（计算数学专业论文）大气污染模型的特征有限体积元法.pdf

摘要 摘要 本文将特征线法与有限体积元法结合起来应用到一维和二维 大气污染模型中第一部分，针对一维模型，选取试探函数空间和 检验函数空间分别为二次元空间与分片常函数空间，得到了全离 散的特征有限体积二次元格式；针对二维模型，选取试探函数空间 和检验函数空间分别为线性元空间与分片常函数空间，得到了全 离散的特征有限体积一次元格式然后进行误差估计，最后通过数 值实验，说明了该方法的可行性和有效性 关键词：大气污染模型；特征有限体积元；一次元；二次元；误差估 计 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s et h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ev o l u m e e l e m e n t m e t h o dt 0s o l v et h ep r o b l e mo fa i rp o l l u t i o nm o d e l s i np a r ti ，w ed e - v e l o pt h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n t m e t h o df o rt h ea i rp o l l u - t i o nm o d e li no n ed i m e n s i o n s w ed i s c u s sh o w t oc h o o s et h et r i a lf u n c 。 t i o ns p a c ea n dt h et e s tf u n c t i o ns p a c e a st h el a g r a n g eq u a d r a t i ce l e m e n t f u n c t i o ns p a c ea n dp i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o ns p a c e ，r e s p e c t i v e l y i n p a r ti i ，w ed e v e l o pt h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ev o l u m e e l e m e n tm e t h o df o r t h ea i rp o l l u t i o nm o d e li nt w od i m e n s i o n s ，w ed i s c u s sh o w t oc n o o s e t h et r i a lf u n c t i o ns p a c ea n dt h et e s tf u n c t i o ns p a c ea st h e l i n e a re l e m e n t f u n c t i o ns p a c ea n dp i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o ns p a c e w e a l s og i v el z a n d 日1e r r o re s t i m a t e s a tl a s t ，w ep r e s e n tn u m e r i c a le x a m p l e s t oi l l u s t r a t ef e a s i b i l i t ya n de f f i c i e n c yo fo u rm e t h o d k e v w o r d s ：a i rp o l l u t i o nm o d e l ；c h a r a c t e r i s t i cf i n i t e v o l u m ee l e m e n t m e t h o d ；l i n e a re l e m e n t ；q u a d r a t i ce l e m e n t ；e r r o re s t i m a t e 一1 v 一 刖再 - j l 刖吾 大气污染即由于自然原因或人类活动使大气中的有害物质的含量或滞留 时间对动植物及人体有害的现象大气污染种类众多，根据物理性质可以分为 颗粒物和气体污染物人类活动是造成大气污染的主要原冈其中尤其以石油 化工、火力发电、钢铁工厂及汽车尾气排放的污染物的量居多大气污染可 以对动植物带来危害，如动物呼吸道感染，植物叶片枯黄及果实生长迟缓等； 同样，也可以引起气候的变化，造成大气能见度降低，温室效应及气候变暖等 全球气候变暖的影响是全方位，多尺度和多层次的可持续发展问题和气候环 境变化问题已成为当今全世界各国普遍关注的重大问题，有效地防治大气污 染在未来的l