（计算数学专业论文）平面上模糊数值函数的henstock积分.pdf

摘要 基于模糊积分理论的研究和模糊微分方程求解的需要以及模糊随机变 量期望的计算，本文研究了平面上模糊数值函数的积分首先，作为矗精 细分法的推广，提出了平面上的精细分法，即定义了导数基并讨论了其性 质又在此导数基意义下定义了平面上模糊数值函数的h e n s t o c k 积分，并 利用b a n a c h 空间上的抽象函数对其进行了刻划其次，定义了平面上的模 糊p e r r o n 积分及模糊d e n j o y 积分，并利用这两种积分对平面上两种特殊形式 的导数基意义下的模糊h e n s t o c k 积分原函数进行了刻划最后讨论了在不 同导数基意义下的模糊数值函数的绝对可积性和连续性问题，完善了非绝对 模糊积分理论对于平面上模糊h e n s t o c k 积分，利用近似求和、数学规划两 种方法进行了计算和误差估计：提出了平面上模糊h e n s t o c k 积分计算的矩形 公式和s i m p s o n 公式等 关键词：导数基；模糊数；模糊数值函数；积分；绝对可积性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r t h ei n t e g r a lo ff u z z y - n u m b e r - v a l u e df u n c t i o n si nt h ep l a n e i sd i s c u s s e d f i r s t l y , a st h eg e n e r a l i z a t i o no f & f i n ep a r t i t i o n s ，t h ef i n ep a r - t i t i o ni nt h ep l a n ew h i c hi sn a m e dd e r i v a t eb a s ei sp r o p o s e d ，a n dt h eh e n - s t o c ki n t e g r a lo ff u z z y - n u m b e r - v a l u e df u n c t i o n si nt h ep l a n ei sd e f i n e di n t h es e u s eo ft h ed e r i v a t eb a s ea b o v e i na d d i t i o n ，t h ep r o p e r t i e sa n dt h e c h a r a c t e r i s t i ct h e o r e m so ft h i sk i n do fi n t e g r a la x ed i s c u s s e db ym e a n so f s t u d y i n ga b s t r a c tf u n c t i o n si nb a n a c hs p a c e n e x t l y , t h ed e f i n i t i o no fp e r - r o ni n t e g r ma n dd e n j o yi n t e g r a lf o rf u z z y - n u m b e r - v a l u e df u n c t i o n si nt h e p l a n ea r eg i v e n ，a n db yu s i n gt h e m ，w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o nt h e o - r e i n so ft h ep r i m i t i v ef u n c t i o n sf o rf u z z yh e n s t o c ki n t e g r a li nt h es e n s eo f t h es p e c i a ld e r i v a t eb a s e s a n dw ea l s os t u d yt h ea b s o l u t ei n t