（计算数学专业论文）随机利率下生存年金理论的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 传统的保险精算理论为了简化计算，往往假定利率是确定的。但由于生存年金是一 种长期的经济行为，投保期间的政府政策、经济周期等因素都会造成利率的不确定性， 从而随机利率下生存年金理论的研究逐渐成为保险精算学研究的重点与热点问题之一。 目前，随机利率模型分为连续和离散两种。本文分别在这两种模型下，研究了生存 年金现值的一些统计性质，取得的结果可概括如下： ( 1 ) 讨论了连续利率模型下的生存年金。首先，对利息力分别采用w i e n e r 过程和 0 r n s t e i n u h l e n b e c k 过程建立模型，研究了相应利率模型下在保单各年度末等额给付的 定期生存年金保险，当保单数目趋于无穷时，每张保单平均成本的极限，证明了这一极 限随机变量依概率收敛于年给付额为1 的定期生存年金的现值，并得出了该现值分布函 数的近似表达式。然后，对利息力累积函数采用w i e n e r 过程建模，利用几何b r o w n i a n 运动积分的一些基本结果，给出了该利率模型下连续型生存年金现值各阶矩的一般表达 式，并在某些死亡分布下给出了现值各阶矩的简单表达式。 ( 2 ) 讨论了离散利率模型下的生存年金。为了使利率模型更加符合实际，本文利 用时阈序列理论，将已有的a r ( p ) 利息力模型和m a ( q ) 利息力模型进行推广，对各年的利 息力4 ( i = 1 ，2 ，) 建立条件稳定a r m a ( p ，q ) 模型以及广义a p d “a ( p ，q ) 模型，得出了这两类 模型下生存年金的精算现值。最后，根据所建立的模型和所得到的精算现值进行了实例 分析。 美麓调：随机利率：生存年金；现值；精算现值 随机利率下生存年金理论的研究 s t u d yo nt h et h e o r yo f l i f ea n n u i t i e su n d e r r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t a b s t r a c t u s u a l l yt h et r a d i t i o n a la c t u a r i a lt h e o r yi sb u s e do naf i x e di n t e r e s tr a t ew i t hap u r p o s et o s i m p l i f yc a l c u l a t i o n s h o w e v e r ，s i n c et h el i f ea n n u i t yi sal o n g - t e r me c o n o m i ca c t i o n ，t h e f a c t o r so fg o v e r n m e n tp o l i c ya n de c o n o m i cc y c l e sm a yc a u s ei n t e r e s tr a t et ob eu n c e r t a i n d u r i n gt h ep e r i o do fi n s u r a n c e s ot h es t u d yo nt h et h e o r yo f l i f ea n n u i t i e su n d e rr a n d o mr a t e s o f i n t e r e s th a sg r a d u a l l yb e c o m eo n eo f t h eh e a t e da n dm a j o r p r o b l e m so f a c t u a r i a ls c i e n c e c u r r e n t l y ，t h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e li sd i v i d e di n t ot w o ，c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e ， s o m es t a t i s t i c sp r o p e r t i e so ft h ep r e s e n tv a l u eo fl i f ea n n u i t i e su n d e rb o t hm o d e l sa r es t u d i e d i nt h i st h e s i s t h em a i nw o r k so b t a i n e dh e r ec a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) l i f ea n n u i t i e su n d e rc o n t i n u o u si n t e r e s tr a t em o d e la r ed i s c u s s e d f i r s t l y t 1 1 i st h e s i s d i s c u s s e st