（应用数学专业论文）malliavin随机变分与在金融数学中的应用.pdf

摘要 m a l l i a v i n 随机变分是已经成为随机分析领域最引人注目的领域之一，而且 得到了越来越多的应用。本质上，它是一套对w i e n e r 泛函的相对微分运并由 m a lli a v i n 1 】于1 9 7 6 年建立。第一章，我们就它的理论做一简要的介绍 第二章我们讨论的是m a l l i a v i n 随机变分在数学金融中的应用。研究的是受 控制的随机系统，其中状态h ，) 是可预期的，也就是说对于任意的，【o ，刁适应 的滤波 g ，) 庸【叫 满足条件f ，c g ，相虚的可预期随机微分方程是一种前向积分 这是作为半鞅随机积分的自然拓广而我们考虑的可容许策略是 e ， 冲，l 适应 的，且对任意的，【o ，刁满足条件e ，cf ，在这种情况下我们解决了对数效用 函数下的最优细合问题。 关键词：m a l l i a v i n 随机变分；前向积分；内部交易 a b s tr a c t m a l l i a v i nc a l c u l u sh a sb e e no n eo ft h em o s ta t t r a c t i v et o p i c si nt h e d o m a i no fs t o c h a s t i c a n a l y s i s t h et h e o r yi s i n s t r i n s i c a l l y ak i n do f r e l a t i v ed i f f e r e n t i a lc a l c u l u sf o rw i e n e rf u n c t i o na n dw a si n i t i a t e db ypa u l m a l l i a v i n i nc h a p t e r1 , w ei n t r o d u c eb a s i cc o n c e p t so fm a l l i a v i nc a l c u l u s b r i e f l y i nc h a r p t e r2 , w es t u d yac o n t r o l l e ds t o c h a s t i cs y s t e mw h o s es t a t e x ( ow h i c hi sa n t i c i p a t i n g , i nt h es e n s et h a tt h ec o e f f i c i e n t sa r ea s s u m e d t 0b ea d a p t e dt oaf i l t r a t i o n g 以l q ，】，w h e r e f ，c g ，f o ra l l ，f o ，7 1 t h e c o r r e s p o n d i n ga n t i c i p a t i n gs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni ni n t e r p r e t e d i nt h es e n s eo ff o r w a r di n t e g r a l s ，w h i c ha r et h en a t u r a lg e n e r a l i m t i o no f t h es e m i m a r t i n g al e i n t e g r a l s t h ea d m i s s i b l ec o n t r o l sa r ea s s u m e dt ob e a d a p t e dt oaf i l t r a t i o n p ， , 。i 0 , r i , s u c h t h a t e ，cf ，f o ra l lt e 0 ，刁w e s o l v eh o wt og e to p t i m a l p o r t f o l i ow i ml o g a r i t h m i cu t i l i t y k e y w o r d s ：m a l l i a v i nc a l c u l u s ；f o r w a r di n t e g r a l ；i n d i d e rt r a d i n g 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： j 否粥 年多月侈日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子 版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 l 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 日期 p 猡年多_ 寥日 日期d 孑年月佣 m f l l i a v i n 随机变分与在金融数学中的应用 第一章 m ai lia vin 随机变分 第一节引言 我们知道扩散过程作为，和, f 的函数都不是通常意义下的可微函数，伊藤成 功地解决了对，的微分运算问题；而m a i l i a v i n 1 1 则成功地解决了对的微分运算 问题。 