（计算数学专业论文）广义神经传播方程的特征有限体积元方法.pdf

摘要 本文借助特征方向方法的思想基于有限体积元的理论，引进两种特征有限体积 元方法。并运用这两种方法对一个二维的非线性双曲型方程进行数值逼近分析通 过使用分片二次试探函数空间和分片常数检验函数空间最后得出了两种效值格式 的收敛的阶在本文第二部分，我们给出一些符号及引理在第三部分中。采用单步 特征有限体积方法对该问题求解，然后给出的数值实验表明此方法是有效可行的 在第四部分。我们使用了多步特征有限体积元方法来求解该问题。最后。最重要的 一点是理论分析和效值结果同时都表明跟单步法相比。多步法确实提高了近似解 的精度 。 关键词非线性双曲型方程；特征有限体积元方法；多步法；误差估计；数值 实验 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h r o u g ht h ei d e ao fc h a r a c t e r i s t i cd i r e c t i o nm e t h o da n d t h e o r yo ff i n i t ev o l u m ee l e m e n t ，t w oc h a r a c t e r i s t i cf i n t ev o l u m ee l - e m e n tm e t h o d sa r ei n t r o d u c e da n da n a l y z e df o ra p p r o x i m a t i n gt h e s o l u t i o no fan o n l i n e a r - h y p e r b o l i ce q a t i o ni n2 - s p a c ev a r i a b l e s p i e c e - w i s eq u a d r a t i ct r i a lf u n c t i o n sa n dp i e c e w i s ec o n s t a n tt e s tf u n c t i o n sa r e u s e dt of i n a l l yo b t a i nt h ec o n v e r g e n c er a t eo ft w on u m e r i c a ls c h e m e s i ns e c t i o n2 ，w eg i v es o m en o t a t i o n sa n ds o m el e m m a s s e c t i o n3o f t h i st h e s i si st os l o v et h ep r o b l e mi ns i n g l e - s t e pc h a r a c t e r i s t i cf i n i t e v o l u m ee l e m e n tm e t h o d ，a n dan u m e r i c a le x p e r i m e n ti sg i v e nw h i c h s h o w e dt h em e t h o di sp r a c t i c a l s e c t i o n4i st ou s em u l t i - s t e pc h a r a c - t e r i s t i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o dt os o l v et h ep r o b l e m ，f i n a l l yi ti s i m p o r t a n tt h a tt h e o r e t i c a la n a l y s i sa sw e l la sn u m e r i c a lr e s u l t ss h o w s t h a tc o m p a r e dt os i n g l e - s t e pm e t h o d ，m u l t i - s t e pm e t h o di m p r o v et h e a c c u r a c y k e yw o r d s ：n o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q a t i o n ；c h a r a c t e r i s t i cf i n i t ev o l - u m ed e m e n tm e t h o d ；m u l t n s t e pm e t h o d ；e r r o re s t i m a t e ；n u m e r i c a l e x p e r i m e n t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d s ( f v m d ) w h i c hc a nb et e r m e d 柚t h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c e m e t h o d sp r o p o e e db yr o n g h t ml i a r ev i e w e d8 san e wn p p r o a d ao fn u m e r i c a ld t s e r e t i z , a - t i o nf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u n t i o n 1 - - 2 1 f c e mu i tv o l u m ei n t e g r a lf o r m u l a t i o no f t h ee q u a t i o nw i t h8f i n i t ep a r t i t i o n i n gs e to fv o l u m et od i s e m t et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i a e et h e i ro o n s t , r u c t i o n sa r e 画1 j 1 8 rt ot h eo ff l o l n ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sa n dt h e i r e o , n v e r g e n e ec 雠b ea n a l r l , e di nt h ef r a m e w o r ko f f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s f v e me n j o yn o t o n l yt h es i m p l i c i t yo fd i f f e r e n c em e t h o