（计算数学专业论文）基于等级网格的dg方法求解奇异摄动问题.pdf

基于等级网格的d g 方法求解奇异摄动问题i o 1中文摘要 用d g 方法求解奇异摄动问题是近两三年来的热门研究课题，在 s h i s h i k i n 网格下，有些学者的研究工作已经观察到d g 解的一致收 敛性或超收敛性，但理论上的证明非常困难本文证明了一维情形 s h i s h k i n 网格和改进的k 等级网格下p 次投影误差的一致收敛性估 计：肌一”士u 0 o h p + 1 ，以及在边界层外区域上的投影误差的一致收 敛性估t 1 ：0 d 8 ( t 一霄+ u ) 0 c h p + i - a , 0 d 8 ( q 一7 r + q ) f i c h p + 1 一a ，n = 0 ，1 该估计将为d g 有限元解的一致收敛性分析提供有利的条件 在两类改进的k 等级网格下，本文给出了一维和二维奇异摄动 问题的d g 解的数值结果，这些结果表明改进的* 等级网格不但保 持了s h i s h k i n 网格原有的优点，而且比它更有效更稳定特别是在一 维情形的第一类改进的a 等级网格下，我们去掉了因子l n n ，得到了 更好的一致收敛性估计：f f 屯c 一( 聃”，怕钏。c n 一( 聃1 f u i 。， 更令人振奋的是，在二维情形的两类改进的k 等级网格下，可以得到 导数的超收敛估计：u q 一咖。c n 一( 升2 l u i - ，数值结果还表明在这 种改进的知等级网格下有d g 解的铲误差估汁肛一硎胪c n 一” 关键词：间断有限元；奇异摄动同题；a - 等级网格；s h i s h l d n 网格； 投影误差 基于等级网格的d g 方法求解奇异摄动问题 i i i 0 2 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h ed gm e t h o df o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m sh a s b e e no l l eo ft h eh i g h l i g h t si nt h es t u d yo fn u m e r i c a lm e t h o d s t b eu n i f o m c o n v e r g e n c ea n dt h eu n i f o r ms u p e r c o n v e r g e n c eo ft h ed gs o l u t i o nh a v eb e e n o b s e r v e du n d e rs h i s h k i nm e s h e sb ys o m er e s e a r c h e r s h o w e v e r ，t h et h e o r e t i c a l a n a l y s i bi 8ac h a l l e n g i n gp r o b l e m i nt h i sp a p e r w ef i r s tp r o v et h eu 础o h nc o n - v e r g e n c eo fp - o r d e rp r o j e c t i o ne r r o r su n d e ro n e - d i m e n s i o n a ls h i s h k i nm e s h e s a n dt h ei m p r o v e da - g r a d e dm e s h e s ，i e ，怕一丌士u 0 c w + 1 t h e nt h ep - o r d e rp r o j e c t i o ne r r o r si i d o ( “一丌士i i c w + 1 一o ，i i d 。( q 一7 r + q ) l i g 舻+ 1 一o ， 0 i = 0 ，1 ，i nt h ee x t e r i o rd o m a i no ft h eb o u n d a r yl a y e ra r eo b t a i n e d t h e s e e s t i m a t e sa b o v ew i l lp l a ya ni m p o r t a n tr o l ec o n d i t i o ni nt h ev e r i f i c a t i o no ft h e d gs o l u t i o n 8i m i f o l q mc o n v e r g e n c e f u r t h e r ，w e p r o v i d e t h e n u m e r i c a lr e s u l t s o f d g m e