m a l l i a v i n 随机变分学是维纳空间卜的一种无穷维分析。自从1 9 2 3 年维纳构 造了布朗运动的数学模型，即连续函数空间上的维纳测度以来，人们试图对维纳 泛函建立一套分析理论。但不幸的是，许多常见的泛函，例如伊藤积分或伊藤随 机微分方程的解，作为维纳空间上的泛函，未必都是连续的，当然更谈小上存在 f r e c h e t 导数了。直到1 9 7 6 年，m a l l i a v i n 利用维纳测度的拟不变性质建立了一 套对维纳泛函的弱微分运算，使这些重要泛函在弱微分意义下是光滑的，从而获 得了重人突破。 l t 0 泛函的一个显著特点是它作为一个随机过程是适应于布朗运动所生成的 仃一代数流的。这在应用中受到一定的限制。例如，我们考虑随机微分方程的终 值或边值时，一般来说不能指望它的解仍然是一个适应过程( 除非扩大原来的 仃一代数流) 我们知道s k o r o h o d 积分( 散度算予) 是l t 0 积分的推广，它对非适 应过程仍然有意义。因此m a l l i a v i n 分析提供了非适应随机分析的个有效途径 m a i l i a v i n 随机变分开辟了一个用概率方法研究分析问题的广阔领域。 h o r m a n d e r 定理的概率证明充分显示了它的威力；m a l l i a v i n 方法也在滤波理论方 面发挥着很大的威力；近几年m a l l i a v i n 分析在金融市场上更是得到了广泛的应 用。 m a l l i a v i n 随机变分的奠基性工作 1 。此后许多学者从不同途径建立了严格 的数学理论，有无穷维的对称扩散半群理论，更为直接的g i r s a n o v 变换方法以 及w i e n e r 泛函的索伯列夫空间方法。作为系统阐述随机变分理论的论文或专著， 可参考 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 1 0 ， 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 等。 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学巾的应用 这一节，我们首先建立在维纳空i 司上的分析，最重要的定理就是维纳混沌 分解，它在m a l l i a v i n 随机变分巾发挥着非常重要的的作用。 假定为实、可分希尔伯特空间，其内积和范数分别记为 o ，如果对于实函数箩：【o ，卅4 一月满足： 箩( 屯，) = ( ，吒) ，其中p 仃。) 是( 1 ，2 ，刀) 任一排列， 则我们说g 是对称函数。另外，如果l 砸u o 彤。，r 矿( ，) 戤“以 我们就说箩z ( 【o ，刁”l ，即对称平方可积函数空间。 令最= ( 玉，) 【o ，丌；os 而屯刁 因此l 纠已( 【o 。硝) = 硝l 矿( 五，而) 凼以= 刀! i l 比( 哪 如果i 翻巳i ) = 矿( 玉，) 如d r o ，箩z ( 【o ，刁) ，那么有，广e z 【o ，刁”) ，对任意刀l ，而且 有， ( 矿”) = 纪( 五，( 五，z ) ) ， 这里 z = f 反力叫力 ， 矿。( ，) = 兀箩( ) 。 证明：用数学归纳法进行证明。因为属( 力= z ，属( 五力= z ，凶此有 ( 曲= 墨= r 占( 力( 力，也就是当厅= l 时结论成立。假设对刀结论成立，令 屯= 矿肿1i 力。固定j 【o ，刁，九州( 力= ( g l i o j 1 ) “冷，其中影最( ) 。根 据厶。的定义，我们有： m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学中的应用 厶。，州= ( 刀+ 1 ) ! 厶。( “。) 5 ( 刀+ 1 ) ! f 肿o ( “。( 力) 翻矿( 力 2 ( 刀+ 1 ) ! f 力( 九+ ) ( 厂) 翻职厂) 以力 2 ( 川) ! n ( j ) 砷( 硝l o ，于，) 卅，) 圳力 2 ( 厅+ 1 ) r 箩( 力( 箩i 。