（计算数学专业论文）常微分方程边值问题解的构造性证明及其计算.pdf

摘要 本文主要研究常微分方程周期解的构造性证明。 周期运动是自然界和人类活动领域中的常见现象，周期问题的研究一直是常微分方 程定性理论的中心课题，作为应用的一个重要方面，常微分方程周期解的求解问题也备 受关注。在本文中，我们用初值问题方法构造性的证明了几类方程周期解和特殊半周期 解的存在唯一性，并利用同伦延拓法给出了计算实例，因此也提供了一种大范围求解这 几类方程周期解和特殊半周期解的方法。 李维国通过引入极坐标的方法给出了n e w t o n 方程和d u f f i n g 方程周期解存在唯一 性的构造性证明，这种方法的优点是适用的方程的类型较广，难点是中间过程技巧性强， 不易构造；我们针对几类特殊方程的特殊性给出了一种直观而且简洁的证明方法，但是 这种方法对方程类型要求的较为苛刻，适用的范围窄。 本文分为四部分，第一章绪论，介绍了常微分方程周期解以及同伦延拓法求周期解 的研究现状，并简单介绍了构造性证明的一些情况；第二章讨论了李给出的n e w t o n 方 程和d u f f i n g 方程周期解存在唯一性的构造性证明；第三章用不同于李的方法构造性的 证明了三类特殊常微分方程周期解的存在唯一性，并给出了计算实例。第四章用同样的 方法讨论了一类特殊半周期解的构造性证明。 关键词：常微分方程，周期解，构造性证明，存在唯一性，同伦延拓法 t h ec o n s t r u c t i v ep r o o fa n dc a l c u l a t i o no f t h es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n p e n gz e l i ( c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o l iw e i g u o a b s t r a c t t h em a i nt o p i co ft h i sp a p e ri st h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e r i o d i cm o v e m e n t sa r ec o m m o np h e n o m e n o no fn a t u r ea n dt h ef i e l d so fh u m a na c t i v i t y , t h ep e r i o d i c i t yp r o b l e mp l a y sac e n t r a lr o l ei nt h eq u a l i t a t i v et h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a sa l li m p o r t a n ta s p e c to fa p p l i c a t i o n ，f i n d i n gp e r i o d i cs o l u t i o n so fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa na t t r a c t i n gt o p i c i nt h i sp a p e r , w i t hi n i t i a lv a l u ep r o b l e m sm e t h o d ， ac o n s t r u c t i v ep r o o fo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fs e v e r a ls p e c i a lk i n d so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sg i v e n m e a n w h i l e ，谢t l lt h eu s eo ft h eh o m o t o p h yc o n t i n u a t i o nm e t h o d ，s o m e e x a m p l e sa r ec o m p u t e d t h i sa p p r o a c hp r o v i d e sag l o b a lm e t h o df o rf i n d i n gp e r i o d i c s o l u t i o n so ft h e s es e v e r a lk i n d so fe q u a t i o n s t h ec o n s t r u c t i v ep r o o fo fn e w t o ne q u a t i o na n dd u f f i n ge q u a t i o n 、历t hp o l a rc o o r d