（计算数学专业论文）时滞复杂网络同步分析与计算中的几个问题.pdf

摘要 复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联和相互影响的基本单元所 构成的复杂集合体我们已经生活在一个充满着各种各样复杂性的网络世界里， 就拿我们自己来说是社会关系网络的基本单位；作为生物系统，我们是生化系 统反应的精妙结果复杂网络可以是欧几里得空间的真实物体，如电力网、因 特网、高速公路或地铁网及神经网络；也可以足定义在抽象空间的实体，如朋 友关系网和个体合作网f 3 7 】 近十年来，国内外掀起了研究复杂网络的热潮许多来自物理、生物、数学 和计算机领域的研究者都开始致力于复杂网络的研究由于现实社会中大规模 网络的存在，促使人们去研究这些网络的拓扑结构及其动力学行为本文主要 运用动力系统理论与数值计算方法来研究复杂网络的同步问题，探讨网络的拓 扑结构与同步之间的关系具体来说，我们的工作如下： 第二章研究了具有时滞常数与“时滞向量，的复杂网络的同步问题根据线 性矩阵不等式和l y a p u n o v 泛函得出了网络达到同步的充分条件，通过数值实 例说明了结果的有效性 第三章我们引入了时滞常数( 向量) 和非线性内部耦合函数，给出了节点各 元素时滞相同与节点各元素时滞不相同两种情形下网络的同步定理，数值实例 印证了理论结果 第四章是总结和展望，简要小结本文内容以及对未来的展望 关键词：复杂网络，规则网络，小世界特性，无标度效应，同步，时滞 i a b s t r a c t g e n e r a l l ys p e a k i n g ，c o m p l e xn e t w o r kc a nb es i m p l yr e g a r d e da sas e to f i n t e r c o n n e c t e dn o d e s ，w h e r ean o d ei sab a s i ce l e m e n to raf u n d a m e n t a lu n i t w i t hd e t a i l e dc o n t e n t s e x a m p l e so fn e t w o r k se x i s te v e r y w h e r ei nn a t u r e ，s u c h a si n t e r n e t ，w o r l dw i d ew e b ( w w w ) ，s c i e n t i f i cc o l l a b o r a t i o nn e t w o r ka n dg e n e n e t w o r ki nb i o l o g i c a lf i e l dc t c s t u d yo nc o m p l e xn e t w o r k sh a sb e e nah o tt o p i cs i n c et h el a s td e c a d e 。l o t s o fr e s e a r c h e r si np h y r s i c sa n dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e rc o m m u n i t i e sf o c u st h e m - s e l v e so nt h i sr e g a r d f o rt h ee x i s t e n c eo fa m o u n t so fl a r g es c a l en e t w o r k s ，p e o p l e a r ed r i v e nt oi n v e s t i g a t et h e i rt o p o l o g i e sa n dd y n a m i c a lb e h a v i o r s w em a i n l y t l s et h ek n o w l e d g eo fd y n a m i c a ls y s t e m sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n si ns t u d y i n g s y n c h r o n i z a t i o np r o b l e m s ，i n v e s t i g a t i n gt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h en e t w o r k t o p o l o g ya n dn e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o n 。