t h o d f o r o n e - d i m e n s i o n u l a n dt w o - d i m e n s i o n a js i n g i l l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m su n d e rt h et w oi m p r o v e d a - g r a d e dm e s h e s t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tt h ei m p r o v e da - g r a d e d m e s h e sn o to n l yk e e pt h ea d v a n t a g e so ft h es h i s h k i nm e s h e s ，b u ti sa l s oi d d r e e l 隔c i e n ta n ds t a b l et h a nt h es h i s h k i nm e s h e s e s p e c i a l l y , t h ef a c t o rl n ni s 4 i m i n a t e du n d e rt h ef i r s ta - g r a d e dm e s h e s i ti sm o r ee x i t i n gt h a tw eo b - t a i nt h ed e r i v a t e 81 1 n i f o r i l ls u p e r c o n v e r g e n c ee s t i n 谢t e s 慨c n 一( 舛2 ) ， l l q - 国l l c 一( 叶2 ) l u l l 。u n d e r t h e t w o 姆p o f i m p r o v e da - g r a d e d m e s h e s o nt h eo t h e rh a n d t h e 口e r r o re s t i m a t e su n d e rt h e s ei m p r o v e dm e s h e s 0 u u i i 工2 c n 一ni so b t a i n e d k e yw o r d s ：d i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；s i n g u l a r l yp e r t u r b e d p r o b l e m s ；k g r a d e dm e s h e s ；s h i s h k i nm e s h e s ；p r o j e c t i o ne l - - r o l ； 湖南师范大学硕士学位论文 第一章序言 1 1前言 在科学与工程计算中，我们经常遇到带有小参数的微分方程，这 些方程被称为“奇异摄动何题”数值计算这类奇异摄动问题遇到的 困难之一就是所谓的边界层现象，即解在接近边界层的很窄的区域 内变化非常快对于科学家和工程师来说，这类方程的数值模拟是一 个极大的挑战1 2 l ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 8 ，2 9 】目前，这仍然是一个很热门的领 域，参看【3 ，1 5 ，1 9 ，2 0 ，2 7 1 和其中的参考文献 间断有限元( d o ) 方法是1 9 7 3 年由r e e d 和h i l l 【2 5 】首先提出，并 应用于求解中子输运方程，但这种方法长期以来一直没有得到很好 的研究和应用直到2 0 世纪8 0 年代后期和9 0 年代，b c o c k b u m 和 s h uf 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 1 等结合r u n g e - k u t t a 方法和数值通量的思想提出 了著名的l d g 方法，将间断有限元方法推广到非线性一维守恒律方 程和方程组、高维守恒律方程和方程组，并给出了部分收敛性证明 【1 1 ，1 6 ，与此同时，f b a s s i 和s r e b a y 、c e b a u m a n n 和j t o d e n 分别提出b - r 间断有限元法和b - o 间断有限元法这一方法才引起 人们的注意 并被广泛应用到许多实际领域，比如气象学、天气预报、 海洋学、气体动力学、湍流、石油勘探、流体力学等f l o ，1 8 1 1 9 9 9 年， 在美国的r h o d ei s l a n d 大学召开了第一届d g 有限元法的国际会议 自从d g 方法被首次应用于求解双瞰方程2 5 1 ，其在求解双衄和 