（计算数学专业论文）非定常线性对流占优扩散问题的两种间断流线扩散有限元方法.pdf

1 引言 在现代科学工程领域中，存在着许多伴有物质传输和动力消耗两种物理过程的物理系 统，在数学上，它们常归结为对流占优的对流扩散方程或者以这种方程占主导的方程组，这 些方程具有殆双曲性质，其解函数常呈现局部大梯度变化，使得传统求解抛物问题的数值方 法常常失效。 近年来， 在这些方程的数值解法研究方面，许多非标准的新型数值方法被相继提出，如 特征有限元方法、流线扩散法等等，这些方法从不同的角度，在不同的程度上成功的处理了 对流占 优所导致的数值困难，但是这些方法都是隐式的，需要在整个求解区域上计算，从而 需要求解大型线性代数方程组，计算量很大。 为了 解决上述问 题， 本文参照 1 l 2 , 3 的基本思想，提出了 求解非定常对流占 优扩 散方程的两种间断流线扩散有限元方法:全离散间断流线扩散有限元方法和算子分裂半显式 流线扩散有限元方法。 间断有限元 ( d g ) 方法是求解纯一阶双曲问 题的一种有效的数值方法。它是显式的， 而且可作并行计算， 5 l 1 中分别把间断有限 元方法应用到定常和非定常对流占 优扩散问 题 中，不是采用传统定义上的时空元，而是对时间方向进行差分离散，这样就形成了差分间断 有限元格式 ( f d g ) 。 这样既减少了 有限元剖分的区 域维数， 又能保持显式算法。 2 对一阶 双曲问题提出了间断流线扩散有限元 ( d s d )方法，尽管与间断有限元方法的收敛阶相同， 但由于引进了人工粘性，当解为震荡函数或有大梯度变化时，实际效果优于差分间断有限元 方法，因此综合 1 和 2 ，本文对对流占 优扩散问题提出了差分间断流线扩散有限元格式 ( f d s d ) ，与【 1 类似， 在时间方向上进行差分离散，在空间方向上进行间断流线扩散有限 元离散。 由 8 中 算子 分裂的思 想， 参照 3 中 提出的 算子分 裂半 显式 有限 元 格式 和 2 中 对一阶双 曲问题提出的间断流线扩散有限元格式，我们对对流占 优的对流扩散问题，提出一种算子分 裂半显式流线扩散有限元格式， 这种格式的特点是:在每一时间层上，由 算子分裂方法将原 问题分裂为两个问题:一个一阶双曲问题和一个热传导问题，然后对一阶双曲问题采用差分 间断流线扩散有限元方法求解，对热传导问题采用 g a l e r k i n 有限元方法求解，对于对流占优 的对流扩散方程，这种方法反映了“ 对流占优”的基本特性，为半显式格式，与常用的局部 一维化和交替方向等分裂型格式不同，本文所采用的分裂技术并不受求解空间区域形状的限 制。 o 入苫 设s 2 cr 2 为多边形区域， 考虑线性对流扩散问题: 模型问题及若干引理 记 其 边界m 二 r , 记 其单 位外法向 量为y r , 0 , t 为时间 区间， u , + )6 ( x , t ) v u + a ( x , t ) “ 一 0 . ( a ( x , t ) d u ) = f ( x , t ( 2 . 1 ) u ( x , t ) =9 1 其中x = ( zx 2d u ( _du ， _8u )= ( ax ,ax2 ,/3一 ， u ( x ,0 ) = u . ( x ) , = ( 戏 ( x , t ) , 几( x , t ) ) r 。 称( 2 . t ( 0 , t , x e 0 t 二 ( 0 , t , x e i x e s 2 ( 2 . 2 ) ( 2 . 3 ) 1 ) 一 ( 2 . 3 ) 为问 题( a ) o 简记l 0 ( x ( q ) ) = l ( 0 , t ; x ( q ) ) , ii v (i=11 v il,=,n , ， 若v = ( v v 2 ) 为向 量函 数， 则定 义 11 , 112 = 11 v , iii + 11 v 2 112 , 11 v iil o = m - ( il v , ill , ll v 2 ii ) o 对问 题( a ) 的 解及其定解数据作如下假设: ( h l ) a ( x , t ) 。 