（原子与分子物理专业论文）kerr介质中腔耗散双光子jc模型的纠缠动力学.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 里德堡原子的实验研究取得突破性进展，激发了人们对扩展j _ c 模型研究的兴 趣，其主要方法是通过腔耗散或加k e r r 介质来修正j - c 模型。把j - c 模型同时扩展到 腔耗散和力h k e r r 介质的情况，到目前为止，仅有一篇文章做了类似工作。但是他们 在讨论耗散或k e r r 介质对原子与光场之间纠缠的影响时，都用的是线性熵理论。光 场的线性熵( 原子线性熵) 描述的是光场( 原子) 与原子( 光场) 和环境组成系统 之间的纠缠，它不能描述原子与场两者之间的纠缠。所以用线性熵描述原子与光场 之间的纠缠不够完美。 当一个系统由三个元素组成( 比如a ，b 并g l c ) ，o l a y a - c a s t r o 等人用下面的式子来 描述原子与光场的内秉纠缠( i n t r i n s i ce n t e n g l m e n t ) ，e ，占= 邑+ 品一配，口，色j 非常好地描述了a ，b 之间的内秉纠缠。本文用o l a y a - c a s t r o 等人理论研究t 2 日k e r r 介 质腔耗散双光子j _ c 模型中，k e r r 介质对原子、光场、环境( 耗散腔) 两两之间内秉 纠缠的影响( a 、f 、e 分表代表原子、光场和环境) 。结果表明随着k e r r 介质的增强e ， 色。，e 加随时间演化周期变小；k e r r 介质抑制了原子、光场、环境之间的内秉纠 缠。 许多物理问题，比如宇宙学、量子光学、粒子物理、量子测量和量子计算、量 子信息理论都涉及到解主方程( m e ) 问题。因此找到一种方便快捷的求解主方程的 方法就显得至关重要。已经有很多求解主方程的方法，既有求解析解，也有求近似 解。第一类，c 数等效方法。第二类，超算符l i e 代数方法。本文第二个工作就是 用超算符求解了由相干态叠加态和热库组成的系统随时间演化的矩阵元，运用线性 熵理论讨论了色散对相干态叠加态叠加的影响，得到与d f w a l l s 相同的结论。 关键词：k e r r 介质； 线性熵；纠缠； 超算符；振幅耗散；相位耗散 a b s t r a c t e x p e r i m e n t a la c h i e v e m e n t sw i mr y d b e r ga t o m se x p l a i nt h er e v i v a lo fi n t e r e s t si n t h ej c ma n di t sv a r i o u sg e n e r a l i z a t i o n s t w oo ft h ei m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n sa l et h e j c mw i t hc a v i t yc a m p i n ga n dj c m 、7 i ，i t l lk e r rm e d i u m i ti si n t e r e s t i n gt og e n e r a l i z e j c m 、i t l lb o mc a v i t yd a m p i n ga n dk e r rm e d i u m t oo u rk n o w l e d g e ，t h e r ei so n l yo n e s u c hg e n e r a l i z a t i o n si nl i t e r a t u r e i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h ee f f e c to fd i s s i p a t i v eo rk e r r m e d i u mo nt h ee n t a n g l e m e mb e t w e e na t o ma n df i e l d ，a l lo ft h e mu s e dl i n e a re n t r o p y t h e o r y t h el i n e a le n t r o p yo ft h es y s t e mi saq u a n t i t yt o d e s c r i b et h ee n t a n g l e m e n t b e t w e e nt h es y s t e m ( f i e l dp l u sa t o m ) a n de n v i r o n m e n t ( d i s s i p a t i v ec a v i t y ) ，a n dt h el i n e a l e n t r o p yo ft h ef i e l d ( a t o m ) i su s e dt od e s c r i b et h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nf