（概率论与数理统计专业论文）随机级数的自然边界.pdf

摘要 本文充分利用了一个有关解析级数s 一可和的引理，以及对称随机级数的 s 可和性和a - s 收敛关系的成果，得到以下结论：一般对称随机解析级数的 收敛边界几乎必然是自然边界特别地，对称随机t a y l o r 级数，随机d i r i c h l e t 级数，随机罗朗级数等的收敛边界几乎必然是自然边界同时将该解析级数s 可和的引理推广到二维及多维的情况，在二维及多维的情况下可以得到相同 的引理，并且对应的给出各种推论 关键词 g 可和；a 一收敛；自然边界；对称随机级数； a b s t r a c t b yu s ea ni m p o r t a n tl e m m ao nt h es - s u m m a b i l i t yo fa n a l y t i cs e r i e s m o r et h a t t h eb o u n d a r yo f c o n v e r g e n c eo f g e n e r a ls y m m e t r i cr a n d o ma n a l y t i cs e r i e si san a t u r a l b o u n d a r y e s p e c i a l l y , f o rs y m m e t r i cr a n d o mt a y l o rs e r i e s ，r a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ：r a n d o ml a n n r e n ts e r i e sd a ns oo n ，t h eb o u n d a r i e so fc o n v e r g e n c eo ft h e s es e r i e sa r e n a t u r a lb o u n d a r m s d i s c u s st h el e m m a ，w eg e t ：t h es a m el e n m m ai n 2a n d 伊，a n d s o m ec o r o l l a r i e s k e yw o r d s s - s u m ；a l m o s ts u r e l yc o n v e r g e n c e ；n a t u r a lb o u n d a r y ；s y m m e t r i cr a n d o ms e r i e s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名： 声方芳时间：j 耐年r 月墨日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文： 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名： 声方芳 签名日觏：鼬o 年r 局勰 导师签名：问范蹇 签名日期： 6 ；年月( 7 日 一绪论 ，口，u 复变蘧数理论程1 9 毽鳃鑫三位萋名懿数学家a l c a u c h y , k 。w e i e r s t r a s sj 霎 b r i e m a n n 奠定了然础，这三个人务成系统，各自形成其学派，其中w e i e r s t r a s s 建立了复燮垂数懿级数理沦。 本文中随机级数的知识主要来源于文献【引，该书的起源是p a l e y 和z y g - r o u n d 在1 9 3 0 年麓发表懿联麓论著手爨数顼级数懿且篱短论文 2 1 1 ；篷 机t a y l o r 级数及随机d i r i c h l e t 级数的研究分别是h s t e i n h a u s ，r e a c p a l e y 及 a + z y g m u n d 1 7 l 舞始秘。夔槛t a y l o r 级数影撅 o 。 蜀扩 n = 0 最早研究这种级数的人是e m i l eb o r e l ( 1 8 9 5 年) ，他说；”如果系数摄任意的， 邵么浚敛嚣是蠡然逡赛，瑟滔系数是 釜意懿，豢实上羧是淡狳了必缀暴 有给定的收敛半径的条件外) 前n 个系数值对后面的系数值没有任何影响 ”f l 咎】 这个叙述并不清楚，直到1 9 2 9 年，h s t e i n h a u s 才证明了下列定理：如果 r 锥是正数，瀵是条箨 一 ， 0 l i r a 惯 r f ，吲= r f 一，几乎必然是f ( z ) 一f ( z ) 的自然边界 在定理a 和定淫b 申，厢随机d i r i c h l e t 级数 f 嚣8 以n s1 ) 菇 代替t a y l o r 级数结论仍成立这爨 o ，a l ，是正的增加数列，墨是独立蛉 复随机交瑟，s a + 甜燕复数设吼) 是使e x n ( w ) e h 4 收敛的实数的 下界，当时口 蚀( 甜) ，( 1 ) 收敛，当时o & ( 。