（计算数学专业论文）加w权的drazin逆的扰动界和条件数.pdf

r _ r _ 文摘要 摘要 本文主要讨论了d r a z i n 逆的加权形式一一加w 权的d r a z i n 逆的扰动性质 全文共分成两章第一章介绍了) j f l w 权的d r a z i n 逆的扰动界文中在最基本 的假设下给出了一个加w 权的扰动上界，并附上数值例子将文中得出的扰动 界与其他文献中的方法得到的扰动界进行了比较第二章的前半部分介绍了 线性系统a w z = b 的3 n w 权的d r a z i n 逆解在范数带参数的f r o b e n i u s 范数 m a w a w ，3 b 川! ：意义下的条件数，这里矩阵a 为个m n 的秩亏阵，a 的 指标为岛，w a 的指标为晚，b 冗( a w ) “在第二章的后半部分，我们讨论了 j a w 权的d r a z i n 逆和加w 权的d r a z i n 逆解的条件数的敏感性一一二阶条件数，关 于元素的条件数，以及关于元素的二阶条件数 关键词：d r a z i n 逆，) 3 n w 权的d r a z i n 逆，条件数，_ 阶条件数 中图法分类号：0 1 5 1 2 1 0 2 4 11 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef o c u s e0 1 1t h ep e r t u r b a t i o np r o p e r t i e so fw - w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s e ，w h i c hi st h ew e i g h t e df o r mo fd r a z i ni n v e r s e t h ep a p e ri sd i v i d e di n t ot w o c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ep e r t u r b a t i o nb o u n do f w - w e i g h t e dd r a z i n i n v e r s e u n d e rt h eb a s i ca s s u m p t i o n s ，w eg i v eo u tau p p e rb o u n d ，a n dd oac o m p a r i s o n w i t ho t h e rb o u n d sf r o mo t h e rp a p e r sb ys e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e s i nc h a p t e rt w o ， w ef i r s tc o n s i d e rt h e1 i n e a rs y s t e mw a w x = b ，w h e r eai sa nm 礼r a n k - d e f i c i e n t m a t r i x ，t h e i n d e x o fa w i sk 1 ，t h e i n d e xo fw a i sk 2 ，b 冗( a ) “t h e n w ec o n s i d e rt h ew e i g h t e df r o b e n i u sn o r m ，j i 陋w a 彤p 6 川：；，o i ld a t a ，a n dg e tt h ef o r m u l a o fw - w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s es o l u t i o no ft h el i n e a rs y s t e mi nt h el a s tp a r to fc h a p t e r t w o ，w es t u d yt h es e n s i t i v i t yo fc o n d i t i o nn u m b e r s ，i e 1 e v e l 一2c o n d i t i o nn u m b e r s ，t h e c o m p o n e n t w i s ec o n d i t i o nn u m b e r s a r ea l s oi n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ：d r a z i ni n v e r s e ，w - w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s e ，c o n d i t i o nn u m b e r , l e v e l 一2 c o n d i t i o nn u m b e r