（计算数学专业论文）奇异非对称代数riccati方程的数值解法.pdf

奇异- 北- q f 对称日j 升 j1 叫、 学位论文完成同期： 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 ( 注；翅没查墓他盂垩挂别座明的：奎拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：专锺爻签字日期：私蜘年厂月仃日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，并同意以 下事项： 1 、学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。 2 、学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权清华大学 “中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社 用于出版和编入c n k i 中国知识资源总 库，授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数 据库。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：杏您父 签字日期：仍加年，月岱日 刷稚氧爵吱霞 签字同期： 沙l o m 岁月j 7 同 在传输 代数r i c c a 构。在实际 性质以及求解已有许多文献讨论和研究过，并得到了一系列成果。 本文首先回顾了该方程的来源、背景以及研究现状。给出了一些关于该方程 的基本引理和算法；然后根据位移技巧，在奇异情形下对不动点迭代法和牛顿迭 代法进行改进，使之形成了新的算法；最后给出了一些数值算例。 本文的创新之处：对奇异情形下的不动点迭代法和牛顿迭代法进行改进，使 得非对称代数r i c c a t i 方程可以求出最小非负解。 关键词：最小非负解；位移技巧；不动点迭代法；牛顿迭代法 5 tr a n g en o n s y m m e t ric aig e b r aickic c a tie q u a tio n 一 n u m e ric als oiu tio n a b s t r a c t i nd i s c i p l i n e sa n ds oo nt r a n s m i s s i o nq u e s t i o n a p p l i c a t i o n p r o b a b i l i t y ，t r a n s p o r tt h e o r y m e e t sak i n do f m a t r i xe q u a t i o n a s y m m e t r i c a la l g e b r ar i c c a t ie q u a t i o nf r e q u e n t l y ，o r i g i n a t e ss p e c i a l l y i nt h et r a n s m i s s i o nq u e s t i o nt h i se q u a t i o nc o e f f i c i e n tm a t r i xh a st h e s p e c i a ls t r u c t u r e i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，w h a tt h ep e o p l ec a r e di si t s s m a l l e s tn o n n e g a t i v es o l u t i o n 。a b o u tt h es m a l l e s tn o n n e g a t i v es o l u t i o n s e x is t e n c e t h en a t u r ea sw e l1a st h es o l u ti o nh a dm a n y1it e r a t u r et o d i s c u s sa n dt os t u d y a n do b t a i n e das e r i e so fa c h i e v e m e n t s t h i sa r t i c l ef i r s tr e v i e w e dt h i se q u a t i o no r i g i n 。t h eb a c k g r o u n da s w e l la st h er e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o n h a sg i v e ns o m ea b o u tt h i se q u a t i o n f u n d a m e n t a li e m m aa n dt h ea l g o r i t h m ：t h e na c c o r d i n gt ot h ed i s p l a c e m e n t s k i l l 。