（计算数学专业论文）四阶抛物方程的各向异性有限元方法.pdf

摘要 本文在各向异性网格下，首先把非协调的a c m 元应用于四阶 抛物方程的半离散格式，通过高精度分析技巧得到了超逼近性质， 进而通过适当的插值后处理技术得到了整体超收敛结果。同时在误 差渐近展开式的基础上，得到了更为精确的外推结果。其次把协调 的双三次h e r m i t e 元应用到了另一个四阶抛物方程，得到了超逼近 结果。 关键词：四阶抛物方程；各向异性网格；超逼近；超收敛；外推： 协调及非协调元。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h en o n c o n f o r m i n ga c m e l e m e n ti sa p p l i e dt oo n ef o u r t ho r d e r p a r a b o l i ce q u t i o no na n i s o t r o p i cm e s h e s t h es u p e r c o l s er e s u l ti so b t a i n e di n s e m i d i s c r e t es c h e m eb yh i g h e ra c c u r a c ya n a l y t i c a lt e c h n i q u e a tt h es a m et i m e ，t h e g l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c er e s u l ti sa l s op r o v i d e dt h r o u g hap r o p e r l yp o s t p r o c e s s i n g t e c h n i q u e t h e n ，m o r ea c c u r a t ee x p t r a p o l a t i o ni sp r o v e db a s e do na s y m p t o t i c e x p a n s i o no ft h ee r r o r n e x t ，t h eb i c u b i ch e r m i t ee l e m e n ti sa p p l i e dt oa n o t h e r f o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o no na n i s o t r o p i cm e s h e s ，a n ds u p e r c l o s er e s u l ti s o b t a i n e d k e yw o r d s ：f o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n ；a n i s o t r o p i cm e s h e s ；s u p e r c l o s e s u p e r c o n v e r g e n c e ；e x p t r a p o l a t i o n ；c o n f o r m i n ga n dn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t s 前言 有限元方法是求解微分方程数值解的一种重要方法，广泛应用于解决物 理现象、工程问题及科学计算等领域中。它起源于1 9 4 3 年，由c o u r a n t 首先 奠定了其数学基础。在我国，冯康先生独立于西方数学家发明了这种方法。 从2 0 世纪5 0 6 0 年代到现在，有限元方法得到了极大的发展，并在结构力学 等诸多领域取得了空前的成功。目前有限元方法已成为理论完善，应用广泛 的数值计算的重要组成部分，并且成为数学、物理、力学、工程和科学计算 的主流方向。该方法具有很强应用背景，如椭圆问题、抛物问题、双曲问题、 流体力学中的s t o k e s 问题、平面弹性问题等等。其基本思想就是将微分方程 边的值问题转化为相应的变分问题，然后用有限维空间的离散解逼近无穷维 空间的连续解。 我们构造的有限地空间屹逼近真解空间v 的程度决定了有限元解。逼近 真解u 的好坏。当圪c v 时，我们称之为协调元，当k 岱v 时，称之为非协 调元。非协调元过去被认为是非标准的，这是因为求出来的解不属于原来的 空间v ，但在实际计算中，却发现非协调元具有良好的收敛特性，而且具有 较少的自由度，因而有相当好的应用价值，在近年来取得了很大的发展。 在传统的有限元方法中，对区域q 进行剖分时，必须满足j 下则性假设或拟 一致假设，即等量c 或等s c ，其中k ，p 。分别是单元k 的最大直径和内切 球的最大直径，h 一。搿h x ，_ j i m 。磐k ，j 是区域q 的一个剖分族，c 为 与k 无关的常数。