o 2 0 年显得尤为重要 大气罔是一个复杂多变的多尺度非线性系统 1 - 3 】，它的发展和演变受许 多因素的影响，如动力、热力和化学等考虑以上因素，大气体系可以描述成 一组复杂的非线性偏微分方程组计算机的研创水平日新月异，大大提高了问 题解决的效率目前，科学计算在各门自然学科及技术科学与工程等领域中成 为必不可少的工具在大气科学领域，人们首先对大气运动现象进行预测，然 后进行准确的数值模拟和高效的数值求解用数值方法求解大气方程组1 4 - 8 j 已成为目前大气科学最重要的研究手段之一 对流扩散问题又称为弥散问题，主要研究由流体质点所携带的某种物理 量，如温度或溶质在流体中的物质的浓度在流动过程中的变化规律这些变化 一般包括对流，扩散及由于某种物理化学的原因自身衰减或增长的过程对 流扩散方程是许多物理问题的模型方程，可以描述许多物理现象，例如质量 热量的输运过程、地下水污染、空气污染、传热等求解对流扩散方程的方 法有有限元法、有限差分法、a g e 方法、多重网格法等当对流效应较强时， 标准的差分法或有限元法常会引起数值解的失真震荡8 0 年代，d o u g l a s 和 r u s s e l l 9 1 提出了求解对流扩散方程的特征线法，通过沿时间方向采用特征线 法可以减少时间方向的计算误差，在一定程度上克服了数值震荡，也可以使用 大步长进行计算，提高了计算效率9 0 年代，由同顺【1 0 】将特征差分法应用到非 线性s o b o l e v 方程求解中，构造了基于二次三角形插值及完全二次矩形插值的 特征差分格式顾海明【1 l 】将其应用到可压缩可混溶流体驱动问题中袁益让 【1 2 】针对三维热传导半导体方程提出分数步长特征差分法，对电势方程采取七 刚晶 点差分格式，热传导方程及空穴浓度方程采取并行分数步长特征差分格式，化 三维问题为三个一维问题，完全解决了d o u g l a s 等提出的著名问题王申林【1 3 】 将特征线方法与块中心差分法结合得到求解非对流扩散问题的特征块中心差 分法，计算量与基于线性插值的特征差分法相当，但数值解与基于二次插值的 数值解误差估计相同袁益让等【1 4 】成功地将特征差分法应用n - - 维可压缩油 水两相渗流动边值问题中，给出一种新的特征差分格式，利用粗细网格配套， 变分形式，先验估计理论和技巧取得实质性进展2 0 0 2 年，由同顺将特征差分 法与本质非震荡差值、一致高精度非震荡等结合求解对流扩散方程，避免了 基于l a g r a n g e 特征差分格式在求解大梯度问题时所产生的非物理震荡及标准 的特征差分格式在陡峭前缘附近所产生的伪震荡2 0 0 8 年，黄素珍【1 5 】提出非 线性对流占优扩散方程的一种基于斜线性插值的特征差分法，此算法简单，特 别适用于求解变系数的对流占优扩散方程另外，特征差分法还被广泛用于水 污染问题、油资源评估与强化采油问题、海水入侵数值模拟问题、非饱和土 壤水流问题中特征线法也可以与有限元法结合，得到特征有限元法，卜述一 些问题也可以用特征有限元法求解 有限体积元法目前是求解微分方程问题特别是流体力学问题的强有力 的算法 1 s - l s 早在二十世纪六十年代，l o sa l m o s ，h a r l o w 等人提出的m a c ， f l i c 及a l e 方法就是有限体积法的雏形至7 0 年代初，它被m c d o n a l d 引入 计算流体动力学领域首次求解二维欧拉方程，后来p a t a n k a r , j a m s o n 等人用于 计算恒定彳i 可乐流和气流计算有限体积元方法的一般思路是将控制域首先 分成若干个不规则形状的单元和控制体，将基本方程对每个控制体进行积分， 运用格林公式得到相应的变分形式这样保证了对复杂几何体解的适应性，适 用于间断解的计算与模拟它综合了有限元法和有限差分法及m o c 方法的优 点，既具有有限差分法在格式构造上的多样性，又能像有限元法一样用于任意 的不规则网格，且能像m o c 格式一样具有以特征为基础的逆风性有限体积 元法的关键是在控制体积上对微分方程积分。以在控制节点上产生离散的方 程目前，有限体的划分既可以建立在结构化的网格上，也可建立出非结构化 嘲格，后者虽然生成过程比较复杂但有极大的适应性，尤其对具有复杂边界的 流场计算问题很有效 对于污染物在大气中的扩散问题，已建立了大气污染模型 1 9 - 2 1 】求解大 气污染模型的方法有有限差分法 2 2 2 4 】、高斯模式【2 5 l 、有限体积元法1 2 s j 等 本文将特征线法与有限体积元法结合来求解大气污染模型，得到了全离散的 特征有限体积元格式该方法综合了特征有限差分方法和特征有限元方法的 一2 一 刖 一 主要优点，计算简单，网格剖分灵活，而且计算量小，格式直观 本文下面的安排是分别对一维和二维大气污染模型构造特征有限体积元 格式，给出误差估计，并用数值实例说明其有效性其余部分安排如下：第一章 