c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：015121 ，0 2 41 i 第一章j o , w 权d r a z i n 逆的扰动界 第一章加w 权o r a z i n 逆的扰动界 1 1 o r a z i n 逆简介 本篇论文主要介绍加w 权的d r a z i n 逆在扰动界和条件数方面的性质加w 权的d r a z m 逆是由d r a z i n 逆派生的针对长方阵的特殊加权形式，故在展开具体结 论之前，本节先来介绍d r a z i n 逆的定义和表示方法 d r a z i n 逆是一种非常重要并且被广泛研究的矩阵的广义逆，在有限m a r k o v 链理论 2 ，奇异微分差分方程组 2 ，c e s a r o n e u m a n n 迭代【2 2 ，密码学【2 3 ，和 数值分析方面都有很好的应用8 ，1 4 ，1 3 ，l l ，6 ，2 7 ，1 6 ，1 9 ，1 7 ，2 4 ，3 9 ，2 9 ，4 6 ，5 1 ，5 2 ，6 1 ， 6 2 ，6 5 ，6 3 ，4 4 ，5 9 ，5 0 ，6 2 】下面我们先来介绍矩阵指标的定义 定义i 1 ：对任意矩阵a 伊“、我们定义a 的指标为使得 成立的最小非负整数，记作i n d ( a ) 不难看出，一个矩阵的指标就是这个矩阵零特征值所对应的最大的j o r d a n 块的阶 数 定义1 2 ：对任意的矩阵aec n 一，令k 为矩阵a 的指标，则矩阵方程组 a 2 x a = a 2 ，x a x = x ，a x = x a( 1 1 ) 存在唯一的解a d 我们把这个解称为a 的d r a z i n 逆当：1 ，方程组1 1 的解称 为a 的群逆，记作a 祥此时方程组1 1 可改巧成， a x a = a ，x a x ：x ，a x = x a ，( 1 。2 ) 通过矩阵的j o r d a n 标准型分解，矩阵ad r a z i n 逆可以显式地被表示出来 引理i 3 ：( 1 ，2 设矩阵a c “，i 殳其j o r d a n 标准型为： q 一1 a q = ，= ( 以| | 工。) 其中正= ( 凡： 第一章加w 权d r a z i n 逆的扰动界 为n 。阶矩阵，且满足翌，m = n ，则a 的d r a z i n 逆可以表示成 印 4 。= q j 。q 一1 = q1 1 q 一1 职 其中当矗对应的特征值a 。0 时，妒= 4 - 1 ，若 对应的特征值九= 0 ， 则牙= 0 证明：首先对五，当九0 时，有工非奇异，因此，n d ( 以) = 0 ，此时容易验证 j ；- 1 = j d 当 = 0 时，由嚣4 = 0 推出i n d ( j i ) = 啦，此时容易验证。甲= 0 ，再 令b = q j d q 一，则： b a _ b = ql ，d q 一1 q j q 一1 q j d q 1 = q 产jj d q l = qi j d q l ：- b ， ab =qj q l q j 。q l =q jj d q 一、 = q j d jq = ba ? 因为i n d ( a ) = z n d ( j ) = k a + 1 b = qj k + l q 一1 qj d q 一1 #qj k + l j d q 一1 = q j “q 一1 = a 。 由此推出a d = qj d q ，同样容易验证 由此即可证明引理 儿( 印 1 2 加w 权的d r a z i n 逆简介 注意到在上一节o r a z i n 逆的定义是针对方阵的随着求解长方形微分方程 一2 一 第章加w 权d r a z i n 逆l _ 1 勺扰动界 系统的发展，在1 9 8 0 # ，c l i n e 干i g r e v i l l e 在文献 7 中对长方阵也引入了d r a z i n 逆 的概念一加w 权的d r a z i n 逆 定义1 4 ：设a c m 帆，w c n ，则存在唯一的矩阵x c ”。“满足下面的方 程组。 ( a w ) + 1 x w = ( a w ) 2 ， x w 7 a w x = x ，a w x = x w a 其中自为某个非负整数我们把矩阵x 称为a 的加w 的d r a z i n 逆，并记作 a a ，w 显然当a 为n 阶方阵并且仉7 等于n 阶单位阵厶时，a d ，w = a d 并且容易 验证加w 权的d m z i n 逆a dw 可以用a w 或w a 的d r a z i n 逆来表示 4 4 1 ， a d w = 【( a w ，) d 2 a = a ( w 7 a ) d 2 关于加w的d r a z i n 逆，文献 4 ，7 ，9 ，2 6 ，3 4 ，4 3 ，4 2 ，4 5 ，4 7 ，6 0 中作了很多讨论 和研究下面的引理在本章后面的证明当中非常的有用类似于引理1 3 ，它利 用j o r d a n 标准型给出了矩阵a 的加w 权t j d r a z i n 逆的显式表达式 引理1 5 ： 4 7 ，定理2 设a c 7 “，w c “。”