（计算数学专业论文）模糊不确定性度量的若干专题研究.pdf

西北太学硕士擘位论文 摘要 信息的本质在于消除戏减少不确定性，从而研究不确定性的度蠹问题便成 为谤究信患论的出发点。信息的不确定性骞多静形式，诸如随机不确定性，模 糊不确定往，分辩力不确定性，来确稚性在随枫不确定髋方面的研究已褥到 党善的发展与应用本文针对模糊不确定性这一课题，在以下几个方面对模糊 楚送行了专题疆戴毒遘论。 在第二章中，基于x g 觑“f 4 提出的模糊熵、躐离测度、相似测度的公骥化 定义，我们绘出了一类新豹相似测度及由栩似测度、距离测度引导的模糊熵 在第三章中，有弱于黻往的交、著运葬，我们撵出了f 铭嚣z # 集静加法、乘 法运算，并在此熬础上讨论了模糊熵，距离测度，相似测廉的性质 在繁靼章串，我粕攘广了y 姆雠纂模攒壤熬橛忿，定义了y 姆e e 集约擦煺、 关联熵及关联系数，详细分析了这些度量的性质，并通过例子描述了关联系数 谯现实生活中的应用 在第五章串，隽了霞予簿嚣蠢馨讨论，我稻缭密了疆类y # 9 ”e 集蠢受“z 黎静 转换函数，并讨论了其性质；接糟我们分析了目前提出的y o 口u e 集的模糊熵概 念躲不足。最矮鲶出了模糊姨熬凝的约京蘩 牛，势绘出了符合蓊的约束条传豹 模糊熵公式 关键词：模糊集，y 口g e 集，模糊熵，距离测度，相似测艘，偏熵，关联熵， 关联系数 l l a b s t r 矗c t f 英文摘要) a b s t r a c t t h en a t u r eo fi n f o r m a t i o ni st oc l e 壮o rd e c r e a 8 et h eu 酣e r t 越n t y ，s ot h a tt h e r e s e 8 r c ho nt h ed e g r e eo fu n e e r t a i n t yb e c o m e 8t h eb e g i n n i n gp o i n to ft h er e s e 鲥c h o ni n f o r m 氇t i o nt h r 矿t h eu 狂c e r t 簸醯yo fi n f 。r m 懿i 。nh 8 8l n a n yf 。r 芏n s ，s 毛王莰8 s p r o b a b i l i 8 t i cu n c e r t a i n t y ，f u z z yu n c e r t a i n t y ，r 朗o l u t i o n a lu n c e r t a i n t ya n du n 8 8 c e r t 毹珏t y it h er e s 鼬ho n 娃i ep b a b i l i 文c 畦黩槐蛙8 i 珏玲h 勰g o 嬲谤d e v e l o 搿破黼d 卵p l i e d t h i sp 印e rl a u n c ht h er e 8 e a r c ha 飘dd i s c u 8 8 i o no nt h ef u z z y 蛳t r o p y 妇o m t h ef o l l a w i n ga s p e c t 8 ，a c c o r d i n gt ot h ef u z z yu n c e r t 8 i n t ys u b j e c t 1 珏e h a p t c f2 8 s 蕊t h e 氇x i 。m 或i cd e 矗n 至t i 雠瓤躺ye n 揪慨d i 曲嗽e e m e a s u r e ，8 i m i l 盯i t ym e 硝u r e ，p r o p o s e db yx c l i u 【4 j ，w eo 妊e rs o m en e w8 i m i l 龇i t y m e 8 s 氍e 氇n d z z ye n t r o p ye 粕8 e db yd i s t a n 糟m 锵s u f e ，8 i m i l 船i t ym e 8 8 u r e + r nc h a p t e r3 ，d i 瓶r e n tw i t ht h ef o r m e ri n t e r 8 e c t i o na n du n i o nc 赫c u i a t i o n ，w e p o i n to u tt h ea d d i t i o n ，h m l t i p u c a t i o nc a l c u l a t i o no ff u z z ys e t ，“n dd i s c u 8 8t h e p r 。