i e l d ( a t o m ) a n d a t o m ( f i e l d ) p l u st h ee n v i r o n m e n t t h e r e f o r e ，i ti sn o tp e r f e c tt ou s e t h el i n e a le n t r o p yo f t h ef i e l d ( a t o m ) t od e s c r i b et h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nf i e l d ( a t o m ) a n da t o m ( f i e l d ) f o ras y s t e m 丽mt h r e ec o m p o n e n t s ，a ，ba n dc ( f o ro u rc a s e ，ai saa t o m ，bi sa f i e l da n dci se n v i r o n m e n t ( d i s s i p a t i v ec a v i t y ) ，o l a y a - c a s t r oe t a ls h o w e dt h a tt h e i n t r i n s i ce n t a n g l e m e n t ， e a j b = s a + s b s b i sag o o dq u a n t i t yt od e s c r i b et h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e naa n db ，w h e r es a ，sba n d 吼声a l et h el i n e a le n t r o p i e sf o rt h ec o m p o n e n t 凡ba n ds u b s y s t e ma a n db ，r e s p e c t i v e l y i nt h i st h e s i s ，w eu s et h eq u a n t u ms y s t e mo fj cm o d e lu n d e r g o i n gt w o - p h o t o t r a n s i t i o ni nad i s s i p a t i v ec a v i t yw i t ha na d d i t i o n a lk e r rm e d i u mt oi n v e s t i g a t et h e e n t a n g l e m e n tb e t w e e na t o ma n df i e l d , e n t a n g l e m e n tb e t w e e na t o ma n de n v i r o n m e n ta n d e n t a n g l e m e n tb e t w e e nf i e l da n de n v i r o n m e n tt h r o u g ht h i st h e o r y i t i ss h o w n ：k e r r m e d i u mn o to n l yc h a n g et h ep e r i o da n da m p l i t u d eo fe o 。f ，e o 声a n d e f 声，b u ta l s o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s r e s t r a i n st h ei n t r i n s i ce n t a n g l e m e n tb e t w e e na t o ma n df i e l d m a n yp h y s i c a lp r o b l e m si nv a r i o u sf i e l d ss u c ha sc o s m o l o g y , q u a n t u mo p t i c s ， p a r t i c l ep h y s i c s ，q u a n t u mm e a s u r e m e n t , q u a n t u mc o m p u t a t i o n , a n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h e o r y , a r er e l a t e dt os o l v i n gt h em a s t e re q u a t i o n s oi ti si m p o r t a n c et of i n da c o n v e n i e n c em e t h o dt os o l v et h em a s t e re q u a t i o n o fe o u r s e ，s o m ew e l l - k n o w nm