（光学专业论文）多光子纠缠态的量子纠缠与量子非局域性.pdf

o 1 中文摘要近年来，随着量子力学的发展，量子信息论已经成为现代物理学和信息科学中最前沿的学科之一，量子力学作为人类历史上最成功的理论与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。而量子纠缠和量子非局域性是量子力学中两个最深刻的、最奇特的性质，也是当代量子信息科学的两个关键性的概念，是实现量子技术的理论基础，在量子信息科学与技术中有着重要的应用。因此，量子纠缠和量子非局域性一直是量子理论基础研究的一个热点问题。量子纠缠作为一种重要的资源已被广泛地应用于量子信息处理和量子通信中，例如：量子并行计算、量子保密通讯、量子密集编码、量子隐形传态等，量子纠缠最显著的特征就在于它的量子非局域性，多粒子系统的量子纠缠是体现量子非局域性的一个重要方式，量子信息学的大多数问题都与非局域的量子纠缠现象有关。本文研究的重点是多光子纠缠态的量子纠缠与量子非局域性。第二章介绍量子纠缠和量子非局域性的基本理论，简述了量子纠缠的定义及度量方式；给出了量子非局域性的含义，介绍了e p r 佯谬和b e l l 不等式及其推广。第三章到第五章为本文的工作，其创新之处在于：第三章研究了多光子纠缠态的量子纠缠特性，计算了它们的v o nn e u m a i l l 2 熵，我们发现，对于不同的光子数的情况，随着光子数增加，v o nn e u m a n n 熵也随着增加；我们还发现，多光子纠缠态的相对位相不影响这些量子态的纠缠特性。第四章研究了多光子纠缠态与环境耦合后造成的量子消相干性，当与环境相互作用后多光子纠缠态变成了混态，失去了纯度。我们利用线性熵和相对熵计算了这一混态的混度和纠缠度，我们发现，随着时间演化量子消相干使纠缠量减少、混度提高。我们还发现，相对熵纠缠度不仅依赖于初始的纠缠角和消相干参数，而且还与每个模的光子数有关。特别是，消相干的速度与两个模的光子数差有关，当光子数差越大，消相干的速度越快。第五章研究了多光子纠缠态的量子非局域性，得出了一个很重要的结论：我们可以通过调节多个参数来控制多光子纠缠态的量子非局域性，而且在某些条件下我们可以使b e l l 不等式达到最大违背；并且我们还发现：多光子纠缠态的相对位相影响量子非局域性。关键词：量子纠缠；多光子纠缠态；冯纽曼熵；量子消相干；量子非局域性o 2a b s t r a c tr e c e n t l y , w i t ht h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mm e c h a n i c s ，q u a n t u mi n f o r r u c t i o nt h e o r yh a sb e c o m eo n eo ft h e r o n t e s ta r e a si np h y s i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c eq u a n t u mm e c h a n i c si sc o m p o s e do ft h e o r yf o u n d a t i o no fm o d e r np h y s i c sw i t hr e l a t i v i t y h o w e v e r ，q u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mn o n l o c a l i t ya r et w op r o f o u n da n dp e c u l i a rc h a r a c t e r i s t i c so fq u a n t u mm e c h a n i c st h e ya r ea l s oe s s e n t i a lc o n c e p t so fc o n t e m p o r a r yq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e t h e r ya r en o to n l yt h e o r yf o u n d a t i o nt or e m i z eq u a n t u mt e c h n o l o g y ，b u ta l s oh a v eq u i t ef a s c i n a t i o np o t e n t i a la p p l i c a t i o n st oq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y s oq u m a t u me n t m r g l e m e n ta n dq u a n t u mn o n l o c m i t yh a v eb e -c o m eh o tt o p i c s q u a n t u me n t a n g l e m e n th a sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nq u a n -t u r ni n f o r m a t i o nt h e o