（应用数学专业论文）灰色马氏链预测方法及其在水文序列中的应用研究.pdf

摘要 摘要 文章首先介绍了水文序列预测方法的研究现状。水文序列预测研究方法很多 这里主要介绍了两种预测方法：马尔可夫链预测方法和灰色模型g m ( 1 ，1 ) 预测方 法。随后提出了灰色马尔可夫链模型。 用一种方法预测时，在接受该方法优点的同时，又接受该方法的缺点。以往 人们大都采取对数据进行预处理以及对结果进行残差修正等对模型本身进行优 化，而这些措施虽然可以起到一定作用，但都难以摆脱方法本身固有的局限性。 灰色预测的主要特点是对于数据序列较短的单调数据序列预测效果较好，不适合 预测随机波动较大的数据序列。本文重点介绍了四种修正的g m ( 1 ，1 ) 模型； g m ( 1 ，1 ) 残差灰色修正模型，g m ( 1 ，1 ) 非等间隔残差灰色修正模型，g m ( 1 ，1 ) 残差 马尔可夫链修正模型( 即灰色马尔可夫链模型) ，g m ( 1 ，1 ) 非等间隔残差灰色马尔可 夫链修正模型。与传统的g m ( 1 ，1 ) 模型相比较，灰色马尔可夫链预测模型精度最 高，其次是g m ( 1 ，1 ) 非等间隔残差灰色马尔可夫链修正模型。 用灰色模型预测曲线来反映水文数据的发展规律，用马尔可夫链模型来反映 波动规律，对其结果进行优化，给出预测值的大体范围，两者相结合能很好地解 决了实际问题。 关键词：马尔可夫链，g m ( 1 ，1 ) ，灰色马尔可夫链模型，非等间隔残差 a b s t r a c t a b s t r a ct f i r s t l yt h ea r t i c l ei n t r o d u c e st h ec u r r e n ts i t u a t i o no ft h em e t h o d s o fp r e d i c t i n gt h e h y d r o l o g ya r r a y t h e r ea r em a n yp r e d i c t i o nm e t h o di np r e d i c t i n gh y d r o l o g ya r r a y t h ea r t i c l em a i n l yi n t r o d u c e st w ok i n d so fp r e d i c t i o nm e t h o d s ：m a r k o vc h a i n p r e d i c t i o nm e t h o da n dt h eg r a yp r e d i c t i o nm e t h o d t h e ng r a ym a r k o vm o d e l i s d e s c r i b e d w h e nu s i n go n ek i n d o fm e t h o dt o f o r e c a s t ，a c c e p t i n g t h em e t h o d a d v a n t a g e ，a n da c c e p t i n gi t ss h o r t c o m i n g m o s t l yp e o p l eo f t e nh a n d l ei na d v a n c ea n d c o r r e c tr e s i d u a lt oo p t i m i z em o d e l i ti sd i 伍c u l tt os h a k eo f fi n h e r e n tl i m i t a t i o no f o n em e t h o d ，a l t h o u g ht h e s em e a s u r eh a v eac e r t a i n 、v a l u e i t sm a i nc h a r a c t e r i s t i ci s t h a tt h er e s u l t sa r ed e s i r a b l e ，w h e np r e d i c t i n gs h o r ta n dm o n o t o n ed a t as e r i e s ，a n di s n o ta d v a n t a g e dt op r e d i c tr a n d o m n e s sa n dg r e a tc h a n g e dd a t a t h ea r t i c l ei n t r o d u c e s s o m em e t h o d so fi m p r o v e dg m ( 1 ，1 ) ，a n da d v a n c e sg m ( i ，1 ) r e s i d u a lg r a ym o d e l ， g m ( 1 ，1 ) n o n e q u a li n t e r v a lr e s i d u a lg r a ym o d e l ，g m ( 1 ，1 ) r e s i d u a lm a r k o vc h a i n m o d e lw h i c hm e a n sg r a ym a r k o vc h a i nm o d e l ，g m ( 1 ，1 ) n o n e q u a li n t e r v a lr e s i d u a l g r a ym a r k o vc h a i nm o d e l i ts h o w st h a tt h ep r e d i c t i n ge f f e c to fg r a ym a r k o vc h a i n m o d e li st h eb e s tt h r o u g hc o n t r a s t i n gt h e m t h es e c o n di st h eg m ( 1 ，1 ) n o n e q u a l i n t e r v a lr e s i d u a lg r a ym a r k o vc h a i nm o d e l g r a ym o d e lf o r e c a s t i n gc u r v es h o w st h ed e v e l o p i n go fh y d r o l o g ya r r a y ，m a r k o v m o d e lr e f l e c tt h ev o l a t i l i t yl a wa n dt h e no p t i m i z et h er e s u l t t h es c o p eo fp r e d i c t e d v a l u ei sg i v e n b yt h ec o m b i n a t i o no ft h et w om e n t i o n e da b o v e ，t h ep r a c t i c a lp r o b l e m i ss o l v e d k e yw o r d s ：m a r k o vc h a i n ，g m ( 1 ，1 ) ，g r a ym a r k o vc h a i nm o d e l ，n o n e q u a li n t e r v a l r e s i d u a l 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同 事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：一砖艰 学位论文使用授权说明 刎年乡月 日 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊 ( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被 查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究 生院办理。 论文作者( 签名) ：乡砖砖 瑚年弓月 e l i一 第一章绪论 第一章绪论 1 1 水文序列预测方法的研究现状 新中国成立5 0 多年来，我国的水文预报工作从无到有、由点到面迅速发展起来。 上世纪5 0 、6 0 年代学习、吸收原苏联和美国的洪水预报方法，为我国水文预报工作奠 定了基础。7 0 、8 0 年代，开始对不同区域的降雨径流关系进行研究，同时成功地开展 了流域水文模型的研究和应用。9 0 年代，随着计算机在水文预报领域中的推广和水文 模拟技术水平的提高，我国在水文预报方法、预报系统建设和新技术应用等方面有了 很大的提高。由于水文循环过程及其空间变化的复杂关系和作用关系的非唯一性，水 文系统一般具有非线性、时变、不确定的特点。水文复杂性所表现的非线性特点反映 了自然界不断变化的水循环系统的本质规律，促使人们注意研究水文系统的非线性问 题“1 。由于水文现象本身的复杂性，目前还很难用物理方法对水文现象进行描述，人们 主要借助数理统计方法以及其它的一些不确定性方法来描述水文现象，以弥补物理方 法的不足，其中时间序列分析在水文模拟和预报中起着重要的作用。水文序列的分析 与预测已有多种方法与模型，主要有传统的时间序列分析方法及随机水文理论、模糊 分析方法、灰色系统方法、马尔可夫链方法、信息熵分析方法、混沌理论分析方法、 小波分析方法、人工神经网络方法等。 1 1 1 传统时间序列分析方法、随机分析方法及其他方法 时间序列分析方法最早起源于1 9 2 7 年，数学家耶尔提出建立自回归( j 模型来 预测市场变化规律。随后，在1 9 3 1 年另一位数学家瓦尔格在a r 模型的启发下，建立 了滑动平均( m a ) 模型和自回归、滑动平均( a r m a ) 混合模型，初步奠定了时间序列分 析方法的基础。n 2 0 世纪7 0 年代以后，随着信号处理技术的发展，时间序列分析方法 不仅在理论方面都得到了许多改进，逐渐成为分析随机数据序列不可缺少的有效工具 之一。时间序列是指同一种现象在不同时间上的相继观察值排列而成的一组数字序列。 时问序列预测方法的基本思想是：认为预报对象随时间变化的过程中，任一时刻的变 化和前期变化有关，利用这种关系建立适当的模型来描述变化的规律性，然后利用所 建立的模型作出预报对象未来时刻的预报估计。现实中的时间序列的变化受许多因素 的影响，有些起着长期的、决定性的作用，使时间序列的变化呈现出某种趋势和一定的 规律性，有些则起着短期的、非决定性的作用，使时间序列的变化呈现出某种不规则 性。