p 料t i e s 蕊t h 鹅ec 越e 珏l 毡t 耋o n s 甜氟z 窭y 程谴r o p 舅d 趣专瓢l o e 搬e a s 毪r e8 糕ds 泌l i l 牡i 谤 m e a s u r e i ne h a p t e r4 ，w ee x t e n d 也eo o n e e p to fe n t r o 璐i n 、t 芒蛰1 es e t ，8 魏dd 商n i t e 地e p 8 r t i 啦e n t r o p y ，髓l a t v ee n t r o p y 甜谴r e l 8 t i v ec o e 蠡c i e l l t v 拽g u es 甙，8 n d 砒l 融y z e t h en a t u r eo ft h e s em e a s u r e 8 ，a n d8 h ，t h ea p p l i c a t i o no ft h er e l a t i v ec o e f h c i e n t s i 珏r e 畦i 至f e 姆e x a 燃p 圭e ， i n 如a p t e r5 ，f o rs i m p l i f y8 0 m ed i s c l l 8 s i o no fp r o b l e m 8 ，w eo 馈ht w ok i n d s t r a n s l a t i o nf l l n c t i o n 8f r o m 强g u e8 e tt of u z z ys e t ，蚴dd i 8 c u 8 8t h e i rn 砒u r e ；8 i l 融y z e t h ed i s 8 d 划a g e 8o fc 。n c e p t i o 珏o f 稚z z ye n t r o p y 至n 、啦g u es e t a t1 8 8 毛w e 套v et h e l i i i l i t i n gc o n d i t i o n so ff u z z ye n t r o p y a n dt h ef u z z ye n t r o p yf o r m u l a8 c c o r d i n gw i t h 垃措n e wl 溉过i 珏gc o n 盛t 主。n 8 。 k e y w o r d s i & 嚣z ys e t ，v 拄薛es e t ，翁ye n t r o p y d i s t 赫c em e 8 s 娃f e ，s i m 娃射抟y m e a s u r e p a r t i a le n t r o p y ，r e l a t i v ee n t r o p 弘r e l a t i 、地c o e m c i e n t l i l 知识产权声明和独创性声明 y89 3 9 0 西北大学学位论文知识产权声明书 本a 完垒了解学校有关傺护辩谈产较豹瓶定，帮：研究囊在校玻读学位期 间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有关都门戏 机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被套阅和借阅。学校可以将本 学缎论文的全部或郝分内容缓入有关数据露避雩亍检索，可以用影印、绩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论 文磷褒谋题挥撰写鲍文章一簿注饔圣筝考单位隽嚣l l 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 论文作者签名。墨鳘指导教师签名：玺! ! 堡 年 5 胄1 霞崎参年月1 跨 西北大学学位论文独创胜声明 本人声明：所辍交的学位论文足本人在导师指导下进行的研究工作及取得 鹃磷究威采。据我繇知，除了文中将翔热戳栋注霸致瓣豹逡方羚，本论文不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得两北大学溅其它教育 机构的学位或证书而使用过的材辩。与我一简工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中终了明确的说明劳表示谢意。 论文作者签_ 名： 6 碰塞茎： 第一章绪论 1 1 课题背景 第一章绪论 在当今信息时代，不确定性信息的处理量远比确定性信息更多更复杂而 确定性信息的处理已有现成的经典数学可作为依托因此，研究不确定性信息 的表达和处理是当今信息时代的一个重要问题人们最早接触的不确定性是随 机性，对随机性的研究已经形成概率论、数理统计、信息论等重要学科，其发 展已经成熟，应用非常广泛随着生产、科技的发展，由定义的不清、度量尺 寸的模糊性、或者决策者不能完全把握事物真实状态和数量关系，造成了有别 于随机性的不确定性诸如：模糊不确定性，分辨力不确定性，未确知性 模糊现象在现实生活中比比皆是，因此模糊不确定性备受大众关注虽然 模糊性与随机性都可导致不确定现象，但它们又有本质上的差异所谓模糊 性，指的是事物本身不清楚或者衡量事物的尺度不清楚例如，进行地震危险 性分析时，我们常会说某地有“大的活动断裂”，尽管目前的分析水平，需要 将其大小和活动性根据需要取一些数值来表示，但事实上，人们对活动断裂的 研究还非常不够既不能挖开去看一看，也缺乏必要的仪器去进行测量这就 是事物本身不清楚但事物发生与否是明确的至于随机性，就不存在事物本 身或者衡量尺度不清楚的问题了，它是针对事件的发生与否而言的，由于条件 