r ya n db e e nv i e w e da sa ne s s e n t i a lr e s o u r c eo fq u a n t u ml n f o r m a t i o np r o c e s s i n g i ti sa l s oam a i nr e a s o nf o rf u n d a m e n t a ld i f f e r e n c e sw i t hc l a s s i c a li n f o r m a t i o n i th a sb e e ne x t e n s i v e l yu s e di nq u a n t u mi n f o r m a -t i o np r o c e s s i n ga n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n s u c ha sq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，q u a n t u mc r y p t o g r a p h y , q u a n t u md e n s ec o d i n ga n dq u a n t u mt e l e p o r a t i o ne t c i t sd i s t i n c tc h a r a c t e r i s t i ci si t sq u a n t u mn o n l o c a l i t y q u a n t u me n t a n g l e m e n to fm u l t i p a r t i c l es y s t e mi sai m p o r t a n tm a n n e rt oe m b o d yq u a n t u mn o n l o 。c a l i t ym o s to fq u e s t i o n si nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r ya r ec o n c e r n e dw i t hq u a n t u me n t a r l g l e m e n tp h e n o m e n o nt h i st h e s i si sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n -t u r nn o n l o c a l i t yo fm u l t i p h t o ne n t a n g l e ds t a t e s ：i nc h a p e r2 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yo fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mn o n l o c a l i t y w ed e -s c r i b es i m p l yt h ed e f i n i t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dm e a s u r e m e n to ft h ed e g r e eo fq u a n t u me n t a n g l e m e n t ；h w o l v i n gt h ed e f i n i t i o no fq u a n t u mn o n l o c a l i t y , e p rp a r a d o xa n db e l li n e q u a l i t i e sa n dt h e i re x t e n t i o no u rt a s k sa r ef r o mc h a p e r3t o5 ，i nc h a p e r3 ，o u ri n n o v a t i o n sl i et h a tw ei n v e s t i g a t et h ee n t a n g l e m e n tc h a r a c t e r so fm u l t i p h t o ne n t a n g l e ds t a t e s w ec a l c u l a t et h ey o nn e u m a n ne n t r o p yo ft h e ma n dc o n c l u d et h a tt h ey o nn e u m a n ne n t r o p ya r ec h a n g e dp e r i o d i c a l l yb ye n t a n g l e m e n ta n g l ef o rt h ec a s eo fd i f f e r e n tp h o t o nn u m b e r a n dw ec a ns e et h ev o nn e m n a n ne n t r o p yi si n c r e a s e db ya d d i n gi i ip h o t o nn t m l b e r a n dw ei n d