i nd e t a i l s ，o u rw o r k sa r ea sf o l l o w s ： s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k sw i t hd e l a yc o n s t a n to r “d e l a yv e c t o r ” i ss t u d i e di nc h a p t e r2 w eu s et h el i n e a rm a t r i xe q u a l i t ya n dl y a p u n o vf u n c t i o n t oo b t a i nt h et h e o r yo fs y n c h r o n i z a t i o n ；t h en u m e r i c a le x a m p l e st a k e nh e r es h o w t h ee f f i c i e n c yo ft h ed e r i v e dt h e o r y c h a p t e r3i n t r o d u c e st h ed e l a yc o n s t a n t ( v e c t o r ) a n dn o n l i n e a ri n n e r - c o u p l i n g f u n c t i o ni nan e t w o r k s y n c h r o n i z a t i o nt h e o r e m sw i t hs a m eo rd i f f e r e n td e l a y s i ns t a t ev a r i a b l e sa r ee s t a b l i s h e d ，a n dt h en u m e r i c a le x a m p l e sa r ei l l u s t r a t e do u r t h e o r e t i c a lr e s u l t s a n dc h a p t e r4s u m m a r i z e st h ec o n c l u s i o n sa n dg i v e sf u r t h e r s t u d i e si nt h ef u t u r e k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，r e g u l a rn e t w o r k ，s m a l l w o r l d ，s c a l e - f r e e ，s y n - c h r o n i z a t i o n ，t i m e - d e l a y s i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 签名：私阀锭日期：少9 8 邝岁 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇韧故黜名：秀仁嗍砂 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 复杂网络基本概念和几类常见的网络模型 1 自从2 0 世纪9 0 年代以来，人们掀起了研究复杂网络的热潮【1 】复杂网络 是由具有一定特征和功能的、相互关联和相互影响的基本单元所构成的复杂集 合体复杂网络之所以复杂在于网络的连接复杂性节点复杂性以及网络演化 的复杂性复杂网络会因为自身的动力学行为或者外部的影响和作用而发生变 化现实中的许多复杂系统。如万维网 2 ，3 】，食物链网络，人际关系网络，公路 网络，航空网络，病毒传播网络等都可以用复杂网络来建模，这也让复杂网络 的研究有了实际的应用背景 复杂网络的研究涉及到图论、统计物理学、非线性动力学和复杂性科学等 领域我们生活中的很多问题都涉及到复杂网络的研究，比如传染病在人类社 会以及动物界中的传播；电力网络中局部小的故障引发的大面积的停电事故； 交通网络的优化等一些现实中急需解决的问题在当今时代，复杂网络已经逐 渐形成一门新的学科【4 】在过去的十年中，以物理学家和数学家为代表的广大 科研工作者的努力下，复杂网络理论得到了很大的发展当前复杂网络的研究 主要集中在网络的拓扑结构，网络动力学特性和网络建模以及应用等方面 近年来，由于科学技术的发展，在复杂网络研究领域中取得了两项重要的发 现：大多数复杂网络都具有小世界( s m a l l - w o r l d ) 效应【5 ，6 】和无标度( s c a l e - f r e e ) 特性【7 ，8 本文主要采用数值计算方法与动力系统理论来研究复杂网络的同步问题， 探讨网络的拓扑结构与网络动力学之间的关系，具体包括具有两类时滞的复杂 网络的同步，以及具有时滞和非线性内部函数的网络的同步 从图论的观点来看，网络是由点集y 和边集e 组成的图g = ( ve ) ，其中 节点数记为n = i y l ，边数记为m = i e l ，边集e 中的每条边都与点集y 中的 一对点与之相对应如果任意点对( i 歹) 与0 ，i ) 对应同一条边，则该网络称为 无向网络( u n d i r e c t e dn e t w o r k ) ，否则称为有向网络( d i r e c t e dn e t w o r k ) ；如果给 每条边都赋予相应的权值，那么该网络就称为加权网络( w e i g h t e dn e t w o r k ) ，否 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 一 ! 