（计算数学专业论文）带形状参数的三角多项式coons曲面的研究.pdf

硕士学位论文 摘要 摘要 c o o n s 曲面自诞生以来，其应用的关键是曲面内部形状的控制。除 了边角条件之外，控制函数是影响c o o n s 曲面形状的另一因素。本文首 先主要介绍了几种c o o n s 曲面的构造方式，其控制函数均是以多项式基 构造出来的。双三次c o o n s 曲面片是其最普遍的应用形式。由于三角函 数有良好的微积分特性，因此本文尝试以三角函数为基来构造双三次 c o o n s 曲面的控制函数。给出了一类含参数的三次三角多项式混合函数， 在此基础上构造了一类三次三角多项式混合c o o n s 曲面片，提出了带形 状参数的双三次三角多项式c o o n s 曲面片的表达式。所构造的曲面具有 双三次c o o n s 曲面片的相似的结构，不同之处在于，曲面“、y 方向分别 含有不同的参数 和九。对于给定的边界信息矩阵，通过调整参数的取 值，可以得到不同的形状的曲面片。这种方法的优点在于突破以往在边 界曲线固定的情况下，只能通过改变扭矢作有限的变形这一常规。而且 在控制函数不变的情况下，通过选取特殊的边界信息矩阵，还能精确地 表示圆环面、球面、椭球面，具有实际应用价值。 关键词：形状参数，三角多项式，双三次c o o n s 曲面片 硕士学位论文 a b s t r c t a b s t r a c t t h ek e ya p p l i c a t i o no fc o o n ss u r f a c ew a sm a i n l yt h es h a p eo fi n t e r n a l c o n t r o ls i n c ei tw a se s t a b l i s h e d i na d d i t i o nt ot h ec o r n e rc o n d i t i o n s ，t h e c o n t r o lf u n c t i o ni sa n o t h e rf a c t o rt oa f f e c tt h es h a p eo fc o o n ss u r f a c e t h i s a r t i c l ef i r s ti n t r o d u c e st h ew a y so fs e v e r a lc o o n ss u r f a c e sc o n s t r u c t i o n w h o s ec o n t r o lf u n c t i o n sa r eb a s e do np o l y n o m i a l b a s e ds t r u c t u r e b i c u b i c c o o n sp a t c hi st h em o s tc o m m o n a p p l i c a t i o nf o r m b e c a u s eo fg o o dc a l c u l u s f e a t u r eo ft r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n s ，w ea t t e m p tt oc o n s t r u c tc o n t r o lf u n c t i o n s o fb i - c u b i cc o o n sp a t c hw i t ht r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n si nt h i sp a p e r ak i n d o fb l e n d i n gf u n c t i o n sw i t hs h a p ep a r a m e t e r si sc o n s t r u c t e db a s e do nc u b i c t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lf u n c t i o n s t h e nt h em e t h o do fg e n e r a t i n gc u b i c t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lc o o n sp a t c hi s d i s c u s s e da n dt h e nw eg i v e b i c u b i c t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lc o o n sp a t c h s f o r m u l aw i t hs h a p e p a r a m e t e r s t h ec o n s t r u c t e ds u r f a c eh a st h es a m es t r u c t u r et ot h eb i - c u b i c c o o n sp a