矿) 觑_ 力 2 ( 厅+ 1 ) r 箩( j ) 鼠( 以( zn ) 彳以j ) 另一方面，对髟( t ，( z 磅) 利用i t o 引理有可以得到： 以。( 五，( z ，) = ( 肿1 ) f 髟( z ，( z ，) 戤 2 ( 刀+ 1 ) f ( z ，( z 却，) “力圳力 最后，我们得到，0 。( 矿剃) = 髟( ，( z 珐) ，定理得证。 定理1 2 5 ( 维纳混沌分解) 令妒是f 厂可测随机变量使得 i 妒峨q ) = l 妒峨尸) = 犀 妒2 那么存在唯一的函数列 z 二，且 z 参“6 ，刁”) 使得 9 ( ) 2 )( z 收敛) t o 且眺l ，) 2 荟刀! 眦( f 0 ，r ) 证明：由i t o 表示定理存在f ，适应过程仍( 五，) ，o s s 7 使得 r7 刮储( 点，) 盔l 眺( ，) o o l oj 一 7 且妒( ) 2 z f 妒】+ n ( 以，) 反矿( ) 0 ( 1 2 6 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 定义g o = z 【妒】，对a a 墨，h - j - - 于仍( 点，c o ) 应用i t o 积分表示定理知存在 f ，适应过程( 墨，) ，0 5 岛s 五使得 一5 - m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学中的应用 协k ) 破 铆卜 且有( 点，国) - 一缸锻( 枷+ 他( 嘎，点，) 翻矿( 墨) o 将( 1 2 7 ) 带入( 1 2 5 ) 式我们可以得到： ，t而 缈( ) = g 。+ k ( ) 翻矿( 嘎) + ，仍( 墨，焉，) 以墨) 崩双焉) o00 这里蜀( ) = 啦( ) 不断地重复上述过程，可以得到 妒( ) 2 ( 蜀) + j + 。胡州 扫o 这里 ，a m * 肿1 ) = fr r + 。( ，h ，) 椤( ) 仂矿( ) 粕 又d b 一肿b 且令 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) l i ，肿t = l 。刃肿哆有( 1 f ，肿。，( z ) ) f ( n ) = 0 ( 1 2 9 ) 对任意的后刀，石z ( 【o ，7 1 ，) 。因此，有 m 。q ，= 丢n 圳m 2 ，+ h 萎i k ( 圳 r ，目的是为了 对参数求导。为了达到这个目的，我们考虑无穷可微且对各个变量各阶偏导最 多具有夕次多项式增长函数空间记为e 。记为具有如下形式的随机变鼋的集 合：，= ( ( 属) ，( 么) ) 这里历，勿鼠，j ，f 称为光滑随机变量。 定义1 3 1 ，的导数定义如下： 凹= a ( 职4 ) ，( 勿) ( 1 3 i ) 为什么这么定义，后面我们可以说明，先看重要的分部积分公式。 m a l l i a v i n 随机变分弓在金融数学l 的应用 引理1 3 2 ( 分部积分公式) q ( 勿一力) = 曩，矿( 功) 。 证明根据的线性性，我们只需考虑办在范数为1 的情况下。令居= q ，定 义妒( 力为多元正态分布的密度函数，存在hr f l 的正交序列q ，巳，根据经典的 分部积分公式使得，能够写成： 曩( 勿只铣) = l b ( 力妒( 力么 2 l ( 力9 i ( 力磁 钮( 朋( q ) ) = z ( 朋( 功) 将，换成f g ，由引理1 3 2 直接计算可得： 引理1 3 3 q g ( 魍铣) = q 一曩鹏磅 4 - 司讲暇9 ) 对于任意的尸1 ，我们定义，为在空间( 一中的求导算子，即是有 ，：j ，并由此可定义索伯列夫范数： 1 4 1 ，：( q 阿) + q l 卅z ) 严 可以证明算子刃是一个闭算子，见参考文献e 1 1 。 定义辅助算子：= ( d 只冷对于尸i ，该算子是( 刁到( 一的映射。 引理i 3 4 ( 链导法则) 9 ：俨_ r 是连续可微且偏导数有界。假设 ，= ( ，尸) 是一随机向量，其中，户( is ，刀) 。那么妒( 一，且 以缈( 刁) = a ，缈( 刁 证明略。详细证明可参考i - 1 1 定理1 3 3 。 接下来我们考虑特殊的希尔伯特卒间= z ( 乃b ，j 1 1 ) ，( t , b ) 是可测空间且 j l l 是盯有限无原子测度。我们通过维纳混沌分解可以得到定理1 3 6 。 下面的这个例子说明为什么要定义算子作为对砂的导数。 