但在实际应用中对于窄边区域，如果采用传统的正则剖分， 计算量会变得非常大而无法承受，这时若采用各向异性剖分则用较少的自由 度就可以得到理想的计算结果。不过传统的b r a m b l e h i l b e r t 引理在插值误差 分析中已不再适用，女n 7 1 1 8 1 1 2 0 。a p e l 【7 】等人研究了各向异性网格下l a g r a n g e 型协调元的误差分析，并给出了一个判断单元是否具有各向异性特征的判定 定理，但这种方法有时难以操作。陈绍春和石东涮3 1 对它进行了改进，并给出 了一个更一般的各向异性判定定理。并把它应用于实际问题中，取得了些 有价值的科研成果，如【2 】【3 】【9 】【1 1 】【1 2 儿1 7 】【1 8 】【1 9 】。 四阶问题也是有限元方法讨论的主要问题之一，对它的求解成为了有限 元的热门方向，出现了不少研究成果，如 1 1 1 4 1 1 5 1 1 4 ，但这些讨论都是在正 则网格下进行的，最近也出现了一些各向异性网格下的研究成果，如【2 】，但 关于发展型四阶抛物方程的研究还很少见，如【4 】。本文在此基础上把各向异性 的a c m 元应用于四阶抛物方程，并导出了各向异性网格下半离散格式的超逼 近、超收敛和外推结果。另外还将各向异性的双三次h e r m i t e 元应用于另一个 四阶抛物方程方程，导出了超逼近结果。 本文写作安排如下： 第一章：预备知识，介绍有限元方法所用到的一些基本定理和记号。 第二章：四阶抛物方程各向异性a c m 元的超收敛分析及外推。 第三章：四阶抛物方程的各向异性双三次h e r m i t e 元逼近。 2 第一章预备知识 1 1s o b o i o v 空间及一些结论 设r “是n 维欧氏空间，q 是r 4 中的区域，用l p ( q ) 表示一切定义在q 上 的p 次可积函数组成的集合，r ( q ) 表示一切在q 上本性有界的可测函数组成 的集合，则按范数 i l q f l ) = 叽i “o ) i p 出) ，1 s p c 一 m ) 。e s s s u p i “p 。， ( q ) 为b a n a c h 空间，f ( q ) 为h i l b e t t 空间，其上的内积定义为 ，v ) l 眈。 用c 4 ( q ) 表示区域q 上n 1 次连续可微的函数组成的集合，c 。( q ) 表示区 域q 上无穷次连续可微函数组成的集合，c o ( q ) 表示区域q 上连续函数组成 的集合，并简记为c ( q ) 。 记区域q 上的偏微分算子d 8 一研，钟，其中q - 亡，q ，为非负 整数，a 一似1 ，口2 ，) 称为n 重指标，记l 。i - a l + a 2 + + 口。 设r l l 为非负整数，对1 p s ，函数空间w “9 一恤：d “u ( q ) ，l a k 卅 依范数 , p m ( 磊l i d a u i p 出) l ，1 s p o 。， ，l l u i l ，m l x l i d ，p - m ， ， 构成一个b a n a c h 空问，我们称之为s o b o l e v 空间，其上的半范数定义为 i n i m 广嚯l m ；几p i h k m a x0 d 4 ，p ，0 0 。 i = m 定义 付9 ( q ) 为c ；( q ) 按范数i i “忆，在空间形”( q ) 内的完备化空问，则 3 矸? ，( q ) 也是一个b a n a c h 空间。为了方便起见，规定： w “，2 ( q ) - h “( q ) ，辟z 2 ( q ) ；h 彳( q ) ，0 i i 。，：；i i ，i i 。，：暑l i 。 于是日4 ( q ) 、n o ( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积定义为： ) m 。磊以矿d 川鲋1 q ) 。 s o b o i e v 嵌入定理：设q c r ”是有界区域，其边界a q 是局部h p s c h i t z 连 续的，m ，k 为非负整数，对1 s p t * ，则有 w m + k , p ( q ) 嵌入4 ( q ) ，m o ， 0 ) 。 8 r o n w a li 引理：设y o ) 在【o ，r 1 上连续且满足y ( f ) s y 。+ 丘a o ) y 扣矽f ，其 中a ( ) 2 0 ，a ( v ) ( f l i ( o , t ) ，则有y o ) y o e x p f ： o v f 。 1 2有限元方法的基本理论 l a x g i i g r a m 定理：设h 为h i l b e r t 空间，口0 ，v ) 是定义在h x h 上的双 线性泛函，如果满足 ( 1 ) 有界性，即存在常数m ，0 ，使得i n ，r ) k mj l u 洲川i ，v u ，v 日 ( 2 ) 强制性，即存在常数c ，0 ，使i 口( p ，v ) 忙c i i v i l 2 则对于任意f ，存在唯一的“h ，使得a ( u ，v ) 一，p ) ，v v 日 4 冥中h 为h 的共轭空间。 