l 00 ( k m ( q ) ) , 0 a o a ( x , t ) a , ， 记 a , / a , = 9 o ; d a 之 界 为 11 d a ( x , t) ii lm i m ,p m am 为 正 常 数 ; q i ( x , t ) 。 l , ( n 2 , ( q ) ) ( t 一 1 ,2 ) , 11 6 ill (， 2 (。 。)， _ k d ; (一 )二 :刀 (一 )一 : 2 2(一 )/ , (一 ) 。 (。，; v ( x , t ) 。 l ( w ,00 ( 92 ) ) , 11 c, 11, (二 ， (。 ) c , ; i ( x , t ) 。 犷( p ( m) ; g e l z ( l ? ( r ) ) 1 u o ( x ) 。 h 1 p) ( h 2 ) 问 题( a ) 有唯 一 解u ， 且u , u , e l m ( h ( s 2 ) ) , u e l m ( h 2 ( c2 ) ) 取时fa l 步长 t ， 对 o , t 进 行剖分， 令n= t 1 4 t 。 记t = n o t , v ( x ) = v ( x , t . )在每一 个时间 层t = t ” 上， 对0 作相同的 拟一 致三角 剖分， 相应的网 格记为兀= 仕: r c- q ) ，其网格 参 数记为h ( 0 h _ h o 0 y * ( x ) l? 2 c o ， x e b t , n =1 , 2 , a , n 则( 2 .5 ) 必成立， 这是因为: ( 2 . 5 ) 万 ” - y * ( x ) i? i i q 0 - y , ( x ) 卜1 ( q 当h 适当 小时， ( 2 .5 ) 必成立。 y , ( x ) lj? 2 c a 一 2 k a h 定义有限元空间 v l v az 二 v ， : ， 。 l ,2 ( f2 ) , v 1, e p ( r ) , v t 。 t h ) : v e h o ( 0 ) n c ( s 2 ) 川: 。 p , ( t ) , v t 。 t i ) 其中只 幼表示: 上次数不高于: 的多 项式全体， 对， (= v ti定 义 1 1 v v 一 ( 工1 1 v v 11,1 ) 2 。 由 于 剖 分t 是 拟 一 致 的 ， 有 限 元 空 间v ti 具 有 如 下的 逆 性 质 和 逼 近 性 质 6 . 引理2 . 1 存 在 不 依 赖 于h 的 正 常 数c ， 使 得 对v v e v ti ( z 一 1 ,2 ) ， 有 h z g1 v v “ + ， ，二 )+ h y j ,v “ c “ ， ( 2 . 6 ) 引理2 .2设i i 久 : h- . ( q ) 一 、心( i = 1 , 2 ) 是 满 足 有限 元 插 值 逼 近 定 理的 插 值 算 0llro 子，则对b o = h . . h l l 0 一 w ， 存在w= i i 0 e y， 使得: ， 一 w ii. ， 一 w ii+ h y2 互 (j,1- 一 w ， d,p m oh ， ，一 ( 2 . 7 ) 其 中 界 定 常 数m 。 与必 , w 及网 格参 数h 无 关。 由( 2 .4 ) 和( 2 .6 ) ， 可得 引理2 . 3对h t e t , b v e p 闭 ， 有: 王 i v i (q ” 一 万 ” ) v r lde 三 c ” iv jl: ， ( 2 . s ) ii v ilc 2 ca * . 5 c . h il v ll* ( 2 . 9 ) 其 中 c ” 仅 与口 , k a 有 关 ， c 仅 与己有 关 。 下面是本文将要用到的一些记号: a r 月= r= 二 。 a z , 万 ( x ) , y * ( x ) 0 , o r 卜a z a z 0 t h v 公 任 t , ya z ， 习= r f - ( 2 . 1 0 ) 注意到，在r上 /j : : 一 q y r + ( q 一 x v公 ) 7 r 由 ( 2 .4 ) 和( h 4 ) 可 知 ， 当 h 充 分 小 时 ， q y 。 与 万 ” . y 。 同 号 ， 此 时 r 0 , r 十= r ; 注 意 到 : 当v e v h 时，川 。 : 一 般 是间 断 的 ， v , ( x ) = l l mv ( x + s /3 ( x ) ) , v ( x ) ) = v , 了 咔0 土 = t 。 上， 对v v , w e 刁, x e a a , r e t h 定 义: 一 v _ ( x ) jj.、! 在 x 厂、 a, = 上 r; v w iy : : i d s iii v 1 if ; 一 。 :; 简记 y= y , q 0 r e 11 - 11， 一 习i . ii*， 一 y a z 0 , q : = y a z : , y-= 艺 ， a ,v ” 一 ( v “ 一 v - ) / o f 。 q : 一 艺 ,， iii v 川 乙 : 一 。 差分间断流线扩散有限元( f d s d ) 方法 飞目 八入飞 为了分析上的方便，我们取模型问 题( a ) 中的。 ( x ) 为一个很小的正常数: 。差分间断流 线扩散有限元方法的基本思想在于: 当e t v 小时， 问 题( 哟主要呈现的是 双曲 性质， 则方程( 2 . 1 ) 可视为在双曲问题: u , + q ( x , t ) d u + v ( x , t ) u = f ( x , t ) u = % ( x , t ) u ( x , 0 ) =u o ( x ) t e ( 0 , t , x c q t e ( 0 , t , x t xs 2 中方 程( 3 析方法， . 1 ) 增加了 一个小扰动c a u ， 从而可考虑用f d s d格式进行求解。 ( 3 . 1 ) ( 3 .2 ) ( 3 . 3 ) 应用类似于【 1 的分 本文将证明:在适当的条件下，当扩散系数e 与空间区域92的剖分网格参数h 之比 适当 小时， f d s d格式是按l 00 尸) 模稳定的，且 有按该 模的拟丰满精度阶估计。 3 . 1 f d s d格式的构造 在t = t ” 处，作向后e u l e r 差分离散， 则问 题( a ) ( a ( x ) = 约中的( 2 . 1 ) 可改写 刀 d u 一 必u + v 其中e 厂 = a , u ” 一 ( u , ) , 参照 l l , 2 l , 5 ， 求解( a ) 的f d s d u = f + e , d x 。 s 2 u ， b x e几 t+ u 日目u 格式 定义为: 对。 = 1 , 2 , 3 a n， 求u 。 叮， 使得b t 。 t e 有 ( 4 ,u + 8-du一 c a u + q u , v + 朔 v v ) , + 。 : + : 工 r,. 0 u y * v , d s 一 (f ,v + 6 f o v ), v v 。 p , (z ) ( u l , v ) , = ( u o , v ) , v v e 只 ( : ) u - a r_ 一 9 月 当 a r _ c r _ 其中 。 z * = o t _ ( a r r) r ) ，称( 3 .4 ) 一 ( 3 .6 ) 为问 题( b ) 记 d = ( 0 , t x s 2 ， b ， 二 日 川10 ,. ;d l 0 71 = u 浅 ， 。 ， 由 假 定( h 2 ) 有: b , ， 取: ( 3 . 4 ) ( 3 . 5 ) ( 3 . 6 ) 对(5 有如下选 s = m in 必14 t , 乙h 2 ) c i , c 为 适 当 取 定 的 小 于 1 的 正 常 数( 3 . 7 ) 显然 t 1 ，因此s 0 ， 使得对任意w , w ” 一 ， 。 叫以及 w 川 r 。 尸 ( 户 ) ，有 : b (w , w ) + 晋 + ( 1 一 c z e h 一 ， - iii w ii嵘 : + c , ii w , 6 c h - z ) e ii o w iiz 112 _ 土 2 ii w 112 + 亏ii a , w t 川 【 w l 11叠 一 : iip - + (合 一 c , )8 ， 二 v w 一 ( 3 . 1 2 ) 其中 ， ii w 112 = il w ii， 一 il w ” 一 ， iiz at 证明: b ( w 由 定义( 3 . 