i n a t e s i sg i v e nb yl iw e i g u o t h ea d v a n t a g eo ft h i sm e t h o di st h a ti th a saw i d e ra p p l i c a t i o nr a n g e ， b u t t h ep r o c e s so fi t sp r o o fn e e ds k i l l sa n dd i f f i c u l tt os t r u c t u r e w eg i v eac o n s t r u c t i v ep r o o f o fs e v e r a ls p e c i a lk i n d so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o ri t sp a r t i c u l a r t h i sm e t h o di s i n t u i t i v e ，s i m p l ea n de a s yt ou n d e r s t a n d ，b u ti t sa p p l i c a t i o nr a n g ei sn a r r o w t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ep r e s e n ts i t u a t i o no f t h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n df i n d i n gp e r i o d i cs o l u t i o n sw i t h h o m o t o p h yc o n t i n u a t i o nm e t h o d i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ec o n s t r u c t i v ep r o o fg i v e nb yl i ， i nc h a p t e r3 ，w eg i v eac o n s t r u c t i v ep r o o ff o rs e v e r a lp a r t i c u l a rk i n d so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i md i f f e r e n tm e t h o d i nc h a p t e r4 ，w eu s et h es a n l em e t h o dg i v et h ec o n s t r u c t i v e p r o o f o f s e m i p e r i o d i cs o l u t i o n so f t h ee q u a t i o n sw ed i s c u s si nc h a p t e r3 k e y w o r d s ：o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n , c o n s t r u c t i v ep r o o f , e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ，h o m o t o p h yc o n t i n u a t i o nm e t h o d 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：童缸聋互豆 日期：年月 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部f - 1 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期： 日期： 年 年 月 月 日 日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章绪论 本文主要研究二阶常微分方程周期解的构造性证明。 1 1 常微分方程的周期解 周期运动，无论在自然界还是在人类活动领域中，都是十分常见的现象。描述此类 现象的微分方程，历来得到人们的极大关注。 设f c ( r r 2 n , r ”) ，且存在t o ，使v t r 有f ( t + j f l ，x ，y ) = f ( t ，x ，y ) ，则 x 一= f ( t ，x ，x ) ( 1 1 ) 就是一个二阶周期微分方程组。一个函数石c 2 ( r ，r 一) 如果在，r 时满足方程组( 1 1 ) ， 且 x ( t + 丁) = x o ) ，r ( 1 - 2 ) 则x o ) 就是周期微分方程( 1 1 ) 的一个丁一周期解，也称为方程组( 1 - 1 ) 的一个调和解。