（计算数学专业论文）脉冲效应下种群动力系统和传染病模型的研究.pdf

大连瑾工大学博士学位论文 摘要 近些年来，脉冲微分方程引起了许多学者的关注并得到了深入的发展它被广泛应用 于生物技术、药物动力学，物理、经济、种群动力学、流行病学等领域种群动力学和流 行病学中有许多自然现象和人为干预因素的作用用脉冲来描述更为精确，本文考虑了在 脉冲作用下的离散种群动力学模型和传染病模型，给出了在脉冲作用下单种群离散模型 的动力学复杂性，在脉冲作用下系统周期解的稳定性、时滞传染病模型无病周期解的全局 吸引性和系统的持久性 在第二章，我们研究了密度依赖生育脉冲对单种群阶段结构离散模型的动力学行为 的影响首先，提出并研究了具有生育脉冲的单种群阶段结构离散模型，运用频闪映射所 确定的离散动力系统，得到了脉冲离散系统正周期解的存在性、稳定性以及稳定性阈值， 并利用数值分析得到一系列倍周期分支、半周期分支以及混沌这说明生育脉冲提供了从 倍周期分支( 半周期分支) 到混沌的一个自然的周期，同时也使得系统的动力学行为变得 更为复杂接着，我们研究了一个具季节收获和生育脉冲的单种群离散阶段结构模型利 用频闪映射的性质，讨论了脉冲系统正周期解的稳定性，并利用数值结果研究了系统复杂 的动力学行为，其中包括倍周期分支、半周期分支、混沌吸引子突变、吸引子的非唯一性 以及盆吸引子等进一步，我们还讨论了收获时间和收获努力量( 即季节收获) 对系统持久 性、成年种群的存储量和最大年度持续产量的影响，并通过分析发现：与成年种群繁殖期 结束后越近的时间进行收获，成年种群能够承受更大的收获努力量我们的理论结果表明 休渔制度有利于渔业资源的可持续发展 第三章研究的是在脉冲作用下的传染病模型首先，我们考虑的是具有脉冲预防接 种、饱和传染力和常数输入的s i r s 传染病模型，利用脉冲微分方程的f l o q u e t 乘子理论、 比较定理和非线性分析的方法，系统研究了该模型的动力学性质，给出了无病周期解全局 渐近稳定和系统一致持久的充分条件其次，我们考虑的是具有脉冲生育和脉冲剔除的s i 传染病模型，通过对频闪映射所确定的离散系统的研究，得到了周期解的( 局部和全局) 稳 定性；并通过数值模拟发现系统存在混沌吸引子突变、非唯一性吸引子以及盆吸引子等复 杂的动力学行为 在建立描述疾病传播的传染病模型时 疾病的传染期、潜伏期和免疫期往往不能忽 略与不含时滞的传染病模型相比较，含有时滞的传染病模型能够更好地刻画疾病的传播 情况在第四章我们建立和研究四类具有脉冲预防接种的时滞传染病模型由于时滞和脉 冲并存，使得模型的研究更为复杂通过分别对这四类模型的研究，得到了系统无病周期 解全局吸引和系统一致持久的充分条件；并且得到当脉冲周期小于n ( 或e ) 时疾病将会 灭绝，当脉冲周期大于r ( 或r ) 时疾病将成为地方病结果表叽其他因素不变的情况下， 高淑京：脉冲效应下种群动力系统和传染病模型的研究 较短的接种周期或染病期或较长的潜伏期可以使得疾病消除 关键词：种群动力学；脉冲微分方程；传染病模型；稳定性持续生存 i i 大连理工大学博士学位论文 t h es t u d i e so np o p u l a t i o nd y n a m i c a ls y s t e m sa n de p i d e m i c m o d e mw i t hi m p u l s i v ee f f e c t s a b s t r a c t t h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eo b t a i n e dm u c ha t t e n t i o nf r o mm a n ya u t h o r s ，a n d d e e p l yd e v e l o p e dd u r i n gt h ep a s taf e wy e a r s i ti sw i d e l ya p p l i e di nv s x i o u sd o m a i n ss u c ha s b i o l o g i c a lt e c h n o l o g y , m e d i c i n ed y n a m i c s ，p h y s i c s ，e c o n o m y , p o p u l a t i o nd y n a m i c sa n de p i d e m i - o l o g y i ti sw e l l - k n o w nt h a tm a n yn a t u r a lp h e n o m e n aa n dh u m a n a c t i v i t i e sd oe x h i b i ti m p u l s i v e e f f e c t si nt h ef i e l d so fp o p l l l a t i o nd y n a m i c sa n de p i d e m i o l o g y i nc h a p t e r1 t h ep a p e rg i v e ss o m e d e f t n i t i o n sa n df u n d a m e n t a lt h e o r i e so fi m p u l s i v ed 