（计算数学专业论文）线性弹性力学方程的多尺度建模误差估计.pdf

中国科学技术大学硕士学位论文 摘要 摘要 在解决含有多尺度的性质的问题时，我们通常要构造宏观方程。为了 构尹：宏观方程，我们需要在局部区域上求解微观方程。局部问题上人t 边 界条件的添加会使宏观方程的解与微观问题的解产生模型误差。在本文中， 我们将对系数剧烈振荡的线性弹性力学方程做模型误差估计。我们将考虑 五种不同的边界条件：u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边界条件，u n i f o r mt r a c t i o n 边界条件，u n i f o r md i s p l a c e m e n t t r a c t i o n 边界条件，p e r i o d i c 边界条件， d i s p l a c e m e n t p e r i o d i c 边界条件。我们的分析指出所有这些模型误差均为小尺 度专与局部区域尺度6 之比。 关键词：多尺度建模，边界条件，误差估计，异质多尺度方法 中国科学技术大学钡士学位论文 英文摘要 一一 ab s t r a c t i ns o l v i n gt h ep r o p e r t i e so fm u l t i p l es c a l e sc o n t a i np r o b l e m ，w eu s u a l l yc o n _ s t r u e rm a c r oe q u a t i o n t oc o n s t r u c tt h em a c r oe q u a t i o ni nl o c a la r e a ，w en e e dt o s o l y em i c r oe q u a t i o n t oa d da r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si i il o c a tp r o b l e m w i l l m a n u f a c t u r i n gm o d e le r r o ri nt h es o l u t i o no fm a c r oe q u a t i o na n d m i c r oe q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，w ep r o v i d ead e t a i l e de s t i m a t ef o rt h em o d e l i n ge r r o ro fl i n e a re l a s - t i c i t yp r o b l e m sw i t hh i g h l yo s c i l l a t o r yc o e f f i c i e n t s f i v ed i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i - t i o n sa r ec o n s i d e r e d ：u n i f o r md i s p l a c e m e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，u n i f o r mt r a c t i o n b o u n d a r yc o n d i t i o n ，u n i f o r md i s p l a c e m e n t t r a c t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，p e r i o d i c b o u n d a r yc o n d i t i o n ，d i s p l a c e m e n t p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n o u ra n a l y s i sr e - v e a l st h a ta l lt h em o d e l i n ge r r o r sc o m et ot h er a t i oo ft h es m a l ls c a l eg a n dt h e s i z eo ft h el o c a id o m a i n6 k e