d sb u ta 1 8 0t h ea e e u r a e yo ff i n i t ee l e m e n t 8 m e a n - w h i l e t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d sm a i n t a i nt b em 站o re n e r g yc o n s e r v a t i o nl a w c o n s e q u e n t l yt h e yh a v eb e e nw i d e l yu s e di nm e 1 a yp r a c t i c a lc o m p u t a t i o n sa n de x t e n s i v e l y s t u d i e di nt h e o r y o nt h eo t h e rl u m d i nm a n yc 8 8 ed i s c r e t es c h e m ed e r i v e di nt e r m so f f i n i t ev o t t m ee l e m e n tm e t h o d si sa s y m m e t r i c i tb r i n g s1 1 1 8m a n yd i t 丑e u l t i e si nb o t ht h e o - r e t i e a lr e s e 缸e ha n dr e a l i s t i cc o m p u t a t i o n s i tj 8t u m a l l ) , n 酗翻8 踟了f o ru 8t os e e kf o rf l o l l l q s u i t a b l et e c h n i q u et h a tc t r a n s f o r mt h ea s y m m e t r i cs e l a e _ l j ei n t os y m m e t r i co n e t h e z e a m a n , r e s u l t sa b o u tf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d sf o re l l i p t i cp r o b l e m sa n dp a r a b o l i c p r o b l e m s f 删 i nt h ep r o e e a 8o fn d v ee o n d u e t i o m a 。n c o n d u c t i o n8 i 毋“oa n di t sv a r i a b i l i t yw i t h r e s p e c tt ot i l 3 1 ea n ds p a c ec mb ed a a r a e t e r i z e dt h et w o - d i m e n s i o n a ll u d o h y p e r b o l i e e q u a t i o n 【6 】i n m a t h e m a t i c s i t i s 8 c l a s s o f i m p o r t a n t n o n l i n e a r e v o l u t i o n e q u a t i o n o f m u c h e t t r r e n t i n t e r e s t t h e a e a r e f l o r a e r e s t d t 8 a b o u t t h e e q u a t i o n s f 瑚，1 9 2 q s i n c e g e n e r a l i z e d n e r v ee o n d u e t i o r e q u a t i o n sc md e r i b el o t so fp h y s i c a lp h e n o m e n o n sa n dp o s s e s t r o n g p h y s i c a lb a d 【g r o t m d ，t h u si t i 8i r n p o n a , l t l tf o rt i f ft od e v e l o pt h es t u d i e sa c r o * t h e - b o a r d a n dd e e p l ye i t h 口f r o mt h et h e o r e t i c a lp o i n to fv i e w f r o mt h en m e r i e a la n a l y s i sa n d p r a e t i c , 8 1p o i n to fv i e w i nt h ep r e s e n tp a p e r 。t h eg e n e r a l i z e di l e a c o n d u c t i o ne q u a t i o ni sr e g a r d e da 8am o d e l p r o b l e mm a de l a a r a c 僦i s t i ed i r e c t i o nm e t h o dj sa p p l i e dt o 捌w i t ho n e - o r d e rh y p e r b o l i c p a r to ft h ee q u a t i o ni nt h ep r o e e a so fs e l a e g a l ee o n s t r u e l ；i o n s i n c et i fi sa l s o i m p o r t a n t n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y 2 p h y s i c a lp a r a m e t e ri np r a c t i c e ，t h ef o l l o w i n gt w om e t h o d sa v o i da r i s i n gt w ot i m e se r r o r b yu s i n gt h ec o l n l n o nc h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o dt oa p p r o x i m a t e a tf i r s t ，t h e nt o a p p r c m m a t e 饥，e n dt h ee r r o re s t i m a t eo fq ti so b t a i n e da tt h es a l et i m e w ea l ec o n c e r n e dw i t hn u m e r i c a la p p r a x i m a t i o nt ot h ef o l l o w i n gt w o - d i m e n s i o n a lg e n - e r a j j 7 碥dn 自r v ec o n d u c t i o ne q u a t i o n ： 毗t + 6 ( 毛嘶) v 铆一撕一x u = ，( t ) 蛳一9 ( ) ，n ，t j ( 1 1 1 ) 塞；鬻_ o 善蛳- ， ( 1 1 2 ) u ( 霉，0 ) = u 0 ( o ) t t p ，0 ) = w o ( x ) 霉n ( 1 1 3 ) w h a r en = 【o 1 】2 ，j = f o ，司。