用特征有限体积元法求解一维大气污染模型问题，得到误差估计，给出数值试 验：第二章用特征有限体积元法求解二维大气污染模型问题，同样给出了误差 估计和数值试验，说明该方法的可行性和有效性 一3 一 第1 章维大气污染模型的特征有限体积冗法 第1 章一维大气污染模型的特征有限体积元法 这一章，我们主要运用特征有限体积元法研究一维大气污染模型问题，本 章安排如下：1 1 给出一维大气污染模型；1 2 建立网格函数空间，并且给出几 个相关引理；1 3 离散方程，得到全离散的特征有限体积格式；1 4 对特征有限 体积格式进行误差估计；1 5 将本文的数值格式与有限体积格式进行比较，通 过数值试验说明该方法的可行性和有效性 1 1 数学模型 一维大型大气污染模型问题可以表示成如下的偏微分方程系统 名罟= 一岳c c c z ，u ，+ c 后c z ，o a x ”+ r ( u ) - ( k l + k 2 ) u + q ( u ) , v ( x , t ) e i 。 ，0 , 。t 1 n , ， u ( x 0 ) = “o ( z ) ，u ( a ，) = u ( b ，) = 0 ，( z ，) o i 【0 ，卅( 1 1 1 b ) 这里，= a ，b 】为一有限区间，“( z ，) 为化学物的浓度，c ( x ) 表示风速，k ( x ) 为扩散系数，u o ( x ) 为已知的光滑函数，r ( u ) 表示排放源，q ( u ) 描述了化学反 应，k 1 ，k 2 为沉积系数对问题( 1 1 1 ) 的系数，假设 ( a ) u h 占( ，) ，u t ，仳村l 3 ( ，) ， ( b ) h 刍( ，) = 【u 日1 ( ，) nh 3 ( ，) ，v ( a ) = v ( b ) = 0 ， ( c ) r ( 让) ，q ( u ) 充分光滑且满足l i p s c h i t z 条件 1 2 网格函数空间 用m ，p ( q ) ，嘟护( q ) 表示，上的m 阶s o b o l e v 空间，特别地，当p = 2 时， h m ( q ) = w m , p ( q ) ，范数及半范记为”与1 i m ，( ，) 表示h o = l 2 内积 下而对区间，作剖分死，节点为a = x 0 x l 2 z 1 茁n 一1 2 z n = b ，其中= l i ：i i = k 一1 ，x i 】，i = l ，2 ，n ，单元j t 的长度为h i = 托一x i 一1 记h = m a x h i ( 1 i n ) ，并假定剖分满足止则性条件h i p ( i = l ，2 ，礼) ， 其中“为正常数 一4 一 再作对偶剖分，节点为口= x o x l 4 x 3 4 x n - 3 4 x n - 1 4 z n = b ，其中，x i k 4 = 戤一 木h i ，( 七= 1 ，3 ) 试探函数空间魄为相应于剖分死的l a g r a n g e 型二次有限元空间，整数 节点x i 与半整数节点的基函数分别为也( z ) 与咖一1 2 ( z ) 其中 如( z ) 九一1 2 ( x ) ( 2i ( 2i x 一魏 z x i 鬼一1 ) ( 1z x ii h i 一1 ) ， h i + l 1 ) ( fz x ii t + 1 一1 ) ， 0 ， 4 ( 1 一( z z t ) t ) ( z x i 一1 ) h i ， 0 ， 对任i t h u h ，可唯一表示为u = z t 一1 z x i ， 甄x x i + l ， e l s e ( 1 2 1 ) 1 手z5 ( 1 2 2 ) e t s e + u t a 2 i 一1 2 ( z ) 】，其中 u i = “ ( z ，) ，“ 一1 2 = “ ( z t i 2 ，芒) 选取检验函数空间为相应于剖分巧的分片常函数空间，相应于节点 与一1 2 的基函数分别为 奶( z ) = 奶一1 2 ( x ) 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 巧一1 4sz x j + 1 4 ， e l s e 巧一3 4 z x y x 4 ， e l s e ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 任一圪可表示为锄2 i = 1 b 吻( z ) + v 3 1 2 吻一1 2 ( z ) 】，其中= ( 巧) ， 吻一v 2 = v h ( x j 一1 2 ) 对时间【0 ，t 】作等距剖分，0 = t o t 1 t = t ，a t 为时间步长， t n = n a t ( n = 0 ，l ，2 ，) ，u = 乱( z t ，n ) 记( z ) = 、r 研，用丁表示和算式甓+ c t 、x ，、o u 有关的特征方向，则 一5 一 z u 佗：亘 第l 章维大气污染模型的特征有限体积兀法 券= 甏+ c ( z ) 爱特征方向导数通过以下方式离散 ( 吣咭o u 丁) n + l 叫z ) 笫糍 u ( x ，t n + 1 ) 一乱( - t n ) 。 