t c h ，a n dt h ed i f f e r e n c ei s ：t w od i f f e r e n td i r e c t i o n sh a v ed i f f e r e n t p a r a m e t e r s ：z 1a n d 九f o rag i v e nm a t r i xo fi n f o r m a t i o no ft h eb o r d e r ，i tc a n h e l pu st oo b t a i ns u r f a c e so fd i f f e r e n ts h a p e sb yc h a n g i n gt h ev a l u e so ft h e p a r a m e t e r s t h i sa p p r o a c hh a st h ea d v a n t a g eo fb r e a k t h r o u g h si nt h ep a s t w h e naf i x e db o u n d a r yc u r v ei sg i v e n ，t h es h a p eo fs u r f a c ec a no n l yb e l i m i t e d c h a n g e dt h r o u g hc h a n g i n gt h et w i s t e dv e c t o r f u r t h e rm o r e ，b y s e l e c t i n gas p e c i a lb o r d e ri n f o r m a t i o nm a t r i xw h e nc o n t r o lf u n c t i o n sa r en o t c h a n g e d ，w ec a na c c u r a t e l ya c q u i r et o r u s ，e l l i p s o i da n ds oo n i th a sm a n y v a l u a b l ea p p l i c a t i o n s k e y w o r d s ：s h a p ep a r a m e t e r s ，p o l y n o m i a lt r i a n g u l a r ，b i c u b i cc o o n s p a t c h 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名羲丝盔日期：巡年且月筐日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 c o o n s 曲面方法是由1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m a s s a c h u s e t t si n s t i t u t eo f t e c h n o l o g y ，简称m i t ) 的孔斯( c o o n s ) 发表的一个具有一般性的曲面描述方法， 给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片i l l 。1 9 6 7 年，孔斯进一步推广 了他的这一思想 2 1 。c o o n s 曲面自诞生以来主要是以曲面片的形式应用于车船飞机 的外形设计。双三次c o o n s 曲面片是其最普遍的应用形式，但变形自由度很小，一旦 边界曲线确定了，就只能通过改变角点扭矢作有限的变形。迄今为止，有关c o o n s 曲 面的研究主要围绕在曲面片的应用上，而把它作为自由曲面来研究其变形方法的还 很少。在自由曲线曲面造型中，c o o n s 曲面片作为一种插值曲面的生成方法具有深 远的意义1 3 1 。如今，c o o n s 提出的自由型曲面设计方法1 4 1 ，已被广泛的应用于计算机 辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 及c a d c a m 中。 c o o n s 曲面是根据给定的边界条件，即四条边界曲线、四边上的跨界导矢、跨界曲率 等由混合函数综合而成的曲面。与b d z i e r 曲面【叫、b 样条曲面相比，c o o n s 曲面 的形状控制1 1 0 1 是通过控制函数来调控整个曲面的形状与趋向，而非逐个修改曲面的 控制点，既简洁，存储量又小。双三次c o o n s 曲面片连续阶只能达到c 1 连续，若要 达到c 2 连续，就要用到双五次曲面。传统的多项式曲线、曲面片虽然在表示与设计 曲面时显示出强大的表现形式1 1 卜2 们，但在精确表示球面、椭球面等二次曲面时却无 能为力，只能作近似逼近。之后，李杨、汤文成等推广了双三次c o o n s 曲面片 c - c o o n s 曲面 3 0 i 。c c o o n s 曲面的特性及曲面片的拼接与双三次c o o n s 曲面相似。 c c o o n s 曲面也是c 1 连续的。