椭圆方程方面都已经得到了很大的发展【1 ，1 0 1 ，最近的进展可参看 f 2 ，3 0 间断有限元方法保持了通常有限元方法的优点：能够处理复 杂的区域边界，并获得与区域内部一致的计算精度；易于网格加密和 处理边界条件，实现自适应计算；可以得到任意阶精度的格式，同时 又具有很好的局部紧致性，可以更好地模拟解的剧烈改变 本文的模型是带有小参数的对流扩散方程，当小参数趋于o 时， 问题从椭圆型变成双曲型受间断有限元求解双曲型方程的巨大成 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 功的启发，z qx i e 【3 1 】，z m z h a n g 和f c e l i k e r ，b c o c k b o m 【1 4 】考虑 用间断有限元方法求解奇异摄动同题对于带小参数的奇异摄动问 题，传统的数值计算方法，如连续有限元、有限差分法在求解时遇到 了很大的困难当小参数趋于0 时，解在某些局部区域变化很剧烈，形 成内部层和边界层，数值上很难模拟用一般的连续有限元计算，数 值上振荡非常剧烈，结果很不准确在s h i s h k i n 网格下，文1 研究了 有限元方法的一致收敛性【2 6 ，3 2 】研究了用h - p 有限元方法求解奇异 摄动问题在一致网格和s h i s h k i n 网格下，文【3 1 1 研究用d g 方法求解 带有小参数的对流扩散方程，发现即使在一致网格下d g 方法也不产 生任何振荡，且证明了通量在节点处具有2 p + 1 阶超收敛在s h i s h k i n 网格下，数值实验表明d g 方法有与小参数无关的收敛和超收敛性 质，这是令人振奋的遗憾的是一致收敛和超收敛性的证明是一项非 常困难的工作，目前为止还没有大的突破在【1 2 】中，陈传淼等人用a 等级网格解决解在角点处的奇性的问题获得了很大的成功受此启 发，本文我们将把二者结合起来，用d g 方法和等级网格去解决带 有小参数的对流扩散方程 本文中，我们首先给出了第二类s h i s h k i n 网格和第二类改进的k 等级网格下，p 次投影的一致收敛性误差估计0 “一l r u l i c h r + - ，以 及在边界层外区域上的投影误差的一致收敛性估计0 伊一丌士钍) 0 e 矿h 一，这将为证明d g 有限元解的一致收敛性提供帮助其次我们 给出了一维和二维情况下，利用两类s h i s h k i n 网格和改进的k 等级 网格来计算奇异摄动问题的数值结果数值结果表明这类改进的斗 等级网格更有效，更稳定 1 2预备知识：s h i s h k i n 网格和改进的知等级网格 本文我们考虑问题 矗- e u + b u + 郇c u = = 叫0 d m - ， 这里c 是常数，且b 0 ，e 是一个小参数 由正则性估计【2 1 】方程( 1 ：1 ) 的解的1 1 阶导数满足妒( z ) 1 2 基于等级网格的d g 方法求解奇异摄动问题 3 g e 一鼽e ! 掣，e 很小时，在z = 1 附近，其导数非常大，事实上在z = 1 附 近有宽度为d 似站) 的边界层产生 对这种解，若采用均匀剖分，效率很低，即使采用高次元，有限元的 精度提高很少目前处理这种奇异摄动问题的主要方法仍是修改剖分 规则，其中局部加密网格是处理这种带奇性解的最简单、最有效的方 法之一 它深受科学与工程计算界的喜爱而被广泛采用b a b u s k a ( 1 9 7 0 ) 最早进行理论分析，以后s c h a t z - w a h l b i n ( 1 9 7 8 ) 等也作了深入研究基 本思想是基于下面的误差估计1 1 2 】 i j u - u h l l c l l u - u h h g 矽吣+ 1 f ( 1 2 ) 在边界层解的导数非常大，损害了有限元的精度这种精度损失由边 界层引起，而且会污染到整个区域上，即使在解的光滑区域有限元的 精度也随之降低为了克服这种弊病，应当调整上述求和各项的大小， 即对川。+ 1 ，较大的地方，采用较小的网格步长，使得”。扎，减小， 从而达到整体误差有最佳阶的目的这就是网格局部加密的思想这 里主要介绍一下s h i s h k i n 网格和改进的a 一等级网格 ( 1 ) s h i s h l d n 网格 所谓的s h i s h k i n 网格，即选取个0 2 1 ) 又因为a 2 1 ，我们有 l i u 一7 r 士t 0 2 g ? ( p + n 所以一丌士训啦g p + 1 又由定理2 1 ，有忙一7 r 2 仳l i n e 办卧1 ，证毕 湖南师范大学硕士学位论文 1 l 第三章用d g 方法在两种网格下解一维奇异摄动问题 3 1一维奇异摄动问题 考虑一维的对流一扩散问题 黑+ w 棚- ，伽( 0 1 ) ( 3 1 ) 【u ( 0 ) = u o ，u ( 1 ) = 札 、 这里c 是常数且b o ，e 是一个小参觌令q = t ，则方程( 1 ) 可以改 荽豪1 ) ， 将，作剖分p ：0 = 2 ； 。