（计算数学专业论文）近似可展曲面的构造方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 可展曲面可以完全地平铺到一个平面上而不发生任何的伸缩和破裂，在汽车、飞机 和轮船外形设计与制造等很多工程领域里有广泛的应用，是近些年来计算几何和计算机 辅助设计中研究的一个热点问题。a u m a n n ，p o t t m a n n ，r o s e h e l ，叶正麟，邓建松等很 多国内外学者对可展曲面和近似可展曲面进行了深入的研究。 本文基于g a u s s 曲率范数极小，给出了一类插值数据点的近似可展曲面的构造方法， 并给出了具体实例。第一章首先对直纹曲面和可展曲面的基本概念进行介绍。第二章和 第三章对现有的多项式可展曲面和参数型可展曲面的构造方法进行了介绍；第四章我们 给出了插值数据点集的近似可展多项式曲面和参数曲面的构造方法，并给出具体实例。 关键词：可展曲面；b e z i e r 曲面；近似可展曲面； 大连理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e v e l o p a b l es u r f a c e s ，w h i c hc a r lb ed e v e l o p e do n t oap l a n ew i t h o u ts t r e t c h i n ga n dt e a r i n g ， h a v en a t u r a la p p l i c a t i o n si n m a n ya r e a so fe n g i n e e r i n ga n dm a n u f a c t u r i n g ，i n c l u d i n g m o d e l i n go fa u t o m o b i l e ，a i r c r a f ta n ds h i ph u l l s i th a sb e c o m eaf o c u so fc o m p u t a t i o n a l g e o m e t r ya n dc o m p u t e ra i d e dd e s i g n r e c e n t l y ，a u m a r m , p o t t m a l m , r o s c h e l ，y ea n dd e n g h a v es t u d i e dt h ed e v e l o p a b l es u r f a c e sa n da p p r o x i m a t e l yd e v e l o p a b l es u r f a c e s i nt h i st h e s i s ，w ep r e s e n tam e t h o dt oc o n s t r u c ta p p r o x i m a t e l yd e v e l o p a b l es u r f a c e s ，w h i c h i n t e r p o l a t eas e to fp o i n t s ，b a s e do nm i n i m i z i n gt h en o r n lo ft h eg a u s sc u r v a t u r e t h et h e s i si s o r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，t h ed e f i n i t i o na n db a s i cr e s u l t so fd e v e l o p a b l es u r f a c e sa l e i n t r o d u c e d m o r e o v e r , t h ed e v e l o p a b l ep o l y n o m i a ls u r f a c e sa n dp a r a m e t r i cs u r f a c e sa l e i n t r o d u c e di nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3r e s p e c t i v e l y f i n a l l y ，t h em e t h o dt oc o n s t r u c t a p p r o x i m a t e l yd e v e l o p a b l es u r f a c e sw h i c hi n t e r p o l a t ea s e to fp o i n t sa n ds o m ee x a m p l e sa r e p r e s e n t