c c o o n s 曲面包含了自由参数口和声，对于不同的参 数口和厣均有唯一的c o o n s 曲面与之对应。通过用c h e r m i t e 基函数替代h e r m i t e 基 函数产生的c c o o n s 曲面片，继承了c o o n s 曲面的性质，使得通过选择不同的混合函 数就可以较好地表现边界曲线的特征，形成脊线、峰、谷，在简单的边界条件实现了 曲面内部形状的复杂控制，拓宽了c o o n s 曲面的应用，为曲面造型提供了一种新方 法。众所周知，c o o n s 曲面的造型一般都是通过调整边界曲线以及跨界导矢等边界 条件来实现的，而当边界条件固定时，c o o n s 曲面实际上仍然能变形。文献 3 1 一 文献 3 3 讨论的都是固定边界的c o o n s 曲面的形状控制及其应用。在边界固定的情 况下，改变混合函数是唯一的曲面变形途径。但未对混合函数的具体情况进行讨论。 近年来，人们开始在带三角函数的空间上寻求构造曲线曲面的表示方法i 3 1 ，这些 硕士学位论文 第一章绪论 由三角多项式构造的曲线曲面具有多项式曲线曲面的诸多性质，在实际中具有广阔 的应用前景。 1 1c a g d 中曲面构造方法的归类 c a g d 中的曲面大致可以分为两类【5 4 。5 1 ：( 1 ) 以n u r b s ，b d z i e r ，b s p l i n e 曲面 为代表的基于控制网格的曲面，曲面的形状逼近或插值于控制网格的顶点，这类曲面 的变形丰要依靠改变顶点的空间位置，如果曲面的形状比较复杂，控制顶点的数量就 会很庞大，控制顶点的操纵就比较困难。( 2 ) 以f e r g u s o n ，c o o n s ，g o r d o n 曲面为代表 的可以插值于边界曲线或角点，以及边角上若干阶跨界导矢的曲面，这类曲面通过改 变这些边界条件来实现变形。相对于基于控制网格的曲面而言，基于边界条件的曲面 变形操作起来更为简便易行而且意义直观，曲面的数据量也比较小，由于可以直接指 定边界和跨界导矢，容易实现曲面之间的拼接。当然，第( 2 ) 类曲面的变形自由度要比 基于控制网格的曲面小，无法直接构造出形状比较复杂的曲面。然而，工业设计领域 中许多曲面的形状都是比较简单的，复杂的曲面也大多可以以简单曲面为基础而逐 步构造出来，所以基于边界的曲面在工业设计领域中仍是一种重要的造型手段。 1 2 课题研究的目的和意义 本文着重研究c o o n s 曲面在作为自由曲面造型时所遇到的问题。c o o n s 曲面自诞 生以来主要是以曲面片的形式应用于车船飞机的外形设计，双三次c o o n s 曲面片是 其最普遍的应用形式，但变形自由度很小，一旦边界曲线确定了，就只能通过改变角 点扭矢作有限的变形。迄今为止，有关c o o n s 曲面的研究主要围绕在曲面片的应用上， 而把它作为自由曲面来研究其变形方法的还很少。事实上，在应用c o o n s 曲面进行自 由曲面造型时还有很多问题需要解决，c o o n s 曲面片应用的关键是曲面内部形状的 控制。除了边角条件之外，控制函数是影响c o o n s 曲面形状的另一因素。如何构造控 制函数，控制函数对曲面会有怎样的影响是值得研究的课题，到目前为止，c o o n s 曲 面的控制函数大多采用的是多项式基，传统的多项式曲面片虽然在表示与设计曲面 时显示出强大的表现形式，但在精确表示球面、椭球面等二次曲面时却无能为力，只 能作近似逼近。这样在高阶的情况下曲面次数就会很高，需要用特殊的算法来计算 【州，而选用其他形式的基函数往往能避免这些缺陷。例如，以 1 ，t ，t2 ，t ”2 ，s i i l t c o s t 为基的c 五e r 曲线既保留了b d m e r 曲线的所有特性，还能精确地表示圆弧1 5 7 1 。近年 2 硕士学位论文 第一章绪论 来，人们开始在带三角函数的空间上寻求构造曲线曲面的表示方法，这些由三角多 项式构造的曲线曲面不仅具有多项式曲线曲面的诸多性质，而且可以精确表示圆弧、 椭圆弧、抛物线弧等二次曲线弧，相应的张量积曲面能表示球面、椭球面等二次曲面 片，在实际中具有广阔的应用前景。 1 3 应用领域 c o o n s 曲面自诞生以来主要是以曲面片的形式应用于车船飞机的外形设计，双 三次c o o n s 曲面片是其最普遍的应用形式。在自由曲线曲面造型中，c o o n s 曲面片作 为一种插值曲面的生成方法具有深远的意义。离散c o o n s 曲面片 5 8 1 则可以通过修改 模板参数来调整曲面内部的凹凸程度。c o o n s 曲面片应用的关键是曲面内部形状的 控制。近几年，人们开始将带形状参数的c o o n s 曲面应用于图像插值p g l ，可以大大 改善传统图像插值方法的平滑作用，保持插值图像边缘清晰、光滑。也有结合c o o n s 曲面的方法进行插值生成n u r b s 边界曲面 6 0 1 ，本文先是讨论固定边界的c o o n s 曲面 片，从三角函数基出发，提出一组特殊的混合函数，构造出来的三角多项式曲面不 仅具有多项式曲面的诸多性质，还可以精确表示球面、椭球面等二次曲面片，这样的 曲面片也易于光滑拼合构造复杂曲面，满足不同的需求。 