题在 f 0 ，1 1 上的任意点的函数值是很有意义的例如在使用自动剖分时常需要一些中间 点的信息，此时新样条方法将优于差分法 3 2 新的样条方法 考虑一致网格如= i h ，i = o ( 1 ) n ，h = 1 在结点2 2 i ，i = o ( 1 ) n 上，我们 1 9 定义线性函数 三。( ) = ( z i ) ，五( ) = p ( 。) ( z ) l ， 尬( ) = 一雨1 ( p ( 咖丁b ， 帕) = 一( 南( p ( 咖) ，州一 ( 3 4 ) 在每一个子区间k _ 1 x i ，i = 1 ( 1 ) n 上，我们将得到y ( x ) 关于( 3 4 ) 中定义的线 性函数的展开式 首先，考虑x i 一1 z x i ，i = 2 ( 1 ) n ，积分方程( 3 1 ) ，得到 ( z ) = 垂叩( z ) 工。( 9 ) + 垂1 ， ( z ) 互( g ) 一p 一1 ( r ) w ( t ) f ( t ) d t d w ( 3 5 ) r z，r ，z !j o 这里f ( t ) = f ( t ，可( t ) ) ， 中叫( 。) = 1 ，西1 j ( z ) = ，。p 一1 ( t ) d t 对f ( t ) 进行泰勒展开，有 f ( t ) = f ( x i ) + ( t z 。) ，7 ( 勘) + ( t 一“) ，”( u ) d u( 3 6 ) 那么将此泰勒展开代入( 3 5 ) 式，我们可以得到下面的表示式： y ( x ) = 中o ，i ( x ) l i ( y ) + 中l j ( z ) 五( ) + 中2 ，。( z ) 、厶( f ) + 壬跏( 。) 叫( ) + 咒( ；z ) ( 3 7 ) 其中 r ，r 圣2 ，i ( z ) = 一p _ ( r ) w ( t ) d t d t j t i j z 圣。( z ) = 一。p 一- ( r ) 1 7 叫( ) 一z 。) d t d 丁 j o tj 2 残差r ( y ；z ) 为 r 。( ；。) = g ( 。；u ) ，”( u ) d u ( 3 8 ) 其中 g ( x ；u ) = 一f ( ，。p d r ) 唰) d r 容易知道q 山j = 0 ，1 ，2 ，3 关于线性函数l i ( y ) ，五( g ) ，尬( ) ，叫( g ) 双正交 我们定义 壬。面圣1 ，i ，圣2 ，i ，圣3 ，。) 为山中l 西2 ，i 和西3 ，i 的线性空间 定义3 1 对i = 2 ( 1 ) n ，在子区间【x 一，如 上，定义奇异两点边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解( z ) 的样条逼近s i ( x ) ： i ) s i ( x ) 圣o ，l ，西1 ， ，西2 西3 # ) i i ) s i ( x ) 满足插值条件： l - l ( 8 。) = l 一( ) ，l i ( s i ) = 厶( g ) ，腿一，( 8 i ) = 尬一一( ) ，尬( ) = 尬( ) ( 3 9 ) 下面我们将对第一个子区间【x o ，x - 构造样条逼近为此，在( 3 5 ) 中令i = 1 得到 ( 。) = l 1 ( g ) + p ( t ) d t z l ( ) 一p 。( r ) w ( t ) f ( t ) d t d t t ，or o， j x lj 0 1j 0 1 另外，利用边值条件( 3 2 ) ，有 z 。( g ) ：一，“。( t ) f ( t ) d t j o o ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 所以由( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 和f ( t ) 的泰勒展开式( 3 6 ) ，我们得到v ( x ) 在子区间陋o ，x 1 上的表示式为 其中 y ( x ) = 中o ，l ( z ) l 1 ( ) + 西2 ，1 ( x ) m l ( y ) + 中3 ，1 ( 。) m ；( ) + r l ( ；z ) ( 3 1 2 ) 4 ) 2 , 1 ( z ) = 一p - 1 ( t ) w ( t ) d t d t j z lj x o 西。