为非零矩阵，则存在两个 非奇异矩阵p e “。”和q c “满足， a = p a n? q 一， 【0a 2 2 j 彤：q 肌1 0 一 。l 0 2 j 其中a 1 1 ，i n l 为两个非奇异方阵，a 2 2 ，2 2 ，w ，2 2 a 2 2 为两个严格的上双对角 阵这时，a a w 可以表示为， 缸w ：尸a ：) - 1 u 1 3 加w 权的d r a z i n 逆的扰动界 ( 1 3 ) x c h e n 和g c h e n 在文献 5 给出了一个加w 权的d r a z i n 逆的连续性的充 分必要条件当序列 a ，) 收敛到a 时，序列 ( 乌) d ，) 收敛到a d ，w 当且仅当对 足够大的成立， r a n k ( a ，w7 ) b = r a n k ( a w ) 2 ， ( 1 4 ) 第一章加w 权d r a z i n 逆朐扰动界 其中自= n d ( a w ) ，= i n d ( a j w ) 作者同时利用m o o r e p e n r o s e 逆给出了一 个关于加w 权的d r a i n 逆的扰动上界但是文献中该命题的假设并不容易验证 r a k 0 6 e v i 6 矛l l w e i 在文献 3 4 中，在下面的两个包含关系条件下，给出了一个关于 加w 权的d r a z i n 逆的最优扰动界： r ( e w ) r ( a w 7 ) 2 ， r 【( e w 7 ) + r ( 【( a w 7 ) 2 】+ 其中e c m x n 为扰动矩阵q i ns h w a n g 3 3 把他们的结果推广到一个包含关系 的条件：r ( e w ) r ( a w ) 在本章中，我们将在文献 3 3 ，4 8 ，4 9 ，5 8 ，6 0 ，6 4 1 的工作的基础上，在最弱的条 件1 4 下给出加w 权白 d r a z i n 逆的扰动界在结论之后，我们讲给出几个简单的 数值例子对几种加w 权的d r a z i n 逆的扰动界进行比较 首先我们给出一个扰动( a + e ) d 的表达式 5 6 设a ，e g n n ，和b = a + e 不妨令b = + g ，其中2 = m a x i n d ( a ) ，i n d ( b ) 由文献 1 ，2 ，矩阵a 可以写成如下形式， p - l a p = i 詈01 s ， ；g e ec 非奇异矩阵，n 为幂零阵此时a d 可以写成， p 一1 4 。p = 1 习 c z s ， 设e 和g 可以写成如下形式 p - i g p ：g i ig ，。1 l g 2 1g e 2 j 一制 引理1 6 ：( w e i 和l i 5 6 1 ) 设a ，b ：4 + e ，b 。= + g 均为方阵，其中 l = m a x l n d ( a ) ，礼d ( b ) ) 并且7 a n k ( a 。) = r a n k ( b 。) 当扰动矩阵e 的范 数f i e i f 足够小以使得c 十g 1 1 ，c + e 1 l4 - u 疡1 和 w = ：c + e + ，恳1 + e 1 2 v + u ( n + e 2 2 ) v 、引f纠司翻硝 。 r 且易_ j 一 _ = j i p ep 第一章加w 权d r a z i n 逆的扰动界 非奇异，其中 那么我们有， u = ( c 。+ g 1 1 ) g 1 2 ，v 7 = g 2 1 ( c + g u ) 一1 b 。：p ， “， l 叫 ( 17 ) 在本章中，我们统一用l ji l 来表示满足j l 厶! l = 1 的相容矩阵范数接下来， 我们来推导长方矩阵的加w 权的d r a z i n 逆的扰动界 设长方阵a ，e g m m ，w c n 一扰动后的矩阵b = a + e ，显然 b w = a w + e w 存在g c m 使得下式成立， ( s w ) 。= ( a p 叫十g 其中f = m a x i n d ( a w ) ，i n d ( b w ) 并且我们有如下的关系 p = 只马 并且p = 量 ， c 固 qq 2 并且q = p - i e q ：陲e 1 2 并且 l e 2 - e 2 2 j ( 1 9 ) p 一1 g q = 詈：g ：訇， c 。， 其中只q 由引理1 5 定义因此若+ ( e w ) ( a w ) d 非奇异，我们有， ( a 1 1 1 + e 1 1 m 1 ) 一1 = 户1 ( a 彤) d ( ，+ z w ( a w ) d ) 1 尸1 ( 1 11 ) 另外，如果，+ ( g ( a w ) d ) 2 非奇异，我们有 ( ( a 1 1 m 1 ) 。+ g 1 1 ) = 户1 ( ( 4 ) 。9 ) 2 ( ，+ g ( ( a ) d ) 2 ) 。