a t 其中虿= x c ( x ) a t ，虿为近似表示为由( z ，n + 1 ) 出发的特征方向与直线 = t n 的交点，西( z ) = u ( 虿) n 设l - l h u ：钆_ 与n 珈：_ 是插值算子，则：仳= 【u j 咖x ) + j = l 仳j 一1 2 奶一1 2 ( z ) 】，坼l u h 对v u h u h ，引入离散模 t i 乱 = h , ( u l l + 牡l l 2 + 乱甜心， t = 1 ( 1 2 5 ) u i i , h = 7 b 堕笠型型】1 2 ( 1 2 6 ) 引理1 2 1 川对v u h u h ，iu hi o , h , i 仳 l l ，| 1 分别与iu i o , i 乱 1 1 等价，即存在 与h 无关的止常数c l 与q ，有 gu hl o ， iu hi o q7 z h | o ， ， g | 仳i i l1 1 ， i 乱 1 1 岛l 札 | 1 ，l 1 引理1 2 2 下列结论成立 ( i ) ( u h ，：砺) = ( 砺，n ：u h ) ，砺u h ， ( i i ) 在卜，令l i l u h l l l 3 = ( u h ，n ：“l 1 ) ，i i l u h l l l ；= a ( u h ，丌盂u i l l ) ，则 , , 1 l l o ，f i i , , h l l l l 分别与l l ? t hi i o ，| | ? t h1 1 1 等价 引理1 2 3 存在正常数h o ，m ，o l ，使得当0 h 0 ，求u ( z ，) h 占( ，) nh 3 ( ，) ，使得 f ( 喀+ 撕训( u ) 川，讹 ， ( 1 3 6 ) i “( z ，0 ) = u o ( z ) ，z i ， 其中a ( u ，u ) = f ： r x 、o uo v d z 选取以上定义的u h 与，对时间作等距剖分，得到全离散的特征有限体 第1 章维大气 染模型的特征彳限体积元法 积二次元格式为：求“z + 1 u h ，使得 j ( ! ! 登：乏王；二! 盈，u ) 十a ( 乱n + l ，u h ) = ( ，( u 嚣) ，u ) ，b i 么， 【u o ( x ) = r l h u o ( z ) ，z 【o ，6 】， n 其中4 ( ，z ：+ 1 ，v h ) = h 月( 札：+ 1 ，奶) + 吻一1 2 a ( u ：+ 1 ，奶一1 2 ) 】 j = 1 a ( u 矿1 ，奶)= 2 k ( x j v 4 1 矿1u 川n + l 2 幻 、2 z n + + l l 2 一u r l ( q 七x j + i 4 ) 型铥 ， 矿帅2 冲4 ) 譬 2 k ( x j 一1 4 ) ( 1 3 7 ) u n j 州一嵋i 心 ，( u ：) = 冗( u z ) + q ( 乱嚣) 一( 后l + k 2 ) u r z c 7 ( z ) u 嚣， ( d ，“几n = ( 乱 ) i n 一( 觋一x i ) ( u 盂) ：+ ( u ) 玉 2 (u：)=一(如(乱)n)t一，(dz(仳)n)t一=学， 夏= x i c ( z d a t ，西( z ) = 乱( 虿) ，i = l ，2 ，n ，a t 为时间步长 1 4 误差估计 记= u h h h u ，7 7 = u i - l h u ，则u h 一钆= 一7 7 由( 1 3 6 ) 和( 1 3 7 ) ，得到下而的误差方程 ( ( z ) ( 甓池) 州n + l ，v h ) = o u n + 1 , t t n + l 一铲 0 7 t ( 丁叩n + l _ _ t i n ，) + a ( 矿1 ) + 胁) + ( 等m ) + ( 等胁) + ( m 嚣h ( u 1 ) 训 ( 1 4 1 ) 一8 一 取= 2 a t n 麓n + 1 ，关于n 从0 到n 一1 求和 窆n - - - - oc 等池，+ 篆胀州胁，= 窆( 吣) 掣一( ( z ) 等一 n = o u 刑。l 一乏矿 a ( 7 7 n + 1 ，u ) + 池) + 窆( 簪m ) +，u ) + ( 与，) + n = 0 n 一1 胁) + ( ，( 乱嚣) 一，( u 卅1 ) ，v h ) ( 1 4 2 ) n = 0 薹c 警一秽1 2 n 薹- 1 由引理1 2 3 得 伊1 5 一却咄+ 州3 ) 】 一l = ( 1 3 一洲胁 n = 0 ( 1 4 3 ) n 1 n 1 a ( ，2 a t n 麓州) m a t 咿+ 1 幢 ( 1 4 4 ) n = o n = o 下而令( 1 4 2 ) 式右端各项分别为乃，乃，死，乃，乃，则 n 一1 n - 1 ( 1 1 1 3 一i i i 洲1 3 ) + m a t i i 1 怄 n = o n = o 依次对右端各项进行估计 为了下面的估计，引入归纳假设s u pi lp | | o o k 1 ， 9 6 正， t = l 脚 等 心 m 脚 字 叼一 脚滑端左式l 计估先 第1 章 。