y w o r d s ：m u l t i s c a l em o d e l i n g ：b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，e r r o re s t i m a t e ，h e t e r o - g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d s 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究丁作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志泔本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：签字日期：攀坚争乡p7 塑 中国科学技术大学学位论文授权使用说明 作为申请学位的条件之一，学术论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权。即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。本人提交的电子文档的内容和纸制论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 刚公开口保密( 年) 作者签名：墼查! 量导师签名： r 层之红 签字日期：丝! ! 兰塑! 墨坌签字日期：型二，舻 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 在科学计算或工程计算的许多领域中，我们遇到的很多问题都含有多尺度的 性质。直接求解这些问题，往往需要很大的计算量。例如我们用有限元方法解决， 为了达到要求的精度，需要把网格划分的很细，这样计算量就非常大。考虑到目 前计算机的计算能力，直接计算是很困难的，很多时候甚至是不可能的，况且有 时也是没有必要的。有时我们只需要知道这些多尺度问题的宏观性质，而不需要 了角午它们的微观性质。因此，我们需要一种计算方法，该方法能通过微观尺度信 息计算出宏观尺度信息。 本论文我们主要讨论系数剧烈振荡的线性弹性力学方程。我们主要基于异质 多尺度方法( 日m m ) 。该方法的主要思想是：在局部区域，抓住微观尺度上介质 性质，通过宏观尺度上介质性质与微观尺度上介质性质的联系，建立宏观尺度上 的物理模型。该方法的关键在于如何选取局部区域以及在该区域上如何选取边界 条件。 这篇论文中，我们在局部问题上赋予不同的边界条件，然后计算出它们 相应的宏观系数，并估计出其与均匀化系数之间的误差。本文中我们考虑局 部问题的五种边界条件：u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边界条件，u n i f o r mt r a c t i o n 边界条件，u n i f o r md i s p l a c e m e n t t r a c t i o n 边界条件，p e r i o d i c 边界条件， d i s p l a c e m e n t p e r i o d i c 边界条件。文章最后的结果均显示误差为介质的微观尺 度与局部问题中我们选取的局部区域的大小6 之比，即o ( ；) 。 本篇论文的结构为：第二章，我们将讨论局部微观问题，包括异质多尺 度方法( 日m m ) 的简介和局部问题的建立。第三章，我们将介绍均匀化理 论，包括线性弹性力学方程的均匀化，多尺度渐进展开和边界校正项。第 四章，我们将分别给出在u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边界条件，u n i f o r mt r a c t i o n 边界条件，u n i f o r md i s p l a c e m e n t t r a c t i o n 边界条件，p e r i o d i c 边界条件， d i s p l a c e m e n t p e r i o d i c 边界条件这五种边界条件下宏观系数与均匀化系数之间 的误差分析。 中吲科学技术人学硕上学位论文第二章局部问题 第二章局部问题 弟一早 向鄙i 口j 赳 我们考虑线性弹性力学方程： l 班 ( a i 习m ( 矿( 习”= 穴固z q cr n ( 2 1 ) 、 萨( 习= o z a q 峥j 其中参数1 ，表示方程系数a ( 习的多尺度性质。