例予1 2 5 考虑维纳空间q = c o ( o ，l 】) ，给定布朗运动形( 功= ( ，) ，q 的予空 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学巾的应用 间定义具有如下函数性质的空间，记为 z ( ，) = f - p 涉且( j ) = z ( 【o ，l 】，p ) 这个空间也称为c a m e r o n - m a r t i n 空问。我们有 ( 五力= ( - ，少) = f ( j 涉p ) 西 考虑特殊形式的，= ( ( ) ，职) ) ，0 6s l 。这里 m ( x t 。山1 ) = ) ，由( ) 是布朗运动，因此有： ，( 砂= “以) ，“) ) = ( 以) ，以) ) ，= ( 觚磅= 娄a ( ( ) ，( 乞) ) 证明：对任意光滑随机变量g 有： ( 1 4 3 ) 缸国( 叫 = 叱刃g 叫 = 冰以问一叫 = ( 6 ( 彰) ，一( ，印) 6 l ( 1 i4 4 ) 根据g 的任意性即证。 引理1 4 3 定义( 力= ( 形陟，品，只彦则有下式成立： 户i ( 6 ( z ，) ) = 似砂+ 6 ( 砷 证明：由( 1 4 2 ) 式可知 ( 6 ( ) ) 2 委( 刃( 伊( 嘭) ) 一以够，嘭) ，冷 2 委巧似哆) + 喜 哪) 一( 刃( 乞) ，嘭) = 缸力+ 6 ( 力 ( 1 4 5 ) m a i l i a v i n 随机变分与在金融数学l f l 的应用 接下来我们考虑比较特殊的h i p o e r t 空间= z ( 力，在这种情况下6 ( ) 称 做关于的s k o m h o d 积分。记： 6 ( 功= 舻形 ( 1 4 6 ) ， 我们有下述引理： 引理1 4 4 假设影z ( t x ) ，根据维纳混沌分解，存在一列函数 z ( ，i ，厶，) z ( o ，p 1 ) 使得每一个z 关于前面刀个变量都是对称函数，并有 巧= 厶( z ( ，) )z ( 丁q ) 收敛 以及满足：d m m ) = 曩r 刊= 艺a , - 0 删i k l l ；i 。矿， 理。 ( 1 4 7 ) 证明：由维纳混沌分解定理( 定理1 2 5 ) 直接可得。接下来证明上述定 下面我得到s k o r o h o d 积分的维纳混沌分解版本。 定理1 4 5 z ( t x ) 且具有形式( 1 4 7 ) ，那么彭厶删6 等价于 ，- 、 6 ( 力= l 彳i 在空问z ( 嘞收敛。 月曲 需要说明的是，这里的z = j l _ ( z “，厶，) + 喜z ( ，“，厶，) ) 证明：对某个对称函数不妨设g = 厶( 岛) ，利用富比尼定理( f u b i n i s ) 和伊藤 同构定理可得： 以够，口回即刀= 至r e - - - 0f ( z ，) ，睥。( 岛( ，) ) ) 即刀 2 曩乞阢( ，) ，) ，叱( 岛( ，) ) ) # i z z 0 ，i 2 曩厅r 。( 五。( ，) ) 厶。( g a ，) ) ) 2 刀! r k ，( ，) ，靠( ，) ) 印功 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学小的应用 刊k o ) 饱吖 2 i ( z 。) 舷) ) 2 & ( z - ) ，刁川叫 因此对每一个彭d o t t y 5 ，根据定义可得： 曩6 ( 曲q = i i ；) 刁 对每一个g = ( 晶) 静八1 v j - 6 ( 矽 反过来，如果上面的函数列收敛，那么极限不妨记为p - 。由上面的计算知道 d r 鹕( 薹( 晶，) 刁= 1 名厶( 岛，) 对任意的。，有 i 曩r 巧口叫卜1 1 ：i 卅：，再根据钞2c z 稠密，因此z ，劂。故定理 得证。 由定理1 4 5 知道删是z ( 7 q ) 的子空间，且满足： 6 ( 力2 = j 妻= o 至t = o4 厶。( 力) 厶。( 习 = 姜机力) 2 = 洳= 0 ) z 吼伊， 根据( 1 4 2 ) 式我们可以重新写成： 咖形2 荟形嘭( ，) 形一丢口嘭( 咖( 刎 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学巾的应用 m a l l i a v i n 导数的一项。 定理1 4 6 假设甜，2 ( z ( 刁) ，过程( 观) 时是s k o r o h o d 可积的( a a ) ， 那么：口( 6 ( 砂) = 够+ 聊形 证明：根据( 1 4 5 ) 式可以知道，( 6 ( ) ) = 似力+ 6 ( z ，) ， 在给定的h ii b e r t 空同有： p ( 6 ( z ，) ) 哆咖= 哆机+ j j 2 以哆九6 形 = 孓| 向f d t f + 、d | 钍1 6 暇啊a 2j ( 巧+ 胁6 形弦九 根据历的任意性得证。 