1 4 本论文主要工作 c o o n s 曲面已经经过四十多年的发展，但现有的方法在应用上仍然存在一定的 局限性。文 6 1 和 6 2 讨论了用三角函数构造c o o n s 曲面片的优点。由于三角函数 有良好的微积分特性，本文主要基于三角多项式进行讨论，尝试在三角函数空间上用 带有参数的三次三角多项式基函数来构造c o o n s 曲面。本文共分为五章，各章的内 容安排如下： 第一章介绍, - f c o o n s 曲面的产生背景、发展历程、特点及分类，并扼要介绍了 本文的结构安排。 第二章首先归纳曲面的表示方法与记号，然后依次阐述了第一类、第二类、第 三类c o o n s 曲面片以及双三次c o o n s 曲面片的构造过程，它们的控制函数均是以多项 式基生成的。最后扼要介绍建立混合函数的一般方法以及双三次c o o n s 曲面片的拼 接方法。 第三章和第四章是对本文工作的详细介绍，在第三章中详细阐述了带参数的三 3 硕士学位论文 第一章绪论 次三角多项式混合函数的构造过程，并在、y 向分别添加不同的形状参数，按照 双三次c o o n s 曲面的构造方法来构造出带形状参数的双三次三角多项式c o o n s 曲面 片。第四章，先综述边界信息矩阵中各元素对曲面形状的影响，再以双三次三角多 项式c o o n s 面片为例，给出固定的边界信息矩阵，通过调整参数的取值情况，画 出不同形状的曲面片，总结出参数变化对曲面形状影响的规律。通过多种实例和图 像，来说明本文方法的有效性。 第五章则是的对本文所做工作的一个总结，及今后的展望。 4 硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 第二章c o o n s 曲面 下面对c o o n s 曲面作以系统的介绍。依次阐述第一类、第二类和第三类c o o n s 曲面以及双三次c o o n s 曲面，着重说明其构造原理。最后扼要介绍建立混合函数的 一般方法以及双三次c o o n s 曲面片的拼接方法。 2 1 具有给定边界的c o o n s 曲面 2 1 1 曲面表示法与记号 为了便于介绍c o o n s 曲面的构造原理，我们先扼要归纳曲面的表示法与记号。 ( 1 ) 曲面上的点0 ，y ，z ) 可表示为双参数脚和l ，的函数p ( u ，v ) ： p ( u ，y ) 一【工( 比，1 ，) y ( u ，矿) z ( u ， ，) 】，“，r e o , 1 ( 2 1 1 ) ( 2 ) 令 ，一v 。，女l u p ( u ，v 。) 是曲面上一条以为参数的曲线，称为“向线或口线。的 值由0 变化至1 ，可得到一组口向线，由此构造整张曲面片。类似地，参数u 由0 变化至1 ，可得到一组1 ，向线，同样构造了整张曲面片。 ( 3 ) 曲面片的四条边界曲线为p o ，0 ) ，p ( u 舯，罗( 0 v ) ，p ( 1 ，v ) ，如图2 1 所示： p ( 0 ， p ( 1 ，1 ) p ( 1 0 ) 图2 1 曲面的表示法与记号 f i g u r e2 1t h er e p r e s e n t a t i o na n dn o t a t i o no fs u r f a c e ( 4 ) 曲面片的四个角点为p ( o ，o ) ，p ( o ，1 ) ，p ( 1 ，o ) ，p ( 1 ，1 ) ，见图2 1 。 5 硕士学位论文 第：_ 章c o o s 曲面 2 1 2 插值四个角点的双线性曲面 给定四个角点为p ( o ，0 ) ，p ( o ，1 ) ，p ( 1 ，0 ) 和p ( 1 ，1 ) ，则可按式( 2 卜1 ) 定义一个 双线性曲面q ( u ， ，) ： q ( “，y ) 2p ( 0 ，0 ) ( 1 - u ) ( 1 一y ) + p ( 0 ，1 ) ( 1 一比) v ( 2 1 2 ) + p ( 1 ，o ) u 0 一l ，) + p ( l 1 ) u v ，“，y 【0 ，1 】 显然，式( 2 卜2 ) 满足给定的约束条件： q ( 0 ，0 ) 置p ( 0 ，0 ) ，q ( 0 ，1 ) ip ( 0 4 ) ，q ( 1 ，0 ) ip ( 1 ，o ) ，q ( 1 ，1 ) 暑p ( 1 ，d 2 1 3 线性插值两条边界曲线 给定两条边界p ( u ，0 ) 和p ( u ，1 ) ，可在其间构造一线性插值曲面q 1 0 ，v ) ： q l ，v ) = p ，o ) 0 一y ) + g ( u ，1 ) v ，“，y 【0 ，1 】 ( 2 1 3 ) 显然， q 。 ，0 ) ip ( u ，0 ) ，q 。 ，1 ) 一p 山 类似地，可构造插值与另两边界p ( o ，v ) 和p 0 ，v ) 的线性曲面q ：o ，y ) ： q 2 ，y ) = p ( o ，v ) ( 1 一“) + p q ，) f l ，“，l ，【0 ，1 】 ( 2 1 4 ) q 2 ( 0 ，v ) lp ( o ，y ) ，q 2 ( 1 l ，) ip ( l l ，) 式( 2 1 - 3 ) 和式( 2 1 - 4 ) 就是用c o o n s 方法定义的直纹面。 