i 写2 ( o ，0 ) ，并且历，岛均为常数，e 是一个小参 设口= v u ，那么( 4 1 ) 可以改写为 q o = v u = 能 。， 将区域n 在z 方向上作割分p ：o = z ；( 2 q z 村“= 1 ，步长= z + ；2 i 一 在方向上作剖分i h ：0 = 赡 搬 班 口+ ；= 1 ，步长0 = 鲍+ 一如一a 记单元j 岛= k 一；，x i + l 幻一；，鲍q 】斥t j 岛，z = 1 ，2 ，m ，= 1 ，2 ， 馕n = u 冠定义矿和 让一分别为“在单元边界内部和外部的极限值设e 为两个相邻单元 的公共边，则对于此边上的任意一点z ，记矿和n 为该点的正、负 法向向量引入节点处的跃度为m = u + n + - 4 - u n 一，m = 矿矿+ g 一n 一， 平均为铷) = ! ! 笋， 口) = 2 ：笋定义有限元空间 红，坛为 m n ：= q p ( q ) 2 ：口l 耳s ( 砷2 ，y k ，) ， 勺：= t l 2 ( a ) ：t 耳s ( k ) y k 升， 其中s 畔) 为单元k 上每个变量次数不超过p 的多项式空间q p ( 鳓 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 分别用试探函数r 工2 ( q ) 2 ，口p ( q ) ，乘以方程( 4 2 ) 中的前两个 方程，并在每个单元上分部积分，得到( 4 2 ) 的弱解形式 上a 一地= 一上“v 池+ 厶”眦d s t 1 f m 妇一，弋m 缸七1 x 眦缸一1 8 0 孽飘k 如七1 8 严 n k d s = 1 x f t m 其中n k 是边界上的外法向向量 基于以上弱形式，我们引入相应的d g 方法即d g 有限元解 q m n ，u 若采用双线性有限元基函数，故第个单元k 上的有限元解可以表示为u = ：。世，q = ：，拶妒譬，其中 t 群( 札：l 2 ，4 ) 为待定系数 滞m = 1 2 ，4 ) 为q 1 ( ) 中的一组基 满足如下的弱形式： 上q r 妇= 一上u v 础+ 厶西，n k d s ( 4 s ) c 扣叫蕊也斗b 叫8 k 小油f a k ( f v 声 n k d s 落拙 其中r m n ，”0 ，疗为数值通量，即“，q 在单元边界上的近似值 本文中我们采用的l d g 通量如下【l o 像器：蝴_ 洲 他s ， 1 痧= n ) + c l ：m r 如果e 是q 的外边界，则通量就是 慷。小+ 。砧矿 本章的数值计算中我们取c 1 l = 1 ，c l 。= 生吐譬越，口= ( 1 ，1 ) 由( 4 3 ) 可 以局部解出q ，代入( 4 4 ) ，可以得到一个关于稽，= l ，2 ，m n ， n = l ，2 ，3 , 4 的线性代数方程组 基于等级网格的d g 方法求解奇异摄动问题 2 9 4 2数值例子 我们考虑用上节介绍的间断有限元方法来解决二维的奇异摄动 问题对方程 l - - e a u + 百v u + = | i n 1t ：t o = o ， ? 掣“0 1 l ( 4 6 ) 其中p ( z ，y ) = ( 1 ，1 ) ，c ( z ，鲈) = 0 和，( z ，计= b + 掣) ( 1 一e - - 半e 一半) + 扛一口) ( e 一半一e - 警) ，其真解为u ( 甄y ) = x y ( 1 一e - 宰) ( 1 一e - 争) 显然， 这个解在茁= 1 及y = 1 这两个边界附近各有宽度为o ( 山；) 的边界 层同一维情形一样，我们在两种网格下来求解 1 第一类s h i s h k i n 网格和第一类改进的知等级网格下求解 ( a ) 第类s h s h k i n 网格下求解 仿照一维情形，在。方向和y 方向同时将【o ，1 一一和【1 一l 1 1 两个区间等分为n 2 个小区间，因此所得到单元数为舻个这里 r = ( 2 p + 1 ) f h ( n + 1 ) e = 1 0 2e = 1 0 4e = 1 0 6 n 0 札一扩0 。 o r d e r 0 钍一驴0 o r d e r i l “一疗| | 。 