求解微分方程数值解的有限元方法是将微分方程转化为与其等价的变分 形式。如d i r i c h l e t 边值问题转化为：求h ：( q ) ，使 a ( u ，v ) ；厂o ) ，v v e h ：( q ) 设矿为h i l b e r t 空间，则对下面一般的抽象变分问题为：求u 硪( q ) ，使 得 4 何，力一厂p ) ，v y 硪( q ) ， ( 1 1 ) 给定区域q 的一个剖分 ，一般为三角形或四边形，v k e j ，记k 为 单元的直径，凡为k 的最大内接球直径，hl m 。a x h x ，如果存在常数c 使剖 分族 ( 0 t h 王1 ) 满足 鲁s c ，v k e j ， 则称剖分族是正则的。 如果剖分族不仅是乖则的，而且存在常数y ，0 ，使得 i 5 r ， 则称剖分族是拟一致的。 构造有限元空间k ，一般情况下圪中的元素为分片多项式，将变分问题离 散化，在有限元空间上求解。若屹c v ，则有限元为协调元，若kc v ，则 有限元为非协调元。 对于协调元，有限元方法求解变分问题的离散形式为：求k ，使得 a ( u ，h ) 一f ( v ) v 圪，( 1 2 ) 误差估计用如下引理： c e a 引理 如果 ，v ) ，f ( v ) 满足l a x m i l g r a m 定理的条件，则离散问题有 唯一解，目存在常数c ，有 5 i i “一帖s c i 匹i i “一 h 叫 其中1 1 i i ，为能量模，1 1 w l l ，一q ( 叻) 。 对于非协调元，有限元方法求解变分问题的离散形式为：求u 。k ，使 得 a h ，) if ( v h ) ，v v , ，( 1 3 ) 其中吒眈，屹) 。墨 ，“) l k ，误差估计用如下引理： s t r a n g 引理：设a 。0 ，v ) 为圪上的连续线性泛函，并且满足强制性，离散 问题有唯一解，且存在常数c ，有 忆吨i i ( 缓怕一i i 一。s u 哪p 丛掣) ， 其中1 1w i i 一。( 口 ( 嵋忉) ；，吼o ，) 。墨l 砜蚴。 1 3各向异性基本定理 设霞是参考元，户中霞上的一个m 维多项式空间，p 是户的共轭空间， 设 p ，p ：，j 丸) 和t 髓，：，矾) 是户和p 的一对共轭基，则 i j ) = d # ，1 s i ，s m 。 设j ：日( 霞) 一户，k ) 1 是有限元插值算子，满足 赋( ，口) = n , i f ) ，i 一1 ，2 ，m ，v 口户。 a = 。，a ：，) 是一个多重指标，则5 。户也是霞上的多项式空间。设 d i m ) 8 声= ， 磊，i 一1 ，2 ，”j r 是d 8 p 的一组基，则西4 ) 西8 户可表示为 西。( 靠) 2 善t 归“a 。荟卢，埒， 显然，牙是。a 并的线性组合，而卢i f ) 是 t ) 历的线性组合。设 6 卢妒) 一艺口，t ( 口) ， 则由上面两式，有 声，p ) 。善成p ) 。荟口t 砖( 靠) l ，( 靠) 口 各向异性基本定理1 3 1 ：在上面表述下，如果卢，( 口) 能表示成 声， ) 1 ( d 。口) ，1 sj 量所， 其中e e ( h 4 ( 露) ) ，1 i ，s 肌，同时毋( 露) c 西。户，2 0 1 ) ，则存在常数c ( t ) 满足： l i b 4 一向) f 五c ( 霞) i d 4 d l “擅，o t ， 其中或= 口0 ；) ，口培一器0 ) ，口研一茜0 ；) ，i 一1 ，2 , 3 ，4 。 容易证明上述定义的插值是适定的，且可表示为： 矗移= 口l + 口2 亭+ 口3 ，7 + 口4 亭，7 + 口5 宇2 + a 6 ，7 2 + 口7 宇2 叩+ a 8 亭叩2 + 口9 亭3 + 口1 0 矿+ 口1 1 亭3 ，7 + 口1 2 勃3 ，v 移声， ( 2 1 ) 其中 8 a l 皇 ( 谚1 + 移2 + 岛+ 萨4 ) + 吉( 口1 亭一口2 享一谚葛+ 哥4 ) + 吉p 鲫+ 移2 口一口却一萨4 _ ) ， 口2 昌吾( 筇l + 矿2 + 口3 一矿4 ) + 吉( 一口l 掌一口2 掌一舌3 孝一口4 ；) + ( 筇l i ，+ 矿2 q v 3 ”+ 口4 q ) ， 口3 晕 ( 一萨l 一矿2 + 口3 + 谚4 ) + 舌( 一萨峙+ 哥昝一口3 + 移4 孝) + 吉( 一口l 口一矿2 一口却一矿4 口) ， a 4 - 圭p 1 一帚2 + 哥3 一帚4 ) + 舌( 矿坫+ 萨笃一帚3 亭一口喈) + 舌( 口砷一帚2 口一帚3 | ，+ 帝4 _ ) ， 口5 吉( 一萨1 掌+ 矿2 + 庐骘一萨峙) ， 口6i 吉( 一鲫一哥2 i ，+ 舻3 q + 矿4 _ ) ， 口7l ( 矿1 亭一矿2 孝+ 矿骋一口4 亭) ， 口8 - 吉( 矿蜥一移2 _ + 哥却一移4 叶) ， 口9 i 舌( 玩一萨2 一也+ 矿4 + 口1 亭+ 移2 + 矿鹫+ 移4 ) ， 口 i 驴l + 矿2 一萨3 一矿4 + 哥蜥+ 矿2 _ + 舻3 i ，+ 矿4 口) ， 口1 ii ( 萨l + 口2 一口，+ 口4 一口峙一矿笃+ 口玷+ 哥4 ) ， a 1 2 叠吉( 一口l + 矿2 1 ，+ 矿4 一移研+ 口2 口+ 哥3 _ 一矿4 _ ) 。 