，。( z ) ：。p - l ( r ) 7w ) ( t 一。，) d t d r 西a 川5 上。r ) 上。w ( 。) ( 。一。1 ) 删7 残差r 1 ( g ；z ) 为 r ，( ；z ) ：一。，( “) ，9 ( 。1p - ( r ) d r ) u ，( f ) ( t u ) d t d ur 1 ( ；z ) = 一，”( “) ( p1 ( 下) d 丁) 叫( f ) 0 一 j n j x o j 一f 1 ，”( “) e ( f 1 p d r ) 喇) d t d u j ( 。1 ，( u ) f ( ，2 1p 一1 ( r ) d r ) 叫( t ) ( t 一“) d t d xjj t jz 定义 垂o ，1 圣2 ，l ，圣3 ，1 ) 为，1 ，中2 ，1 和吼，1 的线性空间 定义3 2 在子区间【即，。- 上，定义奇异两点边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解v ( x ) 的 样条逼近8 1x ) ： i ) s l ( z ) f 中o ，1 ，西2 ，1 ，垂3 ，1 ) ， i i ) s 1 ( z ) 满足插值条件： 4 ( o ) = 0 ，工l ( s 1 ) = l i ( y ) ，( s 1 ) = m o ( y ) ，m l ( s 1 ) = m ( ) ( 3 1 3 ) 2 1 意义3 3 奇异两点边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解g ( 茹) 的全局样条逼近s ( x ) 定义 如下： ) s ，出) 8 ，高( 出芦) c o 川， 为了使祥条s ( x ) 满足条侔p ( 茹矽gc o ，l b 在丽格酶蠢结点上必蔟满定下瑟 的“连续性条件”，即 五( 8 ) = 五( 8 件1 ) ，i = 2 ( 1 ) n 一1 ；z l ( s 1 ) = g l ( s 2 ) ( 3 1 4 ) “连续往条件”( 3 1 4 ) 定义了包括个未知麓y o ，鲈l ，一，阶一l 静一1 个非线 性方稷注意到这里我们并没有如通常所傲的离散边值条件。l 。i m 。+ p ( x ) y ) = o 来 得到所需的附加条件，但是，这个边值条件导出了定义3 3 中的插值条件( i i i ) 3 3 样条解的构造 这一节我们将按照第二节中的定义构造样条解8 ( z ) 我织曹焱构造魏如) ，i = 2 ( 1 ) n 。对x 陆_ i 。；! ，i = 2 ( 1 ) n ，趣( 。) 可以表承 成： 8 i ( 茹) = 重o ，l ( z ) 毛( 口) + 雷1 ，i ( z ) l i i 白) + 皿2 ，d x ) m i ( y ) + 零3 ，。( 嚣) a 磊l 国) ( 3 1 5 ) 其中蚤。j ，圣l 毒，圣2 囊，圣3 毒z 垂。毒，圣t 囊，蚤2 l ，圣辣 为了使蛳( z ) 满足插值条件( 3 ，9 ) ，田o 。皿1 mm 2 山皿3 i 必须关于线性函数厶：l 扣1 驰 猩强一t 双霰交，邵 巍一i 西文i ) = 如弘a 磊( 辔主i ) 一鸯，2 ，j = 0 ，1 ，2 ，3 ， 和 磊一1 ( 圣t i ) = o ，j = 0 ，1 ，聪一1 ( 垂2 ，i ) = 1 ，涵一l ( 蚤3 t ) = h ， 由此我捉褥到 蛳( z ) 三：支零j f l i - ：( 西， ) 一圣，t ( z ) ，m ，t ( 茹) = 西，i 扣) i t ( 西) 零。， ( 茹) 2 ；z ：i ；虿忑 圣3 一占 一t 圣球) 一蛋l l t ( 垂跨) + 是( 圣。j i ，( 圣l j ) 一圣，一i i t ( 圣2 j ) ) 3 ( 3 1 6 1 m s l ) 万南 垂1 j 厶t 一，( 蛋鲋) 】一辔3 j 厶一l ( 圣，i ) j 毫 # 一 阕嚣柱 玲强 j | = i 曲黯出 嗡；薹 接下来我们构造s 1 ( ) 令z 壬叩，蚤2 1 1 西3 ，1 ) 为砸o 1 吼，1 和西3 ，1 的线性空间， 易知对任