e g r a b i l i t ya n d c o n t i n u i t yo ff u z z y - n u m b e r - v a l u e df u n c t i o n si nt h ep l a n eu n d e rc o n s i d e r a r t i o no fd i f f e r e n td e r i v a t eb a s e s f i n a l l y , f o rt h ef u m wh e n s t o c ki n t e g r a li n p l a n e ，t w oc a l c u l a t i n gm e t h o d sa r ep r o p o s e d ：o n e i st oc a l c u l a t ed i r e c t l yb y u s i n gt h em e t h o d o fa p p r o x i m a t i o ni n c l u d i n gq u a d r a t u r er u l e sa n dt h ee r r o r e s t i m a t e ss u c ha st h er e c t a n g u l a rr u l ea n ds i m p s o n sf o r m u l a r ；a n o t h e ri st o c a l c u l a t eb yu s i n gt h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i s t i co ff u z z yh e n s t o c ki n t e g r a - b i l i t y , w h o s em e m b e r s h i pf u n c t i o nc o u l db eo b t a i n e db ys o l v i n gn o n l i n e a r p r o g r a m m i n gp r o b l e m k e yw o r d s ：d e r i v a t eb a s e s ；f u z z yn u m b e r ；f u z z y - v a l u e df u n c t i o n ；i n - t e g r a l ；a b s o l u t ei n t e g r a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：左鲴日期：卫年- 加上日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：盔殉 导师签名：2 骂莹鸯日期：丑年月上日 刖吾 现实世界中的现象纷繁复杂，但如下三类是至关重要的：即确定性现象、随机现象 和模糊现象对于前两种现象，人们是比较熟悉的，如自由落体运动，其规律是确定的，从 而为一种确定性现象，与之相应的数学即为确定性数学；又如掷一枚硬币，出现的结果是 确定的，即只能是正面或反面，但就每一次投掷的结果究竟是正面还是反面事先却无法预 料，这就是随机现象，它是一种。非此即彼”的不确定性现象，符合概率规律，与之相应 的数学即为随机数学除了上述不确定的随机现象外，现实世界中更多的存在着一种“即 此即彼”的不确定性现象，它无法用通常的二值逻辑来表达，这就是模糊现象如自然语 言，它是在人们共同经验的基础上以一种非数学语言进行思想和行为的交流的工具由 于信息革命的需要，人们不可避免地要处理大量的模糊现象，而传统方法和已有工具面对 模糊现象又显得不足，精确性和模糊性越发冲突；人脑所形成的概念几乎都是模糊的，如 何使计算机对模糊概念具有识别判断能力，以便使其具备人脑的智能，迫切需要对模糊现 象建立数学语言 基于上述背景美国控制论专家z a d e h 教授于1 9 6 5 年提出了模糊集【l 】1 的概念： 给定论域u 上的模糊集a 是指：对任意z 矾都对应着一个数a ( x ) o ，1 】，叫 做z 对a 的隶属程度，而映射a ：矿一【0 ，1 1 ，z a ( z ) 叫做a 的隶属函数很显然，隶属函 数是经典集合a = 伽：a ( z ) = 1 ) 特征函数的推广 模糊数学一经产生，便显示了异常旺盛的生命力，其应用遍及聚类分析、图像识别、 数据结构、系统评价、自动控制、决策优化、人文科学以及社会科学等诸多领域，它在 处理广泛存在的模糊性方面已体现出了巨大的优越性在短短的几十年中，模糊数学理 论本身已得到迅速的发展，它与经典数学中的分支相渗透的结果，便形成了对应的模糊数 学分支，如模糊拓扑学f 2 】，模糊代数学i s ，模糊分析学1 4 一模糊分析学中的模糊积分理论 的研究主要包括两个方面：一种是实值函数关于非可加测度的模糊积分，另外一种为模 糊数值函数的积分 模糊数值函数的积分这一概念最早是由m l p u r l 和d a m l l 器c u l l 为了研究模糊 随机变量的期望于1 9 8 6 年提出的，这种积分是集值映射的a u m a n n 积分的推广同年，r 1 前言 g o e t s c h e l 和w v o x m a n s l 利用分割，求和，求极限的方法定义了一种模糊数值函数的积 分，称为g o e t s c h e l 积分1 9 8 7 匀z ，o k a l e v a e l 为了研究模糊微分方程问题，把集值映射 的a u m e m n 积分推广到模糊集上，定义了模糊数值函数的k 乩黼积分，并讨论了其性质【圳 1 9 8 7 年，m m a t l o k a ( n l 也采用分割、求和、求上下积分的办法定义了一种积分，即( m ) 积 分1 9 8 9 年，n a u d a l l 2 用同样的办法定义了r i e m a n n - s t i e l j i e s 积分，他不加证明地应用了 有界模糊数集具有上下确界，而且上下确界是可以任意逼近的，甚至对于连续函数 来说是可达的并错误地认为该积分下模糊数值函数可积的充分必要条件是：对任意 的 0 ，存在【口，6 | 的分法t ，使得d ( u ( f ，l ( 只，功) 毛其中玑工分别为大、小和 直到1 9 9 7 年吴从折1 1 3 1 指出了上述错误，提出有界模糊数集具有上下确界是正确的，但上 下确界不是可以任意逼近的。对于连续函数来说也不一定可达的，并指出：有界模糊数集 确界的水平截集并不等于其水平截集的确界从而利用上、下积分逼近的方式讨论积分 受到了一定的限制为此，巩增泰和吴从彭亍在文【1 8 】中利用模糊数的h a u s d o 瓶离定义了 在j 精细分法意义下的模糊数值函数的h e n s t o c k 积分，避免了模糊集在取上下确界时的不 可任意逼近性2 0 0 5 年，巩增泰1 1 4 】定义了n 维模糊数的一种偏序关系和积分距离，利用模 糊数的支撑函数给出了n 维模糊数集的偏序关系，确界表示和距离讨论，并在此文献的基 础上定义和讨论了模糊数值函数的p e r r o n 积分f i s ，利用支撑函数给出了模糊p e r r o n 积分 的刻划定理，并讨论了其可积条件及性质2 0 0 6 年，巩增泰在文献【1 6 】中定义了模糊数值 函数的d e n j o y 积分，给出了强模糊h e n s t o c k 积分的描述性定义，实现了模糊数值函数与其 积分原函数之间的相互转化另外，基于模糊积分理论的研究，模糊微分方程求解的需要 以及模糊随机变量期望的计算，吴从圻，巩增泰等对模糊数值函数的积分进行了一系列 的讨论【1 7 一矧，使得模糊积分理论日趋完善但是，对于积分的定义域区间为多变量的模 糊积分理论的讨论比较少，o s t a s z e w s k i 曾在文献【2 4 】中给出了平面上实值函数抽象形式 的h e n s t d c k 积分的定义，证明了它与p e r r o n 积分，变差积分( 囿变积分) 及变差测度的等价 性，并讨论了在不同导数基意义下的积分的绝对可积性，可导性及与l e b e s g u e 积分的等价 性本文在此基础上讨论了平面上模糊数值函数的h e n s t o c k 积分及其基本性质，主要包 括四部分内容： 第一部分作为预备知识，概括介绍了模糊数，模糊数空间，模糊数的序关系的基本概 