2 1 4 双线性c o o n s 曲面 已知四条边界曲线，g ( u ，0 ) ，p ，1 ) ，p ( o ，v ) 和p ( 1 ，v ) ，则插值该四条边界的双 线性c o o 璐曲面为： q ( u ，y ) = q 1 ( 比， ，) + q 2 ( 比， ，) 一q 3 ( 比， ，) ( 2 1 5 ) 式中： q 。 ， ，) p ，o ) 0 - v ) + p ，1 ) ，比，y 【0 ，1 】， q 2 ，v ) ，p ( 0 ，v ) 0 - ) + p ( 1 ，v ) 比，“，v 0 4 】， ( 2 1 6 ) q 3 ，l ，) 一p ( 0 ，o ) 0 - u ) + p 0 o ) f 1 0 - v ) + p ( 0 山( 1 - u ) + p g l 弘】v ，口，v o j 】 6 硕士学位论文第二章c o p o i l s 曲面 现需要对式( 2 1 - 6 ) 的来源做进一步说明。由式( 2 1 3 ) 和式( 2 1 - 4 ) 可知， q l ， ，) 插值p ( u ，o ) 和p ( u ，1 ) 两条边界，q 2 以，v ) 插值p ( o , v ) 和p o ，v ) 两条边界，但 q 。 ，v ) 汞dq ：0 ，v ) 两者的简单叠加并不能构成插值于四条边界的曲面片。容易验证， 当v = 0 和v = 1 时，q 。 ，v ) + q ： ， ，) 所形成的边界分别是： q l ( 蹦，0 ) + q 2u ，0 ) ；p ( u ，0 ) + p ( o ，o ) o - u ) + p ( 1 ，o ) u ， q 。 ，1 ) + a 2 ，1 ) = p ( u ，1 ) + p ( o ，1 ) ( 1 - u ) + p ( 1 ，1 ) u 两者并非我们所要求的边9 1 p ( u ，0 ) 和p ，1 ) 。这是由于q 。 ，v ) 和q ： ，l ，) 的叠加 重复的应用了四个角点的点矢。因此，需要构造另一曲面片q ，o ， ，) ，以便消除重复 应用四个角点的情况。q ，o ，v ) 应满足下述条件： | 1 - 刊 搿卜帅叫1 卅 - 1 叫嬲黜】 一 蠹舞黧蚓h 炬n 4 7 硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 列阵由混合函数构成，若不计其自变量的差别，在形式上它们是瓦为转置的。 2 1 5 插值给定边界的c o o n s 曲面的一般形式 式( 2 卜7 ) 所表示的是双线性c o o n s 曲面片，其混合函数是线性函数。我们也 可以应用其它类型的混合函数构造插值于给定边界的c o o n s 曲面。为使表达式更具 有一般性，分别以混合函数瓦 ) ，e ) ，f o ( v ) ，e o ) 取代线性函数1 一“，u ，1 一v 和 y 。它们必须满足下述条件： 昂( o ) = 互( 1 ) - - 1 , 磊( 1 ) - - f , ( 0 ) = 0 ( 2 卜8 ) e c ，= f 三：二二，z ；。，l ，一。，1 ( 2 1 - 9 ) 洲4 1 删刊加0 嬲矧【0 ，1 】 1p o ，l ，) p “0 ) p o , 1 ) il 互( 1 ，) i 2 2 具有给定边界和跨界切矢的c o o n s 曲面片 在各种应用领域中，斜率连续是一个非常重要的条件。但前述简单曲面片只能 保证四条边界处的位置连续，其跨界切矢是曲面片所固有的。若要求满足斜率连续， 则除给定边界外，还必须给定跨界切矢。具体地说，曲面片必须具有给定的四条边 界p 0 ，j ) 和p q ， ，) 及其跨界切矢p ，“，) 和p 。( f ， ，) ，其中f ，j 一0 , 1 ，如图2 2 所示。 8 硕士学位论文第二章c o o n s 曲面 图2 2 曲面片的边界及其跨界切矢 f i g u r e2 2 t h eb o r d e ra n do fs u r f a c e 为清晰起见，我们应用混合函数来构造这一类c o o n s 曲面片，其步骤如下所述： 首先，根据边界曲线p ( o ， ，) 和p ( 1 , v ) 及其跨界切矢p 。( 0 ，v ) 和p 。q ，) 沿参数比方 向构造曲面片q ， ， ，) ： q l ( u ，d ；【昂 ) 互 ) g 。0 ) g 。 ) 】 式中 f o ( m ) = 2 “3 3 比2 + 1 ， e ) = 一知3 + 3 f 1 2 ， g 0 0 ) 一u ( u 一1 ) 2 ， g l ( “) ；“2 一1 ) p ( o ，v ) p q l ，) p 。( 0 ，) p 。“ ，) ( 2 2 - 1 ) 类似地，可根据边界曲线p ，0 ) 和p ，1 及其跨界切矢p ，q ，0 ) 和p v 0 d 沿参数v 方 向构造曲面片q ： ， ，) ： q z ( u ，v ) = b ，0 ) p ( u ，1 ) p v ，0 ) p v ，1 ) r o ) 互o ) g 。