e t h o d s h a v eb e e nd e v e l o p e d , e i t h e re x a c t l y , o ra p p r o x i m a t e l y c - n u m b e re q u i v a l e n ti so n e m e t h o d ，s u p e r o p e r a t o ro fl i ea l g e b r a si sa n o t h e rm e t h o d i nt h i st h e s i s ，w es t u d i e dt h e e f f e c to fd i s s i p a t i o no nam a c r o s c o p i cs u p e r p o s i t i o no fq u a n t u ms t a t e sa n dg e tt h e & u n e r e s u l t ：as u p e r p o s i t i o no ft w os t a t e si sr e d u c e dt oam i x t u r ea tar a t ep r o p o r t i o n a lt ot h e s e p a r a t i o nb e t w e e nt h et w os t a t e s k e y w o r d s ：c r o s s k e r rm e d u i m ；l i n e a re n t r o p y ；e n t a n g l e m e n t ；s u p e r o p e m t o r ； a m p l i t u d ed a m p i n g ；p h a s ed a m p i n g ； i i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 rt 作者签名： 渺7 日期k 7 年6 月1 日 、j f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 名：肌名：张 日期：1 口国年6 月l 日 日期：d q 年6 月乙月 l 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回意途塞握交卮进卮；旦圭生；旦二生；咝生发查! 作者签名： 日期：f 月v 日 摊名：糊 日期：d 年0 月刁 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引言 物质和光场的相互作用是量子光学最感兴趣的话题之- - 1 】，1 9 6 3 年， e t j a y n e s 和e w c u m m i n g s 两人提出了表征单模光场与单个理想二能级原子单光 子相互作用的j a y n e s - - c u m m i n g s 模型( 以下简称标准j c m ) 【2 】，这就是历史上著名 的标准j c m ，它是一个数学意义上的可精确解模型( 旋波近似下可以精确求解) 。 这个模型的建立，标志着量子光学的正式诞生。j c 模型的成功不仅因为它成功反 映了动力系统的许多纯量子特性，比如r a b i 谐振子的坍塌与回复【3 4 】、压缩光 场 5 】、光子数准泊松统计【6 】，还因为它的预言很容易被实验所证实 7 8 】。从而使这 个单纯的理论有了实验和应用价值。实验上把激光冷却 1 0 】的囚禁粒子与q e d 腔的 相互作用原子与场的相互作用来模拟原子与场的有效相互作用，粒子做谐振模式运 动【9 】。通过q e d 腔实验观测到原子激发态的回复【1 1 】为散射光子提供直接证据。为 了修正j - c 模型，很多文献开始考虑多光子过程 1 2 1 和虚光子过程，增加原子能级 以支持第二个共振 1 3 1 5 】，增加二能级原子个数等等 1 6 】。处于动量本征态的三能 级原子与单模 1 4 】、双模光场【1 5 】在附加k e r r 介质的情况下相互作用已经被研究。 一个依赖耦合强度的由n 能级原子和n 1 模光场 1 7 】在单光子、多光子跃迁也被报 道。 里德堡原子的实验研究取得突破性进展，激发了人们对扩展j c 模型研究的兴 趣。但主要是从考虑腔耗散和 g l k e r r 介质来修正j c 模型。 在过去二十年里，耗散对量子系统的影响引起了人们的广泛兴趣 1 8 - 2 7 ，实验 上制备的高激发态里德堡原子使扩展j c 模型的一些预言得到证实。除了实验的驱 动，理论上的耗散机制也引起了理论家们对j c 模型研究的兴趣。耗散使原子和光场 组成的系统与环境之间发生了信息交换，在理论计算中，通常用热库来代替环境。 系统和环境的不可逆耦合作用导致了退相干，使相干态变成统计混态，致使量子计 算和量子通信中出现差错。 这一类的观点已经得n t 解析解和数值解的证实 2 5 - 2 7 。毫无疑问，纠缠是量 子理论中的最基本理论【2 8 】。奇特的非经典关联把量子理论与经典理论区分开来。 