e di nc h a p t e r 4 k e yw o r d s ：d e v e l o p a b l es u r f a c e ；b e z i e rs u r f a c e ；a p p r o x i m a t ed e v e l o p a b l es u r f a c e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：近似互屐曲面鲍擅造左洼 作者签名：迷立生一自期：丛生珥一年上月m 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 日期：z 生3 年l 月坐日 日期：丑年上月日 ， 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1直纹曲面 直纹曲面( r u l e ds u r f a c e ) 是计算机辅助设计与制造( c a d c a m ) 系统和曲面造型中的 一大类曲面( 1 ，1 4 】) 。 直纹曲面是直线段在空间中沿某一定曲线运动所形成的轨迹。定曲线称为准线，直 线段称为母线。 设准线为办 ) ，母线的方向向量为， ) ，则直纹曲面的方程为 p ( u ，1 ，) = 办( 甜) + v t ( u ) ， 其中u 【u 0 ，】，1 ， 2 0 ，h 】。 如果上式中办 ) 为常值h ，那么直纹曲面 p ( u ，v ) = h + v l ( u ) 表示的曲面为锥面。 如果上式中，( “) 为常值，那么直纹曲面 p ，v ) = 办( ) + v l 表示的曲面为柱面。 如果上式中l ( u ) = 厅 ) ，那么直纹曲面 p ( u ，v ) = 办( 材) + 锄( “) 表示的曲面为切线面，此时 ( 甜) 称为脊线。 在实际应用中，直纹面还可以表示为 p ( u ，1 ，) = ( 1 一v ) 口( 材) + v b ( u ) ， 其中u “ 0 约】，1 ， 0 ，1 】。显然曲线口似) ，6 ) 为直纹面在v = 0 ，1 时的两条边界曲线。 ， 1 2 可展曲面 如果直纹曲面沿着它的每一条母线只有唯一的切线面，则称该直纹曲面为可展曲 面。可展曲面是一种特殊的直纹曲面。此时，切平面只依赖一个参数，这种曲面实质上 是单参数平面簇的包络面。 可展曲面在计算机辅助设计和制造中有着广泛的应用，因为它可以完全地平铺到一 个平面上而不发生任何的伸缩和破裂。可展衄面在很多的工程领域里尤其在机械工程设 计中亦颇有用处，例如飞机机翼、汽车车身、船体、鞋和服装、管道的设计与制造等， 可展曲面的构造方法 可用若干可展曲面片拼装而成。可展曲面与近似可展曲面的研究是近些年来计算机辅助 设计与计算机辅助几何设计研究的热点问题。 对于可展曲面，有如下两个判断方法( 1 4 】) 。 第一，p ( u ， ，) = h ( u ) + v l ( u ) 中表示的直纹曲面为可展曲面的充要条件为： ( 见，) = 0 ， 即忽，j 对任意甜 1 2 0 ，】皆共面。 第二，p ( u ，v ) = ( 1 一v ) a ( u ) + v b ( u ) 中表示的直纹曲面为可展曲面的充要条件为： ( 占，b 一口，占) = 0 ， 即口，b - a ，6 对任意u z l o ，1 2 1 】皆共面。 显然，柱面、锥面与切线面都是可展曲面。事实上，可展曲面只有这三种类型。 本文将对多项式型的可展曲面、参数型可展曲面目前的主要工作进行介绍，然后提 出一种插值数据点集的近似可展曲面的构造方法。 大连理工大学硕士学位论文 2 多项式可展曲面 2 1 多项式曲面的定义及分类 现有的c a d c a m 系统中，为方便起见，连续多项式曲面的定义域通常规定为三角 域或者矩形域( 【1 】) 。常见的多项式曲面主要分为两类：一种是定义在三角域上b e z i e r 多 项式曲面，另一种是定义在矩形域上的张量积型b e z i e r 多项式曲面。本节分别对这两种 曲面的可展性理论进行介绍，本章主要结论来自陈动人的博士论文( 2 】) 。 三角域上r 次b e z i e r 多项式曲面的定义是： 设r 为给定的坐标三角形，顶点为互，正，乃，点尸关于丁的重心坐标为( “，1 ，w ) ， 厂= 厶r i ，k = o ，n ；i + j + k = 珂) ，那么三角域j = n 次b e z i e r 多项式曲面为 ， 矿( 甜，v ，叻= 厶琢 ，1 ，w ) ， i + j + k = n ( 2 1 ) 其中，歌( “，1 ，w ) = 百高材矿是b c 强n s t e i n ，f ，k 0 , i + + k = 刀， t = ( 甜，b 计i 甜，v ，w o ，“+ 1 ，+ w - 1 。 