由 式( 1 - 2 ) 可得一o + 丁) = 一( f ) 讨论周期常微分方程组的周期解，可以只在一个给定周期【o ，丁】上讨论方程( 1 1 ) 是 否有满足 x ( o ) = x ( 丁) ，x ( o ) = x 7 ( r ) 的解。这时 三袅蒜暮翥 m 3 ， 【x ( o ) = x ( 丁) ，( o ) = x 7 ( 丁) 、7 就成为一个周期边值问题。本文主要讨论方程( 1 3 ) 几种特殊情形下周期解和半周期解存 在唯一性的构造性证明【1 1 。 鉴于周期问题在物理学中的重要意义，对周期问题的研究一直是常微分方程定性理 论的中心课题。作为应用的一个重要方面，常微分方程周期解的求解问题自然成为引人 注目的课题。 1 9 4 4 年，美国数学家l e v i n s o n 利用微分方程研究了无线电传输中的非线性振动问 题，解决了二阶非线性微分方程周期解的存在性问题，并证明了一致有界解的存在，蕴 第一章绪论 涵周期解的存在。二十世纪五十年代，随着微分方程几何理论的发展，人们利用 p o i n c a r 6 b e n d i x s o n 极限环理论研究了平面振动问题，使l i 6 n a r d 型和其他形式方程的周 期解问题得到了较好的解决1 2 1 ，并把求方程周期解问题转化为求某一映射的不动点问题。 关于方程( 1 1 ) 所对应的初值问题 fx 。f ( t ，x ，x 7 ) ， 【x ( o ) = t t l ，一( o ) = 的解，我们可以通过应用一些像p e a n o 和p i c a r d 定理的经典结果，得到解的存在和唯一 性，而且我们还可以用e u l e r 和r u n g e k u t t a 的数值法来求数值解，进而可以通过标准 软件来完成，例如m a t l a b 然而，在微分方程中，求方程( 1 3 ) 的周期解情况就不一定如 此，我们用x ( t ，口，) 表示方程( 1 3 ) 满足初始值条件x ( 0 ) = 口，x ( o ) = 夕的解，定义p o i n c a r 6 映射p 为 p ( d = x ( r ，1 ，) 其中1 ，= ，) r ，这样，周期解的存在性等价于p o i n c a r 4 映射p 的不动点的存在性。所 以，求周期解的初值问题就转化为寻找p o i n c a r 6 映射p 的不动点问题。然而由于技术上 的原因，对高维周期解问题的研究仍有较大困难。 二十世纪六十年代，日本数学家y o s h i z a w a ，乌拉圭数学家m a s s e r a 利用推广的 b r o u w e r 型不动点定理和l i a p u n o v 方法等理论，把微分方程周期解的存在性和解的有界 性联系起来，并对高维周期系统，证明了解的等度最终有界性蕴涵周期解的存在性。同 时y o s h i z a w a 利用推广的b r o u w e r 型不动点理论和l i a p u n o v 方法研究泛函微分方程周期 解的存在性，对时滞量小于或等于方程的周期的泛函微分方程，得到了方程解的一致有 界性和一致最终有界性蕴涵方程周期解的存在性结果。 随着人们对自然界求知欲的不断增强，研究微分方程周期解问题的方法和工具层出 不穷，如非线性泛函分析、临界点理论、最优控制论，以及我们下面讲到的同伦延拓法。 1 2 同伦延拓法 古典的同伦算法早在上世纪五十年代就有研究，尤其是前苏联数学家d a v i d e n k o 引 入相应的常微分方程初始值问题来数值求解同伦方程。但由于这一方法在条件要求上具 有局限性，在一定程度上限制了该方法的应用范围。 1 9 6 7 年，美国耶鲁大学经济学教授s c a r f 在研究数量经济学时将求解一个经济模型 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文、 的均衡点问题归结为求解定义在n 维标准单纯形上的一个连续映射厂的不动点问题，从 而设计了一种单纯剖分不动点算法。在七十年代，此算法被推广成求解非线性方程组的 单纯不动点算法，成为热极一时的研究领域。 1 9 7 4 年，在美国克莱姆森大学举行的第一届国际不动点算法大会上，k e l l o g g 、l i 和y o r k e 【3 l 宣读了他们的关于计算连续映射不动点的文章。并且利用其构造性地证明了 著名的b r o u w e r 不动点定理，最终使对不动点问题的研究归结为对某一微分方程初始值 问题解的计算。这是现代理论数学，尤其是微分拓扑在计算数学领域中的重要应用。 k e l l e r 4 1 和s m a l e 5 1 也在这方面做出了重要贡献。 其实我们很容易发现，无论是上述介绍的哪种不动点算法，当计算执行到原映射的 不动点或者零点附近时，由于新映射在原映射的不动点或零点处没有定义，这样常常会 给计算的正常运行带来困难。