1 1 ) 有: ， w n ) 一 艺 (0(w + )6 v w + 6 w ” 一 e a w , w + cs,6 v w ) r + 。 】 + 艺 e 上 ，:. o w l + 艺 : 王 r. o w l y , w a d s =艺 ( o ， w + ,6 v w + a w ” 一 a tl w , w ) r + 。 : y * w ; d s + 艺( ， 、 ” + ,6 v w + v w s t l w , 朔 o w ) , 注意到: ，(a ,w ,w )* 卜 合 ( ww 月一1 t ，” 小, w 一w - w , w + w ) + ( 4 丁 一， w 一w 卜 ， ) : - m 合 ( 4 t ii w11, + 11 w - ili ) + w月 一w 4 t 4t 月 一1 w ， ) w 月_, 4t = 与 t1 , 2 - w 2 + ii o ,w ll, ) ( q ? * ” ，w ) . + ( q w , w ) r1 ( ( w ) ， 2 万 ” y , d s + 合 j , (w ) ( q一 万 ” ) y , d s +( ( q一 粤 d iv )6 ) w 乙 ， h ) * 王 ( h ) 2 q y , d s 一上 : .( w ) , i /3 -y , ; d s + 王 : ( w - ) z i l y * d s 7 ( 一 她w n ， w 月 ) r =: ( v 、 ” ， v w ” ) : 一 “ 上 :。 v 叫 : : w : de 一 “ 工 : v w 二 : :w : ds ( w 八 ， 朔月 v w ” ) ; . 么 t. ， . 三 w 4 + 生 11 刀 ” v w 月 t 占 2 ( 刀 n v w ” ， 朋” v w 行 ) r = 占 ( 二w ” ， 朔” v w ” ) r 三 命! 刀 ” v w n l w: 、 尊 11 刀 斗 v w 刀 11 ( 一 她w ” ， 朔” v w ” ) :1 、 互 11 刀 v w 4 : + 及 义*h 一 ， 日 v w ” ! 由占 的取值(3 .7)可得 b ( w 月 ， w 月 ) 之 2 于 ， w n!2 + 了) t。 . 日 ， wi 4.。 一 合 di 、 ，/ (/ (。 )，w ” ” 1一2 艺 十( 占一 上 r ( w ” ) ( 刀 ” - 占 义) 人 一 2 ) 日 v w 月 r rde 十 合 艺 a、艺 。 : : + 。 匕 一 亿工 : vw: : : 叱 de 一 屯上 尸必、 记 ds 十 : y . v w .: : 、 : * 一 、 ， 1、 1， 、 (粤 一 云 1)、 1刀 二 、 w 11 、-刃乙 注意: 艺 记 ， 叱、 : = 艺 w 全 ， 记、 一 : 二 合 艺 叱 ，记 a: 一 告 艺 。 + 合 艺 记 ，记 二 一 合 艺 、 ，w : a: + 艺 。 砂 = 合 艺 一 竺，记 ) 。: 一 合 艺 一 “，记 r二 合 艺 叱 ，记 : 艺 合 w : 一 :，w : 。 二 一 合 艺 叱 ，叱 r: + 合 艺 记 ，记 r: 十 告 艺 记 ，叱 。r: 十 合 艺 一 : ，、 。: 一 合 艺 叱 ，w : at: 一 告 艺 一 : ，、 。: 一 合 艺 记 ，w 全 二 十 合 艺 记 ，叱 二 十 合 艺 一 竺 ，w 竺 一 、 。: 十 合 艺 w : 一 、 ，w : 。、 斗 ; y_ y, 王 rj. v w , y , w d s 十 工 v w , y ,w _d s + 毛 v w , * 7 , 记d s ) 了.、fj.、廿声.、 占占占占 一一- 记上式右端二 一 ( q . q ， 一 : il : o w - y * - 十 q 2 十 已) ， 由: 一 “ b 不 等式、 引 理2 . 