（计算数学专业论文）大挠度板功的互等定理及其应用.pdf

摘要 摘要 本论文主要是研究有限变形体的混合变量变分原理和功的互等定理的 应用问题。具体来说，即是应用大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理、 大挠度弯曲薄板功的互等定理来求解一些具有不同边界约束条件的大挠度 梁、板弯曲的挠曲方程，并在每类实例之后，进行了算法分析。从而形成 了用有限变形功的互等定理和混合变量变分原理解题的初步方法。 本论文的内容主要分为三类。 ( 1 ) 基本理论：第2 章，介绍了直角笛卡儿坐标系有限变形体的基本方 程和混合变量的变分原理；第3 章，介绍大挠度弯益直梁的基本方程和大 挠度弯曲直梁混合变量的最小势能原理；第4 章，介绍了直角笛卡儿坐标 系有限变形弹性力学的基本方程和两类有限变形体功的互等定理；第5 章， 介绍了大挠度薄板的基本理论和相应的两类大挠度薄板的功的互等定理。 ( 2 ) 实例求解：第3 章中，应用大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理 求解几个具有不同边界约束的大挠度柱面弯曲板条的挠曲线方程；第5 章 中，应用大挠度薄板的第二类功的互等定理求解几个具有不同边界条件的 大挠度矩形板的挠曲面方程。本文在对实例的分析过程中，给出了一系列 的数表和图表，用来显示求解的结果，并且与经典结果或本文用a n s y s 求 解的结果进行了比较。 ( 3 ) 算法分析：本文在每类问题求解之后，都对所采用的算法做了详细 的分析，旨在形成对定理应用的初步方法。 关键词混合变量最小势能原理；有限变形；非线性；功的互等定理；大挠 度弯曲直梁；大挠度柱面弯曲板条；大挠度弯曲薄板 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rp r i m a r i l yw es t u d yt h ea p p l i c a t i o n so fv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e w i t hm i x e dv a r i a b l e sa n d r e c i p r o c a lt h e o r e m sa b o u td e f o r m e db o d i e sw i t h f i n i t e d i s p l a c e m e n t s c o n c r e t e l y 、a c c o r d i n gt o t h ep r i n c i p l eo fm i n i m u m p o t e n t i a le n e r g yw i t hm i x e dv a r i a b l e s ，r e c i p r o c a lt h e o r e m sa b o u tb e n d i n go f b e a m sa n dp l a t e sw i t hl a r g ed e f l e c t i o n s ，w ec a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n t e q u a t i o n so fs o m eb e a m sa n dp l a t e s b e n d i n g ，m e a n w h i l e ，a r e re v e r yc a t e g o r y o fe x a m p l e s ，w ea n a l y s et h ea l g o r i t h m sa d o p t e da n da sar e s u l to fi t ， p r e l i m i n a r ym e t h o d so fa p p l y i n gr e c i p r o c a lt h e o r e m sa n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e w i t hm i x e dv a r i a b l e sa r ef o r m e d t h i sp a p e rc a l lb ed e v i d e di n t ot h r e ec a t e g o r i e s t h ef i r s to n e ，i nc h a p t e r2 ，w eb r i e ft h eb a s i cf o u r m u l a si nr i g h ta n g l e c o o r d i n a t ea n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t hm i x e dv a r i a b l e sf o rd e f o r m e db o d i e s w i t hf m i t ed i s p l a c e m e n t s i nc h a p t e