不充分，事件可能发生也可能不发生即事件的发生存在一定的概率，但事物本 身的含义是明确的针对这两种不确定性，就需要借助不同的数学工具来研 究 l a z 口d e 舱0 立的f n z z ”集理论【1 l 为模糊不确定性的研究提供了有力的数学 工具模糊概念可以用集合来描述，即集合可以表现概念，一个概念有其内涵 与外延，内涵指的是符合此概念的对象所具有的共同属性，外延指的是符合此 概念的那些对象的全体f “z z 集理论不对事物作简单的肯定与否定，而是用 隶属度来反映某一事物属于某范畴的程度，用这种方法来表示客观存在的模糊 性虽然f o g 集理论能够较好地描述模糊性，但它采用单值的隶属函数表示 “一定程度上属于”的关系，即单值的隶属度包含了支持和反对证据的程度， 使得它不能表示中立( 既不支持也不反对) 的证据，因此f 仳z o 集具有明显的 缺陷 为了解决f u z z 集的这种缺陷，g n u 等【1 1 l 于1 9 9 3 年提出v x 西北太学硕士喾位论文 目前v 伽e 集在模糊性的表示和处理方面的优势逐渐受到煎视，在理论 方霆，y 嚣# 集不获她发鼹；套黢用方纛，矿裙雠簇主要袭模式谈期、聚类分 析、决策和医疗诊断等领域取得较好的应用效果矿0 9 “e 集作为处理模糊信息 灼一种手段，近年来得到了较抉发展，但对y n g 姐e 集理论的研究还不是很完 罄 本文主要通过模糊数学中些比较成熟的理论对f 钍z z 巢的不确定 拣，矿8 # 钰e 巢戆蚕确定性传送一步豹掇讨移疆究。 l 。2 基本j 5 爨识简介 所谓给定了论域x 上的一个模糊集a 是指，对于任何g x ，都指定了个 数触( 。) 羚，l l 毫之对应，宅列徽嚣对a 戆裳属度，遂意噱蓑墩出了个映射； p a ：x _ o ，l 】 o 呻弘a ( 嚣) 这个映射称为a 的隶属函数+ 正鲡蕊n 妇集合宠套蠢特鬣涵鼗掰猁画一样，模糊集氇完全壶隶耩函 数所刻耐。特别当m 的值域m ( x ) = o ，l 时m 便退化为一个g n 佗t d r 熟合的 褥征函数，于是a 倭退他为一个秽删甜集会：a 一如l 拟茹) = l ，聋x ，因 此，g n 僦0 r 集合建模糊熊的特殊情况 为方便起见，我们记论域x 上的全体模糊集的集合为f s s ( x ) ，全 钵c 嚣钟集貔集会建p 晖) 。r + 一 o ，+ 1 一个貘赣集铐徽冀戆蜂证，魏采 满足条件：，( 茁) 肌( 嚣) 若m ( ) o 5 ；m ( z ) m ( 茹) 若肼( 茹) o 5 a 。称 为a 的卦集，即对任意豹嚣x ，p 枣( 。) 一l 一触( 嚣) 鹾是模糊集，满足对任意 的z x ，p 陋】( 。) 棼8 模糊集的模糊程度的数量化戏度囊称为模糊信息熵，模糊信息熵是一个映 瓣，甏8 ：f s s ) 一霆斗，宅应瀵怒下蟊嚣祭公理： ( e p l ) ：e ( 口) 一o ，对任意的朋p ( x ) ； ( 印2 ) ：8 ( 糍) = m n 粥s 溶e ( 固； f e ) ：e ( 由e ( 岔) ，其中岔为a 的峰纯； ( 印4 ) ：e ( a c ) = e ( a ) ，对任意的a f 舶( ) 1 9 6 8 年，z 群d 黩鞠最先绘出了一耱瘦簧模凝不穰定 堡豹方法，帮翔下述公 式： 努( 脚一一 ，张p 矗( 戤) l o 壁融 f ! t ( 其中巩为元索妣发生的檄率) 来描述的但它并不完全符合客观实际，随后 悲丈载学者。鞋 绘滋了与 | 鬟率没衮关系熬菠壁摸糊不确定瞧静方 第一章绪论 法： 日( a ) = 一j f 陋 ( 鼢) 1 0 9 p a ( ) + ( 1 一p ( 黝) ) f 0 9 ( 1 一肛a ( 甄) ) 1 l = 1 它满足上述的四条公理，被大众广为接受，使得该模糊熵应用极为广泛 随后许多学者从不同的方面又给出了由距离测度、相似测度引导的模糊熵及 高阶模糊熵模糊熵的广泛应用，又激发了大家对距离测度、相似测度的研 究1 9 9 2 年，x g 崩u 【4 】给出了模糊熵、距离测度、相似测度的公理化定义 距离测度：模糊集上的距离测度是一个映射，即d ：f s s 僻) f s s ( x ) 一 r + ，它满足下面四条性质： d p i ) ：d ( a ，b ) = d ( b ，a ) ，对任意的a ，b f s s ( x ) d p 2 ) ：d ，a ) = o ，对任意的a f 舶( x ) d p 3 ) ：d ( d ，d 。) = m o 。a b e f s 。