于是在前人研究工作的基础上，1 9 7 8 年，s n c h o w 、 m a l l e t p a r e t 和y o r k e 等提出了连续同伦( 同伦延拓法) ，这种算法的收敛性和稳定性依赖 于原映射的性质。随后，连续同伦方法被广泛应用在研究微分方程的定性理论和数值解 的计算中。 应用同伦方法，就是从所考虑的问题出发，根据一定的先验估计或强制性条件，构 造合适的同伦，应用参数化的s a r d 定理，引进一个向量场，使得沿该向量场的某些轨 线，进行路径追踪，证得并求出所论问题的若干解。同伦方法的优点是算法的全局收敛 性( 与过去经典方法比较而言，如牛顿法) 。通过使用参数化s a r d 定理可以不必讨论横截 性，即解曲线的非退化性( 与通常延拓法比较而言) 。 我们用b r o u w e r 不动点定理为例说明延拓法的基本思想，不动点问题x = 厂o ) 与解 非线性方程 x - f ( x ) = 0( 1 - 4 ) 是等价的。一般来说，直接求解( 1 4 ) 较困难。但若f ( x ) 很简单，例如f ( x ) 为常值x ，则 ( 1 - 4 ) 成为平凡的方程 x - - x o ) = 0 ( 1 5 ) 由( 1 5 ) 容易求解出x = x 0 1 现在我们构造一个“同伦”，它从方程( 1 5 ) 出发，连续“形变”到目标方程( 1 4 ) ，希望 能追踪其解，即令 3 第一章绪论 日( x ，t ) = ( 1 - t ) e x x + f 【x - f ( x ) 】 注意，h ( x ，0 ) = x - - x 0 1 ，h ( x ，1 ) = x - - f ( x ) ，换言之，当f 从0 改变到l 时，带参数f 的方 h ( x ，f ) = o 从方程( 1 5 ) 连续变到方程( 1 4 ) 6 1 1 3 同伦延拓法求周期解 二十世纪七十年代后期，同伦方法被广泛应用在微分方程的定性理论和数值解的计 算中。1 9 9 0 年李勇等利用同伦法证明了关于周期解和边值问题解的有界性定理。同时， 也对这些问题解的计算，提供了一个较为一般的具有大范围收敛性的算法 r l i s ) ，并对 d u f f i n g 方程，耗散系统的周期解问题【8 1 进行了研究，得到了一些重要的结果。2 0 0 4 ，李 勇的学生王国明吲用同伦延拓法证明了一阶微分方程 z = f ( t ，x ) ，x r 一 在三种条件：( i ) f ( t ，x ) 关于x 是c 2 的；( i i ) f ( t ，x ) 关于x 是c o 的；( i i i ) f ( t ，x ) 对x 满足 l i p s c h i t z 条件下周期解的存在性，并给出了具体的计算方法。其中f ( t ，x ) 关于时间变量 f 是以丁为周期的，即f ( t + t ，x ) = f ( t ，x ) ，r 2 0 0 8 年，杨雪利用同伦延拓法给出了 高阶d u f f i n g 方程 x 2 “+ g ( x ) = p o ) ，x r 在条件 n 2 一 口( 一1 ) 川盟 m 2b ( t ) ( m + 1 ) 2 事实上，式( 2 1 ) 等价于方程矿+ 蜀( r ，x ) = e ( t ) ，其中 g l o ，0 ) = g ( t ，x ) 一g ( f ，o ) ，p ( f ) = 一g ( t ，o ) ，g l o ，o ) = 0 很多学者都讨论过方程( 2 1 ) 的周期解 4 1 ，在这里，我们主要讨论其构造性证明。 1 9 9 6 年，李维国、张丹青f 1 9 l 给出了方程( 2 1 ) 在条件( 2 2 ) 下周期解存在唯一性的构 造性证明，但在证明f 是范数强制时，仅给出了m = 0 时的证明。随后，李维国和沈祖 和口0 1 又给出了完整的证明。 任取v = ，) r r 2 ，考虑初值问题 婴x 葛： ， 【x ( o ) = 口，( o ) = 、 。 由条件( 2 2 ) 知，初值问题( 2 3 ) 的解是存在的。记其解为石( ，) ，其中，= ，l s ) 7 ，定义 f ：r 2 专r 2 , f ( v ) = ( x ( 2 n ，d ，( 2 万，v ) ) r ，由解对初值的连续可微性知，( v ) 是连续可微 的，再构造函数f ( v ) = 厂( 1 ，) 一，从而f ( d 也连续可微，由f 及f 的定义知，求解( 2 - 1 ) 等价于求解f ( v ) 有不动点，亦即f ( ，) 的零点。 