m a k e st h ei m p r o v e m e n tu n d e rt h es t r a n g es i t u a t i o nt ot h ef i x e d p o i n tr e p e t i t i v e p r o c e s sa n dt h en e w t o ni t e r a t i o nm e t h o d ，c a u s e di tt o f o r mt h en e wa l g o r i t h m ：f i n a l l yh a sg i v e ns o m ev a l u ee x a m p l e t h et h i sa r t i c l ep l a c eo fi n n o v a t i o n ：m a k et h ei m p r o v e m e n tt ou n d e r t h es t r a n g es i t u a t i o n sf i x e dp o i n tr e p e t i t i r ep r o c e s sa n dt h en e w t o n i t e r a t i o nm e t h o d c a u s e st h ea s y m m e t r i c a la l g e b r ar i c c a t ie q u a t i o nt ob e p o s s i b l et oe x t r a c tt h es m a ll e s tn o n n e g a t i r es o l u t i o n k e yw o r d s ：s m a ii e s tn o n n e g a t i v os o i u t i o n ：d i s p i a c e m e n ts k iii ：f i x e d p o i n ti t e r a t i o nm e t h o d ：n e w t o nj t e r a t i o nm e t h o d 目录 1 综述1 2 基本引理和算法2 2 1 基本引理2 2 2 基本算法3 3 位移法9 3 1 预备知识。9 3 2 位移变换1 0 4 改进的数值方法1 1 5 数值实验1 4 参考文献2 0 致谢2 2 个人简历2 3 攻读硕士期间发表的学术论文2 3 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 第一章综述 在传输问题、应用概率、迁移理论、最优控制理论、结构力学等学科中经常 遇到一类矩阵方程一非对称代数r i c c a t i 方程，特别地，来源于传输问题的该方 程的系数矩阵具有特殊结构。在实际应用中，人们关心的是它们的最小非负解， 关于最小非负解的存在性，性质以及求解已有许多文献讨论和研究过。 本文考虑如下的非对称代数r i c c a t i 方程( n a r e ) ： x c x x e 一魃+ b = 0( 1 1 ) 其中a ，b ，c ，e r ”，具有如下结构： a = 一e q r , b = e e r , c = q q r , e = d q e r ， ( 1 2 ) 上式中的a ，d ，e ，q 分别如下表示： 其中， fa = 扰口g ( 4 ，哦，皖) 【d = d i a g ( d l ，d 2 ，以) e = ( 1 ，l ，1 ) r ，q = ( g i ，9 2 ，吼) 7 42 而1 ，吐= 而两1 ，2 ，几 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 来源于运输理论，当( c ，口) ( 1 ，0 ) 时，方程( 1 1 ) 存在许多 分量意义的j 下解。因此，寻求最小正解的有效算法一直是人们所关心的重要问题 之一。 对于方程( 1 1 ) ，已有许多学者对其最小j 下解的存在性以及算法进行了讨论和 研究，并得到了一系列成果。例如：s h i m iz u 和a o k i 在文献 1 中提出的 g a u s s j a c o b i 迭代法，n e l s o n 在文献 1 4 中证明了它的单调收敛性；j u a n g 和 l i n 在文献 11 中提出了g a u s s - s e i d e l 迭代法并证明了它的单调收敛性。 j u a n g 8 证明了方程( 1 1 ) 最小j 下解的存在性及上界估计，为后续研究奠定了基 础。l u 1 3 把方程( 1 1 ) 转化成向量形式，并在向量形式下给出了最小币解的不 奇异非对称代数r i c c a f i 方程的数值解法 动点迭代法，并得到了最小正解的上、下界。b a i 和g a o 1 7 在l u 1 3 的基础上 进一步改进了不动点迭代法，并得到了方程( 1 1 ) 最小正解的更为精确的上、下 界。近年来，n e w t o n 迭代法、快速n e w t o n 迭代法用在该方程上，从理论和数值 试验上都得到了比较理想的结果。对于更一般的非对称代数r i c c a t i 方程，可参 阅文献 2 ，4 ，1 5 ，1 6 。 当( c ，口) = ( 1 ，0 ) 时，对于非对称代数r i c c a t i 方程( 1 1 ) ，不动点迭代法和牛 顿迭代法有唯一的最小非负解，已有的算法却无法求出该最小非负解。在文献 2 中，g u o 提出了求解一般非对称代数r i c c a t i 方程奇异情形下的最小非负解的新 方法一位移法。本文将上述位移思想运用到方程( 1 1 ) 上，使所有的迭代法和牛 顿迭代法都可用于求其最小非负解，最后通过数值例子，验证其有效性。 本文的安排如下： 第二章介绍了一些基本引理和算法，并讨论几种迭代法。 第三章给出关于求解非对称代数r i c c a t i 方程的位移法。 第四章给出了位移变换下的几种迭代法。 第五章给出数值实验。 第二章基本引理和算法 2 1 基本引理 一个实方阵a ，若它的所有非对角线元素都是非正的，那么称a 为z 一矩阵。 显然任意z 一矩阵都可以表示为a = 豇一b ，其中s 0 ，b 0 。