纠缠的非经典和非局域性使人们更好的解释一些基本的量子现象，比如e p r 佯谬 【2 9 ，b e l l 不等式 3 0 】等。同时在密码分配【3 l 】、量子隐形【3 2 】、量子编码 3 3 】和量子 通信中的应用，也被视为基本的物理资源。纠缠的制备是进行量子计算和通信的先 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 决条件【3 4 】，许多文章对标准j - c 模型纠缠的性质做了详细的研究 3 5 4 2 】。 d e w a l l 和g j m i l b u m 用m a r k o v i a n 主方程的方法定性的讨论了耗散对初始态 为相干态叠加态的光场的影响 4 3 1 。j g p e i x o t od ef a r i a 等人研究了色散近似下j c m 的耗散动力学，并且研究了耗散对两个系统( 原子+ 场) 纠缠的影响 4 4 】。周等人研 究了双光子j c m 耗散动力学问题，结果表明：腔耗散对场态的相干性产生影响 4 5 】。 m a t t e ob i n a , f e d e r i e oc a s a g r a n d e 等人精确求解了两个受控二能级原子与耗散场腔之 间的藕合问题 4 6 】。j g p e i x o t o d e 和m c n e m e s 用熵的方法研究了旋波近似下腔耗 散j c 模型原子与场的纠缠情况。腔耗散不仅影响系统的相干性质，也影响原子的 相干性质。场在f = 等时会出现短暂的退纠缠现象，这与耗散无关【4 7 】。 k e r r 介质在制备量子态上有着重要意义，而量子态是量子光通信学和多模压缩 理论的基础 4 8 。因此研究原子与场在k e r r 介质中的中的相互作用就有着重要意 义。w e r n e r 和r i s k e n 4 9 对k e r r 介质的潜在应用做了研究，认为在k e r r 介质中 腔耗散和热场对场的压缩效应的影响微乎其微。发现它随时间的演化与经典物理中 的二项式态，热态，压缩真空态非常相似，这就说明这种系统下任何场态都能揭示 这种现象。b u z e k 和j e x 考虑了附加k e r r 介质的高q 腔中，光场与二能级原子的单 光子过程( 即不考虑腔体的单光子损耗) ，分别研究了k e r r 介质对原子动力学行为 和对光场性质的影响 5 0 5 5 ，结果表明，与j _ c 模型相比，k e r r 介质的存在使得 原子粒子布居差的回复效应更加有规律，初始时处于激发态的原子可以发生激发 态能量的相干捕获，光场的压缩效应因k e r r 效应发生明显的变化，即使在极弱的 k e r r 效应的影响下，光场的压缩程度也会显著减弱。j o s h i 和l a w a n d e 5 6 研究发 现腔场和k e r r 介质的非线性耦合导致j c m 的荧光光谱急剧变化。j o s h i 和p u r i 将 上述模型的单光子过程推广为简并双光子过程 5 7 ，通过考虑光场准概率分布函数 ( q 函数) 随时间的演化，揭示了k e r r 介质对原子动力学行为的影响。李高翔讨论 了充满k e r r 的高q 腔中，双光子h 模型中光场和原子偶极的压缩效应 5 8 3 。 三能级原子系统有着重要性质，比如激光的无粒子数反转，电磁场诱导透明， 光子反冲下的激光冷却等等 5 9 6 2 ，在研究这些问题的时候b - j 模型被扩展到三 能级原子 6 0 6 5 。l a i 6 4 等人研究了非共振条件下一个三能级原子和双模相干 场相互作用，发现k e r r 介质导致原子跃迁发生移位，被称为绝热散射移位。通过 改变非线性k e r r 介质三阶极化率的来研究这类问题。这种方法在实验上实现起来 很不方便。单模场的情况在文献 6 6 3 中提及到了，但绝热散射移位在给定的原子初 2 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 态情况下没有得到。周青春 6 7 研究一个三能级原子与单模光场相互作用时发现， 在加k e r r 介质情况下，仅改变初始场强度就可以获得绝热散射移位，这在实验上 实现起来方便了很多。在这个系统中同揭示了k e r r 介质对场统计的影响，在一定 条件下k e r r 介质可以提高场的准泊松分布。 。 把j c m 模型同时扩展到腔耗散和力h k e r r 介质的情况，到目前为止，仅有一篇文章 做了类似工作 6 8 。本文主要是讨论在加k e r r 情况下腔耗散j c m 的动力学特性。 p e i x o t o 和f a r i a 等人利用j c m 研究色散近似，耗散腔在零度条件下原子和场纠 缠和退相干情况。周等人讨论了二能级原子在s t a r k 移位情况下与耗散腔的双光子过 程的动力学特性。为了研究原子( 光场) 与光场( 原子) 之间的纠缠，他们用的都 线性熵理论。系统的线性熵描述的是原子和光场组成的系统与环境之间的相互作 用。光场的线性熵描述的是光场与有原子和环境组成系统之间的纠缠。同理，原子 的线性熵也是如此。所以用线性熵描述原子与光场之间的纠缠是不完美的。 