似) d ( a ，b ) ，对任意的d p ( x ) d p 4 ) ：对任意的a ，日，a f 舶( x ) ，如果满足ac bcg 则有d ( a ，日) d ( a ，e ) 且d ( b ，g ) d ( a ，e ) 相似测度：模糊集上的相似测度是一个映射，即s ：f 舶) f s s 暖) 一 r + ，它满足下面四条性质： s p l s p 2 s p 3 s p 4 s ，b ) = s ( b ，a ) ，对任意的a ，b f 舶( x ) s ( d ，d 。) = 0 ，对任意的d p ( x ) s ( e ，e ) = m o z a ，口f s s ( x ) 8 ，日) ，对任意的e f s s ( x ) 对任意的a ，b ，a f 舶( x ) ，如果满足acbcg 则有s ，b ) s ( a ，g ) 且s ( b ，g ) s ( a ，g ) 虽然f “z z ”集理论能够较好地描述模糊性，但它采用单值的隶属函数 表示“一定程度上属于”的关系，即单值的隶属度包含了支持和反对 证据的程度，但不能表示中立的证据，因此，f u o o 集理论具有一定的 缺陷为了解决这个缺陷，a 彻n s s 鲫于1 9 8 3 年提m 了一种比f u 0 0 1 1 ，集更加 广义的模糊集一n t u 饿o n i s t i c 模糊集既1 9 9 3 年g n “等【1 1 l 提 十 了v o 口u e 集后 来，日u s 饥n c e 和日州f f o l l 3 j 证明了这两个概念是等价的y n g u e 集是这样来定 义的： 设x = 如l ，0 2 ，z 。 是所讨论的论域，x 中的一个y 0 9 “e 集a 表示为：a = 翰，f “( 翰) ，l a ( 甄) 淞f x ，其中“：x 一 o ，l 】和a ：x 一 o ，1 j 分别为隶 属于a 的真隶属函数和假隶属函数“( 而) 为的肯定隶属度下界，n ( 鼢) 为 的甭定隶属度下界，并且对于任意的鼢x 有“( z f ) + ，a ( ) 1 q 隶 瘸于y 。g u e 集a 的程度为p a ( 鼢) ，1 一n ( 奶) 】c 【o ，l 】，这说明的确切隶属 度口4 ( t 。) 未知，但t a ( 翰) p ( 而) 1 一，a ( z 。) + 称” ( 巩) = 1 一“( 以) 一 3 第一章绪论 总之，我们较深入地讨论了模糊集，y n g u e 集的不确定性度量问题，得出 了一些有意义的结果 5 西北大学硕士学位论文 证明：显然有0 3 1 1 ， ( 印1 ) ：对任意的a ，b f s s ( x ) ，s z ( a ，b ) = 筠= 揣= s 1 ( b ，川； ( 印2 ) ：对任意的d _ p ( x ) ，s ( d ，d 。) = 黼= o ； ( s p 3 ) ：对任意的a f & ( x ) ，s 1 ，a ) = 揣= 1 ； ( s 碑) ：对任意的a ，b ，g f s s ( x ) ，有acbcg ，则d ( a ，日) d ( a ，g ) ， d ( b ，g ) d ( a ，a ) 因此l d ( a ，b ) 1 一d ( a ，g ) ，1 一d ( b ，g ) 21 一d ( a ，e ) 所 以有 s ，( a ，b ) = 筠筠= s ( a ，e ) ， s ，( b ，a ) = 鬻期= s t ( a ，g ) 证毕 类似地可以证明下面的定理： 定理2 2 ：如果s 是f s s ( x ) 上的一个正则相似测度，则s 2 = 去是f s s 僻) 上的 一个正则相似测度 6 下而讨论几种新的f 舶( x ) 上的相似测度： 定理2 3 ：对任意的a ，_ 8 f & 僻) ，如下定叉的3 3 ( a ，b ) j 吲邶，= ：砉筹器等嬲 为模糊集a 与b 之间的正则相似测度 证明：对任意z l x ，有p n 口( z 1 ) p a u 口( z t ) ，p c n 口c ( z i ) p 。u 日。( 茁 ) 于足可以 得到：o ss 3 ( a ，日) 1 显然s 3 ( a ，b ) 满足( 印1 ) 一( 印3 ) ，下面只需证明其满足( s 一) 对任意的a ，b ，e f 舶( x ) ，若acbcc ，则对任意的飘x ，有m ( q ) 日( z i ) “e o q ) 因此有 “ n 口( z i ) = ，z a ( z t ) = p n 。( 茁i ) ， ， c n b c ( 。) ：= 肛口c ( 。t ) ，l g c ( 。 ) = p a c n c c 0 ) 扯 u 口( 茁t ) = p b ( z ) c ( z f ) = 肛 u g ( 。) ， p c u 日c ( z t ) ：= “a t ( z 。) = “ c u c c ( z 。) 因此，s 3 ( a b ) 8 3 ( a e ) 同理可证s 3 ( b ：g ) s 3 ( a ，c ) 证毕 第二章相似测度及其引导的模糊熵 定理2 4 ：对任意的a ，b f s s ( x ) ，如下定义的s 4 ( a ，日) ? 叫郇，= 毫绻器剖 为模糊集a 与b 之问的正则相似测度 证明类似于定理2 3 定理2 5 ：对任意的a ，b f s s ( x ) ，如下定义的s 5 ( a ，b ) ? ，。