则称为无权网络( u n w e i g h t e dn e t w o r k ) 我们把没有重边和自环的图，称为简单 图，下面就以无权无向的简单图为例，介绍用来描述网络拓扑结构的几个基本 概念：平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 、聚类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 、 度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) ，并介绍几类常见的网络模型 平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 网络中两个节点i 和j 之间的距离d 订定义为连接这两个节点的最短路径 上的边数特别的，网络中任意两个节点之间距离的最大值称为网络的直径网 络的平均路径长度l 定义为两个节点之间的距离的平均值，即 扛而丢奶， 其中是网络的节点数平均路径长度描述了网络中各个节点的分离程度 聚类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 社会网络的一个共同特征是聚类特性，比如在朋友关系网络中，一个人的 两个朋友很可能彼此也是朋友网络的这一特性可以用聚类系数来定量描述， 定义第i 个节点的簇系数为与它相连接的k i 个节点彼此之间的连接概率， g = 霄告，i = 1 ，2 ，。 2 丽i 可一2 ，。川。 其中e 是与第i 个节点相连接的节点( 称为第i 个节点的邻居) 之间实际存在 的边数，而分母则是可能的最大边数整个网络的簇系数c 就是网络中所有节 点的簇系数的平均值，即 c = 寺g i = 1 显然，0 c 1 c = 0 当且仅当网络中没有任意三个节点是相互连接的， 比如说平均度为2 的环形网络；c = 1 时，网络是全局耦合的，即网络中任意 两个节点都直接相连 度与度分布( d e g r e ea n dd e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 一个节点所连接的边的数目称为该节点的度，第i 个节点的度通常用来 表示网络中所有节点度的平均值称为网络的平均度，记为 由于每一 条边对度的贡献为2 ，所以网络的平均度为 = 专耻百2 m ， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 3 其中m 和分别表示网络的边数和节点数有向网络中一个节点的度分为出 度( o u t d e g r e e ) 和入度( i n d e g r e e ) 节点的出度是指从该节点指向其它节点的 边的数目，节点的入度是指从其它节点指向该节点的边的数目 网络中节点度的分布情况可用分布函数p ( k ) 来描述【9 1 p ( k ) 表示的是一 个随机选定的节点的度恰好为k 的概率，即 p ( 忌) = 丙1 6 ( 七一觑) ， ( 1 1 1 ) 。i = l 其中6 ( ) 是一个d e l t a 函数度分布的概念直观的反映了网络中度数为k 的节 点在整个网络中所占的比例 规则网络 规则网络通常是指形状规则的网络，比如像一维链、二维格，见图1 3 1 研 究比较多的规则网络还有全局耦合网络( g l o b m l yc o u p l e dn e t w o r k ) 、近邻耦合网 络( n e a r e s t n e i g h b o rc o u p l e dn e t w o r k ) 以及星形耦合网络( s t a rc o u p l e dn e t w o r k ) 等f 10 】，见图1 3 2 图1 1 1 ：规则网络图左图为一维链，右图为二维格 任意两个节点之间都有边直接相连的网络称为全局耦合网络因此，全局 耦合的平均路径长度为l g 。= 1 和聚类系数为q 。= 1 ，度分布服从以一1 为 中心的d d t a 函数。 如果网络中每个节点i 都与它k ( k 为偶数) 个邻居( i 士1 ，t 士2 ，i 士k 2 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 4 凰0 心 i 、卜 汐 慕i - 图1 1 2 ：规则网络图( a ) 全局耦合网络，( b ) 最近邻网络，( c ) 星形网络 1 1 】 相连，称该网络为近邻网络其聚类系数为 = 研3 ( k - 2 ) 兰 由此可以看出近邻网络具有高聚类系数且与网络规模无关，但不具有小世界特 征，事实上其平均路径长度为 l 耽啄 当网络规模很大时( _ o 。) ，l 眦一o o 近邻网络的度分布是以k 为中心的 d e l t a 函数即， 础，= i ： 星形网络是有一个中心节点，并且其它n 一1 个节点都只与这个中心点相 连的网络其平均路径长度为 。 