a nd e n o t e st h eb o u n d a r yo fn ，b ( x ，u ，m ) = b l p ，缸，m ) ， 6 2 p ，饥t 1 ) ) ，u 0a n d 缸协8 a s s u m e dt ob ee n o u g hs m o o t hf u n c t i o n s w em a k et h ef o l l o w i n gp h y s i c a la s s u m p t i o n ： ( i ) ，( 。) ，g ( t ) a n d 如 ，巩1 ) 0 = 1 ，2 ) a r eb o u n d e d ，a n dg o c o n t i n u o n s 丽t hr e s p e c tt o8 a n d l r e s p e c t i v e l y w e g i v e t h e d e f i u i t i o n o f c - c o n t i n u o u s f u n c t i o n f ( 8 ) ：v t t h e n i8 l 一8 2i s ， t h e r ee x i s t sap o s i t i v ec o n s t a n tl ，s u c ht h a tif ( 0 1 ) 一f ( 8 2 ) l sl i8 l 一却i ( i i ) t h o s el e t t e r sc ，q ，岛e n d 伤w i l lb eg e n e r i cp o s i t i v ec o n s t a n t sa n dm a yb e d i f f e r e n te a c ht i m et h e ya l eu s e d ，a n d 知w i l l 柚a r b i t r a r i l ys m a l lp o s i t i v ec o n s t e n t t h er e s to ft h i sp a p e ri s o r g a n i z e d 鹪f o l l o w i n g ：i ns e c t i o n2 w ei n t r o d u c e8 0 l n e n o t a t i o n sa n dg i v e8 0 m el e m m n s i ns e c t i o n3 w eu as i n g l e - s t e pc h a r a c t e r i s t i cf v e m t os l o v e ( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) ，t h e nt h ee l t o re s t i m a t e sa 弛o b t a i n e d n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r e f i n a l l yc a r r i e do u tt oo h 1 w et h ep e r f o r m a n c eo ft h ep r o p o s e ds c h e m e i ns e c t i o n4 p r e s e n t m u l t i - s t e p c h a r a c t e r i s t i c f i n t e v o l u m e e l e m e n t s c h e m e s a n d a n a l y z e t h e c o n v e r g e n c e r a t eo ft h ea l o g r i t h nt h ee m s i e n c yo ft h i s h 咖ei st e 8 t e db 8 0 m en u m e r i c a lr e s u l t s c h a p t e r 2 p r e l i m i n a r i e s 2 1s o m en o t a t i o n s l e tv = t ti n ( 1 1 1 ) i no r d e rt oc o n s t r u c tf i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e ，a d d e dq t ；t o t h eb o t hs i d e so f ( 1 1 1 ) t h e a ( 1 1 1 ) c a nb ew r i t t e na s 研+ 6 p ，v ) v v a v - - a u + u t = 日( m ) ，z f l , t j ( 2 1 - 1 ) t h ；可z n ，t j w h e r eh ( u ，v ) = ( “u ) + 1 ) v - g ( u ) t h ei n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o nm g i v e nb y 笔= 蒙= o ，。e 鼬，t j ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 缸，0 ) ；u o ( 刁， ( 毛0 ) = l 如0 ) ，茹q ( 2 1 4 ) a 上矗r 暑t i no 们凹t oa t t a i nv 町yh i 曲c u r 8 c ya n dl 瑚l a r g e rt i m e8 t e p 鹏a p p l y d m r 眦七e r i 8 t i cd i m c i ：i o nm e t h o dt od e a lw i t ho n e - 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p o s i t i o no f i sd e n o t e db y 弦，t h e i rd e t a i l e dc o n s t r u c t i o n ( s e ef i g u r e2 1 ) i s f o l l o w s ： o ) c o s t r u c t i o o fj 绲，s u p p o s et h a tp o m ( d e n o t e st h es e to ft