o r d e r 4 1 0 1 e - 0 1 9 9 2 争0 2 9 9 1 e - 0 2 83 6 4 e 0 21 4 83 4 9 e - 0 21 5 13 4 8 e - 0 21 5 1 1 68 7 3 e 0 32 0 68 1 1 e _ 0 32 1 08 1 0 e - 0 32 1 0 3 21 9 5 e - 0 32 1 61 8 6 e - 0 32 1 21 8 6 e - 0 32 1 2 6 44 1 2 e - 0 42 2 44 0 0 e - 0 42 2 23 9 9 e - 0 42 2 2 1 2 88 3 4 e - 0 52 3 08 1 l e _ 0 52 3 08 1 1 e - 0 52 3 0 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 图4 1 ：第一类s h i s h k i n 阿格下的 屯的收敛曲线，p = 1 图4 3 ：第一类s h i s h k i n 网格下的 岛的收敛曲线，p = 1 图4 5 ：第二类s h i s h k i n 网格下的 毛的收敛曲线，p = 1 图4 2 ：第类改进的等级网格 下的屯的收敛曲线，p = l 图4 4 ：第类改进的a - 等级网格 下的岛的收敛曲线，p = 1 图4 6 ：第二类改进的a - 等级网格 下的缸的收敛曲线，p = 1 基于等鼓网格的d g 方法求解奇异摄动问题 3 1 图4 7 ：第二类s h i s h k i n 网格下的 岛的收敛曲线，p = 1 图4 9 ：第磺改进的知等级阿格 下的铲范数的收敛曲线，p = 1 图4 8 ：第二类改进的知等级网格 下的e q 的收敛曲线，p = 1 图4 1 0 ：第二类改进的知等级 网格下e t 的铲范数的收敛曲线， p = 1 3 2 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 e ；1 0 2e = 1 0 4e = 1 0 6 n 0 岛i l 。 o r d e r i i t 口怯 o r d e r i i 岛忆 o r d e r 42 2 3 e + 0 0 0 1 9 3 e + 0 0 0 1 9 3 e + 0 0 0 85 7 9 e - 0 0 1 1 _ 9 45 4 1 e - 0 0 11 8 35 4 0 e - 0 0 11 8 3 1 61 6 3 e - 0 0 1 1 8 31 5 7 e - 0 0 11 7 81 5 7 e - 0 0 11 7 8 3 2 4 8 9 e - 0 0 21 7 44 7 7 e 0 0 21 7 24 7 7 e - 0 0 21 7 2 6 41 5 2 e 0 0 21 6 81 4 9 e - 0 0 21 6 81 4 9 e - 0 0 21 6 8 1 2 84 8 0 e - 0 0 3 1 6 74 7 1 e - 0 0 31 - 6 64 7 1 e - 0 0 31 6 6 本章表中的导数误差是相对误差，即恢怯= 雌i i q l l 真解和有限 元解的最大模误差，即i。 一 。，在我们的数。i11=11-0il 值实验中，从图 4 1 1 ，我们可以看出误差主要分布在边界层从图4 1 3 ，4 1 5 我们可看 到导数误差也主要分布在边界层当e 非常小时，导数在边界层内 变化非常快表垂1 和表4 - 2 分别列出了在第一类s h i s h k i n 网格下， e ：1 0 _ ，e = 1 0 4 和e = 1 0 ，怫怯和愉峙及其收敛阶从表4 - 1 ，4 - 2 和图4 1 ，4 3 可以看出，d g 解及其导数都得到了一致的超收敛且有如 下的误差估计 i 忙。l i g ( 号笋) p + 2 ， 0 口一o n 。g ( 号) 舛1 障 - ，。 其中c 与e 无关特别当固定时，e 非常小时，对d g 解及其导数有 与e 无关的收敛阶这与用间断有限元解一维奇异摄动同题的结果一 致， = 1 0 2= 1 0 4e = l o 一6 n l l t 一扩0 。 o r d e r 0 “一驴0 o r d e r i i t 一0 1 1 。 o r d e r 81 9 2 e - 0 0 2 1 1 9 2 e 0 0 2 1 9 2 e - 0 0 2 1 65 7 倍0 0 31 7 35 8 6 e - 0 0 31 7 15 8 6 e - 0 0 31 7 1 3 21 0 5 e - 0 0 32 4 51 0 9 e - 0 0 32 4 31 0 9 e - 0 0 32 4 3 6 4 1 _ 6 5 e - o 【) 42 6 71 7 0 e - 0 0 42 6 71 7 0 e - 0 0 42 6 7 1 2 82 4 5 e - 0 0 52 7 62 5 1 e 0 0 52 7 62 5 1 棚5 2 7 6 e = 1 0 2e = 1 0 4 e = 1 0 6 n 愉 o r d e r 愉 o r d e r 恢 o r d e r 48 1 3 e - 0 