接下来考虑s k o r o h o d 积分和i t o 积分的关系，记b 。= d eb ，p ( 句 o o 。 引理1 4 7 令d e b 。且，是平方可积随机变量，在盯一域f ，中可测。那么5 1 彳 是s k o r o h o d 可积的且满足： 6 ( 髟) = 明句 证明：由定理1 3 8 可知若彳口，假设，2 且f 可测，那么在 q 上有d , f = 0 伽；又根据定理1 4 2 我们有： 6 ( 门彳) = 用以句一f 匀月( 力席= 月以句 ， 一般情况根据极限逼近技术以及6 算子的闭性可得到。记置为由适应过程生成的 z ( 【o ，l 】q ) 中的闭子空间。 定理1 4 8 限制在乞上的占算子与i t o 积分一致。也就是 6 ( 矽= f 巧识 证明：假设刀是具有下列形式的基本适应过程： 巧2 善巧t 。钿) ( ) 这里巧z ( gf ，尸) ，o ，2 ，肿t 1 由上面的引理可知1 4 d o r r 岱，s k o r o h o d 积分可表示为： m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学中的应用 6 ( 砷2 ；巧( 以哆+ t ) 一以) ) 根据基本过程在乞中的稠密性知命题成立。 最后我们给出在金融市场中应用最为广泛的c h r k - o c o n e 公式，也是l t 0 积 分表示定理的无穷维版本。我们知道对于任意平方可积变量，和适应过程 驴( ，) ，妒( ，) z ( q ) 有，= 以一+ r i ( ，) 力，现在我们可以把驴( ，) 写成m a l l i a v i n 导数的形式。 定理1 4 9 ( c b r k o c o r 七) ，e 钞2 ，假设矽是 0 ，1 上的一维布朗运动。那么： ，= 研卅+ f z ( 缈l z ) 彤 证明：根据，= ( z ) ，由( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 可得： e ( d p l 功= z ( 嘭卅( z ( ，) ) l 巧) * i ( 1 4 8 ) = 主n = lq 。( z ( ，。，力乇。哪+ z ( ，l ，。，) 乇。，1 ) lf ， 考虑到( z ( ，o 。，) 乇。、，钿q ) 是f 。可测的，而根据i t o 同构定理可知 厶( z ( ，。，) 似、，钿，彦) | f ， = o ，因此有： q 口尸l 巧) 2 o o 以。( z ( ，o 。，44 , v 、，钿q ) 再令约= z ( 刀，l 巧) ，又根据z ( ，l ，o t ，) 乇。，一q 的对称函数是 专z ( ，o - ，力，联系定理1 3 6 可得： 6 ( 矽= 厶( z ) = 卜耳刁。 利用g i r s a n o v 变换，我们还可以得到更一般情况下的随机积分表现定理，这些 在金融数学中乖发挥着般桌披莺鹱的作用。 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学中的应用 第二章在金融学中的应用 第一节引言 近年来m a l l i a v i n 随机变分发展迅速，在数学金融中更是得到了广泛的应用， 主要包括利用分部积分公式在b i a c k - s c h o l e s 框架上进行的的敏感性分析 ( g r e e k s ) ；利用c h r k - o c o n e 公式进行对冲保值策略；以及进行利率期限结构 研究的，可参考专著 1 4 。在金融数学中的更多应用可参考专著 1 7 这里只讨论与s k o r o h o d 积分相关的内部交易( i n s i d e rt r a d i n g ) 问题。 如果在一个证券市场中，价格完全反映了所有可获得的信息，那么就称这样 的市场为有效市场。衡量证券市场是否具有外在效率有两个标志：一是价格是 否能自由地根据有关信息而变动；二是证券的有关信息能否充分地披露和均匀地 分布使每个投资者在同一时问内得到等量等质的信息。然而事实上并非如此( 当 然这种是违法行为) ，所谓的内部交易者( i n s i d e r ) 就是市场上存在投资者在同 一时刻获得比价格本身所能反映出的更多的信息，在这种情况下我们就要考虑 s k o r o h o d 积分，或更确切的说是前向积分。 