定义j 乏上的插值算予矗如下： n ：h 3 ( 霞) 一户，n 口；口。 ( 2 2 ) 引理1由( 2 2 ) 定义的插值算子n 具有各向异性特征，即对二重指标 口i 似l ，8 2 ) ，有： 当i 口l 一1 时，1 1 6 4 一i o i i 。重 ：c l b 4 口i “，v t 日2 ( 露) ， 当l 口i ；2 时，l i b 。p 1 1 0 i i 娃= c l b 。口i ：，t ，v f i e h4 ( 霞) ， 这里及以后出现的c 为一个常数且与等无关，不同的地方取值可以不同。 证明：先证i a i _ 1 的情形，当a i q o ) 时，有 ，d 8 n 矿i 口2 + 口4 町；2 d 5 宇+ 2 口7 轫+ 口s v 2 + 3 a 9 亭2 + 3 a “宇2 叮+ 口1 2 ，7 ， 注意到西。声一s p a n 1 ，r l ，鸳，2 勃，r 1 2 , 3 亭2 ，3 亭2 ，7 ，矿 ， 所以，有 9 口2 叠毒( 一v 1 + v 2 + 坞一哥4 ) + 吉( 一哥堵一萨2 一矿鹫一口4 ) + ( 一矿蜥+ 谚2 口一谚新+ 口4 目) t l 卷鹋+ l i 每d 一 尊鲁d 一 尊鲁d + l i 南d 一l i 裔d ， 类似可得： a t i 一 l t 莓d l i 鼍d + 鼍l 尊癸d 一l 寺鸥一l i 尚d 一殳意d ， a s 。l i 警d + l i 誊d ，i 一l i 意d + 氓警d ， 一尚鸱+ 氓亳d ，q 9 。等d + i 0 鲁d ， a u 。一；l i 警d + 氓窘d ， a n 。l t 蕊d 一诋簧d + 氓甍d 七l f 裔d 。 令西一嚣，则 a 2 5 翻+ l 白d 一 l i 簧d 一 l 尊簧d + l i | 篙d 一5 i j 舞d t 氩， 。a 4 一5 i 翻s + i k 白d + 5 t 簧d 一l 尊簧d 一l i 篙d 一 j 鲁d = 妻2 ， a 5 。；l i 簟d + 簧鸥a 奠， a ，一簧畦+ 壤簧d 鼍； “， 一；l f 蔫d + l i 篙d = s ， 。氓 鼍d + 氓面a d , d ；e ， a u 。一；1 1 1 簧d + l i 簧d 2 曩， n n 。；i t p 一l i 哆l i 蔫鸥+ s i 鼍d i 晰。 由迹定理可知：l 霉( 西) k c l i 西瞻重，即丘饵1 ( 霞) ) ，f = 1 ，2 ，8 ， 当a - ( 0 ，1 ) 时，有 d 4 n 萨i 口3 + a 4 亭+ 2 a 6 叩+ 口7 亭2 + 2 a s 亭，7 + 3 口1 。叩2 + 口 亭3 + 孙1 ，勃2 ， 注意到d 。户= s p a n 1 , 亭，纫，亭2 ，2 勤，3 ，7 2 ，亭3 ，3 勤2 ， 所以，有 1 0 a 3 葺詈( 一矿l 一矿2 + v 3 + 矿4 ) + 舌( 一移培+ 移蹿一谚3 # + 移4 ) + 吉( 一谚功一谚2 _ 一口却一移4 _ ) 。诋篙翻+ j l i 与如+ l t 斋如一a - 而- d r 一铃鲁如一氓鲁翻， 类似可得： d 4 l t 南如+ l t 蔫曲一l i 南如一l 。南翻一；l i 鲁如+ 专l i ，鲁岫 a t 一媳鲁如七战簧姻， 丽a z 。如+ 铃南如， 。一氓器如+ 。a 矿。d r ， 。氓，7 睾咖+ 氓，7 等咖， a 矿l i 南曲一；l 冬翻+ ；l ? 甍如+ l i 岛曲， a n 一l - 鲁如+ ；l i 一鲁如。 令西一等，利用同样的方法， 可得：i t ( d ) b c0 击i l _ ，即t ( 1 ( 霞) ) ，i = l 2 ， 8 ， 由 3 中的各向异性基本定理知d 。p n 口) i i 。t c i 西。口k 成立。 下面证l 口l 一2 的情形， 当n 一( 2 ，0 ) 时，d 。矗口= 2 吩+ 2 a 7 z + 6 a 9 亭+ 6 吒1 勤， 注意到6 “p = s p a n 2 ，2 0 ，略，6 勃) ，所以有 a 5 。l i 警鸱+ l i 訾畦一f ， 口，氓警蹭+ 机警蝣，最( 警) ， a e 。l 尊熹鹂+ l 尊案d g ；f 嘲， 。一l 孛等d + s 声譬畦= f 4 。 令击* 譬，由迹定理可知：i 丘( 西) b c 面| | 2 ，t ，即t 俾2 ( 露) ) ，i - 1 , 2 ，3 , 4 。 