定义算子： 乓丘= f + ，砧，易丘- - f , , “j ，岛厶= 五工“t ， ( 2 2 ) 则三角域上刀次b e z i e r 多项式曲面有算子表示： b ”萎b “( 盼= ( 娼+ 嘎+ 屿) “ 矩形域上( 力，m ) 次b e z i e r 多项式曲面的定义是： 设r ，i = 0 ，n ，= o ，m 甜，1 ，【0 ，1 】，那么矩形域上( 玎，m ) 次b e z i e r 多项式曲 面为 b ( u ，1 ，) = b 川, 叫m ( 1 ，) ， i - oj - o 其中，毋 ) 和掣( y ) 为b e r n s t e i n 基。 2 2 三角域上刀次b e z i 6 1 多项式曲面的可展条件 由微分几何的知识，多项式曲面可展的充要条件如下： 引理2 1 对于二次可微的曲面z = f o ，j ，) ，其可展的充要条件是： 可展曲面的构造方法 瓦厶一瑶= 0 结合三角域上b e z i e r 曲面的定义与如上结论，有： 定理2 1 三角域r 上刀次b e z i e r 多项式曲面可展的充要条件是 y! 刍丛g 丛二墨驰墨厶奠：o ， + + 向一2 ”如一2 】i ! 五! 岛! 之! 五! 如! + + 向i 疗一。f 2 t j 2 + 如? 一一 l ；，l ： 1 ；2 ：，2 ：，2 ； + 1 2 = i + 止j ，畅+ 屹- 弗 对于所有( f ，歹，七) ( f ，j ，后) i f ，j ，k o ，i + j + k = 2 ( n - 2 ) ) 成立，这里 如= 耳剧层k a ，a = ( 互一马) 2 。 = 耳剧聪b ，b = ( 互一马) ( 最一岛) ， = 耳剧骘c ，c = ( 易一层) 2 ， 其中置，最，毛由( 2 2 ) 定义。 根据以上引理，很容易推导出如下推论： 推论2 1 三角域上2 次b e z i e r 多项式曲面可展的充要条件为 a c b 2 = 0 推论2 2 三角域上3 次b e z i e r 多项式曲面可展的充要条件为下列6 式同时成立： 4 c l 一( 昼) 2 = 0 ，( f ，_ ，七) = ( 2 ，0 ，0 ) ， 鸽l o c o l o 一( 岛。o ) 2 = o ，g ，七) = ( o ，2 ，o ) ， 氐。l 一( 氐。) 2 = o ，( f ，歹，七) = ( o ，0 ，2 ) ， ( 4 c o ，。一马岛。) + ( 4 。c l 一昂。骂) = 0 ，( 工动= ( 1 ，1 ，0 ) ， ( 氐，c o l 。一氐。岛。) + ( 4 。，一b o 。) = 0 ，( 工功= ( 0 ，1 ，1 ) ， ( 。c l 一。垦) + ( 4 0 0 。一墨氐。) = o ，( 二助= ( 1 ，0 ，1 ) 推论2 3 三角域上珂次b e z i e r 多项式曲面的可展性仅取决于它的b e z i e r 网的扭向 且 _ 亘o 2 3 三角域上2 次b e z i e r 多项式曲面的可展条件 三角域上2 次b e z i e r 多项式曲面是最简单的三角曲面，其可展条件如下所示： 定理2 2 当基三角形丁设在由尺3 中三点( ( 1 ，0 ，o ) ，) ，( ( o ，1 ，0 ) ，) ，( ( 0 ，0 ，1 ) ，) ( 即三个角点) 确定的平面石上时，曲面召2 u ，p ) 是可展的，当且仅当石l o z 。，五。满足 下面两种情况之一：它们中一个为零，另外两个相等；它们三者符号相同，并且其中之 一等于另两个的和加上( 或减去) 它们几何平均数的2 倍。 大连理工大学硕士学位论文 定理2 3 如果b 2 u ，尸) 可展，则它必定是一片抛物柱面。 2 4 矩形域上m n 次b e z i e r 多项式曲面的可展条件 矩形域上r e r 次张量积b 如e r 曲面为： s ( u ，v ) = 弓矽( “) 彤p ) 由2 1 ，矩形域上m n 次b e z i e r 函数曲面表示为： b ( u ，v ) = 群( 1 ) 彤( v ) ，毛r ，材，v o ，1 】 它有算子表示为： 6 ( u ，) = ( j + 甜公1 ) ”( ，+ 1 ，厶2 ) 肼b o o 其中，公。= 丘- i ，公：= 忘一，宣= 岛+ l ，丘= 6 l + 。对参数“和v 求偏导可得： i 屯= ( i + u a l ) ( i + v i 2 ) 肺彳， k = ( j + “厶。) ”一( i + v a 2 ) 册。1 雪， lk = ( i + u i l ) 疗( i + v i 2 ) 埘2 c ， 其中，五= 疗( 聆一1 ) 厶；b = n m a , a ：b o o ，c = m ( m 一1 ) 公知。 令鸣= ： 么，岛= ；曰，巳= i 。