（计算数学专业论文）带多形状参数的样条曲线曲面及其应用研究.pdf

带多形状参数的样条监线睦面及其应用研究 摘要 在c a g d 中，参数蓝线莹面造型方法运用j 常广泛。本文对带多形状参数的 样条曲线盐面造型方法进行了深入研究，提出了几种带多形状参数的样条睦线 曲面，并介绍了带多形状参数的样条曲线在插值方面的应用。 首先，我们对c a g d 中参数样条曲线曲面发展历史进行了回顾，并对带形状 参数的样条曲线曲嚣已有研究成果作了简要介绥。 其次，我们在其后章节中对带多形状参数的样条曲线曲面做了深入研究。 主要有以下方面研究成果： ( 1 ) 带多形状参数的均匀转样条蓝线曲面 ( 2 ) 均匀c b 样条曲线曲面的扩展 ( 3 ) c b 6 z i e r 样条曲线曲面的扩展 ( 4 ) 第二类c b 样条曲线 ( 5 ) 带多形状参数的三次均匀三危多项式样条蓝线 ( 6 ) 多形状参数的样条曲线应用 最后，我们对全文进行了总结和展望。 关键谣：形状参数b 样条c b 样条c b 6 z i e r 样条三角多项式样条 t h es t u d y i n go fs p l i n ec u r v e sa n ds u r f a c e sw i t h m u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r sa n d t h e i ru s i n g a b s t r a c t t h ep a r a m e t e rc u r v e sa n ds u r f a c e sm o d e l i n ga r eu s e dv e r yw i d e l yi n c a g d i nt h i sp a p e r , w ep r o f o u n d l yr e s e a r c hs p l i n ec u r v e sa n ds u r f a c e sw i t h s e r v i a ls h a p ep a r a m e t e r s 。w ep r o v i d es e r i v a lk i n d so fc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t h m u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r sa n di n t r o d u c et h e i ru s i n gi ni n t e r p o l a t i o n 。 f i r s t l y ，w er e v i e wt h ed e v e l o p m e n th i s t o r yo fp a r a m e t e rc u r v e sa n ds u r f a c e s a n di n t r o d u c eb r i e f l yt h es t u d i e dr e s u l t so ft h ec u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs h a p e p a r a m e t e r s s e c o n d l y ，w ep r o f o u n d l yr e s e a r c hs p l i n ec u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs e r i v a l s h a p ep a r a m e t e r s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r el i s t e da sf o l l o w s ： ( 1 ) u n i f o r mb s p l i n ec u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs e r v i a ls h a p ep a r a m e t e r s ( 2 ) e x t e n s i o no fu n i f o r mc b s p l i n ec u r v e sa n ds u r f a c e s 。 ( 3 ) e x t e n s i o no fc b 6 z i e rs p l i n ec u r v e sa n ds u r f a c e s ( 4 ) t h es e c o n dc b s p l i n ec u r v e s ( 5 ) c u b i cu n i f o r mt r i g o n o m e t r i cs p l i n ec u r v e sw i t ht h r e es h a p ep a r a m e t e r ( 6 ) t h eu s i n go fs p l i n ec u r v e sw i t hs e r v i a ls h a p ep a r a m e t e r f i n a l l y ，w ec o n c l u d et h et h e s i sa n dm e n t i o nt h ef u t u r ew o r k k e y w o r d ：s h a p ep a r a m e t e rb s p l i n ec b s p l i n e c b 6 z i e rs p l i n e t r i g o n o m e t r i cs p l i n e 2 插图清单 图2 - 1带形状参数的均匀8 样条基函数1 0 图2 2带3 个形状参数的三次均匀b 样条曲线段儿 图2 3带3 个形状参数三次均匀b 样条曲面片情况1 2 图2 - 4久脸造型。1 3 图2 - 5骏马造型1 4 图3 - 1参数群= o ，1 ，2 ) 对曲线段形状的影响1 8 图3 - 2多形状参数的均匀e 8 样条益线的整体与局部调控1 9 图3 - 3灯笼造型2 0 图3 - 4带多形状参数的均匀c b 样条曲面2 l 图4 - 1n = 2 时基函数图2 3 图4 - 2n = 3 时基函数图。2 4 图4 - 3由4 个控制点生成的多形状参数c - b 6 z ie r 曲线2 5 图4 - 4带多形状参数的双三次c b 6 z i e r 曲面2 7 图4 - 5人脸的造型2 8 圈4 - 6酒杯造型。2 9 图4 - 7花瓶造型3 0 图5 - 1第二类均匀c b 样条各阶基函数形状图( 口= o 8 彤) 3 3 图5 - 2取不同值时第二类均匀e b 样条4 阶基函数凰。3 4 图5 - 3第一类与第二类4 阶均匀e b 样条曲线比较圈3 垂 图5 - 4第一、三类5 阶均匀c b 样条效果比较3 5 图5 - 5第二类4 阶c b 样条表示的一段椭圆弧及相应的控制多边形3 6 图5 - 6第二类4 阶e b 掸条表示的一段爨孤及相应的控制多边形3 6 图6 - 1带三个形状参数三次均匀三角多项式曲线段。3 9 图6 - 2多形状参数三次均匀三角多项式曲线的整体与局部调整4 0 图7 - i各种参数下c 3 连续的多项式插值曲线段。4 7 图7 - 2各种参数下c 3 连续的三角多项式插值曲线段p 川p 心。4 7 图7 - 3各种参数下c 4 连续的多项式插值曲线段p 。p 4 8 图7 - 4c 3 连续的多项式插值曲线的单调性4 8 匿7 - 5e 4 连续的多项式插值曲线的单调性。4 8 图7 - 6e 3 连续的三角多项式插值益线。4 9 图7 - 7c 5 连续插值曲线q 需0 2 ( 虚线) a = 0 8 ( 实线) 4 9 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人殴经发表或撰 写过的研究成果，氇不包含尧获褥 金疆至丝塞堂 或其谴教育机构的学位或证书面壤 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签字；丝蕴签字墨期：硒年占曩| 7 罄 | 学位论文版权使用授权书 本学位论文俸蠹完全了解盒篷至丝太堂 宥关保整、使用学位论文豹规定，有投 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 佥月墨王些态堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫接等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：镰、蕴 签字日期：加仍年l ；月7 日 学位论文作者毕业蕨去惫： 工作单位： 通讯地址： 名：黝切 签字日期：少矿年月| 7 日 电话： 邮编： 致谢 在三年的硕士学习中，我首先要感谢我的导师朱功勤教授和郭清伟副教 授。学习上，他们循循善诱的教学方法，严谨的治学态度，精益求精的科研 精神鞠渊博静专业知识都给了我莫大的指导鞠藜助；生活上，拖翻平爨近大， 关爱学生，给了我极大的鼓舞。对于本论文的撰写，健们更是给予了精心的指 导。所有这些都是值得我用一生珍藏和学潮的。 其次，我要感谢会肥工业大学理学院所有老师和王律人员在过去三年中给 予的播导和蘩助。 良师益友，相得益彰，几年的研究生生涯，同学间的友谊和关爱令我终生 难忘。这里，我要特别感谢讨论班的全体同学，感谢你们在学习上给予我的极 大癌示秽诸多建议。 最后，我要特别感谢我的父母，感谢德钠对我多年静养育和培养。正是趣 们无私的奉献和支持才使我能够顺利完成学业。我还嚣感谢我的夫人和姐姐等 其他亲友一直以来埘我的关心，鼓励和帮助。 谨以盏文献给所有关心，支持和帮助过我的天l 3 熊建 2 0 0 8 年5 胄 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 是 随着航空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生并发展起来的一门新 兴学科。