e m p o r a r y1 i f ea n n u i t i e s i m m e d i a t ep o l i c i e su n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ef o r c eo f i n t e r e s ti sm o d e l e db yw i e n e rp r o c e s so ro m s t e i n u h l e n b e c kp r o c e s s ，p r o v e st h a tt h el i m i to f a v e r a g ec o s to ft h ep o l i c i e st e n d si nd i s t r i b u t i o n t ot h ep r e s e n tv a l u eo ft e m p o r a r yl i f e a n n u i t i e s i m m e d i a t ew h e r ep a y m e n t sa r eo n ew h e nt h en u m b e ro ft h ep o l i c i e sa p p r o a c h e s i n f i n i t y ，a n dm e a n w h i l eo b t a i n st h ea p p r o x i m a t ef o r m u l ao fd i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h e p r e s e n tv a l u e s e c o n d l y ，u n d e rt h ef o r c eo fi n t e r e s ta c c u m u l a t i o nf u n c t i o nm o d e l e db yw i e n e r p r o c e s s ，t h r o u g h a p p l y i n gt h ef u n d a m e n t a lr e s u l t so nt h ei n t e g r a lo fg e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o n a l lo r d e r sm o m e mo fp r e s e n tv a l u eo fc o n t i n u o u si i f ca n n u i t i e sa l ec a l c u l a t e da n dt h e c o n c i s ee x p r e s s i o n so fa l lo r d e r sm o m e n to fp r e s e n tv a l u ea r eg i v e nu n d e rc e r t a i nm o r t a l i t y d i s t r i b u t o n ( 2 ) l i f ea r m u l t i e su n d e rd i s c r e t ei n t e r e s tr a t em o d e la r ed i s c u s s e d i no r d e rt om a k et h e i n t e r e s tr a t em o d e lm o r er e a l i s t i c ，t h ee x i s t i n ga r ( p ) m o d e lo ff o r c eo fi n t e r e s ta n dm a ( q ) m o d e lo ff o r c eo fi n t e r e s ta r ei m p r o v e du s i n gt i m es e r i e st h e o r y c o n d i t i o n a ls t e a d y a r m a ( p ，q ) m o d e la n dg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a la r m a ( p ，q ) m o d e la r ep r o v i d e df o rt h ef o r c e o fi n t e r e s to fe v e r yy e a r4 ( i = l ，2 ，) a n dt h ea c t u a r i a lp r e s e n tv a l u eo fd i s c r e t el i f e a n n u i t i e sa r ed e r i v e du n d e rb o t hm o d e l so ff o r c eo fi n t e r e s t f i n a l l y ，ac a s ea n a l y s i si s p r e s e n t e db a s e do nt h ea b o v em o d e l sa n d a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u