a 。( 劝= ( q 嚣打( 习) 为对称 叫阶张量，且满足a 吲2 ：a 5 ( 1 彳) ：人2 ，0 入 a 对任意的f r 似n 都成立。e ( 舻( 习) = ( e 巧( 伊( 劫) ) 为对称矩阵，e 巧( 伊( 劝) = ( 竽+ 擎) 。 ( 习为弹性张量，萨( 习为位移，穴司为外力。 2 1 异质多尺度方法 异质多尺度方法( h m m ) 【1 1 ，1 2 】是一个解决多尺度问题的理论框架。该方 法并不是要了解问题在每处的信息，只在局部区域求解局部问题，获取该区域上 微观尺度上的信息，通过这些微观尺度上的信息来刻画宏观尺度上的性质。 日m m 主要包括两个主要部分：( 1 ) 宏观模型上算法的选择( 2 ) 微观模型上 估计缺失的宏观信息。对问题( 2 1 ) ，宏观模型上的算法可选取标准的分片线性 有限元方法。对区域q 进行三角形剖分，每个单元t 的直径不超过h ( h g ) ， 单元的全体记为乃。t 上的宏观分片线性有限元空间记为妇。需要从微观模 型上估计的缺失信息就是乃上的四阶刚度张量a = ( a 泓，) ： 广 a 巧鼢= ( e ( 圣巧( 司) ：a 月( 回：e ( 圣鼢( 劫) ) 掘 ( 2 1 1 ) ，s 2 这里a ( 固是在尺度h 上的宏观弹性系数，圣巧( 固， ，歹= 1 ，7 z 为x h 上的 基函数。我们只要知道了a 日( 囝，a 就可通过数值求积获得： a 巧七，l t l 0 j i ，e ( 圣巧( 磊，) ) ：a 日( 磊，) ：e ( 西h ( 磊，) ) ( 2 1 2 ) t j t f t ，e t 其中f 磊，) 为数值积分点， 咄，) 为权系数，l 丁i 为单元t 的体积。因此我们的问 题也就归结为如何计算 a h ( 磊，) ) 。 我们在数值积分点 磊取样本如：厶( 磊，) = 磊，+ 【一；，2 】n 是一个以藏，为 3 一 中l = 珏| 科学技术人学硕上学位论文2 2 局酃问题的建立 中心，边k 为j ( d g ) 的方体。考虑下面的局部问题： - d i v ( a 8 ( 习：e ( 萨( 习) ) = 0z 厶( 磊，)( 2 1 3 ) 我们选取合适的边界条件，使得应变的平均为一给定常矩阵，这样磊，处的宏观 系数 a 日( 磊，) - 就可通过下面的关系式计算出来： a 日( 磊，) ： 如= 6( 2 1 4 ) 其中 如= 丽1f 1 6 认习据。 2 2 局部问题的建立 在上一节里，我们考虑样本厶上的局部问题时，提到应变的平均值是一常矩 阵这一约束条件： 1 6 = - g ( 2 2 1 ) 其中g 为一常矩阵。接下来我们将讨论局部问题( 2 1 3 ) 的五种边界条件： 1 u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边界条件： 矿( ：功= g zz a 厶( 2 2 2 ) 2 u n i f o r mt r a c t i o n 边界条件： 矿( ：功= a 元方a 厶( 2 2 3 ) 其中入r n n 是满足约束条件( 2 2 1 ) 的拉格朗日乘子。 3 u n i f o r md i s p l a c e m e n t t r a c t i o n 边界条件： ( 萨( 劝一a 矗) ( 矿( 习一g 习= 0 孑a 如 ( 2 2 4 ) 其中a - - 厶，g = 如。 4 p e r i o d i c 边界条件： 萨( z + 三) = 萨( ：功+ g 磊尹( z + ) = 一尹( 司 z a 厶，l = l 元 ( 2 2 5 ) - 4 - 中匡科学技术大学硕士学位论文第二章局部叫题 5 d i s p l a c e m e n t p e r i o d i c 边界条件： 萨( 劝= g zz a 露 矿( z + 三) = 萨( 回+ g z ，尹( z + 三) = 一尹( 神童a 曙 ( 2 2 6 ) 有了这五种边界条件，求解局部问题( 2 1 3 ) 后通过下面的定义： 如= a 日： 厶( 2 2 7 ) 就会得到相应的宏观弹性张量a 日为a m ，a 甜，a 出，a 即，a s 。不难证明a h 也是有界对称正定的。 2 3 本章小结 在这一章中，我们简单回顾了质多尺度方法( h m m ) 的基本思想，同时针对 线性弹性力学问题，给出了日m m 的具体算法。同时对于局部问题，给出了五种 边界条件。