时间序列预测法可以分为确定时序预测法和随机时序预测法。确定时序预测法是 利用反映事物具有确定性的时间序列数列进行预测的方法，包括平均数法、指数平滑 法、趋势外推法、季节指数预测法。随机时间序列预测法将预测对象随时间变化形成 河海大学硕士学位论文 的序列看作是一个随机序列，是依赖于时间t 的一族随机变量，代表模型是b o x - j e n k i n s 模型。该模型具体分为自回归模型、滑动平均模型、以及自回归滑动平均模型。 传统的水文预测方法主要以随机理论为基础，随机水文学是水文水资源学科中成 功引用随机分析方法的重要领域之一。周文德认为，由于自然界中的水文现象非常复 杂，要精确地说明它的规律，解释它的现象是相当困难的，最恰当的方法是将随机数 学的理论与实际问题的物理过程联系起来，这就是所谓的随机水文学。丁晶与邓育仁 比较系统地综合了随机水文学领域的基本理论和方法以及研究成果，随机分析的方法 广泛用于水文预报、水文计算、水文频率计算、水文风险分析及各种水文随机模型之 中但致命缺点是参数估计的复杂性，尤其是滑动平均模型。 陈守煜认为，水文水资源系统中许多概念的外延存在不确定性，对立概念之问的 划分具有中间过渡阶段，这些都是典型而客观存在的模糊现象，为此，他提出了“模 糊水文学”的新概念。 邓聚龙提出了部分信息已知部分信息未知的灰色现象概念，灰色系统预测理论的 基本思路是将已知的数据序列按照某种规则构成动态的或非动态的白色模块，再按某 种变换或解法来求解未来的灰色模型，在灰色模块中再按照某种准则，逐步提高白度， 直到未来发展变化的规律基本明确为止”。灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信 息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息。夏军提出了灰色系统水文学。 马尔可夫过程是研究一个系统的状态及其转移概率的理论。即通过对不同状态的 初始概率以及状态之间的转移概率的研究，来确定状态的变化趋势，从而达到对未来 状态进行预测的目的。马尔可夫链预测要求的状态数量较少，例如某量“增加”或者 “减少”，企业经营状况“好”或者“坏”。 此外，对单变量模型，人们还提出了“门限自回归模型州”“随机方差模型”、 “双线性过程”、“平滑转换和混沌模型”、“人工神经网络逼近”等模型“。对多 变量模型还有“一般动态回归”、“多变量回归”、“向量自回归”、“共同周期趋 势分析”等理论o “”。 1 1 2 多种不确定性方法及其耦合 虽然水文序列的预测有很多方法，在水文水资源科学中，通常采用随机分析法、 模糊分析法和灰色分析法来处理各种不确定性。随机分析法处理研究对象发生与否的 不确定性( 随机性) ，研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不确定”现象 的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果 发生的可能性大小，其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布“”；模糊分析 法处理研究对象概念的不确定性( 模糊性) ，研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有“内涵明确，外延不明确”的特点。模糊数学主要是凭经验借助于隶属函数进行 处理。灰色分析法处理研究对象信息量不充分而出现的不确定性( 灰色性) 。 但是随机性、模糊性和灰色性往往共存于所研究的对象和问题之中。为了综合分 第一章绪论 析不确定性，提高计算、预测和决策的可靠性，一般采用各种分析方法结合的耦合途 径。h a l d a n 等人为了将模糊分析和随机分析结合起来，利用嫡的原理将以模糊描述的 不确定性转换成等价的以随机描述的不确定性。陈守煜等将模糊集理论引人随机模型， 提出模糊典型解集模型。冯宛平等将灰色分析引入统计回归，提出灰色回归分析。杨 叔子等将灰色模型和随机模型有机地结合起来，成为一种新型结合模型，以用于预 测。袁嘉祖考虑状态具有灰色性，提出灰色马尔可夫链预测模型。夏军将隶属度函数 看作是灰色的，而将灰色集理论和模糊集理论结合起来分析。刘光吉等利用模糊数学 和灰色系统理论对不严格具有无后效性的马尔可夫过程进行描述，提出了模糊灰色马 氏过程的新模式，丁晶等利用这一模式对山西省汾河水库的五日洪量作出预测。提高 了预报精度。陈守煜将水文成因分析、统计分析、模糊集分析有机的结合起来，提出 了中长期水文预报的综合分析理论模式与方法，为提高中长期水文预报的精度提供了 一条值得探索的新途径m 。 由于水文预报的高度复杂性，单一模型难以独自解决，因此，应将多种方法联合， 扬长避短，以达到更高的预报精度、耦合方法研究在水文预报中的应用前景是广阔的、 有意义的。 1 2 本文涉及到的两种主要预测方法 马尔可夫链预测方法和灰色预测方法。 1 2 1 马尔可夫链简介及其应用情况 由中南大学和北京师范大学联合举办的2 0 0 6 “马尔可夫过程及相关论题”国际学 术研讨会于2 0 0 6 年8 月召开。这次大会是为了纪念著名的俄国数学家、马尔可夫过程的 创立者a am a r k o v i 延辰1 5 0 周年和马尔可夫过程概念提出1 0 0 周年而举办的。