当以个系统由三个元素组成，比如a ，b 和c ( 在这里分别代表原子、光场和环境) o l a y a - c a s t r o 等人用下面的式子来描述原子与光场的内秉纠缠( i n t r i n s i c e n t a n g l e m e n t ) 6 9 ， e a b = s a + s b s b 巳，口是一个非常好的用来描述了a ，b 之i 茸- j g q 缠的。其中邑，& 和邑j 分别表示a 的线 性熵、b 的线性熵和由a 与b 组成子系统的线性熵。 许多物理问题，比如宇宙学 7 0 、量子光学 7 1 、粒子物理 7 2 、量子测量和 量子计算 7 3 、量子信息理论 7 4 都涉及到解主方程( m e ) 问题。事实上，量子系 统由于处在一定的环境中，就会和环境发生相互作用，从而丢失量子特性( 非局域 性、纠缠、退相干等等) 。因此找到一种方便快捷的求解随时间演化密度矩阵元的 方法就显得至关重要。已经有很多求解主方程的方法，既有求解析解，也有求近似 解。归结起来主要有以下两类： 第一类，c 数等效方法。包括对稳态情况在粒子数表象中的c 数方程法；求算 符期望值的c 数方程法；p 表象、q 表象、w i g n e r 函数表象下f o k k e r - - - p l a n c k 方程 方法等等。这些方法的共同点和实质都是将算符方程转化为普通函数方程，或是算 符的矩阵元方程，成为联立方程组，适当将其截断再用代数方法求解。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二类超算符l i e 代数方法。算符的量子变换理论用到密度算符上，拓展成为 各种超算符变换，发展成为用超算符l i e 代数求解主方程的方法，也即求解主方程 的量子变换方法。 d f w a l l s 和g j m i l b u r n 用m a r k o v i a n 主方程方法研究了色散对微观量子叠 加态的影响【4 3 】。他在解密度矩阵元的时候用的是路径积分的方法。本文利用超算 符方法求解随时间演化的密度矩阵元，并且用线性熵理论讨论了色散对微观量子叠 加态的影响，得到相同的结论。 本文研究的主要内容： 第二章，介绍了标准j c 模型，推导了加k e r r 介质双光子j - c 模型在大失谐条 件下的有效哈密顿，讨论了腔耗散情况下密度矩阵元随时间的演化。 第三章，首先讨论了加k e r r 介质腔耗散双光子j c 模型中原子、场和系统的线 性熵随时间的演化情况，然后利用a l e x a m d r ao l a y a - c a s t r o 等人的方法，讨论了原 子与场、原子与环境( 耗散腔) 、光场与环境的内秉纠缠( i n t r i n s i ce n t a n g l e m e n t ) 。 第四章，简单介绍了超算符理论，并用超算符求解了由相干态叠加态和热库组 成的系统随时间演化的密度矩阵元，运用线性熵理论讨论了色散对微观量子叠加态 的影响，得到与d e w a l l s 相同的结论。 第五章是对本文的总结和展望。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章k e r r 介质中腔耗散双光子h 模型主方程的求解 2 1 标准h 模型及其演化规律 1 9 6 3 年，e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 两人提出了表征单模光场与单个理 想二能级原子单光子相互作用的j a y n e s - - c u m m i n g s 模型( 以下简称标准j c m ) ， 这就是历史上著名的标准j c m ，它是一个数学意义上的严格精确可解模型。 j - c 模型在旋波近似下的哈密顿量为 这里口+ ，口分别为频率为国的单模光场的产生算符和湮灭算符，r = i e ) ( g i 鼠= l g ) ( e l ，蔓= 0 口) ( p l - ig ( 9 1 ) ，描述的是本征跃迁频率为的二能级原子行为 果二能级原子的基态| _ ) 和激发态i + ) 取以下形式： 一 i 一) = ( ? ) ， l + ) = ( 三 ， ( 2 2 疋= ( 言二丢 ，& = 三二 ，s + = ：) ： ， 把哈密顿( 2 1 ) 式写成下述形式 日= h o + v ( 2 3 ) 其中风为裸露原子与光场无耦合情况下的能量算符： n 0 2 c oos ：+ 国口+ 口 ( 2 4 ) 很显然日和h o 之间满足 阮，矿】= 0 ( 2 5 ) 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 矢集 k ) ) 和原子能量本征矢 | + ) ，i - ) 的直积。利用此完备基矢集可以把原子一光场 耦合系统的任意态矢展开。 上式中i ，万) 描述辐射场具有n 个光子而且原子处在本征能态l + ) 。显然，对于 本征态矢i ，刀) ，风有本征值( 缈刀孚) 。因此风在此表象中是对角化的。而且当 = 国时，i - o 的能级除了基态i 一，0 ) 是单层外，其它能级均为双层简并。