（计算数学专业论文）最小支集样条小波有限元.pdf

内容摘要 本文将双三次最小支集样条小波应用到有限元法中，以薄板弯曲问题为背景，建立 了矩形薄板在小挠度情况下的最小支集样条小波有限元仔细分析了离散化过程，离散 化后的代数方程组及其系数矩阵，各种边界条件的处理，最小支集样条小波有限元解的 误差阶，并对节点参数作了一些讨论，还给出了数值算例 关键词：最小支集样条小波有限元尺度函数小波函数 a b s t r a c t u s et h eb c u b i cm i n i m u ms u p p m ts p l i n ew a v e l e tf o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h e a r t i c l e ，m i n i m u ms u p p o r ts p l i n ew a v e l e tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w h i c hi sb a s e d0 0 b e n d i n gp r o b l e mo fr e c t a n g u l a rt h i np l a t e s ，h a db e e ne s t a b l i s h e d t h ed i s c r e t ep r o g r e s s ， t h ea l g e b r ae q u a t i o n ss e ta f t e rd i s c r e t e t i o na n di t sc o e f f i c i e n tm a t r i x ，d e a lw i t ha l lk i n d s o fb o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h ee r r o ro fm i n i m u ms u p p o r ts p l i n ew a v e l e tf i n i t ee l e m e n t s o l u t i o nh a db e e na n a l y z e dc a r e f u l l y p a r a m e t e l o fn o d e sh a db e e nd i s c u s s e d an u m h e l e x a m p l eh a db e e np r e s e n t e d k e yw o r d s ：m i n i m u ms u p p o r t ；s p l i n ew a v e l e t ；f i n i t ee l e m e n t ；s c a l e f u n c t i o n ； w a v e l e tf u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成巢。尽我所稚，除了文中特j 6 t l n 戳标注帮致谢的缝方外，论文中 不包括其毽人慰经发淡或撰写过的骥究残暴，也不包含为获黎嚣趣灏蕊大 学或其他教育机构的学位或证e 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的健何贡献均已猩论文中作了明确的说明并表示了谢意。 麓名：越醚日期：兰受鹭! & ! 垂 关于论文使用授权的说明 本人完全了艇嚣i 艺颤范大学袁荚攥整、傻矮学经论文豹援定，露：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论 文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 傺密魏论文京解密詹应遵守诧窥寇) 然名：缝垂璺壅导师签名：签堡斓日期：趔! ! 