念给出了平面上的划分方法，即我们所说的导数基的基本定义和一些基本性质，并根据 2 前言 实际情况的需要，定义了平面上几种特殊形式的导数基，说明了特殊形式的导数基实际上 是6 精细分法和6 精细m _ 分法的进一步推广 第二部分定义了平面上向量值函数及模糊数值函数关于导数基的h e n s t o c k 积 分，并利用嵌入定理对模糊数值函数的积分进行了刻划，说明了平面上模糊数值函数 的m 皿s t o c k 积分是一维模糊h e n s t o c k 积分的迸一步推广 第三部分讨论了模糊数值函数的积分原函数的刻划问题由于在对模糊数值函数 的积分进行讨论时，描述积分原函数的性质对于积分方程或微分方程的讨论都具有很 重要的作用但是当描述原函数的性质时，即给出相应积分的描述性定义时，一般都要 涉及到导数问题，而由于模糊数值函数的导数的复杂性，迫使许多实分析中的结论都 不成立陋一，而且对h e m t o c k 积分的要求比较严格为此，我们首先定义了平面上的一 种p e r r o n 积分，并讨论了它与平面上关于导数基1 的模糊h e n s t o c k 积分的等价关系而 后，我们定义了平面上的一种模糊d e n j o y 积分，证明了它与平面上关于导数基2 的强模 糊h e r e t o c k 积分的等价性 第四部分借助于模糊数空间到具体的b a n a c h 空间上的嵌入定理和模糊非绝对积分的 刻划定理，讨论了平面上模糊数值函数在不同导数基意义下的绝对可积性问题及连续性 问题，完善了非绝对模糊积分理论 第五部分利用误差界振幅模给出了平面上模糊积分的梯形公式，s i m p s o m 公式及它 们的误差估计 3 1 1 模糊数及基本性质 1 预备知识 设论域u 是给定的非空集合，a 称为，的一个模糊子集，是指对任意的z u 都有一个 数a ( z ) 【0 ，1 】与之对应，其中a ( z ) 称为z 属于模糊子集a 的隶属程度 定义1 1 1 4 1 称模糊集豇为模糊数，如果谛旨足下列性质( 1 ) ( 4 ) ： ( 1 ) 豇是正规模糊集，即存在x o r 1 ，使得u ( x o ) = l ； ( 2 ) 豇是凸模糊集，即对任何z ，掣r 1 , t 【o ，1 1 ，u ( t x + ( 1 一t ) y ) m i n u ( x ) ，缸 ) ) ； ( 3 ) 豇是上半连续的； ( 4 ) 豇的支撑集s u p i = 再i 面币面丁了可是紧集，其中a 表示a 的闭包 对面e 1 ，称矗是一个模糊数，e 1 表示一维模糊数全体构成的集合，即一维模糊数空间 设矗e 1 ，对任意r ( 0 ，l 】 集合【钍】= 扛r 1 l 缸( 茁) r ) 称为面的r 一水平截集， 是r 1 中非空有界闭区间【u 】o ；u 【u 】7 是矗的支撑集 r 6 ( o 1 1 对面，0 e 1 ，k r ，e 1 中的加法和数乘运算定义为： 弓i 理1 1 嘲若面e 1 ，则 = 瞄： ( 1 ) 设豇是模糊集，隶属函数为t ( z ) ，对v r 【o ，1 】，r - 水平集为i 衅= 扣l u ( z ) r ，则 有( z ) = s u pr x ( z ) = s u p r ：0 rs1 ，z m ) ，其中x ( z ) 为 u l 的特征函数； 0 r s l 。 ( 2 ) 对任意r 【0 ，1 】，【】均为r 1 中的非空有界闭区问； ( 3 ) 若0 r l r 2 1 ，阻】n3 【川r 2 ； ( 4 ) 若正数列 r m ) 非降收敛于r ( 0 ，1 】，则nm “= 4 1 预备知识 反之，若对任意r 【0 ，l 】，均存在岔cr 1 并满足相应的条件( 2 ) 一( 4 ) ，则有唯一的模糊 数面e 1 ，使得对任意r ( 0 ，i i ，h = ，j l u o = 叮下矛ca o r ( o 1 1 定义1 2 1 4 1 设6 ：x ( 0 ，即6 ( 功： 1 z 2 o 显然，零模糊数的左右端点都为o l0 ，卫0 引理1 2 1 4 j 若豇，0 e 1 ，磨r ，则定义e 1 中的加法和数乘运算为 陋+ 卯= 【词+ 