丑 ( 1 1 2 ) 使用上面的记号，我们有如下的类似于引理1 6 的扰动界定理 定理1 7 ：设a ，b = a + e ，为m n 矩阵，并且( b w ) 2 = ( a w ) 。+ g ，其 中l = m a x i n d ( a w ) ，礼d ( b w 7 ) ，r a n k ( ( a b f 7 ) 2 ) = r 几自( ( b 矿) 。) 当l l e | l 第一章加w 权d r a z i n 逆1 7 内扰动界 足够小以使得( a 1 1 p h l ) + g ma 1 1p n l + e 1 1 w ，1 l + u e 2 1 l 和 x = ：a 1 1 1 l + e 1 1 w j l + u e 2 1 w ，1 l + e 1 2 w j 2 y + u ( a 2 2 w 2 2 + e 2 2 i 2 ) y 非奇异时，这里 u = ( ( a 1 1 限，1 1 ) 。+ g 1 1 ) g 1 2 ，v = g 2 1 ( ( a 1 1 w ，1 1 ) + g 1 1 ) 一1 我们有如下的扰动界估计 i i b d ，w a 正w i l j i ( a w ) d e ( w a ) d | | + i ( ( 4 w ，) d ) 2 e ( i 一( w a ) ( w a ) d ) | j + | | ( ( a w ，) d ) 2 + 2 ( + g ( ( a w ) 。) 2 ) - 1 ( a u ) ( a p 矿) d c ( i 一( a w ) ( a w ) d ) a + i i ( i 一( a w ) ( a w ) d ) g ( ( a w 7 ) d ) ( + g ( ( a w ，) 口) 2 ) 一1 a d , w l | + o ( i i e l l 2 ) 证明：由引理1 6 的证明过程，我们可以推出 ( b w ) d = = p 卅1 ， 由定义1 4 ，可以得到b a w 的表达式 阱e12w22a22 e 2 2 w 2 2 ：。 2 + ：i b 州= ( ( b ) d ) 2 b = ( ( a w + e w ) d ) 2 ( a + e ) = p ； x 一1 ，up - 1 p ； x 一1 ，u p - i ( a + e ， j 2 p 【纠x 为了简化，我们记 u lp 一1 ( a + e ) t = x 一1 f i + u v ) x 一1 6 日“ d 十m吲肌易 + m 笙二兰垫型壑旦! ! 翌! 堂! 堕垫型墨 由上面的推导，l i b d ，w a d ，w i i 可以表示为 b d w a d w = 0 p ； t ，u a “主。e 1 l = 忙t ( ( a n + e n ：端) ) a 墨 q - 1 - a d , w i l t ( e n + + u ( a ( 2 2 + + e 2 2 v t ( e n ua 2 2e 2 小。1 + ( + 2 ) ) l 炉t a n + x - 2 e n + x - 2 u e 2 1 我们把x 改写成， + o ( i e i l 3 ) x-一2：(e。e12。+u(a22。+e22vxu ( ae 2 ：；， q 。12 ( e 1 2 + 2 2 +2 ) ) l 。 x = ：a 1 1 l + e 1 1 m 1 + z 其中i i z i l = o ( 1 l e 1 2 ) 是一个二阶无穷小量因此我们可以得到 x = ( a 1 1 蹦l + e 1 1 p n l ) x 一2 = ( a 1 1 e 1 1 + e 1 1 w 1 1 ) 1 + c o ( i i e i l 2 ) 2 + o ( i i e i t 2 1 如果我们把( a 1 1 ，1 1 + e 1 1 叭1 ) 一2 记作s ，我们可以把扰动界简化为， l i b d w a d ，w l l 1侧，酬e12+u(+a22+e，22)q-1-ad,wvs(a e uv s ( e nu a 2 2l | + p ( 旧旷， 一 i f 1 1 + ) + ) j 1 1 i i p 。s ( a 。1 + e 。，) 国1 一p 1 ( a 。v g 。) 一1 国。i i + ip l s ( 蜀2 + u a 2 2 ) o e i + l i p 2 v s a u 国1 i l + o ( t l e i l 2 ) 下面我们分别对上式的每一项进行估计首先 l ip l s ( a 1 1 + e 1 1 ) q 1 一尸1 ( 肌1 a 1 1 w n ) _ 1 q 1 | | = i lp 1 ( a 1 1 l + e 1 1 叭1 ) _ 1 乍1 q 1 一p 1 ( 1 a 1 1 1 ) = j t p x w f f l ( ( a 1 1 + e 1 1 ) 一a 1 1 1 ) p 1 1 1 q 1 | j i lp 1 1 a 矗e n a 矗p ，五1 国，l + o ( 1 z i l 2 ) = 1 p 1 w a l a # s p 。