兰2 剿薅 小波分辑是爨1 9 8 6 年y m y e r ，s m a l l a l 及i d a u b e c h i e s 等人的奠基工终纛迅速发蓑 起来的一门新兴学科，它是f o u r i e r 分析划时代发展的结果小波分事斤不仅理论深刻， 而且应用领域也十分广泛，它的应用领域包括数学领域本翳的许多学科，如数值分析， 曲线曲面的构造，微分方程的数值解，控伟论等 ，l 、波分丰蓐静主要悉怒慧在多尺度努耩l 5 辚基磴上，自足度函数淑茇去掏懑小滚涵 数，从露产生橱残窒闷豹小波基+ 峦，j 、波函数戆良好瞧矮，瘸小渡基麴震辩表承空闼孛 的函数，能够做到对鹾数的分解与重拘，从两达到研究函数的目的，铡如m a l l a t 在文摩 i l s 中提出的分解与重构算法就题用小波基对函数分解与萤构的个缀好的反映， 1 9 8 8 年，id a u b e c h i e s 在其论文1 1 6 1 中掇出了类其有紧支撑的正定小波函数的具体 掏造方法，并证溺了箕其奇穰童手瓣正燹 j 性，僵遗憾煎蹩除h a r t 小渡舞，箕它这类正燮 小波都没毒解辑袭运式。誊镶泰( 美溺王建中1 9 9 2 每在论文1 3 0 l 巾 入了群条小波：以 b 样条函数，曲作必尺度函数，可以握造出类具有紧支撑性威的撑条小波函数 ( x ) ，并舆有解析表达式这样的样条小波函数还舆有其它一些良好的性质，如半难 交性，郎c 1 。( x ) ，( x ) = 0 ；魑啪阶m 1 次分段多项式，其分段区间是。( x ) 的一举； 矮有一定的对称住，都蒺予蠢线j = 翟譬当i 1 为奇数时殷对称，当m 为褐数时j c 于称簿等f 洋 凳第一章2 。出予最，l 、支巢样絷，l 、波是分羧多磺式懿局部菲零，困嚣可戳籍箕俸受描 使基函数拇造棋波的撼擅函数来逼近般函数，从恧馒其在数值分辑中蠢了一定的成 用 在微分方程的数值求解中，有限元法1 6 ) , 1 7 咻仲6 l ，p 8 1 是一种极为有效的数值方 法有限元法以变分琢理耩割分插值为基确，能够较囊实和充分的反映出被分祈对象盼 内在特征，荬离散纯屠豹我数方程缰鹣系数矩阵粪有稀巯搜，这襻露节省存髓又寝于诗 冀石睾孛慈教授1 9 7 9 年在文献【2 l l 中提出了以3 次b 。样蔡作为捶焦基函数建立的样条 有限元法，可以佟为一般有耀元的一种补充，在实际应用中收到了良好的效果 与b - 样条函数相对应的最小支集样条小波函数儿( z ) 与b ，样条函数，( j ) 是正变 的，而且与b 样条函数是同阶( 同次数) 多项式，其分段区问是b 一样条函数的一半_ 本 文尝试将最小支集样条，j 、渡应甭茔l 有隈元法孛，隰薄板的耷益阉遂为背景，建立矩形薄 援躲弯麴阉燧豹鼹夺支装样条小波寿嫩元法与矩形叛弯熟熬撵条有限元摆撼，最小支 集样条小波有限元与其有很多不同之处，主要表现在以下几个方面： ( t ) 样条有限元的基函数是在二维样条尺度函数空间曙中取的，最小支集样条小波 有限元的基函数是在二维最小支集样条小波函数空问件0 中取的，而二维尺度函数空间 咏与二维小波函数空间彤? 是正交的，即两种有限元中所采用的基函数是正交的： ( 2 ) 对板弯曲问题的样条有限元来说基函数只有一组，即碱( z ) 妒( x ) ，而最小支集 样条小波有限元的基函数有三组，即 ( x ) r ，( j ) ， ( x ) 矿，( x ) 和碱( x ) y ，( j ) ，且它 们彼此是正交的： f 3 1 样条有限元中每个节点的参数只有一个，最小支集样条小波有限元的每个节点的 参数不止一个( 详见第二章1 此处节点参数指的是将未知函数用基函数作线性组合作插 值展开时，相应节点处的基函数在展开式中的系数： ( 4 】样条有限元与最小支集样条小波有限元离散化后所得方程组的系数矩阵有很大 的区别 在本文中，着重分析了在小挠度情况下薄板上以变分原理和最小支集样条小波基函 数为基础的最小支集样条小波有限元，主要工作有： ( 1 1 将未知函数用以张量积方法构造的二元最小支集双三次样条小波的线性组合作 插值逼近，在二维小波函数空间伟0 中将对能量泛函求极小后所得的积分方程进行了离 散化： ( 2 ) 仔细分析了离散化过程、离散化后的代数方程组及其系数矩阵； ( 3 ) 最小支集样条小波有限元中的边界条件处理； ( 4 ) 最小支集样条小波有限元解误差阶的分析： ( 5 ) 对用小波线性组合表示未知函数时的系数做了一些讨论与一般有限元相比，这 些系数不是能量泛函中未知函数在相应节点处的函数值，故最小支集样条小波有限元与 一般有限元有根本的区别 本丈的内容分为两章，第一章是准备知识，主要介绍小波分析的基本知识，样条小 波，最小支集样条小波及其性质，最小支集样条小波插值，以张量积形式构造的二维小 波：第二章是最小支集样条小波有限元，主要内容是板弯曲问题简述，最小支集样条小 波有限元方法的具体过程及最小支集样条小波有限元解误差阶的分析，最后给出一个数 