r3 ，t h eb a s i cf o r m u l a sa n dt h ep r i n c i p l eo f m i n i m u mp o t e n t i a le n e r g yw i t hm i x e dv a r i a b l e sa b o u tb e a m sw i t hl a r g e d e f e c t i o na r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i cf o u r m u l a so f e l a s t i cm e c h a n i c si nr i g h ta n g l ec o o r d i n a t ea n dt w ok i n d so fr e c i p r o c a l t h e o r e m sf o rd e f o r m e db o d i e s i nc h a p t e r5 ，t w ok i n d so fr e c i p r o c a lt h e o r e m s a b o u tp l a t e sw i t hl a r g ed e f e c t i o na r ed e r i v e d t h es e c o n do n e ，i nc h a p t e r3 ，a c c o r d i n g 协t h ep r i n c i p l eo fm i n i m u m p o t e n t i a le n e r g yw i t hm i x e dv a r i a b l e sa b o u tb e a m s ，w ec a l c u l a t et h ed e f l e c t i o n e q u a t i o n so fc y l i n d e r c a lb e n d i n go fs o m ei n f i n i t e l e n t hr e c t a n g u l a rp l a t e sw i t h l a r g ed e f l e c t i o n si nd i f f e r e n tl i m i tc o n d i t i o n s i nc h a p t e r5 ，a p p l y i n gt h es e c o n d k i n do f r e c i p r o c a lt h e o r e m sa b o u tp l a t e s ，w ew o r ko u tt h ed e f l e c t i o ne q u a t i o n s o fb e n d i n go fs o m er e c t a n g u l a rp l a t e sw i t hl a r g ed e f l e c t i o n si nd i f f e r e n te d g e c o n d i t i o n s d u r i n gt h ea n a l y s eo f t h e s ee x a m p l e s ，al o to f t a b l e sa n dg r a p h sa r e d i s p l a y e dt oi l l u s t r a t et h er e s u l t sw o r k e do u ta n d t a k eac o n t r a s tw i t ht r a d i t i o n a l r e s u k so rt h o s ef r o ma n s y s a b s t r a c t t h et h i r do n e ，a f t e re v e r yt y p eo fc a l c u l a t i o n s ，w ea n a l y s et h ea l g o r i t h m s a d o p t e d i no r d e rt of o r map r e l i m i n a r ym e t h o do fa p p l y i n gt h et h e o r e m s k e y w o r d sf m i t ed i s p l a c e m e n t s ；n o n l i n e a r ；r e c i p r o c a lt h e o r e m ；b e a m w i t hl a r g e d e f l e c t i o n s ；i n f i n i t e l e n t hr e c t a n g u l a rp l a t ew i t hc y l i n d e r c a lb e n d i n g o fl a r g ed e f l e c t i o n s ；t h i np l a t ew i t hl a r g ed e f l e c t i o n s 1 1 1 第1 章绪论 第1 章绪论 利用能量原理和变分法是求解弹塑性力学问题的一种比较有效的途 径。