1 1 当口一( 1 ，1 ) 时，d 。n 口一口4 + 2 口7 亭+ 2 a 8 ，7 + 3 a l 占2 + 3 吒2 叩2 ， 注意到d “p s p a n l 鸳，2 , 7 ，骘2 ，3 ，7 2 ，所以有 a 4 - 鼍l t 亳姆q 一；l 篇如_ f , g - 锈；0 ， a ，一 j ：l 岳d ，7 + 氓蔫咖。最( 期， 一一l i 高d 氓意d ；f 3 f k 幽a 扣q ， t 一机器d 彰叩+ 裔如+ 氓裔咖- f 4 ( 翻， q ：一玑裔d 副叩+ s 1 _ j 。a 嗣2 0 i d 亭+ 讥岳d 亭一e ( 蔫) 。 令西一面a 2 i ，由迹定理可知：i # , ( m ) 1 , c i i d , i i ：_ ，a o t e ( h 2 ( 霞) ) ，i = 1 , 2 , 3 ，4 ，5 。 当口i ( q 2 ) 时，可得到相似的结论， 由 3 中的各向异性基本定理知0 d 。( 口一n 口) 0 。童c l d 。口i ：t 成立 2 3 四阶抛物问题及其逼近 设q 是r 2 上的一个有界矩形区域，其边界a q 平行于x 轴或y 轴，考虑如 下初边值问题“1 阻，一h + a 2 “= ， i n q ( o ，丁) ， “；等= 0 ， o na q ( 0 ，丁) ，( 2 3 ) i u ( x ，o ) ；u o 僻) ， nq ， 其中，是有界函数，x o ，y ) 。 ( 2 3 ) 的等价变分形式为：求u h ；( q ) ，使得 m r ，v ) + 口 ，v ) + 6 ，v ) l ( ，d ，v p 圩；( q ) ，( 2 4 ) lu ( x ，0 ) 一u o 僻) 其d pa ( u ，v ) 。l v u v v d r d y ，b ( u ，v ) 2 l 。+ 2 u 一+ ) d x d y ， f e l 2 ( q ) ，( 厂，v ) 篁l 蚴，h ；( q ) 宣扣h 2 ( q ) ：“i 帕l 鲁i 拉昌o ) 。 设 是q 的一个矩形剖分，g 寸v k e j 。，假设i l e - h ，h x , = h y ，但不 满足正则性假设和拟一致假设。不失一般性，设吃，) _ i l ，。又设k 的中心为 o 。，y 。) ，2 h ，2 h ，分别表示平行于x 轴和y 轴的两边的边长，于是存在可逆的 仿射变换& ：霞一k ，定义如下， f 工一工x + j i l ；亭， 1 y - y x + i l y 叩 定义a c m 有限元空间如下： k = h ：成* k 。& 户，0 ) * ( 口) = 0 ) 一o ， 其中a 为a q 上的任意节点。 定义插值算子n 。：h 3 ( q ) 一k 如下： n l x ；h ，l - i r ：何3 ( k ) - - , b 。f ；1 ，i i x v n 口， 于是( 2 4 ) 的有限元逼近问题为：求u 。k ，使得 m ，”) + 4 h ( u h , v ) + 钆( u h ，v ) l ( ，”) ，v ”圪， ( 2 5 ) 【u ( x ，o ) 。i l h u 0 ， 其中l i u o 为。的有限元插值 4 一 一，v ) 。墨l v “一v 呦， 玩，y ) 。善l m k + 知姆+ “一v ) d x d y 。 定义眶。刮l 巳+ 巳， 其中b = ( 墨| - l ；) ；，k l ( 墨| i ：) ；，可以证明| j 1 2 一是上的模。 为了后面的应用，还给出以下引理。 引理2 w 圪，k ， ，下列不等式是成立的， 0y ，i i o , k s c h ；2i i v ，i i m 。，0y 。0 。五s c h ；20v ，0 。占， ( 2 6 ) i i v ，0 。玉s c h ；10v 。i i 。占，0 v 。l0 , k s c h ；1i i v ，0 。， ( 2 7 ) i l v 。i i o , k s c h ；1 ，l i v 。s c h ；10 。 ( 2 8 ) 证明：由于 i i v ，i i k 。正v 二d x d y 。正口高i l ， ；2 h x h ，d 彰，7 一h ；s h ；1l 口渤艮， 由文 2 中的结论0 口渤i i 雌3 ；0 口勃i i 。譬， 0v 。l l 。2 善s l 以5 i 1 l v 2 ( h ，h ，) 2 虻1 | i l i l d x d y - c h ：0 0 k ， 两边开方，有i i v 。l l 。占量c h ；2i i 0 吣， 其余的同理可证。 仿照文献 1 的证明过程，并利用单元的各向异性特征， 性矩形网格 上，设一“一r l u ，v v e v ，有 引理3l q 屹- 0 孵5 ) l u l l l v l l u 引理4 善l 5 d 孵) i “i s i i v i i ：一 引理5 墨l k 。