维大气污染模型的特征有限体积冗法 利用e 不等式，有 由 故 j v l 乃= 2 n = o v j 1 2 a t ，t ， ) 1 1 翌二：塑a t i l o l ln ：n + 1i i 。 m i i r n + i l 至- - i 7 7 一n 1 1 3 + i l n + 1 7 7 n + l r - - o n 惦= 硒l 纩ff “, n + l 删2 如 壹【喾i j = o 。 = 2 志加枷岫 厂t l + 1 | | ，亡n m h 6 ， r h 惦班 | i v l 孔m h 6 + i 旧+ 1 惦a t n = o ( 1 4 5 ) 簪坍一警4 h 曹学岫4 一百0 7 7 n + l 4 】 则由( 1 2 6 ) 及引理1 2 1 得 x j - 3 4 ( 啪2 - ) + 掣啄1 4 ( 吩1 2 ) 】) c 一一1 ) 2 + ( 吻一吩一1 2 ) 2 】) 1 2 m h l 2i l v h1 1 1 ， 百0 7 7 n + ll x j _ 3 4 h 3 2 ( q f z j 。l 瓦0 3 u 1 2 ， 一l o 一 土础 v 一 n 触 对v v h v h ，故有 学i z j - 1 4 - - h 3 2 ( f x ，x 。l 象1 2 d 科2 ， a ( r f + 1 , v h ) l m h 2l iv h n 一1 乃m h 4 + l 旧+ 1 旧a t n = 0 ( 1 4 6 ) 乃m n 到- 1 帅) 百u q 7 z n + 1 1 u n + l r _ 面n 灿+ n 薹- 1 i i n + l1 1 3 f 其中由【2 7 】中的结论 死m c 删2 篓f 1i | 雾惦d t + 篆帐叶a 龇 4 由义献【2 7 】中分析 则 等1 1 2 0 m 愀1 1 2 m i i 毛 n 一1 一1 豇m a t ( 1 1 圳；+ 憎+ 1 m ( a t 懈+ 1 惦+ n = 0 n = 0 同理 一2 i | 1i 曙+ ( ) 2 + h 4 ) n = 0 n 1n 1 t 5 m 惦a t + 懈+ 1i 曙a t n = 0 n = 0 n 1 n 1 = m 一7 1 h u n 幅a t + e 懈十11 1 3 a t n = 0 n = 0 ( 1 4 8 ) 第1 章维大气污染卡莫型的特征有限体 i i ! i 法 因为 m h 4 + i 憎+ 1 惦a t v 一1 一1 m 忖( ，z 嚣) 一l ( u 州) 惦a t + l i 1i 曙a t ， ( 1 4 1 0 ) 而r ( u ) ，q ( 1 | ) 满足l i p s c h i t z 条件，则 i if ( u r z ) 一f ( u 1 ) l i o 故 = i ir ( u z ) + q ( u 嚣) 一( 惫1 + k 2 ) u 跫一c ，( z ) 乱嚣一r ( u n + 1 ) 一q ( u 几+ 1 ) +( k l + k 2 ) u n + 1 + c ，( z ) u n + 1l f o mj iu z 心肘1i i o m | | “z 一( 7 r u ) ni i o + mi l ( t r h u ) n u n + 1i i o j fi f 专n | i o + ml l ( r r h u ) n u nl i o + mi i ( z t n 一札n + 1 ) i i o mi i n | | o + m 3i 1 3 + m 圳u l i o ， n 一1 一l 死m a t ( 1 1 毒n 惦+ 九6 + ( ) 2 ) + e i 旧+ 1 惦a t ( 1 4 1 1 ) 上述各式联立，并由引理( 1 2 2 ) 得 j v 一1 一1 l 曙一i i 专。惦+ m a t l i 1 怄m a t l lp i l ； 删n ( 瑚圳删2 一i 珈肌n 驴- 1 州惦龇( 1 4 1 2 ) 注意到专o = 仳2 一( i l h u ) o = 0 ，运用g r o n w a u 引理即 现证明上式 有 l | 惦+ m t n 一1 1 惦m ( h 4 + ( a t ) 2 ) ( 1 4 1 3 ) 当n ：0 时上式成立注意到初值的选取及逆估计，当h 充分小时， s t z pi lp i i o 。