证e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f i e r e n c ee q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，3a n d4 ，b yu s i n gt h et h e o r i e so fd i s c r e t ed y n a m i c s ，c o n t i n u o u sd y n a m i c sa n di m - p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n db yi n c o r p o r a t i n gw i t hm e t h o d so fn o n l i n e a ra n a l y s i s ，o p e r a t o r t h e o r y , m a t h e m a t i c a ls i m u l a t i o n ，w es t u d ya n dd e a lw i t ht h ed y n a m i c a lb e h a v i o r sa n di m p u l s i v e c o n t r o ls t r a t e g ) i nd i s c r e t ep o p u l a t i o nd y n a m i c a lm o d e l sa n de p i d e m i cm o d e l s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ee f f e c t so fb i r t hp u l s e so nt h ed y n a m i c a lc o m p l e x i t yo fs t a g e - s t r u c t u r e dd i s c r e t em o d e l s f i r s t l y , w ep r o p o s ea n ds t u d yt h es i n g l e - s p e c i e sd i s c r e t ep o p u l a t i o n m o d e lw i t hs t a g es t r u c t u r ea n db i r t hp u l s e s u s i n gt h es t r o b o s c o p i cm a p ，w eo b t a i na ne x a c t c v c l eo fs y s t e ma n dt h et h r e s h o l dc o n d i t i o n sf o rt h e i rs t a b i l i t i e s a b o v et h i st h r e s h o l d ，t h e r e i sac h a r a o t e r i s t i cs e q u e n c eo fb i f u r c a t i o n s ，l e a d i n gt oc h a o t i cd y n a m i c s ，w h i c hi m p l i e st h a tt h e d y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h es i n g l e - s p e c i e sd i s c r e t em o d e lw i t hb i r t hp u l s e si sc o m p l e x ，i n c l u d i n gp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n s ，p e r i o d h a l v i n gb i f u r c a t i o n s ，c h a o sa n dn o n u n i q u ed y n a m i c s t h i ss u g g e s t st h a tb i r t hp u l s e ，i ne f f e c t ，p r o v i d e san a t u r a lp e r i o do rc y c l i c i t yt h a ta l l o w sf o r p e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n s ( p e r i o d h a l v i n gb i f u r c a t i o n s ) r o u t et oc h a o s s e c o n d l y , w ef u r t h e r i n v e s t i g a t ea ne x p l o i t e ds i n g l e - s p e c i e sd i s c r e t ep o p u l a t i o nm o d e lw i t hs t a g es t r u c t u r ef o rt h e d y n a m i c si naf i s hp o p u l a t i o nf