i c a t et h a tt h er e l a t i v ep h a s eo fm u l t i p h o t o ne n t a n g l e ds t a t e sd o e s nta f f e c tq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nc h a p e r4 ，w es h o wt h a tt h eq u a n t u md e c o h e r e n c eo ft h em u l t i p h t o ne n t a n g l e ds t a t e sc o u p i n gt ot h ee n v i r o n m e n t ，d u et oc o i l p j n gt ot h ee m d r o n m e n t ，t h ee n t a n g l e ds t a t eb e -c o m e sm i x e da n dl o s e si t sp u f f t y w ef i n dt h a tq u a n t u md e e o h e r e n e ew e a k e n st h ea m o u n to fe n t a n g l e m e n ta n de n h a n c e st h em i x e d n e s sw i t ht h et i m ee v o l u t i o ni ti si n d i c a t e dt h a tt h er e l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n td e p e n d so nn o to n l yt h ei n i t i a le n t a n g l e m e n ta n g l ea n dt h ed e c o h e r i n gp a r a m e t e r ，b u ta l s ot h en u m b e ro fp h o t o n si ne a c hn l o d e i np a r t i c u l a r ，w ef i n dt h a tt h ed e c o -h e r i n gs p e e dd e p e n d so nt h en u m b e r - d i f f e r e n c eo fp h o t o n si nt h et w om o d e st h el a r g e rt h et h en u m b e r - d i f f e r e n c eo fp h o t o n si s ，t h eh i g h e rt h ed e c o h e r i n gs p e e d i nc h a p e r5 ，w er e s e a r c ht h eq u a n t u mn o n l o c a l i t yf o rm u l t i p h t o ne n t a n g l e ds t a t e s w ed e r i v ea ni m p o r t a n tc o n c l u s i o nt h a tq u a n t u mn o n l o c a l i t yc 日_ nb ec o n t r o l l e da n dm a n i p u l a t e db ya d j u s t i n gm u l t i p a r a m e t e r s 1 n o r e o g e r w ef i n dt h a tt h ev i o l a t i o no ft h eb e l li n e q u a l i t yr e a c h e si t sm a x i m a lv a l u en n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s i ti sa l s of o u n dt h a tt h er e l a t i v ep h a s eo fm u l t i - p h t o ne n t a n g l e ds t a t e sa f f e c t sq u a n t u mn o n l o c a l i t y k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；m u l t i p h o t o ne n t a n g l e ds t a t e s ；t h ev o nn e u m m me n t r o p y ；q u a n t u md e c o h e r e n c e ；q u a n t u mn o n l o c a l i t yi v第一章绪论量子纠缠现象作为量子力学所特有的现象，最早被e i n s t e i n ，p o d o l -s k y 和r o s e n ( e p r ) 所注意到1 1 ，也成为了b o h r 与e i n s t e i n 两位巨人关于量子力学的论战的题目之一。