e k e yw o r d s ! r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t t l i f ea n n u i t i e s ：p r e s e n tv a l u e * a c t u a r i a l p r e s e n tv a l u e 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 犬连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硬士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：塑查竺 导师签名：圭叠堕! ! ! ! ! 年立月血日 大连理工大学硕士学位论文 绪论 0 1 利率波动性概述 利率波动是市场经济国家所具有的普遍金融现象。 就我国来说，利率市场化是当前经济发展的客观要求，同时也是适应加a w t o 的 需要。我国利率波动与国际市场利率变化的趋同性将进一步增强，这对我国的利率政策 提出了挑战。 利率波动无疑会带来利率风险，然而，在我国内地，无论是各级政府财政、企业， 还是金融机构，利率风险长期不受重视。客观上，由于带息资产和带息负债数量不大， 加上国家长期实行固定利率制度，每次利率都由国务院决定，通过中国人民银行公布， 且利率变动幅度都较小。因此，人们往往不考虑利率风险。 但是，近l o 年来，特别是最近几年，随着经济的发展和金融改革的深入，我国内地 的带息资产大幅度增加，其中重要的一部分是保险资产和社会保险基金。与此同时，利 率调整次数增加，幅度加大。我国自1 9 9 0 年实行利率浮动以来，活期存款利率已出现了 九次重大的调整，从2 1 6 降至0 9 9 ，波动较大。而保险公司属于利率敏感型的行业， 利率的波动必然会对保险公司产生一定的影响，怎样避免利率风险以及利率波动对保险 公司究竟会产生怎样的影响成为保险业的敏感话题。 业务发展和资金运作是寿险公司运营的两个轮子，而利率在这两个轮子中都发挥着 决定性的作用。正如利率是资金的价格，费率是保险这种特殊商品的价格。既然寿险纯 费率是以预定利率为贴现率计算而得的现值，这意味着寿险经营一开始就引进了利率因 素，而且这一因素以直贯穿于寿险经营的全过程。所以，利率的波动必然影响寿险经营。 利息率是人寿保险和社会养老保险制度设计所需要考虑的重要因素，因此，作为储 蓄性机构之一的人寿保险公司，始终面临利率波动所带来的风险。事实上，随着中央银 行启用利率杠杠调节经济运行，我国寿险公司一直面对相当大的利率风险：1 9 8 5 年到 1 9 9 5 年1 1 年间，一年期银行存款年利率均值为8 7 7 ，标准差为2 4 5 ，利率最高水 平与最低水平之间的极值达6 3 0 个百分点；三年期存款年利率均值为1 0 0 4 ，标准差为 2 5 2 ，极值达6 6 6 个百分点。我国目前寿险预定利率水平为年复利8 8 0 ，这是个相 当高的利率，无疑增强了寿险的储蓄功能，加强了寿险的吸引力，但即便如此，也很难 抵御银行利率调整带来的影响，具体体现在对保费收入存量和流量的影响上。 由以上分析可知，现实中的利率确实是波动的。利率的波动不仅会对经济发展产 生影响，而且对保险精算理论也产生了影响。因此，随机利率下的精算理论的研究也成 随机利率下生存年金理论的研究 为精算学的研究热点之一。 o 2 随机利率下生存年金理论在国内外的研究现状 传统的寿险精算理论为了简化计算，假定利率是确定的，但人寿保险是一种长期的 经济行为，投保期间，政府政策、经济周期等因素都会造成利率的波动，利率的波动意 味着利率的不确定性，因此采用固定利率有可能会带来预期与实际之间的较大误差。人 们开始注意到，对保险组织者( 保险公司和社会保险机构) 而言，由利率随机性产生的 风险可能是相当大的。根据传统的精算理论，利用大数定律，由死亡率随机性产生的风 险可以通过出售大量的( 充分多的) 保单来分散。但如果保险公司出售的每张保单采用 与实际十分接近的利率，这样利率的风险只单一的存在于保险公司一方，一旦发生，可 导致保险公司破产。保险公司为了减少因利率的调整而可能导致的损失，往往在费率计 算时将保险中使用的年利率定的较实际为低，这样势必造成投保人增加保费负担，又导 致了参加保险人数的减少。因此由利率产生的风险不可能通过增加保单的销量来分散， 从这个意义上说，利率风险要比死亡率风险更为重要o 】。所以，减少利率不确定性更好 的办法就是采用随机利率模型。随着精算理论研究的深入，利率随机性的研究在近2 0 年 来逐步受到重视，随机利率下的精算理论的研究已成为当前保险精算学研究的重点与热 点问题之一。 7 0 年代起，一批学者开始研究利率随机性问题。对于随机利率，他们一般采用时间 序列方法建模。1 9 7 1 年j h p o l l a n d 首次把利率视为随机变量，对精算函数进行了研究 ” 。其后一批学者开始采用各种随机模型来模拟随机利率。1 9 7 6 年b o y l e 考虑了寿险与 年金中死亡率与利率均为随机的情况，即所谓的“双随机性” 3 1 。z a k s ( 2 0 0 1 ) 研究了 利率独立且同正态分布下年金现值以及终值的一、二阶矩 4 1 。