l 姗- 2 一专卅 其聚类系数为 c s t a r - n 广- i 1 e r 随机图 最典型的随机网络模型由匈牙利数学家p e r d 6 s 和a r 6 n y i 提出e r 模 型的定义为：在图中的n 个节点间，随机连接n 条边形成的随机网络，记为 g 。，由n 个节点，死条边组成的网络共有哪2 ) 一1 ) 种，构成一个概率空 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 5 间，每一个网络出现的概率是相等的后来，人们又提出另一种与e r 模型等 价的随机网络模型，二项式模型：给定的节点数目固定不变，假定任意节点 对之间有边连接的概率为p ，形成的阿络记为g n ，p 小世界网络 小世界网络是一种具有与规则网络和随机网络都不相同的拓扑特征的网 络1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 引入了一个具有小平均路径长度和大聚类系数的 小世界网络，简称为w s 小世界网络模型该模型构造如下：考虑具有个节 点，度为 的最近邻耦合网络，以概率p 重新随机连接每条边的其中一节 点，重连时保证没有自环和重边产生通过调节p 的值可以控制从完全规则最 近邻网络( p = 0 ) 到完全随机( p = 1 ) 的过渡，w s 网络模型介于规则网络和随 机网络之间，它实现了从规则到完全随机之间的连续演变 b a 无标度网络 e r 随机图和w s 小世界模型有一个共同特征是网络的度分布可近似用 p o i s s o n 分布来表示，该分布在度平均值 处有一峰值，然后呈指数快速 衰减这意味着当f 时，度为j 的节点微乎其微，可以忽略不计随着 计算机的发展，对许多复杂网络包括i n t e r n e t ，w w w 以及新陈代谢网络等的 研究发现，它们的度分布函数具有幂律形式这类网络节点的度没有明显的特 征长度，故称为无标度网络 为了解释幂律分布的产生机理，b a r a b 矗s i 和a l b e r t 提出了一个无标度网络 模型，也就是b a 模型f 7 ，来解释幂律分布的产生机理此模型的构造算法为： 增长：从一个具有m o 个节点的网络开始，每次引入一个新的节点并且 连到m 个已存在的节点上，这里m m 0 优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i 相连接的概率t 和节点 i 的度k l 之间满足如下关系： 巧= 轰 ( 1 1 2 ) 经过t 步后。产生一个有n = t + m o 个节点、m t 条边的网络其平均路径长度 为 l o c 器， 说明当n 很大的时候，b a 网络仍具有很小的路径长度 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 6 1 2 复杂网络的同步稳定性判别法 同步现象广泛存在于自然科学、社会科学以及工程技术中，如夏日夜晚的青 蛙齐鸣、萤火虫闪烁的一致性 1 2 】管弦乐队小提琴的统一以及运动频率的一致 性等对同步初步的研究要追溯到1 7 世纪荷兰物理学家h u y g e n s ，他发现两个 连接的钟摆在相位上同步，之后大量的同步现象被观察和研究2 0 0 0 年，n e d a 等人从非线性动力学的观点阐述了剧场中观众鼓掌的频率逐渐相同【1 3 】这一现 象的产生机理2 0 0 0 年6 月1 0 日，当成千上万人同时通过新落成的伦敦千年 桥时，共振使大桥开始振动，引起多达2 0 厘米的偏差，导致大桥不得不临时关 闭【1 4 】由此可见，我们要尽量避免这种同步 复杂动态网络同步化性能的研究已成为一个极富挑战性的课题【1 5 ，1 6 】对 同步现象的建模和控制是研究的热点，近十年来学者们研究了具有不同拓扑结构 的复杂动态网络中各种不同类型的同步状态，比如完全同步( c o m p l e t es y n c h r o - n i z a t i o n ) ，相位同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) ，滞后同步( 1 a gs y n c h r o n i z a t i o n ) ，部 分同步( p a r t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ) 和广义同步( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) 等， 以及在参数改变( 例如具有时滞【1 7 ，1 8 】或时变的网络) 和结构扰动( 比如在网 络中加入少量的点和边或对网络中的点和边进行加权) 的情况下网络同步化性 能的变化 如果在网络的每个节点上加上一个动力学系统，这个动力学系统既可以是 极限环也可以是混沌的；而让有边相连的两个节点的动力学系统之间存在相互 耦合作用，就形成了一动力学网络严格来说，设网络有n 个节点，第i 个节 点在t 时刻的第礼维状态变量是戤( t ) ，单个节点不考虑耦合作用的时候所满足 的状态方程是戤( + 1 ) = f ( ) ) 且：刀。