随后b o h m 等人也对此作了论述，但直到b e l l 在1 9 6 4 年提出了著名的b e l l 不等式之后，才使得人们可以用实验来判定两位巨人的论断，b e l l 不等式提出之后的几十年里，实验物理学家们设计了许多不同的精巧的实验来验证b e l t 不等式，这些结果都证实了b e l l 不等式能被破坏，证实了量子力学的非局域性。量子信息理论已经成为物理学和信息科学中最前沿的学科之一，而量子纠缠在量子信息理论中发挥着重要的作用。 2 j 量子力学最引人注目的特征就是量子纠缠，这一特征直接导致了e p r 佯谬 1 】。e p r 佯谬在推动近六十年的量子力学的发展中起着非常重要的作用，它是l i n s t e i n 用来与b o h r 进行的一次最重要争论的假象实验，这个实验所预示的结果完全遵从量子力学原理，然而却又令人难以接受。六十多年以来，人们一直在不断地从理论上和实验上来研究这个著名的假象实验，正是对该假象实验的研究奠定了量子信息学的研究基础。在e p r 佯谬中的粒子间可以观察到很强的关联作用，这种非局域关联只有当整个系统的量子态处于纠缠态时才会出现，而处于直积态时看不到这种效应，b o h m 对e p r 态提出了一种比较直观的描述1 3 】量子纠缠是量子信息与经典信息区别的根本原因，它的本质，从不同角度来看有不同的解释：i ) 按量子信息论的角度，其本质是关联中的量子信息；i i ) 按实验观测的角度，纠缠的本质是关联塌缩；i i i ) 从理论分析的角度看，纠缠的精髓是和关联空间j 定域性的等价性；i v ) 从隐变数的角度看，两体系统存在纠缠的充要条件是：对两体系统的某个状态，如存在一种表示，在这种表示下，如果在两粒子间引入任意相对位相差而不会改变这个状态，则此状态必定是可分离的，此时显然存在定域性隐变数。量子纠缠和量子非局域性是当代量子力学中的两个关键性概念，也是实现量子技术的理论基础，在量子信息中有着重要的应用，因此，对量子纠缠和量子非局域性研究一直是量子理论的前沿热点问题，早在上世纪3 0 年代，爱因斯坦就发现了量子纠缠现象；但从数学上提出纠缠态的概念是在上世纪8 0 年代末期。量子纠缠态的应用有可能率先在通讯技术上实现，由目前的脉冲通讯上升到量子纠缠态编码，是人类通讯技术的一个大的飞跃。量子纠缠最显著的特征就在于它的量子非局域性，量子非局域性是量子不可分离性的最显著的表现之。1 9 9 1 年，t a n 等人提出了一个实验方案，利用分束器验证了单光子纠缠态的量子非局域性f 5 1 。1 9 9 9 年，b a n a s z e k 和w o d k i e w i c z 提出了一个可靠的实验方案i6 1 ，在位相空间验证了由分柬器产生的单光子b e l l 态的量子非局域性由于两粒子或多粒子纠缠态可以用于检验不等式的量子非局域性，因而它们有许多用途。2 0 0 0 年，潘建伟等人利用柬分仪器和偏振分束器制备了三光子g h z 态 7 】，接着又在实验上得到了高亮度高质量的四光子极化g h z 态。并用局域测量的方法完整地验证了兰、四光子纠缠态的量子非局域性，为实验验证量子力学的完备性上迈出了重要的一步| 8 8 。2 0 0 2 年，陈增斌等人将b e l l 不等式推广到连续变量二体系统，并验证了c h s h 不等式的最大违背1 1 2 1 。近年来，连续变量纠缠态的量子特性及其在量子信息处理中的应用也引起了广泛地关注，人们提出了许多利用分束器制备各种连续变量的纠缠态的方案。例如：p a r i s 提出了利用m - z 干涉仪制备一个类似双模真空压缩态的纠缠态( 9 l ；s a n d e r s 利用一个非线性m z干涉仪制备了纠缠相干态( 1 0 】；z h o u 和k u a n g 提出了利用光学方法制备纠缠压缩真空态的方案【1 1 】。各种纠缠态的制备在不同的物理系统中还有不同的实现方法。所谓量子纠缠态是指两个或多个量子系统处于该态时，不管它们在空间分开多远，都不能被看作相互独立的，形式上不能表示成直积形式，处于该态的两个或多个量子系统之间存在非定域性、非经典性的强关联，其性质对量子力学及量子信息科学都具有重要意义。当两个自旋为1 2 的粒子处于最大纠缠态时，b e l l 不等式被最大地违背，这意味着定域隐变量理论是不正确的。量子纠缠涉及到实在性、定域性及测量理论等量子力学基本问题，并在量子通信和2量子计算中起着重要作用。本文主要研究多光子纠缠态的量子纠缠与量子非局域性：第二章介绍量子纠缠和量子非局域性的基本理论，简述了量子纠缠的定义及纠缠度量方式；给出了量子非局域性的定义，介绍了e p r 佯谬和b e l l 不等式及其推广。第三章研究了多光子纠缠态的量子纠缠特性，其创新之处在于：计算了多光子纠缠态的v o nn e u m a n n 熵，得出了对于不同的光子数的情况，v o nn e u m a n n 熵随纠缠角的变化关系，并且可以看到：随着光子数增加，v o nn e u m a n n 熵也随着增加。同时，我们还发现，当光子数相同时，v o nn e u m a n n 熵与叠加态的个数无关；更重要地是，我们发现多光子纠缠态的相对位相不影响这些量子态的纠缠特性。第四章研究了多光子纠缠态与环境耦合后造成的量子消相干性，当与环境相互作用后多光子纠缠态变成了混态，失去了纯度。