b u r n e c k i 、m a r c i n i u k 和 w e r o n ( 2 0 0 3 ) 对z a k s 的论文【4 1 中的一些结果进行了更正，并对其进行了推广【”。f r e e s ( 1 9 9 0 ) 研究了可逆m a ( 1 ) 利息力模型下生存年金的精算现值【6 】。h a b e r m a n 和s u n g ( 1 9 9 4 ， 1 9 9 7 ) 将f r e e s 1 的可逆m a ( 1 ) 利息力模型推广到投资利息力为m a ( 2 ) 可逆滑动平均模型。 并研究了该模型下生存年金现值的一、二阶矩【“l 。高建伟和丁克诠( 2 0 0 4 ) 利用时间 序列理论将可逆m a ( 1 ) 、姒( 2 ) 利息力模型推广为可逆淞( q ) 利息力模型和一般姒( q ) 利 息力模型，在推广的利息力模型下，分别给出了缴费预定型企业年金保险中生存年金的 精算现值 9 1 。p a n j e r 和b e l l h o u s e ( 1 9 8 0 、1 9 8 1 ) 以利率为a r ( 2 ) 过程建立了人寿保险的 双随机模型”“”】。h a b e r m a n ( 1 9 9 7 ) 在企业年金保险中得到了利息力满足稳定自回归a r ( 1 ) 模型时的生存年金精算现值模型 1 2 1 。d h a e n e ( 1 9 9 8 ) 在h a b e r m a n 的基础上进一步研究了 大连理工大学硕士学位论文 利息力满足二阶稳定自回归a r ( 2 ) 模型时的利息力的矩母函数的性质，得到了相应利率 模型下生存年金现值的一、二阶矩【1 ”。高建伟和李春杰( 2 0 0 4 ) 利用时间序列将投资利 率为条件稳定a r ( 1 ) 、a r ( 2 ) 模型推广为条件稳定a r ( p ) 利息力模型和广义a r ( p ) 利息力模 型，得出了相应利率模型下生存年金的精算现值1 1 。 9 0 年代起，部分学者采用摄动法对随机利率建模，得到了具有“双随机性”的确定 年金、定期寿险和生存年金的一系列结果：立i b e e k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 年和1 9 9 1 年对 利息力分别采用o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程和w i e n e r 过程建模，得到了某些年金现值的前 二阶矩。1 9 9 3 年对利息力分别采用o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程和w i e n e r 过程建模，得到了 终身寿险给付现值的一、二阶矩 15 - 1 7 。1 9 9 2 年d es c h e d p e r 、g o o v e r t s 等对利息力采用 w i e n e r 过程建模，得到了某些年金的矩母函数、分布函数和l a p l a c e 变换口8 。1 。蒋庆荣 ( 1 9 9 7 ) 研究了随机利率下终身寿险的纯保费和责任准备金的计算方法【2 0 】。何文炯、 蒋庆荣( 1 9 9 8 ) 对随机利率采用g a u s s 过程建模，得出了该模型下一类即时给付的增额 寿险现值的各阶矩，并在死亡均匀分布假设下得到了矩的简洁表达式口”。刘凌云、汪荣 明( 2 0 0 i ) 考虑到突发事件对利率的影响，采用g a u s s 过程和p o i s s i o n 过程对利息力累 积函数联合建模，给出了该模型下一类即时给付的增额寿险现值的各阶矩拉”。欧阳资 生、鄢茵( 2 0 0 3 ) 对利息力分别采用w i e n e r 过程和o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程建模，得出 了这两种利息力模型下增额寿险的各阶矩【2 ”。g a r yp a r k e r ( 1 9 9 4 ，1 9 9 7 ) 发表了他博 士论文中的一些结果，研究了在死亡所在保单年度之末等额给付的定期寿险和生死两全 保险给付现值的分布函数 2 4 - 2 5 1 。杨静平和吴岚( 1 9 9 7 ) 对利息力采用自噪声过程建模， 给出了此模型下n 年期寿险给付现值的密度函数准确的递推式【2 “。张奕，何文炯( 2 0 0 1 ， 2 0 0 2 ) 对利息力累积函数采用w i e n e r 过程和p o i s s o n 过程分别建模，利用w i e n e r 过程和 p o i s s o n 过程的独立增量性，得到了这两类模型下离散型生存年金现值的各阶矩1 2 7 - 2 8 。 d a v i dp e r r y 和w o l f g a n gs t a d j e ( 2 0 0 1 、2 0 0 3 ) 采用反射b r o w n i a n 运动过程对利息力建 模，得到了该模型下生存年金的一些结果 2 93 0 。 o 3 本论文主要研究的内容 本文在上述工作的基础上，研究随机利率下生存年金现值的各种统计性质，主要完 成了以下几个方面的工作： 第一章介绍了精算学的一些基础知识，给出了确定利率下年金、生存年金的定义以 及目前对随机利率建立模型的几种常用方法。 