一个z 一矩阵被 称为m 一矩阵，如果j p ( b ) ，其中p ( b ) 为曰的谱半径。下面给出关于m 一矩 阵的几个引理。 引理2 i l 仃j 对于z 一矩阵彳，下面的命题是等价的： ( 1 ) a 是非奇异的m 一矩阵； ( 2 ) a 是非奇异且a 。1 0 ； ( 3 ) 存在向量一0 使得a v 0 引理2 2 t 2 l 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 设彳r “”是m 一矩阵，若b r ”的元素满足： a ， a ，0 ， i ，1 f ，刀， 则曰也是m 一矩阵特别地，对于实数p 0 ，b = 甜+ 彳是m 一矩阵。 引理2 3 【1 7 】 设彳，b r ”都是m 一矩阵，如果彳b ，则彳一1 b 一1 引理2 4 【1 7 1 若a = 1 - c ( c 0 ) 是m 一矩阵( 奇异或非奇异) ，b = ，一o ( o 0 ) ，如果 d c ，则b 是非奇异的m 一矩阵 2 2 基本算法 近年来，l u 在文献 1 3 中把非对称代数r i c c a t i 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 转化成一 个向量组，并得到了方程解的如下表达式： x = t o ( w 7 )( 2 1 ) 其中： 卜( t v ) 2 去 ( 2 2 ) “= - ，g + e ，= x r q + e ( 2 3 ) 这里。表示h a d a m a r d 乘积符号。u 和v 是两个向量，它们满足如下方程： p 舭 托， ( 2 4 ) 1 1 ，= v o ( ) + p ， 其中， 肚( p v ) - ( 煮小娟 ，) = ( 煮) ( 2 5 ) 根据( 2 3 ) 式的两个向量方程，l u 1 3 构造了下面的s i 迭代法来求解非对称 代数r i c c a t i 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的最小j 下解。 m e t h o d2 2 1 ( si 迭代法) 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 1 ，o ) = ( 0 ，o ) ，对k = 0 , i ，2 ，匕，一用下述的方程来计算序列 | ：) = 擘( 篓) + e ( 2 6 ) “1 ) = 1 ，( ) o ( a ) + e ， 、“ 明了s i 迭代方程的单调收敛性，并且给出了一些数值例 子来说明该方法的灵活性和有效性。 b a i ，g a o 和l u 1 7 在s i 迭代法的基础上，对( 2 6 ) 式进行改进，构造出了 n b j 迭代法和n b g s 迭代法。 m e t h o d2 2 2 ( n b j 迭代法) 给定初始向量( “们，v o ) = ( 0 , 0 ) ，对k = o ，l ，2 ，用下述的方程来计算序列 ( “，) 直到收敛， = ：= 一：? “篓) + p ( 2 - 7 ) l “1 ) = ，( “) o ( a ( ) + e 一7 显然，n b j 迭代法比s i 迭代法更精确，并且前者比后者更灵活和有效地计算 迭代序列。下面我们给出计算向量“( “1 和1 ，( “1 的公式： 吩似“) 2 t 两1 ，v 耻+ i ) 2 了二i 概，f = l ，2 ，疗，( 2 8 ) 这里“，川和m 分别表示向量“川和1 ，m 的第f 个分量，【 】，和 户h 】，分别 表示p v ( 和f u 的第i 个分量。 m e t h o d 2 2 3 ( n b g s 迭代法) 给定初始向量( 们， ，o ) = ( 0 , 0 ) ，对k = o ，l ，2 ，用下述的方程来计算序列 ( ”，v ) 直到满足条件： ( 2 9 ) 显然，x b g s 迭代法比n b j 迭代法更灵活有效，并且能够更快的计算出序列 ( “，v ) 。下面我们给出计算向量”川和v 的公式： 4 托 托 卜0 州舻 “ m m 小从 = 剐 川 圳 弘洳 ，r1【 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 嘞i_pi)=ii。：。i：；!：jjii。ji。，m(pi)=南，f=：1，2，z， ( 2 1 。) 很显然，非对称代数r i c c a t i 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的最小正解( “，) 满足向量 组方程( 2 4 ) 。 下面的定理描述了n b j 迭代法单调收敛性质。 定理2 i t l 7 】 n b j 迭代法所产生的迭代序列 ( ”，1 ，) ) 7 - 0 严格单调递增且收敛于非对称代 数r i c c a ti 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的最小非负解( “，) ，即； ( i ) 0 “ “七+ 1 “。，o 1 ，七 ，七+ 1 1 ，k = o ，1 ，2 ， ( i i ) l i m “= “，l i r av ( ) = 1 ，。 七+ z七 + 薯 类似的，n b g s 迭代法也有下面的单调收敛定理。 定理2 2 n b g s 迭代法所产生的迭代序列 ( “，1 ，) ) k “= 0 严格单调递增且收敛于非对称 代数r i c c a t i 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的最小非负解( “，v ) ，即； ( i ) o 4 ” “ “+ ，o ，七 ， ，k = 0 ，1 ，2 ， ( ii ) l i r a “= 甜。