功的互等定理和混合变量的变分原理是能量原理中两个重要的组成部 分。 1 1 功的互等定理理论的产生与发展 l ，1 ，l 功的互等定理的经典命题 功的互等定理最早是于1 8 7 2 年由贝蒂( b e t t ，e ) i l l 提出的，功的互等定理 的贝蒂命题为：作用于一弹性体的第一组力( 包括反力和惯性力) 在第二组力 相应位移上所做的功等于作用于同一弹性体的第二组力( 包括反力和惯性力) 在第一组力相应位移上所做的功。根据这一命题，功的互等定理有简单的 和常见的应用，由图1 - 1 ( a ) 和图1 - 1 ( b ) 所示。 y k 汐k o ，故有 1 - 1 。( “，+ ；) n 。( “，) ( 2 - 2 4 ) 即在真实状态下，混合总势能。取极小值。 翌：薹 塑! 垦变翌竺堡垒銮量塑翌坌垦垄 2 5 有限变形体混合变量驻值余能原理 据有限变形体己知边界力变化的余能原理，则有 删酬+ 知隅卜j l 嗡d s + j i u , , 5 f i ，d s ( 2 - 2 5 ) 据外表面功零变分原理式( 2 9 b ) ，式( 2 2 5 ) 可以写成 f f f 占l b ) + 圭肌尸。p y = h _ 印，d s h 万, s u ，d s ( 2 - 2 6 ) 据式( 2 2 6 ) ，可有 。= f f f i 曰p ) + j 1 舣尸。p i ，一旺瓦p ，d s + 眨歹鸬d s ( 2 - 2 7 ) 式( 2 2 7 ) 称为有限变形体混合变量余能原理的总余能或简称为混合总 余能。 定义只满足平衡方程式，而无需满足静力边界条件的应力为弱容许应 力，位移为平衡弱容许位移。总余能式( 2 2 7 ) 只要求应力是弱容许的，位 移为平衡弱容许。 对总余能式( 2 2 7 ) 9 ro - 。和“，的变分极值，则有 6 1 - i 。= 小占lb p ) + j 1 麒尸。 矿一珏甄印，d s + 遁曩融，d s = o ( 2 - 2 8 ) 由于已预先满足平衡方程，故有 j j iu f i ( 6 一盯川，d v = 0 ( 2 - 2 9 ) 故式( 2 - 2 6 ) 也可以写成 6 1 7 舢= f f c 6 卜) + 扣 hf f c u f i ( 以) ，d 矿一 i i 甄6 p f l s 七蜘8 h 。d s ( 2 - 3 0 ) 对式( 2 2 8 ) q b 问段第一项进行变分运算，则得 燕山大学理学硕十学位论文 i 占掣1 卜f f i 牌 胁声0 + ( y o u 。t 占u k j 矿 ( 2 3 1 ) 而对式佗一2 8 ) q b 问段第二项进行变分运算，则得 m 虬6 ( 颤+ ，d v = m 【( 6 。+ 。d v m 8 ( g + u , d c r 自h d 矿= 皿吨堋l 栅啦) l q d s i f c h 占虬，。+ ( ，+ u i k l l j ) 氓 再对式( 2 3 0 ) 右端体积分中的应力和位移分量进行脚标的替换，则有 f f c 坼6 i ( g + u , d ，d 矿2 眶鸭8 p f l s + i t u r s p ，d s f 2 3 2 ) f f c ( o r 双，s u k , , 地氓m ，峨) d v ( 2 - 3 3 ) 应用内表面功零变分原理式( 2 1 0 ) 于上式，则得 m “，占 ( 6 i k + u 。, k ) t y # ，d v = 疆u f i p ，d s + f c ，( 占一“) n f i 虬d s m ( 掣”6 u k a + i d k , i “k , j 曲s j + u i , 衍f ) d v 将式( 2 2 9 ) 和式( 2 - 3 2 ) 代入式( 2 2 8 ) 中，则得 m w = 皿l 掣一圭c 枷”+ - ，p ”+ f 【( 旷e ) 6 p , d s j i 。i ( g + u , d c r 鹕一两m d s = 0 掣一弘1 ，岷户o 矿 i i ，一玩= 0 x 。s p ( 6 m + d i , k ) 仃自n j 一芦；= 0 x ，s 。 r 2 3 4 ) f 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) r 2 - 3 7 ) f 2 3 8 ) 第2 章有限变形体混合变量的变分原理 2 6 本章小结 本章介绍了直角笛卡儿坐标系中有限变形体的基本方程，给出了混合 变量的变分原理，为后面章节应用混合变量的最小势能原理求解大挠度粱 的挠曲线方程奠定了理论基础。 燕山大学理学硕士学位论文 第3 章应用大挠度弯曲直梁混合变量最小势能 原理求解板条的挠曲方程 在上一章，我们介绍了有限变形混合变量的变分原理，运用类似的推 导方法于大挠度弯曲直粱，将得到相应的大挠度弯曲直梁的混合变量的变 分原理。本章即是给出大挠度弯曲直梁的混合变量变分原理及其推导过程， 并通过几个实例对其进行初步的应用。在这之前我们先来介绍一下直角坐 标系中大挠度弯曲直梁的基本方程。 3 1 大挠度弯曲直梁的基本方程 粱在一定载荷作用下产生大挠度，同时产生轴向力。