f 。亩，q 1 1 4 舟1 国1 | | + c o ( 1 i m i t 2 ) = f i ( a w ) dp 1 e 。亩，( a ) d | | + o ( 1 i e f l 2 ) 7 第一尊加w 权d r a z i n 逆的扰动界 注意到e 1 1 = 户1 e q l ，上式可以继续化简 f ( a p 矿) d p i e 。国。( 7 a ) d f f + o ( i i e i l 2 ) = i ( a w ) dp 1 a e q t 国。( w 。4 ) d i i + o ( t l e i l 2 ) = i i ( a w ) d e ( 1 47 - ) d | | + o ( i e i l 2 ) 同理，我们可以得到如下的两项的估计 fp i s ( 墨2 + u a 2 2 ) q 2f f l lp 1 ( a ，l u ) 一2 ( e 。+ u a 2 2 ) 国2 ij + o ( i i e i 2 ) | | p 1 ( a - t w l l ) 一2 e 。2 国2 l - i - i i p f f a 。- ，) 一2 u a 2 2 国2 | | + o ( i i e i l 2 ) = i i p f f a 。w - ，) 一2 扇e q 2 国2 | l + i i p l ( a 1 1 i u l ) _ 2 户1 ( ( 4 彤) d ) 2 ( ，4 - g ( ( a 彤) d ) ) 一1p l g l 2 a 2 2 国2 l | + o ( i i e i l 2 1 s | ( ( a w ) d ) 2 e ( r 一( w a ) ( w a ) d ) l + i i ( ( a w 7 ) d ) 2 十2 ( ，十g ( ( a w 7 ) d ) ) 一1 ( a w ，) ( a w ，) d g p 2 a 2 2 亩2 i l + o ( i i e i l 2 ) = i l ( ( a w ) d ) 2 e ( i 一( w a ) ( w a ) d ) | | + i i ( ( a w ) d ) m ( ，+ g ( ( a ) d ) 2 ) 一1 ( a 缈) ( a w ) d c ( i 一( a ) ( a w ) d ) a ( i 一( w a ) ( w a ) d ) l l + o ( i i e l l 2 ) = | j ( ( a 7 ) d ) 2 e ( i 一( w a ) ( w a ) d ) i l + i i ( ( a w ) d ) m ( + g ( ( a 彬) d ) 2 ) 一1 ( a w ) ( a ) d g ( 一( a ) ( a ) d ) a | l + o ( i i e i l 2 ) ， l l p 2 y ( a 1 1 肌1 + 局1 1 ) 一2 ( a 1 1 + e 1 1 ) 国1l f l i p w ( a - ，m - ) 一2 a ，国1i 十o ( 1 l e i i2 ) = j i p 2 g 2 l ( ( a n w l l ) + g 】1 ) 一1 ( a 1 1 w - 】) 一2 a 1 1 亩1j j + o ( 1 l e i l 2 ) = i i p 2 p e g p t p , ( ( a w ) d ) ( ，+ g ( ( a 彤) d ) 。) 一1 a d ，1 1 十o ( i i e i l 2 ) = i i ( i 一( a w 7 ) ( a w 7 ) d ) g ( ( a w 7 ) d ) 2 ( + g ( ( a w 7 ) d ) 2 ) 一1 a d ，| | + o ( i e i l 2 ) 综合上述几个估计的不等式，不难得到定理的结论 第一章加w 权d r a z i n 逆f 自扰动羿 a ：罡：习，e = e 墨：习， 和= i 习 容易看出，i n d ( a w ) = z n d ( b w ) = l ，由此得到g = ( b w ) 。一( a w ) = b w a w , 其中f = m a x i n d ( a w ) ，m d ( b w ) 精确的扰动误差应该是， l i b 正一a d , w i i = f l ( ( b ) 口) 2 b 一( ( a 彤) d ) 2 a i f = f b a f f = | f e 由定理1 7 中的结论， b d w a d , w i i i i ( a w ) e ( t 17 a ) i i + i i ( a w ) e ( i 一( w a ) ) i i + f i ( a w ) e ( z 一( w a ) ) i + i i ( a w ) ( z + g ( a ) ) 一1 ( a w ) g ( i 一( a w ) ) a + 1 1 ( ，一( a p l r ) ) g ( a ) ( ，+ g ( a ) ) 一1 a d ，| 1 = f t e l f 然而，考察文献 5 】中的结论， i i b d , w - a a , w l l 蚓a ) 1 1 驯i 黼+ 。