o ) g 1 ( 1 ，) ( 2 2 - 2 ) 但q l ，v ) 和q ： ， ，) 的简单叠加并不能得到我们所要求的曲面片，因为两者简单叠 加时重复应用了四个角点处的点矢、切矢和混合偏导矢。如切矢p 。( o ，o ) 既隐含于 9 硕士学位论文第二章c 0 0 1 塔曲面 p ( u ，o ) 也隐含于p 。( o v ) 中，混合偏导矢p 。( o ，o ) 既包含在p 。( o ，v ) 也包含在p ， ，0 ) 中，如此等等。因此，必须从q l ，y ) + q ： ，l ，) 中减去多余项q ， ， ，) ，才能得到插 值于给定边界和跨界切矢的曲面片q ( u ，y ) ： 式中 q ( u ，l ，) = q l ，y ) + q 2 ，v ) 一q 3 ，l ，) ( 2 2 3 ) q 3 ( u ，v ) = k ) p ( o ，0 ) p q 0 ) p 。( o ，0 ) p 。q 0 ) e ) g o ) g 。 ) p ( o , 1 ) p ，( 0 ，0 ) p 。( 0 ，1 ) p ( 1 ，1 ) p ，( 1 ，0 ) p ，( l 1 ) p 。( 0 , 1 ) p 。( 0 ，0 ) p 。( 0 ，1 ) p 。( 1 ，1 ) p 。( 1 ，0 ) p 。( u ) 经适当处理后，式( 2 2 - 3 ) 可以用矩阵形式表示为： q ，v ) 一一 - 1 f o ) e ) g 。 ) g 。0 ) 】 0 p ( u ，o ) p ( u dp ， ，0 ) p ， 舯 p ( 0 ，v ) p ( o ，0 )p ( 0 dp ，( 0 ，0 ) p ，( 0 ，1 ) p ( 1 ，v ) p ( 1 ，0 ) p o ，1 ) p ，( 1 ，0 ) p ，q 1 ) p 。( 0 ，y ) p 。( 0 ，0 ) p 。( 0 舯p 。( 0 ，0 ) p 。( 0 ，1 ) p 。q y ) p 。q 0 ) p 。( 1 舯p 。q 0 ) p 。( 1 ，1 ) r o ) e ( v ) g 。o ) g 。p ) - 1 r o ) 曩( v ) g o ( 1 ，) g l ( ，) 口，y 【0 ，1 】( 2 2 4 ) 式( 2 2 4 ) 右端的五阶方阵中，第一行和第一列为两对边界及相应的跨界切矢；右下 角的四阶方阵由四个角点的有关信息组成，其中包括角点的点矢、“向切矢、 ，向切 矢和混合偏导矢。角点的所有信息都可由第一行或第一列相应位置上的失函数求得。 该五阶方阵为具有给定边界和跨界切矢c o o n s 曲面片的边界信息矩阵。这一类曲面 片也称作第二类c o o i l s 曲面片。 2 3 具有给定边界及跨界切矢、跨界二阶导矢的c o o n s 曲面 上节推导的曲面片式( 2 2 - 4 ) 可以插值于给定的边界及其跨界切矢，但其固有 的跨界二阶导矢未必能满足实际提出的要求。为了构造具有给定边界及其跨界切矢、 跨界二阶导矢的c o o n s 曲面，需要应用三对五次混合函数r ，e ；o o ，g l ；日o ，日。： 1 0 硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 磊 ) = 一6 u 5 + 1 5 u 4 1 0 u 3 + 1 ， 互0 ) ；6 u 5 1 5 4 + 1 0 u 3 ， g o ( 比) = 一3 u 5 + 1 4 6 比3 + 比， g l ) a 一3 u 5 + 7 u 4 一缸3 ， ( 2 3 1 ) h o ) ；去 5 + 3 u 4 3 u3 + “2 ) ， h l ) 一去 5 2 u 4 + 比2 ) 显然，它们满足下述条件： 只( j ) = g ；( j ) 一h j ( j ) = f ：皇( 2 3 - 2 ) e 。( ) 一只。( j ) 一g i ( j ) - g ? ( j f ) = h ，( j ) 一日；( ) = 0 ，f ，j = o ，1 参照式( 2 1 5 3 ) 和式( 2 2 4 ) 。可以直接写出此类c o o n s 曲面片的表达式： q ( u ，y ) 一4 - 晶 ) 0 p ( o ，v ) p o 1 ，) 见( 0 ，y ) 见“y ) p 。( 0 ，v ) 儿q v ) p ，0 ) p ( o ，o ) p g 0 ) 见( 0 ，0 ) 凡q 0 ) ( 0 ，o ) q o ) 互 ) p o 山 p ( o ，1 ) p 见( 0 ，1 ) 见( 均 儿( o d 儿( 坞 g o ) g 1 0 ) 风 ) - 1 1 ) j 见以，o ) p ， ，1 ) p 。0 ，0 ) p 。 山 风( 0 ，0 )风( 0 ，1 ) p 0 ( 0 ，0 ) p 。( 0 山 p 。( l 0 ) p ，( 1 舯p 。( 1 ，0 ) p 。