会议期 间，一批国际知名的学者和国内该领域的大部分专家如王梓坤院士、严加安院士、陈 木法院士等在内的6 0 余位从事马尔可夫过程及相关领域的知名学者到会并作学术报 告。 马尔可夫链，因安德烈马尔可夫( a a m a r k o v ，1 8 5 6 1 9 2 2 ) 得名，是数学中具 有马尔可夫性质的离散时间随机过程。他开创了对一种无后效性的随机过程的研究， 即在已知当前状态的情况下，过程的未来状态与其过去状态无关，这就是现在大家耳 熟能详的马尔可夫过程( m a r k o vp r o c e s s ) “马尔可夫过程的理论研究起源于生产科 学、科研中的实际问题，其理论产生于本世纪的初期，特别是在1 9 2 9 年由柯尔莫哥洛 夫奠定了概率论的数学基础后，随机过程得到了更快更深刻的发展0 1 。随机过程论是数 学( 概率) 的一个分支，它的任务是研究随机过程中的数量关系。1 9 2 9 年，前苏联数 学家柯尔莫哥洛夫建立了在测度论基础上的概率论公理系统、奠定了近代概率论和随 机过程论的基础后，随机过程理论的研究得到了更快、更好地发展，对实际生产生活 也起到了极大的推动作用“”。1 9 5 3 年，j l d o o b 的名著随机过程论问世；这本 书系统严格地叙述了随机过程的主要理论。这种过程的理论近年来得到了很大地发展。 3 河海大学硕士学位论文 6 0 年代，中国学者在平稳过程，马尔可夫过程、鞅论、极限定理等方面也做出了一定 的贡献“”。 参数和状态都离散的马尔可夫过程称为“马尔可夫链”。马尔可夫链预测法，就 是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测 其将来各个时刻( 或时期) 变动状况的一种预测方法。对事件的全面预测，不仅要能 够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。 由于马尔可夫链( 以下简称马氏链) 理论的研究已经很成熟，因此国内学者大多 把其应用作为新的研究对象。马尔可夫链预测理论在教育学、经济学、金融投资、生 物学、农业、水资源科学中都得到了极为广泛地应用。 马尔可夫链预测在教学质量评估上的应用。教学质量评估的数学模型，注重的是 整个教学过程的发展变化。由于学生来源各异，基础不同，因此仅依学生成绩直接来 评价教师的教学质量是有很多片面性的。因为不同的教师所面对不同班级的学生，这 些学生之间必然存在着知识基础等各方面的差异，这些差异肯定影响着学生的最后考 试成绩。所以要客观评价教师的教学效果，必须剔除学生差异这一因素，于是我们采 用马尔可夫链评价法。在教学效果指标的量化过程中，马尔可夫链评价法是将一个班 级的学生在某次考试中的成绩分等。然后以某班学生第一次考试的成绩作为初始状态 考察第二次考试的变化状况，说明教师在这期间的教学效果，从而可比较不同教师的 教学质量。在学生原有基础存在差异的情况下，解决了施教后仅以学生考试成绩评估 教学质量引起结论偏颇的问题”“。 利用马氏链可以对股票的价格进行分析和预测。预测股票价格取到某个区间的 概率分布、平稳分布，股票价格的均值以及股票价格的平均涨落时间瞰1 。股票价格短 期内具有一定的趋势特征，研究股价从过去到现在的变化状况，可以预测股价未来的 走势，从而可以做出投资决策，这对于股票投资者来说无疑具有现实意义。 马尔可夫链计算方法在传染病疫情预测预报中的应用。通过应用设定参数的马尔 可夫链模型，逐年分析既往疫情资料确定各状态的取值范围和状态划分，求出一阶转 移概率矩阵。用马尔可夫链进行预测，预测的结果是区间估计，虽使预测的相对误差 降低却提高了预测的准确度，在疫情预测中具有实用价值咖。 马尔可夫链方法还可以预报草原蝗虫、预测汽车车祸发生、预测宁南旱情等”“。 另外，马尔可夫链在近代物理、公共事业、大气科学各个领域都有应用。 1 2 2 灰色系统简介及其应用情况 1 9 8 2 年，邓聚龙教授首先提出了灰色系统预测的概念。灰色系统是指部分信息已 知，部分信息未知的系统；灰色系统预测理论的基本思路是将已知的数据序列按照某 种规则构成动态的或非动态的白色模块，再按某种变换或解法来求解未来的灰色模型， 在灰色模块中再按照某种准则，逐步提高白度，直到未来发展变化的规律基本明确为 止。灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息问的关系，即研究如何利用己知信 4 第一章绪论 息去揭示未知信息。灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面。其基 础是建立模型，通常为一阶单变量模型和一阶多变量模型。灰色预测的主要特点就是 模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列，其对于数据序列较短的单调数 据序列预测效果不错1 ，g m ( 1 ，1 ) 模型是指一阶、一个变量的微分方程预测模型。 灰色系统理论经过2 0 多年的发展，已经在城市生活、电力、农业、经济、教育等 领域得到了广泛的应用。 灰色系统在电力上的应用。电力系统是一个典型的灰色系统，负荷的变化受经济、 政策、气候等多种因素的影响，具有典型的灰性。