d ) i 乩i i v i i ：- + 善瓤匕 引理6 善上。d ( ) i “洲川k 。 在均匀的各向异 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 2 4 各向异性超逼近结果 定理1 设u 、u 分别是( 2 4 ) ( 2 5 ) 解，若u 具有足够的光滑度，则有： 眠一s c h 2 m 层+ i h l l ) + z ( j q 肛：冲】2 证明：令口一一n u ，则由( 2 4 ) 及( 2 5 ) ，v v 吒，有 ( b ，v ) + 4 ( 口，v ) + 6 ( 口，v ) 1 f n u f ，v ) + a ( “一 u ，v ) + b h ( u 一 u ，v ) 一善咀一 ) “匕+ ”，冲一墨吼一 ) q 以+ “办渺， ( 2 1 3 ) 取v 一只时，( 2 1 3 ) 式的左边为 ( 包，v ) + 吼p ，v ) + “p ，v ) - i i e , 艋+ 舌( 1 1 0 i i 乙+ i i 口眶。) ， ( 2 1 4 ) 1 4 利用分部积分公式，( 2 1 3 ) 式右边 i 一 u 。，v ) + a ( “一h u ，v ) + b h 一i i “，v ) 一善饥：一l 砌n v ，+ “一v ，协一墨叽一 w v r + “”v ，胁 - ，- i f u ，b ) + 丢( ，l + ，2 - i s 一1 4 ) 一u 1 + ，2 一j 3 - j 4 ) ， ( 2 1 5 ) 其中，lm a - l i “，口) ， j 1 - 口 ( 一i i l ，口) ， ，2 6 u 一 u ，口) ，j 2 一b h “一 “) 。，口) ， 小墨幔。一f t , x u n 以+ u t , e y ) d y ， 7 。善咀一 一以+ u y y 一，) 出， 由插值定理及s c h w a r t z 不等式，有 j ，。墨咀一l 砌m 以+ 卸巳冲， j 善咀一 ”以+ “卯一，陟。 以一1 1 蚱，只) s q - i i 。u tj i j i o , n d o ( h 4 ) j i , i i o , ， ( 2 1 6 ) 由引理3 ，有 1 1 l a 以- h u ，0 ) a d ( 3 5 ) i n i , i i o ， ( 2 1 7 ) ，1 一口 ( ( “一h “x ，0 ) = o ( h 3 5 ) l u ，l ，i i o i i 。 ， ( 2 1 8 ) 由引理4 、引理6 ，有 ，：；6 ( “- 1 i 。u ，0 ) a o ( h 3 ) l ui ，| | 口i i ：。， ( 2 1 9 ) j 2 = 6 k ( ( “- h “) ，0 ) = o ( h 3 ) l u ，1 5 i l 口0 2 。 ( 2 2 0 ) 下面来考察，。 i h 是双线性算子，可以证明l h 吼在q 上连续，且， 吼l 。一0 ， o y 在平 行于x 的边上连续，- r o ，n x k 一0 ，所以， l 2 善叽：一工) n 吼+ “w q ) 方2 墨饥：一l n 懒 2 善咀，一正) 一吼+ u m , o 为l y 。 在z ：，f 。边上，有 o x ( x x h x ，y ) 一，, o a x x 以，_ ) ，) = f ( y ) ( k - , - h ，y ) 一号f ( ) ，) f 0 ，) 日岛x x 吃，_ ) ，) ， 注意到一一0 ， 饥。一正弘。( 以一 以) 方。丘“一旷( y ) 一了2 r v ，r t ( y ) 蚴7 ， 所以， 善叽：一工) o 艘+ u + o y ) d y 。l “。( f c y ) o 。一号f ( ) ) f7 ( ) ，溉聊蚴 。墨( 嘶k f o , f d y 一善l “f ( y 拂出砂一 墨咀一丘) f 2 ( ) ，弦一9 一出 + ，k “。o 。a x a y 墨l f o 弘蚴+ 墨l 矽一蚴 s c o ；墨l hi 点i i 口”i i 吖+ 6 ；墨i hl o i l 吖) s c h 2 i “i 。l l o 。 ( 2 2 1 ) 仿照上面的推导过程，l + j 样可以得出： ，。；c h 2i h 圳刚2 ， ( 2 2 2 ) ，。c h 2l u ，i 。l l o i i ：。， ( 2 2 3 ) ，4 = c h 2 h 圳0 。 ( 2 2 4 ) 由( 2 1 4 ) 一( 2 2 4 ) 可得： q1 1 0 2 + 吉丢( 0 00 a + n 0 i e 。) s c h 4j 吩i 。0 q i k + c 3 5 i 1 5 1 1 日 b + c h 3 i qk 0 疗0 ： + c a 2 i q i 。