，l i my = ， + z 蠢 + 上面我们详细介绍了求解非对称代数r i c c a t i 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 最小j 下解的 三种迭代法：s i 迭代法、n b 2 迭代法和n b g s 迭代法，下面我们来回顾一下该方程 解的边界问题。 令w = u t , y r ) r r 2 n , w - - u l ，+ f = v ，f = l ，2 ，以， g ( w ) = ( g 。( w ) ，g ：( 川，。( w ) ) 7 其中， ( w ) = l s f t 拧 f 2 n ( 2 1 1 ) 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 那么( 2 4 ) 式的向量方程组可以改写成下式： w - w o g ( w ) + p 凼此，( 2 6 ) 式和( 2 。7 ) 式司以分别表不为： 蝶刊o g ( w 。、”) + p ( 2 1 2 ) 。( p g ( d ) = e 在文献 1 3 中，l u 得到了非对称代数r i c c a t i 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 最小非负解 的上下界。若矿；( u , v ) 是该方程的最小非负解，那么w 旦1 - 2 # p 。若西 1 4 ， 则2 e ，其中：_ l l l i n 鲥幽 ( e ) ，= m a x 。鲻：。 & ( p ) ， 丢， l 1 2 妒 定理2 3 t 1 7 】 尊1。，。 2 p。 1 1 - 2 尹 若痧专 则南1p 或w ；7 丽p 。 4 + l 一锄 矽。一3 矽+ 1 若m 三，则s 三一e 把定理2 3 应用于( 2 1 ) 式，我们得到了下面关于非对称代数r i c c a t i 方程 ( 1 1 ) 一( 1 2 ) 最小非负解的上下界。 定理2 4 t l 若一1 ，则非对称代数r i e c a ti 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 最小非负解的下界是： 。 4 彳司2 而丁或x ( 蒜归 若m ! ，则非对称代数r i c c a ti 方程( 1 i ) - ( 1 2 ) 最小非负解的上界是： 6 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 x ：筝：= = 丁 一 1 2 0 + l 一4 0 在本章最后，我们回顾一下关于求解非对称代数r i c c a t i 方程( 1 i ) 一( i 2 ) 最小正解的牛顿迭代法以及收敛性定理。 ( 2 4 ) 式可以转化为下面的向量形式： 八们= ( z ( w ) ，a c w ) ，正。( w ) ) 7 = 0 ( 2 1 3 ) 其中，f , c w ) = w ( 1 一岛( w ) ) 一l ，i = l ，2 ，2 n 。这里g ，( w ) 由( 2 1 1 ) 式定义。因此， ( 2 1 3 ) 式的牛顿迭代式为 ( w ( ) ( w ( “n 一) = 一厂( ) ，k = o ，1 ，2 ， ( 2 1 4 ) 其中f ( w ) 代表厂( w ) 的j a c o b i 矩阵，其展开式如下： 八们地预计阄川= 匮高黝 亿 这里厶。表示2 n x2 n 的单位矩阵， g i ( w ) = d i a g ( g ，( w ) ，g 。( w ) ) h 。( w ) = ( j i l c ( w ) ) h o ( w ) = w 既 g ：( w ) = d i a g ( g 州( w ) ，g ：( w ) ) h ：( w ) = ( ( w ) )( w ) = + ，岛 引理2 5 r 1 2 】 。 当w 0 ，g ( w ) 0 时，则f ( w ) 是z 一矩阵。 令f 。( w ) y = ( - a y ，厶y ，厶。j ，) 7 r 2 ”拍，其中，厶r 2 ”h ，y r 拍则当 k = l ，2 ，刀时下式成立： 厶0 r 斟肚1 办纠0 一o l ，0 ，电，别 ( 2 1 6 ) 厶+ 。= ( 帝0 r 0 似 ，似) = 一a ，= ( a ”，氟j ( 2 1 7 ) 从( 2 1 6 ) 式与( 2 1 7 ) 式我们得知厶与w 是相互独立的。 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 引理2 6 i i 副 ( w + ) = 厂( w ) + 厂( w ) ( w + 一w ) + 去【厂( w ) ( w + 一w ) 】( w + 一w ) ( 2 1 8 ) 特别地，当w + 等于( 2 13 ) 式的最小非负解时，则有 o = ( w ) + f ( w x w + 一w ) + 三 厂( w ) ( w + 一w ) 】( 矿一w ) ( 2 1 9 ) 而且，对于任意的y o 或y 0 ，有 f ( w ) y 2 0 ( 2 2 0 ) 定理2 5 t 挖】 给定初始向量o = o ，序列 w ( ) 由牛顿迭代方程( 2 1 4 ) 生成，则有 w ( o 1 w ( 。l i 。m 。w = w ，为( 2 1 3 ) 式的最小非负解，并且对任意的尼，矩阵( w ( ) 是 非奇异的m 一矩阵。 定理2 6 t 1 2 】 给定初始向量w ( o = 0 ，序列 w ( ) 恕。