而利用灰色生成后的数据进行灰色 建模，得到一个指数模型，也基本上符合电力发展的规律，因为电力系统是一种广义 的能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。像陈志业、孙辉等一批学者就将 灰色预测理论运用于电力负荷预测中，并得到了比传统的负荷预测方法更好的结果1 。 灰色系统在水资源上的应用。城市的快速发展与水资源之间的关系很密切。城市 发展是一个动态过程，影响这个过程的因素较多，而且影响的程度也各不相同。同时， 水资源的利用情况也同诸多因素有关。为了正确反映城市发展与水资源利用之间的关 系，需要建立反映城市发展和水资源利用的综合指标关系的模型。灰色系统理论对统 计数据的量并没有规定，并且注重动态信息韵开发，在对离散函数的性质进行研究的基 础上，实现了对离散数据建立微分方程的动态模型，即灰色模型。在统计资料十分有 限的情况下，运用灰色系统理论对统计数据建立了相应模型。运用灰色系统理论对城 市发展和城市水资源利用之间的关系进行了分析“1 。 灰色系统在农业上的应用。河北是农业大省、人多地少，粮棉争地矛盾突出，再 加上纺织工业发展迅速，棉花需求量增大，单靠扩大植棉面积来提高总产，在耕地逐 渐减少的河北省来说，是非常困难的。只有以提高单产来增加总产才是较为理想的途 径。对棉花来说大幅度提高单产是完全可能的。为了解河北省棉花产量变化的规律， 明确今后育种工作的目标和前景，利用灰色系统理论的g m ( 1 ，1 ) 模型，依据1 9 8 0 2 0 0 3 年河北省审定的棉花品种的区域试验产量，建立预测模型。并在生产因素保持相对稳 定的条件下，据此模型对河北省棉花生产进行规划性预测，为生产的规划与决策提供 科学信息。 灰色系统在经济指标预测上的应用。经济指标的准确预测是国家对宏观经济正确 调控的必要前提，但经济系统是一个非常复杂的系统，其中存在着时变的、非线性的、 不确定性的作用关系。运用灰色系统理论，以江西省2 0 0 0 年至2 0 0 5 年g d p 数据及各产业 相应的数据为原始数据，建立了江西省g d p 预测的灰色模型，并据此模型进行预测，同 时利用灰色关联分析，分析了江西省第一、二、三产业对国内生产总值的影响。 灰色系统在素质教育上的应用。大学生素质教育效果与大学生的学习成绩、大学 生的发明创造能力、大学生的社会活动能力、大学生的文体能力等诸多因素有关，但是 各个因素之间的相互关系不完全清楚，作用原理不完全明了，以及许多因素未知等。 这就说明了大学生素质教育效果评价系统是由许多因素组成，该系统部分信息已知，部 河海大学硕士学位论文 分信息未知。因此，大学生素质教育效果评价系统是属于灰色系统。应用灰色系统理 论去分析大学生素质教育效果评价系统，从而能使大学生素质教育效果评价系统正常 运行。 i 3 灰色马尔可夫链模型的提出及其应用情况 现在常用的预测方法主要有时间序列法、灰色系统模型法、回归分析法、模糊分 析方法、马尔可夫链方法、小波分析方法、人工神经网络方法等。实际上，在选择了 某种预测方法的同时，既接受了该方法的优点，又默认了该方法的缺点。如何能够取 其精华去其糟粕，使方法更好地满足预测对象特点的需要，一直是学者讨论的重点。 陈有孝，林晓言在文中提到：灰色模型预测由于其原始数据的起伏性和无序性，且原 始数据的个数有限，难以将预测带限制在一个较小的范围之内，导致灰色预测模型在 大多数情况之下是粗糙的。这种模型还要求累加生成的数据列有指数性质，这样才能 用微分方程拟和，而一个非负的时间序列其累加生成的数列未必具有指数规律，这就 导致总是利用指数方程进行拟和的灰色模型容易产生很大的误差。他认为这些问题可 以通过对灰色预测模型的结果进行马尔可夫链改进来提高其预测的准确性。 国内外学者专家在灰色模型基础上，进一步运用马尔可夫链模型对其结果进行优 化，即用灰色模型预测曲线来反映其发展规律，用马尔可夫链模型来反映波动规律， 给出预测值的大体范围，两者相结合却很好的解决了实际问题。 灰色预测适合于时间短、数据量少和波动不大的系统对象，而马尔可夫链理论适 用于预测随机波动大的动态过程。结合灰色预测和马尔可夫链理论的优点，提出灰色 马尔可夫链模型。该模型针对灰色数据序列首先建立g m ( i ，1 ) 模型进行趋势预测，然后 利用马尔可夫状态概率转移矩阵预报方法对其预测值进行二次拟合，即对于g m ( i ，1 ) 模型得到的预测结果，我们可以根据马尔可夫链的方法获得g m ( 1 ，1 ) 模型在已知年份 里的偏差规律( 即偏差的状况转移矩阵) ，并且依照此规律对g m ( 1 ，1 ) 模型结果进行 修正，由g m ( i ，1 ) 模型结果的一个预测数值，修正成为区间和概率组成的预测范围， 增加预测的可信性“”。提高波动性较大的随机变量的预报精度。 灰色马尔可夫链模型也在很多领域得到应用。如网络规划、交通运输、航空安全、 农业与气象、电力供需、水文预测等m 。 灰色马尔可夫链模型在铁路货物运输上的应用。铁路货物运输是一个复杂的社会 经济系统，受到社会、经济、自然等多种因素的综合影响。由于人们的认识能力有限， 究竟哪些因素对货运生产起推动作用? 哪些因素起抑制作用? 各种因素的影响程度如 何度量? 等等，都难以明确地进行分析。