这时应考虑轴向 力对弯曲平衡方程的影响，也应考虑挠度对轴向应变的影响。因此，轴向 应变及梁的弯曲平衡方程对于挠度来说都是非线性的。这种由大挠度引起 梁的非线性问题称为梁的几何非线性问题。 首先考虑几何方程。 大挠度弯曲直梁的轴向应变可表示为 s = s 。+ s 。 其中s 。为轴向位移对轴同匝燹的页献，有s 。 向应变的贡献，有 西一出1 f 咖1 。 2 f 5 互i 瓦j 于是有 幽1r 咖丫 s 祟+ 一i l 出2 id x 而粱的弯曲曲率为 ( 3 - 1 ) = _ d u 。而。为大挠度对轴 丘x ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 第3 章应用大挠度弯蓝直粱混台变量最小势能原理求解板条的挠蓝方程 一纠开 仔。， 对于，j 、应变，1 - 7 l ，且去和2 是同量级的，因此，梁的盐率 可近似地表示为 z ：一型娑 ( 3 5 ) 其次，考虑大挠度弯曲直梁的平衡方程和本构关系 或为 = 丢( 尝) 枷 b ， 由于大挠度梁也为单向受力，因此有 n = e a e ，m = e j z 等效切力为 y ：坐+ 一d m 出矗x 再次，大挠度弯曲直梁的边界条件分别为 对于可轴向移动的简支端，有 w mn0 对于固定端，有 ( 3 - 8 ) ( 3 9 ) ( 3 - 1 0 ) 石 0 坐出 d 一出 警争 w 一4 o 一出 一一 彤 科一办 燕山大学理学硕士学位论文 “：w ：竺：0 出 对于自由端，有 n = n ，m = m ，v = v 最后我们给出支座对轴向位移限制的具体表达式。据式( 3 - 3 ) 瓦d u 一文翁 出 2l 出j ( 3 - 1 1 ) f 3 1 2 ) 有 ( 3 - 1 3 ) 对式( 3 1 3 ) n n g g 行定积分，则有 j ：挚= 肛一髓。出 p 进一步则有 ”h ：e a 一o2t , 坐d x j k ) 对于两支座没有相对轴向位移的情况，有“t = o ，于是式( 3 1 5 ) 成为 面n l = 坝翁由 ( 3 - 1 6 ) 面一jo j i i j “ p 7 3 2 大挠度弯曲直梁混合变量的最小势能原理 根据已知边界位移变化的势能原理和外边界位移余功零变分原理，可 得如图3 - 1 所示大挠度弯曲直梁的混合总势能为： 图3 - 1 大挠度势能原理直梁 f 培3 - 1p r i n c i p l eo f p o t e n t i a le n e r g yf o rl a r g ed e f e c t i o nb e a m s 第3 章应用大挠度弯曲直梁混合变量晟小势能原理求解板条的挠曲方程 丌，= f 。一g w 皿一甄( 害 。+ 巧w 一两“，+ 面t - 咖z - 、j , - _ 0 一瓦j v 。 ( 3 一1 7 ) 式( 3 - 1 7 ) 只要求位移满足应变一位移关系，而不要求满足位移边界条 件，即要求位移是弱容许的，而内边界力是协调弱容许的。 对混合总势能式( 3 - 1 7 ) 取位移w 和u 及边界力m l ，v o 和n o 的变分极 值，根据内边界位移余功零变分原理和变分法基本预备定理，则得欧拉方 程和自然边界条件分别为 彤一( 等卜。 p dn-：0(3-19) 彤譬 。+ 砜= 。 仔z 。， h 针( 劫辱。 仔z ， m 一面= 0( 3 2 2 ) ( 尝 ，一( 罢) ，= 。 p ：s ， w o 一_ 0 = 0 ( 3 - 2 4 ) 3 3大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理的应用 本节应用大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理来求解几个均布载荷 作用下具有不同边界条件的大挠度柱面弯曲板条的挠曲面方程和弯矩方 程。 3 3 1 两端简支板条的求解 考虑一均载两端简支柱面弯曲直梁，该直梁示于图3 - 2 。 根据( 3 1 7 ) 式，与图3 - 2 相对应大挠度弯曲直梁的混合总势能为： 燕山大学理学硕士学位论文 设 n ，= f 阻窘) 2 + 等一卜 隆：s ， 图3 - 2 大挠度简支固定粱 f i g 3 - 2s i m p l ys u p p o r t e db e a n a sw i t hl a r g ed e f e c t i o n w ( x ) = a m s i n a ，x 由边界条精尝= i 1 ( 7 ) 2 出硎可得 f 3 2 6 ) ：等郴2 。2 ( 3 - 2 7 ) 13 将式( 3 2 6 ) 和式( 3 2 7 ) 代八瓦( 3 2 5 ) ，则j 得： = 等煮鬈a ：十上2 e f 兰1 竺6 ( 耋2j 一2 a r e 妻= l , 3 生a m = 等蠢名4 + 等 砉鬈a 。2 。a 砉鲁 c s - z s ， 对上式取a 。的变分极值 6 f i 。：e _ d 妻口：以翻。+ 譬宝正a ：妻如口：耐。一2 9 妻争= o 二 m = l3 o m z l 3m t l 。