（计算数学专业论文）无界区域问题混合有限元与自然边界元或边界元的耦合法.pdf

摘要 由冯索先生首创的自然边界元法在各种边界元方法中独树一帜，它与有限元方法、辛 几何算法一起构成了冯先生的三大贡献经余德浩研究员等人的发展，除了直接的自然 边界元法可以用来求解某些特殊区域上的边值问题以外，基于自然边界归化的耦合算法 和区域舒解算法可以求解更一般的问题，尤其是处理无界区域及断裂问题的有效手段。 在这一研究领域已经取得了很多重要成果 本文轩究若干外边值问题的自然边界元法、边界元与混合有限元的耦合剪法对于无 界区域上的偏微分方程边值问题，有限元与边界元的耦合法有其独到的持点和优势这 是因为有限元与边元的耦合方法既能发挥边界元方法在处理特殊边界的无界区域方面的 优势又能发挥有限元在处理复杂有界区域方面的优势，使得二者取长补短，相辅相成 实现有限元与边界元的耦合法有多种途径；有限元与边界元的耦合法和混合有限元与边 界元的耦合法对于有限元与边界元的耦合法，我们对于误差估计及其一些应用已经比 较熟悉但足对于混合有限元与边界元的祸合法及其离散以后得到的大线性系统一般来 说都是病态的，即其条件数非常大，从而导致包括共轭梯度法等强有力迭代方法在内的 迭代方法收敛非常缓慢我们在第一章中讨论了d i r i c h l e l 外边值问题的混合有限元与自 然边界元的耦合法，分析了变分问题解及其有限元解的存在唯一性，并给出了变分问题 解及其有限元解的先验误差估计在第二章中讨论了混合外边值问题的混合有限元与边 界元的耦台法，分析了变分问题解及其有限元解的存在唯一性，并给出了变分问题解及 其有限元解的先验误差估计在第三章中讨论了d i r i c h l e t 外边值问题的有限元与自然边 界元的耦合法。分析了变分问题解及其有限元解的存在唯一性，并给出了变分问题解及 其有限元解的先验误差估计 关键字：外问题，非线性方程，各向异性问题，自然边界归化，自然积分算子，耦合 算法 中图分类号； a b s t r a c t t i tn b e mi n a t u r a lb , u u l d a r ye l e l u e n tu l e t h o d ) s u g g e s t d eb yp r o f k f e n g i sad l s t u l c t i v l - o n ea l u o l l gv u r i o u sb e m 0 ) o u n d a r ye l e l n e l l iu l e f h o d s ) ni s1 h et h i l dn l a , i o ra 1 a d t ，n i a i ( rc ( u l - i r i b u t i , mt , fp r o f f i n gb e s i d et h ef i n i t ee l e n l e l l tn l e t h o da n df i l l ，s y n l o h - 。i h l a t e lp i i ，fd y ui i a sd o i l eal e lo fi n l p o r t a n ! w o r ki l lt l l ef i t l d n o wt l l d i r e c tn b e mc a l lb t iu s e r lt o , l e a l w i t hs o l u eb o u l l d a r yv a l u ev a l u ep r o l l l e u l so v e r v e r a ls p e c i a ld o m a i n s w h i l et h eo d m d o u m m d e e o n l p o s i t i o nm e t h o d ) a n dt h ec o u p l e da l g o r i t h m w h i c ha r eb a s e de l lt h en a t u r a lb l u u u l a r yr e - d u c t i o n b e c o l l l e t w o o f t h e e f f i e i e u t m e t h o d s i ns o l v i n g l l l o r eg e n e r a l p r o b l e m s e s p e c i a l l y p l o b l e m s o v e ru n b o u n d e do rc r a c k e dd o m a i n s u pt on o w m a n yi l n p o r t a u ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e nm a d e i nt h ef i e l d t h i sp a p e ri sa i m e dt os t d u yt i mn b e mo rb e m t h ec o u p l e dm e t h o do fs e v e r a le x t e r i o r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e u i s i l lc h a p t e r1 s o n i cb a s i ce o n t e l l t sa r ei n t r o d u c e d t h e s ec o n t e n t sa r e i i n p o r t a u tt h e o r e t i c a lb a s e so ft h i sp a p e ra n dw i l lb ef r e q u e n t l yr e f e r r e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i l lc h a p t e r1 t h ed i r i c h l e tb o u n d a r yp r o b l e mb a s e do i ln b e ma n dm i x e df i n i t ee l e l m l i tf o r2 d e x t e r i o rp r o b l e u ma r es t u d i e d t i l ee r r o r t i n l a t i o no ft h e s e , n l e i h o d sa r ei l i , , r a s s e d i l lc h a p t e r 2 t h en l i x e db o u n d a r yp r o b l e mb a s e