( 1 1 啪i i 其中 e ( a ) = ( a ) 1 + ( 2 膏+ 1 ) k 。( a ) 8 + 2 k k 叫( a ) 2 十1 k 。( a ) = f i a i i i i a d ，w 圳f 2 ，= i n d ( a w ) 带入a ，e ，和彬我们得到 b d w a d , w i i i i a l l 2 1 1 w 7 1 1 2 ( 1 十3 1 1 a l l 2 l l w l i 2 + 2 1 1 a l l 4 i | w l | 4 ) l i e = 6 1 1 e 1 i 第一章) j h w 权d r a z i n 逆的扰动界 例1 9 ：令 a ：f a 2 3 ，e ：。f 1 1 1 ，和： 1 0 o 0 j1 0 0 0 j 1o 01 0 o 其中口 0 并且e = 1 0 一注意到 zz j d ( a w ) = 1 ，i n d ( a + e ) w = 1 ，r a n k ( a + e ) w 】= r a n k ( a w ) = 1 下面的表格中列出了精确的相对误差监生瓮棼萨 以及定理1 7 与文献 5 】给出的上界随不同的。的变化情况为了方便比较，我们 把定理1 7 中的结果变换成了相对误差从表格中我们可以看出，本节得到的上 界比从文献 5 】中得到的上界更紧 = 4 0口= 1 0 = 1 口= 0 5 b y ( 2 1 ) i n x c h e n 5 】 26 3 3 4 1 0 日12 7 8 5 1 0 8 28 1 9 1 x 1 0 5 15 0 0 0 x 1 0 3 b yt h e o r e m1 7 58 3 1 5 1 0 1 020 0 0 0 1 0 9l5 9 7 6 x 1 0 836 0 1 9 x l o 一8 e x a c te r r o r 39 6 2 4 1 0 一i t )i1 5 9 8 x 1 0 9 l5 8 1 1 1 0 8 35 9 2 4 x 1 0 8 第二章加w 权f n d r a z i n 逆在条件数上的应用 第二章加w 权的d r a z i n 逆在条件数上的应用 2 1 加w 权的d r a z i n 逆的条件数 上一章中我们讨论了加w 权d r a z i n 逆的扰动界，本章将讨论衡量l j n w 权 的d r a z i n 逆的敏感性的另外一个指标一条件数在本章中，我们考虑如下的长方形 线性系统， w 。4 w x = b ，( 2 1 ) 其中a 冗m m ，w 冗n x m 记k 1 为, 4 w 的指标，2 为w a 的指标，我们作如 下假设。 b r ( ( w 7 a ) 七2 )2 9 兄( ( a p 矿) 也) 由引理1 5 ，我们可以得到对任意的m n 矩阵a 和几t o , 矩阵彤存在 m m 的非奇异矩阵p 和 1 2 n 非奇异矩阵q 满足， a = p 1 三。 q 一1 ，w 7 = q 譬1 点。 p 一1 c z ，z ， an $ n w 权i 拘d r a z i n 逆可以写为， 并且容易得到， a a , w ：pl ( m 以，叭，) 。1 0 ( 2 3 ) a = p 吾品 尸一1 ，a = 。 言； q 一1 ， c z 4 ) 这里c 和d 为非奇异矩阵，而s 和n 为两个幂零阵，满足s 。= 0 ，n 。- = 0 本章中我们讨论p q 一范数和线性系统2 1 l j n w 权的d r a z i n 逆解向量 z 驴的p 一范数，向量b r n 的q 一范数以及矩阵a r “的p q - 范数 定义如下： z | 1 p = | | p 一1 茁f 1 2 ，_ | 6 i q = | | q 一1 b 1 2 ，i i a i i p q = l i p 一1 a q i i = ( 2 5 ) 第二章) j o w 权o d r a z i n 逆在条件数上的应用 这里p ，q 由引理1 5 定义另外a r m 。