0 2 8 3 3 e 0 0 2 8 3 3 e - 0 0 2 81 2 2 e - 0 0 22 7 41 0 9 e - 0 0 22 9 4 1 0 8 e - 0 0 2 2 9 4 1 63 4 1 e - 0 0 31 8 43 1 4 e _ 0 0 31 7 93 1 4 e - 0 0 3 1 7 9 3 26 0 如0 0 42 5 05 6 4 e 0 0 42 4 85 6 3 e - 0 0 42 4 8 6 49 4 瞻0 0 52 6 78 8 3 e - 0 0 52 6 88 8 2 e - 0 0 52 6 8 1 2 81 4 1 e - 0 0 52 7 5l 3 1 e - 0 0 52 7 51 3 1 e _ 0 0 52 7 5 e ；1 0 2 e = i o 一4e = 1 0 6 n 0 一u 0 庐 o r d e r 0 t 一u 0 驴 o r d e r 一u 0 驴 o r d e r 8 7 4 5 e - 0 0 3 1 9 2 e - 0 0 3 4 4 5 e - 0 0 3 1 6 2 1 4 e - 0 0 31 8 02 2 0 e - 0 0 43 1 23 2 瞻0 0 57 0 8 3 25 9 2 e - 0 0 41 8 56 0 7 e - 0 0 51 8 66 2 5 e _ 0 0 62 3 9 6 41 6 3 e - 0 0 41 8 71 6 7 e - 0 0 51 8 71 6 8 e - 0 0 61 8 9 1 2 84 4 1 e - 0 0 51 8 84 5 1 e 0 0 61 8 84 5 1 e - 0 0 7 1 9 0 ( b ) 第一类改进的k 等级网格下求解 我们首先定义一下第一类改进的* 等级网格仿照一维情形，在 z 方向和方向同时将【0 ，1 7 1 区间等分为n 2 个小区间，再同时把 湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 【1 一l1 】区间用k 等级网格分成i v 2 个小区间因此所得到单元数 为胪个，这里r = ( 2 p + 1 ) l n ( n + 1 ) 表4 3 和表垂4 分别列出了在第一类改进的k 等级网格下，e = 1 0 ，e = 1 0 4 和e = 1 0 ，0 气和1 1 4 。怯及其收敛阶在我们的数值 实验中，我们可以看到第一类改进的a 一等级网格保持第一类s h i s h k i n 网格的所有优点，并且得到了更好的结果，在同样的网格数下，导数 最大模的相对误差更小，而且得到了更高的收敛阶从表4 - 3 ，4 - 4 和图 4 2 ，4 4 可以观察到，d g 解及其导数都得到了一致的超收敛性且有如 下的误差估计 0 气c n 一( p + ”， i i q 0 0 。c n 一( 升2 l 牡1 1 。， g 与e 无关 图4 1 3 和图4 1 4 是解在z 方向导数的相对误差分布图误差主 要出现在与y 轴平行的边界层内，类比对y 方向导数相对误差主要 出现在与z 轴方向平行的边界层内，具体见图4 1 5 ，4 1 6 ，并且在和 y 方向导数相对误差也是对称的 表4 - 5 列出了在第一类改进的a 等级网格下，e = 1 0 2 ，e = 1 0 4 和e = 1 0 一6 时d g 有限元饵的误差，从图4 9 我们可以观察到，解 有如下的误差估计 其中c 与t 无关 陋一硎l 。c n 一” e = 1 0 2e = 1 0 3e = 1 0 5 n 0 t 一疗f l 。 o r d e r 0 t 一驴。 o r d e ri l “一疗i i 。o r d e r 45 2 9 e - 0 1 7 2 1 e - 0 1 9 4 0 e - 0 0 1 8 2 1 0 e - 0 11 3 33 8 & 加1o 9 16 3 4 e - 0 0 1o 5 7 1 64 1 7 e - 0 22 3 31 1 6 e - 0 11 7 3 3 0 0 e - 0 0 1l 0 8 3 24 3 3 e _ 0 33 2 71 6 2 e - 0 22 8 37 4 1 e - 0 0 22 0 2 6 4 5 5 6 e - 0 4 2 9 6 l 8 0 e - 0 33 1 78 5 弛0 0 33 1 1 1 2 87 0 9 e - 0 52 9 72 2 9 e - 0 42 9 7 1 0 3 e - 0 0 33 0 6 e = 1 0 2e = 1 0 3 e = 1 0 一5 n 喊怯 o r d e r 恢怯 o r d e r 愉 o r d e r 4 5 4 0 e + 0 0 1 9 0 4 e 0 0 0 1 3 2 e + 0 0 1 81 