m h 一1 ( 2 + ) m ( h + a 几t ) k 1 ， 故归纳假设成立 定理1 4 1 假设u 是问题( 1 1 1 ) 的解，仳 为全离散特征有限体积二次 元格式( 1 3 7 ) 的解，当h 与t 充分小时，我们有以下的误差估计成立 1 4 2 日1 估计 误差方程仍为 s u pl iu 一让l l o m ( h 2 + a t ) ( 兰：芝，u ) + a 。7 - n + l ，u h ) = ( 百? _ 7 n + l - - t i n ，u ) + a ( ? 7 n + l , v h ) + ( 吣) 百o u n + l 一1 u n + lr _ 啻n 胁) + ( 簪胁) + ( 百t i n _ 万n ( 1 4 1 4 ) ，v h ) + ( ，( u z ) 一f ( u 几十1 ) ，u ) ( 1 4 1 5 ) 在h i 估计中，取：2 兀z a 喜n + 1 ，其中a p + 1 = 学，将它代入误差 方程中，并关于n 从0 到n 一1 求和 篆c 学m ，+ r 一1 a ( 1 ，v h ) n = o + 黔z ，等一等 j 一1 n 一1 m ) + n = o 一1 ，u ) + a ( r n + l , v h ) n = 0 ( 簪m ) + ( ，( u 嚣) 一f ( u 州) ，v h ) n = o 1 3 一 譬，矿一矿 + ( 寻 ( 1 4 1 6 ) 脚 学 脚 = 第1 章 维大气污染模型的特征有限体积冗法 先估计卜式左端，得 n 薹- 1 ( 学 2 峨) = 2 勤警弛，( 1 4 1 7 ) n = o “。 n = 0 “。 由引理1 2 3 得 j v 一1 a ( 1 ，2 兀i a 1 ) n = 0 n 一1 ( 1 l f 州；一n ；) ( 1 4 1 8 ) n = 0 下而令方程右端各项分别为死：乃，乃，乃，死，死，则 n l n = 0( 妒+ 1 | 惦- l | 妒”2 釉学 依次对( 1 4 1 5 ) 右端各项进行估计 6 3 a t 正， 乃4 + e n - 1 m h i l 譬蚴乃4 + e i l 等惦缸 n = 0 。 mh2+et2 m h 锄学i i ；x t fi i 一。 ，、t n = ；u n 一1 r t n + l t 3 州t ) 2 n “= 0 j t “ 同理 i = 1 ( 1 4 1 9 ) ( 1 4 2 0 ) 2 e 莹学惦触4 m ， j 一l t 4 m a t ( j lp 旧+ f 旧+ 11 1 2 0 ) v 一1 m ( a t j 旧+ 1 惦+ 一 n = 0 f n + 1 惦+ ( ) 2 + h 2 ) ( 1 4 2 2 ) 孰引胁塾丛att5 m i 旧旧抖i i - 二! n = 0n = 0 一1 4 一 一1 0 2a t = m i | u n - - 7 r h u n 幅a t + n = 0 2 、 ，)卸脚 n 一1 fl z 一。 n = o 一l 死m n - - - o ，卜述各式联立得 一1 3a t m h 4 + e i n = o l 恬 ( 1 4 2 3 ) 引13-k-h4+(蝴+n-1(1l i i 乏1 1 3 a t ( 1 4 2 4 ) 洲3 ( ) 2 ) + 寻1 1 3 ( 1 4 2 4 n - 1 f 州i p + n - 1 ( i l l i l l1 1 1 2 , ) 2 a t l i 乏1 i p + l i 寻 n = o n = o 脚。删2 m ( c ) z 即由引理( 1 2 2 ) 得 跏斟e 蓑i 洲+ 2 n 纠- 1 1 f n + l 厂_ n + m ( 2 + ( ) 2 ) + m ( t ) 2 1 一l 3 m a t i lp 1 1 5 + n = o 3 ， ( 1 4 2 5 ) 一1 3 m a t i 旧旧 n = o 2 e 孰乏i i ：, a a t ， 2d + e | i 寻， ( 1 4 2 6 ) 由o = u o 一( n h u ) o = 0 ，运用g r o n w a l l 引理即 l i ；+ 2 t 孰甓1 1 3 m ( h 2 + ( 嘲 ( 1 4 2 7 ) 定理1 4 2 假设u 是问题( 1 1 1 ) 的解，u 为全离散特征有限体积二次 元格式( 1 3 7 ) 的解，当h 与a t 充分小时，我们有以下的误差估计成立 s u pi iu 一u 1 1 m ( h + a t ) 1 5 一 ( 1 4 2 8 ) 第l 章维大气污染模型的特征有限体积兀法 1 5 数值实验 这一部分，我们通过数值实例来说明特征有限体积格式的有效性。