【川= 【t f + 嵋，t ，+ 矿】， 【奄锄= l k u 7 ，南谚j ，k o ， 阵盯= i 知母，k u 7 】，k 0 ，存在口，使得 对矗上的任意分法丌c a 有 暇旷( ) 上f i 0 ，存在q 1 a ，使得对而上任 意分法7 r 1co l 有 i f , ( - 1 ) ( ) f l i 已 同样存在锄，使得对而上任意分法丌2cn 2 有 i 最( 丌2 ) 一( ) 毋i 由于是滤下的，则存在口，使得qc 口ln 啦，且对如上任意分法7 rca 有 陬丌) 一( ) 五凡| “， i 易( 7 r ) 一( ) f 2 i g 由于 i ( 只+ 局) ( 丌) 一( ( ) 上只+ ( ) 厶足) i = i 凡( 丌) + 毋( ，r ) 一( ) zf l 一( ) 上易i l f l _ ) 一( ) 厶日i + i 局( 丌) 一( ) 上b i 0 ，由于在而上是滤下的，根据性质2 1 的证明过程可知，存在a ， 使得o c q l n 劬，且对而上任意分法7 r c 口有 i 乃( 丌) 一( ) 日j e ， j ， i 易( 丌) 一( i x ) f 2 i g ， 即有 ( ) 上f 1 一e f 1 ( 丌) 最( ”) n 时，总有 i 晶( z ，) 一f ( x ，驯 e 类似于一维当中实值函数的收敛定理删，平面上的实值函数也有类似的收敛定理成 立 定理2 1 ( 单调收敛定理) 若下列条件成立： ( 1 ) 晶是而上关于导数基的h e n s t o c k 删，f i f 。( z ，i ) 一f ( x ，j ) 于而； ( 2 ) 日( 羁i ) f 2 ( z ，i ) 昂p ，i ) 于而； ( 3 ) r ( z ，j ) 的h e 璐t o c k 积分( ) 丘f n ( 。，) 收敛， 1 0 2 平面上模糊数值函数的h e n s t o c k 积分 则f ( z ，j ) 在而上关于导数基是h e n s t o c k 可积的，且 舰( ) z r = ( ) z f _ ”。 j i nj l o 证明r ( z ，j ) 在而上每一点都收敛到f ( z ，j ) ，则存在，对每一个固定的( z ，i ) ，任给正数s ，恒存在m ( z ，) ，使得 1 只。b ，) ( ，d f 0 ，驯 0 ，存在( 不妨设n f i + lc ) ， 使得对而上任意分法万c 有 i f n ( 丌) 一点k ) i 毛 ( 2 2 ) 其中日。( 而) 为函数日( z ，) 在毛上的积分值 由定理中的条件( 2 ) 和( 3 ) 可知，对任意ic ，o ，王k ( ，) 上升收敛，不妨设收敛到日( ，) 则 存在n o ，当f 1 2n o 时， i 甄。( d 一日( 驯 0 ，存在口a ，使得对如上任意分 法1 1 c 口有 d ( 雪o ) ，( ) 尹) 0 ，存在o t ，使得对而上任意分法7 rca ， 有 厂 i i f ( ) 一( ) f 1 i 0 ，存在口， 使得对而上任意分法。1 1 1co l 有 d ( 庐( 丌1 ) ，( ) ，1 f ) 毛 同样存在也a ，使得对而上任意分法丌2c 口2 有 ，( 2 ) d ( f ( 丌2 ) ，( ) f ) 由于是滤下的，则存在口a ，使得aca 1i - i0 2 ，且对而上任意分法丌cn 有 to) d ( f ( 丌) ，( a ) ff ) e ， j o r ( d ( f ( r c ) ，( a ) f ) ， j 1 0 1 3 2 平面上模糊数值函数i 约h e n s t o c k 积分 所以 。( ( ) 。o 。户，( ) j ，o 2 庐) 。( 户_ ) ，( ) ”户) + 。( 于( 丌) ，( ) z o 户) 2 e j j k j 设( ) 篮户= a - ，( ) 篮户= 五，则 d ( ( ) 广户，( ) 严户) ：d ( a 。，盈) d ( ( 厶f ，( 厶f ) = d ( a - ，a 2 = s u pm a x i a i 一a ；i ，i a # 一a 嘉i ) r e o , 1 】 2 e ， 所以 l a ；一a ；i s ，i a 二一a 嘉l 0 ，存在a 1 a ，使得对，0 上任 意分法7 r lc n l 有 。