o rw h i c hb i r t ho c c u r si nas i i l g l ep u l s eo n c ep e rt i m ep e r i o d b y s t u d y i n gt h ed i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e md e t e r m i n e db yt h es t r o b o s c o p i cm a p ，w ei n v e s t i g a t et h e s t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o no fi m p u l s i v ed i f f e r e n c es y s t e m ，a n do b t a i nt h et h r e s h o l dc o n d i t i o n s f o ri t 8s t a b i l i t y n u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o w st h ec o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h em o d e l ， i n c l u d i n gp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n s ，p e r i o d - h a l v i n gb i f u r c a t i o n s ，c h a o s ，c h a o t i cb a n d sw i t h p e r i o d i cw i n d o w s ，n o n - u n i q u ed y n a m i c s ，a t t r a c t o rc r i s i sa n db a s i n so fa t t r a c t i o n m o r e o v e r ，w e s h o wt h a tt h et i m i n go fh a r v e s t i n ga n dh a r v e s te f f o r th a sas t r o n gi m p a c to nt h ep e r s i s t e n c e o ft h es p e e i e s t h ev o l u m eo fm a t u r ef i s hs t o d ka n dt h em a x i m u ma n n u a l s u s t a i n a b l ey i e l d a n i n t e r e s t i n gr e s u l ti so b t a i n e dt h a t ，a f t e rt h eb i r t hp u l s e ，t h ee a r l i e rc u l l i n gt h em a t u r ef i s h ，t h e i i i 高淑京，脉冲效应下种群动力系统和传染病模型的研究 l a r g e rh a r v e s te f f o r tc a p r ib et o l e r a t e d o u rt h e o r e t i c a lr e s u l t si m p l yt h a tc a r r y i n go u tt h ep o l i c y o ft i m ec l o s u r e si sb e n e f i c i a lt ot h es u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n to ff i s h e r yr e s o u r c e e p i d e m i cm o d e l sw i t hi m p u l s i v ee f f e c t sa r ec o n s i d e r e di nc h a p t e r3 f i r s t l y p u l s ev a c c i n a - t i o no fak i n do fs i r se p i d e m i cr o o d e lw i t hs a t u r a t i o ni n f e c t i o u sf o r c ea n dc o n s t a n tr e c r u i t m e n t i s a n a l y z e d t h e d y n a m i c so f t h ee p i d e m i c m o d e l i s g l o b a l l y i n v e s t i g a t e d b y u s i n g f l o q u e t t h e o r y a n dc o m p a r i s o nt h e o r e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na n da n a l y t i cm e t h o d 、) l ko b t a i nt h e