值例子 第一章准备知识 l 小波分析简介 1 9 8 1 年法国地质物理学家m o r l e t 仔细研究了c c d b o r 变换方法【2 】，对f o u r i e r 变换和 加窗f o u r i e r 变换1 卜f 3 1 的异同、特点及函数构造作了创造性的研究，首次提出了“小波 分析”的概念数学家m a y e r 对m o r l e t 的算法进行了系统研究【4 】，并与m a l l a t 共同合作， 提出了多尺度分析后m a l l a t 又提出m a l l a t 分解与重构算法”1 1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 提 出了著名的d a u b e c h i e s 小波f “j ，给出了一类具有紧支撑的正交小波的其体构造方法前 人的这些工作奠定了小波分析作为一门学科的基础，此后小波分析的研究和应用便迅速 发展起来卜【5 1 【8 1 4 1 2 卜【“i 定义1 1 1 h 5 m 2 卜i “1 设 卅e ：是r ( r ) 的一串闭子空间，称 ) 。z 是r ( r ) 的一 个( - - 进1 多尺度分析，如果 1 ) c ： 1 1 _ ，c c kc 匕c ，n = o ) ，u k = r ( r ) ： ( 11 1 ) 2 ) f ( x ) 吃曹f ( 2 x ) 十1 ： 3 ) f ( x ) vj ( x 一2 一”n ) ，n z ； 4 ) 存在函数g ( z ) t 屹，使得 g ( x 一月) 珂。构成的 数a 和b 对任意的 c n 。2 有 爿丕隆籍o i i 蚰乏| c 一2 l l z n e z艇z n e z 设庐( x ) l 2 ( r ) ，定义 ( 112 ) ( 113 ) 组r i e s z 基，即存在两个正常 ( 114 ) 一= s p a n 颤lk z ) ， ( 1 15 ) 其中 矿。( t ) = 2 i ( 2 x 一女) ，j z ( 1l6 ) 若f ( _ 一 ) k ：构成的r i e s z 基，且这样定义的上2 ( r ) 的闭子空间列 。满足多尺度 分析的定义，即 y ， 。构成了l 2 ( r ) 的一个多尺度分析，则就称庐( j ) 是生成多尺度分析 ， 。的一个尺度函数 若( x ) 是生成多尺度分析 ， 。的尺度函数，由于矽( j ) _ ，所以( j ) 可以 用k 的基底表示，而由定义1 可知。1 月z 是_ 的r i e s z 基，故存在唯一的，2 中的序 列 玩 。；。使提 ( j ) = 2 ；h 。庐( 2 x 一”) ， ( 1l7 ) 目z 这称为尺度函数的二进尺魔关系， h 。；。称为二进尺度序列或频率响应对( 1 ，i7 ) n 端 作f o u r i e r 变换得 乒( m ) = 柳洋) 乒( 黝， ( 1l8 ) 其中 m ( 甜) = 2 一i 丸e ， ( 1 l 9 ) 艇z 称为传递函数或共轭滤波器 由于ic 0 十1 t 记哆为一在+ t 中的正交补空闻哼，鲻0 “= _ o 哆辩莱存在 ( i ) gl 2 ( r ) 使衔 帆= s p a n i l v j kl k z ， ( 1i ，1 0 ) 蒺中 妒址( x ) = 2 i 妒( 2 工一詹) ，z ( 1 11 1 ) 则称( x ) 感对应于尺度函数妒( z ) 的基本小波函数，与e 分另q 称为尺度水平，上的尺 度空间与小波空闻 又袄x ) c 甄，所戳影x ) 霹戳耀磁翦基嶷表示，舔鸯f 1 1 1 8 ) 鳟知 张。l z 是 磁豹基，数存褒难靛z2 z 孛艇序列 岛 。使撂 以x ) = 2 g 。妒( 2 x - n ) ， ( 11 1 2 ) 氍z 慰f l ，1 。1 2 ) 穗端终f o u r i e r 变换愿 痧和) = g ( 等) 烈等) ， ( 11 。1 3 ) 其中 g 如) = 2 ；g 。p 。” ll1 4 ) ”z 蒜设二避足凄序列汽 。z 商有限长凄- 郡当辖c 0 或 虬对坟= 0 ，这样尺度涵 数的二二进尺度关系可表为：( x ) = 2 ；窆( 2 并一n ) ，其f o u r i e f 变换为# 和 = 鲁派等) ， n = 0 “ n y _ 其中”扫) = 2 th e 令z = # 1 。