在这方面最开始进行研究的是k a r a t z a s 和p i k o v s k y i s l 的文章，他们假设 在交易有效时间内在交易开始就获得额外信息，但这额外信息是将来会发生的某 个随机事件，用的方法是滤波扩大法( e n l a r g e m e n to ff i l t r a t i o n s ) 。也就是说在原 来正常滤波下的布朗运动在滤波扩大下仍然是一个半鞅；利用这种技术进行研究 的还可参考 1 9 ，在这种分析框架卜对于内部交易的套利机会的存在性得到了研 究，r 日j 参考 2 0 和 2 1 。 利用m a l l i a v i n 随机变分进行研究内部交易的是i m k e l l e r 2 2 】的工作，在文献 2 3 中，发展了利用可预期随机积分来解决这个问题，但是他们仍然假设的是内 部信息是知道在期末会发生的某个随机事件。 2 4 对这个问题进行了一般化的考 虑( 主要是在 2 5 基础上进行的) ，在更一般的内部信息集合下考虑一般的效用函 数， 2 6 把这个问题进行了进一步的推广。 2 7 ， 2 8 ， 2 9 把这个问题推广到 l e v y 过程下的情况。 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学l l 的应用 第二节默顿问题 以f 的讨论中，如果不另加说明，都假设是在, t 维的情况进彳j 。讨论的，即讨 论的都是对刀维列向量而言的。 在b h c k - s c h o l e s 定价框架中，假设可测适应期望收益过程 e f l l , l 翻, ，可测适应波动过程dr l 厂i 力) a o ，那么定价过程即是： 姆= ( 舻+ 仃) ( 2 2 i ) f ，0 是由维纳过程生成集合的以及包括尸零集。 债券地价格过程由下式给出 量一p ( f y ，叫 ( 2 2 2 ) 是非负可测适应过程且满足 曩肭刁锄 y ，在这里是一维的，但是在下面的计算中仍然可以看成刀维，即可表示为 以= ( 以，杉) 7 正常情况下的交易者会使用自融资组合彭= ( a ，肛) 这里过程a ，和肛是可测和 f ，适应的，其满足： f l 肛j l i ，i 功 ，f b ；l 勿 ，f l p _ 仃，仃，j | b ，l 功 o ，对所有的 州。巾焉 ( 2 2 5 ) m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学【 i 的应用 彤= ( 石+ ( 以一) 乃) 杉谚+ 万，仃，r , d w , ( 2 2 6 ) 上面的随机微分方程的解根据i t o 公式为： 形= 继唧m t 盱_ i ：o o 刊 i 西+ f 以彬 仫2 7 ) 作为投资者的目标之一就是对财富的期望效用最大化。在这里我们考虑对数 函数：( 砖= l o g x 。那么问题就在与找到组合7 r ，使得效用函数最大化，即： 6 = n 警xe o o gy , ) 2 2 8 ) 这里：耳1 0 9 巧) = l 。g y + z ( r 九l 叫 + & 肌训，乃一吉咖吖乃 西+ r 衫q 彤) 仫2 根据随机积分r7 r 户，彤的局部鞅性质，上述问题就转化为求下列形式的最大值 州( 一) r 刀r s - - 扣咖 刁 我们可以进一步写成 一圭z ( i ，( t q 一( 以一，：) 厂仃：1 ) 2 司+ i 聘( 以一) ，0 s 仃；) 一( 心一c ) 习 ( 2 2 1 0 ) 关于这个做优组合的解称为默顿解，公式如下： 巧，：( o - y ) - ( ，一c ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 刁 、i - ， y p ，l 、 q 、l-， r ， 仃 ， 、 y - 一 p 一2 矿由 j 弋 = ， 后 妒 最 m a u i a v i n 随机变分与在金融数学l f i 的应用 第三节内部交易下的期望效用最优组合 令( 忍) 一。，力是概率空间( q ，f ，f ，尸) 上的标准布朗运动。内部交易者是拥有 信息滤波o = ( g ) 走【o ，l 是严格大于正常滤波f = ( 尸) 砷。，1 问题就在于如何解释 下面形式的积分： r 咖够 这里屯是g ，适应的。 一种常见的技术就是假设彦( ，) 在。下仍然是半鞅即有下面分解： s ( o = 耳力+ 叫力这里彳( ，) 是连续有限变差过程。在这种情况下积 分就可定义为：r 妒( ，) 彩( ，) = r 9 l ( ，) 抛i ，f i f o , ( ，) 刎( ，) 然而这种分解并不总是存在，所以我们可以考虑前向积分。 