c o n d i t i o n so fg l o b a la s y m p t o t i e a ls f a b i l i t yo f t h ei n f e c t i o n - f r e ep e r i o d i cs o l u t i o na n dp e r m a n e n c e o ft h em o d e l s e c o n d l y , a ns ie p i d e m i cm o d e lw i t hd e n s i t y - d e p e n d e n tb i r t hp u l s e si sp r o p o s e d a n ds t u d i e d b ys t u d y i n gt h ed i s c r e t ed y r n a m i c a ls y s t e md e t e r m i n e db yt h es t r o b o s c o p i cm a p ， w eo b t a i nt h el o c a la n dd o b a is t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n n u m e r i c a is i m u l a t i o ns h o w st h a t t h e r ei sac h a r a c t e r i s t i cs e q u e n c eo fb i f u r c a t i o n s ，l e a d i n gt oc h a o t i cd y n a m i c s ，a n dt h a tt h e r e a r em a n ye o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r s ，i n c l u d i n gp e r i o d - d o u b h n gb i f u r c a t i o n s ，n o n - u n i q u ed y - n a m i c s ，a t t r a c t o rc r i s i sa n db a s i n so fa t t r a c t i o n w h e ne d i d e m i cm o d e l sa r ec o n s t r u c t e dt od e s c r i b et h et r a n s m i s s i o no f i n f e c t i o u sd i s e a s e s ， i n f e c t i o np e r i o d ，i m m u n ep e r i o da n dl a t e n tp e r i o do fd i s e a s e sa r en o ta l w a y sn e g l e c t e d c o m - p a r e dw i t ht h ee p i d e m i cm o d e l sw i t h o u tt i m ed e l a y s ，t h ee p i d e m i cm o d e l s w i t ht h e s et i m ed e l a y s c a nd e s c r i b et h ef e & t u r e so ft h ed i s e a s e sd i f f u s i o nm o r ew e l la n dt r u e l y i nc h a p t e r4 ，w ep r o p o s e f o u rk i n d so fe p i d e m i cm o d e l sw i t hd u l s ev a c c i n a t i o na n dt i m ed e l a y s d u et ot h ec o e x i s t e n c eo f t i m ed e l a y sa n di m p u l s i v ee f f e c t ，t h ed y r n a m i c a lb e h a v i o r sb e c o m em o r ec o m p l e xa n da r ed i f f i c u l t t os t u d y i nt h i sc h a p t e r ，w ea n a l y z ea n ds t u d yt h ef o u re p i d e m i cm o d e l s ，r e s p e c t i v e l y i ti s p r o v e dt h a tt h ed i s e a s e - f r e ep e r i o d i cs o l u t i o ni sg l o b a l l ya t t r a c t i v ei ft h ep e r i o do fp u l s i n gi sl e s s t h a n ( o re ) ，a n dt h ed i s e a s ei su n i f o r m l yp e r s i s t e n ti ft h ep e r i