将特征 有限体积元法得到的解与精确解及有限体积元法得到的解作比较，并画出了 特征有限体积元解的绝对误差和相对误差图象 考虑下而的初边值问题 赛+ 2 知毗m 一2 象= 4 c o s ( 咖艇【0 ，丌】， u ( x ，0 ) = s i n z ，u ( 0 ，t ) = 钆( 7 r ，t ) = 0 ，t 【0 ，丁】 ( 1 5 1 a ) ( 1 5 1 b ) 其中假设t = l ( 天) ，该方程的精确解为u ( z t ) = e 一。s i n z 对方程( 1 5 1 a ) 式 按照卜述方式进行离散，得到特征有限体积二次元格式为 譬互h + 4 孚z n + 1 n + l 一4 早_ n + l u n + l = h c o s 黼( 1 5 锄) 其中 鲁+ 4 竺n + l 等一, z 兰n + l 一4 宰1 z n + 1 n + l = h c o s ( ( 1 5 2 b ) ( u ) ? = s i n x i ，n a t t ， ( - - ，“j t n = ( z ) ：； 棚，鬲洲( 札z ) ：；+ ( u z ) 鼻、 ( ，“ ) 一( 西一戤) ( 二百- 卫) ， = 一( 如( u ) n ) i 一，( 如( 札 ) n ) t 一。 一x i = 兢一2s i nx i a t ，i = ( 乱 ) ? 一( 乱1 1 ) 0 1 也一女 1 ，2 ，n ，a t 为时间步长 方程( 1 5 1 a ) 式的有限体积二次元格式为 i z n w + 1 一让嚣，j a t鲁+ 4 型一4 盟善+ 2 s i n x j + ；( 蔷喵t + 芸让： ；一百1 u n + ，+ l ，一2s i n q 一 ( 一百1 u ：j 三，+ 石3 u ：吉! + 百3 乱嚣j 1 ) = 2 c 。s 翟警喾二) 1 6 挚 警 第l 章维大气污染模型的特征有限体积几法 垫乱n + ：li 二塑n 二地+ 4 竺u n + 二li 二兰n + 二l ! x t2 。h一4 堕芦+ 2s i n x j _ ；( 粕_ 芸u 誉；+ 昙札：右1 ) - 2s i n 巧一；( 蔷喵! 。+ 私3n 州+ l 一百1u 黜= 2 hc o s 巧一；仳：卜 ( 1 5 3 b ) 其中，钆砧1 = u ：“( ) ，勺+ = o + ；) ，巧= j h ，a t 为时间步长， 为空间 步长 下而取t = l ( 天) 定义乱的最大绝对误差为m a xi “一( 乱 ) i ，最大相对误 差为m a x i 学l ，范数i l u t i 一( u l l l ) n i 恬= 壹( u ? 一( u h ) ? ) 2 h ，i = 1 ，2 ，3 j v 表1 1 = 1 ( 天) 时，不同剖分下c f v m 得到的解的误差比较 空间步长 m a x e cm a x r c l 2 范数c p u 寸间 h = 磊 1 4 2 4 0 6 0 e 21 0 8 3 9 4 3 e 12 5 2 3 2 0 0 e 21 8 5 7 5 9 6 s h = 磊 3 4 9 9 2 4 2 e 32 6 5 6 3 6 4 e 26 2 0 0 0 6 5 e 32 9 1 9 0 4 1 s h = 8 7 r o 8 7 0 7 5 5 2 e 一4 6 6 0 5 0 8 3 e 31 5 4 2 7 2 2 e 3 4 6 7 8 9 4 2 s h = 南 2 17 4 0 0 0 e 41 6 4 8 7 3 0 e 33 8 51 6 1 7 e 一46 7 8 3 2 0 5 s 表1 - 2 = 1 ( 天) 时，不同剖分下c f v m 与f v m 的比较 空间步长 m a x e c ( c f v m )m a x e c ( f v m )l 2 范数( c f v m )l 2 范数( f v m ) h = 蠢 4 5 0 8 9 4 0 e 一26 4 4 517 8 e 一27 9 8 9 8 5 2 e 21 1 0 8 1 2 7 e 1 h = 卫3 0 1 1 1 8 8 8 5 e 2 1 6 0 8 0 4 7 e 21 9 8 2 7 4 5 e 22 7 7 9 2 9 8 e 一2 h = 器 2 7 6 0 8 6 9 e 一33 9 6 4 4 4 1 e 34 8 9 2 4 9 2 e 36 8 6 3 2 7 3 e 3 h = 1 1 2 r o 6 8 7 8 5 5 5 e 49 8 7 4 8 2 2 e 41 2 l8 9 2 5 e 31 7 1 0 18 8 e 一3 表1 - 1 是取不同的空间步长和时间步长时，用特征有限体积元求得的 在t = 1 0 ( 天) 时的误差及范数，精度与理论分析一致我们还可以看出：当 a t = 2 时，随着空间步长变为原来的：2 ，时间步长变为原来的1 4 时，相应 的解的最大绝对误差、最大相对误差、l 2 范数都变为原来的1 4 ，这说明解 的精度为o ( h 2 + ) 更进一步，从表1 2 可以看出，当取不同的时间和空间步 