db e ma n dm i x e df i n i t ee l e l n e n tf o r2 - de x t e r i o rp r o b h ，l u s ”es t u d i e d t i l ee r r o re s t i m a t i o no ft h e s em e t h o d sa r ed i r s c u s s e d i nc h a p t e r3 t h ed i r i l h l e t b o u l l d a i 3 , p r o b l e mb a j s e do nn b e ma n df i n i t ee l e m e n tf o r3 - de x t e r i o rp r o b l e n l sa r es i n d i e d w eo b t a i ns o m ee r r o re s t i m a t i o n s c l a s s i f i e a t l o nc o d e ： u p r e f a c e i nn l a n yf i , ，i ko rs i e n t i f i t 。a t t de n g i n e e r i n ge o m l m t i n g w en e e dt od e a lw i t hh o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no v e ru n b o u n d e dd o m a i n f o rt h i sk i n do fp 1 t , b h ，u 1 t h e 。o u p l i n gn i l t h o do ff i n i t ee l e m e n tm e t h o da n db o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o rt r e a t i n gt h u u a i n i sa t t r a r ! i v eb e c a u s ei te n a b l e su st oc o m b i n et h ea d v a n t a g e so fb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d f o rt r e a t i n gd o m a i ne x t e n d e dt i i n f i n i t yw i t ht h o s eo ff i n i t ee l e m e n tn m t h o di l lt r e a t i n gt h e c o m p l i c a t e db o u n d e dd o m a i np r o b l e m s t h e r ea r en l a n ya p p r o a c l w st oa c h i e v et h i sk i n do f c o u p l i n ga n da l lt h e s ec o u p l i n gm e t h o d sc a nb ed i v i d e di n tt w oc l a s s e s ：t h ec o u p l i n go ff i n i t e e l e m e n ta n db o u n d a r ye l e m e n t ，t i l ec o u p l i n go fm i x e df n i t ee l e m e n ta n db o u n d a r ye l e m e n t f o rt i l ec o u p l i n go ff i n i t ee l e n m u ta n db m m d a r ye l e n m n t ，t i l ec o r r e s p o n d i n ge r r o re s t i m a t i o n a n dm a n ya p p l i c a t i o n sa r ew e l lk n o w n b u tw es t i l lf a c em a n yd i f f i c u l t i e sa n dc h a l l a n g e si n s o l v i n gt i l er e s u l t i n gl a r g es c a l ed i s c r e t es y s t e mw h i c hh a sv e r yl a r g ec o n d i t i o nn u m b e rt h a t r e s u l t si nv e r ys l o wc o n v e r g e n c eo ft i l ei t e r a t i v em e t h o d se m p l o y e di n c l u d i n gm a n yp o w e r f u l i t e r a t i v em e t h o d ss u c h 鼬c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d i nt h i sp a p e r w ep r o p o s et h ec o u p l i n go f b o u n d a r ye l e m e n ta n gm i x e df i n i t ee l e m e n tf o rt h ed o r i c h l e tb o u n d a r yp r o b l e ma n dt h ec o u p l i n g o f n a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n ta n dm i x e df i n i t ee l e m e n tf o rt h em i x e db o u n d a r yp r o b l e m t h e d e t a i l e da n a l y s i sa r eg i v e n a tl a s t ，w eg i v ea na n a l y s i so fs e n f i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o na n d m n n e r i c a lr e s u l ts u p p o r to n rt h e o r yw e l l c h a p t e r1 o nt h