可是，当 国时，基态能级i - o ) 仍为单层外，其它各层能级则为相距国的双层能级，此时 简并被解除。然而，i ，玎) 不是相互作用哈密顿量v 的本征态，但是因为风与v 对 易，我们可以通过选择风的本征态矢的线性组合而找到两者都对角化的表象。 为此，先把日在基矢集i ，刀) ) 构成的表象中的矩阵表示写出来，然后对其进行 对角化。由矩阵元( ，刀1 日1 - + ，刀) ( 甩，刀，_ o ，1 ，2 ) 可以知道，在每一个矩眵元不为 零的子空间 _ ，n + o ，j + 磅) 中，日的矩阵表示为 日= 盼黑一l 汜6 ， 其本征矢可以由l _ 刀+ 1 ) 和l + ，甩) 线性叠加构成， lz f 肘1 ) = s i n o + l l _ ，刀+ 1 ) + c o s 见+ l i + ，) = s m 只件。i 行+ ) 口 + c o s 吃+ i 疗) 毛 其归一化条件见+ 。满足 s i n 2 吃+ l + c o s 2 吃+ l = l 由本征值方程 h i u 肿。) = e + 。1 4 州) 6 ( 2 7 ) ( 2 8 )， ( 2 9 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 防k 1 墨| _ 0 其解为五知= 国( 刀+ ) 。肘l 其中 a 斛l = ( 竺产) 2 + s 2 ( 以+ 1 ) 与能量本征值磙相应的本征态矢 i 甜：。) = c o s 以i + ，疗) + s 洫见+ 。i _ ，刀+ 1 ) ( 2 1 0 ) 这里的吃+ 。满足 帆：鲁2 对于基态，h 的本征能量为e o = 一孚，与之相应的本征态矢为f “。) = i 一，0 ) 。这 共振情况( c o = c o o ) 下，原来h o 中的简并因原子一光场的相互作用被解除。我们把 前的原子。由州= ( 孚) 2 + 占2 + 1 ) 可知，激发态被拉开能级间距州与原子一 2 2 标准删的局限性 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 4 标准j c m 是一个线性相互作用模型，而对于场一原子之间以及原子一原 子之间的各种非线性交叉耦合相互作用未进行任何探讨； 5 标准j c m 是在旋转波近似下获得的，而对于未作旋转波近似时虚光场的 影响等未进行任何探讨。 2 3 克尔( k e r r ) 介质和克尔效应 2 3 1 经典的克尔效应 1 8 7 5 年j k e r r 发现某些各向同性透明介质在外加电场下具有双折射性质。设 刀口和力上分别为介质在外加电场后平行和垂直电场方向的折射率，折射率差 6 n = r 1 | 一班，那么a n = 凡舾2 ( 五。是光在真空中的波长，e 是外加电场强度，七是 克尔常数) ，因此a n 不是与e 成正比而是与e 2 成正比，所以克尔效应是一种非线 性效应，常将其称为平方电光效应。当光通过这种加上调制电场的透明介质时，介 质中平行和垂直电场方向的光在经过一定长度后发生相位差，所以克尔效应起可变 波片的作用，其特点是响应快，可达1 0 1 0 h z ，因此可作高速摄影中的快门，对光强 进行调制。 2 3 2 克尔介质的非线性过程 近年来，非线性克尔介质对光场性质的影响越来越引起人们的注意。研究发现 克尔介质对光场与原子相互作用系统的量子特性有重要影响。 当两束光同时入射到克尔介质时，由于克尔效应的存在，两束光将发生相互作 用。相互作用的哈密顿量可以写为 h 。i = h k n 。n 6 = h k a + a b + b ( 2 1 1 ) 其中k 代表耦合系数，反映了克尔效应的强度，与n b 分别是两个相互作用光 场模式a 和b 的光子数算符，口+ ( 口) 为a 模的产生( 湮灭) 算符，6 + p ) 为b 模的产 生( 湮灭) 算符。 与上述哈密顿量对应的时间演化算符为 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 叭f ) = e x p ( - 巩f ) = e x p ( - i n a n b k t ) ( 2 1 2 ) 仃 考虑两束入射光分别为光子数态和相干态的情形，则两束光在介质中传播时间 t 后的光场态演变为 。 u ( f ) i 刀 口l 口 6 - - - i 刀 口lt t , e 一舳 6 ( 2 1 3 ) 其中处于f o c k 态的模a 的状态不发生变化，而处于相干态的模b 的相位改变 了n r ( r = k t ) 。特别是当入射光场a 处于单光子态i l 。时，光场b 的末态为 l1 7 e 一7 。，相位改变量f = k t 由克尔效应耦合系数和相互作用时间共同决定。 i 狞 l 掰 交叉克尔 非线性介质 l 开 l 窿e 山船 图2 1f o c k 态光场与相干场在交叉克尔介质中相互作用 k e r r 介质中的j c m ，最初是由g s a g a r w a l 和r r p u r l 两人于1 9 8 9 年提 出的。