，则搬，劬) 可记悖( z ) = 2i 吃z ” 0 一n 定义1 2 盼吲= f i 添i i 函，疗e z ；易o ) = 。“；1 1 z ) = = 墨f z ， 蕻中k 。是使得一= 0 的最大正熬数，女。g n 1 再定义p 。扛) = z 4 p ( ) ，其中p ( z ) 是 一个关于z 的m 次多项式，p 。( z ) 定义为它的倒置多项式，则有刀。0 ) = z ”+ 刀( ) 定理1 1 ”1 尺度函数痧( x ) 有最小支集的充分必要条件是。扣) 没有任何对称根 对于小波函数( x ) ，先刻画其性质 令 岛( z ) = z n , k i 仃( z ) m i ( z ) ， ( 1l1 5 ) 它有唯一分解【】 岛( z ) = 一( = ) ( z 2 ) ， ( 11 1 6 ) 其中一，一口，0 ( 1 ) = 1 f 表示所有带有复系数的代数多项式集合由于q ( z ) 在jz 1 上不为零，而；( z ) 在iz 卜1 上无对称根，多项式 ( z ) 在lz 卜1 上便无零点 定理1 2 【。1 - 3 1 让如上定义，那么缈( 柚是小波函数当且仅当 c ( z ) = p q , ( 一z ) w ( z2 ) ， ( 11 1 7 ) 其中g ( z ) = 2 1 g z ”，w a ，a 表示在lz 卢1 的领域内解析且在iz 卜1 上不等于零 的函数的全体 推论1 让。如上定义，w z ，则( x ) 作为小波函数具有紧支集 推论2 小波函数少( z ) 具有紧支集当且仅当w ( z ) = 1 或者g ( z ) = 以( 一z ) 上述定理和推论指明了一条在知道尺度函数后构造小波函数的途径 设 ) 。是r ( r ) 的一个多尺度分析，则张量积空间 曙 。；。构成l 2 ( r 2 ) 的一个多 尺度分析，即时二维多尺度分析，其中嘭= 吒 ( 1 11 8 ) 定义 庐( j ，y ) = 矿( j ) 庐( ，) ，( 111 9 ) 则一般曙可表示为 眨= s p a n 丸lh z2 ， ( 1 12 0 ) 其中 。( x ，y ) = 2 ”( 2 j 一”1 ) ( 2 ”y 一 2 ) ，甩z 2 ，h = ( ”l ，月2 ) ( 1l2 1 ) 由+ 。= 0 帆，则 嘿，= ( o 睨) ( o ) = 嘭o 【( 吒 ) o ( ) o ( ) 】 ( 1l2 2 ) 定义二维小波空间 暇= ( 岷) o ( k ) o ( ) ， ( 11 2 3 ) 贝0 陟：= ( 螺) 1 ，且 。( z 一玎1 ) ( ，一? 1 2 ) ，妒。( 工一1 7 1 ) 丸( y - 2 ) ，弘o ，( x 一疗1 ) 驴o ( y 一门2 ) l q 。z 构成了崂的一组基，而 。( ，y ) = ( t ) 少( ，) 沙2 ( x ，) = ( z ) ( y )( 11 2 4 ) y 3 ( j ，y ) = y ( x ) ( y ) 称为张量积形式的二维小波函数 2 最小支集样条小波 设，( x ) = 五0 1 】是区间【o ，l 】上的特征函数，定义 n 。( x ) = n 。+ n i ( j ) = f ：m 。o r m ， ( 121 ) 这便是阶多项式b - 样条，其支集为【o ，m p h 3 l 9 1 ，【】o 旧旧1 取尺度函数( j ) = n 。( j ) ， 则按照= 甄孟币t 呵所成的l 2 ( r ) 的闭子空间列 。：构成了l 2 ( r ) 的 尺度分析【2 】设庐( j ) 的二尺度关系是妒( j ) = 2 i h q k ( 2 x h ) n e z 则庐( 2 ) = 卅( 国) 庐( 甜) ， 其中 r e ( c o ) = 2 。i h e 而 跏和) = ( 等) m ， 故 m ( c o ) 由此可得 故 h 。) 长度有限 一。= ：一m + ；( 孑 ，o 疗肌 令z = e 1 。，则m ( z ) 一个多 ( 122 ) ( 12 3 ) ( 124 ) ( 125 ) ( 126 ) ( 12 7 ) 只有唯一的重根z = 一1 由定理12 以矿( j ) = n 。( j ) 为 尺度函数是由它生成的多尺度分析的支集最小的尺度函数，由此可以推得， 州加粼 n 。咖+ j ) z ”。 ( 128 ) ，卜l 其中仃二h ( z ) 是2 m - 1 阶e u l e r f r o b e n i u s 多项式“，1 7 2 h ( ：) = ( 加一1 ) y n , 仰+ ，) z ”一 ，一 还有叫( z ) = ( z ) ( ，= k = m 1 ) ，岛( z ) = 一( z ) = 讧暑面( 与产) ”，7 ：。z ) t ( 1 29 ) 若与庐( ，) 对应的小波函数为v ，卅( x ) ，则当取w ，( z 2 ) = 1 时，可得 ) 确( 咖) = 高( 字) ”叫， o 2 0 从两出痧。2 z ) = g z ) 参z ) 可得叶1 j 或 * z f x ) = 击f 一n 。+ 1 ) ；：f 2 x 一，) z一0 啪，= 专警，”量( 咖。t n - l + l n = 01 = 0，：一，z、+ f 1 2 l l ， f 1 ，2 1 2 ) 0 ( r 其有翔下懿霞： 1 ) ( 紧支挂) x ) 具赢紧支集，s u p p i v = 溉2 m 一氆旦眠j ) 是m 羚多项式： 2 ) ( 对臻性) 妒。f 盥簪+ x ) = ( 一1 ) m _ f 2 翌一善l ， f l l 2 t 3 ) z ， 酃( x ) 当m 为偶数时关于x = 等对称，滔m 为奇数时关于x = 孕反对称： 3 ) ( 单正交往) = o ，p ，口z ；( 1 21 4 ) 4 ) 消失矩) f 二矿。( x ) 出= 0 ，o ，删一1 + ( 1 2 1 s ) 性质i ) 的证明觅 i 】，3 ) 的证明详觅【3 0 1 中的t h e o r e m1 ，现对住质2 ) 、4 ) 作以证明如下： 试i l l ：f ) 毪矮2 的证鞠： 要证( 2 警o + x ) = 一1 ) ”f 2 摹一x ，强绥涯9 ；2 m 一 一茗) 。一1 ) 盖) 。 竣蟊：等艺f ? 1 致。辑一? + l ，粼_ f 砖：3 m + 2 靠 _ f 2 x 一”) 。宙予捧。f 砖关于x ：零 k 0 n = 0 对称，从而满足n ，( 等+ x ) = ，( 号一x ) ，即有。( i ) = 。沏- x ) ， 故( 2 m - i 一工) = z q 。n 。( 2 x 一3 m + 2 + ”) 令= 3 小一2 - f ，卿伊。( 2 m - 1 - x ) = 碍n 。( 2 x - k ) 飓。矿等毅了柚3 m - 2 - k - t + l ，= 薹学( m 。 n 一2 r e + s - k - 1 ， = 薹等2 ( ：) 嘣t舄 ”1 ls ，“、 3 m23 m + 2 绔i 臣g , ( 2 m - i j ) = z q ，一3 。n 。( 2 x 一女) = f 一1 “q 。0 ( 2 x - k ) = ( - 1 ) ”。，j ) ( 2 ) 性质4 ) 的证明： 由于孕矽：。= 【o ，2 m 】，故州岔( x ) 也具有紧支集，艟口；：【o ，2 m 】于是 。f ；冲= f 7 击) 爿：。缔十l 拶! ：f 撕一矗潍 = 嘉2 m - 2 ( 一1 ) ，：，( ，+ 1 ) f 3 ，婴( 2 x j ) 矗， 瓣f ：一叫攀( 2 z j ) d x = f 芝参器一”舞”。( 2 x k ) l 7 + 1 二笋f ：i ：1 1 ( 2 x k ) d r = 1 j g # _ ；：一。“( 2 x 一) l 芝= 0 ( j = 0 , 1 ，卅一1 ) 所咀f o 。妒。( x ) 如= 0 ，o j 聊一1 证毕 与b 一样条函数扭对应的小波函数p ，孵( x 称为最小支集样条小波函数 知v _ ( x ) 是, q 阶分段多项式，且其分段区间是庐( ) 的一半 现考虑r 次样条小波对应的插值，对任意绘定的剖分： x 一 搿= 王；薯 b 一； 靠= 舂( 并+ 其中f 疗，朝秣矫的节点一，；及x 。+ f 一为延拓节点， 。；= n + 执，峨= 缝n 由性顾1 ) 可 l2 1 6 ) ( 12 ，l7 ) 对于r = 2 m 1 时，考虑2 m 。1 次样条小波基的线性缀合构造的插值函数嘲 令 驰) = 2 蔷删型筹丝) ，( 1 2 1 s ) 使满楚孙狮令箍往条律 l s 讧= y 。， = 0 , 1 ，2 n b 函：，j ：毽2 如小傅一l ( 1 2 f 姻) 箕中数维 y ! 柚 创与 y 夕 触：孙。