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 2 1 1 预备引理 引理2 1 设p ( f ) 在【o ，2 万】上连续，m 2 p ( f ) s ( m + 1 ) 2 ，且在【o ，2 万】的某一正测度集 上严格不等式成立( 即在【o ，2 x 】的某一正测度集上m 2 p ( f ) ( 所+ 1 ) 2 成立) ，贝u t y df , ：, - j 题只有平凡解 f ，( f ) + p ( ，) x ( f ) = o 气 【x ( o ) 一x ( 2 万) = x ( o ) 一x ( 2 万) = 0 证明设x ( f ) 是( 2 4 ) 的一个解，令x ( r ) = 薯( f ) + 屯( f ) ，这里 r a 毛o ) = c o + ( qc o s a + g s i nk t ) ，而( f ) = ( q e o s a + d ks i n k t ) k = lk = m + i ( 2 4 ) 由( 2 - 4 ) 式口j 得 一l r i 而( ，) + 屯。o ) 】_ ( r ) 西= f 。p o ) 【而( ，) + 娩o ) 】j c l ( f ) 出， 一r 4 隙，) + 而。( t ) x 2 ( t ) d t = r 2 p ( f ) 【_ ( ，) + x 2 ( t ) x 2 ( t ) d t 由此 r ” ( 五7o ) ) 2 一p ( ，) 五2 ( f ) 】办= r 疗 ( 屯o ) ) 2 - p ( t ) x 2 2 ( f ) 】衍( 2 - 5 ) 从等式( 2 5 ) 的左端和右端，分别得到 r ”吖( t ) ) 2 - p ( t ) x 1 2 。) 坤善后2 ( c k 2 + 畋2 ) 一喜聊2 ( c k 2 + 巩2 ) 一2 朋2 c o 万。( 2 - 6 ) 知镌，( ，) ) 2 珊) 珈) m 翩+ 。k 2 ( c k 2 + 们一。耋( 川) 2 ( q 2 + 们。( 2 - 7 ) 由( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 可得 r 7 ( 五( ，) ) 2 d t = r 石p ( r ) 五2 ( o a t ，r 。( 而o ) ) 2 a r t = f 。p ( ，) 恐2 ( o a t ( 2 - 8 ) 从而推出 x l ( t ) = c o s m t + 丸s i n m t ，x 2 ( t ) = + lc o s ( m + 1 y + 九+ ls i n ( m + 1 ) t( 2 9 ) 由( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 和连续函数p ( ，) 在 o ，2 万】的某一正测度集上满足m 2 p ( f ) ( 聊+ 1 ) 2 得 x a ( t ) = 0 ，x z ( t ) = 0 即 9 第二章n e w t o n 和d u f f i n g 方程周期解的构造性证明 x ( ) = 墨( f ) + t o ) 兰0 结论得证。 引理2 2 若或( f ，x ) 满足条件( 2 2 ) ，则f ( v ) 是非奇异的。 证明令y = x ，u = ( x ，y ) r ，g ( t ，“) = ( y ，- g ( t ，x ) ) 7 ，则( 2 - 3 ) 等价于方程 ( ，) = g ( ，u ) 【“( o ) = v 记其解为l , l = ( x o ，) ，y ( ，) ) r 考虑( 2 l o ) 5 槲u 的第一变分方程 v ，：o g ( t , u ) v 这里百o g ( t , u ) = 出，功又掣= 苏( f ，v ) a 口 勿( ，d a 口 o x ( t ，v ) a d 砂( f ，力 a 8 ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) 是方程( 2 1 1 ) 的基本解矩 阵，且适合条件娑i 枷= 厶若f ( v ) 奇异，则存在非零向量d ，使得f ( 1 ，) d = o ，即 o v 厂( 1 ，) d = d ，亦即塑o 掣vd = d ，令以f ) = 塑t 譬t v 堕d ，则以f ) 是( 2 - 1 1 ) 满足条件 以o ) ：0 u ( 0 , v ) d ：d ：0 u ( 2 ，万, v ) d ：w ( 2 万) 、7 加 加 、 的非零周期解。但由引理2 1 知，( 2 1 1 ) 燃4 q ：v ( 0 ) = v ( 2 x ) 的解只有平凡解，显然矛 盾，所以f ( ，) 非奇异。 引理2 3 若或( ，x ) 满足条件( 2 2 ) ，则厂( 1 ，) 是r 2 上的范数强制函数。 证明令x ( ，) = r ( t ) c o s o ( t ) ，y ( t ) = r ( t ) s i n o ( t ) ，贝i j x = ，c o s o 一乡r s i n 0 ，y = ，s i n o + o r c o s 0 x i 扫g ( t ，功= x f 彰( f ，s x ) d s = x q p ( f ) ，= y ，y = ，= 一g ( f ，功得 解得 1 0 d“ +p 姗一 = = 秒秒磊瞄讣讣 一 卜秒口们i | r 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 r ( t ) = r s i n o c o s o - r q c o s o s i n 0 + e ( f ) s i n 秒 由条件( 2 - 2 ) 知 m 2 q ( m + 1 ) 2 ， ，( f ) 一( 脚+ 1 ) 2 ，( f ) 一m o ， 其中心2 ，e 【m o 2 a x 石】i p ( 0 1 + 1 ，从而 ，蚴( 。) e - ( m + 1 ) 2 t - i 。