0 00 ： + 瓤国”h 圳口i k + c h 3 i “1 5 l l o + c h 2 i “0 】， 利用y o u n g 不等式，化简可得： + ( i i o0 乙+ i i o i i + + 。) c h 4 【( i 屿b + l q l 2 ) + 鲁( 1 “b + l u i d + ( i i o l i p + l l o l l + + ) 。 两边从0 到f 积分，并注意疗( o ) 一0 ， 归吨+ 8 0 慨 s c h 4 吮( ；+ i 峨i d d + + ( 呲+ i “i d + 们口慨+ u o i i 一) 出， 1 6 由g r o n w a l l 引理，有 i l o l l h + i 1 0 1 1 ：2 。s c h 4 【( 呲+ l ul ：) + 丘( ；+ i q1 2 胁】， 即酬u - 1 - i 川：，蔓c h 2 m l u1 1 ) + j ：( hi i + ：】5 。 2 5 超收敛分析与外推 为了得到整体超收敛，现将相邻四个单元合并成一个大单元豆，并构造 插值后处理算子乞：c 1 ( 露) 一q 4 ( k ) + s p a n x 5 y ，x y 5 ，其中a 。( 两中蟊上双 4 次多项式空间，c 1 ( 霞) 是蟊上的连续函数空间，并满足： n 复 ( z ，) 。w ( z ，) ，( 鲁) ，( z ，) 一w ( z ，) ，( 兀乞d ，( z ；) 一w ( z ，) ，i 一1 ，2 ，9 ， 其中z ；( f = 1 2 ，9 ) 是四个小单元的所有顶点。 利用文 3 的技巧，可以验证n l , 也具有各向异性特征，即对多重指标 口一 。，口：) ，存在常数c 使得： 当i a l - l 时，6 “p d i ) 1 1 0 i s c l b 。口i ：t ，v 口h 3 ( 霞) ， 当l 口i = 2 时，l i b 。( 口一d i ) 峙未5 c l b 。口l ，未，v 口e s h 3 ( 露) 。 ( 2 2 5 ) 引理7 在上述条件下，n 乞还具有以下性质： ( 1 ) 盖n “一刍“， ( 2 2 6 ) ( 2 ) 川刍u u 2 s c h 2 l u l 5 ， ( 2 2 7 ) ( 3 ) 盏v i i i ：s c l l v k 。 ( 2 2 8 ) 证明：由插值算子羔的定义可以直接得出( 2 2 6 ) 。下面证明来证明引 理7 的性质( 2 ) 和( 3 ) ， 对于i ：。，由于 i i ( r l 袅, , - u ) 。崃一l ( n 基u - - u ) 三d x d y 。止( n 刍露一h j 转2 以- 4 j i l ，h ，d 彰叩 1 7 一峨- 4 h ，i i ( f i ：一五) 拧哐j c k 以l 露话l k = c h ；4 也| 1 1 6 以2 以- 1 勺- 1 i “i & s c h 4l 艮， 所洲( n 妇- u ) 。s c h 2 i “k ， 同理0 ( n 妇一bk - ：c h 2i nk ， l l ( ：一b k s c h 2 i “b ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 合并( 2 2 9 ) 一( 2 3 1 ) 有0 n 乞一h i i ：。s c h 2i u | 5 。 又由于 0 ( n l v ) 。i 曙j - l ( ：) ：d x d y - 丘( n ：4 一v j 嚣2 以- 4 ，h ，d 5 d , 7 一| i l ，- 4 t ，o ( d 乞口) 静sc h ：h ，h ，i jv u 一c h ：h ，h ，l v 。2 4 以- 1 i l ，d x d y - c i i k i k 2 ， 即l f ( n 刍v ) 。i i o 雷s c8 ki i 。j 同理0 ( 盖v ) ，k s c l l k ， i i ( n 刍v ) ，蔓c0 i i 。j ， 由( 2 3 2 ) 一( 2 3 4 ) 可得：i i n ：4 川i ： s c8v0 ： 。 对于州l ，仿照上述推导过程，结论也成立。 综合两个方面有引理7 的( 2 ) 、( 3 ) 成立。 在上述引理的条件下，有如下整体超收敛结果。 定理2 在定理1 的条件下，有 0 l n ：。“。一“0 i ：。s c a2 ( i “i ；+ i i “l j ) + 丘( ；+ i “，i ：冲】2 。 证明：因为： “ 一u 一： u 一2 4 i i “+ i i 毛h “一u ， 所以，有兀：。一“1 1 1 2 , , , l l l n ；。一n ；n 胍j + l l l n j , n 一“| | | 2 ，。 = n 刍 - i i 。u ) l l l ：。+ n i 。“一“：。