ec o u p l e dn b e ma n dm i x e df i n i t ee l e m e n tf o r l i n e a re x t e r i o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nr ! w uz h e n g p e n g ， td e p a r t m e n to fm a t h e m a t l c s f ud a nu n i v e r s i t y s h a n g h a i2 0 0 4 3 3 p r c h i n a c o r r e s p o n d e n c es h o u l db ea d d c e s s e dt ow uz h e n g p e n g ( e m a i , ：w u z h e n g p e n g 1 2 6 c o m ) a b s t r a c ti nt h i sp a p e r ，b a s e do nt h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o na d v a n c e db y f e n ga n dy u ，w ep r e s e n tan e wm e t h o df o rs o l v i n ga ne x t e r i o rd i r i c h l e tp r o b l e mi nt h e p l a n e t h et e c h n i q u ec o n s i s t si nc o u p l i n gn a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tw i t ht h em i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d a na r t i f i c a lb o u n d a r yi si n t r o d u c e ds o p a r a t i n ga l li n t e r i o rr e - g i o nf r o ma ne x t e r i o ro n e f r o mt h et h e o r yo ft h en a t u r a ib o u n d a r ye l e m e n ti nt h e e x t e r i o rd o m a i nw ed e d u c et h en a t u r a ii n t e g r a lo p e r a t o rw h i c hr e l a t e st h es o l u t i o na n d i t su o r m a ld e r i v a t i v eo v e rt h ea r t i f i c i a lb o u n d a r y t h e s er e s u l t sa r ei n c o r p o r a t e di n t o t h es o - c a l l e dm i x e df o r m n l a t i o no ft h ep r o b l e mi nt h ei n t e r l o rr e g i o n f i n a l l y , af i n i t e e l e m e n ts c h e m ei sg i v e na n de r r o re s t i m a t ei so b t a i n e d k e yw o r d s ：t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d d o i ：6 5 m 6 0 6 5 n 3 0 3 5 q 6 0 1 u t r o d u c t i o n t h ec o u p l i n go ft h eb o u n d a r ye l e m e n ta n dt h ef i n i t ee l e m e n ti so fg r e a ti m p o r t a n c ef o rt h e n u m e r i c a lt r e a t m e n to fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sp o s e d0 nt h eu n b o u n d e dd o m a i n ，i tp e r m i t s t t st oc o m b i n et h ea d v a n t a g $ o ft h eb o u n d a r ve h ，m e n tf o rt r e a t i n gd o m a i n se x t e n d e dt oi n f i n i t y w i t ht h o s e , o ft h ef i n i t ee l e m e n ti nt r e a t i n gt h ec o m p l i c a t e db o u n d e dd o m a i n s t h es t a n d a r dp r o c e d u r eo fc o u p l i n gt h eb o u n d a r ye l e m e n ta n dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d i sd e s e l i b e d f o l l o w s f i r s t t h eu l l b o u n d e dd o m a i ni sd i v i d e ( 1i u t ot w os n b r e g i o n s ab m m d e ( 1 i l l u e rr e g i o na n da l ln n h o u n d e do u t e rn i l e b yi n t r o d u c i n ga l la u x i l i a r ye o n u n o nb o u n d a r ；n e x t c l l pp l o h l e n lkr e d n c e ( 1t oi u ie q u i v a h n to u ei nt l i e | ) o l n n l t l lr p g i o n t ，r t a l i n t t n vw ；i v t o c o i n p l i s ht 1 1 l hr e d l l c t