其创新之处在于：我们利用线性熵和相对熵计算了这一混态的混度和纠缠度，我们发现，随着时间演化量子消相干使纠缠量减少，并提高了这一混态的混度。我们还发现，相对熵纠缠度不仅依赖于初始的纠缠角和消相干参数，而且还与每个模的光子数有关。特别是，消相干的速度与两个模的光子数差有关，当光子数差越大，消相干的速度越快。第五章研究了多光子纠缠态的量子非局域性，其创新之处在于：我们可以通过调节多个参数来控制多光子纠缠态的量子非局域性，而且在某些条件下，我们可以使b e l l 不等式达到最大违背；最后，我们还发现多光子纠缠态的相对位相影响量子非局域性第六章我们对本文的工作进行了简要的总结，并对多光子纠缠态的应用与发展作了简要的展望。3第二章量子纠缠和量子非局域性的基本理论2 1 量子纠缠的基本理论量子纠缠现象是量子力学不同于经典物理学的最奇特的、最不可思议的特性，它首先被e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e nf 1 1 所注意到，后来得到了广泛的关注、讨论和研究最近十年，量子纠缠已经成了量子力学中许多基础工作的中心，特别是与量子不可分性、b e l l不等式的违背、e p r 佯谬等相关问题的研究密不可分。同时，在量子信息学中，纠缠态占据非常重要的地位，纠缠态的特殊的物理性质，使量子信息具有经典信息所没有的许多新特征，同时，纠缠态也为信息传输和信息处理提供了新的物理资源。纠缠态的产生和操作是量子信息应用的基本问题，量子信息中量子纠缠被认为是最重要的量子信息源一、量子纠缠的概念量子纠缠的概念存在着若干误解：1 ) 量子纠缠是一个与表象有关的、是一个如何进行因式化的数学问题，实际上不是这样的。2 ) 量子纠缠就是( 或体现) b e l l 不等式意义上的空间菲局域性一b e l l 非定域性，这是片面的。3 ) 量子纠缠只是相互关联中所包含的量子信息，就是1 十1 2 的部分，量子纠缠应当用互关联量子信息来定义，这也是不对的，一般而言，量子纠缠总是物理的，而信息并不总是物理的。量子纠缠应当具有比相互关联的量子信息更为宽广的物理内容。4 ) 单粒子也有量子纠缠( 在其不同自由度之间) ，这样理解不十分合适，更恰当地说，量子纠缠概念是个多体的概念。5 ) ，从实验观测的角度来看，量子纠缠的本质是测量中体现的关联，这没有将“关联”说清楚。6 ) 力学量耦合必定导致量子态的纠缠，有时候会出现这种情况，但并不总是这样。张永德等 1 3 】对量子纠缠的物理本质做了深入的研究：从关联测量的实验观测角度看，纠缠的本质是关联塌缩；从理论分析的角度看，纠缠等价于关联非定域性；从允许内部相对位相差的角度来5看，两体系统存在纠缠的充要条件是，两粒子间不容许存在任意相对位相差而不改变系统的状态；从量子信息的角度看，纠缠的本质就是量子关联中的信息量子纠缠的粒子对又称为e p r 对，在实验室中，可以通过参量下转换的方法实现 1 4 ，实际上就是一个非线性光学现象：一束激光射向一个非线性晶体，出射激光就会变成两束频率较低的激光；其中一束激光的极化方向是水平的，另一束激光的极化方向是竖直的，调节入射激光的入射角，使得这两束出射激光的圆锥面有相互重叠的地方。这样在出射激光相互重叠的地方，光子的极化方向是无法确定的，它既有可能是竖直方向极化的，也有可能是水平方向极化的。同时，由于圆锥面的空间对称性，圆锥面在某一固定距离必定在两个对称点相交，这两个对称点处的光子就成为一个纠缠态或e p r 关联光子对。量子力学中，两个以上的粒子( 包括两个以上的光予) 组成的系统中的每一个粒子可看作一个子系统。各个子系统的量子状态之间可以是无关的，也可以是相关但可分离的，还有的是相关而且是不可分离的。这种由相关而且不可分离的两个或两个以上的子系统的量子状态所组成的系统的状态称为量子纠缠态。量子信息与经典信息的深层次区别在于量子纠缠的性质和应用。由于量子纠缠没有经典对应，因此量子纠缠态又简称为纠缠态现引入一些定义和数学表示：设两个量子纯态子系统a 和b 构成一个联合系统，这个联合系统可以表示为妒) 一a = v , j i i ) a i j ) s( 2 1 )其中，仆) 一。协) 口) 为此联合系统的一组正交完备基，这个纯态可以分为可分离态和纠缠态两大类。1 二体可分离纯态若描述此联合系统的量子纯态可以写成两个子系统的量子纯态的直积形式，则描述联合系统的量子纯态为可分离纯态，即态l 圣) 。6满足条件1 母) a b = q a o i 廖b( 2 2 )其中，i o ) = 。o 。i t ) 山l 卢) b = ，岛i j ) b 例如态j o ) 一圆j o ) e 和态1 以( 1 0 ) a 1 0 ) 口一1 0 ) 一 1 1 ) b ) 都是可分离二体纯态。2 二体纠缠纯态若描述此联合系统的量子纯态不可以写成两个子系统的量子纯态的直积形式，尉描述此联合系统的量子纯态为纠缠纯态，即二体纠缠纯态满足如下条件i 屯) b i o ) 1 卢) b ，( 2 3 )例如，两个费米子系统组成的符合反对称性要求的态( 1 0 ) 1 1 ) 口一1 1 ) a i o ) e ) ，( 2 4 )v z显然，这正是二体纠缠纯态，它不能写成直积形式，这个纠缠态说明，两个电子的自旋方向相反，却不能确定哪个电子的自旋处于哪个方向，它们处于纠缠之中。