， 1 8 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) y m - 于l l ln h ( , , 一一n ) i l l ：- sc h 2 【( + ) + ( h “，1 2 胁 j 乞口一2 s c 如2j k ， 所以：轨一班一s c h 2 【( 雌+ i ni ：) + j ：眠i “，仨胁扎 为7 提商误差估计的精度，对方程进行外推处理， 由引理5 可得墨l k 。d 伪4 ) i “i s i i 拍+ 善等l “匕， 下面对善饥。一兀。匕+ b ) 方做进一步展开。 仿照( 2 2 1 ) 的推导过程，有 善听，一l 。匕+ v ，协 。墨l ，o , ) u v d x d y + 墨l ，2 o ，知，蚴。 而l f ( y 弘一d x d y 玑( 旷2 ( y ) ) 一号 ；一 i 丘伊2 ( y ) ) o + “一v ，油矽一i ，2 正“一v ， = 一机( f 2 ( _ ) ，) ) “一v d x d y + 机，2 ( y 一v ，蚴，+ 玑“。v ， 一扼q i l | ) u v d x 。 一 对于均匀网格， lf ( y 如一v ，蚴， 。 墨l 伊2 0 ) ) 。，击吣+ i j 墨j i f 2 ( y 如。v ，撕 一扣；l “一v ，蚴一 ；善呱一以k 以一i , v ，) d x ， 其中l h 为双线性插值算子。 又由于 q l j l | 一y l y 2 叽一正，弘一但o p 。一号e o 姆7 0 k ) 出 ；( l “。( e 弘。- e ( x ) e ( x ) v 。v ) d x d y 1 9 一d 孵) l “i ，。0 ，。， 于是 墨幔：一l 砌“匕 l u x y v y 胁l o c m ) i h 圳v i i ：一+ j 1 ，2 l 一v ，姗， 墨叽一正，) _ l u y y v y _ d 酬“i s i i 嘞+ 孵l “一叱蚴。 接下来证明下面引理， 引理8 设u e h 5 ( q ) 为( 2 4 ) 的解，为有限元解，1 1 为在圪上对 应的插值，则存在妒，满足0 伊i l ，s l 妒i ，使得 “ 一i i u 一| 1 1 2 9 ， ，v ) 一o ( h 3 ) i u l 5 0r0 2 ， 其中钆为伊在k 上的有限元投影。 证明：由( 2 2 ) 及( 2 5 ) ，v v 圪，有 衄一h 口i ，v ) + a ( “ 一 h ，v ) + 6 ( “ 一1 1 “，y ) 2 以r i i h u l ，v ) 4 - a k m i l “，v ) - f b h ( u i l h u ，v ) 一善咀一l ) “也+ “一v ，) d y 一墨吼一f w 也+ “一v ， 为了求出外推结果，考虑上式中后边三项，由前面的推导， b h ( “ 一n u ，v ) = b a n 一1 i u ，y ) + ( “ 一“，v ) _ o ( h 3 ) 呲u ： + n 1 2 l “一k d x d y + 鞭l “v y d x d y 1 1 h ，2 。v y d x d y h ：f o u ，。d x d y ， 设妒为辅助问题 b h ( q 。，力。古( 玑“一vd x d y + 玛12 l “。v ，d x d y + 婀l “一v y d x d y + 孵l “一v ，d 卿) 的解，则嘲0 妒s i u l 5 。 令钆为妒在k 上的有限元投影，则w k ，有： 2 0 b h ( u 一 “- h 2 妒 ，v ) 一o ( h 3 ) i l l l 5 0v0 2 j ， 取v h 一n 口- h 2 妒 ，：有l l u - i i u - h2 9 0 2 t d 0 3 ) l “k ， 于是有：i l “ 一- h 2 c p8 2 s0 “ 一n - h 2 8 2 础20c p - c p0 2 s c h 3 i k + c h 3j j 伊1 1 3 一o ( h 3 ) i u l 5 ， 定理3 设，。为均匀网格，j h 2 为将 均匀加密得到的网格，u 为( 2 4 ) 的解，u ，u h 2 分别 、j h 2 上的有限元解，万一i 4 - - 4 “ 2 一i 1 “2 4 一 为外推解， 则有： 9 亍4 - - 4 “班一j 1 - - 4 ” 一u0 2 一o ( h3 ) i “k 。 证明：l i 4 - 1 4 h 2 一j 1 1 - 2 4 “ 一h 暑9 ( 了4 1 - 4 “ 2 一了4 - - 4 n h 2 一了4 、i h ) 2 ：妒) + ( 号n ：n h 州2 一号比) 一( j i - - ：4 u 一 n 乞n u 一 | 1 1 2 刍妒) 一( 了1 - - ：4 。n 。h 一 “) + ( n ：驴一n 刍伊) 0 ： ， 而0 ： “ 2 一“0 2 j = 8 ：“一“0 2 ， 昌o ( h 3 ) i “1 5 ， 0 ( i 。4 伊一盖伊) i2 , h o ( h ) 8 妒0 ，；o ( h ) i u l 5 ， 所以：i i 号41 1