例如，铁路货运量与固定资产投资、机车与 车辆运用、运输组织过程、季节更替等因素都有关系，而每一因素的影响程度难以清 晰地描述，各因素都具有似透明似不透明的特征。因此，为了能够更清晰地认识它、 研究它，我们把铁路货物运输系统抽象为没有物理原型、因素空间难以穷尽、行为轨 迹无法控制、信息不完全的灰色系统，据此可以进行灰色模型预测的研究。同时由于 6 第一章绪论 铁路货运量显著地无后效性的特点，正符合了马尔可夫链预测方法的基本前提“1 。因 此用灰色马尔可夫链模型很好的解决了问题。 灰色马尔可夫链模型在道路交通事故上的应用。在道路交通事故灰色预测的基础 上，引入马尔可夫链预测理论，建立道路交通事故灰色马尔可夫链预测模型。道路交 通事故灰色马尔可夫链预测兼有灰色预测和马尔可夫链预测的优点，模型克服了随机 波动性数据对道路交通事故预测精度的影响，拓宽了灰色预测的应用范围。由于道路 交通系统是一个动态的时变系统，道路交通事故作为道路交通系统这一灰色系统的行 为特征量，它的发生呈现某种变化趋势的非平稳随机过程。利用灰色预测和马尔可夫 链预测各自特点建立道路交通事故的灰色马尔可夫预测模型，用灰色预测来揭示道路 交通事故时序变化的总体趋势，用马尔可夫预链测来确定状态的转移规律。道路交通 事故灰色马尔可夫链预测模型能够有效地利用道路交通事故历史数据给予的信息，提 高随机波动性较大的数据列的预测精度1 。 灰色马尔可夫链模型在空难事故预测上的应用。空难事故预测是航空安全评价和 决策的基础。用单因子系统云灰色s c g m ( i ，1 ) 模型拟合系统的发展变化趋势，并以此 为基础进行了马尔可夫链预测。对1 9 7 9 2 0 0 3 年全球空难人数进行了预测分析，模型 既能揭示了空难人数变化的总体趋势，又能克服了随机波动性数据对预测精度的影响， 具有较强的工程实用性。目前用于事故预测的方法主要有：回归模型法、经验模型法 和灰色预测法。采用回归模型和经验模型需要大量的历史数据，而由于航空系统是一 个动态的时变的系统，空难人数数据量少且呈现某种变化趋势的非平稳随机过程，故 它们不适合空难人数的预测。采用灰色模型的预测精度仍不理想，原因是模型要求数 据序列必须呈指数规律，而且对随机波动性较大的数据序列的拟合较差。结合单因子 系统云灰色模型和马尔可夫链理论的优点，运用灰色马尔可夫链模型，用灰色预测来 揭示空难人数时序变化的总体趋势，用马尔可夫链预测来确定状态间的转移规律，提 高随机波动性较大数据列的预测精度。 灰色马尔可夫链模型在农业与气象的预报服务中的应用。在农业与气象的预报服 务中，对一些序列波动较大的预测问题，很难作出准确的预报，服务效果较差。如棉 花作物产量预报，其相邻年间产量起伏波动可达6 0 7 6 以上，而且棉花生育期长达6 个多 月，气象条件影响复杂，使用气候统计分析、产量要素分析等方法，预测准确率都不 高。多年来，农业与气象科技人员一直在探索引进一些预报方法，如灰色预测、马尔 可夫链预测等方法，但在实际应用中，也没有取得令人满意的效果。近年来，将灰色 预测与马尔可夫链预测结合起来使用，建立了宿州市棉花产量的预测模型，历史拟合 率小于4 5 ，1 9 9 9 、2 0 0 0 年试报准确率分别达9 7 8 和9 6 9 ，效果较为满意“”。 近几年，我国电力供需矛盾突出，对高峰负荷预测精确度的要求很高。采用电力 系统目前常用的某些预测方法如回归分析、神经网络法等。若样本较大，则计算复杂， 不易应用。若样本较小，常造成计算精度不高。采用马尔可夫链方法，用马尔可夫转 移矩阵预测未来状态，从而得出预测值区间，取区问中点，最终得到精度较高的预测 河海大学硕士学位论文 值。需很少的几个数据即可建立模型进行预测。可以很好地解决由于数据少而导致的 精确度不高的问题。但由于灰色模型的解为指数型曲线，其预测的几何图形是一条较 平滑曲线，对波动性较大的高峰负荷数据列拟和较差，预测精度较低。马尔可夫转移 矩阵适用于波动性较大的数据列预测问题，但它要求研究对象具有平稳过程等特点， 所以将二者结合起来，形成灰色马尔可夫链预测模型，对随机波动性较大的数据列进 行预测 1 4 研究的主要内容、创新点、技术路线 1 4 1 研究的主要内容 文章第一部分介绍了水文序列预测方法的研究现状，马尔可夫链理论和灰色系统， 并提出了灰色马尔可夫链模型。第二部分详细介绍了马氏链的基本理论，对马氏链的 预测方法进行研究，一般马氏链预测有三种方法；基于绝对分布的马氏链预测方法， 叠加马氏链预测方法，加权马氏链预测方法。本文还叙述了模糊状态划分方法及模糊 状态转移矩阵的求法，并介绍了模糊加权马尔可夫链模型在水文上的应用。第三部分 详细介绍了灰色系统的基本理论。第四部分介绍了对g m ( 1 ，1 ) 模型的几种改进，提出 g - m ( 1 ，1 ) 残差灰色模型，g m ( 1 ，1 ) 非等间隔残差灰色模型，灰色马尔可夫链模型、g m ( i ，1 ) 非等间隔残差灰色马尔可夫链模型。对比中阐明灰色马尔可夫链模型预测效果最好。 说明用灰色模型对数据结果进行残差修正，对模型本身进行优化，虽然可以起到一定 作用，但都难以摆脱方法本身固有的局限性1 。第五部分把灰色马尔可夫链模型应用 到水文序列预测上。第六部分对灰色马尔可夫链模型作了总结和展望。 