是由( 2 6 ) 式生成的，然后以为初始 向量，序列 w ( ) 乏b + 。是由( 2 1 4 ) 式生成的。则 w i o w ( 1 w ( 七d w i + 1 矿 序列 w ( ) 收敛于( 2 13 ) 式的最小非负解w 。 记z ( w ) = h 2 ( w l ) ( ，一g i ( w i ) ) ， m e t h o d2 2 4 ( n l 迭代法) 给定初始向量o = 0 ，对k = 0 , 1 ，2 ，用下述的方程来计算序列( ”n ， ，) 直 到收敛， 【，一g 2 ( ) 一z ( ) h ( ) i v “= e 一致( 如+ z ( ) 忙一q ( ) ，) t , l “1 = ( ，一g i ( w i ) ) 一+ l ( ) ( v “n 一，) 】 “i o = ，t oj = 0 8 ( 2 2 1 ) 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 遗憾的是，上述四种方法只能在( c ，口) ( 1 ，0 ) 时求得方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的最小 正解，而当( c ，口) = ( 1 ，0 ) 时，上述四种方法无法求得该方程的最小非负解，但该 方程有唯一的最小非负解。 下一章中，我们利用g u o 在文献 2 中提出的位移技巧，构建一个新的r i c c a t i 方程，使其有最小正解且该最小正解为原方程的最小非负解，从而可以把上述四 种方法用到新方程上来求解。 第三章位移法 3 1预备知识 记 k = 三j ，日= ；一- c 彳 c 3 ，寮。 彳，b ，c ，e 由( i 2 ) 式定义。从文献 1 0 中，可以得到下面的引理。 引理3 i t l 们 矩阵h 如( 3 1 ) 式所定义，有2 靠个特征值 讹，- a ， ， ) ，满足如 下不等式： j 一瓯 一1 一哦一i t 一鸬 一4 m o ( 3 2 ) 【0 a d i 五 d 2 3 0 0 01 6 58 45 6 ( ；n b j r e s 木 8 8 0 e - 1 28 4 0 e - 1 28 1 0 e - 1 2 c p u 木 0 0 2 6 00 0 1 4 70 0 l1 0 i t 3 0 0 08 74 62 9 g n b g s r e s 木 8 7 4 e - 1 28 4 0 e - 1 28 0 4 e - 1 2 表4 3 当( c ，口) = ( 1 ，0 ) 时，一= 2 5 6 7 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 ，7 m e t h o d 盔44 234 c p u0 2 5 0 00 2 9 7 00 2 9 7 0 以= 1 2 8i t788 r e s3 0 4 9 2 e 一1 53 3 0 9 9 e - 1 54 6 0 4 0 e - 1 5 c p t j2 0 9 4 02 2 9 7 02 3 2 9 0 行= 2 5 5i t788 r e s4 8 8 1 5 e - 1 54 8 7 8 0 e - 1 56 4 5 8 4 e - 1 5 c p u1 3 8 4 4 01 5 5 1 5 01 5 5 4 7 0 n = 5 1 2i t788 r e s8 0 3 7 0 e - 1 59 7 5 1 7 e - 1 58 7 3 2 6 e - 1 5 表4 4 当( c ，口) = ( 1 ，0 ) 时，g n i 数值实验的结果 1 8 奇异非对称代数r i c c a t i 方程的数值解法 参考文献 1 a s h i m i z ua n dk a o k i a p p li c a t i o no fi n v a r i a n te m b e d d i n gt or e a c t o r p h y s i c s ，a c a d e m i c ，n e wy o r k ，1 9 7 2 2 c 一h g u o n o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n sa n dw i e n e r - h o p f f a c t o r i z a t i o nf o rm - m a t r i c e s s i a m m a t r i xa n a l a p p l ，2 3 ( 2 0 0 1 ) ， 2 2 5 - 2 4 2 3 c 一h g u oa n da 一j l a u d o nt h ei t e r a t i v es o l u t i o no fac l a s so f n o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n s s i a mzm a t r i xa n a l a p p l 2 2 ( 2 0 0 0 ) ，1 0 8 3 11 0 0 4 c 一h g u o ，b i a n n a z z oa n db m e i n i o nt h ed o u b li n ga l g o r i t h mf o r ak s h i f t e d 心n o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n s i a mj 。