焱1 ) 发散。檄据垂l 德，a c ( w ) 几乎必然摄常数，即对某个口。( 一0 0 + o c ) ，有 & 扫) = & # s 其中设满足条件一。 口。 的区 域熙延拓 ( 1 l 中分绥了骧枧t a y l o r 级数和疆枕d i r i c h l e t 级数的鑫然逮雾，在磅究| ；鏖 机级数时首先会研究其收敛边界的问题税文献【3 中建立了解析级数是否s 2 可和的弓l 理，并利用有关对称随机级数的s 一可和性及a 一收效关系得到勒襄 特级数戆嫂毁边界且乎必然是巍然边爨 本文在利用上述引瑰的基础上研究独立对称的随机缴数的自然边界，运用 不阕予1 1 孛敕方法，农建立勰凝级数怒否s 一霹秘的引淫的基戳上剥用有关对 称随机级数的s 可和性及a s 收敛关系得到上述结论中对称情况的结论，进 一步懿褥刭各转关于独立对旅鹣级数撼沦冠对接薅辑级数是否s 可靼的引 理推广到二维及多维的情况，并且得刹与一维随机级数相同的推论 文濑正文分为三个部分，各个部分别先绘蛙；解析级数是否s * 可和的弓 理， 并加以证明同时给出相应的关于随机级数的自然边界的结论 3 二预备知识介绍 2 1 基本概念 q 是一个集，且是q 上一a 一域，就是说a 是由q 的子集构成，它包含 甜( 空集) ，并对予取余集和可数并的运算鼹封闭的 p 是( q ，捌上一概率换句诚说，它是总质蠼为1 的一个正测度即对每 一个a a ，p ( 且) 有定义，p ( a ) o ，l 】，妒( q ) = i ，并对任何可数个不藕交的集 。( a 。) ， p ( u a n ) = p ( 南) 还设p 是完貉的。鄹当a 包禽在集b a 内，旦尹) = 0 酣，有a a t 当这些条件被满足时，( q ，a ，p ) 称为概率空间，或者称n 本身为概率空间， 迭对总是假设秘p 巴定义。a 鲍元素称为事传，p ( a ) 是事件a 的概攀二， 如果p ( a ) = l ，称a 是几乎必然的假定已给一概率交间( q ，4 ，- p ) 和个 嶷e ，e 的疆枧元素或隧枫对象烂从q 到e 的映射x ，这时对每一“n ，有 x ( w ) 届 如暴e 是据孝卜空阕，并且对e 中豹每个开集g ，有x “( g ) 凡则称从q 副e 的映射x 怒e 中的随机交凝对于由e 的歼集生成的o - 一城艿中的每个 元b ，x 以( 翻羼t - a 。映射b _ 妒暖_ 1 霹) ) 定义了一个拦，b ) 上总艨量是 1 的正测度肛x ，称它为x 的分布 如皋撇定义在区阉i 上，并且芦x 与i 上的l e b e s g u e 测度成比例，劐称 x 在i 上是等分布的。 在攘扑空间b 中有棚通分布豹两个随执向爨称为同分布的， 一般地，给出的随机对象x 是从q 掰e 的映射，这蹩e 是没有任何拓扑 绻均的嶷+ 通常x 带有从q 到b 上的概率空间的结构，即b x 将由所商那些 使x o ( b ) 的子集b 构成对每一b 融，定义 u x ( b = p 滢- i ( 翻) 容易验溅( e ，b x ，搬) 是摄率空间。给定两个栏e 土墩值的并定义农两个 概率空间( 或同概率嶷间) 上的随机对象x l 辅恐，如果( 耳，1 3 x 。，p x 。) 和 ( 要，魄，芦x 。) 怒魍冠的概率空蠲，则称弱和恐相似 4 如果e 是拓扑空间，当且仅当b o r e l 域b 包含在8 x 内时，随机对象x 是 随即变量 如果e 是拓扑空间，x ，和恐是在e 中同分布的随即变量，则它们相似 反之，如果x - 和x 2 是相似的随机变量，则它们是同分布的 2 2 r a d e m a c h e r 序列；独立性；主要工具 序列l ，2 ，定义为 。( u ) = 1 如果【o ，割， ( u ) = 一1 如果【 ，1 ( n = l 2 ) ，它称为标准的r a d e m a c h e r 序列更一般地考虑把整数任意分成不 相交的类1 ，2 ，啊，并记。f 为u m 已给定义在q 上的任意随机 对象的( 有限或无穷) 序列x l ，托，玛，如果对每j ，z j 仅依赖于u f ， ；腿序列称为独立对象的标准序列 实r a d e m a c h e r 级数p 士u 。