( 坼1 ) ，( ) z 矗) 岛 同样存在她a ，使得对而上任意分法7 r 2c0 2 有 。( 扇( 丌2 ) ，( ) 厶扇) e 由于是滤下的，则存在a a ，使得nc 口ln 劬，且对而上任意分法仃cn 有 。( 坼) i ( ) 上真) s ， d ( 岛( 7 r ) ，( a ) 扇) e 由于 d ( ( 矗+ 扇) ( 7 r ) ，( ) j o 矗+ ( ) j o 晟) = 。( 真( ”) + 扇( ”) ，( ) 上r + ( ) 厶扇) d ( 矗( ”) ，( ) 真) + d ( 岛( 7 r ) ，( ) 扇) j oj l o 1 4 2 平面上模糊数值函数的h e n s t o c k 积分 0 ，存在a a ，使得 对矗上任意分法万cq 有 d ( 户( 丌) ，豆( 而) ) s 设x = 墨1 五，此处五= ( z ，) q ：i 一1 d ( 庐( z ，n 0 ( z ，川曩由于p ( 五) = 0 ， 则存在平面上的开集列 ，使得恐ca g - # ( g d 0 ，存在o ，使得对矗上任意分法丌co 有 d ( - 膏0 r ) ，雷( 矗) ) e ， 即 s u pm a x l j _ ：_ ( r ) 一h ：( t 0 ) l ，l 砖( 7 r ) 一上p f r o ) l ， r e o a t 2 平面上模糊数值函数i 均h e n s t o c k 积分 所以对任意的r 1 0 ，1 1 ，都有 防( 力一耳( 而) i 5 ，阱( 神一彤( 厶) i 0 ，存在口，使得对而上任意分法百cn 有 j f ( 丌) 一蚱( 驯 ，i p ( ”) 一时( 驯 0 ，存在口e ，使得对如上 任意分法霄c d 有 d ( 费( 丌) ，青( 而) ) 0 ，存在o te ，使得对矗上任意分法，rc 口有 l 耳一( 丌) 一耳( 而) l ， 上式包含 s u pl f , - ( r ) 一e _ ( 矗) i 0 ，使得对任 3 平面上模糊h e n s t o c k 积分原函数的刻划 意z i c c ( x ，p ( z ) ) ，有 f 忙，i ) b ( j r ) 由上面的定义易知，若a ，雪为户( z ，) 在而上的益损函数，则满足 亩( 矗) 亩( j ) p ( x ，j ) a ( o a ( i o ) 定义3 3 设户：x 圣一e 1 为平面上的模糊数值函数，若对任意的 0 ，存 在户仕，j ) 在如上的益损函数a ( j ) ，啻( j ) 满足 d ( a ( i o ) ，a ( 1 0 ) ) o ，口1 ，那么对而上的任意分法7 r c 我们设 7 r 1 = 乜，i ) 霄，宜( d p ( x ，j ) ， 矿= 0 ，i ) 而雷u ) f 0 ，) ) ， 则根据模糊数距离的定义及性质 d c 宙( 氏户忙，j ) ) 扛，) f扛，j ) 。 = d ( 雷( j ) + 青p ( z ，j ) + 户( 蜀d ) ( z ，j ) 霄1( z ，) f 2( z ，j ) - 1 ( z ，j ) ，2 d ( f i ( 1 ) ，费( z ，d ) + d ( 庐( z ，n 啻( 聊 ( ，1 ) e x l( z ，1 ) o r l( ，1 ) e l r 2扛，) 一 d ( 五( j ) ，户扛，f ) ) + d ( 芝二户( z ，) ，亩( j ) ) ( 。，d 1( 2 。，) 1( 。