o do fp u l s i n gi sl a r g e rt h a nt 4 ( o rt ) t h ep e r m a n e n c eo ft h em o d e l si si n v e s t i g a t e da n a i y t i c a l l y o u rr e s u l t si n d i c a t et h a t a l o n gp e r i o do fp u l s i n go ral o n gi n f e c t i o np e r i o do fd i s e a s eo ras h o r tl a t e n tp e r i o do fd i s e a s ei s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h em o d e i s k e y w o r d s ：p o p u l a t i o nd y n a m i c s ；i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；e p i d e m i cm o d e l ； s t a b i l i t y ；p e r m a n e n c e i v 大连理工大学博士学位论文 第一章引言及预备知识 自然界的许多事物在其发晨过程中常常在短暂时闯内受到干扰，我们研究时往往忽 略这个短暂的时间并假设这种扰动作用是瞬时的，这种现象广泛存在于生物技术、工业控 制、物理、机械、经济、流行病动力学和种群动力学等许多科学和技术领域如生物种群的 生长，生物体中的心脏跳动、血液循环、脉转频率的调节，以及预防传染病的定期接种、癌 细胞的放疗和化疗等等种群动力学中有很多自然现象和人为因素的作用都可以用脉冲 来描述许多种群的出生是季节性或瞬时的，例如，许多鱼类都是季节产卵的，因此鱼苗会 在短时间内剧增另外，在人们对生物资源的开发和利用中，种群数目发生瞬间变化的现 象也很酱遍，诸如在渔业资源生产中，鱼苗的投放或成鱼的收获也都不是连续发生的在 农业生产中，人们经常通过定期喷洒杀虫剂或投放天敌来治理害虫，从而引起害虫和天敌 的数目在很短的时间内发生很大的变化这些人为活动可以用不连续的脉冲来描述连续 型微分方程和离散差分方程已不能用来刻画这种瞬时现象，而脉冲微分方程对这种现象 给出了一个自然的描述 脉冲微分方程理论是在连续微分方程理论基础上发展起来的，它是连续微分方程的 一种特殊情形，因此它的研究更为困难，但其理论将更为丰富例如，给定的方程即使具有 充分的光滑性，也不能保证具有初值问题的脉冲微分方程解的存在性；一些基本性质诸如 解对初值的连续依赖性、可微性都已不再成立近些年来，脉冲微分方程的基本理论和应 用都引起了不少学者的关注，并有了较丰富的结果 1 - 4 虽然脉冲微分方程一般都应用于 解决实际问题但目前大多效的研究成果主要集中于理论方面，如文献m 】研究q 粳打， 现象存在和不存在的条件，s i m e o n o vm 研究了解的存在性、唯一性，文献 8 - 1 0 讨论了解 对初值和参数的连续依赖性和可微性；文献”】研究了解的振动性，m i l m a n 和m y s h k i s 【1 q 早在1 9 6 0 年研究了脉冲微分方程的稳定性原则，在这基础上p e r e s t y u k 和s a m o i l e n k o 1 4 , 1 5 给出了较为完善的脉冲微分方程稳定性的定义文献 1 6 - 2 叫研究了脉冲系统周期解 的存在性和稳定性等等但这些结论仅仅是一些连续系统结论的相应平移，很难应用于实 际问题的解决 自上世纪八十年代末以来，越来越多的学者关注并研究了脉冲微分方程及其应用，得 到了可喜的成果 2 t - 冽但对于脉冲效应下的离散系统的研究成果甚少一些科研工作者 相继投入到这方面的研究，如文献州研究了解的振动性本文根据许多种群的出生具有 季节性的特点建立具生育脉冲的单种群阶段结构离散模型，运用离散动力系统的相关理 论和非线性分析的方法，研究所建立模型的复杂的动力学行为 常见的传染病动力学模型有：常微分系统 3 1 - 3 3 1 ，偏微分系统日4 - ，时滞微分系统 3 6 , 3 e ，脉冲微分系统m “以及时滞脉冲微分系统本文第三章研究在脉冲效应下的传染 病模型，利用脉冲微分方程理论，研究模型无病周期解的全局稳定性、系统的持久性和复 高淑京：脉冲效应下种群动力系统和传染病模型的研究 杂性等问题上述前四类模型的研究成果比较多，但关于脉冲时滞传染病模型的研究才刚 刚起步本文第四章主要建立具有脉冲预防接种的时滞传染病模型，研究它们的无病周期 解的全局吸引性和系统的持久性 下面给出一些有关脉冲动力学系统的基础知识【1 ，目和本文所要用到的一些定义和结 论阻，4 目， 1 1 脉冲微分荣缝 f i 孝虑由下列檄努方程孚 捺逮的系统： i d x ：，辑g ) ， ( i 1 1 ) 斑 “3 ”、。 其中，：r + n r “，n c i v 怒一个开集，舻魑n 维欧凡里落空间且m 是非负实数 集合； 啦) 繁会艇( 螃c n ，t 嚣+ ； ( i i ) 辫予a ( t ) ：m ( t 一蚴，t 丑+ 。 设。( e ) 一z ( t ，t 。，瑚是系缀( t 1 1 ) 以( t o ，# 。