在下一章中，我们将介绍线性弹性力学方程的均匀化理论。 5 一 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章均匀化理论 第三章均匀化理论 在求解具有多尺度性质的偏微分方程时，均匀化理论起着核心的作用。在本 章中，我们将介绍线性弹性力学方程的均匀化理论【4 】。 我们先给出一些记号和s o b l e v 空间范数的定义。我们使用e i n s t e i n 求和约 定，即出现重复指标时，我们将对这一指标做求和处理。三2 ( q ) 是在区域q 上所 有平方可积函数的集合。s o b l e v 空间日七( q ) 上的范数和半范数为： i i 训k m _ ( 上i 聂旧1 2 p 巾k ，1 2 - ( 上i 聂i d | 2 ) 5 砚：q ) 空间包括所有属于1 ( q ) 并在边界a q 上为零的函数。如无特殊说明，c 表示一个与和6 均无关的常数。 3 1线性弹性力学方程的均匀化 我们考虑线性弹性力学方程： 卜酬州北( 酮) ) = 冗劝方q c 础 ( 3 1 1 ) 、 萨( 岳) = o z a q 。执l 叫 其中参数g 1 ，表示方程系数a 5 ( 囝的多尺度性质。a 5 ( 习= ( o 刍h ( 劝) 为对称 四阶张量，且满足入2 ：a 5 ( 习：专h i l l 2 ，0 入 a 对任意的胛加都 成立。 令歹= 季。我们这里假设方程系数a 5 ( 神关于歹为全局周期函数，即： ( 回= a ( 功( 3 1 2 ) 周期为y = 【0 ，1 】n ，且是充分光滑的。在我们的分析中，a 巧鼢( 刃c 1 ( y ) 已经 足够。 上述问题( 3 1 1 ) 可以写成下面的变分问题：寻找萨( 劫( 础( q ) ) n 使得： o 。( 萨( 劫，议劝) = ( 穴回，议回) ，吲习( 础( q ) ) n ( 3 1 3 ) 其中矿( 矗( 劝，硪回) = 厶口孑打( 习e 巧( 硪固) e 鼢( 政回) d 暑， ( 氕习，诹固) = 厶氕习诫据。 一7 - 中图科学技术人学硕士学位论文 3 2 多尺度渐进展开 均匀化理论的主要目的就是研究当一0 时，矿( 习_ 俨( 习的性质。其主 要任务就是寻找均匀化系数a 。，以得到极限解俨( 回所满足的均匀化方程： 一d f ( a + 善署兰：2 穴习茎主芸舻 c 3 1 4 ， 3 2 多尺度渐进展开 下面我们将利用多尺度渐进展开方法推导出均匀化方程。我们希望萨( 固有 如下的渐进展开形式： 伊( 回= 蟊( 叠功+ e 面( 最们+ s 2 碗( 五刃+ ( 3 2 1 ) 其中厩( 磊功关于矿是周期的，周期为y 。 记l 5 为 ，、 矿= 一杀( 。归( 刃) ( 3 删 当我们对形如圣( 武功的函数对z 求微分时，我们有： 旦：旦+ 兰曼 ( 3 2 3 ) 一= 一十一一 l u _ ”， o x io x j a 协 、。 这样l e 就可展开为： l e = l 1 + 一1 l 2 + 一2 l 3 ( 3 2 4 ) 其中 ”一南( 口枷( 瓣) l 2 = 一毫( 。伽( 们b 各) 一南( 呐( 们e 。) 虻一杀垌e 2 r ) 我们把萨( 劝和各自的展开式带入到方程矛( 回= 灭囝中去，得到： l l 砺( z ，扔+ l 2 访( 最们+ l 3 t 7 2 ( x ，刃= 冗回 l 2 砺( 最们+ l 3 诹( 霸毋= 0 l 3 面( 最刃= 0 8 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章均匀化理论 方稽5 ( 3 2 1 0 ) 即为 q 一杀( 。巧h ( 功e l r ( 谝( 五功) ) = o ( 3 2 1 1 ) 其中面( z ，们关于歹是周期的，根据二阶椭圆偏微分方程的理论【3 】，我们知道 面( z ，刃关于歹是无关的，即砺( 孑，刃= 讹( 劝。于是方程( 3 2 9 ) 可简化为： 一杀( 。伽( 嬲舸( t 洲2 南( n 归( 刃e ：r 厕” ( 3 2 1 2 ) 为了给出霞。( z ，刃的具体形式，这里我们提出一个辅助的c e l l 问题：矿= 妒r ( u - 3 为如下问题的周期解，周期为y ： 一亳( 。洲( 蹶2 ，付坳) ) = 亳。归( 刃，z ( 们万= 。 ( 3 2 1 3 ) 那么方程( 3 2 9 ) 的解而( 彳，扔满足： 西( 最刃= 妒r ( 劝e i ( 讯( 习) ( 3 2 1 4 ) 最后我们注意到乱2 ( 磊劝满足的方程( 3 2 8 ) 可以化简到： 一亳( 口归( 嬲腼( 硼) ) 乩- 疡( e 刃他访( 叠刃+ 冗动 ( 3 2 1 5 ) 对于周期边界条件的椭圆偏微分方程，由方程的可解性条件【3 】可知方程( 3 2 1 3 ) 的右边项在y 上关于歹积分应为0 即： ( l 1 面( 叠们+ l 2 u l ( ：方, i f ) + 冗习) d 歹= 0 ( 3 2 1 6 ) 从而我们得到了碗( 习所满足的方程，即我们所要的均匀化方程： 一去( 左鼢e l ，( 谝( 回) ) = j i ：习 ( 3 2 1 7 ) 其中均匀化系数 。+ i j k r - - 上( n 咖( 刃+ a 洲( 哟r ，( 妒( 刃) ) 蚵 ( 3 2 1 8 ) 由于方程( 3 1 1 ) 中我们假设系数喝鼢( 囝为全局周期的，所以这里均匀化系数 n 玉打为一常数。在 5 】中，我们知道a + 也是有界对称正定的。 q - 中国科学技术人学硕士学位论文3 3 本章小结 3 3 本章小结 在这一章中，我们介绍了均匀化方法，并利用多尺度渐进展开方法给出了线 性弹性力学方程的均匀化方程。在下一章中，我们将进入本篇文章的重点部分： 局部问题在不同的边界条件下，估计出相应的线性弹性力学方程的宏观系数，并 对它们做误差分析。 - 1 0 - 中国科学技术大学硕士学位论文 第四幸误差分析 第四章误差分析 我们考虑第二章中提到的局部问题： 一d i v ( a 5 ( 囝：e ( 矿( 动) ) = 0 彳厶 ( 4 1 ) 在五种边界条件下，求得的线性弹性力学方程： j 一出u ( a ( 动：e ( 铲( 动) ) = 胴考qc 舻( 4 2 ) 、， 【 萨( 劝= 0 z a q 的宏观系数a d d ，a u ，a d t ，a 卯，a d p 与均匀化系数a + 之间的误差。 这里仍假定系数a s ( 习为全局周期函数，即a 5 ( 囝= a ( 刃，此时a + 为常数。 设巧打( 刃c 1 ( y ) ，q 为有界的凸多边形区域，则有以下定理： 定理4 i 设局部问题( 4 1 ) - 分别在边界条件( 2 2 2 ) 一( 2 2 6 ) 下，通过定义 ( 2 2 7 ) z 。一i 。线 性弹性力学方程( 4 2 ) 相应的宏观系数a 日为a d d ，a 托，a 出，a r p ，a d p ，则存在一个与，d 均无关的常数c ，满足： i a h k r - 打isg 吾 ( 4 3 ) 当a h = a d d ，a u ，a d t ，a n ，a 却时均成立。 4 1u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边界条件 考虑局部问题： 可以推出： 厶= 丢丙1z 如( 眼神吻+ 哆( 矾) d s ( g 伽z 七7 b + g j 七z 七n i ) d s ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 厶 _ t z | z 0 = ” 回孑 矿 g “ = 讲固 似矿 “ 出 一 ，、【 如 厂，坩 一|玎 l 2 g 中图科学技术：大学硕：扛学位论文4 1u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边界条件 所以为了得到宏观系数a 苏，通过定义式( 2 2 7 ) ，我们只要取g 为n 仃个单 位矩阵e 巧，i ，j = 1 ，竹即可。 所以考虑u n i f o r md i s p l a c e m e n t 局部问题： j 一砒t ，( a ：7 e ( 萨，( 囝) ) = 。z 厶 ( 4 1 3 ) 、 萨，( ：功= e k r 。zz a 厶 。4 j j 由宏观系数的定义知： a 拓= e 巧：a 削：e 打 = e 巧： 如 = 如+ 如 = 如( 4 1 4 ) 考虑方程( 4 1 3 ) 对应的均匀化方程： ! 一出 ( a + ：“萨弋劫”= o z 厶 ( 4 1 5 ) i矿( 习：e 鼢z z a 厶 p 叫 其中均匀化系数为： a ；打= ( o 巧打( 刃+ a i j k r ( 们e ：，r ，( 妒7 ( 功) ) d 歹 ( 4 1 6 ) ，y 妒7 ( 功为辅助的c e l l 问题的解。