h ev e r t e x e so fa l lt h e t r l a n g u l a re l e m s u t s ) ，岛fi sap o i n to np o 只s u c ht h a tp o 昂= 岛最，c o n n e c t 蛐o o 嘲i w l y 地t oo b t a i nap o l y g o n 赡s u r r o u n d i n gp o ；( i i ) c o n s t r u e t i o no f 礁，l e tm b em i d p o i n t o fac o l n n l o ns i d eo ft w oa d j a c e n tt r i a n g u l a re l e m e n t s ap o l y g o n 繇s u r r o u n d i n gm j s o b t a i n e db yc o n n e c t i n gs u c c e s s i v e l yp 2 a q o a q 2 q z 3 p m q l 2 q 1 q o l p 2 0 v q - h e r eq o ld e n o t e s t h em i d p o i n to f p 2 0 p 2 1 , o t h e rp o i n t s8 a l s os i m i l a r a l lt h ed u a le l e m e n t sc o n s t i t u t e t h ed u a ld e c o m p o s i t i o n 赋 p 3 p 1 p f i g u r e 2 1 ：l e f t ：p o r t i o n o f t r i a n g u l a t i o n s h a r i n g a c o m l n o n v e r t e x 岛a n d i t s c o n t r o l v o l u m e ；r i g h t ：p o r t i o no ft w oa d j a c e n tt r i a n g u l a re l e m e n t ss h a r i n gam i d p o i n to fa c o m m o ns i d ema n di t sc o n t r o lv o h u n e t h et r i a lf u n c t i o ns p a c eu i sc h o s ma st h el a g m n g i a nq u a d r a t i ce l e m e n ts p a c er e l a t e d t ot h ，t h ec o r r e s p o n d i n gb a s i sf u n c t i o na r et h ep i e c e w i a sq u a d r a t i cp o l y n o m i a l s t h et e s t f u n c t i o ns p a c ev i st a k e na st h ep i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o ns p a c eo n 霏 l e t 瓢：日1 ( o ) _ + u ，t h e nb yt h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r yo f e o b o l e vs p a c e s 【6 】，w eo b t a i n 0 口一，r h t i b s c 3 j0 uu 3 j 一0 。l ，2 ， h 3 ( 0 ) ( 2 1 5 ) w ed e f i n et h ei n t e r p o l a t i o no p e r a t o r 靠：u _ v b y 砣u = u h p ) x p + 锄x m pn ( 2 1 6 ) 5 w h e r ex pa n d ma r er e s p e c t i v e l yt a k e na st h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n g t o k ；a n d k 氯 d e f i n ea k ( u ， ) ，a k ( u ，虬 ) 8 8f o l l o w s ： 矾咖一。萎。m ) z e lv 牡础州帆) 厶v 缸，酬 ( 2 1 7 ) l 爿j 。 。脚 州刚川= 一) zv ( h 刊础+ ”( m r ) e , l = i v ( u 刊f i d 司 (218)j, k ，a w h e r e 加v ，扣，甜) 1 ( 耳) x 日1 ( 叼 s e ef i g u r e2 2 ，e l = 瓦丽，局= 瓦夏乐瓦厕丽百而vk 以w h e r e i + l - - - - j ， j + l f k ，k + l - - i ，ni st h eu n i to u t 盯n o r m a lv e c t o ro nt h eb o u n d a r y n o t et h a t 口扣加) = 口耳( t ) ，a ( “，饥 ) = a k ( u ，饥埘) kk p p l k m p k l b e f o r ep r e s e n t i n gt h r e ed i s 口e t e o 1 1 1 1 w ei n t r o d u c e 梳v e c t o r 8o nkr e l a t e dt o t 垠u ( ) o 耳= ( 蜥( r ) ， ( 弓) ，u h ( p k ) 。鲰( 佻) 。蛳( 啊) ，鲰( m ) ) t( 2 i 9 ) ) l 耳= o , h ( p i ) 一蛳) ，坝( 马) 一饥( 啊) ，- h ( 最) 一蛳如k ) ， 蛳( 驰) 一鲰( 啊) ，撕( 佻) 一u ( m k ) ) t ( 2 1 1 0 ) i l 鲰1 1 3 圹，i iu h1 1 b ，耳= 写磐) k 口) 吖 ( 2 1 1 1 ) kk 一 n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i w 6 “h = i 队= ( “ ) k ( u h ) l ，k ( 2 1 1 2 ) k n i l = l i 蛳l | 3 h + l u i b( 2 1 1 3 ) w h e r eb = ( 吣) 6 8i s8g i v e ns y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xi n 【1 2 】，m ( k ) d e n o t e s b mo ft r i a m g i l l a re l e m e n tk f i n a l l y , s e t t i n gt ；t n + l ，t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a lp r o b l e mf o r ( 2 1 1 ) a n d ( 2 1 2 ) i s ： w h e r e 吻f 妊 ( ( 仇) n + l + b ( x ，t ，l + l ，t - 冲1 ) v q i + l + ( t t ) n + 1 ，x ) + a ( + l ，t l ，) = ( 日( t i + l ，+ 1 ) ，x )( 2 1 1 4 ) 2 2s o m el e m m a s ( 沁) 。