它研究的核心内容是：对几何外形信息( 点、线、面和体) 的计算机 表示、设计、绘制、显示、分析和处理。因此，自由曲线曲面的研究成为c a g d 的基础内容叫。 王。王 c a g d 中参数样条蓝线蘸西越发展历史 长期以来，自由曲线曲面是c a g d 中描述形状信息的主要工具，二十世纪六 十年代由c o o n s 、b 6 z i e r 等大师奠定了其理论基础。 样条函数最早是由美国学者i j s c h o e n b e r g 于1 9 4 6 年提出的豫1 。如果直接 用样条函数来表达几何图形，出于缺乏尼俺不变性给我们的研究带来了诸多不 便。为此，人们将样条函数“几何化 得到参数样条曲线曲面。 1 9 6 3 年，美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的 矢函数方法，并引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量及 两个方向的切矢定义的f e r g u s o n 双三次曲面片 3 - 4 o 从此，f e r g u s o n 历采焉的 曲线曲面的参数形式成为形状数学描述的标准形式。 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的c o o n s 发表了一个具有一般性的曲面描述方法， 给定圈成封 i l 兹线的遥条边晃就可定义一块曲面片嫡3 。1 9 6 7 年，他进一步擢广 其思想泌1 。在c a g d 实践中应用广泛的只是它的特殊形式- c o o n s 双三次益面片。 1 9 7 1 年，法国雷诺汽车公司的b 6 z i e r 发表了一种由控制多边形定义曲线的 方法。后来，英囡的f o r r e s t 发现处理作为贝齐尔多边形的相对矢量不如处理 作为顶点的绝对矢量方便，并发现上述b d z i e r 基表示形式能被改写成现代广泛 使用的用控制顶点p ：定义的b e r n s t e i n 基表示式h 。7 0 年代中期开始，国内对 b d z i e r 方法作了大量研究工作哺q 引，在c a g d 中占有重要地位。 1 9 7 2 年，d eb o o r 给出了关于b 样条的一套标准算法d 钔。美国通用汽车公 司麴g o r d o n 和r i e s e n f e l d 予1 9 7 4 年将8 样条理论应用于形状描述，提出了瑟 样条曲线曲面。 1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 在他的博士论文中首次提出有 理b 样条方法弪。震来，p i e g l 和t i l l e r 等人对n u r b s 方法进行了深入研究强2 。冽。 终于使非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为现代曲线曲面造型中最为广泛流行 的技术。 王。2 c a g d 中带形状参数静样条曲线蠡面 综观样条曲线曲面的发展史，曲线曲面的形状调整一直是重要的研究方向 之一。前面提到的样条曲线，只有有理b 样条可以通过修改权因子调整曲线形 状 2 9 o 其它曲线睦面形状调整都需通过改变控制顶点来实现，这为我们的应用 带来了不便。为此，人们提出了带形状参数的样条曲线，只要改变形状参数的 取值就可达到改变曲线形状的目的。这方面的成果主要有；b e t a 样条曲线轴们、 n u r b s 方法、e 益线疆卜3 羽、e b 样条溜线潍。3 副、另外还有韩超里、汪国昭、邬弘 毅等一批学者构造的各种带形状参数的样条曲线等卜5 0 1 。 以下着重介绍几种带形状参数的样条曲线曲面： ( 1 ) c - b 4 z i e r 曲线与c 8 样条蘸线轻卜3 舒 c - b 垂z i e r 样条： 定义：称r ( f ) = 兰u 。一( f ) 为由控制顶点 髟1 日毯r 2 或r 3 ) ( f = o ，l ，1 ) 生成 的c b e z i e r 曲线其币u ，。( f ) 是c - b 6 z i e r 基 利用张量积我们可以定义一张c - b 磊z i e r 曲面，方程如下： r ( u ，v ) = 只，u g 朋( 材) u j ，丹( v ) ，0su ，vsl 其中u t 卅( i - u “j ，= ，v u ，i t ( v ) 是c - b 6 z i e r 基，定义如下： 初始溺数：f 0 , i ) = s i n ( a - t ) s i n t ，u u 0 ) = s i n t s i n a ，f 【o ，锘】，g 芒【o ，霈】 递归定义各阶c - b 4 z i e r 基函数如下： u o ，疗o ) = l e 万o ，一一l u o 一l ( x ) d x u t , 露= 菇【簟l 小1 l 州一8 1 , # q 玩舻l 协 桫舞，撑) = 劈艿撵- l ，栉一iu q ，撑一l ( x ) 出 蠡，l ( ，) = ( 学u ，疗) 西) ，f = o ，l ，厅 均匀c - b 样条： 定义：给定控制点 只1 只r 2 或r 3 ( i = o ，l ，撑) 及形状参数掰( f = 1 , 2 ，。