凸j ：c ，则有 屯k 一硪= 萋薹( 刀了2 ) ( 歹) 材v 乞喜薯( 孑 ( m 歹2 ) “v 岛一f ，芝i = 0 芝j - 0 f ，刀了2 ( 了 甜v 岛 2 2 翘玉僦脬一铲v 帕 砭。毛秽v 地， 因此，k k 一配= o 等价于 一鹭。毒，c - 1 辘一o ， 儿 每 可展曲面的构造方法 对所有的j 一0 ，2 n 一2 ；r = 0 ，2 m 一2 同时成立。 定理2 4 矩形域上珑刀次b e z i e r 多项式曲面是可展的，当且仅当满足： 啪( = _ 2 ) 僦炫2 ) 厶己 u s b s 疗u s ，s m - 2 + 乜i j 。j i + 止墨r 一峨三，( n - l l ( m 。炉炫1 ) 瓦畦= 。 对所有的s = o ，2 n 一2 ；，= 0 ，2 m 一2 同时成立。 推论2 4 矩形域上( 2 ，2 ) 次b e z i e r 多项式曲面是可展的，当且仅当同时满足： 氐一( ) 2 = 0 ，( s ，) = ( o ，0 ) ； 鸽1 一氐b o l = o ，( j ，r ) = ( 0 ，1 ) ； a 如c k 一( b 0 1 ) 2 = 0 ，( s ，) = ( 0 ，2 ) ； 氐g o 一马o = 0 ，( j ，r ) = ( 1 ，0 ) ； 鸽lc 1 0 一( 且。岛l + 民马i ) 2 = 0 ，( s ，f ) - - ( 1 ，1 ) ； 如c 1 0 一蜀。墨l = o ，( s ， ) = ( 1 ，2 ) ； aa 4 c 2 0 一( 且o ) 2 = o ，( j ，r ) = ( 2 ，o ) ； 鸽l 一骂。旦1 = 0 ，( s ，) = ( 2 ，1 ) ； 如c 矗一( 蜀i ) 2 = o ，( s ，) = ( 2 ，2 ) 大连理工大学硕士学位论文 3 参数型可展曲面 根据多项式型可展曲面的结论，陈动人在其博士论文( 2 】) 中又讨论了三角域与张量 基型参数曲面可展的条件。本章将对其主要结论进行介绍。 3 1 参数曲面 参数曲面在汽车、飞机、船舶、家用电器、建筑物、玩具等多种产品和工程的设 计、制造以及动画、影视的制作中均广泛应用。参数曲面可由一系列的曲面片拼合而 成。 在计算机辅助几何设计中，b e z i e r 曲面是应用最为广泛的曲面之一，它可以分为矩形 域上张量积形式的b e z i e r 曲面以及三角域上的b e m s t e i n - b e z i e r ( b b ) 参数曲面两类。下 面就给出其相关定义。 三角域上的b - b 参数曲面定义： 一个三角域上的, 次b b 参数曲面定义为 矽( 厂，甜，v ，们= 厶 ，v ，们，甜，1 ，w o ，u + v + w = 1 ，厶r 3 ， i + j + k = n 其中 歌礼2 ( fj , 七p 矿 是甩次b e m s t e i n 基函数，而 f ，刀、：生 l f，七 f ! ! 后! 这里的厶称为曲面的控制顶点。曲面( 厂，u ，v ，w ) 的算子表示为 u ，p ) = ( 蝎+ 吗+ 鸣) ”， 其中马，垦和易为移位算子，定义为 骂厶= 丘t ，岛厶= f , j + i , k ，马矗= 五伽- 矩形域上的b e z i e r 参数曲面定义： 一个矩形域上的( 朋) 次b e z i e r 参数曲面定义为 b ( u ，功= 彤 ) 彤( y ) ，z ，y f o ，1 】，月3 ， 一7 一 可展曲面的构造方法 其中研( 甜) 和矽( 1 ，) 分别是船和历次的b e m s t e i n 基函数。称为曲面的控制顶点。曲面 = 包+ - 一气， ：= 包+ 一，魄= 气。 i 兀ii 蠢吒i 马= l 乙 ef l ，h z - - r j 。 ef l ， i ，gi f f g e = 专，f = r u t , ，g - q 。 引理3 2 对于k ，毛，k n = l ，2 ，或者 七，局，吒 ( 七1 ，k 2 , k 3 ) l k 。z + ，k 1 + 后2 + 后3 = ，) ， 露 kt 酽” 七七 七 = 岛七2 3 2 三角域上疗次可展b b 参数曲面 臣燃=,-i1，,l=-势idlo n - l h 呐- i ( d _ 鹄h - ( 2 ) y = l 上：0 ， 对所有的( f ，歹，七) ( z ，露) i i ，七o ，i + j + k = 6 ( n 一1 ) 成立。这里 砰 大连理工大学硕士学位论文 _l l _ _ _ _ _ - - - - - _ _ _ _ _ _ 一 其中 4 j l c j 2 d l 。c i a l l d l l a 】t e j l d l l d l id i l e i e l l c i e l s 。d i te i ，e f | ， j = 厶厶厶厶厶，= 跹嚣1 ) j ；：； 船1 ) 磷船2 ) ， 研2 ) b i l d l t d 。