3 m 1 3 m ( 3 2 9 ) 于是有： 喜_ ： 翻。+ 毛姜筏“。姜以a 。翩。一面4 q 舄亏- , 6 a a ，= 2 22 0 2 t m 。= 。( s - 3 0 ) 1 m = l3m = l3 a ： 翻。+ 去一。“。爿。a 。翩。一i 珏掣，。一o ( 3 】，i = l 3j ， “m 2 1 ，3 “m 2 0 第3 章应片j 大挠度弯衄直粱混合变量最小势能原理求解扳条的挠曲方程 警3：删，+巧f盏亏-a2：喜厶a：翻，一删4q1313篇3 “。= 。 ( 3 - 3 1 ) m = l ，3j 口k ， m = m = 1u “ 则有： ”壶毫叫2 ，2 一面4 q = 。 ( 3 - s z ) 其中i = 1 ，3 。 对于弯曲板条，只需把梁的抗弯刚度e j 代以板的抗弯刚度d 即可，而 。2 瓦尚。本章所有算例计算的参数见表3 1 。 表3 - 1 计算参数 1 _ b l e3 - 1p a r a m e t e r so f c a l c u l a t i o n 参量 板条长，板条高h均载强度q杨氏模量 泊松比v 数值1 3 0 0 r a m1 2 r a m 0 1 4 m p a2 1 0 0 0 0 m p a 0 3 表3 - 2 挠度与弯矩分布 t 曲l e3 2d i s r r i b u t i o no f d e f l e c t i o n sa n dd i s t o r a t i o n s x 坐标 文献【2 4 的挠度 本文的挠度 文献1 2 4 1 的弯矩值 本文的弯矩 ( m m )( m m )( m m )( m n m m )( m n m m ) 00000 5 02 4 2 22 4 9 29 0 8 9 49 0 8 0 0 1 0 04 7 7 74 8 1 81 5 6 3 4 71 5 6 4 2 0 1 5 07 0 1 67 0 2 6 2 0 3 4 6 8 2 0 3 4 9 0 2 0 0 9 1 0 39 1 7 62 3 7 3 7 62 3 7 4 2 0 2 5 0 1 1 0 1 l1 10 4 2 2 6 1 7 5 52 6 1 8 2 0 3 0 01 2 7 2 31 2 8 0 72 7 9 2 5 32 7 9 3 0 0 3 5 01 4 2 2 61 4 2 5 82 9 1 7 7 12 9 1 & 8 0 4 0 01 5 5 0 91 55 8 23 0 0 6 6 83 0 0 7 1 0 4 5 01 6 5 6 61 6 5 7 33 0 6 9 1 l3 0 6 9 ，3 0 5 0 01 7 3 9 21 7 4 2 53 1 1 1 7 8 3 1 1 2 2 0 燕山入学理学硕七学位论文 续表3 - 2 x 坐标 文献【2 4 】的挠度 本文的挠度 文献1 2 4 j 的弯矩值 本文的弯矩 ( r a m )( m m )( m m )( m n m m )( m n m m ) 5 5 01 7 9 8 41 80 3 73 1 3 9 3 33 1 3 99 0 6 0 01 8 3 4 01 8 4 0 5 3 1 5 4 7 4 3 1 5 4 9 0 6 5 01 8 4 5 91 8 5 2 93 1 5 97 03 1 6 e 3 0 图3 - 3 挠度分布 f i g 3 - 3 d i s t r i b u t i o no fd e f l e c t i o n s 图3 4 弯矩分布 f i g 3 - 4 d i s t r i b u t i o no f d i s t o r a t i o n s 第3 章应用大挠度弯曲直梁混台变量最小势能原理求解极条的挠曲方程 本例求得的简支板条挠度和弯矩沿轴向的分布列于表3 2 。与表3 2 相 对应的挠度图、弯矩图分别置于图3 - 3 、图3 4 。 3 3 ，2 两端固定板条的求解 考虑一均载两端固定柱面弯曲直梁，该直梁示于图3 - 5 ( a ) ，用m 。代替两 固定端的弯啦约束，则得图3 - 5 ( b ) 所示实际系统。 根据( 3 1 7 ) 式，与图3 - 7 ( a ) 和图3 - 7 ( b ) 相对应的大挠度两端固定弯曲直 梁的总势能为 q 产工口毛 h 一l 1 图3 - 5 大挠度固支梁 f i g 3 - 5 f i x e db e a m sw i t hl a r g ed e f e c t i o n 兀，= 陪e ，( 窘 2 + 等一a w 卜一甄( 警 。+ 甄( 警l c 。书， 设 w o ) ：艺以s i n a 。x ( 3 - 3 4 ) 由边界条件有：面n = ( 丢( 警 2 出，则可得 ；_ e f 芝4 ：a ： ( 3 - 3 5 ) 4 詹”“ 将式( 3 3 4 ) 和式( 3 - 3 5 ) 代入式( 3 - 3 3 ) ，则可得： 兀，= 等争+ 等( 爹弼2 砌蠢妾一：甄m 妻= l , 3 a 以p s s ， 当m = 1 ，3 ，4 9 时，则式( 3 3 6 ) 变为 燕山大学理学硕士学位论文 n ，= 等耄彳? g 卜- e ，f ：t 。