，粉) ， 称，( 矿) = 泓 ) ，( o f 即+ 1 一尼) 为由控制顶点 只1 只尺2 或r 3 0 = o ，l ，珂) 生成的均韵c b 样条曲线其中，。0 ) 是均匀e b 样条基函数 利用张量积我们可以定义一张参数曲面，方程如下： r ( u ，1 ，) = m 。k ( u ) n j ， ( ，) 鼻，k - 1 材s m + l ，h - 1 1 ，篷n + l ( 1 ) 其中m j 裂融，小( 谚分别是均匀c b 样条基函数，定义如下： 初始蘧数； i a s i n ( t - t d l ( 2 - 2 c o s a ) ，f ( t i , f i + l 】 n i 。2 ( t ) = t a s i n ( t f + 2 一t ) ( 2 2 c o s a ) ，t ( l ，t i + 2 】 h 扣t h e m ) 其中 t ) 为节点向量，f ，= i a ：，搿【0 ，碉，f 拦0 ，1 ，2 ， 递归定义各阶c - b 样条如下： 1 n i ，l p ) = 考象嚼n i w - i ( x ) d x ，嚣3 ，i 侥l ，垃， ( 2 ) 王文涛、汪国昭构造的带形状参数的样条曲线强和豹】 定义：给定控制点 鼻| 0 r 2 或r 3 ( f 茹0 , i ，。，摆) 铆k ) 及形状参数 2 见o 一1 , 2 ，刀) ，称，( ，) = 芝只墨。七( ，) ，( o5 ，n + l - k ) 为由控制顶点圮 ( ，尝o ，1 ，功生 成的带形状参数的均笥1 b 样条麓线。其中s i 。) 是带形状参数的均匀b 样条基 函数 利用张量积我们可以定义一张参数曲面，方程如下： r ( u ，协= z s 啦( u ) s j , h ( v ) p t a ，k ls 豁s m + l ，h l 冬v 捍+ l ( 2 ) a = u j - - u 其中s t ( 甜) ， (v)分别是带形状参数的均匀b样条基函数，定义如下：,ks j , h 设s 。：( t ) 为初始基函数，当k 3 时，定义基函数如下： s o , k ( t ) = 臣ls o ，盂一l ( x ) & ，s i ，a t ) = s o a ( t f ) ，( f = o ，l ，2 ，) 1 ) 若令s o 2 ( f ) = 吾办2 + ( 1 一；0 t ，( o f 1 ) 昙旯( 2 一，) 2 十( 1 一五) ( 2 一，) ，( 1g f 2 ) o 。( o t h e r s ) 其中形状参数一2 九 l ，可以得到带形状参数的各阶均匀b 样条。当九= o 时， 即为经典的均匀b 样条。当k = 4 时，即为韩旭里文献中的基函数哺 。 2 ) 若令s o 2 ( r ) 燃 署【g 2 ) s i n 2 一2 s i n m ，( o 尹 1 ) 署【( 1 + 五) s i r i 三r + a s i i l 刀力，( 1 f 2 ) o ，( o t h e r s ) 其中形状参数一l 兄9 1 ，可以得到带形状参数的各阶均匀三角多项式样条。 3 ) 若令s o , 2 0 ) 一 寿【( 1 + s 船一斋触2 珠( 蜒“1 ) 而e ( 1 删婶卅一南脚弘) 】，( 1 纵2 ) o ，( o t h e r s ) 其中形状参数一c t h 2 去名 _ c t h 2i 1 ，可以得到带形状参数的各阶均匀双曲多项式 厶 样条。 ( 3 ) 邬弘毅等构造昀多形状参数的均匀8 样条“钔： 定义：给定控制点( 辟l 霉r 2 或r 3 o = o l ，栉) 研露) 及形状参数 丑+ l ( f 一0 ，1 ，行) ( ，z 惫) ，构造曲线段： r s ( t ；2 t 十l ，五啦，五拜| i ) = 0 5 0 ，露( f ；友+ 1 ) + 只白屯；五娜磊可+ 1 ) + 手i 毒b k , k o ； + 嘉) j 2 l 0 【o ，l 】，i = o ，l ，。，n - k ) 称其为由控制点露，只+ l ，忍械及形状参数 钆1 ，五+ 2 ， + 七) 构成的多形状参数 k 次均匀b 样条曲线段，其中调配函数 6 ，七( ，； + _ ，4 + j + l ( = 0 , 1 ，露) 由下面定义， 称它们平移后复合所得曲线，o ) = - u 吒( t - i ；2 l 十i + 2 ， “) ( o t n + l 一的 为由控制点另( f = 0 , 1 ，尼) 及形状参数 ( f = 1 , 2 ，阼) 构成的多形状参数k 次均匀b 样条曲线 利用张量积我们可以定义一张多形状参数曲面，方程如下： ，( ) 2 至黔，女( “) 删o 1 其中( “) ，b j ，。