dt 1 34 b l l e j 1 d i ，e i l e i s b | e l d l ie 【i e l i 叫删f l l 2 2 ) + 麟! ) + 础，l = 1 ，2 ，6 ， 2 槭荔l ：- l , 2 学，训26 - 1 ，丕都磷，川= i , - i ，2 羡3 。i ，2 礞， 越。2 ，3 ，2 ，3 五一l 2 ， 2 ， n , - 弑h 2 3 j 2 吐2 学h 22 ，瓢2 , 3 吐2 谬饥3 。帆职2 , 31 2 ；1 , 2 碟。h - l ， 一l ， - l ，止。l ， l ， 2 - 以独= 石1 ( 乒+ 誓乒- j + m 脚) ， 否独= 击( 迥- w k + j b ，, j - l , k + 吼纠) ， c - - 咖= 石1 ( 。 + 妈, j - t , k + 鸠。t 一) ， 工幺= 倒j 。2 j 。3 k x ，x = 么，b ，c ，d ，e ， f d = 阿( 互一最) ，e = 刀( 易一b ) a = n ( n - 1 ) ( e 1 一马) 2 ， l b = 一( 玎一1 ) ( e l 一易) ( 岛一易) ，c = n ( n - 1 ) ( e 2 一e 3 ) 2 推论3 1 三角域上的刀次b b 参数曲面可展与否仅仅依赖于边向量和之间 的交角。 3 3 矩形域上m x n 次可展b - b 参数曲面 定理3 3 矩形域上所刀次b e z i e r 参数曲面是可展的，当且仅当以下一组等式 兀 膏掌l咿w ，( 印一邱2 ) = o ， 对所有的f = 0 ，l ，6 ，l ，歹= 0 ，l ，6 m 成立。这里 l h i i 瓦瓦 研k 睡裳 d ba 1 , e i z d | 。d l , e l | d i ie l ，e l i ，叫2 = b l 。b i tb 1 , d 1 2b x , e l t d 1 , b i , d l l d i , d i , e l 。 e l s b 1 6e l , d l t e j ，e l b i ：i r l 2 1 3 1 4 i s l 6 ，i l = 艘艘，l = 1 ，2 ，6 ， 一9 一 k 厶 一b b 瓦巩 可展曲面的构造方法 = 学， 一l 。2 。3 以- 1 , 2 训= 硝， - l ，2 , 3 ，2 ，l ，2 九舶办= ( ：) ( ：) ( 乏) ( z ) ， ( 刀一f ) ；1 ，e u = ( 所一，凸1 i 厶2 j 2 ， ( 刀一f ) ( 疗一1 一f ) ；， ( 刀一琐朋一) ；! ，a 2 ，c , j = ( m - j ) ( m - 1 一力| ! ； 推论3 4 矩形域_ l m x n 次b e z i e r 参数曲面可展与否仅仅依赖于其控制网格边向量 之间的夹角。 3 4 ( 2 ，3 ) 次b e z i e r 可展曲面的构造方法 廿 1 、矗声乞了三甲7 = 1 f 定b 二盘，一k h 京主匕甚九士= c 府t t 二j 二h 带l j 1t l 出 k t 大连理工大学硕士学位论文 ， 铖= 妄风觇 j 她= j 1 岛峨+ j 1 风她jj 必：昙j d l 她 j ( 3 4 ) 式中包= a j + ，- - a j ，j = o ，1 ；心= l + 。一屯，j = o ，1 ，2 。进一步可以得出： 6 3 一b o = p o ( 一a o ) + p l ( a 2 一呢) ( 3 5 ) 式中= ：1 ( + q + 口2 ) 是舰q 吒的形心。 为得到两组控制顶点的几何位置关系，将b e z i e r 曲线x o ) 升阶一次后的控制顶点 记作口( 1 ，_ ，= o ，1 ，2 ，3 。因而有： 峨量瞄她：主耐 ( 3 6 ) 及呢= 去( 甜+ 口：d + 霹+ 砖d ) a 设p o + p l o ，并且设四点巧，= o ，l ，2 ，3 满足关系式： 嵋= 肋( p o + n ) ( 3 7 ) 贝j j ( 3 4 ) 与( 3 5 ) 式等价于 瓦2 惫鲥，醚2 焘擘1 硝= j ，l 三耐- ) + j 譬三耐1 ( 3 8 ) 1 p o + 岛2”p o + j c i l2 2 、7 巧一2 焘( 呢w ) + 焘( 口5 1 ) _ 呢) 譬嚣篡： ( 3 9 ) 可展曲面的构造方法 ( o 点b o 、耳分别是线段杉毹n 、彬罐1 的定比分点，定比都是岛：岛；点巧、g 分 别是线段呢之n 、砖”的定比分点，定比都是岛：p o 。 ( 2 ) 匹配系数风、p 1 分别是向量6 3 一玩在仿射坐标系 ，呢- - a 0 ，吒一呢】中关于坐标 向量形一，口2 = 呢的坐标。 ( 3 ) 以呢。