为劫值的解，谈黼的逶渤过程如下点 投一强# ) 获拐始位澄一t o ，粕) 舞嫠，漪饕夔绞 ( ，) ：t t o ，# ；。( ) 逅羲塞到 时刻t l t o 处点最_ i 鼓刘集合m ( t ) 在t = o l 处，算子a ( t ) 把点晶= ( t l ，( 0 1 ) ) 变换到 只? = ( t l , ) n ( t 1 ) ，其中。 ma ( t 1 ) x ( t 1 ) 然后点砖从p q = ( t l ，。 ) 开始继续沿着系 统( 1 1 1 ) 瓣粲基线。= 。( 亡t l ，$ ) 运动，誊裂在下一令辩刻t 2 t l 处遇誊l 爨禽掰( ) ，这 榉赢如一( t 2 ，z ( t 2 ) ) 爻黛换戮哎 = 2 ，霹) ( 赴) ，滚星豸= a ( 趣) # ( 2 ) 。鞠前面一样、 点韪双珞= ( t 2 ，。亨) 歼始继续淤着系统( 1 1 + 1 ) 的麟攘线x ( t ) = 。 2 ，。 ) 邀动，只要系 缓担1 t ) 戆鼹存在，靛霪麓上述避翟 我口1 把刻画上述演变过程的( i ) 一( i i i ) 统称为脉冲微分系统；由最所构成的曲线及用来 嫩义该曲线的函数分别称为积分曲线和解 髂潆檄努系统懿黪缝形式其露下残三静馕黟：8 ) 遴续函数，螽豢积分熬线奄集会m ( t ) 不相交或突于算子a ( 的不动点；( b ) 有有隈个第一类 张断点的努段连续醋数，如果积分 魏线与集合m ( t ) 交予窍蹶个髯子a ( t ) 趣菲举动点；( c ) 骞可数个第类阍断点静分段连 续舔魏魏麓积努蘧缓岛蹇合掰( 匐交予哥效令簿予a ( t ) 戆菲不凌意， 点n 与集合m ( t ) 相遇的时翔“被称为脉冲时刻我们总假设脉冲微分系统的解。 谯“，k = 1 ，2 ，处是意涟接的。即( t i ) = 。1 蜮。$ ( “一h ) = z ( 靠) 任意滚蕺接述辣跨凝分鬟缝瓣三令关系( i ) ，( * ) 黢( i i i ) ，黉嚣鼙褥弱苇麓瓣系雾墓下 馘我们介缁脉冲镦分方程的三种常见形式：筒定脒渖时剡的系统，变化脉冲捌的系统和 辣跨盎渗藜绽 2 大连理工大学博士学位论文 固定脉冲时刻的系统 假设集合m ( t ) 表示一系列平面t = “，这里m ) 是时间序列，且满足当一o 。时 缸一在t - “处按下列方式定义算子且得到算子序列 a ( ) ) ： a ( k ) ：n _ n ，z _ a ( t ) z = 。十“( 。) ， 这里i k ：n n 相应地n ( t ) 也仅仅在t = t k 处定义，有n ( k ) = ( 女) m ( ) 这样选择 m ( b ) ，n ( k ) 和a ( k ) ，一个在固定时刻发生脉冲的脉冲微分系统可描述为： 塞= 坤，吐 * ， ( 1 1 2 ) 【a x = h ( z ) ，t = k ，= 1 ，2 ，一， 其中，在t = t k 处，有a x ( “) = z ( t ) 一z ( 坛) 且z ( t ) 2 器z ( “+ ) 因此，系统( 1 1 2 ) 的 解满足： ( i ) 等= 巾，。( t ) ) ，t ( t k ，t m 】， ( i i ) a x ( t k ) = i k ( 。( “) ) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， 变化脉冲时刻的系统 假设 & ) 是由s k ：t = 亿( z ) ，= 1 ，2 ，且飞( 。) 0 ，对所有的j n 及t s 0 使得当0 t t 1 0 使得当0 t t l 0 使得对0 t t l j ，z 一。lj 6 内的所有也。) 均有t ( 。) ； ( 2 ) 对所有的k 兰l ，如= 飞p 1 ) 蕴涵着对所有的，l ，f 1 巧( z 1 + ( z 1 ) ) ； ( 3 ) 对所有的k 1 ，q c 1 【n ，( o ，) 且1 = “( 。1 ) 蕴涵着存在某个1 ，使得 t l = r j ( x l + i k ( x 1 ) ) 且 塑o - ( 7 。) - - f ( t 1 ，z ) 1 ， ( 1 2 5 1 其中，z j = z 1 + 厶( z 1 ) 则有 l i m l z ( t ) | 2 。- ( 1 26 ) 解的全局存在性 设，：耳矗“_ r ”，厶：舻_ 矗“，礓：r “一( o ，) 且对r n ，q 如) s 礓+ 1 0 ) ， 恕飞( z ) 2 。 定理1 2 4 假设定理1 2 2 的条件都满足，进一步我们假设系统( 1 2 1 ) 无c 鞭打，现 象，且有 ，( t ，z ) js9 ( f ，矧) ， z + 矗扛) i ! i 。l ， ( 亡，z ) r + r “ z r “ 其中g c 凰耳，耳】，对任意的丑+ ，9 ( ，u ) 关于u 是非减的 是下面方程在p o ，。o ) 上的最大解： ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 令u ( ) = u ( t ，t o ，u o ) 而d u ：9 ( f ，u ) ，“) ：咖o ， d 亡 7 、。，”、。”，一”o ” 则系统( 1 2 1 ) 的解z = 。( f ，。