( v ) 分别是带多形状参数的均匀b 样条基函数，定义如下： 初始调配函数： b o a o ；a ) = 3 a ( 1 一力2 专( 1 一名) ( 1 一苫) ， b l 。l ( x ；名) = 暑触z + g - 2 ) x ， 其中形状参数- 2 盖 1 ，x 【0 , 1 】称 b 0 , 2 ( x ；丑) = 6 绣l ( t ；a a ) d t = 去( 1 一 x ) ( 1 x ) 2 ， b l ，2 0 ；丑) = 譬6 0 ，l ； ) 旃+ 艺办l ，i ；如) 出 = 妻【( 1 + 2 x 一2 x 2 ) + l l x ( 1 一x ) 2 + 如x 2 ( 1 一x ) 】， b 2 , 2 0 ；如) = 蜘l ，l ( 以如) 馥= x 1x 2 1 2 2 ( 1 - 茗) 】； 为带2 个形状参数的三次均匀b 样条。递归定义带k 个形状参数的k + 1 次均匀 b 样条如下： b o , k ( x ； ) = 芷6 0 h ( t ；2 1 ) d t ， b l , k o ；五， h ) = j 享b o , k - 1 p ；如) 癣+ 蔓魏，露一l p ；五，, h ) d t ， b j , k ( x ；乃，乃+ 1 ) = 舶- ， 七一l ( t ；2 j ，t + 1 ) 船+ e 16 ，卜l ( t ；2 j ，乃+ 1 ) a t ，( xe 0 ，1 1 ) i 坡1 ( x ；丑需_ l ，五) = 舶蠹一2 露一| ；露q ，纛) 毋+ 是6 嘉- l 一| ；& | ) a t ， l 坟，女( x ；五) = 肋纠，( f ；以) 馥， ( 3 ) 带形状参数的二次、三次均匀三角多项式样条h 和删： 带形状参数的二次、三次均匀三角多项式样条曲线曲丽定义与前面相同， 其中基函数定义如下： 1 ) 带形状参数的二次均匀三角多项式样条基函数： o ( 旯；) = 志( 1 - 2 s i n t ) ( 1 - s i n t ) ， l ( 五；) 2 志( 1 + 2 e o s t ) ( 1 + c o s t ) ， 4 n 2 ( 2 ；) 2 渤( 1 + 2 s i n t ) ( ：1 + s i n t ) ， n 3 ( 五；) 。渤1 - 2 c o s t ) ( 1 - c o s t ) ， 其中形状参数一l 磊l ，尹鸭予 2 ) 带形状参数的- - t r 均匀三角多项式样条基函数： n o ( 2 ；f ) = 4 ( 1 一见s i n f ) ( 2 一s i n f s i n 2 t ) ， n 2 ( 2 ；) = 4 ( 1 一力e 。s ) ( 2 一s 一s 2 t ) ， n 1 ( 名；f ) = 1 一对毛( 2 ；f ) - n 2 ( 2 ；t ) ， 其中形状参数o 兄l ， o ，要】 1 3 本文的工作 本文对带形状参数的均匀样条及其应用作了一些探讨，构造了几种不同的带 形状参数的均匀样条，主要工作如下： ( 1 ) 构造了带多形状参数的均匀b 样条 邬弘毅构造的带多形状参数豹均匀b 样条，升高了均匀8 样条的次数。 e l lk + 1 个控制点生成的一段曲线为k + 1 次的，而本文构造的带多形状参数 的均匀b 样条，由k + 1 个控制点生成的段曲线为k 次的，与均匀b 样条 完全一致，而且均匀b 样条是其特例，赦我们称之为均匀b 样条的扩展。 ( 2 ) 分别对c - b 6 z i e r 与c b 样条曲线曲面进行扩展 c - b 6 z i e r 与c b 样条曲线曲面中都只带个形状参数o ，本文将它们扩展 为带多形状参数的曲线蘸面。 ( 3 ) 构造了一种新的均匀c b 样条 这种均匀c b 样条比张纪文等口n 构造的均匀c b 样条具有更好的逼近控制 多边形性质。张纪文等构造的均匀c 8 样条只能生成相应阶的均匀b 样条馥 线远离控制多边形处的益线，两本文构造的均匀c b 样条曲线位于相应阶的 均匀b 样条曲线两侧。为了区分起见，我们称张等构造的均匀c b 样条为第 一类均匀c b 样条( 简称均匀c b l 样条) ，而本文构造的均匀c b 样条为第二 类均匀e b 样条( 篱称均匀c b 2 样条) 。 ( 4 ) 构造了带多形状参数的三次均匀三角多项式样条 ( 5 ) 带形状参数的均匀样条在插值构造上的应用 逶过构造带形状参数的均匀样条，从焉进一步构造出能整体或局部调控的 c 3 、c 4 连续以及能整体调控的c 5 连续的插值样条曲线。 第二章带多形状参数的均匀b 样条曲线曲面 2 1 弓l 言 邬弘毅构造的带多形状参数的均匀b 样条h ，升高了均匀b 样条的次数。 由k + 1 个控制点生成的一段曲线为k + 1 次的，而本章构造的带多形状参数 的均匀b 样条，由k + 1 个控制点生成的段曲线为k 次的，与均匀瑟样条 完全一致，而且均匀b 样条是其特例，故我们称之为均匀b 样条的扩展。 