为位似中心，以风+ 岛为位似系数，将点6 ；沿方向西n 一呢移动，得点 5 ，歹= 0 ，l ，2 ，3 ，则由5 0 、占h5 2 、b 3 构成的控制多边形，适当平移到平面霸上，可以 获得伴随曲线x n ( t ) 的控制多边形。 ( 4 ) 给定a o 、岛、呸及6 0 、岛，按下式计算岛与吃，从而得到( 2 ，3 ) 次可展b e z i e r 曲 面的几何构造方法： 1 第1 步计算- - - 言( 口o + q + a d 、形一a o ，口2 一呢； ， 。 第2 步根据( 5 ) 式计算风与岛； 第3 步根据二次b e z i e r 曲线升阶算法计算口歹= 1 ，2 ； 第4 步根据( 9 ) 式计算巧，j = o ，1 ，2 ，3 ； 第5 步根据下式计算6 l 与6 2 。 a = + ( p o + 岛) 菇 6 2 = 6 3 一( p o + 岛) 眨( 3 1 0 ) ( 5 ) 给定平面上的点列口，j = o ，1 ，2 m ，及平面7 r 2 上的点列2 j 3 ，_ ，= o ，1 ，m ，其 中点a 2 ，在线段吃h a 2 川上，= 1 ，2 ，m l ，则可按方法( 4 ) ，对待1 ，2 ，m ，由吃，- 2 、 口2 n 、气、岛一与岛，依次计算呢。、b 。与n ，、砖如+ 。( 七= o ，1 ，2 ，3 ) 、一，+ 。( 七= o ，1 ，2 ，3 ) 、 6 3 。一“丘( j j = l ，2 ) ，再分别以口2 m + 七( 后= o ，1 ，2 ) 和岛，每i ( 七= o ，1 ，2 ，3 ) 为控制顶点构造 ( 2 ，3 ) b e z i e r 曲线邑) 和x b j ( t ) ，以及形如式( 3 3 ) 的可展曲面片墨( f ，“) ，合成后就是g 1 的 二、三次可展b e z i e r 合成曲面。 3 5 ( 3 ，4 ) 次b e zi e r 可展曲面的构造方法 3 5 1 ( 3 ，4 ) 次可展b d z i e r 曲面片 大连理工大学硕士学位论文 在设计曲线与伴随曲线分别为三次与四次b e z i e r 曲线情形，本节讨论了它们控制顶 点之间的几何位置关系，从而得到( 3 ，4 ) 次可展b e z i e r 的几何构造方法。 设e 3 是三维欧式空间，矿中点的坐标记为( 石，y ，z ) r ，设弼和砭是中的两个平行 平面。不失一般性，分别设平面乃和石：的方程为 ，r l ：x 2 9 2 ：x 2 a 2口1 口2 设计曲线霸p ) c 蜀，而) c 。，它们可生成如下直纹面 x ( t ，u ) = ( 1 - u ) x 一( f ) + u x s ( t ) 0 f ，甜 1( 3 1 1 ) 直纹面( 3 1 1 ) 为可展曲面的充分必要条件是：存在匹配函数p ( ，) ，使勤p ) 和0 ) 满 足如下约束关系 x a ( t ) = p ( t ) x s ( t ) 0 t 1 ( 3 1 2 ) 式中屯) 和x 口 ) 表示矢量函数关于参变量t 的一阶导数。下面讨论当设计曲线硝( f ) 和x b ( t ) 分别为3 次和4 次b 6 z i e r 曲线时，可展曲面( 2 ) 的构造方法及其几何性质。 设3 次b 6 z i e r 曲线x a ( t ) 和4 次b 6 z j g r 曲线x s ( t ) 表示为 34 。 x a ( t ) = 口，印( ，)( f ) = b ，群( f ) ( 3 1 3 ) t = oi = o 式中，q o = 0 ，1 ，2 ，3 ) 和包( ko ，1 ，2 ，3 ，4 ) 分别表示b 6 z i e r 曲线x a ( t ) x n ( t ) 的控制顶 点。设匹配函数p ( t ) = p o ( 1 - t ) + p i t ，由条件( 3 1 2 ) ，则有 12 4 a b j b ? ( t ) = 3 z 她砰( f ) p ( r ) ( 3 1 4 ) i = o，1 0 式中，q = q + l q ，f = 0 ，1 ，2 ，她= 勿+ l - b , ，汪0 ，1 ，2 ，3 ，分别为x a ( t ) 和( ，) 控制多 边形的边向量。由式( 4 ) 可得她和匆的关系。 为了表示o ) j r l x 8 ( t ) 控制多边形的边向量之间的几何关系，令 6 6 ，( p o + t o o ，= o ，1 ，2 ，3 ，则由式( 3 1 4 ) 知 可展曲面的构造方法 峨= 焘三她 蚺书p 书 均 硝：d l 三觚+ 且一三觚 p 7 风+ 肛4 1 p o + p l4 2 馘：旦一兰缸 。