这个模型，主要用来表征位于充满k e r r 介质的高q 腔中( 即不考虑腔体 的单光子损耗) 的单个理想二能级原子与单模光场单光子相互作用过程中k e r r 效应对于场一原子系统的各种动力学特性的影响程度的。后来，人们很快将它 推广到了单模光场简并双光子和简并多光子以及双模光场非简并双光子相互 作用的情形。 2 4k e r r 介质双光j _ c 模型在大失谐条件下的有效哈密顿 在试验室里，先把耗散的腔中充满k e r r 介质，再把k e r r 介质打个小孔， 让二能级原子在穿过小孔的过程中与光场和k e r r 介质发生耦合。在理论分析 上我们用一个谐振子的哈密顿来代替非线性k e r r 介质的哈密顿。于是系统的 哈密顿在旋波近似下就可以写成： h = 国。口+ a + m k b + 6 + o s ：+ q b + 2 b 2 + p k + b + b + 口) + g k + 2 s + + 口2 豇) ( 2 1 4 ) 这里a + ，a 与b + ，b 分别为频率为织被用来代替的单模光场的产生算符和湮灭算 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 符和频率为吼被用来代替非线性k e r r 介质的谐振子的产生算符和湮灭算符。 & = i p ) 侮ls + = l g ) ( p i ，s z = 圭0 p ) ( 口l i g ) 佑i ) ，描述的是本征跃迁频率为的二能 级原子行为的赝自旋算符。p 为光场一谐振子耦合系数，g 为原子一光场耦合系数。 假设k e r r 介质对场非常敏感，整个过程是一个绝热过程，那么系统的哈密顿就 应该只包含与原子和光子有关的算符。在绝热限制下，两个谐振子的频率和q 相 隔很远。我们引入第三个非线性磁化系数z ，z 是与介质三阶非线性极化率有关的、 反映k e r r 效应强度的常数，系统的的哈密顿简化为： h = 国日+ a + c o o s ：+ 翘+ 2 口2 + g 【口+ 2 瓯+ 口2 奠) ( 2 1 4 ) 其中z = ? 么，国= 一哆，= 吐一吼。 把日在基矢集 ，刀) j 构成的表象中的矩阵表示写出来 ( e , n h e ，刀) = ( p ，n l c o a + a + c o o s ：+ z a + 2 口2 + g k + 2 鼠+ 口2 s _ l p ，刀) ( 2 1 5 ) = c o n + 詈+ x n ( n 1 ) ( g , n + 2 l h l g ，疗+ 2 ) = ( g ，刀+ 2 l 仞口+ a + c o o s ：+ z a + 2 口2 + g g + 2 s + + 口2 s g ，拧+ 2 ) = c o ( 刀+ 2 ) 一争+ z ( 刀+ 1 ) ( 刀+ 2 ) ( e , n l n l g , n + 2 ) = ( e ，n c o a + a + c o o s ：+ z a + 2 口2 + g g + 2 s + + 口2 s g ，甩+ 2 ) = 9 4 ( n + 2 x n + 1 ) ( g ，+ 2 1 h i p ，”) = ( g ，刀+ 2 f 仞口+ a + c o 。s ：+ z a + 2 口2 + g ( 口+ 2 s + + 口2 s 一】p ，行) = 9 4 ( n + 2 x n + 1 ) 由本征值方程 m i ) = e 1 u 。) ( 2 1 6 ) 【g c o 、n 佩+ 譬+ z 丽n ( n - nc o ( 刀+ 篓麓咆亿【g ( 聆+ 2 ) ( 刀+ 1 )刀+ 2 ) 一孚+ z ( 刀+ 1 ) ( 万+ 2 ) j l ”z 一l 2 乞 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 坼，u z 分别为原子与场没有相互作用时的本征矢的线性叠加。这个本征值方程 的解为 皿。= c 0 ( n + 1 ) + z ( n 2 + 丹+ 1 ) a 。 ( 2 1 8 ) 其中a 。= 、 8 - 2 z ( 2 n + 1 ) 2 + 4 9 2 g + l 渤+ 2 ) ( 万= 一2 c o 表示原子与场的失 谐程度) 表示除基态为单层外，其它双层简并能级之间拉开的距离。下面我们在大 失谐条件下( 万 4 ( ( n + l x n + 2 ) ) ，对。做一些纯数学上的近似： 。= 陋一2 z ( 2 刀+ i 刈i + 4 e , ( n + i x n + 2 ) ( 2 1 9 ) 其中4 赢g + 1 勋+ 2 ) 0 ， e 。l p ，刀) ，尻。ji g ，n + 2 ) ( 2 2 2 ) 若万 0 ， e 。- l g ，刀+ 2 ) ，e - - - + e ，刀) ( 2 2 3 ) 表示原子在光场的作用下从高能态跃迁到低能态同时产生两个光子，从低能态 跃迁到高能态同时要吸收两个光子。 