若考虑a 和b 是两粒子组成的系统，可以证明下面四个纠缠态将组成一个完备基f 母+ ) a s = 丢( fi ) 一l 一) e 士 - ) 一ii i b ) ，v z1i 铲) e = ( 1 t ) i 曲b 士l 一) 一l 一) e ) 、，z以上称之为b e l l 基，这里ii ) 。表示i 粒子在竖直方向的极化，l 一) 。表示i 粒子在水平方向的极化。a 和b 的关联是纯态之间的关联，不同予可分离态下a 与b 的关联，那是混态之间的关联。通过测量造成的塌缩可以知道，子系统之间存在量子纠缠的最重要特性是：子系统a 和b 的状态均依赖于对方各自都处于一种不确定的状态。这样，若对一个子系统进行测量必将会使另一个子系统产生关联的塌缩。在纠缠态中，粒子a 和b 的空间波包可以彼此相距遥远而并不重叠! 这时，它们的自旋波函数仍会产生关联的塌缩，当系统a 因测量而发生塌缩时，系统b 必将发生相关联的塌缩。7例如，对态 m + ) 一= = 击( ji ) - j 一) e + i 一) 一ji ) s 中的a 作测量，测量a 时，若a 的状态塌缩到ii ) a 时，则b 必为 一) 。；若a 的状态塌缩到 一) 一时，则b 必为l i ) e 。系统b 的这种关联塌缩是a + b 系统测量塌缩的一部分，因而它也是瞬时的、非局域的、不可逆的。可以说，纠缠态的关联是一种纯量子的非局域的关联，是一种超空间的关联。二、量子纠缠的度量方式量子纠缠的重要性使得对它的定量描述显得尤为重要，是量子信息理论研究的热点问题，对量子纠缠的定量描述是指如何用一个具体的量来描述纠缠程度的大小。我们知道，b e l l 不等式的违背是量子纠缠的一个显著的特征，但不是所有的纠缠态都违背b e l l 不等式 1 5 。因此，为了从经典关联中分离出量子纠缠需要一种量度纠缠的标准，这启发人们对纠缠态的量度问题进行了大量研究。纠缠态的量度也有着广泛的应用，当两地拥有一个量子纠缠态时，纠缠的所有者可以通过对纠缠态做局域操作并辅以经典通信来实现量子通信、量子计算等功能，但这都是以消耗两地共享的纠缠态为代价的，这究竟消耗了多少非局域的物理资源，也要求必须对纠缠量度进行量化，也就是说，需要确定纠缠态的纠缠度所谓纠缠度，就是指所研究的纠缠态携带的纠缠量的多少，纠缠度的提出，为不同的纠缠态之间建立了可比关系，但是目前，除了对系统的纠缠度取得了一些肯定的结论之外，对多体系统的纠缠度的量度的研究还处于起步阶段，还没有一个确定的普遍可以接受的标准，还有待进一步的探讨【1 6 1 9 1 、量子纠缠度量的基本要求目前，人们已经广泛地使用四个b e l l 态作为定量化二体系统纠缠的标准，每个b e l l 态的纠缠度定义为1 个纠缠比特( e b i t ) 。同时，纯态纠缠度的定义也是建立在渐进等价性假设的基础上的，渐进等价性假设可以解释为：假设我们有一个纠缠态i 皿) 的份拷贝，通过对其进行局域操作并借助经典通道，我们能够产生多少个b e l l 单重态呢? 一般情况下，能够产生单重态的数日与的比不是一个常8数，但是随着的增加这个比值越来越接近某个确定的数值e ，当一o 。时，可达到这个确定的比值。理论证明，当一o 。时，份j 屯) 和n e 份b e l l 单重态之间的变换近似为可逆变换f 2 0 ，2 1 1 。这样我们在数学极限意义下定义了态与态之间的等价关系，称为渐进等价性。这里数值e 就是纯态i 皿) 的纠缠度。采用渐进等价性的原因是：在量子信息中，要处理同一纠缠态的大量拷贝，它们之间的变换关系近似为大数行为；而且只有局域幺正等价的纠缠态之间才存在基于局域操作和经典通信限制下的可逆变换f 1 7 1 。在一般情况下，纠缠态之间的确定性的可逆变换是无法实现的，我们只能在数学极限意义下寻求其等价性关系。更一般地，v e d r a l等人 1 7 】于1 9 9 7 年提出了对纠缠量子态p 的任何纠缠度的测量e ( p )都必须遵循以下准则：1 ) 、可分离态的纠缠度为0 ，即：e ( p ) = 0 ，当且仅当态卢是分离态。这一条件来源于分离态中不含有纠缠这一事实。2 ) 、对任一组份粒子进行的任何局域幺正变换( l u ) 不改变纠缠度：也就是说，与l u 等价的态具有相同的纠缠度e ( p ) ，即：e ( 声) = e ( p u + 。这一条件来源于表示局域幺正变换只改变基失，而不改变量子关联。3 ) 、在局域操作( 如测量等) 与经典通信( l o c c ) 的操作e 下，平均纠缠度e ( p ) 不会增加，即；e ( e 卢) e ( p ) 。这个条件是由于通过局域一般性测量与经典通信而获得的关联增加是经典关联，而量子纠缠没有增加。4 ) 、对于直积态，纠缠度应当是可加的按理这条同样对不论是纯态还是混合态，所有的纠缠度都应当遵循，但是事实是对有些纠缠度的定义，并不能够证明满足这个张量积可加的条件，甚至已经弄清楚了，由于存在束缚态，可提纯纠缠度对于某些混态并不遵守这一条件。由此我们可以看出：通过一系列局域操作并借助经典通信，我们不能从一个非纠缠态制备出纠缠态，这几个条件是对目前所认识到的纠缠态规律的一个概括性的总结，具有相当普遍的意义。