、：1 【“ ( z ) p 口( z t ) l 8 s ( 邮) 2 篚赞爵嚣谢l j l 2 ll 、，、，j 为模糊集a 与b 之间的正则相似测度，但不是口并目似测度 证明：显然s 5 ( a ，口) 满足o 岛( a ，b ) 1 及( s p l ) 一( s p 3 ) 下而只需证明其满 足( s p 4 ) 对任意的a ，口，c f s s ( x ) ，若acbcg ，则对任意的甄x ，有p a ( ) 蔓 肛日( z i ) p g ( o t ) ，故 p ( z i ) 肛丑( z ) = p ( z t ) = 肛a ( z t ) p g ( 茁i ) ， p ( 。t ) vp b ( z i ) = p 口( z ) p g ( 。t ) = p ( z ) v 肛c ( $ ) 因此， ( q ) 肚b ( 训= ( ) 肛c ( 圳， i=1扛=1 ( 蚓vp b ( 鼢) 】胁( 以) vp c ( 鼢) 】 故s 5 ( a ，b ) 船( a ，g ) 同理可证s 5 ( b ，g ) s 5 ( a ，e ) 因此s 5 是一个正则相似测度 5 5 ( a n d ，b u d 。) + s 5 ( a n d 。，b u d ) = 象雠器篇捌+ 密篇措酱渊 一 竺l 【“a n d ( 。t ) v 肛b u d c ( 茁i ) 】。銎1 【“ n d c ( z i ) v 肛口u d ( 。1 ) 。d 阻a ( 。t ) b ( z t ) 】 至：! 旦照苎! 兰1 2 尘些璺! 兰! ! ! 一 e 。d 【p ( 甄) vp b ( 甄) l + 。岳dl 。dl + 。车d 阻a ( 孔) vp b ( 轧) 】 至i ! l ：j 糕= s s c a ，b ， 。坠1 【a ( z ) vp 日( z i ) 】 。”7 由此可见，8 5 ，b ) 不是矿一相似测度 定理2 6 ：对任意的ab f s s ( x ) ，如下定义的s 6 ( a ，b ) 烈邮，= 跫糕筹渊 为模糊集a 与b 之问的正则相似测度，但不是口相似测度 9 塑! ! 垄兰丝圭童篁堡耋 根据定义容易证明( 印1 ) ，( e p 2 ) ，( s p 4 ) 戚们主要来证e 3 ) 满足( e p 3 ) t 设a + 为a 的峰化，则a + n d fca n d c 【勃u d l ， d 1ca u d i ca + u d i 根据上述( 1 ) ，可以知道 s ( a n d l ，【 】u d ) = s ( d 1 ，4 u d i ) ， 8 ( a + n d l ， 】u d i ) = s ( ；d 1 ，a + u d i ) 因此 s ( a + ，咕】) = s ( a + n d l ，i ； u d i ) + s ( a + n d ：，【i u d l ) s8 ( ；d 1 ，a + u d ；) + s ( a n d ，【；】u d l ) s ( ；d 1 ，a u d ；) + s ( a n d f ，【；】u d l ) s ( a ，【；】) = s ( a n d l ，【； u d f ) + s ( a n d ；，【i 】u d l ) = s ( ；d 1 ，a u d ；) + s ( a n d i ，唁1 u d l ) 故s ( a ，【 3 ) ss ( a ，睦1 ) ，故e 3 ( a + ) e 3 ( a ) ( 3 ) 现证e 3 是一模糊熵对任意的d p ( x ) 1 e ( a n d ) 一2 s ( a n d ，【去1 ) 一1 = 2 【s ( 【0 】，【；】u d ) + s ( a n d ，唁】u d 。) 】一l e ( a n d 。) = 2 s ( a n d 。，【二】) 一1 = 2 p ( 【o 】，l ；】ud c ) + s ( a nd c ，i 却u d ) 】一1 e ( a n d ) + e ( a n d 。) 11 = 2 陋( a ，f ； ) + s ( 【o 】，【；】) 1 2 = e ( a ) 由此可见，e 3 ( a ) 是一正则口一模糊熵 倒2 _ l is ( a ，b ) = 1 一：l p a ( z ) 一p b ( 甄) l 是f s s ( x ) 上的一个正则盯哥8 似测 = 1 度，并且s 满足下列条件： ( 1 ) ：2 s ( g ，嘲) = l ，对任意的g p ) ； ( 2 ) ：s ( a c ，b c ) = s ( a ，口) ，对任意的a ，b f s s ( x ) 根据定理2 加可以得到模糊熵e 3 ( a ) = 2 s ，嘲) 一l 觚z 州删= ；妻等券铛辫等糌是耶职心 一个正则口相似测度，并且s 满足下列务件： ( 1 ) ：2 s ( g ，嘲) = 1 ，对任意的g p ( x ) ； 第二章相似测度及其引导的模糊熵 公式 ( 2 ) ：s ( a 。