+ 1 ，x ) = ( t h + 1 ，x )( 2 1 1 5 ) l e m m a 2 2 1 u ，t h e r ee 2 i s t sp o s i t i t , ec o n s t a n t sc ia n d 句i n d e p e n d e n t 巧啊犯曲 矾耐 c l8 u h i i o , l l iu h i l o s q 锄l 鼬 c ii 蛳l l l in h h - 0 2 i 蛳l l c lh 蛳仉 0 锄0 0 s 晚蛳i f 仉 t , e m m a2 2 2 札 l l h ，舭僻曲妇o p o 础i v e 瑚t 帆t a ，础饥峨 a ( u h ，u ) d i “ 谨j i a ( u h ，丌五墅 ) 口l u h i i j i w h e r e 纵t j h ，w ei n t r o d u c e8 o n e - t o - o n eo p e r a t o rm a p p i n g 鲰t o 锄， f o ra n yt r i a n g u l a ：re l e m e n tk ，8r e l a t i o n s h i pb e t w e e n 鲰a n du ha l w a y sh o l d s ： d ( u h ) o ，d ；( 奶) 6 6i s8n o n - s i n g u l a rm a t r i xd e f i n e di n 【1 0 a n d 塑ha n d s a t i s f y ( p h ，靠鲰) 2 ；号磐( ) 五k b ( 鲰) o k f o rt h ep r o o fo ft h ea b o v et w ol e m m a , w ec a nr e f e rt of 1 1 】【l2 】 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) s u c ht h a t ( 鲰) o 一= ( i 1 h ) 7 t h e o r e m2 2 3 以 e 亡r n 饥驯肛爿q ，p et h a tq 妇ab o u n d e dr e g i o nw i t hol i p s c h i t z c o n t i n u o u sb o u n d a r y0 2 ，t h e nt h e r ee x i t snp o m t i v ec o n s t a n tcs u c ht h a t , ll i i “i l l 。) sci i “嵫n ) i i 缸唁- ( ，讹日1 ( n ) ( 2 2 2 1 ) l e m m a2 2 4 f a 4 讹h u l 坚 i l o s c8 “ 0 0 t j l 8 丌丛h i l o s c i l 蛳i i o 墅 | 1 i i s g i “ 1 1 ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) p r o o f ：u s i n gt h er e l a t i o no ft a n d 鲰，t h ei d e n t i t y ( 2 1 1 1 ) a n dt h ep o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i xb ，f i n a l l yw eb o t ho b t a i nap o s i t i v ed e f i n i t eq u a d r a t i cf o r mr e l a t e dt ot h ev e c t o r ( 蛳) o ，t h u s u h1 1 0 h i se q u i v a l e n tw i t hi 鲰i i 蚰，t h e r ee 。d s t s p o s i t i v ec o n s t a n tc ， s u c h t h a t8u _ h l k c l l i o h t h e nl 鲰i i o _ c0 鲰i l 呐，鲰i i o sc 0 撕i i o t h ed e s i r e dr e s u l tf o l l o w sf r o m t h et w oi n e q u a l i t y , t h i sc o m p l e t e bt h ep r o o fo f ( 2 2 2 3 ) b yt h ee l l i p t i cc o n d i t i o n ( 2 2 1 9 ) ，t h e r ee x i s t sap o s i t i v ec o n s t a n tm ，s u c ht h a t i 勘队i r 壶咄，w 涵) = 淼，) k g ) 1 。 w h e r eg = ( b ) 5 x 5a n di sam a t r i xd e f i n e di n1 1 2 l ，l 】a o r e o v e ri 岣l b m ( j f ) l e tb b eaf i x e dp o s i t i v ec o n s t a n t c l e a r l yw el l s eh o l d 盯i n e q u a l i t yt oo b t a i n 鬲再m 两u 儿t 耳g ) 1 k ci u hi l k i ! 组i l b yt h ea b o v et w oe s t i m a t e ，i ti 8a ne a s ym a t t e rt od e d u c et h a ti 彗 i l ， k sg it l l ，j 1 k ， t h i sc o m p l e t e st h ep r o o fo f ( 2 2 2 4 ) l e m m a2 2 5v u h ，y j h ，! ! j let j h a 心奶靠期) 一a ( 椎，埘，靠鲰) 拯c ( 2 i i q i i s + i “一1 1 ) i l l - 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