我们用以+ 和h 一分别表示原子处在激发态和基态的哈密顿，则： 皿+ i 刀) b o + 1 ) + 导+ z 0 2 + 刀+ 1 ) + 譬g + 1 勋+ 2 ) j ) ( 2 2 4 a ) 日二i 刀+ 2 ) b o + 1 ) 一手+ x ( n 2 + n + 1 ) 一譬g + l 勋+ 2 ) 1 刀+ 2 ) ( 2 2 4 b ) 我们把国仍+ 1 ) + 季+ z 0 2 + 刀+ 1 ) + 譬g + 1 x 刀+ 2 ) 用粒子数产生算符口+ 和湮灭算符口 表示可以得蛰i ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s h + + = c o ( a + 口+ 1 ) + 手+ z ( 口+ a a + a + a + 口+ 1 ) + 譬( 口+ 口+ 1 ) ( 口+ 口+ 2 ) ( 2 2 5 a ) 相同的放法可以得到日一哈密顿的具体表达式： 月一= r o ( a a + 1 ) 一号+ z ( d + 口一2 ) ( 口+ 口一2 ) + ( 口+ 口一2 ) + 1 ) 一手( 口+ 口一1 ) a + 口 下面我们写出系统的有效哈密顿： h o l e ，刀) = b g + 1 ) + 朝哪) = b + 孚】p ，力) h 。i g ，以+ 2 ) = p g + 1 ) 一李】g ，疗+ 2 ) ：b o + 2 ) 一孚】g ，拧+ 2 ) ( 2 2 5 b ) ( 2 2 6 a ) ( 2 2 6 b ) 日瑟：蝴+ 口+ 。s ：+ l z ( a + a a + a - i - o + a + 1 ) + 譬( 口+ 口+ k + 口+ 2 ) 1 e ) ( e i 。 + k ( ( 口+ 口一2 ) ( a a - 2 ) + a + a w 2 ) + 1 ) 一譬( a + a - 1 ) a + 口l g ) g l ( 2 2 7 ) 2 5 主方程随时问的演化 在相互作用绘景中，单个二能级原子与光场在附加k e r r 介质中的双光子 作用过程，考虑到场的相位耗散，系统的密度算符满足 吾p o ) = 一f k 罗，p ( f ) j + t 以) f 艮( f ) = ，g p h 2 + 2 徊一z ) f 刀) ( 聊i v 亟兰 厶石丽 m e x p - i t ( z - d ) n 2 - ( 3 z - n ) 甩一( z 七q ) 坍2 + ( 3 q + z ) 拧 - 2 , ( n - m ) 2t l n ) ( m 1 4 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 a ) ( 2 3 8 b ) ( 2 3 8 c ) ( 2 3 8 d ) 丛川 。 2 一一 p i i 一 口 ，t m = 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章k e r r 介质中腔耗散双光子j c 模型动力学特性 3 1 原子与光场线性熵随时间的演化 3 1 1 线性炳的意义 当系统处于纯态时，乃p 2 ) = 1 ，当系统处于混合态时，乃p z ) l ，由此人们 提出了线性熵的概念，其定义为： s = l 一乃2 ) 用来量度所研究的系统对纯态的偏离。线性熵s 的取值范围为： 0 s 1 如果某一系统从相干叠加态，随时间的演化，退化为混合态，在这一过程中， 线性熵的数值增加，其相干性减小，包含在态矢中的信息会丢失。 如果系统线性熵足够大，则系统的部分转置密度矩阵正定，对于两量子位系统， 当系统线性熵s 时，两量子位彼此分离。 3 1 2 原子的线性熵 乞( f ) = 卜规2 0 ) ( 3 1 ) = l - ( e l p 0 ( t ) 2l e ) 一( g l p o ( t ) 2i g ) 斗归w k2 e _ 2 斟z 荟譬唧卜2 彳) + ( 2 z + q ) ( ) ) 坩坩小科荟譬e x p - 2 豇2 彳) + ( 2 z + q ) ( ) ) 2 i 玎l r g l 2 卜卅2 荟譬却始彳) + ( 2 舢埘 3 1 3 场的线性熵 硕士学位论文 【a s t e r st h e s i s 乃( f ) = l 一乃乃2t ) ( 3 2 ) = 1 _ ( 引疋i ) + ( 引忍l ，) + e q l p 嚣a 1 1 ) + e q l p 耋1 1 ) l ，ji，j 小名1 2p 哗9 k 蜉e x , - t e 2 q ( , 2 搿) + ( 4 z + 2 q ) ( h ) 瑚( h ) 2 0 一p 丢蜉唧陬叫2 悱1 4 口荆丢辱唧陬叫2 f ) 埘i t s l 2 e - 2 1 口：丢蜉唧”q ( 卜尼2 ) + ( 4 z + 2 f 2 ) ( m ) 埘( h ) 2 r ) ：1 _ 刊2 蜉e x p - 2 n ! m 兄( ) 20 智 ! 、7 j 1 4 k 1 21 名1 2s i i l 2 互 2 ( n 2 - - 朋2 ) + ( 2 z + q ) ( 刀一历) f ) 3 1 4 系统的线性熵 f ( f ) = 1 一t r p 2 ( f ) 斗到健( i1 0 小p 叫砰蜉e 印f _ 2 五g m ) z