，b 。) = s ( a ，b ) ，对任意的a ，b f s s ( j f ) 根据定理2 碉以得到模糊熵e 3 ( a ) = 2 s ( a ，) 一1 此外，根据公式e ( a ) = s ( a ，a 。) ，由定理2 1 到定理2 6 也可得出相应的模糊熵 西北大学硕士学位论文 第三章不同运算下的模糊熵、距离测度和相似测度 模糊熵、距离测度、相似测度在集合关于交、并、补运算下的一些性质在 文献【4 | 嘲7 】已得到详细讨论，但在模糊集的运算中，是采用查德算子( ，v ) 来 定义模糊集的交、并的查德算子的优点是运算简单，除不满足互补律外，与 经典的运算十分相似，但也有缺点，因” ”是取小运算，两个模糊集的交，结 果只保留了它们的”下端”信息，其余的都被取小运算舍弃了而”v ”是取 大运算，两个模糊集的并，结果只保留了它们的”上端”信息，其余的都被取 大运算舍弃了因此采用这种算子，往往使计算结果与实际情况有较大m 入， 不能满足实际的需要，为了适应不同的描述对象，本章讨论了集合关于加法运 算、乘法运算的性质，还着重讨论了集合关于加法、乘法运算下模糊熵、距离 测度、相似测度的一些性质 3 1 加法与乘法下的模糊集 在这一节中，我们首先给出模糊集关于加法与乘法的运算及性质 定义3 1 ：设论域为x ，对于两个模糊集a ，日，定义a 日，4 + b 分别为： a b = l z x ； a 十b = i 。x ) 显然a 日，4 + b 也是论域x 上的模糊集， 由集合a + b 与集合a b 之间的运算关系：卢a + b ( 茁) = 纵( z ) + 粕( z ) 一蛐( z ) p b ( z ) 可得到： 2 a ：p 2 ( 茁) = 2 m ( z ) 一，t j ( z ) = 1 ( 1 一p a ( z ) ) 2 3 a ：肛3 ( z ) = 3 p ( z ) 一3 芦羞( 茁) + 肛盖( z ) = l 一( 1 一p ( z ) ) 3 n a ：p 。j 4 ( z ) = 1 一( 1 一肛 ( 。) ) ” 同理可得： a 2 ：p a t ( ) = 肛刍( z ) a 3 ：p 3 ( z ) = “刍( 。) a “：p a n ( z ) = 卢j ( z ) 由此关系可得到模糊集a ，引拘下列性质 命题3 1 ：如果m ，n 都是正整数，且m n ，则a ”c 印，7 l acm a 命题3 2 ：如果acb ，则小c 曰n n acn b 命题3 3 ：( a ，b p = a “b “，礼( a + b ) = n a + n b 证明：只需证礼( a + 口1 = 礼a + 似口 n ( a + 口) ：肛。( + 启1 ( z ) = 1 一( 1 一“1 4 + 口( ? ) ) ” 1 4 西北大学硕士学位论文 定理3 3 ：e 是f s s ( x ) 上的7 一熵当且仅当对任意的d p ) ，e ( a ) = e ( a + d ) + e ( a + d 。) 证明：必要性，由对任意的p ( x ) ，e ) = e td ) + e ( ad 。) 成立，可得到： e ( a + d ) = e ( ( a + d ) d ) + e ( ( a + d ) d 。) = e ( d ) + e ( a d 。) = e ( a d 。) e ( a + d 。) = e ( ( a + d 。) d ) + e ( ( a + d 。) - d 。) = e ( d 。) + e ( a d ) = e ( a d ) 所以e ( a + d ) + e ( a + d 。) = e ( a ) 充分性可类似证明 模糊熵在集合关于加法与乘法运算下也得到了一些新的性质 定理3 4 ：设e 是f s s 伍) 上的模糊熵，则对任意的a ，日f & ( x ) ，有e 曰) = e ( a 。+ 日。) ，e ( a 。b 。) = e ( a + b ) 证明：由a b ，岔+ 曰。的定义可知： p 口( z ) = p a ( 茁) p b ( o ) ； p a c + b c ( 。) = 1 一p a ( 正) + l p b ( z ) 一( 1 一p a ( z ) ) ( 1 一p b ( 茁) ) = l 一弘a ( z ) - 弘b ( 石) 由此可见，b ) 。= 小+ 日。 所以e ( a b ) = e ( a 。+ b 。) ， 同理可证e ( a 。b 。) = e ( a + 丑) 推论3 1 ：设e 是f s s ( x ) 上的模糊熵，则有e ( ) = e ( + 嘲) 3 3加法与乘法下的距离测度 定理3 5 ：设d 是f 踟( x ) 上的距离测度，对任意的a ，b f 舶伍) ，对任意 的d p ( x ) ，则d ( a ，日) = d ( a d ，b d ) + d ( a d 。，b d 。) 成立的充要条件 是d ( a ，b ) = d ( a + d ，b + d ) + d ( a + d 。，b + _ d 。) 证明：必要性因为d ( a ，口) = d ( a - d ，口d ) + d ( a d 。，b d 。) 