的情形首先是由r a d e m a c h e r 7 】考虑的，他 证明了由p 1 u 。1 2 o 。可推出几乎必然收敛性逆定理是由k h i n t c h i n 及 k o l m o g o r o v 1 0 证明的 任意给定另一概率空间甜及定义在绀上的随机对象碥( 有限或无穷) 的 序列；如果存在着独立对象的标准序列与序列碥相似，则称k 是独立的( = 相互独立的) 由此推出，如果h ，b ，k ，是在拓扑空间毋，易，既， 中取值的独立的随机变量，则对所有的n 及所有的马岛( 马上的b o r e l 域) ， p ( h b 1 ，娩b 2 ，碥日。) = p ( m b 1 ) p ( 硷b 2 ) - - p ( 】，n b n ) 反之，如果h ，蚝，k ，是实或复的随机变量满足所有上述等式，则它们 是独立的 考虑事件的无穷序列a 1 ，a 2 ，厶，当无穷多个事件成立时，事件 l i m a 。= mu n k a 。成立 b o r e l - c a n t e l l l 引理如果产p ( a 。) 蹿 冀审对= ( i - a 2 2 m i n ( i 3 ，v c ) ，i 霞致是任一攘数，特筹g 避，如果“”一，“。 是h i l b e r t 交阕孛戆羯慧，g l ，翔，怒r a d e m a c h e r 窿襄，舔么 p ( 1 g l t 毒l + + 岛l k | | a ( 1 l 锄1 1 2 十l l 毽；| | 2 ) 1 2 ；( 1 - 埔2 ( 其中露3 ) e q 截p a l e y - z y g m u n d 不等式+ 2 3 对称骧凝惠耋 猩线性爨阍中墩激枧肉敷x ，魏聚x 秽* x 攘儆，称x 凝对称邋梳良爨， 褥囊缝，骞安凌笺缓戆黠蘩骧掇交爨。键鳓r a d e m a c h e r 交鏊s p 犯一1 ) 一l 2 ，p 缸。- i ) = l 2 蹙对称静 舞菜延是拣漆攘攀登越，濯燕 一e 耄w 咄一。i 锄十l ，2 ) 所以e 斯吣对于所省j 是对称的 裁皋墨，弱，氨，愚缓蔓懿辩豫黪辍淹萋霉粼，s 氧，是黻 值一l 或斗1 的固定序列。刚随机序刿 蜀) 芾僻 ：弱) 相似 6 考虑被一个向量序列满足或不满足的性质p ( 如收敛性可和性等等) 假定 忙n ) 是任一r a d e m a c h e r 序列， z 。) 是向量的常值序列，( e 。) 几乎必然满 足p 还假定”( j ) 满足p 是事件则此事件是几乎必然的上述注记称为 简化原理 给定一个定义在n 上的随机向量x ，定义在乘积空间n n 上的随机向量 y ( u ，u ) = x ( u ) 一盖( u 7 ) 它显然是一个对称随机向量有时可以证明yn s 满足一个给定的性质( 在 n n 中) ；由此可以推出存在着u n 和一固定向量。= x ( ) ，使得x 一。o 满足同一性质( 在n 中) 这是对称化方法 7 三一维随机解析函数 关于求和法的介绍，设b 是一个b a n a c h 空间，给定纯量的一个无穷矩阵 s = ( o 。) ( n = 1 ，2 ，- ，m = 1 ，2 ，- ) 它满足条件 。a n m = 1 ( m = l h 2 _ ) 则称s 是求和矩阵给定级数 ( ”。b ) 考虑级数 a n r n 口m ( n = 1 h 2 ) m = l 记u l ，u 2 ，u n l 为它们的和，如果序列u l ，0 3 2 ，u 一- 在b a n a c h 空间 b 中收敛，则称级数1 是s - 可求和的，并且定义。l i m 。w n 为莩的s 一 和 随机t a y l o r 级数形如 o o 铲 = 焉( u ) ) n = 0 其中系数x n 是独立的随机复变量，z 是复数 下面会主要介绍随机t a y l o r 级数的收敛边界，同时还介绍其他独立对称的 随机级数 8 3 1 独立对称的随机t a y l o r 级数的收敛边界 本节主要研究随机t a y l o r 级数下面给出随机级数自然边界的定义，f ( z ) = 登c 。