i o n ( 1 e f e l t o 2 - 4 1 0 - 1 7 ：) t i l en a t u r a lh o u n d a r 3 t e d n c t i n l in t e t h o dp r o p o s e dh v f t n ga n d l ：1 0 - 1 2 ：l l ma d v a n t a g e s e l t h et c , u a lh o l n n i r v l t d u c t i o ni n e t h o d ：t l i ec o u p l e db d i u e a rf o r m1 ) r e p l v ba u t o u t a t i e a l l y t h e5 y u n n e t r ya n dc o e r c i v e n e s so ft h eo r i g i n a lb i h n e a rf o r l n s ( n o to n l yt h ea n a l y s i so ft h e d i s c r e t ep r o b l e mks i n t p l i f i e d b u ta l s ot h eo p t i m a ie i t m e s t i n l a t ea n dt h en u m e r i e a ls t a b i l i t y i sr e s t o r e d ( s e e1 1 0 - 1 2 ) o nt h el i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ，t h e r ea r em a n yp e r f e c tr e s u l t sf o rt h e c o u p l i n go fn a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nr e c e n ty e a r s s a l i m m e d d a h if i r s t l yb e g i n st oi n v e s t i g a t et h em i x e df i n i t ee l e m e n ta n db o u n d a r ye l e m e n t m e t h o df o rt l i el i n e a re x t e r i o rp r o b l e u l ( s e e 【6 1 ) i nt l i ep a p e r w ep r o p o s ea n o t h e rn e wm e t h o d o fe o m b l i n g i n gm i x e df i u i t ee l e m e n tm e t h o d n o tf i n i t ee l e m e n t jw i t hn a t u r a lb o u n d a d - e l e m e n t m e t h o dt oi n v e s t i g a t el i n e a re x t e r i o rd i r i e h l e tp r o b l e m t i ”o u t l i n eo ft h ep a p e ri sa sf o l l o w s i ns e c t i o n2 w ed e r i v et h ec o u p l e dv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n o fl i n e a rp r o b l e m i ns e c t i o n3 w ed i s c u s se x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n i ns e c t i o n 4 t h ee r r o re s t i m a t ei so b t a i n e d 2v a r i a t i o n a lp r o b l e m l e trb eac l o s e dp l a n ec u r v ew h i c hs i nr o t m d st h eo r i g i n f l 。= 舻一nb ei t se x t e r i o r d o m a i n c d n s i d e rt h ef o l l o w i n gl i n e a re x t e r i o rd i r i e h l e tp r o b l e m ： - a u = i nn 。， ( 2 1 ) “= 0 ， o nf ， ( 2 2 ) s u b j e c tt ot h ea s y m p t o t i cb e h a v i o rc o n d i t i o n s u ( 霉) = n + o ( 1 i z l ) ， l x i + 。o g r a d “( z ) = o ( 1 i z l 2 ) ，f x l 一o o ( 2 3 ) ( 2 4 ) w h e r efi saf u n c t i o ni nl 2 ( n ) w i t hab o u n d e ds u p p o r ta n dqi sac o n s t a n t m a k ea na r t i f i c a lb o u n d a r yr 2w h o s ec e n t e ri st h eo r i g i na n ds u r r o u n d sra sa na r t i f i c i a l b o u n d a q t h ed o m a i nqi sd i v i d e di n t ot w os u b d o m a i n sb yr 2 ：t h eu n b o u n d e dd o m a i nn 2 a n dt h eb o u n d e dd o m a i nn 1 a s s u m et h a tt h es u p p ，cf 1 2 t h e n ，w eh a v et h eb o u n d a d v a l u e p r o b l e m ：f i u dus u c ht h a t - - a u i = ， i nn l ， ( 2 5 ) 2 1 9 120 ， o nf 一啦= 0 i nf h ， u l = 2 o n r 2 o u l l o v = o u 2 1 0 v o n f 2 