最终的实验表明，运用此种基函数极大地拓展了多项式b 样条的造型能力， 它具有重要的实际运用价值 2 2多形状参数的均匀b 样条基函数 三次调配函数： ；五) 2 吉硼一砖3 6 l 3 ( x ； ，如) 2 吾1 6 ( 2 x ，一3 x 2 + 1 ) 一- ( 1 一x ) 3 + 如( 一l 。x 3 + 1 5 x 2 3 x 一1 ) 】( 1 ) | b 2 , 3 ( x ；如，奄) = 1 6 x 2 ( - 2 x + 3 ) 一；h ( - 1 0 x 3 + 1 5 x 2 - 3 x - 1 ) 一, h x 3 】 【b 3 , 3 ( 她) 2 否1 如x 3 其中形状参数0 3 ，i = 1 , 2 ，3 ，xg 【0 , 1 】。 定义1 ：设te o ，l 】，则带形状参数的k 次均匀b 样条调配函数可以由k - 1 次均匀 b 样条调配函数递推定义如下：位4 、 b o , k ( ，； ) = r 6 0 ，七1 ( x ； ) 出， b l , k ( t ；2 a ，a 2 ) = g b 筑糕( 善；如) 苏+ j ： 务l 冀一l ( x ；五，如) 叔， b j , k ( t ；2 1 ，如) = 蛞6 川加l ；2 ，乃“) d x + 1 7 b 肚一l ( x ；乃，乃+ 1 ) 出， l ： | b k - l , k ；& - l 五) = j ：；务| 耻一l ( x ；磊一l ，氛) 级+ 雾6 露。l ( x ；纛一1 ) 巍， i b k ，( f ；以) = e 6 纠( x ；以) 出 当取所有的毒= 磊= l ，2 ，妁时，我们得到带单形状参数天豹k 次均匀b 样条调配 函数，以下给出三次，四次的情况： 6 b o , 3 ( f ；五) 黼a ( 1 一力3 ， 6 l ，3 ；名) = 丢【3 ( 4 3 旯弦3 6 ( 3 2 五弦2 + 2 ( 3 一五) 】， ( 3 ) b 2 , 3 ( t ；2 ) = = 1 【一3 ( 4 3 卸3 + 6 ( 6 - 5 2 ) t 2 + 3 9 t + 2 ， o b 3 , 3 ( t ；动：1 ( 2 t 3 o b o , 4 ；五) 一面1 五( 1 一f ) 4 l b l , 4 ( t ；五) 一去4 4 4 ( 2 a 一3 ) t 4 + 1 2 ( 2 一旯y 3 6 a t 2 1 2 ( 2 2 ) t + 1 2 2 1 6 2 ，4 ) 2 i 1 【6 ( 4 - 3 2 ) t 4 + 1 2 ( 3 2 _ 4 ) t 3 - 6 , ；t t 2 + 1 2 ( 2 “) t + 1 2 - 2 】 ( 4 ) l b 3 , 4 ( t ；z ) = 4 ( 2 2 3 y 4 + 4 ( 6 5 2 ) t 3 + 6 l t 2 + 4 a t + 2 l b 4 , 4 ( t ) 一去 由式( 3 ) ( 4 ) 知与均匀b 样条调配函数具有相似结构，易验证，戈= 1 时，式( 3 ) 与 ( 4 ) 为三次与四次均匀b 样条调配函数，则再由式( 2 ) 递推得到的为k 次均匀b 样条调配函数故称式( 1 ) ( 2 ) 是对均匀b 样条的扩展 将调配丞数式( 2 ) 中，露；磊) ，k l 囊；五小五k ，b l ，j ( t ；2 1 ，如) ，b o ，露0 ； ) 中的参数分别取 丸= 饼；以一l - 口，五= ；乃= o r , 乃+ l = ； 拦口，如= ； = 再分别作平移 i k l ，i 一露，i 一1 组合成函数： b f ，k ( t ；a ，) = 玩。七9 - i + k + l ；饼) ，og p k 一1 ，i 一| j ) ) b 七一1 七o f + k ；a ，f 1 ) ，o p k ，i k + 1 ) ) b k 一歹，i ( ，一i + k 一歹+ l ；口，f 1 ) ，【i 一露+ 歹- 1 , i - k + 歹) ) ( 5 ) ： b 1 j 0 - i + 2 ；a ，f 1 ) ，p 一2 ，i - 1 ) ) 6 0 毒i 1 ；f 1 ) ，【i l ，i ) ) 0 ，( o t h e r s ) 定义2 ：设汪o ，l ，2 ，称式( 5 ) 定义的b i , k p ；嘶，嘶+ 1 ) 为第i 个k 次( k + l 阶) 带形 状参数缸，g 的均匀b 样条基函数 易验证，当搿= 夕= 旯时，遗数式( 5 ) 即为带单形状参数九的k 次均匀b 样条基函数。 而九拦l 即为标准的k 次均匀b 样条基函数 对于带单形状参数丸的k 次均匀b 样条，可以仿照文献 3 8 j 证明如下定理： 定理l ：对于带单形状参数五的k 次均匀b 样条， 7 当名o 且马，七( f 一丁k + l ；五) o 时，玛。