令叫谚( 刃= e 妇+ e 2 ( ( 刃) ，则： a 0 b =( e 巧：a ( 刃：w 打( 刃) 蚵 。 = ( 伽巧( 刃：a ( 奶：叫鼢( 刃) 蚵一( e 2 ( 妒( 功) ：4 ( 刃：伽h ( 刃) 蚵 y 3 y = y( 4 1 7 ) 上面均匀化方程的解为： 铲( 回= e 打曩 ( 4 1 8 ) 为了估计a 蕊，和a 备h 之间的误差，我们对( 劝做多尺度渐进展开： 。( 习= 护( 回+ e 妒7 ( 刃e h ( ) + s 驴( 固( 4 1 9 ) 一1 2 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章溪差分析 其中和( 固为边界校正项，满足方程： 2 一d i v ( a 5 ( 回：e ( p 钌( ：_ ) ) ) = o z 厶 ( 4 1 1 0 ) i 庐0 7 ) = 一s 妒7 ( 奶e h ( ) z 0 1 6 、。 上面的多尺度展开可以化简为： 啻，( 囝= 孑+ g 妒( v 3 + e 庐( 劝 ( 4 1 1 1 ) 从而： e ( ( 劝) = + e 2 ( 妒( 刃) + s e ( 驴( 回) = ( 奶+ s e ( 庐。( 囝) ( 4 1 1 2 ) 把上式带入宏观系数的表达式( 4 1 4 ) 中，得到： a # c i d k ，= 1 6 + b + g r 6 + e 2 i s( 4 1 1 3 ) 因此我们有： a i j d d k r a 玉鼢全 + 1 2 + 1 3 ( 4 1 1 4 ) 其中： 以= 如一 y ( 4 1 1 5 ) 厶= s 厶 + s 如 ( 4 1 1 6 ) 如= 9 2 如 ( 4 1 1 7 ) 下萨将分别估计，】，厶和厶。 引理4 1设y 为r n 中的一个单位方块，f ( v - ) 二1 ( y ) 是一周期函数，且 周期为1 。那么对于任一直径不超过h 的区域k 舻，有： l 南厶碟) 据一上彻刮g 丢 8 ， - 1 3 中国科学技术人学顾士学位论文4 1u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边界条件 在，1 中，w j ( 9 5 ：a ( y - ) ：w 打( 扔满足引理( 4 1 ) 的条件，故我 f f j 有： i h l c 云 ( 4 1 1 9 ) 下面我们对足做出估计。通过分部积分： ( e ( o n j ( 神) ：a ( y - ) ：w 鼢( 刃) d z = 驴( 劝( a ( 刃：w h ( 劝) g d s j1 5 d 0 1 6 一驴( 习d i v ( a ( y - ) ：叫打( 刃) 掘 j 1 5 = 驴( 习( 4 ( 刃：w h ( 刃) 融 = 一 ( 们( a ( 们：似打( 们) f f d s ( 4 1 2 0 ) ( 功在边界a 厶上有界，故： 坛妒( 洲蛔：扩( 跏融l c 护叫 所以我们可以得到厶的估计： 吲魄南扣_ 1 ) c ； ( 4 1 2 1 ) ( 4 1 2 2 ) 最后我们来估计厶。首先估计i l e ( 咖。( 固) l j 0 ，厶。为此，我们写出庐( 动的变 分形式： ( e ( 6 渺。( 囝) ：a ( 刃：e ( 以回) ) d z = 0 啊回( 硪( 厶) ) n ( 4 1 2 3 ) 取截断函数7 - ( 劝铅( 厶) ，i e v 7 ( 习i c ，0 7 ( 习1 且7 - ( 习兰1 ，z h i 。 ，= z 孝厶，l z a 厶is ) 。令万( 劝= 咖( 囝+ ( 1 一下( 固) 露( 刃，得： ( e ( 驴。( 回) ：a ( 刃：e ( 庐( 回) ) d z = 一( 1 7 ( 习) ( e ( ( 刃) ：a ( 刃：e ( 驴( 习) ) 掘 j1 5jl s 一( e ：a ( 功：e ( 伊( 习) ) d 方 ( 4 1 2 4 ) j i # ，= 三( 笺掣彰c 刃+ 釉) - 1 4 - 中匡科学技术大学硕士学位论文第四章误差分析 所以： 槲驴。( 驯吖。