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) w h e r er 2 = 加2 i = t r i l l i i t 2 = “j i ba n do v o ud e n o t e st h ed e r i v a t i v eo f 材w l t l lr e s p e c tt of h e n o r n l a lv e c t o r p o i n t i n gf i o mq li n t of 1 2 f o rt h ed i r i c h l e tp r o b l e mw i t ht h ef o u o w i n gh a r m o n i ce q u a t i o no n n 2 ： - - a u 2 = 0 ， i nq 2 t , i2 “2 o nf 2 o u i o v = o u 2 1 0 v o n r 2 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) l e to ( p ，r e ) i st h eg r e e nf u n c t i o nf o rt h el a p l a c eo p e r a t o ro nt h ed o m a i nn 2 ，w h i c hs a t i s f i 一a g ( p ，p ，) = 6 ( p p ，)v p p ，q 2 g ( v ，p ，) i p r 2 = 0 v p t n 2 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) s u b j e c tt ot h es a m e & s y m p t o t i cc o n d i t i o n s u b y t a k i n gt t ，= g ( p ，p ，) ，口= “i ng r e e n s c o l l d f o r m u l a “( p ) ；l 。f ( f f ) g ( p ，) 一厶嘉g ( 弘p ，) “( p ) d p t v p n 。 t h n sw eo b t a i n 掣= 厶m 掣一z ：茄g 州m 砒坳吼 w h e r ena n dn d e t o n et h ee x t e r i o rn o r m a lv e c t o r so nf 2 ( v i e w e d 够t h eb o u n d a d - o f n 2 ) a tt h e r e s p e c t i v ep o i n t spa n dp 1 e t 警= 一鬻：- - 一u 2 ：f 篇g 州) 】( - 0 ) u 2 ( 1 j ) d s t 2 ( f f ) d s t ，v p r 2 ( 2 1 5 ) 刁芦2 一百i2 。上、【否二历7 g ( p ，) j ，v p r 2( 2 - 1 5 ) r e m a r k 2 1 t h e o p e r a t o r k ：日；( r 2 ) h 何一 ( r 2 ) i s j l l s t t h e d i r i c h i e t n e u m a n n 。p e r a f o r ( s t e k l 。v p o i n c a r eo p e r a t o r ) f o rq 2 ( r e f e rt o 1 2 1 ) s o ，i ti ss y m m e t r i ca n d s e m i p o s i t i v ed e f i n i t ew i t hr e s p e e t t ot h ei n n e rp r o d u c t r 2r e f e rt o m 1 ) ，a n dw eh a v et h ef o l l o w i n g , e m m a2 , 2 3 矽 丝射 口一 竺射 似 z i i 矽叫 ”一口 五 t 驴 詈： r e m a r k2 2 nhac i r c l e i h eg r e e n sf u n c t i o ng i p p 1c a nb ee x p r e s s e de x p l i c i t l y f r e x a l n p l e i l lt l i ec a s et h a tt i l ec e n t i lo ft h ec i r c h - f zi st h e 0 s u c ht h a t ( s e e 1 2 1 ) 西( 蜘，u o ) 。2 ( r ：胂v u o h 1 ，2 ( r 2 ) i n ， w e ? l u l p l y f o r m a l i ye q ( 2 1 9 ) b yat 鹤t r u n e t i 。n 肛h 1 ，2 ( r 2 ) na n di n t e g r a t e 。v e rf 2 , t o 0 d r a i n z 。f ) p + z 。( 叼) 础= 。， v # eh 1 2 ( r 2 ) 腮 ( 2 2 0 ) w h e r e 9 = “l j n = u 2 r 2 e q u a t i o n s ( 2 1 7 ) ( 2 1 s ) ( 2 2 0 ) l e a dt ot h ew e a kf o r m u l a t i o n 5 f i n dp w g h 1 2 ( r 2 ) r “l l z ( q 1 ) 上。pq 山+ ，1 h u id , t q 打一z 2 q q z 小= n v qe w ,。， f ，r 吣一，l 们 职n t )f 2 2 2 z 。( ”1 f ，+ z j ( 训m s - 0 v f h l 2 ( r 2 ) 斤( 2 粥 3e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s l e t1 1 sd e n o t eb yq = i 矿( h 1 2 ( r 2 ) r ) w ei n t r o d u c et h ec o n t i n u o u sb i l i n e a rf o r mn ( ) o n 0x qd e f i n e db y 州p ( q p ) ) 2 z ，p 。q 出+ z ：p p 。础十z 。( 螂) p d s z ：。q 蒯s a n dt h ec o n t i n u o u sb i l i n e a rf o r m6 ( ，) o n0xl 2 ( q 1 ) 加卜f 1 1 v d z v 啦 c