一z 护是每个节点状态变量的函数， 用于对其它节点进行耦合这样，在存在耦合作用的情况下，第i 个节点所满 足的状态方程是 对于连续系统 兢( z + 1 ) = f ( x i ( t ) ) + e e 3 g q h ( x j ( t ) ) ， 也= f ( x i ) 十e j g 巧( 巧) ， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 7 其中e 是耦合强度，g 玎表示耦合矩阵g 的矩阵元，定义如下： 睁曼 其中是节点i 的度，是与节点i 相邻的节点的集合耦合矩阵g 包含了 网络结构的全部信息例如，最近邻耦合网络、星型网络以及完全网络的耦合矩 阵分别为：在耦合作用下，经过一段时间的演化，使得z 1 = z z = = z = 8 ， 网络就进入了同步状态( 当然并不是所有的网络在任意耦合强度或耦合方式 下都能实现同步) 【1 9 】下面介绍常见的判别方法 l y a p u n o v 函数法 两个非线性系统的同步问题，通常是将其转化为两个系统的误差系统的零 点的稳定性问题来考虑，也即考虑微分方程组零解的稳定性问题可以借助构造 一个特殊的函数v ( x ，秒) 且满足v ( o ，0 ) = 0 ，并利用y ( z ，可) 的全导数d v f ( x , y ) 确定方程组零解的稳定性 考虑非线性常微分方程组 巾 等= f ( z ) ， ( 1 5 1 )i2 ，i zj l l j 其中z = 陋，x 2 ，z 。】t ，f = 【，1 ，2 ，厶】t 假定f ( o ) = 0 ，且f ( x ) 在区 域g = ( z l ，x 2 ，z 。) ：i 口) 内有连续的偏导数 定理1 2 1 对于方程( 1 5 1 ) ，如果存在一个正定的函数v ( t ) 且满足v ( 0 ) = 0 ，使得关于方程的全导数是负定的，则方程( 1 5 1 ) 的零解是渐近稳定的 李雅普诺夫第二方法将稳定性的问题转化为李雅普诺夫函数的构造问题 建立满足上述定理的正定函数y ) ，在大部分情况下需要很高的技巧常见的 一些建立李雅普诺夫函数的方法有类比法，能量函数法、变量分离法，变梯度 法、广义能量法、首次积分线性组合与加权法等 l y a p u n o v 指数法 李雅普诺夫指数是混沌同步研究中最重要的一个量，它可以给出吸引子相 邻轨道平均指数发散率的定量度量，是对吸引子拉伸和收缩性质的长时间平均 量度，可以定量表示轨道的稳定性和蝴蝶效应的强弱。 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 8 为方便起见，我们考虑一维映射 x t + 1 = ，( 既) ( 1 5 3 ) 对于轨道x t 的偏移民，我们可以建立线性化方程c t + 1 = ( d f d x ) 。民所以 当f d f d x i 0 作为混沌行为的一种判断依据 耦合网络同步判定依据 p e c o r a 和c a r r o l l 于1 9 9 8 年研究了一类连续时间耗散耦合动力系统同步的 稳定性问题，提出了主稳定性函数判据( 2 0 】考虑由个节点构成的连续时间 耗散动力网络，假设第i 个节点的状态变量为r n ，其状态方程为 五= 他t ) + e c o h ( x j ) ， ( 1 5 4 ) j = l 其中常数 0 表示网络的耦合强度；函数日( ) ：p _ 即是网络各个节点之 间的内部耦合函数，也称为各节点的输出函数；耦合矩阵c = ( 勺) r 表 示网络的拓扑结构，满足耗散耦合条件笔1c o = 0 ，耦合矩阵c 是描述一个 简单图的对称矩阵时，其元素定义如下：如果结点i 与结点j 之间有连接，那 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 9 么勺= = 1 ( i j ) ，否则c o = = o ( i 歹) ，c 的对角元素定义为 nn = 一= 一劬= - k i ，i = l ，2 ， j = l ，j tj = l ，j 判 其中k i 是节点i 的度下面我们给出完全同步的定义 定义1 2 1 如果t 羔i l 如( t ) 一s ( ) l l = 0 ，i = 1 ，2 ，。一，其中s ( ) 7 妒 是一个稳定的极限集，并且满足 吾( ) = ，( s ( ) ) ， 那么我们就称网络( 1 5 4 ) 达到同步 对状态方程( 1 5 ，4 ) 关于同步状态s ( t ) 线性化。