( z ) ，该级数的收敛域为d ，收敛边界a ( d ) ，收敛边界8 ( d ) 上的奇异点， 是指不存在f ( z ) 的任何穿过a ( d ) 上包含该点的弧的解析延拓，称a ( d ) 上的 非奇异点为正则点若o ( d ) 上的点都是奇异点，则称收敛边界o ( d ) 是自然 边界 这里引入记号 暖= 堑尘掣 其中z 为自然数当z j 时，暖= 0 引理3 1 设t a y l o r 级数量c n 扩对于h r 收敛，其和记为，( z ) ，若，( z ) 能解析延拓到圆盘d ：i = 一口i p 1h m ) ，n ( z ) = a n m 锄z “ m ；0 n0 0n = z ”+ c r n c o “一( z n ) j m = 0 r e = n + l j = o n o o n = z ”+ c o 一( z o ) m = o m = j j = o a ) j z m 一c 幺o ”一j ( z o ) m = _ j j = o 当m j 时，有= 0 故 a m _ 。o 一。) = 嚷。”1 0 n ) m = 巧j = o m = o j = o n = c r n z ” m = o 则 ：量i i 萎m ( m - 1 ) j = 0 3 ：m = j = 暑n 扩1 ) ( 8 ) ( z n ) 得 。o 。，n ( 。) = 击，) ( z n ) = m ) j = v 该级数是s 一可和的 引理3 2 6 】设噩，弱是b a n a c h 空间b 中的独立对称的随机向量， 且s 是求和矩阵，如果级数x n a s 一可求和，则这级数o s 收敛 对于怎样的b a n a c h 空间，产土u 。的收敛性及有界性有相同的概率这一 问题由k w a p i e n 1 3 】解决，他证明了h o f f m a n n - j o r g e n 【1 4 】的一个猜测；充要 条件是：b a n a c h 空间不含c o 【1 5 】 i 0 耐鹰上述弓 疆藏胃跌褥虱美予独立对称隧橇级数鹣收敛迭莽是蠢然逡器黪 定理。 汲j 麓。) 建定义褒摄率凌阗f q ，p ) 上购独立对舔嬲髓枧变壁列，照4 泰 定理3 1t a y l o r 级数兄( # ) 一x 。( w ) 扩，其中j 文为独烹对称的随机变 爨列，则蜀( z ) 的牧敛边弄吲= r 几乎必然是岛然边界。 证明咒( z ) 在收敛域外燕发澈的当“固定时，日( z ) 一j ( u ) 扩的 收敛半径为r ( u ) = ( 薹焉l 焉( “) 滓) ，由0 1 律知r ) 一r 。钆 若瓦( z ) 翡黎耩延蓊戮露盘m ：l z n | 岛吲 南2r 2 ( u ) = 甄i x n ( u ) 内收敛- 由于r - ( u ) r 2 ( u ) 是非负 随机变量，并且它们只与有限个墨。的值无关，由。一l 律知r 1 ) = r 2 ) = r 2 0 s - 当r l r 2 时，该级数在圆环r 2 川 0 ，可以找到一个正数6 = 6 ( ) ，使得当2 d ，并且0 f z z 0 5 时， i f ( z ) - f ( z o ) 一o ：l e z z o 显然，在如有导数的函数一定在如连续 定义【1 8 】如果函数f ( z ) 在区域d 内每一点可微，那么y ( z ) 称为在区域d 内解析如果，( z ) 在z o 的一个领域内解析，那么f ( z ) 在z o 解析，如果f ( z ) 在区域g 内解析，而闭区域d 上每一点都属于g ，那么，( z ) 在d 上解析 1 3 0 0 引理3 3 妒。( z ) 是复平面上某一开域n 阿的解析函数序列，f ( z ) = c 。( z ) n = o 程q 毂一个子域g 内牧敛，著，f 2 ) 毙舞捞延拓裂禽在q 枣的嚣擞d ：| # 一口l p ，a g ，贝0 存在一个求和矩阵文级数，( z ) 是s 一可和的 证鹱令 蕊中 s = ( 。m )n = 1 ，2 ，m = 1 ，2 = 硪妻刍掀坝矿 a n m = 硪( 。) 击嘏( n ) 弘一n ) ，= 0 。 如果( z ) = 0 ，则a n 。一1 又有妒。( 。) 在z = a 处的泰勒展式为 主j = o 扣旷 根据上述的条件可得 。甄m 2 妒挑) 薹贲热净叫k 1 。一 弼s 为求和矩阵 今 毒 葵孛 故 0 0 矗( = ) 一汹8 n m m = o n 。 眦) = m = o j = o 嘉础( 。) ( z 叫 j 2 蠢( z 一。) 差。妒轷( 口) n。 ，- 、 妒鲫( “) = ，o ( o ) m = o 一 扫0 哥m 。：豆 i | 和是 根据上面的式子可以得到 。厶( z ) 一素，。) 匆一。y = 搀) 。- i 搿0 。 该级数是s 一司郄的， 设x 。