g 1 ) p o ( 0 ，0 ) p o ( 0 ，1 ) ( o ，0 ) p ( 0 ，1 ) 0 ) ( 1 ，0 ) 似) p ( 0 ，o ) p o ( 0 d 仇。( o ，o ) 儿。( o 山 ( 1 ，0 ) g 0 ) ( u ) 一1 磊 ) e ) g 0 ) g 1 0 ) 瓯o ) h 。0 ) 1 , v e 0 ，1 】( 2 3 - 3 ) 具有给定边界及其跨界切矢、跨界二阶导矢的c o o n s 曲面片也称作第三类c o o n s 曲面片。 系统的考察( 2 1 - 1 0 ) ，式( 2 2 - 4 ) 和式( 2 3 - 3 ) ，我们可以得出下述结论： 对曲面片的边界约束提高一阶，边界信息方阵扩大二阶，混合函数增加一对。边界 信息方阵中的第一行和第一列包含了全部的边界信息，余下的子方阵中为角点的各 种信息。边界信息方阵中的各分块内的元素具有明显的分布规律。由c o o n s 曲面片 的生成规则可知，理论上，可以用c o o n s 方法构造具有任意高阶边界约束的曲面片， 硕+ 学位论文 第_ = 章o 璐曲面 这是c o o n s 对自由曲面造型理论最为重要的贡献。 2 4 双三次c o o n s 曲面 p 。邮m p ( u 叼 烈吼田跻、，丽烈l ” 讹0 ) 烈l p ( o ，y ) = f o0 ) p ( 0 ，o ) + 曩( ，) p ( 0 ，1 ) + g 。( ，) p ，( 0 ，o ) + g 。( v ) p ，( 0 ，1 ) ， p ( 1 ，v ) = f o o ) p ( 1 0 ) + e o ) p ( 1 ，1 ) + g o p ) p ，( 1 ，0 ) + g 。( v ) p ，n 1 ) ， p ( u ，0 ) = r 砌( 0 ，0 ) + e 0 汩q 0 ) + g 。 ) 凡( 0 ，0 ) + g i ( “) 见q 0 ) ， p ( “1 ) = r ( “) p ( 0 ，d + 互 ) p ( 1 ，1 ) + g o ( 比) p 。( 0 ，1 ) + g 。( 比) p 。( l 1 ) ， n ( 0 ，p ) = 民o ) p 。( 0 ，0 ) + e o ) p 。( 0 1 ) + g o o ) p 。( 0 ，0 ) + g 。( ，) p 。，( 0 ，1 ) ， 凡g ，) 一瓦o ) 儿( 1 ，0 ) + e 0 ) 凡( u ) + g o ( o p 。q o ) + g l ( y ) p 。( 1 ，1 ) ， p ， ，0 ) r ) p ，( 0 ，0 ) + f i ( u ) p ，( 1 ，0 ) + g o 妇。，( 0 0 ) + g 。( 比) p 。g 0 ) ， p ， ，1 ) = f o o ) p ，( 0 ，1 ) + f x ( u ) p ，( l 1 ) + g o ) p w ( 0 ，1 ) + g 1 ( 比) p 删q 1 ) ( 2 4 - 1 ) 将式( 2 4 - 1 ) 带入式( 2 2 - 4 ) 并加以整理，我们就得到了简化的曲面方程q 似， ，) ： 硕士学位论文第二章c a ) o n s 曲面 其中： q ( u ，y ) = k 以) 互m ) g o ) g 。 ) 】 p ( o ，o ) p q 0 ) p 。( 0 ，o ) p 。( 1 ，0 ) p ( o ，1 ) p 。( 0 ，0 ) p ( 1 a ) p ，( l 0 ) p 。( o ，1 ) p 。，( 0 ，0 ) p 。( 1 ，1 ) p 。q 0 ) p ，( o ，1 ) p ，q 1 ) p 。，( o ，1 ) p 。，q 1 ) f o ( ，) e ( y ) g o ( v ) g 1 ( v ) ( 2 4 - 2 ) “， ，【0 ，1 1 ， 瓦0 ) 一知3 一孙2 + 1 互o ) 一一知3 + 如2 ， g o o ) ；v ( v 一1 ) 2 ， g 。o ) ；l ，2 0 一1 ) 仍应用三次混合函数，则式( 2 4 - 2 ) 可改写为： q ( u ，v ) 一u m b m r v r ( 2 4 - 3 ) 式中： u ，【“3 “2 “1 1 ，v ；【l ，3 ，2 v 1 】，口，l ，【0 1 】， 君一 m = 2 3 0 1 p ( o ，0 ) p q 0 ) p 。( o ，0 ) p 。g 0 ) 一2 3 0 0 1 2 l 0 p ( o ，1 ) p g l ) p 雎( 0 ，1 ) p “ 1 1 0 0 p ，( 0 ，0 ) p 。g 0 ) p “，( 0 ，0 ) p ，g 0 ) f x ( u ，l ，) au m b x m r v r ， y ( u ，y ) - u m b y m r v r ， iz ， ，) am 哆m r y r 式中皿，b ，盈分别为边界信息矩阵b 的坐标分量。 p ，( 0 ，1 ) p ，g 1 ) p 。，( 0 ，1 ) p h ，g 1 ) ( 2 4 - 4 ) 硕士学位论文第二章c o o n s 曲面 方程( 2 4 - 3 ) 或( 2 4 - 4 ) 中，当参数u 固定时，方程是，的三次多项式；而 当v 固定时，方程是u 的三次多项式。