令盈为第i 个节点状态的 变分，得到如下变分方程： r 文= d ( f ( s ) ) s i + c i j d h ( s ) s j ， j = l d f ( s ) 和d h ( s ) 分别是函数，( z ( ) ) 和h ( z ( ) ) 关于s ( ) 的j a c o b i a n 矩阵令 6 = 5 1 ，如，籼】，上述方程可以转换为紧凑形式 彦= d ( ，( s ) ) 6 + e d h ( s ) s c t ， 因为c 为对称不可约矩阵，利用若当分解得到c t = 圣人西一，其中人= d i a g ( a 1 ，入2 ，a n ) 令叩= 巧西得到， ， = d ( ，( s ) ) ? 7 + e d h ( s ) 7 7 a 由于a 为对角化实矩阵，得到 饥= ( d ( ，( s ) ) + e k d 日( s ) ) 仇，七= 1 ，2 ，( 1 5 5 ) a l = 0 对应着同步流形考虑a 不为零的情形，判断同步流形稳定的一个常 用判据就是要求方程( 1 5 5 ) 的横截l y a p u n o v 指数在k = 2 ，3 ，时全为负 值【2 1 2 3 如果矩阵c 为非对称阵时，其特征值可能为复数，令a 七= a + i 卢，定义主 稳定方程( m a s t e rs t a b i l i t ye q u a t i o n ) 如下t 善= ( d ( ，( s ) ) + ( a + i 3 ) d h ( s ) ) ， 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 0 该方程的最大l y a p u n o v 指数l m 。称为动力网络( 1 5 4 ) 的主稳定函数( m a s t e r s t a b i l i t yf u n c t i o n ，m s f ) 【2 4 给定一耦合强度，在( q ，p ) 复平面上可以对应地找到固定的一点e a k ，该 点所对应的l 。的正负号反映了该特征模态的稳定性( 负号表示稳定，正号表 示不稳定) 如果儿( k = 2 ，3 ，) 所对应的所有的特征模块都稳定，那么在 该耦合强度下整个网络的同步流形( 1 5 4 ) 是稳定的 线性耦合网络的同步判据 当节点输出函数为线性函数时【2 5 】，所研究的网络可以写为如下形式 磊= ，( 黾) + e q j f x i ， ( 1 5 4 ) j = l 取内部耦合矩阵为r = d i a g ( h ，r 2 ，r n ) ，通过对上述网络模型的研究，得到 如下定理： 定理1 2 2 考虑网络( 1 5 4 ) ，令0 = 入1 a 2 a n 是耦合矩阵c 的 特征值如果下列一1 个n 维线性时变系统关于其零解是指数稳定的： 7 7 ( ) = d f ( s ( t ) ) + a 知r 】叼( ) ，k = 2 ， 那么网络的同步流形是渐近稳定的 定理1 2 3 考虑动力网络( 1 5 4 ) ，如果存在一个正定阵p 以及常数d 0 ，满足条件 【d f ( s ( t ) ) + d f 丁p + p d f ( s ( t ) ) + d f 】- 0 厶 其中厶是单位矩阵如果e a 2 d ，则同步流形是指数稳定的 如果假没内部耦合矩阵r 为单位矩阵，那么上述定理1 5 3 中的常数d 可 以取代节点函数，的最大l y a p u n o v 指数由此可得如下定理 2 6 1 定理1 2 4 假定网络( 1 5 4 ) 由混沌系统节点组成，记节点函数，的最大 l y a p u n o v 指数为危m 如果内部耦合矩阵r 为单位矩阵，并且满足a 2 九僦z ， 则同步流形是指数稳定的 在对网络模型( 1 5 4 ) 的研究中，耦合矩阵c 都是被假定为满足耗散性条 件的，即c 的每一行元素的和为零所以一个自然的问题是，如果耦合矩阵不 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 1 满足耗散性条件，网络节点会出现怎样的同步态? 我们通过假定耦合矩阵c 每 一行元素的和为一个非零常数，得到下面定理 2 7 】 定理1 2 5 我们考虑网络模型( 1 5 4 ) 假定耦合矩阵c 是对称矩阵并且 c 的每一行元素的和均为非零常数u 如果存在一个礼阶的对角矩阵d 0 以 及一个常数1 - 0 ，使得( d f ( s ( t ) ) + 九厶) t d + d ( d f ( s ( t ) ) + 九厶) a 2 a 3 入是矩阵c 的特征值 定义2 1 1 对于时滞动力网络( 2 0 3 ) 来说若 ( ) _ s ( t ) ，t 一+ o 。