p o + a4 2 引入4 点口o ，q ，呸，a 3 的重心，即设杉= 了1 ( 口o + q + 口2 + 口3 ) ，则由式( 3 1 4 ) 可得 钆一b o = p o ( w 一a o ) + p _ i ( a 3 一呢)( 3 1 6 ) 此式揭示了设计曲线 ) 的端点弦向量6 4 - b o ，而o ) 两端控制点、a 3 ，x a 0 ) 重 心和匹配系数岛、岛之间的联系：在以呒为原点、呢一a o 和口，一为坐标向量的 仿射坐标系中，两个匹配系数正是6 4 6 0 的坐标，为匹配系数的计算提供了依据。这样 ( 3 1 6 ) 式可写为 6 ：一巧2 焘( 杉一a o ) + 忐( 口3 一呢j ( 3 1 7 ) ( 1 ) 关于凹凸性设x ( t ，z ，) ( 0 0 时，这3 条曲线在，= t a o 屯 1 ) 处，同时没有( 或同时有) 尖 点。 当岛 o 且p 0 时，x a ( t ) x n ( t ) 在，= ，c ( 0 乞 1 ) 处，同时没有( 或同时有) 尖点。而对于曲线x ( t ，材) ( 0 u - o 且岛 “ u l ( 或l 砧 缸o ) 等价于0 o ) 等价于，c 芒 o ，1 】，此时，云) 与乃( ，) 在，= ；处同时没 有( 或同时有) 尖点。 3 5 2 组合可展曲面的构造 为构成一张g 1 连续的可展曲面，给出下列步骤： ( 1 ) 给出两个平行的设计平面玛和，在玛上选取型值点列 鲰，k ：, - - - , 3 坍) ，其中 要求3 点口3 ，- 1 ，口3 ，a s ，+ l 共线 口3 + l a s 2c j ( a 3 一a s 产1 ) 常数巳 o , j - - l ，m 一1邝1 8 ) 在如上选取型值点列 钆i ，k = 0 ，m ，所构造的可展曲面的两条边界将分别插值 这两组点列。 ( 2 ) 计算重心点列= 石1 ( + 五+ 口3 川+ a s ) ，并由下式计算匹配系数乃。和岛。 钆一6 4 i ，_ 42 一o ( ( 玎彳一a 3 ，- 3 ) + 乃l ( ( 口3 ，一阡幺，) j f = 0 ，m ( 3 1 9 ) ( 3 ) 由下列各式计算屯产。，6 4 坤，钆纠，歹= 1 ，朋 2 + 云一。纰一 阮- 2 = 么产3 + 言( 一1 吗，3 + 2 一。吗j 2 ) = b j - l 一言( 2 乃她_ 2 + 办她- 1 ) ( 3 2 0 ) 3 。 一i 一- 她川 ( 4 ) 适当选取参变量v 的区间，】，及节点序列 v i 一。 。在每个子区 间f 巧巾v ：l j = ，两条设计曲线分别由下列二式表示 可展曲面的构造方法 3 x a j ( t ) = 小，f ( f ) i - o 4 x 毋( r ) = 6 4 j - 4 + i 掣( f ) i - o vvi-it= 一 一v j 一1 ( 3 2 1 ) ( 5 ) 可展曲面可表示为 x ( v ，甜) = ( 1 一u ) x j ( t ) + u x n j ( t ) v v 。t 0 f = l 1 0 “1 v j v - i 巧- 1 v v j ，= 1 ，m ( 3 2 2 ) 它的两条边界分别在v = 畋处插值型值点y l j a 3 七，k = o ，l ，m ) 和 k ，k = 0 ，1 ，m ) 。 大连理工大学硕士学位论文 4 、近似可展曲面 前面我们对可展曲面进行了介绍从前面结论也可以看出，构造可展曲面是非常复 杂的事情可展曲面只有柱面，锥面和切线面3 种类型，那么满足一定条件的可展曲面可 能根本就不存在因此对近似可展曲面的研究就显得非常重要了曹磊和邓建松( 1 8 】) 给出了插值边界曲线的近似可展曲面构造方法在本章中，我们给出一种满足插值数据 点的近似可展曲面的构造方法 4 1 近似可展多项式曲面 对于给定的多项式曲面s 仇y ) ，它的g a u s s 曲率为 k = s 。s 侈一s ? 。 定义4 1 三维空间中，给定空间中点集t ：= 妣，乃，刁) ，。，曲面集合： n 净p ( 五y ) l s “，乃) = 毛，i = l ，f ， 则s 。r l 称为近似可展的，是指满足极值 l i k i i = 卿0 k 0 ( 4 1 ) 的曲面其中| | k 0 是k 的某种范数，r 是的g a u s s 曲率，k 是s 的g a u s s 曲率。 从上述的定义中可以看到，求解g a u s s 曲率按某种范数最小的优化问题是非常关键 的一步。g a u s s 曲率k 的范数也有多种取法，比如( q ) 范数 矿= ( n k ，酬肠 ( 4 2 ) 本节主要采用了l 2 ( n ) 范数，因此所考虑的问题为如下泛函极小值问题： 卿l i k l l p = r 。n 羽t n ( nk 2 劬7 ，2 ( 4 3 ) 这个泛函的极值点称为近似可展曲面。本文采用待定曲面表示形式，应用优化方法 直接求解曲面的表示。 由于要求曲面不能太过复杂，所以将所求曲面放在张量积多项式空间中考虑是个好 的选择。