故有： d ( a + d ，口+ d ) = d ( ( a + d ) d ，( 口+ d ) - d ) + d ( ( a + d ) d 。，( 口+ d ) d 。) = d ( a - d 。，b d 。) d ( a + d 。，b + d 。) = d ( ( a + d 。) d ，( b 十d 。) d ) + d ( ( a + d 。) - d 。，( 曰十d 。) r d 。) = d ( a d ，b d ) 所以d ( a + d ，b + d ) + d ( a + d 。，口+ d 。) = d ( a ，口) 充分性可类似证明 定理3 6 ：设d 是f s s ) 上的距离测度，对任意的a ，b ，g f s s ( x ) ，如果ac 口ca ，则d ( a ，口+ a ) d ( 口，a + c ) 证明：根据加法运算与乘法运算的定义即可证明 定理3 7 ：设d 是f s s 伍) 上的距离测度，对任意的a ，b ，e f 鼬) ，如果ac b ，则d ( a a ，b + c ) d ( a 口) 证明：根据加法运算与乘法运算的定义即可证明 集合关于加法、乘法运算在距离测度上与集合关于交、并运算也有着一定 的联系 第三章不同运算下的模糊熵、距离测度和相似测度 定理3 8 ：设提f 踟) 上的距离测度，则对任意的a ，日f 舶( x ) ，有d b ，a + b ) d ( a n b ，a u b ) 证明：根据加法运算与乘法运算的定义即可证明 3 4加法与乘法下的相似测度 相似测度与距离测度有着较为相似的性质，对此只做简单介绍 定理3 9 ：设8 是f s s 僻) 上的相似测度，对任意的a ，日f s s 咩) ，对任意 的d p ( x ) ，则s ( a ，b ) = s ( d ，b + d 。) + s ( a d 。，b + d ) 成立的充要条 件为s ( a ，口) = s ( a d ，b + d 。) + s ( a + d ，b d 。) 证明：证明类似于定理3 5 定理3 1 0 ：设s 是f s s 陋) 上的相似测度，且对任意的a ，口f s s ) ，对任意 的d p ( x ) ，有s ( a ，b ) = 8 ( a d ，b + d 。) + s ( a d 。，b + d ) ，则由s 引导的距离 测度d ( s ) 满足d ( a ，曰) = d ( a d ，b d ) + d ( a d 。，日d 。) 该定理的逆命题也是成立的 证明：证明类似于定理3 5 定理3 1 1 ：设s 是f s s 俩) 上的相似测度，且对任意的a ，b f 舶僻) ，对任意 的d p ( x ) ，有s ( a ，b ) = s ( a d ，曰+ d 。) + s ( a d 。，日+ d ) ，则由8 引导的模糊 熵e ( s ) 为7 - 熵 证明：证明类似于定理3 5 定理3 1 2 ：设s 是f s s ( x ) 上的相似测度，则s a 。，a + a 。) s ( 嘲，嘲) 证明：因为p c ( t ) = p ( z ) p c ( z ) = p ( 。) 一p 刍( 茁) 冬 ； “ + a c ( z ) = 口 ( 。) + p a c ( 茁) 一p a ( 。) 肛且c ( z ) = 1 一，l a ( z ) + p j ( z ) 2 所以a - a 。c 】c 【； c a + a 。， 因此s ( a a 。，a + a 。) 8 ( 1 ，【i 】) 1 7 韵靶天擎硕士擎稼论文 第四章y a g 戗e 集的偏熵与关联熵 熵是痿惠论中熬一令壤念，它主要是襄寒刻画一个对象艨蕴客戆甲均痿慧 螫，文献拓广了熵的概念，引入了随机变爨的偏熵、关联熵以及关联系数往 此糕础上，我们将偏熵、关联熵、芙联系数的概念推广到了v n g e 集理论中， 定义了池g 雠巢静偏髓、关联熵、关联系数，并讨论了它稻静穗质，最螽通过 举例指出了其中的一个应用方向 4 1随机变薰的偏熵与关联熵 定义4 。l ：铂爱随斌变量x 和y 鹳穰枣分布为： 盖： ；：垮y ：器芝： 弗么，随机变量x 关于随机爱量y 的偏熵定义为： n 晰( x ) 一一弧1 0 9 p l = l 翳 定义4 。2 ：m 琏机变量x 与y 之阙的关联螭定义为它钠的镛熵之务，黪： 日( x ，y ) 一t k ( y ) + 风，( x ) 定义4 3 ：倒，随机变量x 与y 砖偏关联系数茂荧联系数分剐定叉为： 榔) = 器；州) = 器川础) = 器溉 4 + 2y 叼旺纂的编缡 必方使起见，焱本章中我们用v & ( x ) 表示离散论域x 一扛l ，茁2 ，。 上 的企体矿8 9 札e 集的集合，v s 8 ( x ) 中的任意v n g “e 集a 疆为：a = 【芒 扛，) ，l a ( 托) 1 k 毫x ) 其中“( 鼢) 是从支持鼢的证据中所导出的戤的肯定隶属度下 器，矗承) 爨鼓反x 重魏瓣谖据中联零窭爨秘戆秀定隶藩魔下赛，量对经意 的z t x t d ( z ) + 厶( t ，) 1 1 8 苎里主兰塑坐叁盟熊塑兰茎墨熵 定义4 4 ：对于两个y 0 9 n e 集a ，b ，定义a ! b 当且仅当，对任意的。