随机利率下生存年金理论的研究 第二章是本文的一个核心部分。本章研究了连续利率模型下的生存年金：前半部分， 对利息力采用w i e n e r 过程和o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程建立模型，研究了相应利率模型 下在保单各年度末等额给付的定期生存年金，当保单数目趋于无穷时，每张保单平均成 本的极限，证明了这一极限随机变量依概率收敛于年给付额为l 的定期生存年金的现值， 并得出了该现值的分布函数近似的表达式；本章后半部分，对利息力累积函数采用 w i e n e r 过程建立建模，利用几何b r o w n i a n 运动积分的一些基本结果，给出了该利率模 型下给付额随指数变化的连续型生存年金现值各阶矩的一般表达式，并在某些死亡分布 下给出了现值各阶矩的简单表达式。 第三章足本文另一个核心部分。考虑到现实生活中利率在一年内一般是固定不变 的，而且各年的利率在受到过去数年经济因素影响的同时，又受到市场、政治等多种外 界因素和投资结构的影响，因此，为了使利率模型更加符合实际，本文利用时间序列理 论，将已有的a r ( p ) 利息力模型和m a ( q ) 利息力模型进行推广，对各年的利息力 4 ( 1 ：l ，2 ，) 分别建立条件稳定a r m a ( p ，q ) 模型以及广义a r m a ( p ，q ) 模型，得出了这两类 模型下生存年金的精算现值，并进行了实例分析。 大连理工大学硕士学位论文 1基础知识 1 1 利率的基本概念 1 1 1 利息的定义 利息可以定义为使用资本的代价或报酬。资本使用者不一定拥有资本的所有权，他 可借入资本来使用。对资本借入者来说，利息就是因他使用资本借出者的资本而支付给 后者的代价。对资本借出者来说，利息就是他暂时转让资本的使用权而从资本借入者处 得到的报酬。例如，银行需付存款人一定利息，因其在存款期间可自由使用存款人的资 本。存款人得到利息，是因其在存款期间内转让了资本的使用权。 1 1 2 利率，积累值，积累函数 我们把每项业务开始时投资的金额称为本金，而把业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值( 或终值) 。积累值与本金的差额就是这一时期的利息金额。 在初始时刻t = 0 投资的1 单位本金，我们定义该投资在时刻t 的积累值为积累函数 d ( f ) ，那么d ( o ) = 1 ，并且( f ) 通常为递增函数，积累函数口( f ) 有时也称作r 期积累因子。 把从投资日期第一个时期所得到的利息金额记为l ，则： i n = a ( n ) 一a ( n 一1 ) ， 月1 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的 本金金额之比。实际利率是利息的一种度量方式。通常，实际利率用字母f 表示。对于 有多个度量时期的情形可以分别定义各个度量期的实际利率。这时，用记从投资日算 起第”个度量期的实际利率，则： f ：a ( n ) - a ( n - 1 ) ：l ，h 1。 d 0 1 )a ( n 一1 ) 那么有： a ( n ) = ( 1 + f 。) a ( n 一1 ) ，n 1 因此有： a ( n ) = ( 1 + ) ( 1 + 一。) ( 1 + ) 随机利率下生存年金理论的研究 特别的，若每个度量期的利率都相同，记为f ，这样就有： 口0 ) = ( 1 + 矿 口( n ) 就是利率为i 下，初始时刻投资1 单位本金在时刻n 的积累值。那么利率为i 下，初 始时刻投资k 单位本金在时刻”的积累值为女一a ( n 1 。 1 1 3 现值，折现因子，贴现率，利息力 我们把为了在t 期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的 现值( 或折现值、贴现值) 。而积累函数口( f ) 的倒数口1 ( t ) 称为t 期折现函数。显然，口t ( f ) 是f 期末支付l 的现值，在t 期末支付女的现值为_ j 口。1 ( f ) 。特别的，把一期折现因子口一t f l l 简单的称为折现因子，并记为v 。 在利率为i 下， l 1 + f 贴现率记为d ，它也是利息的一种度量方式，定义为： d ：上 1 + f 考虑n 年末给付c 元，设其现值为x ，假设每年的利率为i ，那么根据 x g t - n ”= c 得到现值 x ：c l ：c v n ( 1 + f ) “ ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 前面定义的i 、d 都是用来度量规定时间区间内利息的度量方式，在很多情形下 大连理工大学硕士学位论文 我们还希望能度量每一时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对利 息在各个时间点上的度量方式叫做利息力( 或者称利息强度) 。 t 时刻的利息力记为蘸，定义为： 。口( r ) q5 丽 将上式变形，有： 4 ：车l i l 。( f ) a t 用，代替f ，然后将上式两端在o 到t 上积分，得 e 肛“= 器u 训口ij 那么，折现函数口。