犀( f ；五) 2 o ( i 拳o ，l ，垃，) 定理2 ：对于带多形状参数的k 次均匀b 样条，当丸；取值与相应的带单形状参数 的k 次均匀b 样条中九取值具肖相同的范围时，可以保证基函数的非负性 证明：由基函数的归一性( 下面性质3 ) 知基函数总可以表示为如下形式： 毛名；矗) = f o ) + g l ；五) ， b l ，七；五，如) = 五( f ) 一g l ( t ；2 1 ) + 9 2 ( t ；如) ， b j ，五( ，；t ，t + 1 ) = 乃( f ) 一g 歹( f ；乃) + g p l ；乃+ 1 ) ， i6 七- l , k p ；以- l ，以) = 一1 9 ) 一g k l ；以一1 ) + 鲰；以) ， i b 七。女( f ；以) = ( ，) 一g k ( t ；以) 其中f o ) + 磊) + + 歹? ) + 一l ) + 五) 兰1 由于溺名，= 五，+ l = 名i 兰【a , b 】时0 囊p ；0 ， 下面用反证法证明：乃，乃+ l 毫陋，6 】时，b j ，摩( f ；乃，乃+ 1 ) 乏0 假设乃，t + l ，6 】时，b j ，女o ；t ，乃+ 1 ) 0 由于 乃。露，乃) = f j ( f ) 一g _ ，( f ，乃) + g - ，+ l ，乃) ， 6 ，七( ，乃+ 1 ) = f y ( t ) 一g j ( t ，h 1 ) + g j + l ( f ，a , j + 1 ) 则： t ，露；乃，铂) = 【乃) 一g 歹l j f ；t ) 专g 弦l ( f ；t + g 歹l ；乃+ 1 ) 一g 歹+ | 0 ；乃) = b j k ( t ；2 j ) + g y + l ( 明，+ 1 ) 一g j + l ；乃) 0 可b a k ( t ；2 - ，乃+ 1 ) = 乃( f ) 一g j ( t ；g ) + 1 ) + g + l ；乃+ 1 ) 】+ g ，( r ；一+ 1 ) 一g ，( f ；乃) 。= t 毒；乃+ 1 ) + g 歹；曩挣1 ) 一g j ( t ；a j ) 0 丽屯，乃) o ，屯毒，乃“) 0 m g j + l ( f ；乃+ 1 ) 一g j + l ( f ；乃) 0 则g j ( 鲥+ 1 ) 一g ；t ) o g 歹十l ；t ) 一g 歹专l ；t ) + g 歹；矗净1 ) 一g s ( t ；t ) 0 m 一g - ，p ；乃) + g ，+ l ；i ，+ 1 ) 一g ( f ；t ，+ 1 ) + g + l ；乃) “。f y ( t ) 一g - ，( 以以) + 趴】( t ；a j + 1 ) f y ( t ) 一g ( ，；乃+ 1 ) + g - ，+ l ( f ；乃) j b j ，薰0 ；t ，乃+ 1 ) 屯j 0 ；乃+ 1 ，t ) 毛，膏；匆，乃+ ，) 芬童；t 即乃) 与乃，乃+ le a ，秀】静任意性矛盾，故假设不成立。 有乃，乃+ le a ，6 】时，b j j , ( t ；2 j ，乃+ 1 ) 0 结论得证。 下表分别给出了3 ，4 ，5 ，6 次带单形状参数和多形状参数的均匀b 样条中九与丑 取僮菠墨： 3 次数单参数( 名) 多参数( 丑) 3 次 o 元3 0 鑫3 4 次 o 力3 8 0 4 9 0 s 磊3 8 0 4 9 5 次0 墨旯4 6 6 6 7 0 五4 6 6 6 7 6 次o 五5 5 0 4 2 0 丑5 5 0 4 2 性质量：当辞= 夕= 冀= l 时 b i , k ( ；多) ；即为标准的k 次均匀器样条的基函数 性质2 ( 局部支集性慨以；哪) = 簇荡“1 d 性质3 ( 归一性) 当k 3 时，对任意给定的一组参数 五，如，五， b o ，t ；五) + 三屯，k ( t ；2 y ，乃+ 1 ) + b k 。膏p ；以) - - - - 1 证明：当k = 3 时，由( 1 ) 式，可知 3 ；磊) 岛，3 积磊，如) + 9 2 , 3 9 ；如，南) + 岛。3 c t ；, h ) - 1 假设结果对k = 嚣成立，郎对任意的一组参数 五，如，毛 及 如，冬，钿 分别 有 ；以) + 二0 ( t ；a j ，乃+ 1 ) + 九，撑；以) - 1 b o , 一( f ；如) + 三一以乃+ l ，乃+ 2 ) + ；磊“) 爵l 将上式分别在 t ，1 与 o ，t 上积分，相加整理即可 性质磊( 线性无关性) ： 茸圣0 ；g ，d ( i = 0 圭k 娩，。) 是线性无关的。 反复运用式( 2 ) 和( 5 ) 可以得到性质5 性质5 ( 连续性) ：忍| ( r ；口，) ec k - 2t ( 棚，帕) ，且有： 垦，k ( t ；a ，国= 马。露一l ；饼，国一届+ l 。嘉q ( f ；口，s ) 性质6 ( 对称性) ：对于单参数的均匀8 样条具有对称性，即有： 6 ，甩o ) = “一，。