，一* 为绘定，列存在下舔豹定遴 定理2 1 捕值问题( 121 9 ) 怒唯可解的 定理2 2 设，( x c “b 6 l ，s ，( ，x 秀f ( x ) 静插傻目题l ，21 9 ) 靛2 m - 1 次群条小 渡播篷丞数，则毒 置似( ，x ) = ，m x ) s ! “，；j ) = o 7 i j 气8 ) ， ( 122 0 ) 其中a = 0 , 1 ，m i ，= 坟 记一缕女黔b 一襻条故f 羔) 售为尺度函数文工) 生成的一维样冬多尺度分辑为 匕 。n ， 相应的最小支鬃样条小波涵数妒( x ) = 雌( _ ) ，则由第一节珂知张量积空问列 眨 ，。：构成 r ( r 2 ) 的二维样条多尺度分析，其中二维样尺度函数空间眨：= 吃固 二维样条尺度函数为( z y ) = q j ( x ) q ( y ) ， 从而由式( 1l2 0 ) 眨可表示为 嘭= s p a n 。i ”z 2 ， 其中 矿。( 工，) = 2 1 庐( 2 ”卫一h i ) ( 2 ”y 一7 2 ) ，n z2 ，肛= ( n 1 ，竹2 ) 相应的二维样条小波空问为 昨= ( n ) o ( 帆 ) o ( 睨 既) - 二维样条小波函数有三个为 而且 缈( x ，y ) = 庐( j ) ( y ) ， 妒2 ( 工，y ) = 妒o 渺 = = ( 工l ( z ，y ) ，g ( x , y ) + + 从而 = 0 ( 1 23 6 ) 在式( 123 6 ) 中令”。，刚可得 = 0 ( 123 7 ) x g ( x ，y ) 曙是任意的，味。= 嘭。峨，且f ( x ，) v 。2 ，因此- 厂( x ，) 孵，这说明 嘭中的任一个c a u c h y 序列 。l ( x ，) ) 在暇中都收敛，所以最小支集二维样条小波空间 睇是完备的 第二章最小支集样条小波有限元 l 矩形薄板弯曲问题 设矩形薄板叫o x n ，0 y 6 ) 各向同性均质等厚度，变形前的中性面取为z = 0 坐标系为空间坐标系令w ：w ( x ，y ) 表示中性面上点( j ，y ) 的横向位移，f ( x ，) 表示作 用在板面上的横向载荷，在小挠度情况下，板的应变能为川川2 6 1 咖卜d ：g f j 心( 8 2 w + 6 引2 w 2 - 2 ( 1 。- o 2 w8 2 , ! , , 一( 豺p 仁， 外力势能为 f l w = 一f j _ f ( x y ) 砌x d y ， ( 21 - 2 d 其中。一嵩为板的弯酬度一为板的厚度，蹦弹性模量川为泊桃匕_ 板的总 势能为 ( 213 ) 由最小势能原理，平衡态的位移使势能达到最小值 。m h i n ：u 【w ，】， ( 2 l - 4 ) 其中h ；是力上具有有限能量且满足强加边界条件的函数集 根据变分原理，j m 】取最小值等价于a ，【川= 0 ，由此可得薄板弯曲的平衡方程是7 1 警+ z 爵+ 皆= 舌堋厨w 吐 仁1 5 ， 并且边界条件为： 1 ) 边界夹入的条件是w = o ，c 翻a i , = 0 ； ( 2l6 ) 2 1 边界简支的条件是1 l j = o ，m 。= 0 ； ( 217 ) 3 ) 边界悬空的条件是m 。= 。，q 一望= o ； ( 2 i _ 8 ) 其中夹入边界条件w ：0 ，謇= 0 与简支边界条件的w = o 是强加边界条件，其余均为自然 仂嚣条件 有矩形薄板力中，若没每条边上只有一种边界条件，例如在x = 0 边上夹八；在j = n 边上简支当在x = 0 边上夹入f l 寸，此边的外法线方向n 与r 轴方向的夹角为口，故边界条件 中的鲁= 警c o s ( ”，x ) 十詈c o s ( ，y ) = 一警，于是边界条件变为w = 0 ，警= 0 ：当在j = 边上 简支时，可知1 胴m 。= m yc o s 2 口十m ，s i n2 口+ 2 m fc o s a s i n a ，而在此边上有口= 于是 c o s 饼= 0 ) 5 s i n o l = 1 ，又在此边上w = o ，故在此边上有害= o ，而m ，= d ( 窘+ u 争) ， 于是m 。= m ，= 一d 可o z w ，因此= a 边上的边界条件变为w = o 窘= 0 ，这样边界条件的 形式变得很是简单 考虑匹周固支的矩形薄板力，这时对应的边值问题是7 i ，【1 2 1 p 2 ”柏内 ( 2 l9 ) 【川。