92 、纠缠的度量方式下面我们介绍纠缠的几种度量方式 1 3 】：a ) 、部分熵纠缠度( t h ep a r t i a le n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t )对于一个由两个子系统a 和b 组成的二体纯量子态i 妒) 们，它的纠缠度用其纠缠熵( e n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 来量度，其部分熵纠缠度定义为昂( 1 妒) a b ) = s ( p a ) ，( 2 , 5 )其中，s ( p ) 为p 的 v o nn e u m a n n 熵s ( p a ) i - - t r ( p ai n 肌) ，( 2 6 )而肌为a 体系的约化密度矩阵p a ；t r b ( i w a b ) = ：一m l 0 9 2 陬，( 2 1 3 )v ) 相对熵纠缠度与形成熵纠缠度的关系满足不等式：e r ( p a b ) se f ( p ) ( 2 1 4 )相对熵纠缠度满足纠缠度量的几个基本条件，并且能给出混合态制备过程的一个统一的描述 2 2 ，具有明显的物理意义，因而在许多方面相对熵纠缠度更有优势。d ) 、可提纯纠缠度( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n )如果j 份两体量子态m b 为a l i c e 和b o b 所共享，a l i c e 和b o b通过l o c c 能得到e p r 对的个数最多为( ) ，可提纯纠缠度d p a e 定义为厶， ，、d ( p a b ) 一j i 笔()m_21 5一v这里l o c c 中传递的经典信息包含a l i c e 和b o b 互相传递的经典信息，如果限制信息传递的方向，则情况和定义会有所不同。最后指出，对两体纯态的情况，以上不同的纠缠度定义所给出的纠缠度数值都是相等的。但是对于多体情况和两体混态情况，纠缠度大小的顺序就不一定了，甚至很难引入合理的纠缠度定义。除了上述的几种纠缠度之外，人们还提出了很多其他的纠缠度定义 2 3 2 7 】，可以说，迄今为止，人们仍未放弃寻找物理意义鲜明，同时又简单、易于求解的纠缠度的定义2 2 量子非局域性的基本理论量子纠缠最显著的特征就在于它的量子非局域性，量子非局域性是量子不可分离性的最显著的表现之一所谓量子非局域性( q u a n t u r nn o n l o c a l i t y ) 就是难以用经典定域的描述方式来确切表达的带有某种超时空弥散性的非平庸的量子系统的整体属性，是量子理论最基本的物理图象之一。量子非局域性的根源是与量子理论自身基础的非局域性分不开的，从这个意义上讲，量子纠缠与量子非局域性具有相同的来源，量子非局域性包括没有纠缠的非局域性和有纠缠的非局域性b e n e t t 指出存在一组正交乘积态【2 8 ，他们是不可以1 2通过局域操作和经典通信而被区分的，这就是没有纠缠的非局域性的一个例子。单光子密钥分配方案中，密钥的安全性就是利用了没有纠缠的非局域性【2 9 。多粒子系统量子纠缠是体现量子非局域性的一个重要方式，量子信息学的大多数问题都与非局域性的量子纠缠现象有关。一、量子非局域性的含义一个物理量，或是一种相互作用，如果它的数值或迸行过程不仅依赖于时空变数，并且只和当时当地的时空变数( 至多包含该点的无限小邻域) 有关，就称它为定域的量，或是定域的相互作用。这表明它不但是一个在时空中进行的过程，而且是一个体现着局域作用的定域过程。与此相对照，一个物理量，或是一种相互作用，如果它的数值或进行过程不仅依赖于当时当地的时空变数，而且还以一定方式依赖干别时别地的时空变数，就称它为( 就时间而言是非m a r k o v i a l l ) 非定域的量，或是非定域作用过程。这表明，它不但是个在时空中进行的过程，而且是体现( 在时空域中的) 非局域作用的非定域过程。倒：电磁场推迟势、e p r 态关联、纠缠测量的塌缩与关联塌缩；不同商品的价格( 局部或非局部地方) ；混态演化与主方程推导( 延时反馈，这是时域中的“非定域过程”，非m a r k o v i a n ) 等等。尽管和经典理论一样，量子理论( 从非相对论量子力学到相对论量子场论) 仍然采用了定域描述方法，但量子理论最重要特征之一是：全面地表现出了各种奇妙的空间非定域性质，而且这些非定域性质已经并继续经受住了越来越多的实验检验。不可否认，这些空间非定域性质有着不同的根源：有的来自基本相互作用的内在性质( 即非定域型相互作用，比如，某时空点的相互作用并不只和该点上各场量或它们导数有关) ；有的来自微观粒子的内禀性质一波粒二象性；有的又来自具体拉氏量中参数空间的拓扑性质；有的则来自我们所处空间可能具有的整体拓扑性质( 宇宙有限无界、无限无界等) 。由于根源不相同，它们所显示的现象以及出现的范畴也不尽相同。有些非定域性质体现在局部空间无1 3法察觉的、只依赖于空间整体拓扑性质的现象上( 比如各种拓扑相因子) ；有的则在塌缩关联塌缩之间显示出一种超空间的关联现象；有的仍然遵守相对论性定域因果律，有的则表现出令人困惑的似乎与这个基本规律的不相容性等等。正是由于空间非定域性有不同来源，因而就有不同种类，并有着不同的物理表现。就本质而言，无论非相对论量子力学或相对论量子场论，都是在定域描述外衣下的空间非定域理论。