3 6 e + 0 0 1l 9 95 6 1 e + 0 0 00 6 99 6 8 e + 0 0 00 4 5 1 66 7 3 e - 0 0 14 3 32 4 5 e + 0 0 01 2 05 4 7 e + 0 0 00 8 2 3 29 5 4 e - 0 0 22 8 2 2 6 9 e - 0 0 13 1 81 2 9 e + 0 0 02 0 8 6 41 8 9 e - 0 0 22 3 34 6 5 e - 0 0 22 5 31 6 妊0 0 12 9 8 1 2 84 2 0 e - 0 0 32 1 4 9 9 3 e - 0 0 3 2 2 3 3 0 5 e 0 0 2 2 4 2 2 第二类s h i s b k n 网格和第二类改进的a 一等级网格下求解 ( a ) 第二类s h i s h l d n 网格下求解 第二类s h i s h k i n 网格的定义类似于第一类s h i s h k i n 网格，只是此 时取r = 一( 2 p + 1 ) 山e 同第一类s h i s h k i n 网格一样，表乒6 和表垂7 分 别列出了在e = 1 0 一，f = 1 0 - 3 和e = 1 0 _ 5 时恢和峨及其收敛 阶从图4 5 和4 7 看，同样也得到了一致的超收敛，且有如下的误差 估计 愉c n 一“， 0 q 0 0 。o n 一( 外1 m 1 1 ，。， 3 6 -湖南师范大学2 0 0 7 届硕士学位论文 图4 1 5 ：第一类s h i s h k i n 网 格下y 方向q 和亩的相对误 差，n = 1 6 ，p = 1 ，e = 1 0 一2 图4 1 6 ：第一类改进的a 一等 级网格下y 方向q 和0 的相 对误差，n = 1 6 ，p = 1 ，e = 1 0 2 口与e 无关图4 1 7 是在第二类s h s h k i n 网格下，e = 1 0 一的真解与数 值通量的最大模误差图图4 1 9 是取t = 1 0 3 时的z 方向的导数与 其通量的最大模相对误差图，! ，方向的导数误差图见图4 2 1 从表4 1 ， 垂2 及4 - 6 ，垂7 可以看出，与第一类s h i s h k i n 网格相比，第二类s h i s h k i n 网格所得到的误差和收敛阶没有第一类稳定，但具有相同的收敛阶 e = 1 0 2= 1 0 3f = 1 0 5 n 肛驴 o r d e r 8 “一，k o r d e r 肛一， o r d e r 84 9 5 e - 0 0 2 4 7 1 e 0 0 2 一 3 8 8 e - 0 0 2 1 67 5 6 e - 0 0 32 7 l1 1 5 e - 0 0 22 0 哇2 o o e - 0 0 2 1 7 0 3 21 2 7 e - 0 0 32 5 71 7 舡0 0 32 7 22 4 9 e - 0 0 32 2 7 6 4 1 7 7 e - 0 6 42 8 52 4 3 e - 0 0 1 42 8 43 5 2 e - 0 0 42 8 3 1 2 8 2 3 5 e - 0 0 52 9 13 2 3 e - 0 0 52 9 14 7 2 e - 0 0 52 9 0 e = 1 0 2e = 1 0 3e = 1 0 5 n 0 毛怯 o r d e r 愉 o r d e r l i a q l l 。 o r d e r 4 8 5 7 e 0 0 2 2 5 5 e - 0 0 1 1 2 9 e + 0 0 0 82 6 8 e - 0 0 21 6 82 5 9 e - 0 0 23 3 02 4 9 e - 0 0 25 7 0 1 64 2 1 e - 0 0 3 2 6 7 6 0 5 e - 0 0 32 1 0 6 2 9 e - 0 0 3 1 9 8 3 27 3 8 e - 0 0 42 5 19 1 9 e - 0 0 42 7 21 2 9 e 加0 32 2 9 6 41 0 3 e - 0 0 42 8 51 2 9 e - 0 0 42 8 41 8 2 e - 伽| 42 8 2 1 2 81 3 6 e - 0 0 5 2 9 2 1 7 1 e - 0 0 52 9 12 4 6 e - 0 0 5 2 8 9 ( b ) 第二类改进的砧等级网格下求解 第二类改进的如等级网格与第一类改进的知等级网格的定义类 似，只是此时取r = 一( 2 p + 1 ) d n e ，表4 8 ，4 9 同样也是列出了在这种 网格下的真解和其导数在口1 0 - - 2e = 1 0 。和e = 1 0 5 时与数值通量 的最大模误差和收敛阶从图4 6 和4 8 看，同样也得到了一致超收敛， 且也有如下的误差估计 0 屯0 。c n p + 却