x 有 a ( 。) t 日( z ) ，a ( z ) s ，8 ( 嚣) 在本章中，v 0 9 扎e 集的模糊熵公式采用文献【2 3 】中给出的对数函数形式的模 糊熵公式： 其中k 为归一化因子，k 0 下同 下面就给出y g t e 集的偏熵的定义： 定义4 5 ：设a ，b 是y & ( x ) 中的任意两个y 叼e 集，则v 凹u e 集a 关于日的偏熵定 义为： n 西( a ) = 一芝二耻日( z ) f 仲t ( 。t ) + ，b ( 。i ) z n 儿( z ) 】 t = 1 上式中y n f “e 集b 称为基准y o g e 集，且规定0 l 加= 0 ，f n 0 = 一o 。 与y g u e 集模糊熵的定义相类似，偏熵e b ( a ) 也是y o g “e 集a 的不确定程度 的一种度量一般情况下，互冶( a ) 五_ ( 日) y n g u e 集a 关于y 0 9 札e 集b 的偏熵具有如下性质： 命题4 1 ：对任意的a ，b y ( x ) ，e b ( a ) o 命题4 2 ：对任意的a ，b y s s ( x ) ，若a b ，则e 日( a ) e ( b ) ，当且仅当a = b 时取等号 证明： e 口( a ) 一e ( b ) = 一k 怕( 如) f n “( ) + ，b ( q ) f n ，a ( ) 一b ( 锄) f m _ 日( q ) 一拓( q ) f n ，b ( 以) 】 一喜瞰砌h 锱蜘抽尝器， 耳势) ( 1 一糍) + ，口( 引( 1 - 糕) 】 = k h ( 日) 一”口( 圳 ( 当且仅当对任意眠懿糍- 1 ) 粼- l 且b 时上式取等号) 由于a b ，因此”a ( 吼) b ( 以) ，故e 日( a ) e ( b ) ，当且仪当a = b 时取等 号 命题a 3 ：对任意的a ，b y s s ( x ) ，若a ! b ，则e 日( a ) 2e ( a ) 扛“ n “ + z a _ 基茹 “口 。斟 k 一 | l a g 西北大学硕士学位论文 命题4 4 ：对于给定的v o g u e 集a ，若b 蔓b 7 ，则j 活，( a ) e 8 ( a ) ，l ( 且) 乳( b ) 证明： e 曰，( j 4 ) 一i 冶( a ) nn = 一陆( q ) f n “( 锄) + 拈，( 甄) l n a ( 甄) + k 怕( 筑) f 僦 ( 轨) + ，日( 甄) 2 n “( q ) t = lt = l n = 【( t _ b ( 研) 一t 日，( 嘲) f 凡“( 以) + ( ，口( 黝) 一扫( 甄) ) z n ，a ( q ) 】 由于b ! 口，即v 甄x ，有括) ) ，拓( ) 扫( 祝) 因此j 强，( a ) 一e 口( a ) 2o ，即凹日( a ) 2 玷( a ) 同理可以证明j h ( b ) j ( b ) 命墨4 5 ：对于任意的a y s s 僻) ，有互k ( a 。) = 五_ c ( a ) = e _ u c n 4 。) = z “n c ( aua 。) ，其中a 。为a 的补集 证明：令x + = z i i t ( 。i ) 厶( ) ，z t x ) ，x 一= 。 l t ( 。t ) ， ( i ) ，z i x ) j ( a 。) = e 4 c ( a ) = 一( 瓢) 2 疵 c ( 趣) + ，a ( q ) f n 厶c ( ) 】 = 1 一h ( q ) f n ，a ( 翰) + “( ) f n t ( 托) 】 t = 1 一k 【，a ( 轨) 2 礼“( 航) + “( 她) z 嗍( 锄) 】 = 1 j k u c ( ana 。) = 一j f 【亡a u 小( ) f n t a n j 4 c ( 札) + ，a u a c ( 鼢) f n ，a n a c ( 锄) t = l n = 一k 【m 彻( “( 嬲) ，a ( 托) ) 2 n m 饥( t a ( 吼) ， ( 她) ) t = 1 + m i n 0 a ( z 。) ，厶( t ) ) f n m n 茁( t a ( 。t ) ，a ( z t ) ) = 一k 盈) f n ，a ( 鼢) + ( q ) f n “( 跏) 一k 如( 托) 航 ( 趣) + “( 如) f 礼，a ( 舭) 】 o 。x 一 = 一k n ) f r ，a ( 黝) + a ( 甄) m a ( 黝) 同理可以证出e a r ( aua c ) = k ：l 弘a ( 嗣) f n ( z ；) + n ( 蟊) f 疵a ( ) 因此e ( a 。) = e ar ( a ) = f u 小( a n a 。) = e a n 巾( a u a 。) 第四审矿n 口就e 集的编熵与关联熵