二、e p r 佯谬1 9 3 5 年，e i n s t e i n 、p o d o l s k y 和r o s e n ( e p r ) 发表了一篇重要的文章【1 ，对正统的量子力学的完备性提出了质疑，文章的基本思想认为：借助理想实验的逻辑论证方法，可以表明量子力学不能给出对微观系统的完备描述，通常称之为e p r 佯谬。e p r 佯谬揭示了量子力学最基本的、最深刻的、最奇特的特性一量子纠缠现象和量子态的非局域性质。它在e i n s t e i n 和b o h r 等科学巨匠之间引起了长期的争论【3 0 ，3 1 ，其焦点就是：量子力学理论是否完备，定域实在论是否正确。1 9 5 1 年，b o h m 3 0 l 提出了更容易实现的e p r 佯谬的翻版，他们的论证是建立在两个主张的基础上的；( 1 ) 定域因果性观点：如果进行两次测量( 或两个事件) 的四维时空间隔是类空的，那么两次测量之闻就相互无关，彼此不存在因果关系( 2 ) 物理实在元素的观点：作为一个物理实在的元素，任何一个可观测的物理量，必定在客观上以确定的方式存在。也就是说，如果不去扰动一个系统，这个系统的任何可观测的物理量在客观上应当具有确定的数值根据e p r 佯谬的思路，1 9 5 1 年，b o h r 提议，考虑由自旋为1 2的两个相同的原子a 和b 组成的一个双原子分子，处于总自旋为0的状态上，分子因受某种影响而分解，两个原子反向飞出，但它们的自旋仍处于关联态f 妒一s ) 上1i 妒) - 日= ( it ) ii ) 日一i1 ) - lt ) s ) ( 2 1 6 )1 4反向飞出使它们彼此间的距离拉开得越来越大，于是只要对它们分别测量的时刻足够靠近，这两次测量所构成的两个事件将是类空间隔的。因此，对原子a 的测量应当不会对原子b 造成任何影响。首先，考虑可观测量，若对a 测量一? = + 1 ，则可以肯定地推断b 处于一? = 一l ：反之，若测得一? = 一1 ，则知a ? = + 1 。总之，一旦对a 作了o - 。的测量，则b 的a 。值客观上就确定了。并且，因为测量时间与距离所构成的间隔是类空的，从狭义相对论的定域因果律可知，对a 的测量不会影响到b 的状态，这样，按定域实在论的观点，一罗应当是一个物理实在的元素，也就是说，不论是否对b 测量，一尹在客观上是确定地存在着。同样，对f i x ，测量的情况也类似，即砖，a 宇也是一个物理实在的元素，客观上也有确定的值。概括起来，o 善，o 掌，一? 都是物理实在的元素，也就是说，在它们测量之前，客观上就是同时确定地存在着。然而，按着量子力学的观点，由于相应算符彼此不对易，它们在客观上都是不能同时具有确定值的，甚至每个粒子自旋指向本身也并不确定，这就是e p r 佯谬的内容。e i n s t e i n 说，这个佯谬表明：要么量子力学中利用波函数的描述方式是不完备的；要么即使是类空间隔的两个子系统，它们之间的实际状态也可以是不独立的。根据定域实在论，e i n s t e i n 否定了对第二条的怀疑，他认为量子力学的波函数描述方式是不完备的，这导致后来许多人猜测量子力学之外有隐变量存在。而量子力学的回答是：量子力学之外的隐变量是不存在的，量子力学的波函数描述是完备的。迄今为止，实验一直支持量子力学，支持以下观点：( 1 ) 量子力学的描述是完备的，不存在隐变量；( 2 ) 自旋态的构造以及塌缩都是非定域的；( 3 ) 物理实在论的观点是不正确的。三、b e l l 不等式及其推广1 9 6 4 年，b e l l 根据e i n s t e i n 的定域实在论和有隐变量存在的观点，推导出一个不等式，b e l l 指出，基于隐变量和定域实在论的任1 5何理论都必须遵守这个不等式，而量子力学却预言这个不等式可以被破坏。例如，对于a 和b 两粒子组成的自旋纠缠态i 妒) = 去( 1t ) 一li ) 口一l1 ) - lt ) s ) ，( 2 1 7 )v a l i c e 对a 粒子沿给定的a 方向测量其自旋，b o b 对b 粒子沿给定的i方向测量其自旋，于是各测量结果分别为a ( g ，a ) = 士1 和日( 瓦a ) = 4 - 1将它们对应相乘，由于i 妒) 中a 和b 的自旋是反向关联的，当万一i时，应当有a ( d ，a ) b ( 6 ，a ) = 一1 ，( 2 1 8 )这里 是一个隐变量，一般若商i 时，则上式不成立。假设对多个系统进行多次这样的测量，对应相乘后，沿( d ，西两个方向测量结果的关联函数为一厂p ( a ，砷= fd 入p ( ) a ( a ，柚b ( b ，a ) ，( 2 1 9 )j同样地，如果沿( 万固和( 丘司方向进行测量，将分别得到p ( 武司和p ( 匠甸，于是i p ( 5 ，6 ) 一p ( d ，习i= i d a p ( a ) 【a ( 武a ) b ( b ，a ) 一 ( 五a ) 日( 巨a ) 】lj，d a p ( a ) i a ( d ，入) b ( 6 ，a ) 一a ( 万a ) b ( 茜a ) l ，( 2 2 0 )j由于a ( 最 ) b ( t a ) = 一1 且a ( i a ) 。= 1 ，可以得到b ( 6 ，a ) = 一a ( 6 ，a ) 代入( 2 2 0 ) 式，可得，d a p ( a ) i a ( 万, a ) b ( 6 ，a ) 一a ( 6 ，a ) 日( ea ) lj= d 如( a ) 1 a ( 瓦 ) a ( 匠a