张量积多项式曲面自然具有一定的光滑性，而且目前已有成熟的处理方法。 m x n 次张量积曲面通常采用它的b e z i e r 表示。 为方便起见，要求点集，乃) ) ：= 。落在区域q = 【o ，1 】 o ，1 】中，则如上极小值优化问题 的近似解可表示为集合 可展曲面的构造方法 s “力= b u b ，( x ) b f ( y ) ， 中满足优化条件的多项式曲面其中6 ：f ，是是待定的，而确定未知是一个非线性优化问 题。为了优化问题有解，则要求点数t 伽+ 1 x n + 1 ) 我们的目标函数也可表示为 m i n i i k 岵哥m i i l f n ( 一曲2 ) 2 出方) “2 s _ 1 s b i ，y i 、) = z | 。i = l ，t 由于曲面s 似y ) 是未知的，且g a u s s 曲率表达式又非常复杂，因此目标函数k 心中 的积分很难显式表达。如果m , r 较大，采用类似【1 8 】的做法，我们可以用数值积分代替 忙岵= ( i i o k 2 蚴7 1 2 = ( 。仅一曲2 ) 2 螂) 1 1 2 吉喜芸( 哆考，哆弓，一曲2 一p 考， 2 4 2 近似可展参数曲面 首先我们给出基于曲面g a u s s 曲率的近似可展参数曲面的定义对于给定的参数曲 面s ( u ，v ) ，它的g a u s s 曲率为 k = l n - - m 2 ， e g f 2 一 其中 三= ( ，刀) ，m = s u v , n ) ，= ( 乱，豫) ，疗= 丽s ua s v i ， e = ( 最，鼠) ，f = ( 鼠，瓯) ，g = ( 鼠，& ) 。 定义4 2 三维空间中，给定空间中点集7 ) ：= l ，曲面集合： ：= p ( 甜，v ) l s ( 吩，_ ) = 毋，f = 1 ，f ， 则s h 称为近似可展的，是指满足极值 i k i i = 卿， 的参数曲面f 是的g a u s s 曲率，k 是s 的g a u s s 曲率。 注：与多项式曲面所不同的是，点集t - - 弛) ：= 。需要进行参数化这一与处理过程，即对每 一个点霉都要给定一个参数( 码，_ ) q 与其相对应参数化是也是目前研究的一个焦点问 题，而数据点参数化的好坏对曲面插值的影响较大。本文对此方面不做讨论，在进行计 算时我们默认数据点集已经进行了参数化处理 大连理工大学硕士学位论文 我们仍可采用了r ( q ) 范数，因此所考虑的问题为如下泛函极小值问题： r a s 副i n 盹= cf f ( l n - m 2 - ) 2 姗】2 。 这个泛函的极值点称为近似参数可展曲面。 我们仍可采用m x n 次张量积b e z i e r 参数曲面求解。对参数区域q = 【o ，1 】【o ，1 】，则 极小值优化问题的近似解可表示为 。s ( u ，v ) = 弓彤( “) 彤( v ) 其中巴为待定控制顶点，而确定b 是一个非线性优化问题。 由于曲面s ( “，1 ，) 是未知的，且g a u s s 曲率表达式又j 粤常复杂，因此目i i k i i p 中的积分很难用显式表达。同样地，如果m , l t 较大，我们仍可用数值分析代替，即 怯k = ( j j o 。, e g - f 2 ) 2 叫j 4 3 实例 前面已经讨论了构造近似可展曲面的基本过程，本节我们将给出几个具体例子。在 此本文不打算用太高次数的多项式构造曲面，高次数往往使得求解过程的计算量成倍增 加，到达难以接受的程度，且很多时候也是不必要的，更为重要的是高次多项式往往对 光滑函数逼近效果很差。因此实验中主要用双二次和双三次张量积多项式曲面来构造， 但在双二次张量积多项式空间中，自由度太少造型能力较低是其不足之处，于是此处给 出双三次张量积多项式曲面构造例子。以双三次张量积型曲面，自由度加大，复杂性又 比较适中，下面的实例将采用双三次张量积型曲面进行近似可展曲面构造。 如果给定对于双三次b e z i e r 曲面插值四个角点，因此如果给定插值点恰好有角点的 话，那么就可以直接确定一个系数，这样就降低了求解难度。为了具有一般性，下面实 例中近似可展曲面都不插值角点。 例4 1 利用双三次b e z i e r 多项式曲面插值5 个数据点( o 1 ，o 1 ，1 o ) ，( 0 1 ，0 8 ，1 2 ) ， ( 0 4 5 ，o 5 ，1 3 ) ，( o 9 ，o 1 ，1 3 ) ，( 0 9 ，0 9 ，1 2 ) ，如图5 1 所示。其高斯曲率的范数为1 0 8 数 量级。 可展曲面的构造方法 f 0 1 12 1 点。 图5 2 插值8 个数据点的双三次多项式曲面 11 l ( 0 9 ，o , 9 过这8 个 例4 3 利用双三次b e z i e r 参数曲面插值5 个数据点( 0 1 5 ，0 1 ，1 2 ) ，( 0 1 ，0 8 ，l1 ) ，( o 7