，j ) f 2( z ，j ) 一 d ( a ( n 雪( 跏+ d ( a ( n 雪( 聊 ( z ，1 ) _ x l( ，) t 1扛1 ) e x 2扛，i ) e f a = d ( 五( ，) ，雪( j ) ) 扛西臼( z j ) 自 d ( 五( 而) ，h ( x o ) ) 0 ，存在d l 及非负且超可加的实值函数q ( j ) ，使 2 】 3 平面上模糊h e n s t o c k 积分原函数的刻划 得q ( 局) 0 由于户在岛上关于导数基1 是i l s t o c k 可积的，则存在o 1 ，使锝对而上 的任意分法，r c 口有 d ( f ( 丌) ，( a 1 ) f ) d ( 詹( ，u ，) ，户( ”) - i - 户( ”) ) + d ( 青( ，) ，户( 玎) ) + d ( 膏( ，) ，户( 丌“) ) 1 2 v 3 平面上模糊h e n s t o c k 积分原函数的刻划 根据模糊数序关系及模糊数距离的定义，由于e 的任意性，则有青( ，u ，) = 豆( ，) + 青( ，) ， 即宣是可加的模糊数值函数 取定a ，设1 1 c 口为如上的任意分法，记 1 1 = ( z ，d 1 1 ， 则 宜( d 户( 毛j ) l”= 扛，j ) 霄，豆( j ) 户p ，j ) ) = u ，矿= u ， 缸刀一( $ d - ” d ( 宙( 而) ，户0 ) ) = d ( h ( 丌) ，于( z ) ) = d ( 啻( 一) + 直( ) ，户( 一) + 户( 霄，) ) = d ( 雷( ) + 豆( ) ，庐( ”) + 户( ) ) d ( 曰( f ) ，庐( 丌) ) + d ( 豆( ) ，声( 丌，) ) ， 由3 1 式可知，d ( 疗( 矗) ，庐( 7 r ) ) & 由丌的任意性，贝l j s u p 。c 。( 如) d ( 宙) ，户( r ) ) 8 已而 y ( 日，n ( 而) ) 一v ( f ，q ( 矗) ) = s u p ( d ( 青( 矗) ，6 ) 一d ( 户( 丌) ，6 ) ) x c a ( 1 0 ) ss u pd ( 霄( 而) ，f ( 7 r ) ) ， c a c b ) 所以y ( 雷，d ( 矗) ) 一v ( p ，o ( 厶) ) 0 ，选择o a ( z o ) ，则对任意 的( z ，1 ) o 有 d ( 啻( ，) ，户( ，) ) v 0 9 ，q ( ) ) 一v ( p ，o ( ，) ) = n ( ，) ， i 而v ( f l ，a ( 而) ) 一v ( p ，n ( 如) ) ，所以q ( 而) 0 ， 当a ( ，) 0 ，使得对任意有限个互不重叠且有一对对项顶点属 于而的区间 ，厶，1 3 ，厶，五cc ( x ，p ( z ) ) ，当：l a ( 五) ，7 时，有 d ( 啻( 劭，6 ) 0 ，存在o a 2 ， 使得对如上的任意分法7 rco l 有 d ( f ( x ，n 青 o ，并设函数p ( z ) 三，则存在q a 2 ，使得对如上的任意分法丌= 瓴，五) lc n 有 d ( 于( 啦，仇) a t 五) ，勾 = s u pi 乏二妒( t ，仇) a ( 五) 一肆i r e o , 1 。一 _ r 【0 s u p 1 】0 l 曼，矿( 舭m i + 哺s u p l 】ir _ t a m _ l 矿( 舭m 一钟i r 【0 ，qo ：= ： 0 ，存 在p “( z ) p ( $ ) ，叩耐 0 ，使得对而上任意不重叠的区间 ，如，厶，厶，hce ( z ，p 耐( z ) ) ， 只要羔l a ( 五) 喁“，就有 d ( f l ( h ) ，6 ) 熹 i = 1 一 下面来确定函数p 扫) 3 平面上模糊h e n s t o c k 积分原函数的刻划 ( 1 ) 由于疗( ，) 在矗a 上是可导的，所以对任意j 矗a ，总存在a 2 使得对任 意扛，f ) q “z ，有d ( 于扛，f ) ，等等) e ，w d ( p ( x ，j ) 入( f ) ，豆( ，) ) 入( f ) ( 2 ) 若i a ，则存在a 柑，使得i a 柑由于p ( a “) = 0 ，则存在平面上的开集 列g “，使得a 耐cg “，且p ( g ) m _ m ( 赤，) 由于g m 为平面上的开集列，则存 在p ( z ) p 铽( z ) ，使得卫icc ( p ( 刁) c ( k ，即存在o a 2 ，使得对而上的任意分 法7 rc 请 d ( p ( z ，d ，嘉 扫 f ) o r = d ( 户o ，j ) ，膏( ，) ) + d ( 户o ，j ，) ，雷( j ) ) 恤，- r ) o r d e i o a伽刃e f ，i e a d ( 户( z ，d ，青( j ) ) +d ( f ( x ，j ) ，6 ) +d ( 0 ，青( j ) ) ( z j ) c * d e i o a ( 蕾。) o r , l e a 仕j ) _ ，l e a = d ( 声( z n 膏( 功+ d ( f ( x ，蛾卸+ d ( 6 ，雷( d ) 任m o r j e i o an 和刀- ， in , i 扣，) - ，l e a n t s a ( ，) + n a ( ，) + 熹 ( z ，) fn ，i ( z ，j ) e f ，j 刊 n ， 以( ，) + n p ( ) + 去 ( z ，) f n ，in i 一 厶( ，) + n i 杀+ 毒i ( z ，d 自n j n j 4 = a ( 而) + 嘉， 由s 的任意性，则【州) fd ( f ( x ，d ，啻( 聊 0 ， 存在函数p ( z ) p ，使得对任意有限个互不重叠且有一对对顶顶点属于晶的区 间 ，厶，3 ，厶，五cg ( z ，p ( z ) ) ，有 d ( 霸( 厶) ，6 ) t = 1 nn d ( 青( 五) ，帚o ，五) ) + d ( 庐 ，五) ，旬 = 1i - 兰- 1 n + 嚣a ( 五) 现在固定，7 = 暑，则当：l a 伍) 7 时， d ( 豆( 五) ，6 ) 岛a ( ，) ( 3 2 ) 对n = 2 ，3 ，设 1 易= 如e ，岛2 ( 3 ，3 ) 由于声( z ，) 在矗上关于导数基2 是强模糊h e n s t o c k 可积的，选择( 0 ，：) ，则存在伽 3 平面上模糊h e n s t o c k 积分原函数的刻划 2 ，使得对矗上的任意分法霄ca o 有 d ( f ( z ，d ，f i ( 0 ) 0 ，由r 的定义可知，存在i r ，使得z ，且满足3 2 式，m 3 4 式可知， 必存在，使得岛a 嚣，所以a ( d 5 取一= 5 ，则有a ( ，) 一，符合v i t a l i 覆盖定 义，所以r 在t a l i 意义下覆盖日由v i t a l i 覆盖定理m 可知，存在可列个互不相交的区间 序列 z d ，使得 a 厶) = o k e n 由于：具有可分性，那么对任意的 ( z - ， ) ，( 勋，厶) ，( 巩，厶) 为如上的分渤co t o 的 子分法，则由3 2 式，3 3 式，3 4 式可得 a ( 五) sn d ( 雪( 瓤，厶) ，詹( 五) ) 0 ，存在q 3 2 4 平面上模糊数值函数的绝对可积性与连续性 1 ( ；) ，使得对任意7 rc 口有 d ( m ) a ( n ( ) ，胁) 5 阮d l o ( d ( 氕z ) a ( n ( ) ，胁) 0 ，存在口1 ( ：) ，使得对任 意c 口有 ， i i m ) a ( j ) 一( ，) f 胁1 1 扛，j ) f 。加 ( o m ) a ( ，) 一( ) f ，烈1 1 g ) ( # ) 日 。” 若对任意矿x ，矿f 是l e b e s g u e 可积的，且存在a x ，使得对任意可测集e 仨 矗，) 厶，= x a ，则称，在区间矗上是p e t t i s 可积的，积分值为a 引理4 1 p o 若五e 1 ，则区问簇耳= i t i ：r 4 决定唯一的模糊数，定义该模糊 数 訇，即模糊数a 的绝对值若记i a i r = i l a hi a ，则有如下表示： f 五f = ；m a x f i - 7 + f 露i ，i 五f a ，f 五| + = m a x t a ；i ，f f 引理4 2 m l 对任何t e 1 ， 可( 豇) = ( 笪，面) ，则j ( e 1 ) 是0 1 0 ，1 】d 【o ，1 】中以口为顶点的 闭凸锥，1 a j ：e 1 0 o ，1 】0 o ，1 】( 其范数取为乘积范数，即i i ( ，) i i - m a