定义2 3 1 令妒( t ，国) 是可测过程，前向积分定义如下： f 缈( ，堋力= 惚f 缈( 细) b ( t + e f ) - b ( t ) a c t 如果等式右边依概率收敛就称缈前向可积，又若极限属于z ( 印空间则记作 9 d o r a 2 5 在金融市场建模中，使用前向积分是源于以下事实：考虑投资者在时间 o - 6 厂的投资策略( 力2 乇，2 l ( ，) ，占( ，) 表示资产价格。那么 r 爹( ，) 矿q ，) 2r 矿以，) = 职；( 钗囊，) 一钗) ) = c 叫力= 钗) 一烈) 由此可以知道，前向积分给出了在这个策略中的投资所得，符合现实情况。 注意到若妒是右极限左连续的且前向可秘的，那么 r 9 ( 细) d - b ( t ) = l i m 一。妒( ，) 趔乡) 因此我们可以假设9 ( ，国) = 缈( ，国) z ，咖。) ( ，) 此时就有： 王缈( ，) 矿觑力= i 。n 枷nr 9 ( ，) 鱼生挚 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学巾的应用 2 委毗) 慨r 1 半 2 委蚍) 觋rr 织衍 2 喜9 ( 。) ! 哦r 。l 么缓 2 委毗) 蛾弘线 2 缈( 0 x 反，+ 。) 一顶1 ) ) 户i 假设金融市场上有两种产品，分别满足如下的方程 尉| = ys | c l l文= 、 勰l = s | ( 1 l f , d t + c r t d b ( 秭 其中仃= ( ) 为刀刀阶矩阵，o r ，= ( 口 ，仃所) 假设系数满足如下条件： ( 1 ) 1 ，仃，y ，是e 适应的； ( 2 ) 4 i ， | l + i h i + l 仃，。，l 卅 ； ( 3 ) o r ，是m a l l i a v i n 可导的且存在( 刃一d ) ，( ( 刀o r ) ，的定义见下面) ： ( 4 ) 方程有唯一的适应解。 现在我们考虑三个滤波，关系如下： h ，cf ，cg ，cf 在这个模型中，大户投资者因为拥有内部信息，则可能通过其操作影响市场行为， 即使得f ，c g ，；而我们要考虑的投资者因为信息不足即h ，cf ，那么在这种 情况下如何使得期望效用最大化。 她7 是财富过程中的风险资产占的比例，臣p 咖等( 。鳅力 定义2 3 2 可容许组合的所有h ，适应过程7 r ，的集合( 记作) 是指满足 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学中的应用 如下条件： ( 1 ) ，r ，是m a l l i a v i n 可导的 ( 2 ) r i o ，是s k o m h o d 可积的 d 鹏c 肌l 卧 ( 4 ) d m 叶) ，万纠 ， 有 口万= o 又由m a l l i a v i n 链导法则有： d - ( 1 r r c r ) ，= n r z r ( c r ) ，+ 仃，d - ( n ，) ，= 万j 矿p ) ， 因此上述方程可改为 e 1 0 9 哆 _ 1 0 9 = e m + 鼽一圭以晚) 司 其中厚= z ，- 7 ，+ ( 仃) ， 因为我们考虑的是在滤波日，下，故定义： 分= e l i , i h ， 怠= 4 一l ， 矿( 仃) ，= 缸刃一( 仃) ，l 将上式改写为：l o g f 笋r 一t o s = 4r c z t + 房形一圭万，吒仃以) 翻 经过计算可得：万；= p ，) 声 总结上面的结果，我们得出： 定理2 3 7 假设仃0a e 且 - ) 若房如上定义且刮r ( 房) ，( 仃，( 仃，) ，) - 1 今力l 酬哆，= l o g f o + d f + 扑( 善，) ， 1 触 2 3 1 m a i l i a v i n 随机变分与在金融数学巾的应用 万；= 万；= e p 知，) 1 红色i ， 那么7 r 是最优组合。 如果假设何，= f ，= t ，则有口仃= 0 则最优组合问题由下式给出 l t ；= e ( c r , r 仃，) - 1 缸成l ， - ( 仃；仃，) 一( p ，一y ，) 此即通常情况下的默顿解。 