，i = 1 ，2 ，n ，( 2 1 1 ) 则称网络( 2 0 3 ) 达到( 渐近) 同步，其中4 t ) 毋满足如下的同步态方程 ( t ) = l ( 4 t ) ，s ( t 一7 1 ) ) ，( 2 1 2 ) 这里假设s ( z ) 是方程( 2 1 2 ) 的一个稳定极限集显然，同步态s ( ) 的稳定性是 由函数厂和时滞丁l 所确定接下来我们考虑时滞复杂动力网络( 2 0 3 ) 的稳定 性 定理2 1 1 考虑时滞复杂网络( 2 0 3 ) ，令0 = a l a 2 a 3 之a n 是 耦合矩阵c 的特征值如果下述1 个礼维时变时滞微分方程关于其零解 是渐近稳定的： 而( ) = a q ( t ) + b v ( t n ) + e a 知r n ( t 一眨) ，k = 2 ，3 ，n ，( 2 1 3 ) 2 l = i | 一 r 芦 + q 一 z 耽，j = 翰 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 4 其中a = 9 1 i ( s ( t ) ，s ( t 一7 1 ) ) ，b = d 2 ，( s ( ) ，s ( t 一7 1 1 ) ) ，d l ，d 2 分别表示对函数 ，( ，) 的第个和第二个变量进行微分，叩( ) ，叩( 一n ) ，? 7 一吃) 舻，则网络 ( 2 0 3 ) 局部渐近同步于( 2 1 2 ) 所确定的稳定极限集 证明：令 x i ( t ) = s ( ) + e i ( t ) ，( 2 1 4 ) 代入( 2 0 3 ) ，得蛰j 邑( t ) = ，( 毛( t ) ，z i ( t n ) ) 一，( s ( t ) ，s ( 一7 1 ) ) + e c i j p e i ( t 一吃) ，1 i ， j = l ( 2 1 5 ) 其线性化系统写为， 也( z ) = a e i ( t ) + b e t 一7 1 ) + f e j ( t 一死) ， ( 2 1 6 ) j = l 令e ( ) = 【e 1 ( ) ，e 2 ( ) ，e ) 】舻x ，有 e ( t ) = a e ( t ) + b e ( t 一7 1 1 ) + e r e ( t 一死) c t ，( 2 1 7 ) 由引理2 1 1 知，存在一个酉阵西，使得c t 奴= a 蠡饥，k = l ，2 ，令 e ( ) 机= n k ( t ) ，( 2 1 7 ) 式可以写成如下形式： 9 k ( t ) = a o k ( t ) + b 仉( t 一丁1 ) + e a k f 7 7 k ( t 一死) ，k = 1 ，2 ，n ( 2 1 8 ) 当a l = 0 正好对应着网络的同步态方程而 o k ( t ) = a n k ( t ) + b 孤( t n ) + e a k f ? 7 k ( t 一吃) ，七= 2 ，n ，( 2 1 9 ) 的零解是渐近稳定的，则有e ( t ) 局部渐近地趋于零，这表明同步态( 2 1 1 ) 是局 部渐近稳定的证毕 定理2 1 2假设耦合矩阵c 的特征值按如下顺序排列，0 = a 1 入2 a 32 a 如果存在一个正定矩阵p 0 满足： q l = a t p + p a + 2 ip be a 七尸r b v p 10 e a 七r t p 0一i a 2 入3 a 是耦合矩阵c 的特征值如果下述n 一1 个n 维时变时滞微分方程关于其零 解是渐近稳定的： 而( ) = a 卵( ) + 一b 百巧习十入 f 百再= _ 可， 七= 2 ，3 ，n ，( 垒1 1 6 ) 其中a = d 1 厂( s ( ) ，虱两) ，一b = d 2 ，( s ( ) ，虱两) ，d z ，d 2 分别表示对函 数，( ，) 的第一个和第二个变量进行微分，7 7 ( ) 形，7 7 ( 一n ) = ( 7 7 1 ( 一 n 1 ) ，( 一7 1 。) ) t r ”，虿万= 孬= ( 叩l ( 一忍i ) ，( 一7 2 n ) ) t r “，则 网络( 2 1 1 3 ) 局部渐近同步于( 2 1 1 5 ) 所确定的稳定极限集 证明：令 z i ( ) = 4 t ) + e i ( t ) ( 2 1 1 7 ) 由方程( 2 1 1 3 ) 与墨1 = 0 ，1 i ，得到 邑( ) = f ( x i ( t ) ，盈0 一丁1 ) ) 一，( s ( ) ，s ( t 一丁1 ) ) + 笔1 r ( 承f 面一确) ， ( 2 1 1 8 ) 1 i m 我们对式子( 2 1 1 8 ) 线性化，得到 n 也( 芒) = a e i ( 芒) + 百而+ r 而， ( 2 1 1 9 ) j = l 令e ( t ) = e l ( ) ，e 2 ( ) ，e ( ) 】r “，有 色( 谚= a e ( t ) + 百孑f = 巧万+ r 吾f = 丐习t( 2 1 2 0 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 7 其中币= 可= 同两，可f 面，石网p n ， 币= 两= 目两，积f 面，石网r 州 由引理2 1 1 知，存在一个酉阵西，使得c t 饥= a 九，k = 1 ，2 ，令 e ( ) 饥= q k ( t ) ，( 2 1 2 0 ) 式可以写成如下形式： 饥( t ) = a r l k ( t ) + b 仉( t n ) + e k r r l k ( t 一丁2 ) ，= 1 ，2 ，( 2 1 2 1 ) 其中7 7 ：( 一t ) = ( 7 7 i l ( t 一兀1 ) ，仇n ( 一死。) ) r r ”，i = 1 ，2 当入1 = 0 正好对 应着网络的同步态而 辄( t ) = a o k ( t ) + b 讥( 一7 1 ) + s a k r 叩k ( t 一丁2 ) ，惫= 2 ，3 ，n ( 2 1 2 2 ) 的零解是渐近稳定的，则有e ( t ) 局部渐近地趋于零，这表明同步态( 2 1 1 4 ) 是 局部渐近稳定的证毕 定理2 1 4 假设耦合矩阵c 的特征值按如下顺序排列，0 = a l 入2 沁a 如果存在一个正定矩阵p 0 满足： q 2 = a t p + p a + 2 i 尸百e 入i p r 矿p一，0 入七r t p 0 一i 0 ，k = 2 ，3 ，n ，( 2 1 2 3 ) ，是礼阶单位阵，a ，百的意义同定理2 1 3 ，则对任意固定的时滞百，瓦，网络 ( 2 1 1 3 ) 关于( 2 1 1 5 ) 所定义的同步态是局部渐近稳定的 证明：考虑线性时变系统 x ( t ) = a x ( t ) + b x ( t n ) + 儿r x ( t 一丁2 ) ，k = 2 ，3 ，( 2 1 2 4 ) 选取l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函【3 5 】 8 r t ， y ( z ( t ) ) = z ( ) t p x ( t ) + z 如+ 弓( q ) 缸 j = lj t - n j j - 1 ，t - 吻 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 8 其中( a ) 是z ( n ) 的第j 个元素，通过运算得到： 少( z ( 亡) ) =z t ( 亡) a t p z ( 亡) + ；万= _ 习t 矿尸z ( 芒) + a 知；瓦爿r t p z ( 亡) + x t p a x ( t ) + x t ( t ) p b 币= 可+ e 入z t ( ) r 万两 + 2 z t ( t ) z ( ) 一；巧二_ 可t ；巧= _ 可一i 巧= 两t ；巧= _ 可 = t q 。 ( 2 1 2 5 ) 由假设知，得到系统( 2 1 2 4 ) 的n 一1 个方程都满足矿( z ( t ) ) 0 由l y a p u n o v - k r a z o v s k i i 稳定性定理 3 5 】，知道( 2 1 2 4 ) 的平凡解是渐近稳定的再由定理 2 1 3 知，网络( 2 1 1 3 ) 关于同步态( 2 1 1 4 ) 是渐近稳定的 注记2 1 2 ：定理2 1 4 中的矩阵( a ，一b ，q 2 ) 依赖于t , t 1 1 2 2 数值模拟 例2 2 1 ：我们选取节点状态函数为下述二维非线性系统 ，c 戤c t ，规c t 一7 1 ，= ( 二二： 弓：三窆莲；二i 三：葚二：；：二耋鬈二：；) c 2 2 1 ， 我们取n = 0 5 ，仡= 1 , f 为单位矩阵，网络外部耦合矩阵为具有4 个节点的规 则网络的拓扑结构，包括全局耦合网络，近邻网络和星型网络，数值结果见图 ( i ) 全局耦合网络，外部耦合矩阵为 c 1 = 一31 13 11 11 11 11 31 13 图2 2 - 1 画出了网络的同步误差曲线，其中忙( t ) l l = m a x 理骂k ( ) 一s t l ( ) f ，。i i 三l 。a 羔x 。i x i 2 ( ) 一 s i 2 ( ) i ) 墨一 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 9 图2 2 1 ：全局耦合网络同步误差，其中t 1 = 0 5 ，7 2 = 1 ，= 0 1 ( i i ) 近邻耦合网络，邻居数为2 时，其外部耦合矩阵为 c 2 = = 一210 1 1210 o1 21 1012 同步误差曲线在图2 2 2 中描出 ( i i i ) 星型耦合网络，外部耦合矩阵为 c 3 = 一31 11 11o0 10 1o 类似画出同步误差曲线，见图2 2 3 一10 o 一1 ，( 黾( t ) ，翰( t n ) ) = ( 荔( ( z x ；l 。l ( ( t ) ) ) ) 9 9 ( ( z x ；i 。l ( t 一- r n l ) ) ；) ，妒( z ) 2 9 ( z ) = t a n h ( 力 。 ( 2 2 2 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 2 0 图2 2 2 ：近邻耦合网络同步误差，其中n = 0 5 ，吃= 1 ，s = 0 1 作为节点状态函数外部耦合矩阵是邻居数为4 的近邻网络( 节点数目为1 0 ) c = 一411000o011 1411000o01 11 4 1 100000 o114110000 0o1 141 10o0 ooo11411 o0 000011411o o0 o 0 0 1 1 4 11 1000001141 11000