1 和 假 设( h 4 ) 有: i d s 二*,fw l2 q y d, c 1一 e ( 艺 上 . ( o w ) z y , d s ) 2) 2 _ -2s 争 一 ，v w if 一 8 111 f w l，、 一 3 iii w ，、 一 3s ，x- iltzr: 此外，由引理2 .3 有: 9 艺 * ( x ) 2 (q ” 一 ) - y d s c *1 i- 1 i 综合以上的估计有: b (w ,w ) + 7 川、 iiirl_f 十 (i一告 d iv,8 .。 二 。 )+ 亏十 q ,) ” c * 月 i i w i ii + 兰 ii 4 * ” 日 + 合 x l iiiq _ c ， +( i 一名-s n c 。 二 h 一 ) v w 112 合 一 : iii : + (合 一 c , )s .。、 v w 取 c , = !。 一 告 d iv6 、。 ，二 (n) 号 + q ,， c z 就可以得到( 3 . 1 2 ) ，引理3 . 1 证明完毕。 由s 的选取( 3 . 7 ) ， 对任一正数k o可 适当 选 取c 2 ， 使 得c 2 c - u _ ， 因此对任一正 数、 。 粤 ，只要。 。 、 乙 因此由引理3 . 1 导出: 1 一 2 p 0 c , 就 有 定 理 3 .， 对 给 定 的 * 和 任 一 正 数 fro 、 粤 ， 当 。 。 、 1 一 2 ,u , c , a t 适当小时，f d s d格 式( b ) 有唯一解 u 舒 ，且有估计: m a xis s ni i u iiz + 艺 ( iiiu 日 叠 + iii u _ ii吸 + 、 “ ii v u iiz )a c o l f ilim ,c cn ; + ii s iiv ( =,_ ; + ip . ii2 ) ( 3 . 1 3 ) 其中c与h , a t , 无关。 证明:由( 3 .8 ) 和( 3 . 1 1 ) 有: b ( u u ) = ( f , u + (5 / 3 v u ) n = 1 , 2 , 3 , a n (f ,。 一 6q v u )_ c .!， 一u iii + 1 s ii q v u . 利用引理3 . 1 ， 可以得到: b ( u 月 ， u + 生 4:u:i .卜 。 .“ ，2: 合 ， .“ : 2 + 2. 酬 + 生 41 1u ” 1后 : +(卜2 c 2 动一 ， 一 芡 h) 、甲 u 、2 + 专 、u 二 + (告 一 万 1)占 刀 一 v u 2 ( 3 . 1 4 ) 因此有: 川 u ” 11叠+ ( 1 一 2 c 2 动 一 ， 一 芡h 一 ， ) “ i v u ” 11 1+-4 合 ( ， ，.u : )2 + 等 . ，u ，. + 去 :u : :孙 + (去 一 万 1)占 : 刀 二 v “ 11， c i f ” 12 + 1 u n 1( 3 . 1 5 ) 可以得到: 1-8 注意1 一 犯 h 一 ， 一 二动 一 之 尸 。 川 u “ 日 到 u 。 ， 取c 告 ( ， : 。 : 1)2 十 黝 尸 . 1!1 u ” 1后+ 、 。 “ 1! v u ” 11 + 生 4川 理“ 哦 1+-4 c l f ” ， + 1 u ” 1，( 3 . 1 6 ) (3 . 1 6)两边同 乘 t ，并对n 从1 到n相加， 取 t 充分小， 应用离散的g ro nwall不等式，即 得 (3 . 1 3)，由 此可断定f d s d格式( b)唯一可解。 注1 :当 放弃假设( h 4) 时，我们有如下的估计: 一 : 艺 工 : v w : r :w : ds 一 艺 工 r: v w : : :记 de + “ 艺 工 : v w ” 1 r : w “ de 一 吐vw: :叱 ds 一 艺 工 r: vw : : :w : ds+上 vw 竺 y : 试 ds+艺 易 . v w:.: : w 网 一 “ ( 工 v w ” : : w ”ds 一 艺 王 : v w “ 万 : w ” ds ) 由 一 a b 不等式和引理2 . 