丽m o e - ( m + 1 ) 2t - - 1 ，仲2 万】 当，( o ) = ：= 止歹万一佃时，( 2 万) = i i ( v ) 0 ：= 止芦万一悯，即( y ) 是r 2 引理2 4 若或( ，x ) 满足条件( 2 - 2 ) ，则f ( ，) 是r 2 上的范数强制函数。 l i f ( 1 ，) 1 1 2 = 1 1 c 0 1 ( ，( 2 x ) e o so ( 2 x ) 一厂( o ) c o so ( o ) ，( 2 7 r ) s i no ( 2 x ) - ，( o ) s i n0 ( 0 ) ) 1 1 2 = 2 ( 2 万) + 厂2 ( o ) 一2 ，( 2 万) ，( o ) 【c o s 秒( 2 万) c o s 秒( o ) + s i n 臼( 2 万) s i n 秒( o ) 】 = r 2 ( 2 a r ) + r 2 ( 0 ) 一2 ，( 2 万) ，( o ) c o s ( 秒( o ) 一o ( 2 x ) ) = 驴( 2 万) 一，( o ) ) 2 + 2 r ( 2 r c ) r ( o ) 1 - c o s ( o ( o ) - o ( 2 r c ) ) 要证明f ( v ) 是范数强制的，我们只需证明当，( o ) = ：一佃时 2 m n 2 埘万+ 玩0 ( 0 ) - o ( 2 ，r ) 2 ( m + 1 ) 万一r 2 o 与g ( t ，x ) 无关。 一= s i n 20 + q c o s 2 o - ，e 【( 矿t _ _ 堕) s 伊 当厂( 。) 一悯，( f ) 一佃，则有，( o l i ) m 。6 - ，( o l i ) m 佃一嚣c o s l 9 = 。，即 第二章n e w t o n 和d u f f i n g 方程周期解的构造性证明 假设p ( o ) 一秒( 2 万) = 2 n x + c t ，o 口 2 万，当，( o ) = l l v l l 2 哼佃时有 旦2 万：f 2 ” 空翌 广o ) 空翌 m + l2 万2 土s i n 20 + ( m + 1 ) 2c o s 20sj9(2，)sin20 + ( m + 1 ) 2c o s 20 丽- + 6 ( f ) d o t i t 咖。9d t 卜勘 即当，( o ) = 2 专佃时 则 同理，我们可以证明 l 2 刀 ) d o s i n 20 + a ( t ) c o s 20 r 石衍= 2 万 上( 2 疗) 上班2 2 万 n + l2 万 2 万 m 刀 ，竹一l 由( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 知，r = m ，即，( o ) - - 佃时 2 m t r o ( o ) - o ( 2 x ) 2 ( m + 1 ) t r 如果m = 0 ，即0 a ( t ) q 6 ) 1 ，那么 秒( o ) 一0 ( 2 万) = 一r ”p 讲1 2 a ( t ) d t = 玩，( o ) 专+ 如果m 1 ，即g a ( t ) 1 由( 2 2 ) ( 2 1 2 ) 得 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 一9 7 0 ) s i n 20 + a ( t ) c o s 2o + e = l + ( 1 一a ( t ) ) c o s 20 + e 1( 2 1 6 ) 当r ( o ) 一佃时，令 秒( o ) 一目( 互) = 2 m x ，秒( 0 ) 一秒( 正) = 2 ( m + 1 ) x 1 2 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 其中0 0 由于口( f ) 的连续性，存在一个小区间陋，暖】【o , 2 v r 】使 得 又由( 2 1 6 ) 有 故 由于 由此可得 口o ) 一朋2 三 口( f 0 ) _ m 2 ，【4 ，龟】，4 岛， p ( 4 ) 一p ( 岛) 岛一4 ， 2 万一互a ( t 4 0 ) 朋- ，m 2 拇f 9 ( ( 如4 ) ) 【1 + c o s 2 0 d 目，( 。) 