( 笥争爿强f 2 ) 2 一z 穿耄鲁一：砜茎a ，t e s 却， 5 f l ” 等挚例十e f ik 。a 2 2 萎4 9 啪s 妒 z a 薹等一：风羹伉，d 4 = 。 f 3 3 8 ) 舢古( 窘4 9 序、a 面4 q 一盟f a t a ，, = 。 ( 3 - s 。) 其中i = l ，3 ，4 9 。 若为线性问题，则有： 妒丽4 q + 器( i = l , 3 , - - , 4 9 e y l a ) 1 蹦伍： 又- 西) = 耄a ，s i n a , x 且( 孰。= 0 又西) = ，s 且i 警】= - l ，3i ：0 “- - = 一l ( 鲡4 9 l h 、萎专 t a b l e3 ，3 d i s 仃i b u t i o no f d e f l e c t i o n sa n dd i s t o r a t i o n s x 坐标 文献 2 4 1 的挠度解 本文的挠度解 文献 2 4 1 的弯矩值 本文的弯矩值 ( 1 r a n )( n l m )( m i l l )( m n m m )( m n m m ) 00 01 2 4 2 21 3 2 8 3 5 00 3 4 502 7 78 4 1 37 8 8 0 1 0 01 ，3 4 71 2 4 3- 5 3 1 9- 5 3 0 5 1 5 02 ，7 7 12 6 5 8- 2 9 3 3- 3 0 3 8 2 0 04 4 3 24 3 3 0】0 9 4一1 2 2 1 2 5 06 ，18 76 1 1 23 1 92 0 3 3 0 07 9 2 67 8 8 81 4 0 2 1 3 0 7 第3 章应h j 人挠度弯曲直粱混合变量最小势能原理求解扳条的挠曲方程 续表3 3 x 坐标 文献1 2 4 1 的挠度解 本文的挠度解 文献【2 4 】的弯矩值 本文的弯矩值 ( m m )( r )l m m j( m n m m )( m n m m ) 0 00- 1 2 4 2 21 3 2 8 3 5 00 3 4 50 2 7 7 - 8 4 1 37 8 8 0 1 0 0l3 4 7 12 4 35 3 1 95 3 0 5 1 5 0 2 7 7 l2 6 5 82 9 3 33 0 3 8 2 0 0 44 3 24 3 3 0一1 0 9 41 2 2 l 2 5 06 1 8 7 6 1 1 23 1 92 0 3 3 0 079 2 678 8 81 4 0 2 1 3 0 7 3 5 09 5 6 69 5 6 92 2 2 6 2 1 5 4 4 0 01 1 0 4 3 1 1 0 8 72 8 4 72 7 9 6 4 5 01 2 3 0 81 2 3 9 13 3 0 7 3 2 7 3 5 0 0 1 3 3 2 51 3 4 4 03 6 3 7 3 6 1 5 5 5 01 4 0 6 8 1 4 2 0 93 8 5 73 8 4 5 6 0 01 4 5 2 11 4 6 7 73 9 8 4 3 9 7 7 6 5 01 4 6 7 21 4 8 3 44 0 2 54 0 2 0 图3 - 6 挠度分布 f i g 3 - 6 d i s t r i b u t i o n o fd e f l e c t i o n s 2 5 燕山大学理学硕士学位论文 图3 7 弯矩分布 f i g 3 - 7 d i s t r i b u t i o no f d i s t o r a t i o n s 本例求得的两端固定板条挠度和弯矩沿轴向的分布列于表3 3 。与表 3 3 相对应的挠度图、弯矩图分别置于图3 6 、图3 7 。 3 3 3 一端固定一端简支板条的求解 考虑一均载一端固定一端简支柱面弯曲直梁，该直梁示于图3 - 8 ( a ) ，用 m 。代替固定端的弯曲约束，则得图3 - 8 c o ) 所示直梁。 q j 产 ( a )( b ) 图3 - 8 一端固定一端简支梁 f i g 3 - 8 o n ee d g ef i x e da n dt h eo t h e rs i m p l ys u p p o r t e db e a m s 根据( 3 1 7 ) 式，与图3 - 8 相对应的大挠度一端简支一端固定弯曲直梁的 总势能为 第3 章应崩大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理求解板条的挠曲方稃 设 ( m 爿+ 嘉叫，卜一矾( 孰 p 4 。， w ( x ) = 4 ，s i n a 。x 由边界条件有：面n = 2 t , 坐d x ) 2 出，婀得 ：等宝a 2 a 。2 - r = 13 将式( 3 4 1 ) 和式( 3 4 2 ) 代入式( 3 - 4 0 ) ，则可得： ( 3 4 1 ) r 3 - 4 2 ) 兀，= 等莹弑+ 等 蕾缄 2 _ 2 9 罄一甄m 妻，l , 2 叫“奶， 当m = 1 ，2 ，5 0 时，则式( 3 - 4 3 ) 变为 等薹彳；a ? + 等( 差爿? a ? ：g 蓑毒一z 甄差a ，4 c s 埘， 6 兀，：_ e j - 5 0a ? 