( u ) 魑定义在概率交间( n ，2 - ，钟上的独立对称的随机变激列，剜有 定瑗3 2 级数蜀一誊弱( ) z ) 静寝敛域兄乎菇熊羹d ，在d 步 发 散，其中满足弓l 瑗3 3 中的条件。蒯塞焉) ( z ) 懿浚簸避赛咒乎辩 然是自然j 赶界 诬鹱著级数能8 - s i 解辑殛据戳霞巍g ：| z 一8 l 热8 d ，毽g 。n d g 。 裰据萼l 理3 3 翔存农某个求饔缒簿s ，姨毒譬级数纛g 凑是n 。s s 霹窝抟。又 巍弓l 理3 2 知级数程g 申是扎s ，收敛的，逸与级数弱( w ) 妒”( 。) 在d 外发 肆# 激矛震。 因此妻羁( 砧) ( z ) 的收敛边界几乎必然是寅然：i 趣界 下黼税据定遴给澄一些捧论懿静 芷鬻 随机d i r i c h l e t 级数楚形翔 f 磊e “n 。 ( 5 ) n = o 的级数，其中 l ， 2 ，是正盼增加数鳓，髓k 衅十。 赫 怒独立的笈随钒 变量弼，s = 一十稚是复数 当k 一氇e s = z 珏誊级数( 5 ) 裁黛戏了t a y l o r 级数，于燕d i r i c h l e t 级数 毽汉餐凌是t a y l o r 缎数瓣摧广，扶嚣可研建它与t a y l o r 级数蛉攘皮洼质 引理3 4 考虑级数e 8 以n 8 , v k n ， n = 0 妇果 【，+ 1 ) n a 。) 一 a 。 ，a n + 1 ，一a 。 十p k ) 0 令 如果 芦 a 2 螂m a x 黜l 蓦卅 l 摹 那么令l n m = 一。 对于级数a n e 。，有吼= 画也争见 2 】 推论3 6 设五。是独立对称的复随机变量列，则随机d i r i c h l e t 级数兄( s ) = ( u ) e 。n5 的收敛边界一= a 。几乎必然是该级数的自然边界 证明记口。( u ) 为级数收敛的横坐标，根据引理3 4 ，及0 1 律知a c ( w ) = a 。o 一，而这里蕾。是独立对称的复随机变量列，因此根据定理3 2 可知级数 凡( s ) = j ，n ( u ) e 。一收敛边界a = a 。几乎必然是该级数的自然边界 这两个结论在 1 】中均有证明，这里给出的证明相应的简单些 下面各推论中五。( u ) 为定义在概率空间( q ，p ) 上的独立的随机变量列， 妒。( z ) 满足引理3 3 中的条件 在拓扑空间中有相同分布的两个随机向量称为同分布的，x 1 和弱是在 拓扑空间中同分布的随机变量，则它们相似，取随机向量x ，如果x 和一x 相似，则称x 是对称的随机向量 推论3 7 随机级数e ( u ) 妒。( z ) = 兄( z ) 的收敛域为g ，在g 外发散，若 矗服从 一a ，n 】上的均匀分布则见( z ) 的收敛边界几乎必然是自然边界 证明弱服从【_ a ，8 上的均匀分布，显然j 0 与一五；是同分布的，它们 是相似的，既j 0 是独立对称的随机变量序列 根据定理3 2 ，该级数的收敛边界几乎必然是自然边界 。o 推论3 8 随机级数x n ( u ) 妒。( z ) = 见( z ) 的收敛域为g ，在g 外发散若 墨服从正态分布n ( 0 ，一) 则兄( z ) 的收敛边界几乎必然是自然边界 证明服从正态分布n ( 0 ，a ) ，j 气与一弱相似既 是对称的 f 蜀，是独立对称的随机变量列 根据定理3 2 ，级数兄( z ) 的收敛边界几乎必然是自然边界 e n ( w ) 是定义在概率空间( q ，p ) 上的r a d e m a c h e r 序列 推论3 9 随机级数h ( u ) 妒。( z ) = 厶( 力的收敛域几乎必然为d ，在d 外 n = 0 00 i ( z ) 1 2 = + 。那么s 。( u ) ( z ) 的收敛边界几乎必然是自然边界 n = 0n = u 证明r a d e m a c h e r 序列是独立对称的随机变量序列又因为在d 外i ( z ) 1 2 = n = 0 + 。，所以级数( u ) 妒。( z ) 在d 外发散 1 6 根据定理3 2 ，级数( u ) ( z ) 的收敛边界几乎必然是自然边界 考虑对称的g a u s s 随机变量，称其为g a u s s 变量 推论3 1 0 随机级数磊( u ) 妒。( z ) = 凡( z ) 的一收敛域为g ，在g 外发 散磊( u ) 是独立对称的实或复的g a u s s 变量列，则级数儿( z ) 的收敛边界 几乎必然是自然边界 证明因为玩( u ) 是独立对称的实或复的g a u s s 变量列， 因此根据定理3 2 ，就可得到该结果 推论3 1 1 设矗) 是定义在概率空间( n ，p ) 上的独立对称的随机变量 序列，则解析殆周期级数矗( 。) e 。