= 鲁i 。= 0 令 酏炉。9 脚血+ ( 1 训( z 舄丽0 2 1 1 一丽o z w 矿0 2 u 一争窘) m 妙， f ( f ，“) = f 触妙， ( 21l o ) 则 e ( w ， ) = f ( f ，”) ，v u h 2 ( 力) ( 21 1 1 ) 由文献f 7 1 ，f 1 2 1 中的证明可知， e ( u ，”) q l 啦。，v u h ：( n ) ， 即e ( ”，”) 在hz ( 口) 中是正定的而且还有 e ( w ，“) = e ( u ，w ) ， j e ( w ，l 川茎m lf i w 忆n 怕忆o ， i f ( f ，1 1 ) 喀m ：1 1 厂。，忡忆。， 由l a x m i l g r a m 定理1 7 1 可知问题( 219 ) 的弱解存在唯 求w h2 ( 6 2 ) ，使得 e o , ，1 4 ) = f ( ，“) ，v u 日2 ( q ) ( 211 2 ) ( 211 3 ) ( 211 4 ) ( 21 15 ) 一从而问题( 2l9 ) 弱解的提法是： 2 最小支集样条小波有限元法 f 一) 矩形薄板弯藏目蘧的离散纯 现在建立矩形薄扳弯热翊题( 21 4 ) 款最小支集榉条小渡青艰元竣，取( x ) = n ；并， 即4 阶3 次b 一样条：矿( 石) = p 。( z ) ，即4 阶3 次最小支集样祭小波s u e ( x ) ，庐+ ( x ) 及一( x ) 的表达式与图形分别秀5 3 4 j ： 笋善) = 乒善) 多扛) x 3 ， o x 1 。6 一 ，+ 2 x 2 - 2 x + 墨， l x 2 0 5 考x 3 4 x 。+ 1 0 x 一警， 2 x 3 2 2 1 ) 。，4 书3 + 2 苫也峙裂4 蒌 毡z 晓善： 一3 x + 4 3 x 一8 一x + 4 o 0 6 0 4 0 2 2 22 ) 8 一o 2 - 0 4 - - 0 6 弋 l 0 l234 圈2 一( 日舶图形 0 5 0 0 5 f 2 ，23 )一l 1 5 妒# ) ，0 发矿f 砖的表达式与图形分掰为： 卜。 | 。 t 图j 庐。“) 的图形 l 2 3 4l 眩 工 j 王 一一 ( 一一加薰誉 2 啦& 一l 一：，瓤n 甜 铲力叶m x 2 善 32茁l2 一点： l 2 3 4： 瞳 芝鬟一 一 一 一 一锄 晒塞m 娥 ) = 妒x ) = 嚣+ 滁一等+ 警， 豁一潞+ 等一器， 一滁+ 船一訾+ 普 糙3 3 6 0 器+ 警一普 一2 挚+ 鼍皆鼍荸+ s 簪 鬻一警+ 等一警， 一警+ 骂黔警+ ：躲 - 一 f a - - 一糌+ 等警， 一器+ 船警+ 酱， 等一警+ 譬喾， 一淼+ 滁一蒜+ 舞， 盖一意+ 啬一嘉， 靠， 蠢+ 螽一丽i z l i i ， 翥杀卺+ 号 ， 一湍+ 将一躲， 器帮+ 瓣， 一撩! + 号辩一普 傺等+ 鲁， 5 2 2 2 3 - 1 w 5 1 3 9 “一3 ；簪， 滚 警+ ：蔫乒， 锵+ 帮一鬻， 器警一号黪+ “桀， 筹+ 案一誉 1 潞一鬻+ 器， 一矗+ 素一i 去， 理 0 三， r ( 1 i 毒 喜三i 2 2 兰x 喜 黧芝固 r 4 4 兰 ；s x 5 5 ， 儿 錾x 6 6 蔓x 孳 单兰r 7 x 0 x 7 0 蔓x 喜 县蔓x 1 1 s x 喜 s x 2 2 曼x = 5 ；5 ； ； 2 25 ) 3 蔓x ( ； s x 4 4 1 x 姜 罢s x 5 5 蔓x 婴 擘x ( 6 6 x 擘 单- x 7 1 9 氆j 7 5 0 1 0 ，0 x ； 击一蛾5 0 1 0 ， 工 l 一器+ 貉、t x 等一1 嚣，s r c 2 鬻+ 器，2 ； 鬻一3 5 l 0 3 e 3 a ： * 3 _ 簿2 v 5 9 1 一+ 群。、墓叠 ( 2 2s ) 酱一繁，；“4 “zo j 卫塑 越照美i 五 ：一巡1 蝴 巡一j 瓿 一釜+ 魏 0 4 z ； ；= # 5 5 * 譬 单* 6 6 # 詈 警工 7 r o , x 27 嬲4 + 挈砖舶耀蓐 8 6 4 2 0 2 4 6 蠹5 誓砖兹嚣静 围6 ”扭) 豹图群 4 蒜去碱 琵x 乃同鹾闼强群l 中弓l a 均匀割分： 万1 一- 1 “； o = 弋 x l 肖h 一；= 口 并肌：j 小 x i j 。