1 有: : 工 v w ” : : w ” ds : ( 工 1 ? w ” r : 12 de ) ( 工 ( w ” ) ， de ) 争 十 三 h 一 ， ? w ” w ” 卜 c e ， h 一 ， ? w 月 ， 5 艺 上 : v w 竺 r : w ” “ (艺 工 : v 叱 r ， 1 de )三 * ” ( 艺 上 ; w ” z ds ) 三 w ” 争 “ 人 一 jl v w ” 1卜 】 w 月 !1 c : ， 人 一 2 v w ” ， 因此可以得到: w ” 日 争 + 。 (w ，w 卜 合 一 : 。:、 (一合 * 、 .。 (。 。，。 号 一 1 号 ) 一 一 : 合 ， .w 咨 .!.【w 】 .，昌: + ( 一 ， c 一 一 ): v w + 合 ，.、 .!，: + (合 一 云 1)占 : 、 vw刀 = 了， 类似于引理3 . 1 中的 讨论， 咔 取 c ， 一 合 d ivfi ，。 / (。 ) * c- c , 。 十口，十， l， 2 =2 c 可 知 : 对 任 一 正 数 。 。 合 ， 定性。 当0 9 生2 p o c z = 1 - 2 f o 时 ， 2 c 格式( b ) 仍具有( 3 . 1 3 ) 所给出的稳 3 . 3 f d s d格式的误差分析 由 假设 h l ) ， 问 题( a ) 的 解u 满足 b ( u , v ) = ( i , v + 朔” v v ) + ( e , , v + 朔” v v ) v v 。 刁n=1 , 2 a n( 3 . 1 7 ) 其 中 一 : 112 告 日 utt 11 z 护 j ” .矛 。 ” ( 3 . 1 8 ) 其中i = ( t 。 一 : , t l 由( 3 . 1 7 ) , ( 3 . 8 ) 一 ( 3 . 1 0 ) 有 b ( u ” 一 u , v ) = ( e , , v + 朔” v v ) ( u ” 一 u ) 1, = 0 ( u o - u o , v ) = 0 定 义。 ( t ) : 0 , t 一刁， 使 得 对 任 意 的 ( u ( t ) 一 u ( t ) , v ) r = 0 v v 。 只 ( : ) 并 规定( u ) _ = 9 月d x 任 r - 、 。者 ” = u ” 一 ( u ) , 77 ( t ) = u ( t ) 一 。 ( t ) 记 7 e = u 一 v = 77 一 者 ” 由! 4 有: v v 。 心n = 1 ,2 a n( 3 . 1 9 ) v v 。 v e r 任 t , ， 有 ( 3 .2 0 ) ( 3 .2 1 ) ( 3 . 2 2 ) iin (t) ii+ h y2 y ( f , 7 2 (t)d s ) y2 ) + 。 ii v ,7(t) 11+ 0 2 y 1 , (i o .,7(t) iz d s )y2 艺( c e l h 一 ， 11 77 , iii + 生 ii 夕. w , f iii ) 由( 3 .2 9 ) . ( 3 .3 0 ) 以 及( 3 . 3 1 ) 有: 弄iw， 2八t+ 壹 i (iiie l ”。)+ iiie iip. + ， .o , / 一 ) + (专 一 6 c ,)b 11,0 v ,. . e ( 1 一 c , e h 一 ， 一 c a h 一 ， v l iii 金 客 (iiie iip; ，、 ， iii n屯问 、 c 艺 ii 引 2 + ii 一 + 会 ii q iii + ( + 一 “ 一 ) ， ii o 17 一 + 1111,71 !.良 + 。.。 一 + 。.。 日县 + .。 : illr: + 等 : ，。 : + iio ,7 i : + 6 2( 工: (o l7 )一 y *)2ds + f (o n .y ,)zds) 上式两边同 乘 t ， 且取 t 适当小， 利用g r o n w a l l 不等式和( 3 .2 3 ) , ( 3 .2 4 ) ，有 ( 3 . 3 2 ) ii iiz + 艺 ( iiiw i ii县 ， + im , ii哦 + t 1 3 2 (ill e iip, ，“ ， ii a , iiz ) + ( 粤 一 6 万 .): 11刀 . v i i iiz 、 、 : 日 v g 日 4 、 c (h ， 二 ， 、 上 * ， 二 ， + ( 1 、 : ， * 一 ， ) tl th z . + e h z + * ， 二 ， + ( 0 t ) ) f ( 3 . 