一( 1 - t ) ，0 = o ，l ，1 ) ，毯【o ，l 】，珂3 证明：当疗= 3 时，由式( 3 ) 可知结论成立 假设摆= 露，k 3 时结论成立，即有：魏，囊= 壤一城( 1 一f ) 鬈= 0 l ，妇 耍撑= i i + l 时： 当k0 时，由式( 2 ) ：b o , k + l ( f ；名) = j ： 6 0 , k ( x ；旯) 出= i ：钆。i ( 1 一x ；t ) d x i - 工= y g b o 舢l o ；五) = 一乜b k ，k ( y ；a ) d y = 。露 ；名) 咖= + l j + l ( 1 - t ；棚 当i = k + l 时，同理可证结论成立 当0 f k + l 时，由式( 2 ) ： 也 七+ l ( ，；= e t b ，- l , k ( x ；五) 出+ r 6 l ，七( x ；d d x = 譬如串l 疆( 1 一罨名x & + f j ( 1 - x ；a ) d x 岛，榭p ；名) = 一片叫玩+ i 一。丘( y ；2 ) d y - 肥舷一。摩五) 方 9 = 口瓣 ；旯) 咖+ n f b k + z - t , k ( y ；a ) 咖= 缸+ l - l , k ( 1 - t ；2 ) 扭 摹形挺参羲羞嚣羲秘- 秘酵嚣唾狰彤凝参羲基螽羲 图2 - 1 带形状参数的均匀b 样条基函数 2 。3多澎状参数的均匀塞祥条浆线 定义3 ：绘定控制点曩g 盂2 或最3 及形状参数氛l = 0 , 1 ，。，拜撵妨，构造睦线段： ；i + 1 ，a f + 2 ， + k ) 拦只6 0 ，k ( t ；2 i + 1 ) + 三只+ ，6 ，鼻； + ， + p i ) 十忍心钆 ( f ；以十k ) ，= l 秽【钒l 】，i = 0 ，l ，嚣- k ) 8 ) 称式( 8 ) 为由控制点尊，l l 。& 意及形状参数 4 , - 1 ，确，叁鞯 构成鹃多形凝参 数k 次均匀b 样条曲线段，其中调配函数 b l , k ( f ； “，_ t i + j + 1 ) ( j = o ，l ，詹) e l j 式( 2 ) 所 定义，称它们平移蜃复合所得曲线 ，国= u s ( t - i ；羹转l 磊+ 2 ，。，蠢拳 毒， 喾箨| 一艴 7 ) i = 0 为由控制点g ( i = o ，l ，拧) 及形状参数五o ；1 , 2 ，拧) 构成的多形状参数k 次均匀b 样条曲线事实上，戏( 7 ) 所定义的多形状参数k 次均匀b 样条曲线能写为： 再一一 尹章) = 只嘏焉，氟1 ) ， n + l - k ) 霉) 赫l 其中b t , k ( f ；乃，“1 ) 为式( 5 ) 所定义 性质7 ( 局部性) ：当改变一个控制点时仅影响曲线7 o ) 的毙+ 1 个子段，而某一个 形状参数改交时，仅影噙穗关的凳个子段。 性质8 ( 凸包性) ：髓线r ( f ) 定义在【f ，f + l 】上的段位予k + 1 个控制点 只+ ，( 耥0 ，1 ，k ) 的凸包内，曲线式( 7 ) 位于这些凸包的并熊内 性质9 ( 几何不变性) ：麴线式( 7 ) 靛形状与坐标系的选择无关。 性质1 0 ：多形状参数的k 次均匀8 样条馥线r 0 ) c k - 2 ( 嘲，删，置有： 1 0 ，0 ) 粘0 【马，七一l o ； ，五+ 1 ) - a , + i 。七一1 0 ；丑， + 1 ) 】，( 0 墨f n + l 一露) i = u 2 4 形状参数对蓝线的影响 图2 2 为同一组控制点丑，忍，b ，只下，带3 个形状参数 ，如，如的兰次均匀b 样条曲线段所有子图中最上面与最下面曲线段的三个形状参数皆相等，即 五= 如= 五= 五，且分别取磊= 0 。5 ，1 5 图2 2 ( a ) 表示 = 如= 厶= 名，是单参数均匀b 样条，随五减小，曲线段整体逼近 控制多边形 圈2 - 2 ( b ) 表示当单个参数焉或毛减小时，曲线段一端相应的靠近顶点e 或最 图2 2 ( c ) 表示当中间参数厶减小时，曲线段两端同时向两侧张开 图2 2 ( d ) 表示当相邻两个参数 ，如或屯，如同时减小时，曲线段接近相应侧 控制点，另一侧囊外张开 显然，各个参数所起的作用不同，可根据需要作整体或局部调控 i 呻栩稿科十量 1 , , l l l l l l i l , 柚辩时蠢小 图2 2 带3 个形状参数的三次均匀b 样条曲线段 2 5 多形状参数的均匀b 样条曲面 定义4 ：利用张量积我们可以定义一张多形状参数曲面，方程如下： ，吩：捌兰磊( u ) s j ( v ) t ，一s ， v ( 9 ) ，吩= 磊，h ( v ) t ，- ，一1 s1，hr(ue k ( u ) a j kum + lh - 1 v n + l( 9 i - - - - - o j - - o 其中岛，七 ) ，弓， p ) 分别是带多形状参数的均匀b 样条基函数如式( 5 ) 所示 图2 3 是同一控制网格下带3 个形状参数的双三次均匀b 样条曲面片，各个子图 分别表示了参数取值对曲面片的影响情况其中曲面