刘a l 一下( 跏2 ( f j ( y 3 ) 1 1 0 , 1 6q 妒a 跳如 _ c l l 8 p ( 4 1 2 5 ) 由于a ( 功的有界性，并且i ，8 i = s d ( n 一1 ) ，我们得 j 1 3 i = i 2 6i 却e ( 魄圳i o ，删i i 扩( 驯j 0 ，如 c ； ( 4 1 2 6 ) 故综合( 4 1 1 9 ) ，( 4 1 2 2 ) ，( 4 1 2 6 ) ，我们推出在u n i f o r md i s p l a c e m e n t 边 界条件下，局部问题所估计出的宏观系数与均匀化系数的误差： i a 藻，一月刹sc 善 ( 4 1 2 7 ) 4 2u n i f o r mt r a c t i o n 边界条件 ! 一出 ( ( 动e ( 伊( 习) ) = o z 厶 ( 4 2 1 ) 、 厶- lj 【 尹( 神= 入- 元 z 0 6 、。 可以推出： 如= 两1z 如( 州囝e ( 矿( 训鹏饥d s = 1 _ _ a 。l ；k x j m d s 。片v 所以考虑u n i f o r mt r a c t i a n 局部问题： 刊伽曼誓1 动) 一呱劬 ( 4 2 3 ) l l 尹( 回= e 鼢z方a 厶 、 我们首先证明由( 2 2 7 ) 定义的宏观系数存在。即证明 厶， - 1 5 中围科学技术人学硕士学位论文4 2u n i f o r mt r a c t i o n 边界条件 i ，j = 1 ，佗是线性无关的。若存在不全为0 的的常数肛订， ，j = l ，钆满足： 由于： 脚 1 6 - - 0 ( 4 2 4 ) 如：e 鼢= 1 6 + 如 = 如( 4 2 5 ) 故对( 4 2 4 ) 两边同乘以e 打，k ，r = 1 ，竹，得： 脚 1 6 - - - - 0 上式两边再同乘以肛鼢，k ，7 = l ，礼，得： 即： ( 4 2 6 ) 肛玎 6 肛打= 0( 4 2 7 ) 如= 0 考虑到a 5 ( 动的正定性，我们有： p 玎。( 习= 0 ， ，j = 1 ，佗 ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) 与方程( 4 2 3 ) 相矛盾。所以对任意给定的常矩阵g ，存在常数h ，l ，歹= l ，铊 ，使得： b 如= g ( 4 2 1 0 ) i j = 1 ，竹 我们定义b 钟= ( a 扰) ，则我们得： 磺打= ：b 托：e 打 = e 舒： 厶 = 厶+ 如 = 厶( 4 2 1 1 ) 并且不难验证b t t 是对称正定的。 1 6 中国科学技术大学硕士学位论文第四章误差分析 考虑方程( 4 2 3 ) 对应的均匀化方程： p 篙璺? 孝“e 0 1 6 定义b + = ( a + ) ，则： e ( ( 囝) = b ： ( 4 2 1 2 ) ( 4 2 1 3 ) 为了估计路，和打之间的误差，我们对( 劝做多尺度渐进展开： ( 劝= 护( 习+ g 矿( 刃e 打( ) + e 庐( 劝( 4 2 1 4 ) 其中庐( 劝为边界校正项，满足方程： r 品黎闻茎茎袅 2 ， 其中n 为待定矩阵，接下来我们将推出n 的表达式。 记舻。( 固= 密( 劝+ 妒7 ( 刃e 鼢( ( 回) ，则： e ( ( 固) = ( j + e 7 ( 回) ：( b + ：) ( 4 2 1 6 ) ( e ( 劫) 巧打= e 弓( 矿( 劝) 故我们有： e h ：( a 5 ( ：功：e ( 萨。( 劫) 一a + ：e ( 和) ) = e h ：( a 5 ( 习：( ( ，+ e ( 劝) ：( b + ：e 巧) ) 一e 订) ( 4 2 1 7 ) 记g 留( 刃= e 打：( 小( 司：e ( 1 ( 劝) 一a + ：e ( 面夥) ) ，由( 3 2 1 3 ) 和( 3 2 1 8 ) 我们不 难发现： g 孑( 刃蚵= 0 ( 4 2 1 8 ) 熹g 孑i y ) ：o ( 4 2 1 9 ) 面u 巧 刮 哗- v 根据1 7 】，我们知道，存在n 个反对称矩阵q 各( 刃= q 孑7 ( 们，k = l ，冗满足： g 磐( 刃= 杀q 巩功，上( 功蚵= 。 ( 4 2 2 。) 中困科学技术人学顾士学位论文4 2 u n i f o l l nt r a c t i o n 边二# 条件 我们现在取肌，= 一g 寥( 功= 一轰q 孑7 ( 扔，即庐。( 劝满足： f d i v ( a 5 ( 习：e ( 庐( 回) ) = 0 影厶 t 酮：一鼬k r 自州咖 h 幺2 d 从而8 ( 习的多尺度展开可以精确的表示为： 矽。( 劝= ( 习+ 庐( 司 ( 4 2 2 2 ) e ( 。