n 5 = 兄( 。) 的收敛边界几乎必然是自然 边界，其中 h ) ，n z 是增加数列 证明如同推论2 2 中将级数分为两个部分， 兄( s ) = 札( s ) + 轧( s ) ， 其中 钆( s ) = 蜀e 。 ， n = o o o 轧( s ) = x 却。5 ， n = l 那么根据推论3 4 知丸( s ) = e 。n 。的收敛边界a = a 。几乎必然是它的 自然边界 另一部分( s ) = x 一。e 以一一，记吼：( u ) 为级数收敛的横坐标，根据引理 3 4 ，及0 1 律知几2 ( ) = 口。：a 8 ， 根据定理3 2 可知级数( s ) = x 一。( u ) e “一n 。收敛边界a = c r 。几乎必 然是该级数的自然边界 综上所述，级数兄( s ) 的收敛边界几乎必然是自然边界 这里只给出了部分的情况，以上所得到的定理以及下面会证明的结论都可 以应用于所有独立对称的随机级数 1 7 园二维随机解析函数 在上一章中已经给出荧于，= ( z ) 的s 一可和性的证明，本章将 葵孛戆一缓舞裁j 瓣数，推广到= 缨丞数静谤况，劳裂爝该结论讨论一般对 称随机鳃析函数的收敛边界 趸g ，魏n 分男g 表示复数域，实数域穰艇骞菲负整数的嶷会，泸，嚣n 将分 别表示g 域和r 域上的n 维向量空间 显努溺翅( z l ，z 2 ，) ，弓g 积( ：b 1 ，2 ，z 。) ，2 j 最表示宅们中的点， 稀待g n 与r “时，都认为巴赋予它们自然拓扑 对# = ( z l ，趣，z n ) g ”，令 i l z = ( 1 。1 1 2 十+ 1 1 2 ) ，2j 璺黑。1 勺l 对凰内的点亦厢类似的符号 一般用a ，零，裘示n 的元素组成的n 嚣组； 即 d = ( o i l ，鲍，) ，嘞毫n 令 l 程| = 8 l + + 8 a ，毪! = a l i 8 ! a 夙表示岛，= 1 ，2 ，竹 穗 声，裘表8 疹莹8 露。 如果ag 伊和p = 0 l ， ) ，则以a 为中心，以p 为( 多元) 半径的多圆柱， 獾集合 p ( a ，p ) = g c 刊9 1 一0 1 l p i ，i 一o 。j p n ) 若，( i ) 在i 6 ) 的邻城内处处可镦，弼称，管) 在i 。) 处解辑，若，) 在蕴 域d 上每一点都解析，则称，( i ) 为d 上的解析函数 定义dc 俨是一个区域，：d 叶0 是一个复丞数，称势在f 锦d 复可微的，如果在上d 存在复麟数9 i ( ) ，9 n ( i ) ，它们在l ( o ) 象部连续，且 在d 内满足等式 ，( 匐= ，( 。( o ) + 芝二( 一o ) m ( 窨) _ 1 8 称吼( j ( o ) ) 为f 在j ( o ) 关于施的偏导数，可写作 9 出( o ) ) = 筹( 籼= 以棚 下面介绍二维解析函数【8 】1 ，( 钆z 2 ) 是解析函数，d 是它的收敛域，( 钆z 2 ) 在点j ( o ) d ，j ( o ) = ( z i o ) z 字) 处的泰勒展式是 oo_n 弛捌=扣，一zi)击+(砘一z50)杀户m热z50)j= o j 。 。4 l u 2 其中 他- 一z 击+ ( 砘一) 杀) 。州，z 1 0 ) ) = 彩毒m ”4 0 ) 一z 黔渤一姗1 而 q = 志 4 1 二维解析函数s ，可和性 同样要先证明所需要的引理 引理4 1 妒n ( z l ，砘) ) 是二维的解析函数序列，令j = ( 钆砘) ，( j ) = 妻c nq o 。( i ) 在g 2 中的某个非空开集g 内收敛，若，( j ) 能解析延拓到含在a z 中的某个 开集d ： ( = l z o ) 2 + 涵一毋) 2 aj ( o ) g ，其中i ( o ) ：( z p ，毋) ，存 在某一求和矩阵s ，使得级数，( j ) 是s 一可和的 证明令 s = ( a r i r n , ) ，n = i ，2 ，一，m = i ，2 ， 若( j ) = 0 ，令o 。= 1 若( j ) 0 ，令 。一耐萎n 贵萎3q 毒洲0 ) ) 卅) ( 驴z 卿一i 并且 薹o o 责萎1q 否磊簪( 妒) ) ( z t z 0 ) ) 弘z z 州 1 9 感妒。( j ) 在= i 处的泰勒展式- 豳戴寿 。堕o n m2 1 掰疆s 为求察短簿。 ( i ) = a n m c mc p m ( ) = 羹c m 妒暑鼢( 和) ) 妻琏q 赤妒m ( 瓤一= 黔。( z 2 ( z 2 一r 。 = c 竹l ( 孽) 妒m ( 吾哪) 嘉g 扎赤妒m ( 童) ( 瓤一名i 琊) 。 一砭”y 一。 m = u，= u4 = u 1 = 量鑫嘉妻q i 忑簪( 必镟z l - - z i 0 媛冼一矽) 卜2 = 叠妻叠m 焘g ( 扣) ) ( z t s o ) ) 2 ( z 2 - - 毋) 卜 又宥 o 。 ，渺) = 讯妒辨( 删) ， 嘏弛( o ) ) 一塞q 否夏每( 妒) ) 1t = #。z 可得 ( 。) 。苎去，( j ( ( o ) ( z 1 一z i o ) ( 犰一毋) 卜 一叠素杰q ；i 每，( 妒) ( z l - - z p ) l ( 砘一) 卜 = 垂妻f 以一) 矗+ 涵) 蠡渺，z 黑猡) 嚣 1 i m 厶( g ) ： j = ” 妻扣一z p ) 去心一z 1 0 ) ) 融) ，( z l o ) h ，；。 该级数是s 一可和的 4 2 二缝独立对称随机缀数 绘一个g 2 中连通的秘集郝在内垒纯的蔽数，溆，地) ，称为，( 趣，印) 的全纯城当且仅当不存在任何比更大的域( 涟通的歼集) ，使，( z 2 ) 在其 中能磐攒延拓。 设x 。( c o ) 是定义在概率空间，芦，硝上的独立对称的随机变量捌，尉有 2 8 定理4 1 对于级数咒( z l ，z 2 ) = x n ( u ) ( z l ，砘) ，凡( 钆z 2 ) 的o m 收敛 域d 非空，剜d 几乎必然是该级数的众纯壤。 证明假设咒( z l ，z 2 ) 能解析延播到e 2 中的非空开集 g ：( ；l 一2 产) 2 + 涵一孝) 2 赢可= r 2 ( u ) = 葛习x n ( u ) 睁内收敛由于r ，( u ) m ( u ) 是非负 随机变量，并且它们只与有限个的值无关，由0 一l 律知r 】( u ) = 亿r 2 ( u ) - 当n r 2 时，该级数在圆环r 2 r 1 内 2 2 j 乇( u ) 是独立对称的随机变量序列，根据推论4 2 知级数( z ) 的收敛边 界i z i = r t 几乎必然是该级数的自然边界；级数帆( z ) 的收敛边界l z | = r 2 几 乎必然是它的自然边界 综上所述，级数 允( z 1 ，z 2 ) = i o w ( z l ，z 2 ) + 讥，( z 1 ，z 2 ) 的收敛边界 z i = t 1 ，l z i = r z 几乎必然是它的自然边界 推论4 6 随机级数e 矗( u ) ( z 1 ，约) = 兄( z l ，z 2 ) 的收敛域为g ，在g 外 发散，若j 矗服从【- o ，叫上的均匀分布则兄( z 2 ) 的收敛边界几乎必然 是自然边界 推论4 7 随机级数( u ) 妒。( z i ，z 2 ) = 见( z 1 ，z 2 ) 的收敛域为g ，在g 外 发散若j 厶服从正态分布n ( o ，a ) 则兄( z 1 ，z 2 ) 的收敛边界几乎必然是自然 边界 考虑对称的g a u s s 随机变量，称其为g a u s s 变量 推论4 9 随机级数磊( u ) 妒。( z 1 ，z 2 ) = 儿( = 1 ，z 2 ) 的收敛域为g ，在g 外发散z n ( u ) 是独立对称的实或复的g a u 8 8 变量列，则级数厶( 钆z z ) 的收 敛边界几乎必然是自然边界 证明因为况( u ) 是独立对称的实或复的g a u s s 变量列， 因此根据定理4 1 ，就可得到该结果 推论4 1 0 设) 是定义在概率空间( q ，p ) 上的独立对称的随机变最 序列，则解析殆周期级数五。( u ) e - - a s ，e 。一= 兄( s l ，s z ) 的收敛边界几乎 必然是自然边界，其中 h ) ，n z 是增加数列 证明将级数分为两个部分， 其中 兄( 8 i ，3 2 ) = 札( s l ，8 2 ) + 仉( s 1 ，8 2 ) o o 札( 轧砘) = 弱e 。“e 。“ n = 0 轧( 钆s 2 ) = x 一。e 。“e 。” n = 1 那么扎( s 1 】8 2 ) = x n e 。m e - - ) 、n 8 2 就是随机d i r i c h l e t 级数， 根据推论3 4 知收敛边界a = o - e 。几乎必然是它的自然边界 另一部分r 。( s l ，8 2 ) = x 一。e - - a - n s e - a - n s 。