专 1 鬣2 鲥秒r 1i s i n 2 0 ( 4 ) “n 2 0 ( 4 ) 1 i s i n 【们) 川岛) 】i 2 万一巧警i l l i n 协嘎一磊枷( 岛吲i 0 川。) j o o 上式右端当且仅当磊= 岛，而且仅仅依赖于口( ，) 因此，存在独立于g ( ，z ) 的常数碾满足 同理，我们可以证明 p ( 0 ) 一秒( 2 万) 2 m n + 确，( 0 ) 0 0 i 2 - 2 万 鱼帮面n 2 万，c r 2 一q l s i n ( 吒一q ) i 。，( 。) 一o o 故存在独立于g ( t ，x ) 的常数7 7 2 满足 伊( o ) 一o ( 2 x ) 2 ( m + 1 ) 万一r 2 ，厂( o ) 争o o 1 3 第二章n e w t o n 和d u f f i n g 方程周期解的构造性证明 结论得证。 2 1 2 存在唯一性 由2 1 1 节知求解方程( 2 - 1 ) 的2 万一周期解等价于求解f ( v ) 有不动点或者f ( v ) = 0 对 任给的v o r 2 ，记 h ( v ，旯，v o ) = f ( v ) 一( 1 2 ) f ( u o ) ( 2 1 7 ) 则有如下定理： 定理2 1 设条件( 2 2 ) 成立，初值问题 肥卜) 】_ lf (vo)(2-18) 【，( o ) = v o 有解，= 1 ，( 兄) ，0 五l 上存在，且满足 日( v ( 名) ，旯，v o ) 兰0 ，0 兄1 ( 2 1 9 ) 此外，方程( 2 1 ) 存在唯一的2 万周期解。 证明当兄充分小时，初值问题( 2 - 1 8 ) 至少有一个解1 ，= v ( 五) ，由 ，( v ( 旯) ) 掣+ f ( v o ) 三o ，1 ，( o ) ：v o d 以 可得 f ( v ( 兄) ) + f ( v o ) a 兰f ( v o )( 2 2 0 ) 其中五充分小，由于是f ( ，) 是范数强制的，由式( 2 - 2 0 ) 知愀五) 0 有界，( 否则，护( 1 ，( 见) ) 8 也 无界，这与式( 2 2 0 ) 矛盾) ，由解的延拓性知，对所有的0 兄l ，式( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 有解 1 ，= v ( 名) ，由式( 2 - 1 9 ) 有日( y ( 1 ) ，l ，v o ) = 0 ，即，( v ( 1 ) ) = v ( 1 ) 下证解的唯一性。 若而o ) 和而( f ) 都是方程( 2 - 1 ) 的2 万一周期解，i 己y ( t ) = x ( t ) - x 2 ( t ) ，则少( f ) 是 f y 。+ yf g ，7 0 ，秒( 恐一毛) + x o d o = o 【j ，( o ) 一y ( 2 z r ) = y ( o ) 一y ( 2 万) = 0 的解。由引理2 1 知，它只有零解，即西( f ) = 乇( ，) ，唯一性得证。 1 4 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 2 2d u f f i n g 方程周期解的构造性证明 1 9 9 8 年，李维国【2 5 】还给出了d u f f i n g 方程 黧嚣：巍x 万， i x ( o ) = x ( 2 7 r ) ，x ( 0 ) = ( 2 万) 、 在条件 1 口( f ) 反0 ，x ) 6 0 ) 4 ( 2 - 2 2 ) 下2 万一周期解的存在性和唯一性。其中c 为常数，g ：r xr _ r 是关于x 二阶连续可微， 关于f 以2 万为周期的连续函数。a f t ) ，6 ( f ) 是两个几乎处处连续的实函数，且在【o ，2 万】的 一个正测集上满足以( ，) 1 ，6 ( f ) 1 ，p ( t ) 4 ，则下列问题 黧x ( 2 x + ) 嚣裟纛 p 2 4 ， i x ( o ) = ，x ( o ) = x 7 ( 2 万) 、7 只有平凡解。 证明设x ( ，) 是( 2 2 4 ) 的一个解，令x ( t ) = 五( ，) + 屯( f ) ，这里 1 5 第二章n e w t o n 和d u f f i n g 方程周期解的构造性证明 五o ) = + qc o s t + d ls i n t ，恐( f ) = ( qc o s k t + d ks i n h t ) k = 2 由( 2 2 4 ) 式司得 一r 5 x l 。( r ) + x 2 ( f ) 】五( f ) 衍= r 7 p ( f ) 【五( f ) + x 2 ( t ) x l ( ，) a t r 吖( f ) + x 2 。o ) 】x ：( t ) d t = r 石p ( f ) 【五( r ) + 而( f ) 】屯( f 妙 由此 r 石【( 一7o ) ) 2 一p o ) 而2 ( f ) 】出= r ”【( 屯u ) ) 2 - p ( t ) x 2 2 ( ，) 】西 从等式( 2 2 5 ) 的左端和右端，分别得到 r 。