长时，用特征有限体积元法求得的解比用有限体积元法求得的解更接近解析 解，说明特征有限体积元法更精确 第l 章维大气污染模型的特征彳丁限体积冗法 图1 - 1t = 1 ( 天) ，n = 5 0 ，a t = 0 0 0 1 时，特征有限体积元与精确解的图像 图1 2t = 1 ( 天) ，n = 5 0 ，a t = 0 0 0 1 时，特征有限体积元与有限体积元得到的 绝对误差图 洼：在图1 1 中，实线表示用有限体积元法得到的结果，实点表示用特征 有限体积元法得到的结果在图l 一2 与1 4 中，虚线表示用有限体积元法得到 的结果，实线表示用特征有限体积元法得到的结果在图1 3 与1 5 中，o 表示 用有限体积元法得到的结果，+ 表示用特征有限体积元法得到的结果 图1 3 ：1 ( 天) ，= 5 0 ，a t = 0 0 0 1 时，特征有限体积元与有限体积元得到的 相对误差图 图1 4 亡：1 ( 天) ，= 1 0 0 ，t = 0 0 0 1 时，特征有限体积元与有限体积元得到的 绝对误差图 下面我们取t = 1 0 ( 天) ，给出取不同时间步长和空间步长时札的绝对 误差与相对误差曲线，并与有限体积元法比较图1 - 1 是危= 品，= 0 0 0 1 第1 章维大气污染模型的特征彳丁限体积冗法 图1 5t = 1 ( 天) ，n = 1 0 0 ，a t = 0 0 0 1 时，特征有限体积元与有限体积元得到的 相对误差图 图1 6t = 1 ( 天) 时，a t = h 2 时，用c f v m 得到的l g ( i iu n 一( u h ) n1 1 0 ) 随l g ( h ) 的 变化图像 时，用特征有限体积元法得到的解( 实点) 与精确解( 实线) 的图像；图1 2 是 h = 品，a t = 0 0 0 1 时，用特征有限体积元法与有限体积元得到的绝对误差比 较；图l 一3 是h = 丽7 1 ，a t = 0 0 0 1 时，用特征有限体积元法与有限体积元法得到 第l 章维大气污染模型的特征有限体积元法 的相对误差比较；图1 4 是h = 而7 1 ，a t = 0 0 0 1 时，用特征有限体积元法与有限 体积元法得到的绝对误差比较；图1 5 是h = 焉，a t = 0 0 0 1 时，用特征有限体 积元法与有限体积元法得到的相对误差比较 首先我们取= 1 0 ( 天) ，n = 5 0 ，a t = 0 0 0 1 ，图1 1 表示特征有限体积元 法求得的解( 实点) 和精确解( 实线) 的图像比较，从图中可以看出，两者吻合 的很好图1 2 与图l 一3 分别是特征有限体积元法与有限体积元法求解的的 绝对误差和相对误差比较图由图知，两者的绝对误差阶和相对误差阶均为 o ( 1 0 - 3 1 ，用特征有限体积元法得到的最大绝对误差和最大相对误差都比用 有限体积元法得到的最大绝对误差和最大相对误差要小；当我们加密网格， 即取= 1 0 ( 天) ，n = 1 0 0 k t = 0 0 0 1 时，从图1 4 与图l 一5 中看出，特征有限 体积元法与有限体积元法得到的解的最大绝对误差和最大相对误差也在减 小，绝对误差阶与相对误差阶都达到o ( 1 0 - 4 ) ，用特征有限体积元法得到的 最大绝对误差和最大相对误差仍然都比用有限体积元法得到的最大绝对误 差和最大相对误差要小图1 - 6 给出了t = 1 0 ，a t = h 2 时，用c f v m 得到的 l g ( i l , u n 一( u ) n | | o ) 随l g ( h ) 的变化图像，直线的斜率约为2 ，即误差在空间方向 为二阶的，这与理论分析一致由以上可以得出结论，特征有限体积元法得到 的解比有限体积元法得到的解更接近精确解，且c p u 运行时间短，数值结果 也比较稳定，所以特征有限体积元法是一种有效的算法，我们可以将其应用到 更高次元的情形 第2 章二维大气污染模型的特征有限体积兀法 第2 章二维大气污染模型的特征有限体积元法 这一章，我们主要运用特征有限体积元法研究二维大气污染模型问题，本 章安排如下：2 1 给出二维大气污染模型；2 2 建立网格函数空间，并且给出几 个相关引理：2 3 离散方程，得到全离散的特征有限体积格式；2 4 对特征有限 体积格式进行误差估计；2 5 将本文的数值格式与有限体积格式进行比较，通 过数值试验说明该方法的可行性和有效性。 2 1 数学模型 1姒干1 天二j 三 二维大气污染模型可以表示成以下的偏微分方程系统 鬻一是( 也是卜南( 考) + 未( c ( z 州乱) + 南( e ( z m 札) = 夕( u ) v ( z q 0 丁】 g ( u ) = r ( u ) + q ( ) 一( 七l + 也) “， u ( x ，y ，0 ) = u o ( x ，可) ，u ( x ，y ，t ) i q = 0 ，t 【0 ，丁卜 ( 2 1 1 n ) ( 2 1 1