m a l l i a v i n 随机变分与在金融数学中的应用 参考文献 【1 】m a l l i a v m ，p s t o c h a s t i cc a l c u l u so f v a r i a ti o na n dh y p o e n 私i co p e r a t o r sp r o c e e d h g so ft h e i n t e r n a t i o n a is y m p o s i u m o ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c 】( r e s i n s t m a t h s c i k y o t o u n i v ，k y o t o ，1 9 7 6 ) ( n c w y o r k ) , w i l c y ，1 9 7 8 p p 1 9 5 - 2 6 3 2 方诗赞m a l l i a v i n 随机变分引论 m 】清华大学出版社，s p r i n g e r ，2 0 0 5 3 黄志远m a l l i a v i n 随机变分法及其应用 j 】应用概率统计，第一卷第二期，1 6 1 - 1 7 2 ( 1 9 8 5 ) 4 黄志远随机分析学基础 阅武汉大学出版社，2 0 0 1 5 黄志远，严加安无穷维随机分析c m 科学出版社，1 9 9 7 6 m a l l i a v m ，p 。泛函积分和偏微分方程 j ( 1 9 8 4 年于武汉大学讲学笔记，黄志远整理) ， 数学进展，1 5 ( 1 9 8 6 ) ，1 3 1 - 1 7 4 7 b a s s ，r f d i f f u s i o n sa n de l l i p t i co p e r a t o r s m 】s p r i n g e r ，1 9 9 8 8 o d ap r a l o a n i n t r e d u c t i o nt oi n f m i t o - d i m e n s i o n a la n a l y s i s m s p r i n g e r , 2 0 0 6 9 p m a l l i a v m s t o c h a s t i ca n a l y s i s m s p r i n g e r ，19 9 7 1 0 m a r t as a n z - s o l e m a l l i a v i nc a l c u l u s ( w i t ha p p l i c a t i o n st os t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ) m e p f l ，2 0 0 5 。 1 1 d a v i dn u a l a r t t h em a i l i a v i nc a l c u l u sa n dr e l a t e dt o p i c s m p r o b a b l i t ) ，a n di t s a p p l i c a t i o n s s p r i n g e r 2 e d i t i o n 。2 0 0 6 1 3 b o k s e n d a la ni n t r o d u c t i o nt om a l l i a v i nc a l c u l u sw 酰a p p l i c a t i o n st oe c o n o m i c s a l e c t u r e n o t e s ，1 9 9 6 1 4 r e n ec a r m o n a , m i c h a e ! t c h r a n c h i i n t e r e s tr a t em o d e l s 盈ni n f i n i t ed i n e n s i o n a ls t o c h a s t i c a n a l y s i sp e r s p e c t i v e m s p r i n g e r , 2 0 0 6 1 5 u s t u n e i , a s a ni n t r o d u c t i o nt oa n a l y s i s o nw i e n e rs p a c e m l e c t u r en o t e si n m a t h e m a t i c s , v o l l 6 1 0 s p r i n g e r ，1 9 9 5 1 6 b o k s e n d a ts t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m s p r i n g e r ( f i f t he d i t i o n ) ，2 0 0 0 1 7 p m a l l i a v i na n da t h a l m a i e r s t o c h a s t i cc a l c u l u so fv a r i a t i o n si nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e f m 】s p r i n g e r ，2 0 0 5 1 8 i k a r a t m s ，i p