“的f r o b e n i u sp q - 范数定义为， a l l 澎= l i p 一1 a q i i f 我们把线性系统2 1 的加w 权的d r a z i n 逆解记作z w a w x = b ，z r ( ( a 彤) 札) ( 2 6 ) 我们知道，加w 的d r a z i n 逆解 4 5 ，6 0 z 可以写为t g = a d ，w b 在文献 2 0 中， s g r a t t o n 讨论了当a 为列满秩时最小_ 二乘问题的条件数w e i ，d i a o 年i q i a o 在 文献( 4 4 将g r a t t o n 的结论推广到了加权的线性最小二乘问题在文献 4 5 1 中， w e i 和d i a o 研究了p 范数下线性最小二乘问题的条件数在本章的后半部分， 我们将讨论线性系统2 1 的加w 权的d r a z i n 逆解，并且给出了条件数的公式 在文献 3 7 中，j r r i c e 引入了绝对条件数的概念令x 和y 为两个赋范子 空间，我们把这两个空间定义的范数记为”怯和”再记”i 为范数”怯 和忆所诱导的算子范数设f 为一个连续可微的算子， f ：r “”。f 2 n - 呻r x z f ( x ，z ) f 在z 点的绝对条件数为1 l f 7 ( z ) n 相对条件数为 l f f ( z ) z 恢 = 一 l r 现在我们引入如下算子 f ：r ”。“r “_尼“ a ，bf ( 4 ，b ) = a d ，w b = z 我们知道，当a 的扰动矩阵e 满足如下条件时，算子f 可微 r ( e w ) r ( ( a w ，) “) ， ( ( 仉7 a ) ) ) n ( w e ) ， ( 2 7 ) 1 2 第二奄加w 权f 自d r a z i n 逆在条件数上的应用 这里宠( e ) 表示矩阵e 的值域，( e ) 为矩阵e 的零空间，并且七= m a x k 1 ，2 容易验证，条件2 7 等价于， a d ，w ( w a w ) e w = e 彬w e ( w a w ) a d ，w = w e ，( 2 8 ) 首先我们引入如下重要定理 定理2 1 ：f 6 0 ，定理1 假设a ，e r “，w r “”，并且后= m a x k l ，k 2 如果e 满足条件2 7 并且l j a 吐。1 w e w j | l ，那么我们 有， ( a + e ) d ，。= ( ，+ a d 。w e w ) 一1 a d ，。= a d ，。( ，+ w e w a d , 。, ) 一1 ( 2 9 ) 当e 满足条件2 8 ，l i w s w b p e h w a wh q ，并且e 足够小，我们可以有如下 重要的表达式， ( a + e ) d ，= a d w ，一a d 、w w e w a d ，w + o ( e 2 ) 在后面的讨论中，我们使用带参数的加权f r o b e n i u s 范数叭a w a 彬p b 1 1 ：， 其中p = d i a 9 p 11 ，这样做的好处是我们可以针对不同的扰动来选择不同的o ， 和口例如当参数o t 非常大的时候表示只有向量b 有扰动 r o h n 在文献【3 8 中讨论了矩阵的元素扰动和非奇异线性系统求解在文 献 2 5 h i g h a m 研究了非奇异矩阵的条件数和条件数的敏感性，也就是二阶条 件数在略有冗余的假设条件下，w a n g 孝 1 g u 在文献 4 2 中把他们的结果推广 到了加w 权的d r a z i n 逆的情况本章，我们将在p q 一范数意义下讨论加w 权 的d r a z i n 逆的条件数问题在本章的后半部分我们还研究了加w 权的d r a z i n 逆的 元素扰动和加w 权的d r a z i n 逆解的二阶条件数 2 2 加w 权的d r a z i n 逆解的条件数 本节我们通过带参数的加权范数对长方形线性系统的3 n w 权的d r a z i n 逆 解 4 5 ，6 0 】的条件数给出了显示表达式 定理2 2 ：当a 的扰动矩阵e 满足条件2 7 ，并且线性系统的范数取为 w a 彬例l l 品= 、。2 ( i | a i | 器) 2 + 卢2 i l b l l 自, ，解向量取范数l p 的 意义下，p q 一范数的3 n w 权的d r a z i n 逆解的绝对条件数为， c 刮圳专+ 訾， ( 2 1 0 ) 第二章加w 权l 自d r a z i n 逆在条件数上的应用 这里，户：川1 【01 j 证明：f ( a ，b ) = a a w 6 在条件2 7 下，f 是一个可微函数，并且f 。可以定义为， f 7 ( 月，6 ) ( e ，) = 。l i m 。生! 三曼趋墨三型( 2 11 ) 当e 满足条件2 7 ，我们有 4 7 ，6 0 ( a + e e ) d ，= a d ，w e a dw p 矿e 盼7 a d ，+ o ( e 2 ) 由此我们容易得到 f ( a ，b ) ( e ，) = 一a d ，w w e w x 十a d ，w 1 ( 2 1 2 ) 令i i 1 1 为由可选参数的线性系统的范数i i w a w , z b i t 品和解向量的范数 i z 1 1 ，所诱导的算子范数，其中户：l ：? f 则， l 。 1 j f ( a ) 6 ) ( e ，) ij = i i a a ，w ( w e w z 一，) l | 箩 si i a a ，wl l r 。