1 4 2 创新点 1 提出了四种修正的模型：g m ( 1 ，1 ) 残差灰色修正模型，g m ( 1 ，1 ) j i e 等间隔残差灰 色修正模型，g m ( 1 ，1 ) 残差马尔可夫链修正模型( 即灰色马尔可夫链模型) ，g m ( 1 ，1 ) 非等 间隔残差灰色马尔可夫链修正模型。 2 通过实例分析得出结论：与传统的g m ( 1 ，1 ) 模型相比较，后两种修正的g m ( i ，1 ) 模型的预测精度都有不同程度的提高。其中g m ( 1 ，1 ) 残差马尔可夫链修正模型，即灰色 马尔可夫链模型预测精度最高，其次是g m ( 1 ，1 ) 非等间隔残差灰色马尔可夫链修正模 型。 3 提出了模糊加权马尔可夫链预测模型，并成功地应用到水文序列预测上。指出 了模糊加权马尔可夫链模型预测效果好，说明了多种方法相结合能提高预测精度。 1 4 3 技术路线 马尔可夫链和灰色系统理论研究一提出几种修正的灰色模型一实例分析一验证灰 色马尔可夫链模型的预测精度一实例应用一方法的改进 8 第二章马尔可夫链预测模型 第二章马尔可夫链预测模型 早在1 9 5 3 年b r o o k s 和c a r m t h e r s 曾在他们的著作中首次应用马尔可夫链分析晴雨逐 日变化1 9 6 2 年，g a b r i e l 和n e u m a n n 提出用一阶两状态简单马尔可夫链模式去研究 特拉维夫( t e l a v i v ) 逐日降水纪录洲。郑文瑞等研究了马尔可夫链理论在水污染状态风 险评价中的应用m ；冯利华、陈雄用马氏链预测理论研究了区域干旱的变化趋势”1 ； 冯耀龙，韩文秀研究了马尔可夫链在河流丰枯状况预钡4 中的应用；孙才志、张戈和 林学任研究了马氏链在降水丰枯状况预测中的应用嘀1 。1 9 8 6 年施永年、卢文芳利用马 尔可夫链理论对我国逐日降水过程的统计特征作了初步分析并讨论了马尔可夫链阶数 确定的一些问题瞰1 ；陈守煜对马尔可夫链在中长期水文预报综合分析中的应用作了系 统的研究嘲。可见马尔可夫链理论在水文序列预测上有广泛的应用。 在随机过程理论中，马尔可夫过程是一类占有重要地位、具有普遍意义的随机过 程。这类随机过程是由a a m a l k o v 在1 9 0 6 年开始研究的，故又名马氏过程。参数和 状态都离散的马尔可夫过程称为“马尔可夫链”。它的直观背景如下：设想有一随机运 动的系统( 例如运动着的质点等) ，它可能处的状态记为昂届，矗，总共有可 数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t = 0 ，1 ，2 ，一上改变它的状态。随着的运动 进程，定义一列随机变量五，h = o l ，2 ，其中“五= | | ，”表示在t = 一时，位于乓 一般 置，厅= 0 , 1 ，2 ， 未必是独立的“1 。实际中常常碰到具有下列性质的运动系统。 如果已知它在t = 弹时的状态，则关于它在甩时以前所处的状态的补充知识，对预言在 撑时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在已知的“现在”的条件下，“将来” 与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后 效性”嘲。 2 1 马尔可夫链的定义 定义2 1 若随机过程 墨，f n 满足条件： ( 1 ) 时间集合取非负整数集r = o ，1 ，2 ， ，对应每个时刻，状态空间是离散 集，记作e = o ，1 ，2 。即置是时间状态离散的。 ( 2 ) 对任意的正整数，m ，七及任意的非负整数石 五 五，( r e j 3 ，与相应的状 q 河海大学硕士学位论文 态“，1 j z ，下式成立 尸似m + 助2 “呷帕2 ，飙) 2 铲，硼i ) 2 ( 2 1 ) = p 圈如+ = o 防( 砷= ， 则称( 五，f 乃为马尔可夫链。 条件概率等式，意即五在时间m + k 的状态z 伽+ | 】 ) = “的概率只与时刻m 的状 态x ( m ) = 有关，而与m 时以前的状态无关，它就是马氏性的数学表达式之一1 。 定义2 2 状态转移概率矩阵的计算 尸 r ( 小+ d = l x ( 砷= = p 。k “= 爿以= 0 = 0 ( m ，七) ，i , j e e ( 2 2 ) 称为马尔可夫链 置，n t 在时刻m 的k 步转移概率，0 ( 小，k ) 表示“系统时刻m 时处 在状态i ，经k 步状态转移到达状态，的概率”。k = l 时，称为在时刻m 的一步转移概 率，记为p 置州= 儿k = n = 仇( 研) i , j e 。它表示在时刻肌取状态】0 = f 的条件 下，在时刻m + l 取状态以。_ - j 的条件概率。由于状态f 出发，经过一步转移后，必然 到达状态空间e 中一个状态且只能到达一个状态，因此一步转移概率既( 功应满足下 列条件： ( 1 ) 0 岛( m ) l ， i , j e ( 2 ) 鳓( m ) = 1 ，e d 定义2 3 如果固定时刻小r ，则由一步转移概率b ( m ) 为元素构成的矩阵。( 状 态空间e = 0 , 1 ，2 ) ) 置= p = ( 2 3 ) 称为在时刻肌的一步转移矩阵。 如果状态空间是有限集e = 0 , 1 ，2 埘则称 以，h = 1 ，2 ， 为有限马氏链。