( f ) 为： 口一( f ) ：p 一陟 ( 1 - 1 5 ) ( 1 1 6 ) 其中我们将y ( f ) = f 4 咖称为时刻f 的利息力累积函数。 如果利息强度在某时间区间上为常数，那么，该时间区间上的实际利率也为常数， 并且在利息强度点= 5 为常数的情况下，有： 5 = 1 n ( 1 + f ) 根据折现因子和利息力的定义，可得： ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 随机利率下生存年金理论的研究 1 2 确定利率下的年金 年金是在相等的时间间隔上作的一系列支付的款项。年金在经济生活中是非常常见 的，如房屋的租金，抵押付款，定期存入银行的存款，及分期偿还的债务等，这些都属 于年金的形式。年金支付的时间间隔可以是年，也可以是月、季，或者其它，只要间隔 相等就行，理论上甚至可以是连续支付，无时间间隔。年金支付的期限也分为定期和永 久。年金每次的支付额可以是固定不变的，也可以是不断变化的。我们把付款时间间隔 相等、每次付款额度相等、整个付款期间内利率不变且计息频率相等的年金称为年金的 标准型。年金的各种变化的形式称为年金的一般型。付款期内固定不变的利率称为固定 利率。因为年金是在固定的时期内支付确定金额的款项，所以在特定情况下我们将年 金也称为确定年金。按支付频率的不同，我们将年金分为离散型和连续型。 1 2 1 确定利率下的离散型年金 离散型年金是指每次给付金额是按一定的时间间隔( 如年、半年、季、月) 来进行给 付的年金。下面我们就来介绍几种常见的离散型年金。 ( 1 ) 期末付年金 在每个付款期间末付款的年金称为期末付年金。假设一笔年金，付款期限为月期， 每期期末付款额为1 元，每期利率都为i ，那么第一期期末给付的1 元现值为v ，第二期 期末给付的1 元的现值为v 2 ，依此类推，第n 期期末给付的1 元现值为v ”，使用n 来表 示这种n 期期末付年金的现值和，即： l v “ z ( 1 2 1 ) 而第一期期末给付的1 元在时刻n 的积累值为( 1 + 矿一，第二期期末给付的1 元在时 刻n 的积累值为( 1 + 矿一，依此类推，第一期期末给付的l 元在时刻f 的积累值为1 ，使用 s 7 来表示这种n 期期末付年金在时刻n 的积累值和，即： s ，= ( 1 + f ) ”】+ ( 1 + f ) “一2 + + ( 1 + f ) + 1 = 里二! ：生 由a 7 ，和s 7 ，的定义及计算公式可以得到它们之间的关系 ( 1 2 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 嘲，= a q ，( 1 + 矿 ( 2 ) 期初付年金 在每个付款期间初付款的年金为期初付年金。假设一笔年金，付款期限为n 期， 每期期初付款额为1 元，每期利率为i ，那么第一期期初给付的l 元现值为l ，第二期期初 给付的1 元的现值为v ，依此类推，第n 期期初给付的1 元的现值为v ”1 ，使用q 来表示 这种n 期期初付年金的现值和，即： n q i = i + v + v 2 + - i - v n - i = 1 - d v ( 1 2 ，3 ) 而第一期期初给付的1 元在时刻n 的积累值为( 1 + f ) 1 ，第二期期初给付的1 元在时刻 t 1 的积累值为( 1 + f ) ”1 ，依此类推，第n 期期初给付的l 元在时刻的积累值为1 + i ，使用 南来表示这种n 期期初付年金在时刻”的积累值和，即： 南，= ( 1 + f y + ( 1 + f ) ”- i + + ( 1 + d = 1 三笋 由南，和南，的定义及计算公式可以得到它们之间的关系 南。= 勘( 1 + f ) ” ( 1 2 4 ) 1 2 2 确定利率下的连续型年金 付款频率无限大( 即连续给付) 的年金叫连续型年金。虽然这种年金在实务中不存 在，但它在年金的理论分析以及其它各个方面如精算数学中的应用极为广泛。 连续付款n 个记息期，且每个计息期的付款额之和为1 ，每期的利息力都固定为万的 连续型年金的现值记为西，在时刻”的积累值记为弓，于是有： 弓= m = p 出= 等 ( 1 2 5 ) 随机利率下生存年金理论的研究 砀：n 矿1 出= p 一”出= 等 ( 1 2 6 ) 可以将确定利率下的连续型年金推广到利息力非固定的情况，假设t 时刻的利息力 为点，则有以下计算公式： 瓦：厂p 一| 0 耻m n 1 h 两= 渺矾 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 1 3 确定利率下的生存年金 生存年金是指按预先约定的金额，以一定时间为周期，连绵不断地进行一系列给付， 且这些给付必须以原指定领取人生存为前提条件，一旦领取人死亡，给付即宣告结束。 生存年金在人寿保险、退休金体系、残疾保险及抚恤保险中均起着重要的作用。如 人寿保险的保费通常是以生存年金的方式分期缴付的。类似于确定年金，生存年金按支 付频率的不同也可以分为离散型和连续型。 在系统地介绍生存年金之前，我们先来介绍生存模型中一些常用的精算符号。 1 3 1 生存模型常用的精算符号 寿险保单其保险金的给付是以被保险人的生存或死亡为前提条件的，所以，被保险 人的生存和死亡状况，是寿险精算的主要基础。