4 占4 + t e f l ：乙5 04 2 “? 量a ：1 6 a 一 二 i = 1 2 o j t l 2i = 1 2 所以有 z 9 塞等一z 凰差a ，6 4 = 。 ”岳睁4 馋一捌a 一器= 。 若为线性问题，则有 = 划e j ag + 啬?1 最刀a ? 其中i = l ，2 ，5 0 又w 阱丕5 0a ，s i n a , x 且= 0 x - - 0 又w g ) = ，s 且【等i = ，z l2o “+ ( 3 - 4 5 ) f 3 4 6 ) 燕山大学理学硕士学位论文 甄= 弋( 系5 0 习1 ( 善5 0i 1 + 。 表3 4 挠度与弯矩分布 t a b l e3 4d i s t r i b m i o no f d e f l e c t i o n st o l dd i s t o r a t i o m x 坐标 a n s y s 的挠度 本文的挠度 a n s y s 的弯矩值 本文的弯矩 ( m m )( m m )( m i l l )( m m t r i m )( m n m m ) 0o0- 1 3 0 4 3 9j1 2 8 0 21 3 5 00 4 7 20 5 1 38 6 3 7 2 97 2 9 7 。2 4 1 0 0 1 5 1 31 6 7 1 5 4 2 6 8 8- 4 7 2 3 1 7 1 5 03 0 1 33 2 3 43 0 3 2 “2 5 6 8 1 9 2 0 04 7 4 35 0 2 3 1 2 3 05 8- 9 1 5 5 8 2 5 06 ，5 6 769 0 1 1 1 1 7 3 3 2 8 2 6 3 0 08 3 8 68 7 6 91 1 0 2 1 71 2 5 7 2 7 3 5 01 0 1 2 51 0 5 5 21 8 2 7 1 71 9 4 7 ，5 4 4 0 01 1 7 2 71 2 1 9 32 3 5 8 4 72 4 5 6 0 6 4 5 01 3 1 5 21 36 5 l 2 7 5 2 1 62 8 3 1 o l 5 0 01 4 3 7 l1 4 8 9 7 3 0 4 6 5 73 1 0 5 1 2 5 5 01 5 3 6 11 5 9 0 73 2 “，1 2 3 3 0 22 8 6 0 01 6 1 0 61 66 6 43 4 1 7 6 9 3 4 4 1 1 3 6 5 01 6 5 9 41 7 ，1 5 83 5 1 77 23 5 3 5 0 4 7 0 01 6 8 1 81 73 8 0 3 5 7 55 23 5 9 1 1 2 7 5 01 6 7 7 3 1 73 2 53 6 0 1 ，5 23 6 1 7 0 9 8 0 01 6 4 5 71 6 9 9 l 3 6 0 1 2 73 6 1 3 0 0 8 5 01 5 8 7 01 6 3 7 93 5 7 3 1 9 3 5 7 吼2 8 9 0 0 1 50 1 51 5 4 9 03 5 1 0 2 93 5 1 3 7 8 9 5 01 38 9 6 1 43 3 13 4 0 3 ，7 9 3 4 0 8 3 8 1 0 0 0 1 25 2 21 2 9 0 93 2 4 5 1 53 2 5 4 2 9 1 0 5 01 0 ，9 0 3 1 12 3 83 0 2 4 ，1 83 0 3 7 4 2 i j 0 09 0 5 89 3 3 3 2 7 2 4 3 52 7 3 7 j 7 第3 章应丹j 夫挠度弯曲直梁混合变量晟小势能原理求解板条的挠曲方稗 续表3 4 x 坐标 a n s y s 的挠度 本文的挠度 a n s y s 的弯矩值本文的弯矩 ( m m )( 1 l m ，( i l l m ，( 帆m m )( f n i t l m ) 1 1 5 0 70 0 872 1 72 3 1 83 72 3 2 7 2 5 1 2 0 0 47 8 44 9 2 7 1 7 6 6 3 7 1 7 7 03 4 1 2 5 02 4 3 02 5 0 21 0 1 58 51 0 1 6 1 2 1 3 0 00000 x 图3 - 9 挠度分布 f i g 3 - 9 d i s t r i b u t i o no f d e f l e c t i o n s +十。+， + 车文 图3 ，1 0 弯矩分布 f i g 3 - 1 0 d i s t r i b u t i o no f d i t o r a t i o n s 2 9 燕山大学理学硕士学位论文 本例求得的一端固定一端简支板条挠度和弯矩沿轴向的分布列于表 3 - 4 。与表3 - 4 相对应的挠度图、弯矩图分别置于图3 - 9 、图3 一l o 。 3 3 4 算法分析 以上我们应用大挠度弯曲直梁的混合变量的最小势能原理，对三个大 挠度柱面弯曲板条的挠曲方程进行了求解。下面我们对求解过程中所采用 的算法做一下分析。 