o ) ，f 跏f t o 的最大存在区间是【o o ) 定理1 2 5 著定理1 2 3 的假设条件成立。且对( ，。) 咒+ 月n ，有 【z ，( ，z ) ) + - = m ；l l 。+ ，( ，# ) j j 。| 】9 ( f ，j z ) ， j 。+ 矗( z ) js k j ，z 且“， 5 ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) 高淑京：脉冲效应下种群动力系统和传染病模型的研究 其中，g g ( r + x 日，矧，u ( ) = “( ，t o ，n o ) 是( 1 2 9 ) 在【t o ，o o ) 上的最大解则定理1 2 4 的 结论成立 有 解的唯一性、延拓性 定理1 2 6 如果函数，c r o ，r “】，9 c t o ，t o + a x f 0 ，2 b ，兄+ 】，且对( t ，。) ，( t ，y ) r o 这里砀= z ) ：t o tst o + n ，扭一z o l b i 进一步地，对任意的t o 茎t 4 t o 使得初值问题( 1 2 1 4 ) 一个解x ( t ) ：( t o ，卢) 一r “存在 进一步地，如果函数f 在rxn 内关于x 是局部l i p s c h i t z 连续的，则这个解是唯一的 定理1 2 8 若下列条件成立： ( i ) 函数，：r n 一舻在集合h ，+ l 】n ( k z ) 上是连续的，且对每一个k z 及z n ，当( t ，y ) 一h ，。) ，t 亿时，f ( t ，y ) 存在有限的极限； ( n ) 设v ( t ) ：( o ，卢) 一r “是系统( 1 2 1 4 ) 的一个解； 则解l p ( e ) 可延拓到卢的右侧当且仅当下列极限存在： 且下列条件之一成立： 。骧妒8 ) 6 大连理工大学博士学位论文 ( ) 对每一个z ，芦氏，且q n ； ( b ) 对某个k z ，卢= n ，且q + “( 1 ) n 定理1 2 9 若下列条件被满足： 1 定理1 2 8 的条件1 仍然满足； 2 函数f 在r n 内关于x 是局部l i p s c h i t z 连续的； 3 对每一个k z ，”+ 厶( q ) n 且q q ； 则对任意的( o ，z o ) r n ，一定存在初值问题( 1 2 1 4 ) 的唯一解，它定义于区间( t o ，u ) 内， 且不能延拓到u 的右侧 假设定理1 2 9 的条件均满足，( t o ，z o ) r q ，j + = j + ( t o ，x 0 ) 表示解( t ；t o ，z o ) 的形 如( t o ，u ) 的最大存在区间 定理1 2 1 0 假设下列条件被满足： 1 定理1 2 9 的条件1 ，2 及3 均成立； 2 妒( ) 是初值问题( 1 , 2 1 4 ) 的一个解； 3 存在一个紧集q c q ，使得当t j + ( t o ，z o ) 时，学( ) q ； 假设妒( t ) ：( a ，u ) 一r “是系统( 1 1 2 ) 的一个解，下面考虑该解在a 的左侧的延拓性 如果a ( k z ) ，那么在a 左侧的延拓性可如常微分方程那样解决，在这种情形 下，当且仅当下列极限存在，延拓才能够进行： 如果对某个z ，o = ，当极限( 1 2 1 5 ) 存在且方程z - i - “( z ) = q 有唯一解x k n 时，解妒( t ) 可延拓到h 的左边在这种情形下，妒( ) 延拓后的函数妒( ) 在区间溆一1 ，礓 上 与下列初值问题的解重合： j 警= f ( t ， 0 ，存在6 0 ， 使得如果z 只z ；0 1 ，t 2 “】n f 0 ，卅，且l t l 一t 2 l 6 ，则有i z ( 1 ) 一z ( 0 2 ) i 0 ，使得对任意的x ，均有忪怯c ； ( 2 ) ，在 0 ，卅上是拟等度连续的 考虑下面的脉冲微分系统： = ，( t ，z ) = i k ( z ) ， = z 0 ， “ t = t k ( 1 ) 0 l f 2 t k ，且“_ 0 0 _ o 。) ； ( 2 ) 函数，：r + r “一r “在( “划r “上连续，且对每个。r n ，k = i ，2 ， 极限 u m ，( t ，y ) = ，( t ，z ) 存在； ( t ，) _ ( o ：) “ ( 3 ) 厶：r “一胛 定义1 3 2 我们称函数v ：r + r n r + 属于集合，如果 ( a ) v 在( “圳r ”上连续，且对每个z r “，k = 1 ，2 ，极限 y ( t ，y ) = ( ，卜( ，z ) v ( ，z ) 存在； ( b ) v 关于x 满足局部l i p s c h i l ；z 条件 8 生盘埘 ，i；0隆条的面f台符 d & 统系 大连理工大学博士学位论文 对任意的( t ，。) ( 2 k “圳r “，v ( t ，z ) 关于脉冲系统( 1 3 1 ) 的上右导数定义为： d + y ( ，z ) = l i r a s u p 亡i v ( t + h ，z + h f ( t ，z ) ) 一y ( t ，z ) ( 1 , 3 2 ) o + ” 类似地可定义脉冲系统( 1 3 1 ) 的下左导数为： d y ( t ，z ) = 1 普笋i 【y o + ，z + h f ( t , x ) )