我们视投保人的死亡时间为随机变量， 而保费、生存年金的计算都是在此前提下进行的。 以x 记为新生儿的死亡年龄，则x 是一随机变量，记巴( j ) 为x 的分布函数，那么： b ( x ) = p r ( x x ) x 0 而将s ( x ) = 1 一毛( x ) 称为生存函数( s u r v i v a lf u n c t i o n ) ，即： s ( x ) = p r ( x x ) 工0 ( 1 3 1 ) ( 1 3 - 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 s ( x ) 表示新生一婴儿能活到x 岁( 即x 岁以后死亡) 的概率。我们一直假定以( 0 ) = 0 ， 则s ( o ) = 1 。 我们用符号( x ) 表示年龄为x 岁的人，也称为x 岁的生命( 1 i f e a g e x ) ，而工为新 生儿的死亡年龄，则新生婴儿在x 岁活着的条件下，未来仍生存的时间( 或生存期) 是 x x ，那么鼻一石称为新生婴儿在x 岁时的未来寿命，简称( x ) 的未来寿命( 或未来余 命) ，并用符号r ( x ) 表示。即新生婴儿在x 岁时仍生存的条件下，有t ( x ) = x x 。 用概率来反映生存者的未来寿命，( 柏是精算学中的一项基本内容。我们引入精算学 的符号，记： 吼= p r ( t ( x ) s t ) ：耳( f ) ，p ，= 1 一，q x = o r ( t ( x ) t ) v t 0 v t 0 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 其中，q ，可解释为( 工) 将在未来f 年内死亡的概率，它是r ( x ) 的分布函数；而，p ，表 示( x ) 将至少活到x + f 岁的概率，它是关于t ( x ) 的生存函数。通常情况下，当t = l 时， 可以把( 1 3 3 ) 式与( 1 3 4 ) 式中符号的前缀省略，也就是“) 在一年内死亡的概率可 以表示为q ，同样( x ) 活过一年的概率可以表示为p ，。 r ( x ) 的概率密度函数记为l ( t ) ，并且再( r ) 可以表示为： 五( f ) = ，p ，u 。， ( 1 _ 3 5 ) 其中“。定义为时刻x + f 的死亡力，且“。，= 一乏笋。 ( x ) 生存t 年后，在x + f 岁与工+ f + u 岁之间死亡这一事件的概率，可用精算函数符 号。吼表示，即： 山吼2 p r ( t r ( x ) t + t t ) 2 f + 。gz c q ；2r p x f u p z 2 t p 。q w 特别的，当“= 1 时，m 吼可以简写成，q ，。 ( 1 3 6 ) 随机利率下生存年金理论的研究 令k ( x ) 表示( x ) 未来寿命的周年数或( 工) 在未来生存的整年数，即足( x ) 2 r ( z ) 】，那 么k ( x 1 的概率分布律可以表示为： p r ( k ( x ) = k ) = p r ( k t ( x ) k + 1 ) = p r ( k t ( x ) 曼i + 1 ) 2 k + l q j - - k q 。女p z k + l p j 。“q ， ( 女20 ，1 ，2 ，) ( 1 3 7 ) 1 3 2 确定利率下的离散型生存年金 离散型生存年金是指每次给付金额是按一定的时间间隔( 如年、半年、季、月) 来进 行给付的生存年金。类似于离散型年金，离散型生存年金也分为“期初付”和“期末付” 两种情形，期限可以是定期也可以是永久。其中，期初付生存年金在个人寿险中得到广 泛应用，大多数个人寿险的保险费就是按期初付生存年金的方式分期缴纳的。而这些保 费的计算都是基于生存年金的精算现值。所谓精算现值是指现值的期望值，又称期望现 值。精算现值与现值不同的地方在于：精算现值考虑了人的生死概率，是从一个概率的 角度来讨论生存、死亡保险的。 下面，我们对期初付终身生存年金、期初付n 年定期生存年金、期末付终身生存年 金以及期末付”年定期生存年金的精算现值公式分别给予介绍。 ( 1 ) 期初付终身生存年金 指的是( z ) 在未来每个年度初领取款项为1 个单位，直至其死亡的生存年金，其精算 现值用符号j 。表示。 我们假设生存年金领取者在第k + 1 年内死亡( k = o ，1 ，2 ，) ，并且假定给付额的现值 是随机变量y ，那么： p r ( k ( x ) = 女) = k l q ，于是，有 a ，= 研，r 】= a 而咖q ( 1 _ 3 8 ) 大连理工大学硕士学位论文 交换求和的顺序，则( 1 3 8 ) 式可转化为 = v 。n ( 1 3 9 ) ( 2 ) 期初付h 年定期生存年金 指的是( x ) 在未来n 年内，每个年度初领取款项为1 个单位，直至其死亡的生存年金， 其精算现值用符号，i 表示。 我们假设生存年金领取者在第k + 1 年内死亡( k = 0 ，l ，2 ，) ，并且假定给付额的现值 是随机变量夕，那么： p ： 。? 口 o k k ) = 。p 。，于是，有 月一l 哟= 研力= 石厕q + 锄。