因此人们称该曲面为双三次曲面。一些文献 提及的c o o n s 曲面大多数是指这种双三次曲面。它实际上是第二类c o o n s 曲面的一 种特殊形式。 2 5 一般扭矢估计 双三次c o o n s 曲面片除四条边界曲线外，还要求提供四边界跨界切矢及四角点 扭矢。比较合理的选择是采用阿迪尼( a d i n i ) 扭矢。它以插值四条边界的双线性混合 c o o n s 曲面片的扭矢为扭矢。 求c o o n s 曲面方程的混合偏导矢，可得： p 。 ，p ) ；p 。u ， ，) 一- p ，( 0 ，y ) + p ，( 1 ，l ，) 一p 。o ，0 ) + p 。( u a ) - - c 其中 c = p ( o ，0 ) 一p ( o ，1 ) 一p ( 1 ，0 ) + p ( 1 ，1 ) 它就是由四角点决定的张量积双线性曲面的扭矢。分别用u , va0 , 1 带入上式，即得 四角扭矢： p 。，( 0 ，o ) ；- p 。( 0 ，o ) + p ，q 0 ) 一p 。( 0 ，0 ) + p 。( o ，1 ) - - c ， p 。( 0 ，1 ) = - p ，( 0 ，1 ) + p ，( l 1 ) 一p 。( 0 ，0 ) + p 。( 0 ，1 ) 一c ， p 。，g 0 ) 一- p ，( 0 ，0 ) + 风q o ) 一见g o ) + 见( 1 ，1 ) - c ， p w g l ) 一- p ，( 0 舯+ 仇q 1 ) 一p 。“0 ) - i - p 。g 1 ) - c 阿迪尼( a d i n i ) 扭矢的力学解释可归结为求纯弯薄板的最小应变能。从应变能最小可 以推断出曲面形状具有良好的光顺性。 为保持整个曲面平滑，必须在每个曲面片的四个顶点满足协调条件，这就要采 用格里戈里( g r e g o r y ) 扭矢。 2 5 1g r e g o r y 扭矢 c o o n s 曲面片存在一个相容性问题。对于双线性混合c o o n s 曲面片来说，前 已提及，四条边界曲线必须构成封闭的曲边四边形，即四个角点不是独立的。譬如 1 4 硕士学位论文第二章c o o n s 曲面 p ( o ，0 ) ，它既应是边界p ，0 ) 的端点，也应是边界p ( 0 ，v ) 的端点，或者说是两者的 公共端点。其它三个角点也是这样，这就是相容性条件。这个位置连续条件比较容易 满足。同样的，双三次混合c o o n s 曲面片也有四个角点位置相容性问题，且另外还 有更闲难的四个角点的扭矢相容性问题。从边界信息矩阵看，以角点p ( o ，0 ) 处扭矢 为例，它既应是p ，q ，0 ) 对“求偏导后置比= 0 得到： p m ( 0 , 0 ) = h m - - ；三p r j e , t v ，o ) ， u u 也应是p 。( 0 ，v ) x 寸v 求偏导后置l ，= 0 得到 ( o ，o ) 。躲嵩p 。( o , v ) 在微分学中我们知道，如果p ，y ) 是二次连续可微的，则求导次序是可交换的， 即有p 。，一p 。然而这里却不是这样，因为p ， ，0 ) 与p 。( 0 ，v ) 都是预先给定的，一 般地，p 。，一p 。如图所示，用三次b 6 z i e r 形式表示，两个不相重的b 6 z i e r 点导致 不同的焦点扭矢。其它角点都有这个问题。输入其中一个扭矢值所得曲面仅仅局部 地插值给定的数据。c o o n s 没有意识到这个问题，这是后来g r e g o r y 发现的。它表 明角点扭矢不是可以独立地取某个估计值的。 图2 4 双三次混合c o o n s 曲面片扭矢不相容 f i g u r e2 4 t w i s t so ft h eb i c u b i cm i xc o o n ss u r f a c ea r ci n c o m p a t i b l e 有两种途径可以摆脱这个困境：一是调整所给数据，以使不相容性消失；另一 个办法是在数据不能改变的情况下，可以采用称之为g r e g o r y 正方形的方法。该方 法用可变扭矢替代固定的扭矢。可变扭矢定义如下： 硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 “昙几( 0 ，o ) + ，兰p ，( o ，o ) p 。，( 0 ，0 ) 一j t j 坠一， 一比昙p 。( o ，1 ) + o 一1 ) 兰p ，( o ，1 ) p 以1 ) ；虻_ i 百产l 一， ( 1 一“) 兰p 。q o ) + v 兰p ，q o ) p 。，q o ) - ，_ i 万l ， p 。，( 1 1 ) = 一1 ) 兰p 。q 1 ) + p 一1 ) 0 。一p ，( l 1 ) 0d“ “+ ，一2 这样生成的曲面在角点处的扭矢是不连续的。它取两个不同的值，取决于沿哪个参 数方向接近于该角点。譬如，若沿等参数线一0 接近p ( o ，o ) ，我