( 劝) = ( ，+ e 7 ( 劝) ：( b + ：e 巧) + e e ( 庐( 习) ( 4 2 2 3 ) 把上式带入( 4 2 4 ) ，得： 碟鼢= 1 6 + 如+ g 如 + 9 2 如 全厶十j 1 2 + 1 3 ( 4 2 2 4 ) j r l = 如 ( 4 2 2 5 ) 尼= g 6 + e 厶 ( 4 2 2 6 ) 厶= 2 厶 ( 4 2 2 7 ) 首先我们对 做出估计： ，1 = ( b ：e 巧) ： 如：( b + ：e h ) 由引理( 4 1 ) ，得： i a - - - - a + + o ( 吾) 一1 8 ( 4 2 2 8 ) ( 4 2 2 9 ) ! 望型堂茎术大学硕士学位论文 第四章误差分析 一一一一 二： 所以 ，1 = ( b + ：e 巧) ：a ：( b + ：e 鼢) + d ( 吾) = b i i k , + 0 ( 吾) ( 4 2 3 0 ) 然后戎1 门对21 敌出估计。通过分部积分： s z ( e ( 庐( 回) “( 刃e ( 萨一( 固) ) 掘= z 厶舻r ( e o - ( a ( 奶：e ( 矿( 习) ) 融 = 8 l 彤崤谶 一z 如( ( 砒，赤q 7 ( 弧，d s vu j 一h _ 一z 如( ( 砒，者( a 7 ( 肿叫剐”如 ，口jv t ” = 一丘e 办7 ( 萨一( 囝) 者( q 9 7 7 r ”( 蓟( 1 一丁( 习) ) 掘 ol 工 v w 一。 一z ( ( 锨，瓦0 丽0 ( n ( 舯叫训 一( z 6e k , r , ( 面k 1 囝) 南( 。( 滩叫剐婀 u h p 。 妒( 刃在1 6 上有界，故： j l l ( 2 k l r ( 州司) 南( q ( 舯叫剥彩旧r i 所以我们可以得到如的估计： 吲c 而1 州c 吾 ( 4 2 3 2 ) ( 4 2 3 3 ) 最后我们来估计厶。首先估计l l e ( 庐。( 囝) | 1 0 t 几。为此，我们写出痧( 劝的变 分形式： 上( e ( 庐。( 习) ：a ( 功：e ( 以习) ) 掘= z 厶烈习g d sv 万( g ) ( 日- ( 厶) ) n ( 4 2 3 4 ) - 1 9 中囡科学技术大学顾士学位论文4 21 m i f o 眦1t r a c t i o n 边界条件 令烈回= 伊( 劫，得： r ( e ( 驴( 习) ：a ( 刃：e ( 萨( 习) ) 掰= 驴( 回( a ( 刃：e ( 庐。( 习) ) 僦s j1 6 j8 i & 、 一z 厶( 矽( 锨南( q 巧k r r 7 ( y - 5 ( 卜丁( 训州s 一五( 矽( 司) 苦( 喀7 ( 滩叫训据 一z ( 必僦杀毒( 咖( 1 叫剥 = 一五e 打( 庐。( 劫) 南( 口孑7 ( 劝( 1 一下( 劫) ) 据 ( 4 2 3 5 ) 所以： e ( 既珊心c l | 杀( 锣7 ( 肿一下 如+ 如 + 2 如 ( 4 4 1 1 ) 因皿：我们有： a 缀r a 打全 + 厶+ 如 ( 4 4 1 2 ) 其中： 五= 如一 y ( 4 4 1 3 ) 厶= g 5 + j 。 ( 4 4 1 4 ) 厶：矿 厶( 4 4 1 5 ) 下面将分别估计厶，如和如。 在 中，u ( 刃：a ( 刃：t h ( 刃满足引理( 4 1 ) 的条件，故我们有： g 善 ( 4 4 1 6 ) _ 2 3 中圈科学技术大学硕：b 学位论文 4 4p e r i o d i c 边界条件 我们首先估计i i e ( 砂( 司) b 。为此，我们写出影( 习的变分形式： 小矽) 刖办“酮) ) d 拈z 如酮 e 伊气剥) 融嗍勰驯n 令痧( 功= 庐5 ( z ) + ( 1 一丁( 动) 妒( 刃，得： 五( e ( 庐( 劝) ：月( 刃：e ( 伊。( 劫) ) 掰= 一三z h ( 驴。( 司+ 妒( ) ( a ( 刃：一e 巧) 何如 一( e ( ( 1 一丁( 习) 妒( 奶) ：a ( 刃：e ( 驴( 劫) ) 据 ( 4 4 1 8 ) 记g 孑( 刃= e 打：( a 5 ( 神：训巧( 习) 一a + ：e 巧) ) ，由( 3 2 1 3 ) 和( 3 2 1 8 ) 我们不难发 现：+ 上g 孑( 刃蚵= 。 杀喏( 刃= 。 ( 4 。4 1 9 ) ( 4 4 2 0 ) 根据【7 】，我们知道，存在佗个反对称矩阵鸥( 奶= q 孑7 ( 刃，七= 1 ，n 满足： 弛0k y )