p ， k = 0 交换求和的顺序，则( 1 3 1 0 ) 式可转化为： ：a = 。p ， ( 1 3 1 0 ) ( 1 _ 3 1 1 ) ( 3 ) 期末付终身生存年金 指的是( 茗) 在未来每个年度末领取款项为1 个单位，直至其死亡的生存年金，其精算 现值用符号a ，表示。 我们假设生存年金领取者在第k + 1 年内死亡( = 0 ，l ，2 ，) ，并且假定给付额的现值 是随机变量 ：，那么： v 。闩 j j 嗣 口 f f e 随机利率下生存年金理论的研究 而p r ( k ( x ) = k ) = 。q ，于是，有 a x = 研r 】= a 习q 交换求和的顺序，则( 1 3 1 2 ) 式可转化为： q = v 。；p ， ( 1 - 3 1 2 ) 1 3 ，1 3 ) ( 4 ) 期末付1 7 年定期生存年金 指的是( x ) 在未来n 年内，每个年度末领取款项为1 个单位，直至其死亡的生存年金， 其精算现值用符号a ，：a 表示。 我们假设生存年金领取者在第k + 1 年内死亡( 尼= 0 ，l ，2 ，) ，并且假定给付额的现值 是随机变量p + ，那么： 2 嚼 0 k k ) = + p ，于是，有 h t j = 研e = d 习h q ，+ 。j 。p ， 女= 0 交换求和的顺序，则( 1 3 1 4 ) 式可转化为 a j = v 女p 。 ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) 1 3 3 确定利率下的连续型生存年金 连续型生存年金是指付款频率无限大，即每时每刻连续不断地进行支付的生存年 金。这类生存年金一般也分为定期和终身。我们主要介绍连续型终身生存年金和连续型 大连理工大学硕士学位论文 n 年期生存年金的精算现值。 ( i ) 连续型终身生存年金 指的是对( x ) 在未来每个年度的任意时刻给付率为1 ，直至其死亡的生存年金，其精 算现值用符号瓦表示。( x ) 的未来寿命丁= t ( x ) ，假定给付额的现值是随机变量，那 么： y = a t 7 = r v d t f f i r ( x ) 概率密度函数是：办( f ) = ，p ，- “。，于是，有 瓦= 日】1 = _ 弓t l ( t ) a t = e f f , 7 ，n u + t d t 使用分部积分，则( 1 3 1 6 ) 式转化为 五x = e 。以d l ( 1 _ 3 1 6 ) ( 1 3 1 7 ) ( 2 ) 连续型年期生存年金 指的是对( x ) 在未来”年内的任意时刻给付率为1 ，直至其死亡的生存年金，其精算 现值用符号t j 表示。( x ) 的未来寿命为t = 丁( x ) ，假定给付额的现值是随机变量l ，那 么： p ：f 9 叼 o r f ) = r p ，于是，有 一a i = e i q = r 弓肌d t + d 7 。p ， 使用分部积分，则( 1 3 1 8 ) 式可以转化为 t j = r v 7 ，n 研 ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) 随机利率下生存年金理论的研究 1 4 随机利率模型 近年来，关于随机利率本身的研究进一步受到重视，国内外的很多学者对随机利率 建立了各式各样的利率模型，但这些随机利率模型也不外乎两种：一种是连续的；一种 是离散的。我们就两种利率模型分别加以介绍。 1 41 连续利率模型 所谓连续利率模型，就是将每个时刻的利率视为一个连续变化过程的利率模型。在 连续利率模型中，一般采用随机过程对利率建模。大量的随机过程已经被使用去模拟利 率的随机性，并且这些随机过程还被不同的方法所使用。 前面已经介绍了覆表示时刻s 的利息力，y ( t ) 表示时刻t 的利息力累积函数，并且： ，( f ) = f 正出 目前，在连续利率模型中，对利率随机性的建模，有两种方法：一种是对利息力建 模，即假设利息力覆是一随机过程；另一种是对利息力累积函数建模，即假设利息力累 积函数y ( f ) 是一随机过程”】。 ( 1 ) 利息力累积函数建模 考虑利率随机性的一种方法是用随机过程去模拟利息力累积函数y ( t ) 。其中w i e n e r 过程和o r n s t e j n u h l e n b e c k 过程( 简称0 一u 过程) 是这类方法中使用最多的两种随机过 程，并且这两类随机过程都是g a u s s 过程的特殊形式。 利用w ie n e r 过程建模 在这类模型中，令： y ( t ) = j t + 口，彬 其中艿，盯为常数，盯0 ，形是个标准的w i e n e r i ! 立程。 这类模型下，y ( t ) 的期望和协方差分别为： e 【_ y ( f ) 】- 占f ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 c o v y ( s ) ，y ( r ) 】= 盯2m i n ( s ，t ) ( 参见文献”】，s e c t i o n3 ) 利用o r n s t e i n u h e n b e c k 过程建模 在这类模型中，令： y ( f ) = 占- t + x ( t ) 其中x ( t 1 满足下列随机微分方程 f d x