( i i w e w i i 品i l 。 i p + 1 i l l q ) 线性映射f 7 ( a ，6 ) ( e ，) 的范数为l i e7 ( a ，b ) ( e ，f ) 1 ( p f 在。“舒的单位球 上的上确界注意到( i i 陋e 彤卢门【| 嚣) 2 = n 2 ( i | 彤e | | 器) 2 + 卢2 l l f l l 为和 f ( a ，6 ) l i =s u pb l a d ，( w e w z s ) n g a 2 ( i i w e w i 器) 2 + 矿i i j l l = l s u pi i a d ，w i l p 。( | | w e w l l 器i i z i i 尸+ i l f l l q ) 口2 ( i i w e w i i 器) 2 + 删川b = 1 l s u p i i a 。，w t l ，。( 酬w e i 曷_ _ i t 碧- i p + # l l f ll 口万1izll ) ， 2 = l 。 一 其中z = m e i f 器，俐刚口 2 因此我们有 f ( a ，b ) l l i i a d ，w 1 1 8 u p 山r z = l i a 吐w i i l l w l l 。 2 = 1训= 降劫t 第二章加w 权l 自d r a z i n 逆在条件数上的应用 因此 趴删删警+ 刍 ( 2 1 3 ) 现在我们要证明这个上界是可以达到的存在向量札，和v 满足 ( m - a - 肌) 。u = i l ( m - a 帆) 。1 1 2 ”= i ， k u ， ( 2 1 4 ) 其中 j u 1 2 = 忪 i 。= 1 令 则 容易验证 我们令 4 d w 吐= = p p q 陶 ( w 1 l & l w l l ) 。u 0 f l i ( w l l a n w l l ) 。i | 2 口1 0 m = 。妒吲 = l l a d ，w ，i l p q i 血| j o = j j oj l 尸= 1 ，5 鬲u e = 一南p 絮1 幻旷舻p 廿 等1 习旷 0 l 叫m - _ 叫 p o = 、 帆 1，j l 一旧一 h q h 一 = p 第二章；j h w 权| f j d r a z i n 逆在条件数上的应用 则 e w = 一p 0 4 即 1 = 一p q 。r l = 一p q 竹 翻 习 习 q 一1 i z t p 一7 q 一1 证c p 一1 z ，丁 ： 尸一1 注意到， a 吐c w a ，= p 墨羽p _ 1 我们可以验证e 满足条件2 ，8 的第一个方程 a d ，w ( w a w ) e w = 同理我们有 廿。1 醐一 e = 一南q 譬1 嵌。 p 。p 絮1 司舻尸习 絮1 ： q - 1 = 一南q ； x t p - t 降p = 音抑习降p 注意到， f ，0 ， ( w a w ) a d 、= q q “ l o0 j 1 6 吼o _l qq 胡1 叫 矿 o 。门叫叫 阿 o 陈。k。 _。l_。ll 印 r 习 驴 一”m一 1 川， r _ o ， 一l r o 护 巾 矿 r 一 叫叫骨。 一： 一 上咖土嘶形 第二章加w 权i 堕望! ! 三! 旦望垄墨堡塑圭堕廛旦一= 一 因此我们有， 0p，w 2 一而“z loo j 。 ：一扣丁，f 吲0 。0 pn 2 q 1 j 由上可知e 满足条件2 7 现在我们只需要验证( e ，) 满足。2 ( l i w e 彬q f p 、j 2 十 卢2 1 1 州；= 1 注意到， 则 。：a 。，w 。：尸f c 叭1 a 帆。一1 罱q 一1 。 o 【。( i i w e w ll 器) 2 + p 2 荡 ：圳q 瞄1 瑚陌1 岛q + 甭1 俐； 叫髻1 瓣 一1 7 1 。1 3 2 r 1 2 吩 第二章加w 权t f 3 d r a z i n 逆在条件数上的应用 因此我们有 f ，( a ，b ) ( e ，f ) = 一a a , t r 弭e w z + a d w ， = 夏1 切a 4i , v i t x t p - t ：0 - 1 1 面a 吐w 也 = 五1 ，a aw 缸x t p - t p - l x + - 高 l a d , w l l p 扣 = 高洲蚓懵。+ 南w 羽 = l a d 、w | p o 订i 1 l f ( a ，b ) ( e ，f ) l l p = 【 4 注意到a 2 ( ( r w e w l l 舌p ) 2 + 2 ( 1 f 1 1 = 1 我 由此得出结论 f ( a ，b ) l l , 芝i l a d ，w m 洲p q 訾+ 刍 们可以得出 。瓜订 州1 带+ 歹1 命题2 3 ：令定理2 2 中条件数e 的表达式的参数= l ，= i ，即a 和b 都受到 扰动若令。一o 。( 卢一o 。) ，则矩阵a ( 等式右端的b ) 不会发生