；以，( = 一2 ，一l m ，2 3 4 + 2 ) ，k2 丽0 其中f 0 1 娃j 以外的带点x m t ；及+ ；，嘞+ t 为筵拓节点并且，令 匕= s p a n l d , ( x ) l i = 0 , 1 ，m + 2 ， 以= s p a n i l u ，( ) i 扛0 , 1 ，2 m + 2 ) ， 撕= 等卜，= 停 在y 方向的区间他娜中也引入均匀剖分： 万2 ：y 一1 y 0 = ( y ； y i j ，一； 工= 6 o ， ( 2 2 5 6 ) 敬加上边界条件可以作到q 是磁定的。于怒方程组( 224 7 ) 有唯一解，求解方程缎( 224 7 ) 得c 。，d 。，e 。，进而可得w ( z y ) ，即得到问瓤( 21 3 ) 的近似解 与般限元相比较，从方稷组( 2 ，24 7 ) q a 解出的节点参数( 即式( 222 0 ) 中相应节点处 基函数的系数) c 、，d i , je 。是蒺函数的系数而不是w ( x ， 在褶应节点处的函数值，这 楚最小支蘩样条小渡有限元与一般香袋元耱壤本差爨。与样条鸯限元褶魄，样条毒嫩元 是在二维捞条足壤空闽搿中讨论载，其中所选耀靛基函数只有双三次样条函数- # 1 ， 即为凇红) 庐，( ) 。：。“。2 ，且节点参数在每个剖分节点处只有一个，即相应于 每一个节点只有个基函数，基函数的系数也只有个：而最小支集样条小波商限元是 在二维最小支集样条小波空间孵中讨论的，其中基漪数篷最小支集颓三次样条小液， 有三舔+ 邵锄野i2 、n m 2 ， 孵( 域劬 跏，“2 。圳：m ，碱0 ) 野( y ) f ，m p t l k2 n 2 娥小支集撵条小波有限元中敬参数在剡分的节点处不止一个，设剖分的节点为幢。y 。，) 葵中i = o ，l ，2 3 + 2 ，j = 0 ，l ，2 n + 2 ，则在节点是；，罗，。) 娃：当i 与j 的专镁蛙提反 是，节点参蠡商黼令当i 为缓数，j 为奇鼗辩蒂点参数为c 。d 这是因为相应予戴节 点的基函数为纵和) 妒；( 工) 和娥善渺；扛) ，其在( 222 0 ) 中的系数分别是c d ；当i 为奇 数，j 为偶数时节点参数为c g , g 。，这是因为应于此节点的基函数为”( z ) p ( ) 和 磊砖矿，秘) ，萁猩( 222 0 ) 牵静系数分掰楚c 。，咯。当i 与歹嗣为蛮鼗时，节点参数鸯三 个为c f ，d f ，e f ，这是因为应于此节点的基黼数为戥 娃) = 4 。m 转i + l 净。一j + 1 ) d t o 0 一t5 0 026 6 7 一i 5 0 00 0 1 6 7 一 = = 一 | i = 蛐 ，7 | i ?i i ? = = 裟篡 淼l ；譬 = 篡?翟= ? = = 攀淼嚣? 篡= = = 篇 o 一6 0 o 上6 o ，1 上。o i：量， ，o，一：童，；。 i：。i量。 ；丢。 熊 对称 o 一0 6 6 701 2 502 0 00 0 0 8 06 6 701 2 50 2 0 00 0 0 8 06 6 701 2 50 2 0 000 0 8 对稼 。 。 毛= ：簌均克 ，潍= 1 ? 。秘；+ 1 ) 移一j + 1 ) 撤 刮r f 0 6 6 7 - 0 1 2 5 4 1 2 0 0 - - 0 0 0 8 01 la 6 6 7 - 0 1 2 5 - 0 2 0 0 - 醴0 0 8 = 1 l a 6 6 7 0 1 2 5 拄2 0 0 - 馥o o g ； 0 6 6 7 一n 1 2 5 0 , 2 0 0 0 0 0 8 j i 对称 。 j m ，= ( 胁。地( x ) 岫= h 。f f 矿( f i + 1 ) o ( t 一+ 1 ) 出 豢篙矗去0 盥飒l 上 2 1 5 h 日蛇谢0 域! _ l j 1 51 6 0 ：$ 0 , 4 0 姒io ，1 6 8 0 4 25 0 , 1 0 对称 一+。 矩黪一一，m ，与蠢p 一，m ，的影式完金籀阉，只不过浆a x ，m 。中豹垃换残屯，m 改成n 便可得a y ，m 。 下甏葬考虑一耪章曩豹双线性形式f 识矮均布载藏) 外载赫绘出豹2 2 2 t ) - - ( 2 2 2 3 ) 鹣 右端项 。o = 1 , 2 ，3 ) 的具体形式，其它形式的载荷可类似求得 设斌线挂载薅豹形式为： f ( x ，y ) = o f f + 厉+