对应 的时刻m 的一步转移概率矩阵为 丑= p = p o o ( m ) 风i ( m ) p o i ( 历) a o ( m )a l ( ，1 ) a i ( m ) ii；i p o ( ，1 ) p i l ( m ) p ( 聊) 1 0 ( 2 4 ) 、，、，、， ；伽； a 所 ) ) ；仰；础础；蹦； 第二章马尔可夫链预测模型 如果马氏链的一步转移概率岛( m ) 与m 无关，即无论在任何时刻坍，从状态f 出发， 经过一步转移到达状态，的概率都相等。 p j ，m + l = 一以= f = 鳓， ( 埘= o ，l ，2 ； f ，_ ，d 此则称此马氏链为齐次马氏链。 对于齐次有限马氏链，一步转移矩阵为 只= p o op o l a op u p t o p t l 风i p l p ( 2 5 ) 为进一步讨论马尔司夫链的统计性质，我们给出栉步转移概率，初始概率和绝对 概率的概念。条件概率p 以。= ，慨= 毋称为马尔可夫链 五，一研； 蔓i f j ：y i j m 时的n 步转移概率，对于齐次马尔可夫链，它与聊无关，记为。 设 以，一0 为马尔可夫链，具有初始分布p o ( i o ) ，毛e ，且其珂步转移概率为 p ，厶j e e ，h 0 ： ( 1 p 盖j = ， ；p 。( f 。功，“；( 2 6 ) e e ( 2 ) 切普曼一柯尔莫哥洛夫方程= 碟力哆 ( 2 7 ) m 证明( 1 ) p 瓦2 ， 2 p 以动撼五2 乇) ) = p 以= x o = 毛) e f = p x o = i o p 以= j i 以= i o e = p o o o ) p ，们 e 记p 以= ，) 称为马尔可夫链在甩时的绝对概率分布，它被初始概率分布和甩步转 移概率所确定。 ( 2 ) 利用全概率公式及马尔可夫性，有 露2 p 工= _ ，i 工：= 母 ：旦坠三i 叠三丑 p x 。= f ) ：v ! ! 益三! 墨型三生圣：丛旦! 墨三! 益型三盟 匀p ( 以= 彳o = k )p ( 以= d 河海大学硕士学位论文 = p x 。+ 。= ，l 工。+ ，= ”p 石。+ ，= k i x 。= 毋 k e l = 力川 k g l = 硝力“ t e ， 此式称为切普曼一柯尔莫哥洛夫方程，简称为c k 方程。它在马尔可夫链的转移 概率计算中起着重要的作用。 以以o ) = p 以= n 为元素的行矩阵记为p 0 ) 2 ( 以( 1 ) ，以( 2 ) ，p 。( 加) ，由矩 阵的乘法规则，可得到如下的矩阵形式： ，0 ) = p ( o ) c ， ( 2 8 ) 若链是齐次的，则有 p ( n ) = p ( o ) 掣 ( 2 9 ) 这表明齐次马尔可夫链的有限维分布完全由它的初始概率和一步转移概率所决 定。因此，只要知道初始概率和一步转移概率，就可以知道马尔可夫链的统计特性。 2 2 三种马尔可夫链预测方法 文 5 7 在研究马尔可夫链预测方法时，提出了三种马氏链预测方法，即基于绝对分 布的马氏链预测方法，叠加马氏链预测方法和加权马氏链预测方法。 2 2 1 基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 ( 1 ) 计算指标值序列均值i ，均方差s ，建立指标值的分级标准( 确定马尔可夫 链的状态空间) ，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； ( 2 ) 确定观测值的状态，写出频数矩阵( ) j 小e 和一步转移概率矩阵( 乃) j 。， 其中石= ；l l ，当玎一a o 时，可用频数估计概率岛= 乃，从而得到一步转移概率矩阵 o 启= ( 以) ；同理可得不同滞时( 步长) 的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值 状态转移过程的概率法则。 ( 3 ) “马氏性”检验： 检验随机过程是否为马尔可夫性质是应用马尔可夫链模型的必要前提。通常离散 序列的马氏链可用z 2 统计量来检验。 1 2 第二章马尔可夫链预测模型 设所研究的序列包含肌个可能的状态，用坼) l ，。e 记为转移频数概率矩阵，将转 移频数矩阵的各列之和除以各行各列的总和，所得到的值称为“边际概率”记为皂 弘是 用e ( t j = e ) 表示转移概率矩阵元素。当肌较大时z 2 统计量 存2 l f f i l 善i m 考i j = lf ， 服从自由度为( m 一1 ) 2 的z 2 分布，给定置信度口，查表可得z ：( - i ) 2 ) 如果名2 大于 x ：( ( m 1 ) 2 ) ，则零假设被拒绝，即认为该序列具备“马氏性”。 ( 4 ) 已知时刻，时系统取各个状态的概率可视为马尔可夫链的初始分布，比如而取 状态2 ，m = 5 ，则初始分布置o ) = ( o ，1 ，0 ，0 ，o ) ，于是4 - 1 时的绝对分布 鼻。) = 只。) 只= ( p p ，p ：，硝舢，p f 4 ) ，硝5 ) 可认为时刻f + 1 时系统所取的状态j 满足西力2 懋仞： ，从而预测件f 时刻的 状态：可先求忍) = 霉= 耐”，妒，矿，萨) ，然后再依据时刻f + t 时刻的状态j 满足矗力2 懋耐0 来预测系统应取的状态。 2 2 2 叠加马氏链预