( 五( f ) ) 2 - - p ( r ) 2 ( ，渺q 2 + d l ( q 2 + d l2 c 0 2 神o r 4 【( 屯o ) ) 2 叩o ) x 2 2 ( f ) l d t 七2 ( q 2 + 吐2 ) 一4 ( c k 2 + 反2 ) o k = 2k = 2 1 主i ( 2 - 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 可得 r 疗( 五( f ) ) 2 d t = r 石p ( t ) x a 2 ( t ) d t ，r ”( 而( f ) ) 2 d t = r 石p ( t ) x 2 2 ( t ) d t 从而推出 五o ) = qc o s t + 4 s i n t ， 而o ) = 乞c o s 2 t + 吐s i n 2 t 1 主i ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 和连续函数p ( t ) 在 0 ，2 n l l 构某一正测度集上1 2 p ( t ) 2 2 成立得 x a ( t ) = 0 ，x 2 ( t ) = 0 即 x o ) = x x ( t ) + 恐( r ) 三0 结论得证。 引理2 6 若或( ，z ) 满足条件( 2 - 2 2 ) ，则f ( v ) 是非奇异的。 此引理的证明同引理2 2 引理2 7 若或( ，x ) 满足条件( 2 - 2 2 ) ，则f ( v ) 是尺2 上的范数强制函数。 证明令x ( t ) = r ( t ) c o s o ( t ) ，y ( t ) = r ( t ) s i n o ( t ) ，则 ，= ，c o s 0 一，s i n 0 ，= ，s i n 0 + 0 ，c o s 0 1 6 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 又由x = y ，y = x = 一g i ( ，x ) 一( y + p o ) 得 i i t c o s o r s i n 0 = r s i n o ， 【i t s i n 0 + o r c o s 0 = 一g l ( f ，r c o s o ) 一c r s i n 0 + e ( t ) 解之得 f ，( f ) = r s i n o c o s 0 一g l ( f ，r c o s 0 ) s i n 0 一c r s i n 2o + e ( t ) s i n o 卜) - - 血2 弘而1 舭础) c o s o - c s i n o c o s 0 + e 郴( t ) ) c 0 s 乡q 。 5 姻g ( t , x ) = x f 彰( r ，s x ) d s ，故 厂o ) 一( 3 + i c i ) ，( r ) 一m 其中m 2 ，e 【m 。a 加x 】i p ( f ) l + 1 ，从而 ，o ) ，( 。) e _ o + l q ) , 3 + m i 可 e - ( 3 + 1 c 1 ) - 1 ，f 【。，2 万】 由此得 俐洲p 娜渺+ 羽m e - 2 ( 3 + 1 c 1 ) x - - 1 卜 j 十i l l l 。 一 即当r ( o ) = ：= 正芦i 萨专佃时，( 2 万) = 0 厂( d 6 ：= 正而一佃，即，( v ) 是r 2 上 的范数强制函数。 引理2 8 若或( ，x ) 满足条件( 2 2 2 ) ，则f ( d 是r 2 上的范数强制函数。 证明由引理2 7 知，当，( 0 ) j0 0 时，( f ) 一0 0 ，f 【o ，2 x ，从而 邶l i 舯me = 邶l i 忡m 一鬻c o s 肚。( 2 - 3 1 )，( o ) _ + r ( o ) + 。，fl 由 8 f v ) 1 1 2 = u c o t ，( 2 x ) c o so ( 2 x ) 一，( o ) c o so ( o ) ，( 2 万) s i n 秒( 2 万) 一，( o ) s i n 矽( o ) ) 1 1 2 = r 2 ( 2 z r ) + r 2 ( 0 ) 一2 r ( 2 n ) r ( o ) c o so ( 2 n ) c o s0 ( 0 ) + s i n0 ( 2 n ) s i n0 ( 0 ) 】 = r 2 ( 2 万) + ，2 ( 0 ) 一2 r ( 2 z r ) r ( o ) c o s ( o ( o ) 一护( 2 万) ) = ( 厂( 2 万) 一，( o ) ) 2 + 2 ，( 2 万) ，( o ) 【1 一c o s ( p ( o ) 一秒( 2 万) ) 】 知，欲证明当，( o ) 专o o 时，胪( v ) i ij ，只需证明当，( o ) 专时 1 7 第二章n e w t o n 和d u f