3 3 ) 利用三角不等式，可以得: 定理 3 .2 若 假 设 ( h l ) , ( h 2 ) , ( h 3 ) , ( h 4 ) 成 立 ， 则 在 定 理3 . 1 的 条 件 下 ， 对 格 式 ( b ) 有 误差估计: m a x15 5 n1 1 ill + 艺 iii e iii乙 :+ iii e iii几 + e _ iii几 + iii e _ iii乙 : + 、 。 ii d e iiz + ii a ,e ii + 占 日 刀 n d e 1 il l : c (土 * ， 二 ， 十 ( 1 十 : 一， 。 一， ) 4 th 十 e h 、 * ，二 ， 十 ( 4 t) ) f ( 3 . 3 4 ) 其中c是与二 ， a t , u ( n = 1 ,2 ,3 , . . . , n ) , h 无关的正 常数。 3 . 4 f d s d格式的数值算例 设。= 0 , l x 0 , 1 ， 考虑。x 0 , l 上的 对流扩散问 题: u , + u + 。 ， 一 ( u - + u , ) = f ( x , y ) , ( x , y ) e 。 ， t e ( 0 , t u ( x , y , t ) = g ( x , y , t ) , ( x , y ) e 刃， t e ( 0 , t u ( x , y ,o ) = 1 .0 , ( x , y ) e s 2 其中 为小的正常数。 设定上述问题的真解为u=2一e x p ( 2一x一y t ) ， 则f , g 可由( 3 .3 5 ) , ( 3 .3 6 ) 确定: f ( x , t ) 另外， 2 一 x 一 y z 占 _ _ ， _ ，2 一 x 一 y . . _ 1 . . . _ 。 _ ， _ 1 2 一 x 一 y . 入 p、 一 )， 9k , 少一 一 入 f 、 一 少， /g ( x , y , t ) = ( 1 ,1 ) t ， 求 解区 域的 三角网 格剖分 如下: 口口曰冈回口口口回回 冈口口口口口口口回口 冈冈口曰冈冈口口冈冈 夕夕夕夕口口口口口夕 夕口冈冈口口口口回口 冈冈冈冈冈冈口口冈口 冈冈冈冈冈冈冈冈口冈 冈冈冈冈冈冈冈口冈冈 冈冈冈冈冈冈尸冈冈冈 冈冈冈冈口冈冈尸冈口 我们分别用 f d s d 方法和标准 g a l e r k i n有限元方法 ( g f e )分别进行计算，取 e = 1 。 一 ， , h = 0 . 1 , a t = 0 .0 5 , 5 = 0 . 0 0 1 ， 对f d s d的 解，由 于 在内 边 界上是间 断的， 在每一 个结 点上，我们取所有以此为顶点的单元上的解在该点的平均值作为该点的计算值，得到如下的 计算结果。 下表列出了用这两种方法在t = 1 时的结果: ( x , y ) gf e 真解 f ds d ( 0 . 0 , 0 . 0 ) 2 . 0 0 02 . 0 0 0 1 . 9 8 5 ( 0 . 1 , 0 . 1 ) 2 . 0 0 02 . 0 0 01 . 9 9 4 ( 0 .2 ,0 .2 ) 2 .0 0 0 2 .0 0 0 1 . 9 9 8 ( 0 . 3 , 0 . 3 ) 1 . 9 9 8 2 . 0 0 02 . 0 0 0 ( 0 . 4 , 0 . 4 ) 2 刃1 32 . 0 0 02 . 0 0 0 ( 0 . 5 , 0 . 5 ) 1 . 9 9 42 . 0 0 02 . 0 0 0 ( 0 .6 ,0 .6 ) 1 . 9 9 0 2 . 0 0 02 . 0 0 0 ( 0 . 7 , 0 . 7 )2 .0 5 1一1 2 .0 0 0 2 .0 0 0 ( 0 . 8 , 0 . 8 )1 .6 2 1一1 2 .0 0 0 2 . 0 0 0 ( 0 . 9 , 0 . 9 ) 2 石3 4 2 .0 0 0一! 2 . 0 0 1 ( 1 .0 , 1 .0 ) 1 . 0 0 0 1 .0 0