，记口。( u ) 为级数收敛的横坐 标，根据引理3 4 ，及0 1 律知口。( u ) = a 。o 8 ， 根据定理4 1 可知级数仉( 2 l ，z 2 ) = x 一。e - - a - n s l e - - a _ n s 。，收敛边界o - = ( 9 - 。： 几乎必然是该级数的自然边界 综上所述，级数兄( 乱，z 。) 的收敛边界几乎必然是自然边界 2 4 五多维随机解析函数 本章将引理4 1 中二维解析函数f ( z t ，z 2 ) 的情况推广到多维解析函数 f ( z 。，z 2 ，) ，同时应用所得到的结论得到关于对称随机级数的收敛边界是 自然边界的结论 y ( z 1 ，z 2 ，) 是一个m 维的解析函数，d 是它的收敛域，( z l ，z 2 ，) 在v j ( o ) ：( z 双毋，勰) d 的邻域矿( j ( o ) 内具有连续偏导数关于多 维解析函数可参看文献【4 1 ，【5 】 f ( z 1 ，z 2 ，) 在点i ( o ) 处的泰勒展式为 而 n ，o m ) = 扣- 一i 也j o z l + j = o j + ( 一黜去) 坝删 卿) 去) 州棚 琵( ：) 剥撕( 0 ) 凇一扣妒 其中 a = 【a 1 ，o z 2 ， ( i j ( o ) a = ( 2 1 一= o ) “t ( z 2 一z ) 。( 一勰) 。m 5 1 多维解析函数的s 一可和性 引理5 1 ( j ) ) 是m 维的解析函数列，g 是c “中的非空开集，( 2 ) = 登c n ( i ) 在g 内口s 收敛，若，忙) 能解析延拓到c “中的开集d ： ( 乱一z ( 0 ) 2 - f + ( 一勰) 2 p ，j ( o ) g ，则存在一个求和矩阵s ，使得级 数，( i ) 在g 内是s 一可和暖= ( z l ，z 2 ，) ，j ( o ) = ( z i 叭，毋，嘏) ) 证明令 s = ( 口。) ， n = 1 ，2 ，m = 1 ，2 ，- 2 5 意 若( 1 ) 0 ，令 吲耋嘉；毛( ：)，= u 妞i = j 若( j ) = 0 ，令n 。= i 禳鉴b ( ( ；0 ) ) a 蕊r _ 百焉f ，j ( 。一。矿 酗o o1 毛( ：) 剥州扣一，n 是l p 。( ) 在j = j ( o ) 处的泰勒展式， 则有 。里o n m 。1 ， s 为一求和矩阵 令 厶( j ) = o 。( i ) = 登甜ni1志州三(0)(三o)n州j)m=o j = 甜( i ) 可躲妒。( j ( o ) ( j j ( o ) n 妒。( j ) = o 。o l = j 1 7 “ = 击c i 妒5 i ( j ( o ) 忙一i ( o ) 。 = 击，( j ( j ( o ) ( j j ( o ) 。 2 n 万ij 毛( ：) 莽m ( 0 ) 凇哟。 3 基击( ( z - 一= i 0 ) ) 岳+ + 一嘏) 去) 州护) ) 故 。肌) = 妻刍( ( z l - - z i o ) ) 击+ j = o o 。1 该级数是s 一可和的 2 6 + 一黜去) 坝棚= 朋) 5 2 多缀独立对称随机级数 。 定理5 。l 兄溷一羁f “) 磊( z l ，张，) ，弱( u j 是独立对旅的隧槐变 蹩，凡( i ) 的收敛域为go ，在g 外发散，则g 几乎必然是随机级数 焉( “) a ( z l ，；鳇垒缝域。 证明若凡( j ) 可以解析延拓到g 某个非嶷开集 d ：( z l z 。) ) 2 手( 酝一箴) 2 p ， i 渤g ，棂掇孝 理5 a 露弓f 瑙3 2 ， 级数( u ) ，( z l ，) 在d 内o s 收敛，而该级数在g 外发散，矛盾 n = i e 焉洳) 厶( z t ，) 秘收敛逶莽凡乎必然是鑫然速雾+ 得爨8 蔻乎必然是 n = l 0 0 弱( u ) 厶伍，锄) 的全纯域 推论5 1 a 是一个m 维的整函数序列，g 是g m 中的非疆开集，级数 厶溆，) 在每一个g 的紧子集中绝对收敛和一效收敛，级数 n = l i ，n ( 乱，) 1 2 在g 外发散则g 几乎必然是随机级数靠( u ) a ( 乱，) 黪全缝竣。箕审镟f ) 憝r o 。d e m a c h e r 彦魂。 证明e 。( w ) ，n ( 轧z 2 ，) 在g 内几乎必然收敛，i 蹿( z 1 ，砘，) i n ：ln = l 程g 夕卜发散，蕊在g 释| 露流，z - 2 ，钒) l