首先，三个例子我们均先确定相应问题的混合总势能，假设挠曲面方 程，根据边界条件求出轴向力n ，然后对其混合总势能取变分极值，得到 一组方程。 其次，我们选择了三角级数作为挠曲方程的解析形式。因为三角级数 具有无穷可微性，可以满足位移协调条件，而且由于三角函数具有正交性， 这对于包含三角级数乘积项的积分方程来说，无疑是大大简化了计算，再 加上可以利用三角级数各项的线性无关性，把积分方程转化为代数方程， 求出待定系数的表达式。对于本文的三个例子来说，设正弦三角级数为挠 曲方程使一些边界条件自动得到满足，比如简支端和挠度和弯矩为零的边 界条件，这也给求解过程带来了方便。 最后，对三个例子的应用中，都需要求解一个非线性方程，本文是在 对方程的形式进行了变换后，利用简单迭代法编程求解的，程序简单、结 果精确。 3 4 本章小结 本章主要应用大挠度弯曲直梁的混合变量的最小势能原理求解了三种 边界条件的大挠度柱面弯曲板条的挠曲线方程、弯矩方程，并且把求得的 结果与经典的结果和用有限元分析软件a n s y s 求得的结果相比较。之后， 我对所采用的算法进行综合分析。从分析和计算的过程和结果可以看出： 以上应用混合变量的变分原理解题的方法具有思路清晰、形式直观、程序 简单等特点，而且用其计算所得的结果精度较高。因此，本章的计算方法 为求解有关大挠度梁的问题开辟了一个新的途径。 3 0 第4 章有限变形体功的互等定理 第4 章有限变形体的功的互等定理 本章主要介绍有限变形体功的互等定理的基本理论及其推导过程。在 这之前我们首先介绍一下直角笛卡儿坐标系有限变形弹性力学的基本方 程，以为后面章节的论述奠定理论基础。 4 1有限变形弹性力学的基本方程 在本节中，我们将介绍直角笛卡儿坐标系有限变形弹性力学基本方程 这些基本方程包括应变一位移关系、本构方程、平衡方程和边界条件。对 结构的运动和变形状态的描述，有两种方法：一种是l a g r a n g i a n 描述( 物质 坐标) ：另一种是e u l e r a i n 描述( 空间坐标) 。由于固体力学通常采用l a g r a n g i a n 描述，而流体力学通常采用e u l e r a i n 描述，因此，在本文中只采用l a g r a n g i a n 描述。 1 、应变一位移关系 e g = 。7 。+ “。+ “，)x ，v i t u k v ( 4 - 1 ) = v + 材川+ 甜i ，。，jj x ，(1 ) 这就是有限变形体l a g r a n g i a n 描述的g r e e n 应变张量。 2 、平衡方程 有限变形问题的平衡方程为 ( 瓦+ “女，) o - 目】，j + f = 0 z 。v( 4 - 2 ) 3 、本构方程 c 3 _ = a 一( e ) ：仃。 工。v ( 4 - 3 ) a p _ a a _ ( a ) ：e 。z ，v ( 4 - 4 ) d d ” 4 、边界条件 ( 1 ) 应力边界条件 p 。+ 叱，k 吩= j ，t s ， ( 4 - 5 ) 3 1 燕山大学理学硕十学位论文 ( 2 ) 位移边界条件 “。= 4 ， x ，s 。( 4 6 ) 式中，“，、8 f 、仃，分别为弹性体的位移、应变及应力；彳( p ) 、b p ) 为应变 能密度和应变余能密度；6 。为心。n e c k e r 符号，定义为氐2 ：i 0 ； “。 为“对x ，的导数；v 为弹性体；s = s ，+ s 。为边界曲面，其中s 。为已知边 界力的边界曲面，s 。为已知边界位移的边界曲面。 4 2 有限变形功的互等定理 小变形理论的功的互等定理是于1 8 7 2 年由b e t t i ，e 建立的文献【2 5 、2 6 立了有限变形的功的互等定理，本节将介绍文献 2 5 、2 6 的工作。 4 2 1第一类功的互等定理 考虑在直角坐标系的两个有限变形的弹性体。假设它们具有相同的形 状、尺寸和线性本构关系；但它们可受有不同的体力、不同的边界力和不 同的位移边界条件( 即有不同的边界位移约束) 。同时，该两变形体都处于 真实状态。该两变形体之一称为第一弹性系统，或简称为第一系统，另 个称为第二系统。右下角具有脚标“1 ”和“2 ”的量分别表示第一系统和 第二系统的相应力学量。 第一系统的应力在第二系统相应应变上所做的功为 瓦= 肌o l q e 2 。d 矿= 胍吉( a g “2 j , i + u 2 k , i u 2 k , j ) d y = 肌u 2 i , j - i - t l l k , i u 2 k , j ) d y + 胍f 氟舳厂小矿( 4 - 7 ) 注意到 ，( u 2 i , i + u l k , ，u 2 k j ) d 归胍b ，( 6 一“l i , k ) l d 2 k 1 d v = f f f ， q ，( 屯+ 。) 坞； 厂 ( 屯+ g l i , k ) q ， j “2 k d v = 3 2 第4 章有限变形体功的且等定理 皿，砒，d s + f c 。一p l , u 2 j d s + 胍f u 2 , d v ( 4 8 ) 将式( 4 - 8 ) 代入式( 4 7 ) ，则得 瓦= 甄仃l t j e 21 l d v 2 瓢了p