m a t r i xa n a l a p p l ，2 2 ( 2 0 0 0 ) ，3 7 6 3 9 1 5 c ，h e ，b m e i n i ，a n dn 一h r h e e as h i f t e dc y c l i cr e d u c t i o na l g o r i t h m f o rq u a s i b i r t h d e a t hp r o b l e m s s i a m zm a t r i xa n a l a p p l ，2 3 ( 2 0 0 i 0 2 ) ， 6 7 3 6 9 1 ，e l e c t r o n i c 6 d a b i n i ，b i a n n a z z oa n df p o l o n af a s tn e w t o n sm e t h o df o ra n o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n s i a mzm a t r i xa n a l a p p l ， 3 0 ( 2 0 0 8 ) ，2 7 6 2 9 0 7 r 一a h o r na n ss s e r e a c a p iz z a n o c a n o n ic a la n ds t a n d a r df o r m sf o r a t t a i nr a n ko n ep e r t u r b a t i o n sa n da na p p l o c a t i o nt ot h e ( c o m p l e x ) g o o g l e p a g e r a n k i n gp r o b l e m s i a mzm a t r i xa n a l a p p l ，2 3 ( 2 0 0 i 0 2 ) ，6 7 3 6 9 1 ， e l e c t r o n i c 8 j j u a n g e x i s t e n c eo fa l g e b r a i cm a t r i xr i c c a t ie q u a t i o n sa r i s i n gi n t r a n s p o r tt h e o r y 1 i n e a ra l g e b r aa p p l ，2 3 0 ( 1 9 9 5 ) ，8 9 1 0 0 9 j j u a n ga n di 一e c h e n i t e r a t i v es o l u t i o nf o rf lc e r t a i nc l a s so f a l g e b r a i cm a t r i xr i c c a t ie q u a t i o n sa r i s i n gi nt r a n s p o r tt h e o r y t r a n s p o r tt h e o r y s t at i st p h y s ，21 ( 19 9 3 ) ，6 5 8 0 1 0 j j u a n ga n dw 一w l i n n o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a tie q u a ti o n sa n d h a m i l t o n i a n 一1 i k em a t r i c e s s i a m j m a t r i x a n a l a p p l ，2 0 ( 1 9 9 9 ) ，2 2 8 2 4 3 奇异非对称代数r i c c a f i 方程的数值解法 11 j j u a n ga n dz 一t l i n c o n v e r g e n c eo fa ni t e r a t i v et e c h n i q u ef o r a l g e b r a i cm a t r i xr i c c a t ie q u a t i o n sa n da p p li c a t i o n st ot r a n s p o r tt h e o r y t r a n s p o r tt h e o r ys t a t i s t p h y s ，2 1 ( 1 9 9 2 ) ，8 7 1 0 0 1 2 l i n z h a n gl u n e w t o ni t e r a t i o n sf o ran o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a t i e q u a tio n n u m e r l i n e a ra l g e b r aa p p l ，12 ( 2 3 ) ：191 2 0 0 ，2 0 0 5 1 3 l 一z l u s o l u t i o nf o r ma n ds i m p l ei t e r a t i o no fan o n s y m m e t r i c a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o na r i s i n gi nt r a n s p o r tt h e o r y s i a mj m a t r i x a n a l a p p l ，2 6 ( 2 0 0 5 ) ，6 7 9 6 8 5 1 4 p n e l s o n c o n v e r g e n c eo fac e r t a i nm o n o t o n ei t e r a t i o ni nt h e r e e c t i o nm a t r i xf o ran o n m u l t i p l y i n gh a l f s p a c e t r a